18.1.1 平行四边形的性质-专题 构造平行四边形的四类型-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学同步测评（人教版 云南专版）

初中数学·人教八年级(YN)第27~30期 17.如图1，连接CF B 所以∠E=∠CBE.所以∠E=∠ABE. 因为AB=AC,AE⊥BC,所以BE 所以AE=AB.所以AE=CD. =CE. 6.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC,OA=OC 所以BF=CF 所以∠OAE=∠OCF,∠AE0=∠CFO. 因为∠DBC=45°，所以∠BCF= ∠AEO=∠CFO, ∠DBC=45 图1 在△AOE和△COF中 ∠OAE=∠OCF, 所以∠CFD=∠DBC+∠BCF=9O° 0A=0C. 在Rt△CDF中，根据勾股定理，得CF+DF=CD. 所以△AOE≌△COF(AAS).所以AE=CF. 所以BF2+DF=CD 能力提高7.36cm2. 18.(1)a2+62>c2.证明如下： 18.1.2平行四边形的判定 如图2，过点A作AD⊥BC于点D. 新知向导 (2)相等，(3)对角，(4)互相平分，(5)平行 设CD=x,则BD=a-x 且相等。 在Rt△ACD中，有b-x2=AD. 基础训练1.D;2.B;3.C:4.□ABCD,□AEFD. 在Rt△ABD中，有c2-(a-x)2=AD 5.BD,EF的交点为O. 所以b2-x2=c2-(a-x) 因为BD,EF互相平分，所以OE=OF,OD=OB. 整理，得a2+=c2+2ax OE OF, 因为a,b,c,x均为正数，所以a2+b2>2 在△DOE和△BOF中 ∠DOE=∠BOF OD OB, 所以△DOE≌△BOF(SAS): C x D a-x B D Y C a 所以∠ODE=∠OBF.所以AD∥BC. 图2 图3 图4 又因为AB∥CD.所以四边形ABCD为平行四边形. (2)a2+62<c2.证明如下： 能力提高6.选①.证明过程如下： 如图3，过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD,AB∥ 设CD=y,则BD=a+ CD.所以∠ABE=∠CDF 在R△ACD中，有2-y2=AD AB CD. 在Rt△ABD中，有c2-(a+y)2=AD. 在△ABE和△CDF中 ∠ABE=∠CDF, 所以b-y2=c2-(a+y)2 BE DF. 整理，得m2+2=c2-2ay 所以△ABE≌△CDF(SAS). 因为a,b.c,y均为正数，所以a2+b2<c2. 所以AE=CF,LAEB=∠CFD, (3)如图4，连接AC. 所以AE∥CF.所以四边形AECF是平行四边形. 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AC2=AD2+CD2= 选②.证明过程如下： 1002. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD,AB= 在△ABC中，有AC2+BC2=AB.所以∠ACB=90. CD.所以∠ABE=∠CDF 所以这块试验田的面积为：S-Sc=BC·AC- 因为AE∥CF.所以∠AEB=∠CFD. ∠AEB=∠CFD, 20D:40=7×240×10- -×60×80=9600(平方米). 在△ABE和△CDF中， ∠ABE=∠CDF 第十八章平行四边形 AB CD, 18.1,1平行四边形的性质 所以△ABE≌△CDF(AAS).所以AE=CF 新知向导1.平行： 又因为AE∥CF,所以四边形AECF是平行四边形 2.(1)平行且相等，(2)相等，(3)互相平分. 18.1.3三角形的中位线 基础训练1.A；2.B;3.3:4.4 新知向导平行，等于 5.因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=∠CBE 基础训练1.D；2.D:3.16:4.30°；5.24. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD,AD∥BC 6.因为D,E分别是AB,AC的中点，所以DE∥BC,DE= 初中数学·人教八年级(YN)第27~30期 因为BC=3,所以C是BE的中点 因为DE=3,所以BC=6. 因为M是BD的中点，所以C1=DE=2A很 因为CF∥BE,所以四边形BCFE是平行四边形. 因为AC⊥BC,所以∠ACB=90 所以EF=BC=6.所以DF=DE+EF=9 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=√AC+BC=5. 能力提高7.4 8.如图，延长BD交AC于点F 所以cW=名 因为AD平分∠BAC,所以∠BAD= 4.延长CE至点F,使EF=CE,连接AF,BF ∠FAD 因为E是AB的中点，所以四边形CAFB是平行四边形. 因为BD⊥AD,所以∠ADB=∠ADF 所以AC∥BF,AC=BF.所以∠CAB=∠FBA. =90°. 因为B是AD的中点，所以AB=BD, ∠BAD=∠FAD. 又因为AB=AC,所以BD=BF,∠ABC=∠ACB. 在△ABD和△AFD中， AD AD. 所以∠DBC=∠ACB+∠CAB=∠ABC+∠FBA= C∠ADB=∠ADF, ∠FBC 所以△ABD≌△AFD(ASA).所以BD=FD. BD BF. 又因为E是BC的中点，所以DE∥CF 在△DBC和△FBC中 ∠DBC=∠FBC, 所以∠BED=∠C=40. BCBC. 专题构造平行四边形的四类型 所以△DBC≌△FBC(SAS).所以CD=CF=2CE. L.连接HE,EG,GF,FH. 18.2.1.1矩形的性质 因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A=∠C,∠B= 新知向导1.直角；2.(2)直角，(3)相等：3.一半 ∠D,AB=CD,AD=BC. 基础训练1.D:2.A:3.C:4.6. 又因为BG=DH,所以AD-DH=BC-BG,即AH=CG. 5.因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=90°，B0= AH CG. 在△HAE和△CCF中，{ 28D=分1c=A0 ∠A=∠C. AE CF, 在RL△ABC中，AB=6cm,BC=8cm,根据勾股定理，得 所以△HAE≌△GCF(SAS).所以HE=GF AC =AB BC 10 cm. 因为AE=CF,所以AB-AE=CD-CF,即BE=DF 所以B0=A0=5cm. DH BG. 因为E,F分别是AB40的中点，所以EF=号B0= 在△DHF和△BGE中， ∠D=∠B. 5 DF BE, m,AE=分4B=3m,AF=40=子m 所以△DHF≌△BGE(SAS),所以HF=GE. 所以△AEF的周长为：AE+EF+AF=8cm 所以四边形EGFH是平行四边形， 能力提高6.D. 所以EF与GH互相平分. 7.(1)BP=CP.证明如下： 2.过点C作CE∥BD,交AD的延长线于点E. 因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠BCD=90 又因为BC∥AD,所以四边形BCED为平行四边形 所以∠DCF=180°-∠BCD=90° 所以DE=BC=1,CE=BD=6. 因为AC⊥BD,所以AC⊥CE.所以∠ACE=90. 因为Cc为∠DCF的平分线，所以∠FG=∠DCF=45 在Rt△ACE中，根据勾股定理，得AE=√AC+CE= 所以∠PCE=45°. 因为CG⊥AP,所以∠E=90. 3v5. 所以∠CPE=90°-∠PCE=45°.所以∠APB=45. 所以AD=AE-DE=35-1. 所以∠BAP=90°-∠APB=45°=∠APB. 3.延长BC到点E,使BE=AD,连接DE 所以AB=BP. 又因为AD∥BC,所以四边形ABED是平行四边形. 所以BE=AD=6,AB=DE. 因为AB=BC,所以CP=BC-BP=2BC夯实基础 C迎^{} 第十八章 平行四边形 18.1.1平行四边形的性质 学习摘要:掌握平行四边形的性质,认识两条平行线之间的距离. 新知向导 5.如图5,在口ABCD中,ABC的平分线交 AD的延长线于点E.求证:AF=CD 1.定义:两组对边分别 的四边形叫 作平行四边形 2.性质: (1)平行四边形的对边 (2)平行四边形的对角 图5 (3)平行四边形的对角线 3.两条平行线中,一条直线上任意一点到 另一条直线的距离,叫作这两条平行线之间的 距离. 慈基础训练 1.如图1,直线a/b,则直线a,b之间的距 ) 6.如图6.口ABCD的对角线AC与BD相交 离是 ( 于点0.过点0的直线分别交AD.BC于点E,F A.线段CD的长度 B.线段AC的长度 求证:AE=CF C.线段AB的长度 D.线段BD的长度 D B C 图6 D B C 图1 图2 2.如图2,在口ABCD中,A=132*,则乙C 的度数为 ( A.142。 B.132* C.25。 D.38 3.如图3,口ABCD的对角线AC,BD相交于 点0,AC=6,则0C的长是_. D D 能力提高 7. 如图7.口ABCD 的面积为72cm②,P为 B B 图3 图4 □ABCD内部的任意一 4.如图4,□ABCD的周长为20,边AB=6, 点,则图中阴影部分的g 则BC= !面积之和为 ___ 图7 理。 夯实基础 18. 1.2平行四边形的判定 学习摘要:掌握平行四边形的判定. 新知向导 4.如图3,在四边形 ABFD中,E.C是边BF 判定: 上的两点,若乙BAE= (1)定义; CDF AE =DF, AEB B C E (2)两组对边分别 的四边形是平 =乙F,则图中的平行四 图3 行四边形; 边形是 (3)两组。 分别相等的四边形是平 5.如图4.在四边形ABCD中,AB//CD,点 行四边形; E在边AD上,点F在边BC上,且BD.EF互相平 (4)对角线 的四边形是平行四 分.求证:四边形ABCD为平行四边形. 边形; (5)一组对边__ 的四边形是平行匹 边形. -基础训练 图4 1.如图1,点E是四边形ABCD的边BC延长 线上的一点,且AD/BC,则添加下列条件能判 定四边形ABCD为平行四边形的是 ( A. D=5 B. 3=4 C. /B=/2 D. B=乙D 能力提高 /7 6.如图5,在口ABCD中,E,F是对角线BD 上的两点,连接AE.AF.CE.CF.在①BE=DF. ②AE/CF中任选一个作为补充条件,使得四边 图1 图2 形AECF为平行四边形,并完成证明过程 2.如图2.小明以△ABC的两边AB和BC为 邻边,用尺规作一个平行四边形ABCD.小明的 做法是:先用尺规作AC的垂直平分线,垂足为 0;过点B.0作射线BE,在射线OE上截取0D= D 0B:连接AD.CD.在小明的作法中,可直接判定 图5 四边形ABCD为平行四边形的条件是 ( A.两组对边分别平行 B.对角线互相平分 C.两组对边分别相等 D.一组对边平行且相等 3.在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC A+乙C=90*,则乙D的度数为 ( A.45。 B.90。 C. 135。 D.无法确定 夯实基础 C理^{} 18.1.3三角形的中位线 学习摘要:掌握三角形的中位线定理 新知向导 6.如图6.点D.E分别是△ABC的边AB,AC 的中点,连接BE,过点C作CF/BE,交DE的延 三角形的中位线定理:三角形的中位线; 长线于点F.若DE =3,求DF的长 于三角形的第三边,并且 第三 边的一半. 基础训练 1.如图1,为测量位于一水塘旁的两点A.B 间的距离,在地面上确定点0.分别取0A,0B的 图6 中点C.D.量得CD=20m,则A.B之间的距离 是 。 A.5m B.10m C.20m D.40m 能力提高 7. 如图7,在四边形 ABCD中,乙ADC=140*. E.F分别是AB,AD的中 图1 图2 点,且乙AFE=50*}若BC 2.如图2.在△ABC中,2A=60{*,/B=$ # =10.CD =6.则EF = 图7 40°.点D.E分别是边AB,AC的中点,则乙AED 的度数是 ( 8.如图8,在△ABC中,/C=40*,AD平分 A.50。 B.600 C.700 D.80* 之BAC,BD1AD于点D.E是BC的中点,连接 3.如图3.平行四边形ABCD的对角线AC. DE,求乙BED的度数 BD相交于点0,点E是AD的中点,若0A=1. AAOE的周长为5,则平行四边形ABCD的周长 是 E 图8 图3 4.如图4,在△ABC中,点D.E,F分别是 AB.AC,BC的中点,且 EF=CD.乙A =30*,则$ /1的度数是 . 5. 如图5,已知EF是 △ABC的中位线,△CEF的 面积为6,则△ABC的面积为 图5 。 专题训练 )专题: 类型利用一组对边平行且相等 3.如图3.在四边形ABCD中.AC1BC,AD 构造平行四边形的四类型 / BC,BC=3.AC=4AD=6.M是BD的中点 利用两组对边分别相等 类型 求CM的长 [解题思路:构造如图3的口ABED] 1.如图1.在平行四边形ABCD中,E.G.F.H 分别是四条边上的点,且AE=CF,BG=DH.求 D 证:EF与GH互相平分: [解题思路:构造如图1的口EGFH #心 E 图3 H E B 图1 类型4利用对角线互相平分 类型2 利用两组对边分别平行 2.如图2.在四边形ABCD中,BC/AD,AC 4.如图4.已知AB=AC,B是AD的中点,E 1 BD$AC=3.BD =6.BC=1.求AD的长$$ 是AB的中点:求证:CD=2CE [解题思路;构造如图2的口BCED [解题思路:构造如图4的口CAFB] D E: ................................. 图2 图4