第33期 17.4 反比例函数-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（华东师大版）

书 （上接４版参考答案） １４．（１）将点Ａ（－１， ２）代入ｙ＝ｋｘ，得－ｋ＝ ２．解得ｋ＝－２．所以该 正比例函数的表达式为 ｙ＝－２ｘ． （２）将点Ｂ（ｍ，ｍ＋ ３）代入ｙ＝－２ｘ，得－２ｍ ＝ｍ＋３．解得ｍ＝－１． （３）当 ｘ＝－ ３２ 时，ｙ＝－２×（－３２）＝ ３≠１．所以点Ｐ不在这 个函数的图象上． １５．（１）把（３，－３）， （０，１）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 得 ３ｋ＋ｂ＝－３， ｂ＝１{ ． 解得 ｋ＝－４３， ｂ＝１ { ． 所以直线 ｌ 的函数表达式为 ｙ＝ －４３ｘ＋１． （２）≤ ３４． （３）设原点到直线 ｌ的距离为ｈ．因为ＯＡ＝ ３ ４，ＯＢ＝１，所以ＡＢ＝ ＯＡ２＋ＯＢ槡 ２ ＝ ５４．所 以Ｓ△ＡＯＢ ＝ １ ２ＡＢ·ｈ＝ １ ２ＯＡ·ＯＢ，即 １ ２× ５ ４ｈ ＝ １２ × ３ ４ ×１．解得 ｈ ＝ ３５，即原点到直线 ｌ 的距离为 ３ ５． １６．（１）设ｙ１关于ｘ 的函数表达式为 ｙ１ ＝ ａｘ．将点（１０，６００）代入， 得１０ａ＝６００．解得ａ＝ ６０．所以ｙ１关于ｘ的函数 表达式为ｙ１＝６０ｘ（０≤ｘ ≤１０）．设ｙ２关于ｘ的函 数表达式为ｙ２＝ｋｘ＋ｂ． 将点（０，６００），（６，０）代 入，得 ｂ＝６００， ６ｋ＋ｂ＝０{ ．解得 ｋ＝－１００， ｂ＝６００{ ．所以ｙ２关于 ｘ的函数表达式为ｙ２ ＝ －１００ｘ＋６００（０≤ ｘ≤ ６）． （２）当两车相遇时， ｙ１ ＝ｙ２，即６０ｘ＝－１００ｘ ＋６００．解得ｘ＝１５４．所以 （下转２，３版中缝） !"#$ !"#$%&' !"#$%&'( !")%*+,-./01 !")%23456789': ;<=>?@AB >CDEFG HIJKLMABNOD!" #$%&'&'(P)Q RSTOD*+,*&- !"#$%&'( ) *+%&,-./01' &./+,/*'+*-0 *+23,-./01' &./+,/1'+!"# 书 如图，在平面直角坐标 系中，长方形ＡＢＣＤ的四条边 分别与坐标轴交于点 Ｅ，Ｆ， Ｇ，Ｈ，ＡＤ∥ ｘ轴，四边形 ＡＦＯＥ与四边形 ＣＨＯＧ的面 积分别为２，３，点Ｂ，Ｄ分别在 反比例函数ｙ＝１ｘ（ｘ＜０），ｙ＝ ｋ ｘ（ｘ＞０，ｋ＞０）的 图象上，则ｋ的值为 （　　） Ａ．５２　　　　Ｂ．３　　　　Ｃ．４　　　　Ｄ．６ 书 一、商品销售问题 例１　为了筹款支持希望工程，某“爱心”小组决定 利用暑假销售一批进价为１０元的小商品，为寻求合适的 销售价格，他们进行了试销，试销情况如下表： 第１天 第２天 第３天 第４天 … 单价ｘ（元） ２０ ３０ ４０ ５０ … 日销量ｙ（个） ３０ ２０ １５ １２ … （１）若ｙ是ｘ的反比例函数，请求出这个函数关系式； （２）若该小组计划每天的销售利润为４５０元，则其 单价应为多少元？ 分析：（１）由表中数据得到ｘ与ｙ的乘积不变，可判 断ｙ与ｘ之间的关系为反比例函数关系；（２）利用每件利 润乘销售量得到总利润，得到（ｘ－１０）ｙ＝４５０，然后消去 ｙ得到关于ｘ的分式方程，再解分式方程即可． 解：（１）由表中数据，得ｘｙ＝６００． 所以ｙ＝６００ｘ． （２）由题意，得（ｘ－１０）ｙ＝４５０． 把ｙ＝６００ｘ代入，得（ｘ－１０） ６００ ｘ ＝４５０． 解得ｘ＝４０． 经检验，ｘ＝４０是原方程的根，且符合题意． 答：若该小组计划每天的销售利润为４５０元，则其单 价应为４０元． 二、家用电器问题 例２　家用电灭蚊器的发热 部分使用了ＰＴＣ发热材料，它的 电阻Ｒ（ｋΩ）随温度ｔ（℃）（在一 定范围内）变化的大致图象如右 图所示．通电后，发热材料的温 度在由室温１０℃上升到３０℃的过程中，电阻与温度成 反比例关系，且在温度达到３０℃ 时，电阻下降到最小 值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升１℃，电阻 增加 ４ １５ｋΩ． （１）求Ｒ和ｔ之间的关系式； （２）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围 内时，发热材料的电阻不超过４ｋΩ？ 分析：（１）当１０≤ｔ≤３０时，设关系式为Ｒ＝ｋｔ，将 （１０，６）代入求ｋ，再将ｔ＝３０代入关系式中求 Ｒ′，由题 意，得ｔ＞３０时，Ｒ＝Ｒ′＋４１５（ｔ－３０）；（２）将Ｒ＝４分 别代入（１）所求的两个关系式，求出ｔ即可． 解：（１）因为温度在由室温１０℃上升到３０℃的过 程中，电阻与温度成反比例关系， 所以当１０≤ｔ≤３０时，设关系式为Ｒ＝ ｋｔ． 将（１０，６）代入上式，得６＝ ｋ１０．解得ｋ＝６０． 所以当１０≤ｔ≤３０时，Ｒ＝６０ｔ． 将ｔ＝３０代入上式，得Ｒ＝６０３０＝２． 所以温度在３０℃时，电阻Ｒ＝２ｋΩ． 因为在温度达到３０℃时，电阻下降到最小值；随后电 阻随温度升高而增加，温度每上升１℃，电阻增加４１５ｋΩ， 所以当ｔ＞３０时，Ｒ＝２＋４１５（ｔ－３０）＝ ４ １５ｔ－６． 故Ｒ和ｔ之间的关系式为Ｒ＝ ６０ ｔ（１０≤ｔ≤３０）， ４ １５ｔ－６（ｔ＞３０） { ． （２）把Ｒ＝４代入Ｒ＝ ４１５ｔ－６，得ｔ＝３７．５． 把Ｒ＝４代入Ｒ＝６０ｔ，得ｔ＝１５． 所以温度在１５℃ ～３７．５℃时，发热材料的电阻不 超过４ｋΩ． 书 双曲线是中心对称图形， 对称中心是坐标原点；双曲线 又是轴对称图形，对称轴为直 线ｙ＝ｘ或ｙ＝－ｘ，有些与反 比例函数图象有关的试题，若 能灵活运用其对称性，则能快 速地解答问题． 第一类：利用中心对称性 解答 例１　反比例函数ｙ＝ｋｘ 和正比例函数ｙ＝ｍｘ的图象如 图１所示，由此可以得到方程 ｋ ｘ ＝ｍｘ的实数根为 （　　） Ａ．ｘ＝－２　　　　　　Ｂ．ｘ＝１ Ｃ．ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝－２ Ｄ．ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－２ 分析：由反比例函数ｙ＝ ｋｘ和正比例函数ｙ＝ｍｘ 相交于点Ａ（－２，１），根据中心对称性可得另一个交点 为（２，－１），继而求得答案． 解：因为反比例函数ｙ＝ ｋｘ和正比例函数ｙ＝ｍｘ 相交于点Ａ（－２，１），所以另一个交点为（２，－１）． 所以方程 ｋ ｘ ＝ｍｘ的实数根为ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝－２． 故选Ｃ． 第二类：利用轴对称性解答 例２　如图２，已知正方形ＡＢＣＤ 的顶点Ａ（－２，２），Ｂ（２，２），Ｃ（２，－２）， 反比例函数ｙ＝２ｘ与ｙ＝－ ２ ｘ的图 象均与正方形ＡＢＣＤ的边相交，则图 中阴影部分的面积是 ． 分析：先根据两反比例函数的表达式确定出两函数 图象之间的关系，再根据正方形ＡＢＣＤ的对称中心是坐 标原点Ｏ可知图中四个小正方形全等，反比例函数的图 象与两坐标轴所围成的图形全等，故阴影部分的面积即 为大正方形面积的一半． 解：由两函数的表达式可知两函数的图象关于ｘ轴 对称．因为正方形ＡＢＣＤ的对称中心是坐标原点Ｏ，所以 四个小正方形全等，每个小正方形的面积 ＝ １ ４Ｓ正方形ＡＢＣＤ ＝４．所以反比例函数的图象与两坐标轴所 围成的图形全等．所以阴影部分的面积 ＝ １２Ｓ正方形ＡＢＣＤ ＝８． 故填８． " §¨ ©ª« ! " # ,* + $ ! + ! " # % & ' $ ! * #################### " # $ ( % & ) * + , " ¬ ­ ® ¯ ° 书 反比例函数的表达式形如 ｙ＝ ｋｘ（ｋ是常数，ｋ≠ ０），要确定反比例函数的表达式，就需要确定反比例函 数的比例系数ｋ的值，现详细分类解析如下，供同学们 参考． 一、定义型 例１　 若函数ｙ＝ｋｘ｜ｋ｜－２是ｙ关于ｘ的反比例函数， 且函数图象在第二、四象限内，则该函数的表达式为 ． 解：由题意，得｜ｋ｜－２＝－１，且 ｋ＜０．解得 ｋ＝ －１．所以该函数的表达式为ｙ＝－１ｘ．故填ｙ＝－ １ ｘ． 二、一点型 例２　已知点Ａ（－２，ｍ）在反比例函数ｙ＝ｋｘ的图 象上，点Ａ′与点Ａ关于ｙ轴对称．若点Ａ′在正比例函数 ｙ＝ １２ｘ的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ． 解：因为点Ａ（－２，ｍ）与点Ａ′关于 ｙ轴对称，所以 Ａ′（２，ｍ）．因为点Ａ′在正比例函数ｙ＝１２ｘ的图象上，所 以ｍ＝１．所以Ａ（－２，１）．因为Ａ（－２，１）在反比例函数 ｙ＝ ｋｘ的图象上，所以ｋ＝－２．所以这个反比例函数的 表达式为ｙ＝－２ｘ．故填ｙ＝－ ２ ｘ． 三、图示型 例３　 如图 １，Ｏ是坐标原 点，点Ｂ在ｘ轴上，在 △ＯＡＢ中， ＡＯ＝ＡＢ＝５，ＯＢ＝６，点Ａ在反 比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｋ≠０）的图象 上，则反比例函数的表达式为 ． 解：如图１，过点Ａ作ＡＣ⊥ＯＢ于点 Ｃ．因为 ＡＯ＝ ＡＢ，ＡＣ⊥ＯＢ，ＯＢ＝６，所以ＯＣ＝ＢＣ＝ １２ＯＢ＝３．在 Ｒｔ△ＡＯＣ中，ＯＡ ＝ ５， 由 勾 股 定 理， 得 ＡＣ ＝ ＯＡ２－ＯＣ槡 ２ ＝４．所以点Ａ（－３，４）．把Ａ（－３，４）代入 ｙ＝ ｋｘ，得ｋ＝－１２．所以反比例函数的表达式为 ｙ＝ －１２ｘ．故填ｙ＝－ １２ ｘ． 四、面积型 例４　如图２，点Ｐ为反比例函数图 象在第二象限内的一点，且长方形 ＰＥＯＦ的面积为３，则该函数的表达式为 ． 解：设该函数的表达式为ｙ＝ｋｘ．由 反比例函数的系数ｋ的几何意义可知｜ｋ｜＝Ｓ四边形ＰＥＯＦ， 所以｜ｋ｜＝３．解得ｋ＝±３．由于该函数的图象分布在第 二象限，故ｋ＜０．所以ｋ＝－３．所以该函数的表达式为 ｙ＝－３ｘ（ｘ＜０）．故填ｙ＝－ ３ ｘ（ｘ＜０）． 书 一、求表达式 例１　 如图１，点 Ａ在反比 例函数 ｙ＝ ｋｘ（ｋ≠０）的图象 上，ＡＢ⊥ｘ轴于点Ｂ，点Ｃ在ｘ轴 上，且ＣＯ＝ＯＢ．若△ＡＢＣ的面 积为２，则反比例函数的表达式 为 ． 解：连结 ＯＡ，如图 １．因为 ＣＯ＝ＯＢ，所以Ｓ△ＡＯＢ ＝Ｓ△ＡＯＣ ＝ １ ２Ｓ△ＡＢＣ ＝１．所以｜ｋ｜＝２Ｓ△ＡＯＢ ＝２．因为反比例函数的图象在第 一象限，所以ｋ＝２．所以反比例函 数的表达式为ｙ＝２ｘ． 故填ｙ＝ ２ｘ． 二、求ｋ的值 例２　 如图 ２，已知点 Ｐ（６， ３），过点Ｐ作ＰＭ⊥ｘ轴于点Ｍ，ＰＮ ⊥ｙ轴于点Ｎ，反比例函数ｙ＝ ｋｘ 的图象交 ＰＭ于点 Ａ，交 ＰＮ于点 Ｂ．若四边形ＯＡＰＢ的面积为１２，则 ｋ＝ ． 解：因为 Ｐ（６，３），四边形 ＯＭＰＮ是长方形，所以 Ｓ长方形ＯＭＰＮ ＝３×６＝１８．所以Ｓ△ＢＯＮ ＋Ｓ△ＡＯＭ ＝ １ ２｜ｋ｜＋ １ ２｜ｋ｜＝Ｓ长方形ＯＭＰＮ－Ｓ四边形ＯＡＰＢ ＝６．解得｜ｋ｜＝６．因为ｋ ＞０，所以ｋ＝６． 故填６． 三、判断面积的变化情况 例３　如图３，点Ｐ（１，５），Ｑ（ｍ，ｎ） 在反比例函数图象上，且ｍ＞１，过点Ｐ 分别作ｘ轴、ｙ轴的垂线，垂足分别为Ａ， Ｂ；点Ｑ为图象上的动点，过点Ｑ分别作 ｘ轴、ｙ轴的垂线，垂足分别为Ｃ，Ｄ，两垂 线相交于点 Ｅ，随着 ｍ的增大，四边形 ＯＡＥＤ面积的变化情况是 （　　） Ａ．增大　　　　　　　　Ｂ．减小 Ｃ．先减小后增大 Ｄ．先增大后减小 解：四边形ＯＡＥＤ的面积为：ＯＡ·ＯＤ＝ｎ．随着ｍ的 增大，ｎ的值在减小，所以四边形ＯＡＥＤ的面积减小． 故选Ｂ． ( - . / ! # " 0 ! * ! - % 1 0 ) # & ( " ! . - # ! " ( % ! + 书 一、代入表达式比较 例１　在函数ｙ＝ １ｘ的图象上有三个点的坐标分 别为（１，ｙ１），（ １ ２，ｙ２），（－２，ｙ３），则函数值 ｙ１，ｙ２，ｙ３的 大小关系是 ． 解：将（１，ｙ１），（ １ ２，ｙ２），（－２，ｙ３）三点分别代入 ｙ ＝ １ｘ，得ｙ１ ＝１，ｙ２ ＝２，ｙ３ ＝－ １ ２． 所以ｙ３ ＜ｙ１ ＜ｙ２．故填ｙ３ ＜ｙ１ ＜ｙ２． 二、利用性质比较 例２　 已知点 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｃ（ｘ３，ｙ３）在反 比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ＜０）的图象上．若ｘ１＜ｘ２＜０＜ｘ３， 则ｙ１，ｙ２，ｙ３的大小关系是 （　　） Ａ．ｙ１ ＜ｙ２ ＜ｙ３　　　　　Ｂ．ｙ２ ＜ｙ１ ＜ｙ３ Ｃ．ｙ３ ＜ｙ２ ＜ｙ１　 Ｄ．ｙ３ ＜ｙ１ ＜ｙ２ 解：因为反比例函数为ｙ＝ ｋｘ（ｋ＜０）， 所以函数图象在第二、四象限，在每个象限内，ｙ随ｘ 的增大而增大． 因为ｘ１ ＜ｘ２ ＜０＜ｘ３， 所以ｙ１ ＞０，ｙ２ ＞０，ｙ３ ＜０，且ｙ１ ＜ｙ２． 所以ｙ３ ＜ｙ１ ＜ｙ２．故选Ｄ． 三、利用图象比较 例３　 如图，一次函数 ｙ１ ＝ ｋ１ｘ＋２与反比例函数ｙ２＝ ｋ２ ｘ的图 象交于Ａ（ｍ，４）和Ｂ（－８，－２）两 点．若ｙ１ ＞ｙ２，则 ｘ的取值范围是 ． 解：把Ｂ（－８，－２）代入ｙ２ ＝ ｋ２ ｘ，得ｋ２ ＝１６． 所以ｙ２ ＝ １６ ｘ． 把Ａ（ｍ，４）代入ｙ２ ＝ １６ ｘ，得４ｍ＝１６． 解得ｍ＝４．所以Ａ（４，４）． 由图象可知，当ｙ１＞ｙ２时，ｘ的取值范围是 －８＜ｘ ＜０或ｘ＞４．故填 －８＜ｘ＜０或ｘ＞４． " ±² ³´µ # ! " - ( # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ######################################### " ¶" ·F¸ " ” " © ¹ 456 *&*/7*8+*9 : 5 !! ;: !!"#5 % ! ()*+ qr;&º»¼#%½¾¿ !! Y !"#$%&'" ()*+,-'. 书 上期２版 １７．３一次函数 １７．３．１一次函数的概念 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．－２；　４．－１． ５．根据题意，得ｙ＝（４＋０．１）ｘ＝４．１ｘ．所以ｙ是ｘ 的一次函数． ６．根据题意，得ｙ＝８０－５ｘ．ｙ是ｘ的一次函数．因为 ｙ≥０，所以８０－５ｘ≥０．解得ｘ≤１６．因为ｘ≥０，所以ｘ 的取值范围为０≤ｘ≤１６． 能力提高　７．Ａ． １７．３．２一次函数的图象 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．－１； ５．ｙ＝ ３４ｘ＋５． ６．图略． ７．（１）对于ｙ＝ｘ＋１，当ｙ＝０时，ｘ＋１＝０．解得 ｘ＝－１．所以Ａ（－１，０）．对于ｙ＝－２ｘ＋４，当ｙ＝０时， －２ｘ＋４ ＝ ０．解 得 ｘ ＝ ２．所 以 Ｂ（２，０）．解 ｙ＝ｘ＋１， ｙ＝－２ｘ＋４{ ，得 ｘ＝１，ｙ＝２{ ．所以Ｐ（１，２）． （２）对于ｙ＝ｘ＋１，当ｘ＝０时，ｙ＝１．所以Ｑ（０，１）． 所以四边形ＰＱＯＢ的面积为：Ｓ△ＡＢＰ －Ｓ△ＡＯＱ ＝ １ ２×３× ２－１２×１×１＝ ５ ２． １７．３．３一次函数的性质 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ；　３．ａ＜ １２；　４．＜． ５．（１）根据题意，得ｍ－３＝０．解得ｍ＝３． （２）根据题意，得ｍ－３＝－２．解得ｍ＝１． （３）根据题意，得２ｍ＋１＝３．解得ｍ＝１． １７．３．４求一次函数的表达式 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．ｙ＝３ｘ－６； ４．ｙ＝－２３ｘ＋２． ５．（１）设直线ＡＢ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠ ０）．将点 Ａ（２，０），Ｂ（０，１）代入，得 ２ｋ＋ｂ＝０， ｂ＝１{ ． 解得 ｋ＝－１２， ｂ＝１ { ． 所以直线ＡＢ的函数表达式为ｙ＝－１２ｘ＋１． （２）设点Ｃ的坐标为（ｔ，０）．所以ＡＣ＝｜２－ｔ｜．因为 Ｓ△ＡＢＣ ＝２，所以 １ ２×｜２－ｔ｜×１＝２．解得ｔ＝－２或ｔ＝ ６．所以点Ｃ的坐标为（－２，０）或（６，０）． 能力提高　６．Ａ． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｄ Ａ Ｄ 二、９．２；　１０．ｋ＜２３；　１１．４；　１２．ｙ＝－ １ ３ｘ＋ ４ ３． 三、１３．（１）对于ｙ＝２ｘ－４，当ｘ＝０时，ｙ＝－４．所 以点Ｂ的坐标为（０，－４）．当ｙ＝０时，有２ｘ－４＝０．解 得ｘ＝２．所以点Ａ的坐标为（２，０）．画图略． （２）因为点 Ａ的坐标为（２，０），点 Ｂ的坐标为（０， －４），所以ＯＡ＝２，ＯＢ＝４．所以△ＡＯＢ的面积为：１２ＯＡ ·ＯＢ＝４． （下转１，４版中缝） ########################################## # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # +'45ÀÁÂÃ; &ÄÅÆD+6!"#$%&'( )*7+,)-.&'/#$%&'6 *60123 2 45678*6 ÇȧÉD 23#9%&'5: ;<=>6 * #) 0 ! " ! * ! " # - ' ! % % 3"&# #& .& - 4?8!@ # 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．下列函数中不是反比例函数的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｙ＝ ２ｘ Ｂ．ｙ＝ｘ －１ Ｃ．ｘｙ＝３ Ｄ．ｙ＝ １２ｘ ２．已知反比例函数ｙ＝ｋ－２ｘ 的图象位于第二、四象 限，则ｋ的取值范围是 （　　） Ａ．ｋ≥２ Ｂ．ｋ＞２ Ｃ．ｋ≤２ Ｄ．ｋ＜２ ３．下列问题中，两个变量成反比例的是 （　　） Ａ．商一定时（不为零），被除数与除数 Ｂ．正方形的面积与它的边长 Ｃ．长方形的长不变时，长方形的周长与它的宽 Ｄ．货物的总价一定时，货物的单价与货物的数量 ４．已知反比例函数ｙ＝－５ｘ，则下列描述正确的是 （　　） Ａ．图象位于第一、三象限 Ｂ．ｙ随ｘ的增大而增大 Ｃ．图象不可能与坐标轴相交 Ｄ．图象必经过点（３２，－ ５ ３） ５．若点Ａ（ｘ１，－１），Ｂ（ｘ２，２），Ｃ（ｘ３，３）在反比例函 数ｙ＝－ｍ ２－１ ｘ 的图象上，则ｘ１，ｘ２，ｘ３的大小关系是 （　　） Ａ．ｘ３ ＞ｘ２ ＞ｘ１ Ｂ．ｘ３ ＞ｘ１ ＞ｘ２ Ｃ．ｘ１ ＞ｘ２ ＞ｘ３ Ｄ．ｘ１ ＞ｘ３ ＞ｘ２ ６．如图１，正比例函数ｙ＝ｋｘ与反比例函数ｙ＝ｍｘ 的图象相交于 Ａ，Ｂ两点，ＡＣ⊥ ｙ轴，垂足为点 Ｃ．若 △ＡＢＣ的面积为１０，则反比例函数的表达式为 （　　） Ａ．ｙ＝１０ｘ Ｂ．ｙ＝－ １０ ｘ Ｃ．ｙ＝ ５ｘ Ｄ．ｙ＝－ ５ ｘ ７．如图２，动点Ｐ在反比例函数ｙ＝４ｘ（ｘ＞０）的图 象上，ＰＡ⊥ｘ轴于点Ａ，Ｂ是ｙ轴上一动点．当点Ｂ从原点 向ｙ轴正半轴运动时，△ＰＡＢ的面积将会 （　　） Ａ．逐渐减小，接近０ Ｂ．不变，永远是４ Ｃ．不变，永远是２ Ｄ．不变，但不知道具体值 ８．若ａｂ＜０，则反比例函数ｙ＝ａｂｘ与一次函数ｙ＝ ａｘ＋ｂ在同一坐标系中的大致图象可能是 （　　） 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．反比例函数ｙ＝－３２ｘ中，常数ｋ＝ ． １０．若反比例函数ｙ＝ ４ｘ的图象经过点（－２，ｍ）， 则ｍ的值是 ． １１．如图３，点Ｄ是长方形 ＡＯＢＣ的对称中心，Ａ（０， ６），Ｂ（８，０）．若反比例函数 ｙ＝ ｋｘ的图象经过点 Ｄ，交 ＡＣ于点Ｍ，则点Ｍ的坐标为 ． １２．如图４，点Ｂ和点Ｃ是反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０） 在第一象限上的点，过点Ｂ的直线ｙ＝ｘ－２与ｘ轴交于 点Ａ，ＣＤ⊥ｘ轴，垂足为Ｄ，ＣＤ与ＡＢ交于点Ｅ，ＯＡ＝ＡＤ， ＣＤ＝６，则Ｓ△ＢＣＥ ＝ ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（１０分）已知关于ｘ的反比例函数ｙ＝ｍｘ的图象 经过点Ｐ（－２，１８）． （１）求这个反比例函数的关系式； （２）当４≤ｘ＜６时，请直接写出ｙ的取值范围． １４．（１２分）已知函数ｙ＝ｙ１－ｙ２，其中ｙ１与ｘ成正 比例，ｙ２与ｘ－２成反比例，且当ｘ＝１时，ｙ＝１；当ｘ＝ ３时，ｙ＝５．求ｙ关于ｘ的函数表达式． １５．（１４分）如图 ５，在平面直角坐标系中，过点 Ｍ（０，２）的直线ｌ与ｘ轴平行，且分别与反比例函数ｙ＝ ６ ｘ（ｘ＞０）和ｙ＝ ｋ ｘ（ｘ＜０）的图象交于点Ｐ，Ｑ． （１）求点Ｐ的坐标； （２）若△ＰＯＱ的面积为１０，求ｋ的值． １６．（１６分）设函数ｙ１ ＝ ｋ１ ｘ，函数ｙ２ ＝ｋ２ｘ＋ｂ（ｋ１， ｋ２，ｂ是常数，ｋ１≠０，ｋ２≠０）． （１）如图６，若函数ｙ１和函数ｙ２的图象交于点Ａ（１， ｍ），Ｂ（３，１），求函数ｙ１，ｙ２的表达式； （２）若点Ｃ（２，ｎ）在函数ｙ１的图象上，将点Ｃ先向 下平移３个单位，再向左平移５个单位后得到点Ｄ，点Ｄ 恰好落在函数ｙ１的图象上，求ｎ的值． （以下试题供各地根据实际情况选用） １．（８分）如图１，点Ａ的坐标是（０，６），点Ｂ的坐标 是（－２，０），将线段ＡＢ绕点Ａ逆时针旋转９０°后得到线 段ＡＣ． （１）求点Ｃ的坐标； （２）若反比例函数ｙ＝ ｋｘ的图象恰好经过ＡＣ的中 点Ｄ，求ｋ的值． ２．（１２分）如图２，反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｋ＞０）与长 方形ＯＡＢＣ在第一象限相交于Ｄ，Ｅ两点，ＯＡ＝２，ＯＣ＝ ４，连结ＯＤ，ＯＥ，ＤＥ．记△ＯＡＤ，△ＯＣＥ的面积分别为Ｓ１， Ｓ２． （１）填空： ①点Ｂ的坐标为 ； ②Ｓ１ Ｓ２（填“＞”“＜”或“＝”）； （２）当Ｓ１＋Ｓ２ ＝２时． ①求ｋ的值及点Ｄ，Ｅ的坐标； ②试判断△ＯＤＥ的形状，并求△ＯＤＥ的面积                                                                                                                                                                 ． 书 １７．４反比例函数 １７．４．１反比例函数的概念 １．下列函数中，是反比例函数的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｙ＝２４ｘ Ｂ．ｙ＝２４ｘ Ｃ．ｙ＝２３ｘ２＋２４ｘ Ｄ．ｙ＝－ｘ２４ ２．下面每个选项中的两种量成反比例关系的是 （　　） Ａ．ａ和ｂ互为倒数 Ｂ．圆柱的高一定，体积和底面积 Ｃ．被减数一定，减数和差 Ｄ．利率一定，存款的本金和利息 ３．已知函数ｙ＝（ｋ－２）ｘ｜ｋ｜－３（ｋ为整数），当 ｋ为 时，ｙ是ｘ的反比例函数． ４．若函数ｙ＝ａ＋３ｘ 是关于ｘ的反比例函数，则ａ满 足的条件是 ． ５．已知ｙ与２ｚ成反比例，比例系数为ｋ１，ｚ与 １ ２ｘ成 正比例，比例系数为ｋ２，ｋ１和ｋ２是已知数，且ｋ１·ｋ２≠０， 则ｙ关于ｘ成 比例（填“正”或“反”）． ６．写出下列函数关系式，指出其中的正比例函数 和反比例函数，并写出它们的比例系数． （１）火车从石家庄驶往相距约２７７ｋｍ的北京，若 火车的平均速度为 ６０ｋｍ／ｈ，求火车距石家庄的距离 ｓ（ｋｍ）与行驶的时间ｔ（ｈ）之间的函数关系式； （２）某中学现有存煤２０ｔ，如果平均每天烧煤 ｘｔ， 共烧了ｙ天，求ｙ与ｘ之间的函数关系式； （３）一个游泳池容积为１０００ａｍ３，注满游泳池所 用的时间ｙ（ｈ）随注水速度ｘ（ｍ３／ｈ）的变化而变化，求 ｙ与ｘ之间的函数关系式． 能力提高 ７．已知关于 ｘ，ｙ的反比例函数的关系式为 ｙ＝ ａ＋３ ｘ｜ａ｜－２ ，试确定ａ的值，并求这个函数关系式． １７．４．２反比例函数的图象和性质（第一课时） １．若反比例函数 ｙ＝４－２ｍｘ 的图象在第一、三象 限，则ｍ的值可以是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ２．在平面直角坐标系中，反比例函数 ｙ＝ ｋｘ的图 象经过点Ｐ（１，ｍ），且在每一个象限内，ｙ随ｘ的增大而 减小，则点Ｐ在 （　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ３．反比例函数ｙ＝ ｋｘ的图象 如图１所示，则ｋ的值可能是 （　　） Ａ．－２ 　　　Ｂ．２ Ｃ．４ 　　　Ｄ．８ ４．在同一平面直角坐标系中， 反比例函数ｙ＝３ｘ与一次函数ｙ＝ｘ＋３的图象大致是 （　　） ５．如图２，反比例函数ｙ＝ ｋｘ的图象与一次函数ｙ ＝－２ｘ＋３的图象相交于点Ｐ，点Ｐ到ｙ轴的距离是１， 则这个反比例函数的表达式是 ． ６．如图３是三个反比例函数ｙ１＝ ｋ１ ｘ，ｙ２＝ ｋ２ ｘ，ｙ３＝ ｋ３ ｘ在 ｘ轴上方的图象，则 ｋ１，ｋ２，ｋ３的大小关系为 ． ７．已知函数ｙ＝－ ６｜ｘ｜，小明研究该函数的图象及 性质时，列出 ｙ与 ｘ的几组对应值如下表，请解答下列 问题： ｘ … －４－３－２－１ １ ２ ３ ４ … ｙ … －２－３ －６－３ （１）完成表格； （２）在如图４所示的平面直角坐标系中，描出以各 对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （３）写出该函数的三条性质： ① ； ② ； ③ ． １７．４．２反比例函数的图象和性质（第二课时） １．若反比例函数的图象经过（－２，２），（１，ａ），则 ａ 的值为 （　　） Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．４ Ｄ．－４ ２．在反比例函数ｙ＝－ｋ ２－槡３ ｘ （ｋ为常数）的图象 上有三个点（π，ｙ１），（－２，ｙ２），（－槡１０，ｙ３），则函数值 ｙ１，ｙ２，ｙ３的大小关系为 （　　） Ａ．ｙ１ ＜ｙ２ ＜ｙ３ Ｂ．ｙ１ ＜ｙ３ ＜ｙ２ Ｃ．ｙ２ ＜ｙ３ ＜ｙ１ Ｄ．ｙ３ ＜ｙ１ ＜ｙ２ ３．反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｘ＜０）的图象如图１所示， ＡＢ∥ｙ轴．若△ＡＢＣ的面积为３，则ｋ的值为 （　　） Ａ．１２ Ｂ． ３ ２ Ｃ．３ Ｄ．－６ ４．如图２，点Ａ是反比例函数ｙ２＝ ８ ｘ（ｘ＞０）图象 上的一动点，过点Ａ分别作ｘ轴、ｙ轴的平行线，与反比 例函数ｙ１＝ ｋ ｘ（ｋ≠０，ｘ＞０）的图象交于点Ｂ，Ｃ，连结 ＯＢ，ＯＣ．若四边形 ＯＢＡＣ的面积为 ５，则 ｋ的值是 ． ５．如图３，点 Ａ，Ｃ在反比例函 数ｙ１ ＝ ｋ１ ｘ（ｘ＞０）的图象上，点 Ｂ，Ｄ在反比例函数ｙ２＝ ｋ２ ｘ的图象 上，且点 Ａ是线段 ＯＢ的中点，ＢＣ ⊥ｘ轴，ＡＤ⊥ｙ轴．若△ＥＣＤ的面积是 １２，则ｋ２－ｋ１的 值为 ． ６．如图４，点Ａ（１，－３）在反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｘ＞ ０）的图象上，ＡＭ⊥ｘ轴于点Ｍ，点Ｂ是反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ（ｘ＞０）图象上的一动点，过点Ｂ作ＢＮ⊥ｙ轴于点 Ｎ． （１）求反比例函数的表达式； （２）连结ＭＮ，ＢＭ，小华说：“当ｘＢ（点Ｂ的横坐标） ＞槡３时，Ｓ△ＢＭＮ随ｘＢ的增大而减小．”你同意小华的说 法吗？请说明理由 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 （上接１，４版中缝） ｓ＝ｙ２－ｙ１ ＝－１６０ｘ＋ ６００（０≤ ｘ≤ １５４），ｓ＝ ｙ１ － ｙ２ ＝ １６０ｘ － ６００（１５４ ＜ｘ≤６），ｓ＝ ６０ｘ（６＜ｘ≤１０）． 附加题　１．（１）设 ｙ与 ｘ之间的函数表达 式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ．将（３， １０），（６，１４．５）代入，得 ３ｋ＋ｂ＝１０， ６ｋ＋ｂ＝１４．５{ ．解 得 ｋ＝ ３２， ｂ＝１１２ { ．所以ｙ与ｘ之 间的函数表达式为ｙ＝ ３ ２ｘ＋ １１ ２． （２）当ｘ＝１２时，ｙ ＝ ３２×１２＋ １１ ２ ＝ ４７ ２． 答：１２个这种碗摞 在 一 起 的 高 度 是 ４７ ２ｃｍ． ２．（１）因为一次函 数ｙ＝ｘ＋２过点Ｂ（－１， ｍ），所以 ｍ ＝１．将 （－１，１）代入ｙ＝ｋｘ，得 －ｋ＝１．解得 ｋ＝－１． 所以该正比例函数的表 达式为ｙ＝－ｘ． （２）由 题 意，得 Ｃ（－２，０）．所以 ＯＣ＝ ２．设点Ｄ的坐标为（ａ，ａ ＋２）．根据题意，得 １２× ２×｜ａ＋２｜＝３．解得ａ ＝１或ａ＝－５．当ａ＝１ 时，ａ＋２ ＝３．此时 Ｄ（１，３）．当ａ＝－５时，ａ ＋２＝－３．此时 Ｄ（－５， －３）．综上所述，点Ｄ的 坐标为（１，３）或（－５， －３）． （３）在ｘ轴上存在 点Ｐ，使ＢＰ＋ＡＰ的值最 小． 作点Ｂ关于ｘ轴的 对称点 Ｂ′（－１，－１）， 连结ＡＢ′交ｘ轴于点Ｐ， 连结ＢＰ，此时 ＢＰ＋ＡＰ 的值最小．由题意，得 Ａ（０，２）．设直线 ＡＢ′的 函数表达式为ｙ＝ｍｘ＋ ｎ．将（０，２），（－１，－１） 代 入， 得 ｎ＝２， －ｍ＋ｎ＝－１{ ．解 得 ｍ＝３， ｎ＝２{ ．所以直线 ＡＢ′ 的函数表达式为ｙ＝３ｘ ＋２．当ｙ＝０时，３ｘ＋２ ＝０．解得 ｘ＝－２３．所 以点Ｐ的坐标为（－２３， ０）． （全文完） ! ! !"#$ ! " %&'( !"#$%&'()*+,- !! . /"0$%&1(2*+,3 !! . 45 ! 67859 :;<=>?@.A 45 ! 67859 B;<=>?@.C " ! ! # $ % ! " " % # & ' # " % ! & ' ! " % " & ' " " % $ ! # " $ ( % ! ! " ) % " $ % " $ % " $ % $ % & ' ! ( * + " , - $ % " % . $ * + ! ! . + % ! % " * $ " % ! ! )*)+),)-)()#)!)" " ! # ( - , + * " * + , - ( # ! " " )! )# )( )- ), )+ )* ! ( % $ " / 0 1 * + $ % ! # % " % ! DEFGHI"+.(J ! " + ( $ * % ! ! " $ * +0 % ! " " $ % " $ % " $ % " $ % $ % & ' " 0 2 $3 + % ! " " 0 1 * 2 $ + % ! ! " # " $ % ! , * + " * 0 2 , $ + % ! # " * 0 2 + 1 $ % ! ( " % $ %4 ' " %& , " , 5 ( 6 ! - 书 答案详解 　　　　　　 　２０２４～２０２５学年　初中数学华东师大八年级　第３２～３５期　　　　　　 　 ３２期２版 １７．３一次函数 １７．３．１一次函数的概念 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．－２；　４．－１． ５．根据题意，得ｙ＝（４＋０．１）ｘ＝４．１ｘ．所以ｙ是ｘ的一次 函数． ６．根据题意，得ｙ＝８０－５ｘ．ｙ是ｘ的一次函数．因为ｙ≥０， 所以８０－５ｘ≥０．解得ｘ≤１６．因为ｘ≥０，所以ｘ的取值范围 为０≤ｘ≤１６． 能力提高　７．Ａ． １７．３．２一次函数的图象 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．－１； ５．ｙ＝ ３４ｘ＋５． ６．图略． ７．（１）对于ｙ＝ｘ＋１，当ｙ＝０时，ｘ＋１＝０．解得ｘ＝－１． 所以Ａ（－１，０）．对于ｙ＝－２ｘ＋４，当ｙ＝０时，－２ｘ＋４＝０． 解得ｘ＝２．所以 Ｂ（２，０）．解 ｙ＝ｘ＋１， ｙ＝－２ｘ＋４{ ，得 ｘ＝１， ｙ＝２{ ．所以 Ｐ（１，２）． （２）对于ｙ＝ｘ＋１，当ｘ＝０时，ｙ＝１．所以Ｑ（０，１）．所以 四边形ＰＱＯＢ的面积为：Ｓ△ＡＢＰ－Ｓ△ＡＯＱ ＝ １ ２×３×２－ １ ２×１× １＝ ５２． １７．３．３一次函数的性质 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ；　３．ａ＜ １２；　４．＜． ５．（１）根据题意，得ｍ－３＝０．解得ｍ＝３． （２）根据题意，得ｍ－３＝－２．解得ｍ＝１． （３）根据题意，得２ｍ＋１＝３．解得ｍ＝１． １７．３．４求一次函数的表达式 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．ｙ＝３ｘ－６； ４．ｙ＝－２３ｘ＋２． ５．（１）设直线ＡＢ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）．将点 Ａ（２，０），Ｂ（０，１）代入，得 ２ｋ＋ｂ＝０， ｂ＝１{ ． 解得 ｋ＝－１２， ｂ＝１ { ． 所以直 线ＡＢ的函数表达式为ｙ＝－１２ｘ＋１． （２）设点Ｃ的坐标为（ｔ，０）．所以ＡＣ＝｜２－ｔ｜．因为Ｓ△ＡＢＣ ＝２，所以 １２×｜２－ｔ｜×１＝２．解得ｔ＝－２或ｔ＝６．所以点Ｃ 的坐标为（－２，０）或（６，０）． 能力提高　６．Ａ． ３２期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｄ Ａ Ｄ 二、９．２；　１０．ｋ＜２３；　１１．４；　１２．ｙ＝－ １ ３ｘ＋ ４ ３． 三、１３．（１）对于ｙ＝２ｘ－４，当ｘ＝０时，ｙ＝－４．所以点Ｂ 的坐标为（０，－４）．当ｙ＝０时，有２ｘ－４＝０．解得ｘ＝２．所以 点Ａ的坐标为（２，０）．画图略． （２）因为点Ａ的坐标为（２，０），点Ｂ的坐标为（０，－４），所 以ＯＡ＝２，ＯＢ＝４．所以△ＡＯＢ的面积为：１２ＯＡ·ＯＢ＝４． １４．（１）将点Ａ（－１，２）代入ｙ＝ｋｘ，得 －ｋ＝２．解得 ｋ＝ －２．所以该正比例函数的表达式为ｙ＝－２ｘ． （２）将点Ｂ（ｍ，ｍ＋３）代入ｙ＝－２ｘ，得－２ｍ＝ｍ＋３．解得ｍ ＝－１． （３）当ｘ＝－３２时，ｙ＝－２×（－ ３ ２）＝３≠１．所以点Ｐ 不在这个函数的图象上． １５．（１）把（３，－３），（０，１）代入 ｙ ＝ ｋｘ＋ｂ，得 ３ｋ＋ｂ＝－３， ｂ＝１{ ． 解得 ｋ＝－４３， ｂ＝１ { ． 所以直线 ｌ的函数表达式为 ｙ ＝－４３ｘ＋１． （２）≤ ３４． （３）设原点到直线ｌ的距离为ｈ．因为ＯＡ＝３４，ＯＢ＝１，所 以 ＡＢ＝ ＯＡ２＋ＯＢ槡 ２ ＝５４．所以Ｓ△ＡＯＢ ＝ １ ２ＡＢ·ｈ＝ １ ２ＯＡ· ＯＢ，即 １２× ５ ４ｈ＝ １ ２× ３ ４×１．解得ｈ＝ ３ ５，即原点到直线ｌ的 距离为 ３ ５． １６．（１）设ｙ１关于ｘ的函数表达式为ｙ１ ＝ａｘ．将点（１０，６００） 代入，得１０ａ＝６００．解得ａ＝６０．所以ｙ１关于ｘ的函数表达式为ｙ１ ＝６０ｘ（０≤ｘ≤１０）．设ｙ２关于ｘ的函数表达式为ｙ２＝ｋｘ＋ｂ．将 点（０，６００），（６，０）代入，得 ｂ＝６００， ６ｋ＋ｂ＝０{ ．解得 ｋ＝－１００， ｂ＝６００{ ．所以ｙ２ 关于ｘ的函数表达式为ｙ２ ＝－１００ｘ＋６００（０≤ｘ≤６）． （２）当两车相遇时，ｙ１＝ｙ２，即６０ｘ＝－１００ｘ＋６００．解得                                                         ｘ —１— 初中数学华东师大八年级　第３２～３５期 ＝１５４．所以ｓ＝ｙ２－ｙ１＝－１６０ｘ＋６００（０≤ｘ≤ １５ ４），ｓ＝ｙ１－ ｙ２ ＝１６０ｘ－６００（ １５ ４ ＜ｘ≤６），ｓ＝６０ｘ（６＜ｘ≤１０）． 附加题　１．（１）设ｙ与ｘ之间的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ． 将 （３，１０）， （６，１４．５） 代 入， 得 ３ｋ＋ｂ＝１０， ６ｋ＋ｂ＝１４．５{ ．解 得 ｋ＝ ３２， ｂ＝１１２ { ．所以ｙ与ｘ之间的函数表达式为ｙ＝ ３２ｘ＋１１２． （２）当ｘ＝１２时，ｙ＝ ３２×１２＋ １１ ２ ＝ ４７ ２． 答：１２个这种碗摞在一起的高度是４７２ｃｍ． ２．（１）因为一次函数ｙ＝ｘ＋２过点Ｂ（－１，ｍ），所以ｍ＝１． 将（－１，１）代入ｙ＝ｋｘ，得 －ｋ＝１．解得ｋ＝－１．所以该正比 例函数的表达式为ｙ＝－ｘ． （２）由题意，得Ｃ（－２，０）．所以ＯＣ＝２．设点Ｄ的坐标为 （ａ，ａ＋２）．根据题意，得 １２×２×｜ａ＋２｜＝３．解得ａ＝１或ａ ＝－５．当ａ＝１时，ａ＋２＝３．此时Ｄ（１，３）．当ａ＝－５时，ａ＋ ２＝－３．此时Ｄ（－５，－３）． 综上所述，点Ｄ的坐标为（１，３）或（－５，－３）． （３）在ｘ轴上存在点Ｐ，使ＢＰ＋ＡＰ的值最小． 作点Ｂ关于ｘ轴的对称点Ｂ′（－１，－１），连结ＡＢ′交ｘ轴 于点Ｐ，连结ＢＰ，此时ＢＰ＋ＡＰ的值最小．由题意，得Ａ（０，２）． 设直线ＡＢ′的函数表达式为ｙ＝ｍｘ＋ｎ．将（０，２），（－１，－１） 代入，得 ｎ＝２， －ｍ＋ｎ＝－１{ ．解得 ｍ＝３， ｎ＝２{ ．所以直线ＡＢ′的函数表 达式为ｙ＝３ｘ＋２．当ｙ＝０时，３ｘ＋２＝０．解得ｘ＝－２３．所以 点Ｐ的坐标为（－２３，０）． ３３期２版 １７．４反比例函数 １７．４．１反比例函数的概念 基础训练　１．Ａ；　 ２．Ａ；　 ３．－２；　４．ａ≠－３； ５．反． ６．（１）由题意，得ｓ＝６０ｔ（０≤ｔ≤２７７６０），是正比例函数，比 例系数为６０． （２）由题意，得ｙ＝２０ｘ（ｘ＞０），是反比例函数，比例系数 为２０． （３）由题意，得ｙ＝１０００ａｘ （ｘ＞０），是反比例函数，比例系 数为１０００ａ． 能力提高　７．根据题意，得｜ａ｜－２＝１，ａ＋３≠０．解得 ａ＝３．所以这个函数关系式为ｙ＝ ６ｘ． １７．４．２反比例函数的图象和性质（第一课时） 基础训练　１．Ａ；　 ２．Ａ；　 ３．Ｂ；　４．Ａ； ５．ｙ＝－５ｘ；　６．ｋ１ ＜ｋ２ ＜ｋ３． ７．（１）表格从左到右依次填入 －３２，－６，－２，－ ３ ２． （２）函数图象如下图所示． !"!#!$%&%'!(%)!* * + ( , & $ - " ! " - $ & , ( + . /* %+ %( %, %& %$ %- %" " # （３）该函数的性质有：①该函数图象关于ｙ轴对称；②图 象均在ｘ轴的下方；③ｘ＜０时，ｙ随ｘ的增大而减小；ｘ＞０时， ｙ随ｘ的增大而增大． １７．４．２反比例函数的图象和性质（第二课时） 基础训练　１．Ｄ；　 ２．Ｂ；　 ３．Ｄ；　 ４．３；　 ５．３． ６．（１）因为点Ａ（１，－３）在反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｘ＞０）的 图象上，所以ｋ＝１×（－３）＝－３．所以反比例函数的表达式为 ｙ＝－３ｘ． （２）不同意小华的说法．理由如下： 连结ＯＢ，图略．因为ＢＮ⊥ｙ轴于点Ｎ，所以ＢＮ∥ｘ轴．所 以Ｓ△ＢＯＮ ＝Ｓ△ＢＭＮ．因为Ｓ△ＢＯＮ ＝ １ ２×｜－３｜＝ ３ ２，所以Ｓ△ＢＭＮ ＝ ３ ２，即Ｓ△ＢＭＮ是定值． ３３期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｄ Ｄ Ｃ Ｄ Ａ Ｃ Ｄ 二、９．－３２；　１０．－２；　１１．（２，６）；　１２．４． 三、１３．（１）把点Ｐ（－２，１８）代入反比例函数ｙ＝ｍｘ，得ｍ ＝－３６．所以ｙ＝－３６ｘ． （２）当ｘ＝４时，ｙ＝－９；当ｘ＝６时，ｙ＝－６．因为 ｍ＝ －３６＜０，所以反比例函数ｙ＝ｍｘ的图象，在每一个象限内，ｙ 随ｘ的增大而增大．所以当４≤ｘ＜６时，ｙ的取值范围为 －９≤ ｙ＜－６． １４．由题意，设ｙ１＝ｋ１ｘ，ｙ２＝ ｋ２ ｘ－２．因为ｙ＝ｙ１－ｙ２，所以 ｙ＝ｋ１ｘ－ ｋ２ ｘ－２．因为当ｘ＝１时，ｙ＝１；当ｘ＝３时，ｙ＝５，所 以 ｋ１＋ｋ２ ＝１， ３ｋ１－ｋ２ ＝５ { ．解得 ｋ１ ＝ ３ ２， ｋ２ ＝－ １ ２ { ．所以ｙ＝ ３２ｘ＋ １２ｘ－４． １５．（１）因为ＰＱ∥ｘ轴，所以点Ｐ的纵坐标为２．把ｙ＝                                                                      ２ —２— 初中数学华东师大八年级　第３２～３５期 代入ｙ＝ ６ｘ，得ｘ＝３．所以点Ｐ的坐标为（３，２）． （２）因为Ｓ△ＰＯＱ ＝Ｓ△ＯＭＱ＋Ｓ△ＯＭＰ，所以 １ ２｜ｋ｜＋ １ ２×６＝ １０．解得｜ｋ｜＝１４．由图可知ｋ＜０．所以ｋ＝－１４． １６．（１）把点Ｂ（３，１）代入ｙ１＝ ｋ１ ｘ，得ｋ１＝３．所以函数ｙ１ 的表达式为ｙ１ ＝ ３ ｘ．把点Ａ（１，ｍ）代入ｙ１ ＝ ３ ｘ，得ｍ＝３．所 以 Ａ（１，３）．把 Ａ（１，３），Ｂ（３，１）代入 ｙ２ ＝ ｋ２ｘ＋ｂ，得 ３＝ｋ２＋ｂ， １＝３ｋ２ { ＋ｂ．解得 ｋ２ ＝－１， ｂ＝４{ ． 所以函数ｙ２的表达式为ｙ２＝－ｘ ＋４． （２）由平移的性质，得点Ｄ的坐标为（－３，ｎ－３）．因为点 Ｄ在函数ｙ１的图象上，所以 －３（ｎ－３）＝２ｎ．解得ｎ＝ ９ ５． 附加题 １．（１）过点Ｃ作ＣＭ⊥ｙ轴于点Ｍ，图略．因为 ∠ＡＯＢ＝ ∠ＣＭＡ＝∠ＢＡＣ＝９０°，所以 ∠ＢＡＯ＋∠ＣＡＭ ＝９０°，∠ＡＢＯ＋ ∠ＢＡＯ＝９０°．所以∠ＡＢＯ＝∠ＣＡＭ．因为ＢＡ＝ＡＣ，所以△ＡＯＢ≌ △ＣＭＡ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＯＢ＝ＡＭ，ＯＡ＝ＣＭ．因为点Ａ的坐标是（０， ６），点Ｂ的坐标是（－２，０），所以ＯＡ＝６，ＯＢ＝２．所以ＣＭ＝６，ＡＭ ＝２．所以ＯＭ＝４．所以点Ｃ的坐标是（６，４）． （２）因为点Ａ的坐标是（０，６），点 Ｃ的坐标是（６，４），Ｄ为 ＡＣ的中点，所以点Ｄ（３，５）．因为反比例函数ｙ＝ ｋｘ的图象经 过点Ｄ，所以５＝ ｋ３．解得ｋ＝１５． ２．（１）①（４，２）． ② ＝． （２）①因为Ｓ１ ＝Ｓ２＝ １ ２ｋ，且Ｓ１＋Ｓ２＝２，所以ｋ＝２．因 为Ｓ１＝ １ ２ＡＤ·ＡＯ＝ １ ２ＡＤ·２＝１，解得ＡＤ＝１．所以点Ｄ的 坐标为（１，２）．因为Ｓ２＝ １ ２ＣＯ·ＣＥ＝ １ ２×４ＣＥ＝１，解得ＣＥ ＝ １２．所以点Ｅ的坐标为（４， １ ２）． ②△ＯＤＥ是直角三角形．理由如下： 因为ＯＡ＝２，ＯＣ＝４，ＡＤ＝１，ＣＥ＝１２，所以ＢＤ＝３，ＢＥ ＝３２．在Ｒｔ△ＡＤＯ中，ＤＯ ２ ＝ＡＯ２＋ＡＤ２ ＝５．在Ｒｔ△ＢＤＥ中， ＤＥ２ ＝ＢＤ２＋ＢＥ２ ＝４５４．在Ｒｔ△ＣＥＯ中，ＯＥ ２ ＝ＯＣ２＋ＣＥ２ ＝ ６５ ４．所以ＤＯ ２＋ＤＥ２ ＝ＯＥ２．所以△ＯＤＥ是直角三角形．因为 ＤＯ＝槡５，ＤＥ＝ 槡 ３５ ２，所以Ｓ△ＯＤＥ ＝ １ ２ＤＯ·ＤＥ＝ １５ ４． ３４期２版 １７．５实践与探索 １７．５．１二元一次方程与一次函数 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．平行；　４．（－４，２）． ５．图略．方程组 ｘ＋ｙ＝－４， ２ｘ－ｙ＝－{ ２的解是 ｘ＝－２， ｙ＝－２{ ． ６．（１）将Ｐ（－２，ａ）代入ｙ＝２ｘ－１，得ａ＝－５． （２） ｘ＝－２，{ｙ＝ａ 可看成二元一次方程组 ｙ＝２ｘ－１， ｙ＝ ５２ { ｘ 的解． （３）△ＡＰＯ的面积是１． １７．５．２一元一次不等式与一次函数 基础训练　１．Ａ；　２．ｘ＜０；　３．－２． ４．图略． （１）由图象可知，直线ｙ＝－２ｘ＋６与 ｘ轴的交点坐标为 （３，０）．所以一元一次方程 －２ｘ＋６＝０的解为ｘ＝３． （２）由图象可知，当 －２＜ｙ＜２时，ｘ的取值范围是２＜ｘ ＜４． ５．（１）将点 Ａ（３，４），Ｂ（０，－２）代入 ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得 ３ｋ＋ｂ＝４， ｂ＝－２{ ． 解得 ｋ＝２， ｂ＝－２{ ．所以该一次函数的表达式为 ｙ＝ ２ｘ－２． （２）由图象，得关于ｘ的不等式ｋｘ＋ｂ＞４的解集为ｘ＞３． 能力提高　６．Ｄ． １７．５．３函数的应用 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．３００． ４．（１）当０≤ｘ≤３时，设线段ＡＢ对应的函数表达式为ｙ ＝ｋｘ＋ｂ． 把Ａ（０，１０），Ｂ（３，４）代入，得 ｂ＝１０， ３ｋ＋ｂ＝４{ ．解得 ｋ＝－２， ｂ＝１０{ ．所 以ｙ＝－２ｘ＋１０． 当ｘ＞３时，设函数表达式为ｙ＝ｍｘ． 把（３，４）代入，得ｍ＝１２．所以ｙ＝１２ｘ． 综上所述，整改过程中硫化物的浓度ｙ与时间ｘ之间的函 数表达式为ｙ＝ －２ｘ＋１０（０≤ｘ≤３）， １２ ｘ（ｘ＞３） { ． （２）能．理由如下： 令ｙ＝１２ｘ＝１．解得ｘ＝１２．因为１２＜１５，所以能在１５天 以内达到不超过最高允许的１．０ｍｇ／Ｌ． ３４期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｃ Ａ Ａ 二、９．（２，０）；　１０．ｘ＝２， ｙ＝４０{ ；　１１．２．２；　１２．２＜ｘ＜３． 三、１３．（１）Ａ（－４３，０），Ｂ（０，４），图略． （２）方程组 ３ｘ－ｙ＝－４， ｘ－２ｙ＝－{ ３的解是 ｘ＝－１， ｙ＝１{ ． １４．（１）将点Ａ（－２，１）代入ｙ＝ｍｘ，得ｍ＝－２．所以反比 例函数的关系式为ｙ＝－２ｘ． 将点Ｂ（１，ａ）代入ｙ＝－２ｘ，得ａ＝－２．所以Ｂ（１，－２）．                                                                      将 —３— 初中数学华东师大八年级　第３２～３５期 Ａ（－２，１），Ｂ（１，－２）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得 －２ｋ＋ｂ＝１， ｋ＋ｂ＝－２{ ．解得 ｋ＝－１， ｂ＝－１{ ．所以一次函数的关系式为ｙ＝－ｘ－１． （２）由图象可知，当反比例函数值大于一次函数值时，ｘ的 取值范围是 －２＜ｘ＜０或ｘ＞１． １５．（１）根据题意，得ｙ甲 ＝４×５０＋（ｘ－８）×３＝３ｘ＋１７６， ｙ乙 ＝（４×５０＋３ｘ）×０．９＝２．７ｘ＋１８０． （２）当ｘ＝１０时，ｙ甲 ＝３×１０＋１７６＝２０６，ｙ乙 ＝２．７×１０ ＋１８０＝２０７．因为２０６＜２０７，所以当购买１０个羽毛球时，该班 在甲店购买合算． １６．（１）把 Ａ（－６，０），Ｂ（－１，５）代入 ｙ１ ＝ｋｘ＋ｂ，得 －６ｋ＋ｂ＝０， －ｋ＋ｂ＝５{ ．解得 ｋ＝１， ｂ＝６{ ．所以直线 ＡＢ的函数表达式为 ｙ１ ＝ｘ＋６． （２）过点Ｍ作ＭＰ⊥ｘ轴于点Ｐ，图略．由题意，得Ｍ（－３， ３），Ｎ（－３２，０）．所以ＡＮ＝ ９ ２，ＭＰ＝３．所以Ｓ△ＡＭＮ ＝ １ ２ＡＮ· ＭＰ＝ １２× ９ ２×３＝ ２７ ４． （３）根据图象，得关于ｘ的不等式ｋｘ＋ｂ＜－２ｘ－３的解集 为ｘ＜－３． 附加题　１．（１）设ｙ关于ｘ的函数关系式为ｙ＝ ｋｘ（ｋ≠ ０）．把ｘ＝６，ｙ＝２代入ｙ＝ ｋｘ，得ｋ＝１２．所以ｙ关于ｘ的函 数关系式为ｙ＝１２ｘ． （２）当像高为３ｃｍ时，即ｙ＝３．将ｙ＝３代入ｙ＝１２ｘ，得 ｘ＝４， 答：小孔到蜡烛的距离为４ｃｍ． ２．（１）ａ＝２，ｂ＝ ５２．　（２） ｘ＝１， ｙ＝２{ ． （３）存在．过点Ｐ作ＰＭ⊥ｘ轴于点Ｍ，ＰＮ⊥ｙ轴于点Ｎ， 图略．因为点Ｐ在ｙ＝２ｘ的图象上，所以设点Ｐ的坐标为（ｍ， ２ｍ）．所以ＰＭ＝｜２ｍ｜，ＰＮ＝｜ｍ｜．由题意，得Ａ（０，５２），Ｂ（５， ０）．所以ＯＡ＝５２，ＯＢ＝５．所以Ｓ△ＢＯＰ ＝ １ ２ＯＢ·ＰＭ＝ １ ２×５ ×｜２ｍ｜＝５｜ｍ｜，Ｓ△ＡＯＰ ＝ １ ２ＯＡ·ＰＮ＝ １ ２× ５ ２×｜ｍ｜＝ ５ ４｜ｍ｜．根据题意，得５｜ｍ｜＝ ５ ４｜ｍ｜＋５．解得｜ｍ｜＝ ４ ３．所 以ｍ＝±４３．所以点Ｐ的坐标为（ ４ ３， ８ ３）或（－ ４ ３，－ ８ ３）． ３５期检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ａ Ａ Ａ 二、１３．２；　１４．＜；　１５．四；　１６．６． 三、１７．点Ｐ（１，６）关于ｘ轴的对称点为（１，－６）．将（１，－６）代 入ｙ＝（３ｋ＋２）ｘ＋１，得３ｋ＋２＋１＝－６．解得ｋ＝－３． １８．（１）高中楼，图略． （２）图书馆的坐标是（４，１）；校门在第四象限；分布在第二象 限的是初中楼． １９．（１）把点Ｃ（ｍ，２）代入ｙ＝２ｘ－２，得２＝２ｍ－２．解得ｍ ＝２．所以点Ｃ的坐标为（２，２）．把点Ｃ（２，２），Ｂ（３，１）代入ｙ＝ｋｘ＋ ｂ，得 ２ｋ＋ｂ＝２， ３ｋ＋ｂ＝１{ ．解得 ｋ＝－１， ｂ＝４{ ．所以直线ｌ２的函数表达式为ｙ ＝－ｘ＋４． （２）由图象可得关于ｘ的不等式２ｘ－２≤ｋｘ＋ｂ的解集为ｘ≤ ２． ２０．（１）将点Ａ（３，－２）代入ｙ＝２－ｋｘ，得－２＝ ２－ｋ ３ ．解得ｋ ＝８． （２）由（１），得反比例函数的表达式为ｙ＝－６ｘ．所以在每一 象限内，ｙ随ｘ的增大而增大．因为点Ｃ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）均在反比 例函数ｙ＝－６ｘ的图象上，且０＜ｘ１ ＜ｘ２，所以ｙ１ ＜ｙ２． ２１．（１）设羊腿的售价为每斤ａ元，羊排的售价为每斤ｂ元． 根据题意，得 ４ａ＋３ｂ＝２７２， ２ａ＋ｂ＝１１６{ ． 解得 ａ＝３８， ｂ＝４０{ ． 答：羊腿的售价为每斤３８元，羊排的售价为每斤４０元． （２）设购进羊腿ｘ斤，这批羊肉卖完时获利ｗ元． 根据题意，得ｘ≥１２０，ｗ＝６ｘ＋８（１８０－ｘ）＝－２ｘ＋１４４０． 因为－２＜０，所以ｗ随ｘ的增大而减小．所以当ｘ＝１２０时，ｗ有 最大值，ｗ最大 ＝－２×１２０＋１４４０＝１２００，此时１８０－ｘ＝６０． 答：超市老板应该购进１２０斤羊腿、６０斤羊排，才能使得这 批羊肉卖完时获利最大，最大利润是１２００元． ２２．（１）把Ａ（２，３）代入ｙ＝ ｋｘ，得ｋ＝６．所以反比例函数 的关系式为ｙ＝ ６ｘ． （２）解方程组 ｙ＝ｘ＋１， ｙ＝６ｘ { ，得 ｘ１＝－３，ｙ１＝－{ ２或 ｘ２ ＝２，ｙ２ ＝３{ ．因为点 Ａ（２，３），所以点Ｂ（－３，－２）．因为ＢＣ⊥ｘ轴，所以点Ｃ（－３， ０），ＢＣ＝２．所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２×２×（２＋３）＝５． （３）存在．理由如下： 作点Ｃ关于ｙ轴的对称点Ｃ′，连结ＢＣ′交ｙ轴于点Ｄ，连结 ＣＤ，图略，此时ＢＤ＋ＣＤ的值最小． 因为Ｃ（－３，０），所以Ｃ′（３，０）． 设直线ＢＣ′的关系式为ｙ＝ｍｘ＋ｎ． 将Ｂ（－３，－２），Ｃ′（３，０）代入，得 －３ｍ＋ｎ＝－２， ３ｍ＋ｎ＝０{ ． 解得 ｍ＝ １３， ｎ＝－１ { ． 所以直线ＢＣ′的关系式为ｙ＝ １３ｘ－１． 当ｘ＝０时，ｙ＝－１． 所以点Ｄ的坐标是（０，－１）                                                                      ． —４— 初中数学华东师大八年级　第３２～３５期