18.2.1.1 矩形的性质-专题 勾股定理在矩形中的应用-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学同步测评（人教版 云南专版）

夯实基础 C迎^{*} 18.2.1.1矩形的性质 学习摘要:掌握矩形的性质,会运用直角三角形斜边上中线的性质 新知向导 5.如图5.在矩形ABCD中,AB=6cm.BC =8cm,对角线AC.BD相交于点0.E.F分别是 1.定义:有一个角是。 的平行四边形 AB,A0的中点,求△AEF的周长。 叫作知形. A D 2.性质: (1)具有平行四边形的所有性质; (2)矩形的四个角都是 B (3)矩形的对角线 C 图5 3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 基础训练 能力提高 1.如图1,在Rt△ABC中,乙ACB=90,CD 是斜边AB上的中线.若CD=4,则AB的长为 6. 如图6,在矩形 C iABCD中,AB=4.AD=5. A.2 B.4 C.6 D.8 E为AB的中点,点F,G分 D 别在CD.AD上,AG:AD= / 3:5,△EFG为等腰直角三 图6 ( 角形,则四边形BCFE的面积为 _~ C B.9 A.10 C.35 图1 图2 1 2.如图2.矩形ABCD的对角线交于点0 BD=4,则AC的长为 r - B.2/3 A.4 C.3 D.2 在BC边的延长线上,点P是线段BC上一点(与 3.如图3,在矩形ABCDA 点B,C不重合),连接AP并延长,过点C作CG 1AP,垂足为E 中,点E在AD上,当△EBC (1)若CG为乙DCF的平分线,请判断BP 是等边三角形时,乙AEB的度 与CP的数量关系,并证明; 数为 ) 成长。 (2)若AB=3,△ABP△CEP,求BP的 A.30d B.45o B C C.60o D.120 图3 27 4.四边形具有不稳定性.如图4.矩形ABCD 按箭头方向变形成平行四边形ABCD,变形 后 乙A*=30*.若矩形ABCD的面积是12.则平 图7 行四边形ABCD'的面积是。 。. 图4 理。 夯实基础 18.2.1.2矩形的判定 学习摘要:掌握矩形的判定 新知向导 5.如图3.□ABCD的 $$ AB=6 .B$C=4 . A=$ 判定: 之B.则四边形ABCD的面 (1)定义; 积为_ (2)有三个角是 6.如图4.在口ABCD 的四边形是矩形; 图3 (3)对角线 的平行四边形是矩形 中,BE平分ABC,CE平分LDCB,BF/CE, CF//BE.求证:四边形BFCE是矩形. 基础训练 1. 用两个完全相同的直角三角板不能拼成 ( , A.等腰三角形 B.矩形 D.梯形 C.平行四边形 图4 2. 如图1,直角 乙A0B内部的一点P到 这个角两边的距离之和 为8,则图中四边形 0BPC的周长为( )o 图1 B A.8 B.16 C.32 D.无法确定 能力提高 3.依据所标数据,下列四边形不一定是矩 7. 如图5,在四边形ABCD中, B= C= 形的是 ( 90*.点E,F分别在边AB,BC上.DE1 AB,DE= D 1 $$B$ AE=BE=3.BF=2.△ADF的面积是 1 . FG1AD于点G. 2.5 (1)求DF的长度; C (2)求乙DAF的度数 B A 900 900 C ( C D C 4.如图2,在△ABC 图5 中,D,E分别是AB,AC的 中点,点F.G在边BC上, 且DG=EF.只需添加一个B 条件即可证明四边形 图2 DFGE是矩形,这个条件可以是。 (写出 一个即可). 专题训练 C理^{} 类型 )专题: 联合角平分线 3.如图3.BD是矩形ABCD的对角线,在BA 勾股定理在矩形中的应用 和BD 上分别截取BE,BF,使BF =BE,分别以 类型联合三角形的中位线 1.如图1.矩形ABCD的对角线AC,BD相交 乙DBA内交于点G,作射线BG交AD于点P.若 干点O.E为0B上一点,连接CE.F为CE的中 $AB=3,乙ABP=30*,求△PBD的面积$$$ $点, E0F =90.若0E =3.0F=2,求BE的$ 长。 -C 图3 图1 型2 类型4 联合中垂线 联合直角三角形斜边上的中线 2.如图2,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6. 4.如图4.在矩形ABCD中,点E在线段CB P.0分别是AB和CD上的点,且AP=C0=3. 的延长线上,DE交AB于点F,乙AED= 线段EF是P0的垂直平分线,交BC于点F,交 2C CED.点G是DF的中点,若BE= 1.AG=4.$ P0于点E,求BF的长 求AB的长. ............................... 图4 D 0 C 图2初中数学·人教八年级(YN)第27~30期 Bc. 因为BC=3,所以C是BE的中点 因为DE=3,所以BC=6. 因为M是BD的中点，所以CM=之DE= 因为CF∥BE,所以四边形BCFE是平行四边形 因为AC⊥BC,所以∠ACB=90° 所以EF=BC=6.所以DF=DE+EF=9 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=AC+BC=5. 能力提高7.4. 8.如图，延长BD交AC于点F 所Cw:名 因为AD平分∠BAC,所以∠BAD= 4.延长CE至点F,使EF=CE,连接AF,BF ∠FAD 因为E是AB的中点，所以四边形CAFB是平行四边形. 因为BD⊥AD,所以∠ADB=∠ADF 所以AC∥BF,AC=BF.所以∠CAB=∠FBA =90 因为B是AD的中点，所以AB=BD ∠BAD=∠FAD, 又因为AB=AC,所以BD=BF,∠ABC=∠ACB. 在△ABD和△AFD中， ADAD. 所以∠DBC=∠ACB+∠CAB=∠ABC+∠FBA= T∠ADB=∠ADF, ∠FBC 所以△ABD≌△AFD(ASA).所以BD=FD. BD BF. 又因为E是BC的中点，所以DE∥CF 在△DBC和△FBC中 ∠DBC=∠FBC, 所以∠BED=∠C=40, BC BC. 专题构造平行四边形的四类型 所以△DBC≌△FBC(SAS).所以CD=CF=2CE. 1.连接HE,EG,GF,FH. 18.2.1.1矩形的性质 因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A=∠C,∠B= 新知向导1.直角；2.(2)直角，(3)相等：3.一半 ∠D,AB=CD.AD=BC 基础训练1.D:2.A；3.C；4.6. 又因为BG=DH,所以AD-DH=BC-BG,即AH=CG 5.因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=90°，B0= AH CG. 在△HAE和△GCF中，{∠A=∠C, 2BD=24C=A0 LAE CF, 在Rt△ABC中，AB=6cm,BC=8cm根据勾股定理，得 所以△HAE≌△GCF(SAS).所以HE=GF. AC =AB'BC 10 cm. 因为AE=CF,所以AB-AE=CD-CF,即BE=DF 所以B0=A0=5cm. DH BG, 因为E,F分别是AB,A0的中点，所以EF=80= 在△DHF和△BGE中， ∠D=∠B, 5 DF BE, mAE=2B=3m,4F=40=子cm 所以△DHF≌△BGE(SAS),所以HF=GE. 所以△AEF的周长为：AE+EF+AF=8cm 所以四边形EGFH是平行四边形 能力提高6.D. 所以EF与GH互相平分. 7.(1)BP=CP.证明如下： 2.过点C作CE∥BD,交AD的延长线于点E 因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠BCD=90° 又因为BC∥AD,所以四边形BCED为平行四边形. 所以∠DCF=180°-∠BCD=90° 所以DE=BC=1,CE=BD=6. 因为AC⊥BD,所以AC⊥CE.所以∠ACE=90° 因为Gc为∠DGF的平分线.所以∠F0G=∠DCF=45 在Rt△ACE中，根据勾股定理，得AE=√AC+CE= 所以∠PCE=45° 因为CG⊥AP,所以∠E=90. 35. 所以∠CPE=90°-∠PCE=45°.所以∠APB=45° 所以AD=AE-DE=35-1. 所以∠BAP=90°-∠APB=450=∠APB. 3.延长BC到点E,使BE=AD,连接DE 所以AB=BP 又因为AD∥BC,所以四边形ABED是平行四边形. 所以BE=AD=6,AB=DE. 因为AB=C,所以cP=C-即=6C 初中数学·人教八年级(YN)第27~30期 所以BP=CP 因为F为CE的中点，所以0F=4E,0F∥AE (2)因为△ABP≌△CEP,所以AP=CP 因为AB=3,所以BC=2AB=6. 因为OF=2,∠E0F=90°，所以AE=4,∠AE0=∠E0F 在Rt△ABP中，根据勾股定理，得AP2=AB+BP,即(6 =90. -BPy2=9+BP,解得BP=子 在Rt△AE0中，由勾股定理，得A0=AE+OE=5. 所以OB=5. 18.2.1.2矩形的判定 所以BE=OB-OE=2. 新知向导(2)直角，(3)相等。 2.连接PF,OF,如图2. 基础训练1.D:2.B;3.D; A 4.答案不惟一，如DE=FG:5.24. 6.因为BF∥CE,CF∥BE,所以四边形BFCE是平行四边 形 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD. 所以∠ABC+∠BCD=180° 图2 因为BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,所以∠EBC= 因为线段EF是PQ的垂直平分线，所以PF=QF 7∠ABC,LECB=∠BCD 因为四边形ABCD是矩形，AD=6,所以∠B=∠C=90°， BC AD =6. 所以∠BBC+∠BCB=(∠ABC+∠BCD)=90e 因为AP=3,所以PB=AB-AP=5. 所以∠E=90 在Bt△PBF和Rt△CQF中，根据勾股定理，得PFP=PB 所以四边形BFCE是矩形 +BF,QF2 CE CO. 能力提高7.(1)因为AE=BE=3,所以AB=AE+BE 所以52+BP=(6-BP+3识.解得BF=手 =6. 3.因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=90°. 因为DE=AB,所以DE=6. 因为∠ABP=30°，所以∠APB=90°-∠ABP=60°，BP 因为DE⊥AB,所以∠DEB=90 2AP. 又因为∠B=∠C=90°，所以四边形BCDE是矩形 在Rt△ABP中，根据勾股定理，得AB+AP=BP,即3 所以BC=DE=6,CD=BE=3. +AP2=(2AP)2 因为BF=2,所以CF=BC-BF=4 解得AP=B(负值舍去 在Rt△CDF中，根据勾股定理，得DF=√CD+CF=5. (2)因为AE=3,DE=6,BF=2,根据勾股定理，得AD= 所以BP=25. 由作图得∠PBD=∠ABP=30° AE +DE =35,AF AB +BF =210. 所以∠PDB=∠APB-∠PBD=30 因为5m=AD.FG=15,所以FG=25 所以PD=BP=25.所以5m=PD·AB=35. 在Rt△AFG中，根据勾股定理，得AG=√AF-FGC= 4.因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC,∠ABC= 25=FG. ∠BAD=90. 所以∠DAF=∠GFA=45 所以∠CED=∠ADE,∠ABE=180°-∠ABC=90° 专题 勾股定理在矩形中的应用 因为点G是DF的中点，所以AG=DF=DG 1,如图1，连接AE. 所以∠AGE=∠GAD+∠GDA=2∠ADE=2∠CED. 又因为∠AED=2∠CED,所以∠AGE=∠AED, 所以AE=AG=4 图1 在Rt△ABE中，根据勾股定理，得AB=√AE-BE= 因为四边形ABCD是矩形，所以AO=OC=OB. 6