6.3 二项式定理（单元教学设计）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3 二项式定理（单元教学设计） 一、【单元目标】 （1）能用计数原理证明二项式定理． （2）掌握二项式定理及其展开式的通项公式． （3）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． （4）1．理解二项式系数的性质并灵活运用． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 本节课面对的学生已经具备了一定的数学基础，他们掌握了多项式乘法法则，对排列组合知识也有所了解，并具备一定的归纳推理、分析问题、转化问题的能力．然而，二项式定理对于他们来说是一个新的知识点，其中的二项式系数和展开式的结构特点可能需要一些时间去理解和消化．部分学生可能在区分二项式系数和某一项的系数上存在困难，或者在应用二项式定理解决实际问题时感到迷茫．因此，在教学过程中，需要注重引导，通过例题和练习帮助学生逐步掌握和应用二项式定理． 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约2课时 教学重点：（1）用多项式运算法则和计数原理推导出二项式定理，并会用它解决有关的简单问题； （2）二项展开式的通项及应用． 教学难点：用计数原理推导二项式定理；二项展开式的通项及应用． 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 情景：英国科学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton，1643－1727）被誉为人类历史上最伟大的科学家之一．他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家．1664年冬，由于瘟疫流行迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立了二项式定理．那么，牛顿是如何思考的呢？ 环节二、抽象概念，内涵辨析 1．二项式定理的正用与逆用 问题1：在初中，我们用多项式乘法法则得到了的展开式：．如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程呢? 【破解方法】从上述过程可以看到，是2个相乘，根据多项式乘法法则，每个在相乘时有两种选择，选或选，而且每个中的或都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有项，而且每一项都是的形式．而且相当于从2个中取个的组合数． 问题2：你能写出的展开式吗?为了能快速写出的展开式，你觉得应该做怎样的探究? 【破解方法】从两个熟知的二项展开式和出发，通过较难展开的二项式来设置悬疑，激发学生的探究欲望．通过教师讲解，指明探究的思想方法，并且强调用一般性的眼光看待具体实例，以增强发现运算规律的可能性． 【归纳新知】 （1）定义 一般地，对于任意正整数，都有： 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数 （2）二项式的展开式的特点： ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为； （3）二项展开式的通顶公式 二项展开式的通项： 公式特点： ①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； ②字母的次数和组合数的上标相同； 2．二顶式系数及其性质 问题3：根据二项式定理写出的展开式的二项式系数．可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？ 【破解方法】1，7，21，35，35，21，7，1． 【归纳新知】 二顶式系数及其性质 （1）的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大． ③各二项式系数之和为，即； ④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即． 知识点诠释： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． （2）展开式中的系数求法的整数且 知识点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决． 环节三：例题练习，巩固理解 题型一：二项式定理的正用、逆用 【例1】求的展开式． 【解析】根据二项式定理， ． 【变式1-1】（1）求的展开式的前4项； （2）求的展开式的第8项； （3）求的展开式的中间一项； （4）求的展开式的中间两项． 【解析】（1）的展开式的第项为． 所以，，，． （2）的展开式的第项为 当时， （3）的展开式的第项为，展开式共有13项． 其中间一项为第7项． 当时，． （4）的展开式的第项为，展开式共有16项．其中间两项为第8、第9项． 当时， 当时， 【变式1-2】用二项式定理证明： （1）能被整除； （2）能被1000整除． 【解析】（1）， 上式中的每一项都可以被整除，故能被整除； （2） ， 上式中的每一项都可以被整除，故能被1000整除． 题型二：二项展开式的通项的应用 【例2】（1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数． 【解析】（1）的展开式的第4项是 ． 因此，展开式第4项的系数是280． （2）的展开式的通项是． 根据题意，令，． 因此，的系数是． 【变式2-1】在的展开式中，的系数是 ． 【答案】0 【解析】， 的展开式通项为， 的展开式通项为， 令，得，， 因此，的系数为． 故答案为：0． 【变式2-2】在的展开式中，含的项的系数是 ． 【答案】-15． 【解析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数， 所以含的项为． 所以展开式中，含的项的系数是-15． 题型三：二项展开式的系数和问题 【例3】求证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 【解析】证明：在展开式中， 令，，则得． 即． 因此，， 即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 【变式3-1】证明：（n是偶数）． 【解析】， 令，得， 令，得， 两式相加得， ． 【变式3-2】求证：． 【解析】左边= =1=右边． 即证． 环节四：小结提升，形成结构 问题4：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）二项式定理的内容是什么？从完成一件事情的角度来看展开式中有多少个 ？ （2）二项展开式中哪一项是通项？如何表示？它有什么意义？ （3）分析二项展开式的结构，其中项数、指数、二项式系数有什么规律？ 【破解方法】进一步反思巩固所学知识， 感悟数学思想与方法的作用， 厘清知识之间的联系与区别， 培养归纳概括的能力． 六、【教学成果自我检测】 环节五：目标检测，检验效果 1．的展开式中含的项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的展开式通项为， 令，可得，所以展开式中含的项的系数是． 故选：D． 2．在的展开式中，含的项的系数是（    ） A．74 B．121 C． D． 【答案】D 【解析】因为在， 所以含的项为：， 所以含的项的系数是的系数是， ， 故选：D 3．写出的展开式． 【解析】 4．求的展开式的第3项． 【解析】的展开式的第项为 当时， 5．写出的展开式的第项． 【解析】根据二项式展开式的通项公式可知， ， 即展开式的第项为 6．写出n从1到10的二项式系数表． 【解析】n从1到10的二项式系数表： 7．若一个集合含有n个元素，则这个集合共有多少个子集？ 【解析】对于集合中的任意一个元素，它与子集的关系都有且仅有两种选择：“属于”与“不属于”，由分布乘法计数原理，集合中的n个元素在子集中的情况共有种，故这个集合共有个子集． 8．用二项式定理展开： （1）； （2）． 【解析】（1） （2） ． 【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容． 环节六：布置作业，应用迁移 作业：教科书第34页习题6．3第1、3、4、8、9题． 【设计意图】巩固本节课的知识点． 七、【教学反思】 本节课的教学过程中，我深感学生对二项式定理的理解和应用存在一定的挑战．尽管学生们已经掌握了多项式乘法法则和排列组合知识，但在实际运用二项式定理时，部分学生仍然显得力不从心． 我意识到，在教学过程中，我可能过于注重定理的推导和证明，而忽略了学生对定理本身的理解和记忆．同时，对于二项式系数和某一项系数的区分，以及如何利用二项式定理解决实际问题，我也没有给予足够的讲解和示例． 因此，在未来的教学中，我将更加注重定理的直观解释和实际应用，通过更多的例题和练习，帮助学生加深对二项式定理的理解和掌握．同时，我也会更加关注学生的反馈，及时调整教学策略，以更好地满足学生的学习需求． 9 / 9 京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$