第1章 直角三角形 专题演练+综合训练-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学同步课堂（湘教版）

书 直角三角形的两个锐角互余 １．直角三角形的一个锐角是７０°，则另一个 锐角的度数是 （　　） Ａ．４０° Ｂ．３０° Ｃ．２０° Ｄ．１０° ２．在△ＡＢＣ中，已知∠Ａ＝６８°，∠Ｂ＝２２°， 则△ＡＢＣ是 （　　） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．无法确定 ３．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝２∠Ｂ，则 ∠Ｂ的度数是 ． ４．如图１，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ＡＣ，ＣＤ⊥ ＡＢ于点 Ｄ．若 ∠ＡＣＤ ＝４０°，则 ∠ＢＣＤ ＝ ． ５．如图２，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ边延长线上 的一点，ＤＦ⊥ＡＢ于点Ｆ，交ＡＣ于点Ｅ．已知∠Ａ ＝３５°，∠Ｄ＝４２°，求∠ＡＣＤ的度数． ６．如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是ＢＣ边上的高， ＢＥ平分 ∠ＡＢＣ交 ＡＣ于点 Ｅ，∠ＢＡＣ ＝６０°， ∠ＡＥＢ＝９５°，求∠ＤＡＣ的度数． 直角三角形斜边上的中线 １．如图１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＢ＝ ２ｃｍ，点Ｄ为ＡＢ的中点，则ＣＤ＝ （　　） Ａ．１ｃｍ Ｂ．２ｃｍ Ｃ．３ｃｍ Ｄ．４ｃｍ ２．如图２，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的 中线．若∠Ａ＝２５°，则∠ＢＤＣ＝ （　　） Ａ．６０° Ｂ．５５° Ｃ．５０° Ｄ．４５° ３．如图３，竖直的墙体 ＡＢ上斜靠着一根木条ＭＮ， 木条的中点 Ｏ与墙角 Ｂ由 一条有弹力的绳子（图中虚 线）连接，木条沿墙体 ＡＢ 的滑落过程中出现 ＢＯ１， ＢＯ２两种情形，绳子长度分别为ａ和ｂ，则下列关 系中正确的是 （　　） Ａ．ａ＞ｂ Ｂ．ａ＝ｂ Ｃ．ａ＜ｂ Ｄ．无法确定 ４．若直角三角形斜边上的高是３，斜边上的 中线是 ６，则这个直角三角形的面积是 ． ５．如图 ４，在 △ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝ ９０°，ＣＤ⊥ ＡＢ于点 Ｄ，∠ＢＣＤ ＝２０°，Ｅ 是斜边 ＡＢ的 中 点， 则 ∠ＤＣＥ的 度 数 是 ． ６．如图 ５，在四边形 ＡＣＢＤ中，∠ＡＣＢ ＝ ∠ＡＤＢ＝９０°，Ｅ是对角线ＡＢ的中点，连接 ＣＤ， ＣＥ，ＤＥ．求证：∠ＤＣＥ＝∠ＣＤＥ． ７．如图６，在△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ，Ｅ是ＡＢ的 中点，ＤＧ垂直平分ＣＥ． （１）求证：ＣＤ＝ＢＥ； （２）若∠Ｂ＝５０°，求∠ＡＥＣ的度数． 含３０°角的直角三角形 １．如图１，在 △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝ ３０°，ＡＢ＝８，则ＢＣ＝ （　　） 槡Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．２７ ２．如图２，一棵树在一次强台风中于距离地 面２米处折断倒下，倒下部分与地面成３０°角，则 这棵树在折断前的高度为 ． ３．如图 ３，等边三角形 ＡＢＣ中，Ｄ是 ＡＢ的中点，ＤＥ ⊥ ＡＣ于点 Ｅ．已知 ＡＥ＝２ ｃｍ，则 △ＡＢＣ 的 周 长 为 ｃｍ． ４．如图４，在 △ＡＢＣ中， ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝１２０°，Ｐ是 ＢＣ上一点，且 ∠ＢＡＰ＝９０°，ＰＣ＝６ｃｍ．求ＢＰ的长． ５．如图５，在等边 △ＡＢＣ中，点 Ｄ，Ｅ分别在 ＢＣ，ＡＣ边上，连接ＤＥ，已知∠ＥＤＣ＝∠Ａ，过点 Ｅ作ＥＦ⊥ＤＥ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ．求证：点Ｃ 是线段ＤＦ的中点． ６．如图６，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝６０°，ＡＢ＝ ２０，Ｄ为ＢＣ边上一点．已知ＡＤ＝ＡＣ，ＣＤ＝１２， 求ＢＤ的长                                                                                                                                                                           ． ! ! " # $ ! ! ! # " % $ ! " ! " # $ ! ! $ ! # " ! # ! " & " ' ( ) $ * $ * % ! & $! % # " ! ' # " % $ ! ! ( ! # " + % $ ! $ " ! % ")! ! $ ! ," $ ! & - !# " % $ ! ' #! " % - $ ! $ ! " # $ ! " % ! ( !# " $ !"# ! $ ! % !"#$%#& '()*+,*+-. 书 勾股定理 １．如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°．若ＡＣ＝ １，ＢＣ＝２，则ＡＢ的长是 （　　） 槡 槡 槡Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．２ Ｄ．５ ２．勾股定理是中国几何的根源，中华数学的 精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生 与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切的关 系．如图２，△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°．若ＡＢ＝２， ＢＣ＝３，则正方形ＡＣＤＥ的面积是 （　　） 槡Ａ．４ Ｂ． １３ Ｃ．１３ Ｄ．１６ ３．把直角三角形两直角边同时扩大到原来 的２倍，则斜边扩大到原来的 （　　） Ａ．２倍 Ｂ．３倍 Ｃ．４倍 Ｄ．５倍 ４．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，斜边 ＢＣ＝１０，则 ＢＣ２＋ ＡＢ２＋ＡＣ２ ＝ ． ５．如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ⊥ＡＣ，垂足为点 Ａ，ＢＤ是ＡＣ边上的中线．若ＡＢ＝５ｃｍ，ＡＤ＝６ ｃｍ，则ＢＣ的长是 ． ６．如图４，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ为 ＡＢ边上的高，ＣＥ为ＡＢ边上的中线，ＡＤ＝２，ＣＥ ＝５，则ＣＤ的长是 ． ７．如图５，四边形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ ＝９０°，ＡＤ＝７，ＤＣ＝２４，ＢＣ＝１５． （１）求ＡＢ的长； （２）求四边形ＡＢＣＤ的面积． 勾股定理的验证及应用 １．如图１，一只电子蚂蚁从正 方体的顶点Ａ处沿着表面爬到顶 点Ｃ处，电子蚂蚁的部分爬行路线 在平面展开图中的表示如选项中 的虚线，其中能说明爬行路线最短的是 （　　） ２．如图２，一根长为５ｍ的竹竿ＡＢ斜靠在竖 直的墙壁上，竹竿底端Ｂ离墙壁距离３ｍ，则该竹 竿的顶端Ａ离地竖直高度为 （　　） 槡Ａ．２ｍ Ｂ．３ｍ Ｃ．４ｍ Ｄ．３ｍ ３．如图３所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面 积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄 傲．该图是由四个全等的直角三角形和一个小正 方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直 角边长为ａ，较短直角边长为ｂ．若ａｂ＝１０，大正 方形的面积为２５，则小正方形的边长为 （　　） 槡 槡Ａ．３ Ｂ．２ Ｃ．５ Ｄ．３ ４．如图４，将一根长１２厘米的筷子置于底面 直径为６厘米，高为８厘米的圆柱形杯子中，则筷 子露在杯子外面的长度至少为 厘米． ５．如图５是一个台阶的示意图，每一层台阶 的高是２０ｃｍ，长是５０ｃｍ，宽是４０ｃｍ，一只蚂蚁 沿台阶从点Ａ出发爬到点Ｂ，其爬行的最短线路 的长度是 ． ６．已知圆柱底面圆的周 长为８ｃｍ，ＣＤ，ＡＢ分别是上、 下底面的直径，高 ＢＣ ＝ ６ｃｍ，用一条无弹性的丝带从 Ａ至Ｃ按如图６所示的圈数缠 绕，则丝带的最短长度为 ｃｍ． ７．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且 巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵 感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如 图７摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图７证明勾股定理的过程：将两 个全等的直角三角形按如图 ７所示摆放，其中 ∠ＤＡＢ＝９０°．求证：ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２． 勾股定理的逆定理 １．下列各组数中，是勾股数的是 （　　） Ａ．１，２，槡３ Ｂ． ４ ７， ５ ７， ６ ７ Ｃ．０．３，０．４，０．５ Ｄ．３，４，５ ２．有五根小木棒，其长度分别为５，９，１２，１３， １５，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的 是 （　　） ３．已知一个三角形的三边长分别为槡２ｃｍ， 槡６ｃｍ，２ｃｍ，则这个三角形的面积为 ｃｍ ２． ４．已知ａ，ｂ，ｃ是△ＡＢＣ的三边长，ａ，ｂ满足 关系式 ａ－槡 ４＋（ｂ－３） ２ ＝０，且 ｃ＝５，则 △ＡＢＣ的最大内角是 ． ５．如图１，点Ｏ是ＢＤ的中点，∠ＢＡＤ＝９０°， ＡＯ＝２，ＣＤ＝３，ＢＣ＝槡７，△ＢＣＤ是直角三角形 吗？请说明理由． ６．政府计划将如图２所示的四边形闲置地 修建成市民休闲区．已知ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＢ＝８０ｍ， ＡＤ＝２４０ｍ，ＢＣ＝６０ｍ，ＣＤ＝２６０ｍ．政府计划 投入１００万元进行打造，预计每平方米的费用为 １００元．通过计算说明政府投入的费用是否够 用                                                                                                                                                                           ． ! ! " # ! ! ! $ % & ' ! " ! $ % & ! # $'% & ! ! $ ! % & $ ! % & ! ! ! & ' ( ) & ! & ! & ! & ! ! # !$ & ! " ! $ ( ! % %* "* $* & # ! + # & ! % ) * + ) + * $ ! ' % " ! , & ' ( ) ! % " $ !" % !% - !# ! % " $ !" % !% - !# % !% - !# !" % !% - !# ! % " $ ! % " $ !" $ ! , " % ! ! ! " ! $ % " !"# ! $ ! % !"#$%#& '()*+,*+-. 书 直角三角形全等的判定 １．如图 １，ＡＤ⊥ ＢＣ，且 ＡＢ＝ＡＣ，则判定 △ＡＢＤ≌△ＡＣＤ的最好理由是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ＡＳＡ Ｂ．ＳＡＳ Ｃ．ＳＳＳ Ｄ．ＨＬ ２．如图２，∠Ｃ＝∠Ｆ＝９０°，要用“ＨＬ”判断 Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△ＤＥＦ全等的条件是 （　　） Ａ．ＡＣ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＥＦ Ｂ．ＡＣ＝ＤＦ，ＡＢ＝ＤＥ Ｃ．∠Ａ＝∠Ｄ，ＡＢ＝ＤＥ Ｄ．∠Ｂ＝∠Ｅ，ＢＣ＝ＥＦ ３．如图３，ＡＣ⊥ＢＣ于点Ｃ，ＢＤ⊥ＡＤ于点Ｄ， 要根据“ＨＬ”直接证明 Ｒｔ△ＡＢＣ与 Ｒｔ△ＢＡＤ全 等，则还需要添加一个条件是 （　　） Ａ．∠ＣＡＢ＝∠ＤＢＡ Ｂ．ＡＢ＝ＢＤ Ｃ．∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＤ Ｄ．ＢＣ＝ＡＤ ４．如图４，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ，ＡＦ⊥ＢＣ于点 Ｆ，则图中全等的直角三角形有 对． ５．如图５，ＭＮ∥ＰＱ，ＡＢ⊥ＰＱ，点Ａ，Ｄ在直 线ＭＮ上，点Ｂ，Ｃ在直线ＰＱ上，点Ｅ在ＡＢ上．若 ＡＤ＋ＢＣ＝７，ＡＤ ＝ＢＥ，ＤＥ＝ＥＣ，则 ＡＢ＝ ． ６．如图６，ＡＥ⊥ＡＢ，ＢＣ⊥ＡＢ，ＥＡ＝ＡＢ，Ｄ为 ＡＢ上一点，连接 ＥＤ，ＡＣ相交于点 Ｆ，ＥＤ＝ＡＣ， 求证：Ｒｔ△ＥＡＤ≌Ｒｔ△ＡＢＣ． ７．如图７，已知ＡＢ＝ＡＣ，且ＤＣ⊥ＡＣ，ＤＢ⊥ ＡＢ，求证：∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ． 角平分线的性质 １．如图１，ＡＤ是∠ＢＡＣ 的平分线，点 Ｐ在 ＡＤ上， ＰＭ⊥ＡＢ于点Ｍ，ＰＭ＝３， 则点Ｐ到ＡＣ的距离是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ２．三角形中到三条边距离相等的点是 （　　） Ａ．三条边的垂直平分线的交点 Ｂ．三条中线的交点 Ｃ．三条高的交点 Ｄ．三条角平分线的交点 ３．如图２，用直尺和圆规作∠ＡＯＢ的角平分 线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是 （　　） Ａ．ＯＭ ＝ＯＮ Ｂ．ＣＭ ＝ＣＮ Ｃ．ＯＭ＝ＣＭ Ｄ．∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ ４．如图 ３，在 △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，ＡＢ＝１０，ＣＤ＝３，则△ＡＢＤ 的面积是 （　　） Ａ．３０ Ｂ．１８ Ｃ．１５ Ｄ．９ ５．如图４，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝９０°，ＡＤ平分∠ＣＡＢ，点Ｄ到ＡＢ 的距离ＤＥ＝１ｃｍ，ＢＥ＝槡３ｃｍ， 则ＢＣ等于 （　　） Ａ．１ｃｍ Ｂ．２ｃｍ Ｃ．３ｃｍ Ｄ．（槡３＋１）ｃｍ ６．在５×５的正方形网格中，∠ＡＯＢ的位置 如图 ５所示，则到两边的距离相等的点应是 ．（选填“Ｃ”或“Ｄ”） ７．如图６，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＤ平 分∠ＡＢＣ，若ＡＣ＝５，ＡＤ＝３，则点Ｄ到ＡＢ的距 离是 ． ８．用尺规作图法作∠ＡＯＢ的角平分线．（注 意要求：不写作法，但是必须保留直尺和圆规的 作图痕迹和所求作的结论） 已知：如图７∠ＡＯＢ，求作：∠ＡＯＢ的角平分线． ９．如图８，ＯＭ平分∠ＰＯＱ，ＭＡ⊥ＯＰ，ＭＢ⊥ ＯＱ，Ａ，Ｂ为垂足，ＡＢ交 ＯＭ于点 Ｎ．求证：ＯＡ＝ ＯＢ． １０．如图９，在 △ＡＢＣ中，ＡＤ是它的角平分 线，Ｐ是ＡＤ的延长线上一点，ＰＥ∥ＡＢ交ＢＣ于 点Ｅ，ＰＦ∥ＡＣ交ＢＣ于点Ｆ．求证：点Ｄ到ＰＥ和 ＰＦ的距离相等                                                                                                                                                                           ． ! " # $% & ' ( ) ! ! ' ( % * ! + ! " ! ' ( * # ! " '* # ,& ( ! # * # '( ! $ '& , ( * # ! % *( # ' , & ! & ! ' * ( # ' * " - ' # ! ! ( * ( ' # - ! ! ! & * # ( ' ! ' * - # ! ) % # - ! " * ) # * '( ! $ ' & % ( , # * ! * !"# ! $ ! % !"#$%#& '()*+,*+-. ! % # ' ( & * 书 　　　　　 　　　　　 　　　　　一、选择题 １．在 △ＡＢＣ中，∠Ａ＝２０°，∠Ｂ＝９０°，则 ∠Ｃ为 （　　） Ａ．４０° Ｂ．５０° Ｃ．６０° Ｄ．７０° ２．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能 组成直角三角形的是 （　　） Ａ．２，３，４ Ｂ．３，４，５ Ｃ．４，５，６ Ｄ．６，７，８ ３．如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝４， ＢＣ＝３，以 ＡＢ为边作正方形 ＡＢＤＥ，则正方形 ＡＢＤＥ的面积为 （　　） Ａ．５ Ｂ．９ Ｃ．１６ Ｄ．２５ ４．如图 ２，△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ｂ＝ ５５°，点Ｄ是斜边ＡＢ的中点，那么∠ＡＣＤ的度数 为 （　　） Ａ．１５° Ｂ．２５° Ｃ．３５° Ｄ．４５° ５．如图３是某车库出入口的栏杆，栏杆 ＡＢ 绕点Ｃ旋转，记旋转角 ∠Ｂ′ＣＢ＝α（０°＜α＜ ９０°）．若ＢＣ＝３ｍ，α＝３０°，则栏杆Ｂ端从栏杆 水平位置上升的垂直距离Ｂ′Ｄ为 （　　） Ａ．３２ 槡ｍ Ｂ．３ｍ Ｃ．槡３２２ ｍ Ｄ． 槡３３ ２ ｍ ６．如图４，ＡＢ＝ＤＣ，ＡＥ⊥ＢＣ，ＤＦ⊥ＢＣ，垂 足分别为点Ｅ，Ｆ，ＣＥ＝ＢＦ，下列结论不一定正 确的是 （　　） Ａ．∠Ｃ＝∠Ｂ Ｂ．ＤＦ∥ＡＥ Ｃ．∠Ａ＋∠Ｄ＝９０° Ｄ．ＣＦ＝ＢＥ ７．如图５，∠ＡＯＢ＝３０°，Ｐ是∠ＡＯＢ的角平 分线上的一点，ＰＭ⊥ＯＢ于点Ｍ，ＰＮ∥ＯＢ交ＯＡ 于点Ｎ，若ＰＭ ＝２，则ＰＮ的长为 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．３．５ Ｄ．４ 二、填空题 ８．如图６，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｃ＝２，则 ａ２＋ｂ２＋ｃ２ ＝ ． ９．如图７，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是高，Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ，ＡＣ的中点，且 ＡＢ＝７，ＡＣ＝５，则四边形 ＡＥＤＦ的周长为 ． １０．如图８，在 △ＡＢＣ中，∠Ａ＝７３°，∠Ｃ＝ ４７°，点Ｄ是ＡＣ上一点，连接ＢＤ，ＤＥ⊥ＡＢ于点 Ｅ，ＤＦ⊥ＢＣ于点Ｆ．若ＤＥ＝ＤＦ，则∠ＤＢＦ的度 数为 ． １１．如图９，在 △ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ａ ＝３０°，ＣＤ⊥ ＡＢ于点 Ｄ，ＡＢ＝４ｃｍ，则 ＢＤ＝ ． 三、解答题 １２．如图１０所示，ＡＤ是 △ＡＢＣ的中线，ＤＦ ⊥ＡＣ，ＤＥ⊥ＡＢ，垂足分别为Ｆ，Ｅ，ＢＥ＝ＣＦ．求 证：Ｒｔ△ＣＤＦ≌Ｒｔ△ＢＤＥ． １３．如图１１，点Ｃ为Ｒｔ△ＡＢＥ的直角边ＡＥ延 长线上的一点，点Ｄ为边ＡＢ上一点，ＤＣ交ＢＥ于 点Ｆ．已知∠ＡＤＣ＝８０°，∠Ｂ＝３５°，求∠Ｃ的度 数． １４．如图１２，ＡＤ是 △ＡＢＣ的高线，且 ＢＤ＝ １ ２ＡＣ，Ｅ是ＡＣ的中点，连接ＢＥ，取ＢＥ的中点Ｆ， 连接ＤＦ．求证：ＤＦ⊥ＢＥ． １５．如图１３，点Ａ，Ｂ在射线ＯＭ上，点Ｃ，Ｄ在 射线ＯＮ上．已知ＡＢ＝ＣＤ，Ｓ△ＡＢＰ ＝Ｓ△ＣＤＰ，求证： 点Ｐ在∠ＭＯＮ的平分线上． １６．如图１４，在△ＡＢＣ中，点Ｄ是ＢＣ边的中 点，ＤＥ⊥ＢＣ交ＡＢ于点Ｅ，且ＢＥ２－ＥＡ２＝ＡＣ２． （１）试说明：∠Ａ＝９０°； （２）若ＡＣ＝６，ＢＤ＝５，求ＡＥ的长度                                                                                                                                                                           ． ! ! ! ! " # $ % $ ! " & ! " $ & % " ' ! ! # $( ) * + # ! $ ! % ! # , - . / ! & ! " , ' % & ! ', " & % ! ' ! ( & ! , " ! !) , % " & ! ' ! % ' , " & ! !! ) & , ! " * ( + ! !* , " % & ! ! !# ! " , % ' & ! !" , " ! &! & ,! ! * !"# ! $ ! % !"#$%#& '()*+,*+-. 书 答案详解 　　　　　　　　　　２０２４～２０２５学年　初中数学湘教八年级　第２７～３２期　　　　　　　　　　 ３版 直角三角形的两个锐角互余 １．Ｃ；　２．Ｂ；　３．３０°；　４．２５°． ５．解：因为ＤＦ⊥ＡＢ，所以∠ＢＦＤ＝９０°． 因为∠Ｄ＝４２°，所以∠Ｂ＝９０°－∠Ｄ＝４８°． 所以∠ＡＣＤ＝∠Ｂ＋∠Ａ＝８３°． ６．解：因为 ∠ＢＡＣ＝６０°，∠ＡＥＢ＝９５°，所以 ∠ＡＢＥ＝ １８０°－∠ＢＡＣ－∠ＡＥＢ＝２５°． 因为ＢＥ平分∠ＡＢＣ，所以∠ＡＢＣ＝２∠ＡＢＥ＝５０°． 所以∠Ｃ＝１８０°－∠ＡＢＣ－∠ＢＡＣ＝７０°． 因为ＡＤ是ＢＣ边上的高，所以∠ＡＤＣ＝９０°． 所以∠ＤＡＣ＝９０°－∠Ｃ＝２０°． 直角三角形斜边上的中线 １．Ａ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．１８；　５．５０°． ６．证明：因为∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＝９０°，Ｅ是ＡＢ的中点， 所以ＣＥ＝ １２ＡＢ，ＤＥ＝ １ ２ＡＢ．所以ＣＥ＝ＤＥ． 所以∠ＤＣＥ＝∠ＣＤＥ． ７．（１）证明：因为ＡＤ⊥ＢＣ，所以∠ＡＤＢ＝９０°． 因为Ｅ是ＡＢ的中点，所以ＤＥ＝ＢＥ＝ １２ＡＢ． 因为ＤＧ垂直平分ＣＥ，所以ＣＤ＝ＤＥ．所以ＣＤ＝ＢＥ． （２）解：因为ＣＤ＝ＤＥ，所以∠ＤＣＥ＝∠ＤＥＣ． 因为ＤＥ＝ＢＥ，所以∠ＥＤＢ＝∠Ｂ＝５０°．因为∠ＥＤＢ＝ ∠ＤＥＣ＋∠ＤＣＥ＝２∠ＤＣＥ＝５０°，所以∠ＤＣＥ＝２５°． 所以∠ＡＥＣ＝∠Ｂ＋∠ＤＣＥ＝７５°． 含３０°角的直角三角形 １．Ａ；　２．６米；　３．２４． ４．解：因为ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝１２０°，所以 ∠Ｂ＝∠Ｃ＝ ３０°． 因为∠ＢＡＣ＝１２０°，∠ＢＡＰ＝９０°，所以∠ＰＡＣ＝３０°． 所以∠ＰＡＣ＝∠Ｃ．所以ＰＡ＝ＰＣ＝６ｃｍ． 因为在Ｒｔ△ＡＢＰ中，∠ＢＡＰ＝９０°，∠Ｂ＝３０°， 所以ＢＰ＝２ＰＡ＝１２ｃｍ． ５．证明：因为△ＡＢＣ是等边三角形， 所以∠Ａ＝∠ＡＣＢ＝６０°，∠ＥＤＣ＝∠Ａ＝６０°． 所以△ＥＤＣ是等边三角形．所以ＤＥ＝ＤＣ． 因为 ＥＦ⊥ ＤＥ，所以 ∠ＤＥＦ＝９０°．所以 ∠Ｆ＝９０°－ ∠ＥＤＣ＝３０°．所以ＤＦ＝２ＤＥ． 因为ＤＦ＝ＤＣ＋ＣＦ，所以ＤＥ＝ＣＦ＝ＤＣ． 所以点Ｃ是线段ＤＦ的中点． ６．解：过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＣ于点Ｅ，图略．所以∠ＡＥＢ＝９０°． 因为∠ＡＢＣ＝６０°，所以∠ＢＡＥ＝９０°－∠ＡＢＣ＝３０°． 因为ＡＢ＝２０，所以ＢＥ＝ １２ＡＢ＝１０． 因为ＡＤ＝ＡＣ，ＡＥ⊥ＢＣ，所以ＤＥ＝ １２ＣＤ＝６． 所以ＢＤ＝ＢＥ－ＤＥ＝４． ４版 勾股定理 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ａ；　４．２００；　５．１３ｃｍ；　６．４． ７．解：（１）连接ＡＣ，图略． 在Ｒｔ△ＡＣＤ中，由勾股定理，得ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＤＣ槡 ２ ＝２５． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理，得ＡＢ＝ ＡＣ２－ＢＣ槡 ２ ＝２０． （２）四边形ＡＢＣＤ的面积为：Ｓ△ＡＣＤ＋Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＤ·ＤＣ＋ １ ２ＡＢ·ＢＣ＝２３４． 勾股定理的验证及应用 １．Ａ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．２；　５．１３０ｃｍ；　６．槡６５． ７．证明：连接ＤＢ，过点Ｄ作ＢＣ边上的高ＤＦ，交ＢＣ的延长 线于点Ｆ，图略，则ＤＦ＝ＥＣ＝ｂ－ａ． 因为Ｓ四边形ＡＤＣＢ ＝Ｓ△ＡＣＤ ＋Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ｂ ２＋１２ａｂ， Ｓ四边形ＡＤＣＢ ＝Ｓ△ＡＢＤ ＋Ｓ△ＢＣＤ ＝ １ ２ｃ ２＋１２ａ（ｂ－ａ）． 所以 １ ２ｂ ２＋１２ａｂ＝ １ ２ｃ ２＋１２ａ（ｂ－ａ）． 化简，得ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２． 勾股定理的逆定理 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．槡２；　４．９０°． ５．解：△ＢＣＤ是直角三角形．理由如下： 在△ＡＢＤ中，因为∠ＢＡＤ＝９０°，点Ｏ是ＢＤ的中点，ＡＯ＝ ２，所以ＢＤ＝２ＡＯ＝４． 因为ＣＤ＝３，ＢＣ＝槡７，所以ＣＤ ２＋ＢＣ２ ＝ＢＤ２． 所以△ＢＣＤ是直角三角形． ６．解：连接ＡＣ，图略． 因为ＡＢ⊥ＢＣ，所以∠ＡＢＣ＝９０                                                         °． —１— 因为ＢＣ＝６０ｍ，ＡＢ＝８０ｍ， 所以ＡＣ＝ ＢＣ２＋ＡＢ槡 ２ ＝１００ｍ．因为ＡＤ２＋ＡＣ２＝ＣＤ２， 所以△ＡＣＤ是直角三角形，且∠ＣＡＤ＝９０°． 所以四边形ＡＢＣＤ的面积为：Ｓ△ＡＣＤ－Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＡＤ－ １ ２ＢＣ·ＡＢ＝９６００（ｍ ２）． 所以所需费用为：９６００×１００＝９６（万元）． 因为９６＜１００，所以政府投入的费用够用． ５版 直角三角形全等的判定 １．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．２；　５．７． ６．证明：因为ＡＥ⊥ＡＢ，ＢＣ⊥ＡＢ， 所以∠ＥＡＤ＝∠ＡＢＣ＝９０°， 在Ｒｔ△ＥＡＤ和Ｒｔ△ＡＢＣ中， ＥＤ＝ＡＣ， ＥＡ＝ＡＢ{ ， 所以Ｒｔ△ＥＡＤ≌Ｒｔ△ＡＢＣ（ＨＬ）． ７．证明：因为ＤＣ⊥ＡＣ，ＤＢ⊥ＡＢ，所以∠Ｃ＝∠Ｂ＝９０°， 在Ｒｔ△ＡＢＤ和Ｒｔ△ＡＣＤ中， ＡＤ＝ＡＤ， ＡＢ＝ＡＣ{ ， 所以Ｒｔ△ＡＢＤ≌Ｒｔ△ＡＣＤ（ＨＬ），所以∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ． 角平分线的性质 １．Ｃ；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．Ｃ；　５．Ｃ；　６．Ｃ；　７．２． ８．图略． ９．证明：因为ＯＭ平分∠ＰＯＱ，ＭＡ⊥ＯＰ，ＭＢ⊥ＯＱ， 所以ＡＭ ＝ＢＭ， 在Ｒｔ△ＡＯＭ和Ｒｔ△ＢＯＭ中， ＯＭ ＝ＯＭ， ＡＭ ＝ＢＭ{ ， 所以Ｒｔ△ＡＯＭ≌Ｒｔ△ＢＯＭ（ＨＬ），所以ＯＡ＝ＯＢ． １０．证明：因为ＰＥ∥ＡＢ，ＰＦ∥ＡＣ， 所以∠ＤＰＥ＝∠ＢＡＤ，∠ＤＰＦ＝∠ＣＡＤ． 因为ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线， 所以∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ．所以∠ＤＰＥ＝∠ＤＰＦ． 所以点Ｄ到ＰＥ和ＰＦ的距离相等． ６版 第１章 直角三角形 综合训练 一、选择题 １．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．Ｃ；　５．Ａ；　６．Ｃ；　７．Ｄ． 二、填空题 ８．８；　９．１２；　１０．３０°；　１１．１ｃｍ． 三、解答题 １２．证明：因为ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，所以ＣＤ＝ＢＤ， 因为ＤＦ⊥ＡＣ，ＤＥ⊥ＡＢ，所以∠ＣＦＤ＝∠ＢＥＤ＝９０°， 因为ＢＥ＝ＣＦ，所以Ｒｔ△ＣＤＦ≌Ｒｔ△ＢＤＥ（ＨＬ）． １３．解：因为∠Ｂ＝３５°，∠ＡＥＢ＝９０°， 所以∠Ａ＝９０°－∠Ｂ＝５５°． 因为∠ＡＤＣ＝８０°， 所以∠Ｃ＝１８０°－∠Ａ－∠ＡＤＣ＝４５°． １４．证明：连接ＤＥ，图略． 因为ＡＤ是△ＡＢＣ的高线，所以∠ＡＤＣ＝９０°． 因为Ｅ是ＡＣ的中点，所以ＤＥ＝ １２ＡＣ． 因为ＢＤ＝ １２ＡＣ，所以ＤＥ＝ＢＤ． 又因为Ｆ是ＢＥ的中点，所以ＤＦ⊥ＢＥ． １５．证明：过点Ｐ作ＰＥ⊥ＯＭ于点Ｅ，ＰＦ⊥ＯＮ于点Ｆ，图略． 因为Ｓ△ＡＢＰ ＝Ｓ△ＣＤＰ，所以 １ ２ＡＢ·ＰＥ＝ １ ２ＣＤ·ＰＦ． 因为ＡＢ＝ＣＤ，所以ＰＥ＝ＰＦ． 所以点Ｐ在∠ＭＯＮ的平分线上． １６．解：（１）连接ＣＥ，图略． 因为Ｄ是ＢＣ的中点，ＤＥ⊥ＢＣ，所以ＣＥ＝ＢＥ． 因为ＢＥ２－ＥＡ２ ＝ＡＣ２，所以ＣＥ２－ＥＡ２ ＝ＡＣ２． 所以ＥＡ２＋ＡＣ２ ＝ＣＥ２． 所以△ＡＣＥ是直角三角形，且∠Ａ＝９０°． （２）因为Ｄ是ＢＣ的中点，ＢＤ＝５，所以ＢＣ＝２ＢＤ＝１０． 因为∠Ａ＝９０°，ＡＣ＝６，所以ＡＢ＝ ＢＣ２－ＡＣ槡 ２ ＝８． 在Ｒｔ△ＡＥＣ中，ＡＥ２＋ＡＣ２ ＝ＣＥ２． 因为ＣＥ＝ＢＥ，所以ＡＥ２＋６２＝（８－ＡＥ）２．解得ＡＥ＝７４． ７版 多边形的认识 １．Ｃ；　２．Ｄ；　３．６ａ＋５ｂ． ４．解：根据题意可知，这个七边形从一个顶点出发的对角 线有４条，这些对角线将这个七边形分成了５个三角形， 所以ｘ＝５，ｙ＝４，所以ｘ－ｘｙ＝５－５×４＝－１５． 多边形的内角和 １．Ｃ；　２．Ｃ；　３．五． ４．解：由图可知７０°＋ｘ°＋（ｘ－１０）°＋ｘ°＋（ｘ＋２０）°＝ （５－２）×１８０°，所以ｘ＝１１５． 多边形的外角和 １．Ａ；　２．Ｂ；　３．六． ４．解：因为一个ｎ边形的每一个内角都等于１５０°， 所以ｎ边形的每一个外角都等于３０°， 所以ｎ＝３６０°３０°＝１２． ５．解：设这个正多边形的一个外角的度数为ｘ°． 根据题意，得ｘ＋３２ｘ＝１８０．解得ｘ＝７２． 所以这个正多边形的边数为：３６０°÷７２°＝５． 平行四边形的性质 １．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ｄ；　４．１２５°；　５．８． ６．解：因为ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１０，ＡＤ＝８，ＡＣ⊥ＢＣ， 所以ＢＣ＝８，则ＡＣ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２ ＝６， 所以ＡＯ＝ＣＯ＝３                                                                      ． —２—