第32期 17.3 一次函数-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（华东师大版）

书 一次函数及其图象是初中数学的重要内容之一，也 是中考的重点考查内容．求一次函数的表达式是一类常 见题型，它涉及知识面广、技巧性强、题目灵活多变．本 文对常见的几种典型题型进行归纳总结，现剖析如下． 一、待定系数直接求 例１　已知一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图象经过 （－１，－３），（２，３）两点，则它的图象不经过第 象限． 解：将（－１，－３），（２，３）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ， 得 －ｋ＋ｂ＝－３， ２ｋ＋ｂ＝３{ ． 解得 ｋ＝２， ｂ＝－１{ ． 所以该一次函数的表达式为ｙ＝２ｘ－１． 因为２＞０，－１＜０， 所以一次函数ｙ＝２ｘ－１的图象不经过第二象限． 故填二． 二、翻折问题用性质 例２　已知一次函数ｙ＝ｘ－ｂ的图象沿ｘ轴翻折后 经过点（４，１），则ｂ的值为 （　　） Ａ．－５　　　Ｂ．５　　　Ｃ．－３　　　Ｄ．３ 解：由题意，得点（４，１）关于ｘ轴对称的点的坐标是 （４，－１）． 将（４，－１）代入一次函数ｙ＝ｘ－ｂ，得４－ｂ＝－１． 解得ｂ＝５． 故选Ｂ． 三、平分图形用中线 例３　如图，在平面直角坐 标系中，已知点Ａ（０，４），Ｂ（－１， ２），Ｃ（３，２），直线 ｌ经过点 Ａ，它 将△ＡＢＣ分成面积相等的两部 分，则直线 ｌ的函数表达式为 ． 解：设直线ｌ与ＢＣ交于点Ｄ． 因为直线ｌ经过点Ａ，并将 △ＡＢＣ分成面积相等的 两部分，所以ＡＤ是△ＡＢＣ的中线． 因为Ｂ（－１，２），Ｃ（３，２），所以点Ｄ的坐标为（１，２）． 设直线ｌ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋４． 把Ｄ（１，２）代入，得ｋ＋４＝２． 解得ｋ＝－２． 所以直线ｌ的函数表达式为ｙ＝－２ｘ＋４． 故填ｙ＝－２ｘ＋４． !"#$ !"#$%&' !"#!"!#$!"!%$% &!$'()*+,%-. /0$12345 ! !" " #$%# !"# $%&'()#$%!%# !"* +, ! !& " #$%!"! -" *./ ! !' " #$%( 012 343567*!"67) #$%) 89:;<=>:9 :; ! (* " ? #$ @> @AB ! (# " #"+# CD< E:)#"%!E:*FG ! (! " #"%( 35E : ! (( " #"%) HIJ E: ! () " #"%, KL< MN ! (, " ? #" @> @AB ! ($" OPAB ! 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ABde #$%&'()* #$%'+,-./012 #$%'3456789:); <=>?@ABC ?DEFGH IJKLMNBCOPE./ #)0-"-"1Q2R STUPE!#0!-$ !"#$%&'( ) *+%&,-./01' -(,#0,!"#!$& *+23,-./01' -(,#0,!"#!$% 书 最值问题立足于图形变换的基础上，通过一次函数 的图象确定最值点，增强数学意识． 例１　如图１，直线ｙ１＝ｘ＋３ 分别与ｘ轴、ｙ轴交于点Ａ和点Ｃ， 直线ｙ２ ＝－ｘ＋３分别与ｘ轴、ｙ轴 交于点 Ｂ和点 Ｃ，点 Ｐ（ｍ，２）是 △ＡＢＣ内部（包括边上）的一点， 则ｍ的最大值与最小值之差为 （　　） Ａ．１　　　　Ｂ．２　　　　Ｃ．４　　　　Ｄ．６ 解：因为点Ｐ（ｍ，２）是△ＡＢＣ内部（包括边上）的一 点，所以点Ｐ所在的直线ｌ平行于ｘ轴．当点Ｐ为直线ｌ与 直线ｙ２＝－ｘ＋３的交点时，ｍ取最大值，有－ｍ＋３＝２， 解得ｍ＝１；当点Ｐ为直线ｌ与直线ｙ１＝ｘ＋３的交点时， ｍ取最小值，有ｍ＋３＝２，解得ｍ＝－１．所以ｍ的最大 值与最小值之差为：１－（－１）＝２．故选Ｂ． 例２　如图２，一次函数ｙ ＝ｘ＋４的图象与ｘ轴、ｙ轴分 别交于点Ａ，Ｂ，点Ｃ（－２，０）是 ｘ轴上一点，点 Ｅ，Ｆ分别为直 线ｙ＝ｘ＋４和ｙ轴上的两个动 点，当△ＣＥＦ的周长最小时，点Ｅ，Ｆ的坐标分别为 （　　） Ａ．Ｅ（－５２， ３ ２），Ｆ（０，２） Ｂ．Ｅ（－２，２），Ｆ（０，２） Ｃ．Ｅ（－５２， ３ ２），Ｆ（０， ２ ３）Ｄ．Ｅ（－２，２），Ｆ（０， ２ ３） 解：如图２，分别作点Ｃ关于ｙ轴的对称点Ｇ（２，０）， 关于直线ｙ＝ｘ＋４的对称点Ｄ，连结ＡＤ，连结ＤＧ交ＡＢ 于点Ｅ，交ｙ轴于点Ｆ，此时△ＣＥＦ的周长最小．因为一 次函数ｙ＝ｘ＋４的图象与ｘ轴、ｙ轴分别交于点Ａ，Ｂ，所 以Ａ（－４，０），Ｂ（０，４）．所以△ＡＯＢ是等腰直角三角形． 所以∠ＢＡＣ＝４５°．因为Ｃ，Ｄ关于ＡＢ对称，所以∠ＤＡＢ ＝∠ＢＡＣ＝４５°．所以∠ＤＡＣ＝９０°．因为Ｃ（－２，０），所 以ＡＣ＝ＯＡ－ＯＣ＝２＝ＡＤ．所以Ｄ（－４，２）．设直线ＤＧ 的表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ．将 Ｄ（－４，２），Ｇ（２，０）代入，得 －４ｋ＋ｂ＝２， ２ｋ＋ｂ＝０{ ． 解得 ｋ＝－１３， ｂ＝ ２３ { ．所以直线ＤＧ的表达式 为ｙ＝－１３ｘ＋ ２ ３．对于ｙ＝－ １ ３ｘ＋ ２ ３，令ｘ＝０，得ｙ ＝ ２３．所以点Ｆ的坐标为（０， ２ ３）．解 ｙ＝ｘ＋４， ｙ＝－１３ｘ＋ ２ ３ { ，得 ｘ＝－５２， ｙ＝３２ { ．所以点Ｅ的坐标为（－５２，３２）．故选Ｃ． 书 有些与一次函数有关的数学问题，在题目给定的条 件下，其答案有两种或两种以上的结果，解答这类问题 时，许多同学往往因忽视某种情况而导致以偏概全．本 文列举数例，供同学们参考学习． 例１　已知函数ｙ＝（ｍ－２）ｘｍ２－３＋ｎ＋２（ｍ，ｎ是 常数）是正比例函数，则ｍ＋ｎ的值为 （　　） Ａ．－４或０ Ｂ．±２ Ｃ．０ Ｄ．－４ 解：因为函数ｙ＝（ｍ－２）ｘｍ２－３＋ｎ＋２（ｍ，ｎ是常 数）是正比例函数，所以ｍ２－３＝１，ｍ－２≠０，ｎ＋２＝ ０．解得ｍ＝±２，ｍ≠２，ｎ＝－２．所以ｍ＝－２，ｎ＝－２． 所以ｍ＋ｎ＝－４． 故选Ｄ． 例２　一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）满足当 －１≤ｘ ≤２时，－２≤ｙ≤１，求这条直线的函数表达式． 解：①当ｙ随着ｘ的增大而增大时，点（－１，－２）， （２，１）在直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ上．所以 －ｋ＋ｂ＝－２， ２ｋ＋ｂ＝１{ ． 解得 ｋ＝１， ｂ＝－１{ ．所以这条直线的函数表达式为ｙ＝ｘ－１． ②当ｙ随着 ｘ的增大而减小时，点（－１，１），（２， －２）在直线 ｙ＝ｋｘ＋ｂ上．所以 －ｋ＋ｂ＝１， ２ｋ＋ｂ＝－２{ ．解得 ｋ＝－１， ｂ＝０{ ．所以这条直线的函数表达式为ｙ＝－ｘ． 综上所述，这条直线的函数表达式为ｙ＝ｘ－１或ｙ ＝－ｘ． 例３　如右图，直线ｙ＝２ｘ＋３ 与ｘ轴交于点Ａ，与ｙ轴交于点Ｂ． （１）求Ａ，Ｂ两点的坐标； （２）过Ｂ点作直线ＢＰ与ｘ轴 交于点 Ｐ，且使 ＯＰ ＝２ＯＡ，求 △ＡＢＰ的面积． 解：（１）对于ｙ＝２ｘ＋３，令ｙ＝０，得２ｘ＋３＝０．解 得ｘ＝－３２．所以Ａ点坐标为（－ ３ ２，０）．令ｘ＝０，得ｙ＝ ３．所以Ｂ点坐标为（０，３）． （２）因为ＯＰ＝２ＯＡ，Ａ（－３２，０），所以ＯＰ＝３． ①当点Ｐ在点Ａ的左边时，Ｐ点坐标为（－３，０），所 以Ｓ△ＡＢＰ ＝ １ ２×（３－ ３ ２）×３＝ ９ ４； ②当点Ｐ在点Ａ的右边时，Ｐ点坐标为（３，０），所以 Ｓ△ＡＢＰ ＝ １ ２×（３＋ ３ ２）×３＝ ２７ ４． 综上所述，△ＡＢＰ的面积为 ９４或 ２７ ４． 书 上期２版 １７．１变量与函数 ①变量与函数 基础训练　１．Ｃ；　２．单价． ３．（１）常量是６；变量是ｎ，ｔ． （２）常量是４０；变量是ｓ，ｔ． ４．（１）１９０； （２）水池的容积是常量；抽水时间、抽出水的体积、水池中 水的体积是变量． ②变量与函数 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．ｙ＝２４ｘ＋３． ４．（１）ｙ是ｘ的函数．理由如下： 存在两个变量：买地砖需要的钱数 ｙ和小路的宽度 ｘ，对于 每一个ｘ的值，ｙ都有惟一确定的值与之相对应，符合函数的定 义，所以ｙ是ｘ的函数． （２）当ｘ＝３时，两条小路的面积和为：３２×３＋２０×３－３２ ＝１４７（平方米）．地砖的费用为：６０×１４７＝８８２０（元）． １７．２函数的图象 １７．２．１平面直角坐标系 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．Ｄ；　４．ｙ；　５．（３，３）． ６．（１）点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的坐标依次为：Ａ（３，２），Ｂ（－３，４）， Ｃ（－４，－３），Ｄ（３，－３）； （２）图略，得到的封闭图形是一个直角三角形． １７．２．２函数的图象 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．－１＜ｘ＜１或ｘ＞２； ４．２５． ５．图略．当 ｘ＝１时，ｙ＝２ｘ＋１＝３＜槡１０．所以点（１， 槡１０）在该函数图象的上方． ６．（１）由图象可知，Ａ点表示小王开始收割前微信零钱有 ２０００元． （２）由图象可知，收割２０亩后，微信零钱为３６００元．所以收 割机收割一亩小麦：（３６００－２０００）÷２０＝８０（元）． （３）ａ＝２０００＋５０×８０＝６０００． （４）全天收割小麦共收入：２８４０＋４０００＝６８４０（元）． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ａ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ Ｂ 二、９．（－２，３）；　１０．８；　１１．ｙ＝１．８ｘ＋３２；　１２．（２２４，０）． 三、１３．（１）学校、汽车站的坐标分别为（１，３），（２，－１）； （２）他路上经过的地方有：商店、公园、汽车站、水果店、学 校、娱乐城、邮局． １４．（１）将ｘ＝１，ｙ＝４代入ｙ＝２ｘ＋ｂ，得２＋ｂ＝４．解得 ｂ＝２． （２）图略． １５．（１）因为点Ｐ在ＡＢ上运动，所以０≤ｘ≤４．根据题意， 得ｙ＝４×８－１２ ×８ｘ＝－４ｘ＋３２（０≤ｘ≤４）． （２）当阴影部分的面积等于２０，即ｙ＝－４ｘ＋３２＝２０．解得 ｘ＝３．所以ＰＢ＝３． １６．（１）当ｘ＝－３时，ｙ＝－２×（－３）＋１＝７； 当ｘ＝２时，ｙ＝ １２ ×２－ ３ ２ ＝－ １ ２． （２）Ａ． （３）①当ｘ＜１时，－２ｘ＋１＝１，解得ｘ＝０，符合题意； ②当ｘ≥１时，１２ｘ－ ３ ２ ＝１，解得ｘ＝５，符合题意． 综上所述，输入的ｘ值为０或５． 附加题　１．（１）根据题意，得２－ｍ＝－１．解得ｍ＝３．所以 Ｍ（－１，１）．所以ＭＮ＝１－（－４）＝５． （２）根据题意，得－（２ｍ－５）－（２－ｍ）＝４．解得ｍ＝－１． 所以２－ｍ＝３，２ｍ－５＝－７．所以点Ｍ的坐标为（３，－７）． ２．（１）１；点Ｂ表示乙行驶 ８３ ｈ时，甲、乙两人相遇；点 Ｃ表 示乙行驶５ｈ时，甲、乙两人相距３５ｋｍ． （２）设甲的速度为ａｋｍ／ｈ，乙的速度为ｂｋｍ／ｈ． 根据题意，得 ８ ３ｂ＝ ５ ３ａ， （５－８３）（ａ－ｂ）＝３５ { ．解得 ａ＝４０，ｂ＝２５{ ． 答：甲的速度为４０ｋｍ／ｈ，乙的速度为２５ｋｍ／ｈ． 456 !-!,7!8,9 : 5 !" ;: !!"#5 % ! ()*+ qr<(¦§¨%'©ª! !" " !"#$%&'" ()*+,-'. #"+( L«¬< (­®¯E#+ !"#$%&' ()*%&+,-+ !+."#$%&+/01234##56789 :;<=>?@>ABCD347EF#$%&GH3 4+IJ+ °±²³E#+8KLMNOPQDRS+#$ %&+/017TUV4WX8Y+ !+:;5#$%&34GIJ+Z[7\]^ _8Y>`38Y'&abc8Y+ 书 一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ是常数，ｋ≠０）中，ｋ，ｂ不 同，函数不同，其图象与性质也不同，可以说 ｋ，ｂ决定了 一次函数的图象与性质． 一、比较大小 例１　若一次函数ｙ＝２ｘ＋１的图象经过点（－３， ｙ１），（４，ｙ２），则ｙ１与ｙ２的大小关系是 （　　） Ａ．ｙ１ ＜ｙ２ Ｂ．ｙ１ ＞ｙ２ Ｃ．ｙ１≤ｙ２ Ｄ．ｙ１≥ｙ２ 解：因为一次函数ｙ＝２ｘ＋１中，比例系数ｋ＝２＞ ０，所以ｙ随ｘ的增大而增大． 因为 －３＜４，所以ｙ１ ＜ｙ２． 故选Ａ． 二、确定象限 例２　在一次函数ｙ＝－５ａｘ＋ｂ（ａ≠０）中，ｙ的值 随ｘ值的增大而增大，且ａｂ＞０，则点Ａ（ａ，ｂ）在 （　　） Ａ．第四象限 Ｂ．第三象限 Ｃ．第二象限 Ｄ．第一象限 解：因为在一次函数ｙ＝－５ａｘ＋ｂ（ａ≠０）中，ｙ的值 随ｘ值的增大而增大，所以 －５ａ＞０． 解得ａ＜０． 因为ａｂ＞０，所以ｂ＜０． 所以点Ａ（ａ，ｂ）在第三象限． 故选Ｂ． 三、判断函数图象 例３　若ｍ＜－２，则一次函数ｙ＝（ｍ＋１）ｘ＋１－ ｍ的图象可能是 （　　） 解：因为ｍ＜－２，所以ｍ＋１＜－１，１－ｍ＞３． 所以一次函数ｙ＝（ｍ＋１）ｘ＋１－ｍ的图象经过第 一、二、四象限． 故选Ｄ． 四、求取值范围 例４　一次函数ｙ＝（ｋ＋２）ｘ＋ ｂ的图象如图所示，则 ｋ的取值范围 是 （　　） Ａ．ｋ≥－２　　 　　Ｂ．ｋ＜－２ Ｃ．ｋ≤－２　　　 　Ｄ．ｋ＞－２ 解：根据图象，得ｋ＋２＞０． 解得ｋ＞－２． 故选Ｄ． 书 设一次函数的图象为 直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），由 平移的性质可知平移前后 的直线互相平行，所以一次 项系数ｋ的大小没有改变， 只要探究常数项的变化规 律即可． 一、沿ｙ轴上下平移 在直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ上取 一点（０，ｂ），将直线向上平 移ｍ（ｍ ＞０）个单位长度 时，该点也向上平移ｍ个单 位长度，得到点（０，ｂ＋ｍ）． 设平移后的直线表达式为 ｙ＝ｋｘ＋ｃ．因为点（０，ｂ＋ ｍ）在此直线上，所以 ｂ＋ｍ ＝０·ｋ＋ｃ，即ｃ＝ｂ＋ｍ．所 以平移后的直线表达式为 ｙ＝ｋｘ＋（ｂ＋ｍ）．同理，直 线ｙ＝ｋｘ＋ｂ向下平移ｍ（ｍ＞０）个单位长度后，所得 的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋（ｂ－ｍ）．所以向上（或向下） 平移ｍ（ｍ＞０）个单位长度，就是将常数项加上（或减 去）ｍ，即“上下平移，上加下减”． 例１　在平面直角坐标系中，将函数ｙ＝３ｘ＋２的 图象向下平移３个单位长度，所得图象的函数表达式是 （　　） Ａ．ｙ＝３ｘ＋５ Ｂ．ｙ＝３ｘ－５ Ｃ．ｙ＝３ｘ＋１ Ｄ．ｙ＝３ｘ－１ 解：将函数ｙ＝３ｘ＋２的图象向下平移３个单位长 度后，所得图象的函数表达式是ｙ＝３ｘ＋２－３＝３ｘ－１． 故选Ｄ． 二、沿ｘ轴左右平移 在直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ上取一点（－ｂｋ，０），将直线向左 平移ｍ（ｍ＞０）个单位长度，该点也向左平移ｍ个单位 长度，得到点（－ｂｋ－ｍ，０）．设平移后的直线表达式为ｙ ＝ｋｘ＋ｄ，则ｋ（－ｂｋ－ｍ）＋ｄ＝０，即ｄ＝ｋｍ＋ｂ．所以 平移后的直线表达式为ｙ＝ｋ（ｘ＋ｍ）＋ｂ．同理，直线ｙ ＝ｋｘ＋ｂ向右平移ｍ个单位长度后，所得函数表达式为 ｙ＝ｋ（ｘ－ｍ）＋ｂ．所以向左（或向右）平移ｍ（ｍ＞０）个 单位长度，就是将自变量的值加上（或减去）ｍ，即“左右 平移，左加右减”． 例２　一次函数ｙ＝－ｘ－１向右平移６个单位长度 后的函数表达式为 ． 解：一次函数ｙ＝－ｘ－１向右平移６个单位长度后 的函数表达式为ｙ＝－（ｘ－６）－１＝－ｘ＋５． 故填ｙ＝－ｘ＋５． " ´ µ ¶ L · # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ########################################## ! " # ! " # ! " # ! " # 3 4 . 5 ! #$ ¸¹º ! W» ¼½¾ !" # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ######################################### ! " $ % # ! ¿À ]Á # ! &'!(( ! % " $ # # &!(( ) # * F # ! +" , ) - $ . % # F ! ! Ã$ ħŠ# ! " ) $ % 0!0# # ! ( ) , $ , ) ( ! # 0# 0! ! * 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．下列函数中，是一次函数的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｙ＝ ６ｘ Ｂ．ｙ＝ｘ ２ Ｃ．ｙ＝３ｘ－５ Ｄ．ｙ＝ １ｘ－１ ２．一次函数ｙ＝２ｘ＋５的图象与ｙ轴的交点坐标是 （　　） Ａ．（２，５） Ｂ．（０，２） Ｃ．（０，５） Ｄ．（－５２，０） ３．点（３，－５）在正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图象 上，则ｋ的值为 （　　） Ａ．－１５ Ｂ．１５ Ｃ．－３５ Ｄ．－ ５ ３ ４．点Ａ（－２，ｙ１）和Ｂ（－１，ｙ２）都在直线ｙ＝－２ｘ＋ ｂ上，则ｙ１和ｙ２的大小关系是 （　　） Ａ．ｙ１ ＞ｙ２ Ｂ．ｙ１ ＜ｙ２ Ｃ．ｙ１ ＝ｙ２ Ｄ．无法确定 ５．将直线ｙ＝２ｘ＋１向上平移２个单位长度，相当于 （　　） Ａ．向左平移２个单位长度 Ｂ．向左平移１个单位长度 Ｃ．向右平移２个单位长度 Ｄ．向右平移１个单位长度 ６．已知一次函数ｙ１＝ａｘ＋ｂ和ｙ２＝ｂｘ＋ａ（ａｂ≠０， 且ａ≠ｂ），这两个函数的图象可能是 （　　） ７．已知直线ｌ１：ｙ＝２ｘ＋３关于垂直于ｘ轴的直线对 称后，所得的直线ｌ２过点（３，１），则直线ｌ２的函数表达式 为 （　　） Ａ．ｙ＝－２ｘ＋７ Ｂ．ｙ＝２ｘ－５ Ｃ．ｙ＝－２ｘ＋５ Ｄ．ｙ＝－１２ｘ＋ ５ ２ ８．在平面直角坐标系中，直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ交ｘ轴于点 Ａ（－２，０），交ｙ轴于点Ｂ，且△ＡＯＢ的面积为８，则ｋ＝ （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．－２或４ Ｄ．－４或４ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．一次函数ｙ＝ｘ＋ｋ－２的图象经过原点，则ｋ的值 为 ． １０．如果正比例函数 ｙ＝（３ｋ－２）ｘ的图象经过第 二、四象限，那么ｋ的取值范围是 ． １１．一次函数ｙ＝－ｘ＋ｂ的图象在第一象限内只有 ３个横、纵坐标均为整数的点，则ｂ的值为 ． １２．在平面直角坐标系中，直线ｙ＝－３４ｘ＋３分别 与ｘ轴、ｙ轴交于点Ａ，Ｂ，将△ＡＯＢ沿过点Ａ的直线折叠， 使点Ｂ落在ｘ轴的负半轴上，记作点Ｃ，折痕与ｙ轴交于 点Ｄ，则直线ＡＤ的函数表达式为 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（１０分）已知一次函数ｙ＝２ｘ－４的图象与ｘ轴 交于点Ａ，与ｙ轴交于点Ｂ． （１）求Ａ，Ｂ两点的坐标，并在如图１所示的平面直 角坐标系中画出该函数的图象； （２）求△ＡＯＢ的面积． １４．（１２分）如图２，正比例函数ｙ＝ｋｘ的图象经过 点Ａ． （１）求该正比例函数的表达式； （２）若这个函数的图象还经过点Ｂ（ｍ，ｍ＋３），求ｍ 的值； （３）判断点Ｐ（－３２，１）是否在这个函数的图象上． １５．（１４分）如图３，直线ｌ是一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的 图象，直线ｌ经过点（３，－３），交ｘ轴于点Ａ，交ｙ轴于点 Ｂ（０，１）． （１）求直线ｌ的函数表达式； （２）当ｘ 时，ｙ≥０； （３）求原点到直线ｌ的距离． １６．（１６分）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车 从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离 为ｙ１（ｋｍ），出租车离甲地的距离为 ｙ２（ｋｍ），客车行驶 的时间为ｘ（ｈ），ｙ１，ｙ２与ｘ之间的函数关系如图４所示． （１）根据图象，求出ｙ１，ｙ２关于ｘ的函数表达式； （２）若设两车间的距离为ｓ（ｋｍ），请写出ｓ关于ｘ的 函数表达式． （以下试题供各地根据实际情况选用） １．（８分）顶碗舞是我国一种非常有特色的民间舞 蹈，舞蹈演员头顶若干相同规格的碗还可以跳出优美的 舞姿．如图１，规格相同的某种碗整齐地摞在一起，高度 ｙ（ｃｍ）为碗的个数ｘ的一次函数．已知３个碗摞在一起 的高度为１０ｃｍ，６个碗摞在一起的高度为１４．５ｃｍ． （１）请求出ｙ与ｘ之间的函数表达式； （２）有的舞蹈演员可以顶１２个这种碗，求此时碗摞 在一起的高度． ２．（１２分）如图２，一次函数ｙ＝ｘ＋２的图象分别与 ｘ轴、ｙ轴交于Ｃ，Ａ两点，且与正比例函数ｙ＝ｋｘ的图象 交于点Ｂ（－１，ｍ）． （１）求该正比例函数的表达式； （２）若点Ｄ是一次函数ｙ＝ｘ＋２图象上的一点，且 △ＯＣＤ的面积是３，求点Ｄ的坐标； （３）在ｘ轴上是否存在点Ｐ，使ＢＰ＋ＡＰ的值最小？ 若存在，求出点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由                                                                                                                                                                 ． 书 １７．３一次函数 １７．３．１一次函数的概念 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．下列函数中，是一次函数的是 （　　） Ａ．ｙ＝２ｘ２＋４ Ｂ．ｙ＝ １ｘ＋２ Ｃ．ｙ＝－２ｘ＋１ Ｄ．ｙ＝ｋｘ＋ｂ ２．当ｘ＝２时，一次函数ｙ＝－２ｘ＋１的值是 （　　） Ａ．－５ Ｂ．３ Ｃ．－３ Ｄ．５ ３．已知关于ｘ的函数ｙ＝（ｎ－２）ｘ｜ｎ｜－１－６是一次 函数，则ｎ的值为 ． ４．在一次函数ｙ＝－２（ｘ＋１）＋ｘ中，比例系数ｋ为 ． ５．某下岗职工购进一批香蕉，到集贸市场零售．卖 出的香蕉重量ｘ（千克）与销售额ｙ（元）之间的关系如 下表所示： 重量ｘ／千克 １ ２ ３ ４ ５ 销售额ｙ／元 ４＋０．１ ８＋０．２１２＋０．３１６＋０．４２０＋０．５ 求ｙ与ｘ的函数关系式，并指出ｙ是不是ｘ的一次函 数． ６．红星机械厂有煤８０吨，每天需烧煤５吨，求工厂 余煤量ｙ（吨）与烧煤天数ｘ之间的函数表达式，指出ｙ 是不是ｘ的一次函数，并求自变量ｘ的取值范围． ７．规定：［ｋ，ｂ］是一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ为实数， ｋ≠０）的“特征数”．若“特征数”是［４，１－ｍ］的一次函 数是正比例函数，则点（２－ｍ，２＋ｍ）所在的象限是 （　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 １７．３．２一次函数的图象 １．一次函数ｙ＝ｘ－４的图象与ｘ轴的交点坐标是 （　　） Ａ．（０，４） Ｂ．（－４，０） Ｃ．（４，０） Ｄ．（０，－４） ２．已知正比例函数ｙ＝３ｘ的图象经过点（ｍ，１），则 ｍ的值为 （　　） Ａ．１３ Ｂ．３ Ｃ．－１３ Ｄ．－３ ３．在平面直角坐标系中，直线ｙ＝３ｘ＋５不经过 （　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ４．若点（ｍ，ｎ）在一次函数ｙ＝２ｘ＋１的图象上，则 ２ｍ－ｎ的值为 ． ５．将一次函数ｙ＝３４ｘ＋１的图象向上平移４个单 位长度，平移后图象的函数表达式为 ． ６．请在同一平面直角坐标系中，画出函数ｙ＝３ｘ－ ８与ｙ＝－１３ｘ＋２的图象． ７．如图，直线ＰＡ是一次函数ｙ＝ｘ＋１的图象，直线 ＰＢ是一次函数ｙ＝－２ｘ＋４的图象，点Ａ，Ｂ都在ｘ轴上， 点Ｑ在ｙ轴上． （１）求Ａ，Ｂ，Ｐ三点的坐标； （２）求四边形ＰＱＯＢ的面积． １７．３．３一次函数的性质 １．已知一次函数ｙ＝ｋｘ＋２（ｋ≠０）的函数值ｙ随 ｘ的增大而增大，则该函数的图象大致是 （　　） ２．已知点Ａ（－４，ｍ）与点Ｂ（３，ｎ）是直线ｙ＝－５ｘ ＋ｂ上的两点，则ｍ与ｎ的大小关系是 （　　） Ａ．ｍ＞ｎ Ｂ．ｍ＝ｎ Ｃ．ｍ＜ｎ Ｄ．无法确定 ３．已知正比例函数ｙ＝（２ａ－１）ｘ，如果ｙ的值随ｘ 值的增大而减小，则ａ的取值范围是 ． ４．在平面直角坐标系中，函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象如 下图所示，则ｋｂ ０（填“＞”“＝”或“＜”）． ５．已知函数ｙ＝（２ｍ＋１）ｘ＋ｍ－３． （１）若函数图象经过原点，求ｍ的值； （２）若函数图象与ｙ轴交于点（０，－２），求ｍ的值； （３）若函数图象平行于直线ｙ＝３ｘ－３，求ｍ的值． １７．３．４求一次函数的表达式 １．直线ｙ＝ｋｘ－４经过点（－２，２），则该直线的函数 表达式是 （　　） Ａ．ｙ＝－３ｘ－４ Ｂ．ｙ＝－ｘ－４ Ｃ．ｙ＝ｘ－４ Ｄ．ｙ＝３ｘ－４ ２．某个一次函数的图象与直线ｙ＝ １２ｘ＋６平行， 并且经过点（－２，－４），则这个一次函数的表达式为 （　　） Ａ．ｙ＝－１２ｘ－５ Ｂ．ｙ＝ １ ２ｘ＋３ Ｃ．ｙ＝ １２ｘ－３ Ｄ．ｙ＝－２ｘ－８ ３．已知一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象经过点（２，０）． 若每当ｘ增加１个单位长度时，ｙ就增加３个单位长度， 则这个一次函数的关系式是 ． ４．如图 １，在平面直角坐 标系中，已知长方形 ＡＢＣＯ的 两个顶点 Ａ（３，０），Ｂ（３，２），则 对角线 ＡＣ所在直线的函数关 系式是 ． ５．在平面直角坐标系中，已知直线 ＡＢ与 ｘ轴交于 点Ａ（２，０），与ｙ轴交于点Ｂ（０，１）． （１）求直线ＡＢ的函数表达式； （２）若ｘ轴上有一点Ｃ，且Ｓ△ＡＢＣ ＝２，求点Ｃ的坐 标． ６．如图２，已知点Ａ的坐标 为（－１，０），直线ｙ＝ｘ－２与ｘ 轴交于点Ｃ，与ｙ轴交于点Ｄ，点 Ｂ在直线ｙ＝ｘ－２上运动．当线 段ＡＢ最短时，点Ｂ的坐标是 （　　） Ａ．（１２，－ ３ ２） Ｂ．（１，－１） Ｃ．（１３，－ ５ ３） Ｄ．（０，－２ 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ） !" ! #$%"& '()*+,-./ ! ! !"#$ ! 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FGNÝZ[\]^ û_`abcde&0&´ fghÎijÉ£ÎO kˆÉ_U®l &$&&01 书 答案详解 　　　　　　 　２０２４～２０２５学年　初中数学华东师大八年级　第３２～３５期　　　　　　 　 ３２期２版 １７．３一次函数 １７．３．１一次函数的概念 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．－２；　４．－１． ５．根据题意，得ｙ＝（４＋０．１）ｘ＝４．１ｘ．所以ｙ是ｘ的一次 函数． ６．根据题意，得ｙ＝８０－５ｘ．ｙ是ｘ的一次函数．因为ｙ≥０， 所以８０－５ｘ≥０．解得ｘ≤１６．因为ｘ≥０，所以ｘ的取值范围 为０≤ｘ≤１６． 能力提高　７．Ａ． １７．３．２一次函数的图象 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．－１； ５．ｙ＝ ３４ｘ＋５． ６．图略． ７．（１）对于ｙ＝ｘ＋１，当ｙ＝０时，ｘ＋１＝０．解得ｘ＝－１． 所以Ａ（－１，０）．对于ｙ＝－２ｘ＋４，当ｙ＝０时，－２ｘ＋４＝０． 解得ｘ＝２．所以 Ｂ（２，０）．解 ｙ＝ｘ＋１， ｙ＝－２ｘ＋４{ ，得 ｘ＝１， ｙ＝２{ ．所以 Ｐ（１，２）． （２）对于ｙ＝ｘ＋１，当ｘ＝０时，ｙ＝１．所以Ｑ（０，１）．所以 四边形ＰＱＯＢ的面积为：Ｓ△ＡＢＰ－Ｓ△ＡＯＱ ＝ １ ２×３×２－ １ ２×１× １＝ ５２． １７．３．３一次函数的性质 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ；　３．ａ＜ １２；　４．＜． ５．（１）根据题意，得ｍ－３＝０．解得ｍ＝３． （２）根据题意，得ｍ－３＝－２．解得ｍ＝１． （３）根据题意，得２ｍ＋１＝３．解得ｍ＝１． １７．３．４求一次函数的表达式 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．ｙ＝３ｘ－６； ４．ｙ＝－２３ｘ＋２． ５．（１）设直线ＡＢ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）．将点 Ａ（２，０），Ｂ（０，１）代入，得 ２ｋ＋ｂ＝０， ｂ＝１{ ． 解得 ｋ＝－１２， ｂ＝１ { ． 所以直 线ＡＢ的函数表达式为ｙ＝－１２ｘ＋１． （２）设点Ｃ的坐标为（ｔ，０）．所以ＡＣ＝｜２－ｔ｜．因为Ｓ△ＡＢＣ ＝２，所以 １２×｜２－ｔ｜×１＝２．解得ｔ＝－２或ｔ＝６．所以点Ｃ 的坐标为（－２，０）或（６，０）． 能力提高　６．Ａ． ３２期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｄ Ａ Ｄ 二、９．２；　１０．ｋ＜２３；　１１．４；　１２．ｙ＝－ １ ３ｘ＋ ４ ３． 三、１３．（１）对于ｙ＝２ｘ－４，当ｘ＝０时，ｙ＝－４．所以点Ｂ 的坐标为（０，－４）．当ｙ＝０时，有２ｘ－４＝０．解得ｘ＝２．所以 点Ａ的坐标为（２，０）．画图略． （２）因为点Ａ的坐标为（２，０），点Ｂ的坐标为（０，－４），所 以ＯＡ＝２，ＯＢ＝４．所以△ＡＯＢ的面积为：１２ＯＡ·ＯＢ＝４． １４．（１）将点Ａ（－１，２）代入ｙ＝ｋｘ，得 －ｋ＝２．解得 ｋ＝ －２．所以该正比例函数的表达式为ｙ＝－２ｘ． （２）将点Ｂ（ｍ，ｍ＋３）代入ｙ＝－２ｘ，得－２ｍ＝ｍ＋３．解得ｍ ＝－１． （３）当ｘ＝－３２时，ｙ＝－２×（－ ３ ２）＝３≠１．所以点Ｐ 不在这个函数的图象上． １５．（１）把（３，－３），（０，１）代入 ｙ ＝ ｋｘ＋ｂ，得 ３ｋ＋ｂ＝－３， ｂ＝１{ ． 解得 ｋ＝－４３， ｂ＝１ { ． 所以直线 ｌ的函数表达式为 ｙ ＝－４３ｘ＋１． （２）≤ ３４． （３）设原点到直线ｌ的距离为ｈ．因为ＯＡ＝３４，ＯＢ＝１，所 以 ＡＢ＝ ＯＡ２＋ＯＢ槡 ２ ＝５４．所以Ｓ△ＡＯＢ ＝ １ ２ＡＢ·ｈ＝ １ ２ＯＡ· ＯＢ，即 １２× ５ ４ｈ＝ １ ２× ３ ４×１．解得ｈ＝ ３ ５，即原点到直线ｌ的 距离为 ３ ５． １６．（１）设ｙ１关于ｘ的函数表达式为ｙ１ ＝ａｘ．将点（１０，６００） 代入，得１０ａ＝６００．解得ａ＝６０．所以ｙ１关于ｘ的函数表达式为ｙ１ ＝６０ｘ（０≤ｘ≤１０）．设ｙ２关于ｘ的函数表达式为ｙ２＝ｋｘ＋ｂ．将 点（０，６００），（６，０）代入，得 ｂ＝６００， ６ｋ＋ｂ＝０{ ．解得 ｋ＝－１００， ｂ＝６００{ ．所以ｙ２ 关于ｘ的函数表达式为ｙ２ ＝－１００ｘ＋６００（０≤ｘ≤６）． （２）当两车相遇时，ｙ１＝ｙ２，即６０ｘ＝－１００ｘ＋６００．解得                                                         ｘ —１— 初中数学华东师大八年级　第３２～３５期 ＝１５４．所以ｓ＝ｙ２－ｙ１＝－１６０ｘ＋６００（０≤ｘ≤ １５ ４），ｓ＝ｙ１－ ｙ２ ＝１６０ｘ－６００（ １５ ４ ＜ｘ≤６），ｓ＝６０ｘ（６＜ｘ≤１０）． 附加题　１．（１）设ｙ与ｘ之间的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ． 将 （３，１０）， （６，１４．５） 代 入， 得 ３ｋ＋ｂ＝１０， ６ｋ＋ｂ＝１４．５{ ．解 得 ｋ＝ ３２， ｂ＝１１２ { ．所以ｙ与ｘ之间的函数表达式为ｙ＝ ３２ｘ＋１１２． （２）当ｘ＝１２时，ｙ＝ ３２×１２＋ １１ ２ ＝ ４７ ２． 答：１２个这种碗摞在一起的高度是４７２ｃｍ． ２．（１）因为一次函数ｙ＝ｘ＋２过点Ｂ（－１，ｍ），所以ｍ＝１． 将（－１，１）代入ｙ＝ｋｘ，得 －ｋ＝１．解得ｋ＝－１．所以该正比 例函数的表达式为ｙ＝－ｘ． （２）由题意，得Ｃ（－２，０）．所以ＯＣ＝２．设点Ｄ的坐标为 （ａ，ａ＋２）．根据题意，得 １２×２×｜ａ＋２｜＝３．解得ａ＝１或ａ ＝－５．当ａ＝１时，ａ＋２＝３．此时Ｄ（１，３）．当ａ＝－５时，ａ＋ ２＝－３．此时Ｄ（－５，－３）． 综上所述，点Ｄ的坐标为（１，３）或（－５，－３）． （３）在ｘ轴上存在点Ｐ，使ＢＰ＋ＡＰ的值最小． 作点Ｂ关于ｘ轴的对称点Ｂ′（－１，－１），连结ＡＢ′交ｘ轴 于点Ｐ，连结ＢＰ，此时ＢＰ＋ＡＰ的值最小．由题意，得Ａ（０，２）． 设直线ＡＢ′的函数表达式为ｙ＝ｍｘ＋ｎ．将（０，２），（－１，－１） 代入，得 ｎ＝２， －ｍ＋ｎ＝－１{ ．解得 ｍ＝３， ｎ＝２{ ．所以直线ＡＢ′的函数表 达式为ｙ＝３ｘ＋２．当ｙ＝０时，３ｘ＋２＝０．解得ｘ＝－２３．所以 点Ｐ的坐标为（－２３，０）． ３３期２版 １７．４反比例函数 １７．４．１反比例函数的概念 基础训练　１．Ａ；　 ２．Ａ；　 ３．－２；　４．ａ≠－３； ５．反． ６．（１）由题意，得ｓ＝６０ｔ（０≤ｔ≤２７７６０），是正比例函数，比 例系数为６０． （２）由题意，得ｙ＝２０ｘ（ｘ＞０），是反比例函数，比例系数 为２０． （３）由题意，得ｙ＝１０００ａｘ （ｘ＞０），是反比例函数，比例系 数为１０００ａ． 能力提高　７．根据题意，得｜ａ｜－２＝１，ａ＋３≠０．解得 ａ＝３．所以这个函数关系式为ｙ＝ ６ｘ． １７．４．２反比例函数的图象和性质（第一课时） 基础训练　１．Ａ；　 ２．Ａ；　 ３．Ｂ；　４．Ａ； ５．ｙ＝－５ｘ；　６．ｋ１ ＜ｋ２ ＜ｋ３． ７．（１）表格从左到右依次填入 －３２，－６，－２，－ ３ ２． （２）函数图象如下图所示． !"!#!$%&%'!(%)!* * + ( , & $ - " ! " - $ & , ( + . /* %+ %( %, %& %$ %- %" " # （３）该函数的性质有：①该函数图象关于ｙ轴对称；②图 象均在ｘ轴的下方；③ｘ＜０时，ｙ随ｘ的增大而减小；ｘ＞０时， ｙ随ｘ的增大而增大． １７．４．２反比例函数的图象和性质（第二课时） 基础训练　１．Ｄ；　 ２．Ｂ；　 ３．Ｄ；　 ４．３；　 ５．３． ６．（１）因为点Ａ（１，－３）在反比例函数ｙ＝ ｋｘ（ｘ＞０）的 图象上，所以ｋ＝１×（－３）＝－３．所以反比例函数的表达式为 ｙ＝－３ｘ． （２）不同意小华的说法．理由如下： 连结ＯＢ，图略．因为ＢＮ⊥ｙ轴于点Ｎ，所以ＢＮ∥ｘ轴．所 以Ｓ△ＢＯＮ ＝Ｓ△ＢＭＮ．因为Ｓ△ＢＯＮ ＝ １ ２×｜－３｜＝ ３ ２，所以Ｓ△ＢＭＮ ＝ ３ ２，即Ｓ△ＢＭＮ是定值． ３３期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｄ Ｄ Ｃ Ｄ Ａ Ｃ Ｄ 二、９．－３２；　１０．－２；　１１．（２，６）；　１２．４． 三、１３．（１）把点Ｐ（－２，１８）代入反比例函数ｙ＝ｍｘ，得ｍ ＝－３６．所以ｙ＝－３６ｘ． （２）当ｘ＝４时，ｙ＝－９；当ｘ＝６时，ｙ＝－６．因为 ｍ＝ －３６＜０，所以反比例函数ｙ＝ｍｘ的图象，在每一个象限内，ｙ 随ｘ的增大而增大．所以当４≤ｘ＜６时，ｙ的取值范围为 －９≤ ｙ＜－６． １４．由题意，设ｙ１＝ｋ１ｘ，ｙ２＝ ｋ２ ｘ－２．因为ｙ＝ｙ１－ｙ２，所以 ｙ＝ｋ１ｘ－ ｋ２ ｘ－２．因为当ｘ＝１时，ｙ＝１；当ｘ＝３时，ｙ＝５，所 以 ｋ１＋ｋ２ ＝１， ３ｋ１－ｋ２ ＝５ { ．解得 ｋ１ ＝ ３ ２， ｋ２ ＝－ １ ２ { ．所以ｙ＝ ３２ｘ＋ １２ｘ－４． １５．（１）因为ＰＱ∥ｘ轴，所以点Ｐ的纵坐标为２．把ｙ＝                                                                      ２ —２— 初中数学华东师大八年级　第３２～３５期 代入ｙ＝ ６ｘ，得ｘ＝３．所以点Ｐ的坐标为（３，２）． （２）因为Ｓ△ＰＯＱ ＝Ｓ△ＯＭＱ＋Ｓ△ＯＭＰ，所以 １ ２｜ｋ｜＋ １ ２×６＝ １０．解得｜ｋ｜＝１４．由图可知ｋ＜０．所以ｋ＝－１４． １６．（１）把点Ｂ（３，１）代入ｙ１＝ ｋ１ ｘ，得ｋ１＝３．所以函数ｙ１ 的表达式为ｙ１ ＝ ３ ｘ．把点Ａ（１，ｍ）代入ｙ１ ＝ ３ ｘ，得ｍ＝３．所 以 Ａ（１，３）．把 Ａ（１，３），Ｂ（３，１）代入 ｙ２ ＝ ｋ２ｘ＋ｂ，得 ３＝ｋ２＋ｂ， １＝３ｋ２ { ＋ｂ．解得 ｋ２ ＝－１， ｂ＝４{ ． 所以函数ｙ２的表达式为ｙ２＝－ｘ ＋４． （２）由平移的性质，得点Ｄ的坐标为（－３，ｎ－３）．因为点 Ｄ在函数ｙ１的图象上，所以 －３（ｎ－３）＝２ｎ．解得ｎ＝ ９ ５． 附加题 １．（１）过点Ｃ作ＣＭ⊥ｙ轴于点Ｍ，图略．因为 ∠ＡＯＢ＝ ∠ＣＭＡ＝∠ＢＡＣ＝９０°，所以 ∠ＢＡＯ＋∠ＣＡＭ ＝９０°，∠ＡＢＯ＋ ∠ＢＡＯ＝９０°．所以∠ＡＢＯ＝∠ＣＡＭ．因为ＢＡ＝ＡＣ，所以△ＡＯＢ≌ △ＣＭＡ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＯＢ＝ＡＭ，ＯＡ＝ＣＭ．因为点Ａ的坐标是（０， ６），点Ｂ的坐标是（－２，０），所以ＯＡ＝６，ＯＢ＝２．所以ＣＭ＝６，ＡＭ ＝２．所以ＯＭ＝４．所以点Ｃ的坐标是（６，４）． （２）因为点Ａ的坐标是（０，６），点 Ｃ的坐标是（６，４），Ｄ为 ＡＣ的中点，所以点Ｄ（３，５）．因为反比例函数ｙ＝ ｋｘ的图象经 过点Ｄ，所以５＝ ｋ３．解得ｋ＝１５． ２．（１）①（４，２）． ② ＝． （２）①因为Ｓ１ ＝Ｓ２＝ １ ２ｋ，且Ｓ１＋Ｓ２＝２，所以ｋ＝２．因 为Ｓ１＝ １ ２ＡＤ·ＡＯ＝ １ ２ＡＤ·２＝１，解得ＡＤ＝１．所以点Ｄ的 坐标为（１，２）．因为Ｓ２＝ １ ２ＣＯ·ＣＥ＝ １ ２×４ＣＥ＝１，解得ＣＥ ＝ １２．所以点Ｅ的坐标为（４， １ ２）． ②△ＯＤＥ是直角三角形．理由如下： 因为ＯＡ＝２，ＯＣ＝４，ＡＤ＝１，ＣＥ＝１２，所以ＢＤ＝３，ＢＥ ＝３２．在Ｒｔ△ＡＤＯ中，ＤＯ ２ ＝ＡＯ２＋ＡＤ２ ＝５．在Ｒｔ△ＢＤＥ中， ＤＥ２ ＝ＢＤ２＋ＢＥ２ ＝４５４．在Ｒｔ△ＣＥＯ中，ＯＥ ２ ＝ＯＣ２＋ＣＥ２ ＝ ６５ ４．所以ＤＯ ２＋ＤＥ２ ＝ＯＥ２．所以△ＯＤＥ是直角三角形．因为 ＤＯ＝槡５，ＤＥ＝ 槡 ３５ ２，所以Ｓ△ＯＤＥ ＝ １ ２ＤＯ·ＤＥ＝ １５ ４． ３４期２版 １７．５实践与探索 １７．５．１二元一次方程与一次函数 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．平行；　４．（－４，２）． ５．图略．方程组 ｘ＋ｙ＝－４， ２ｘ－ｙ＝－{ ２的解是 ｘ＝－２， ｙ＝－２{ ． ６．（１）将Ｐ（－２，ａ）代入ｙ＝２ｘ－１，得ａ＝－５． （２） ｘ＝－２，{ｙ＝ａ 可看成二元一次方程组 ｙ＝２ｘ－１， ｙ＝ ５２ { ｘ 的解． （３）△ＡＰＯ的面积是１． １７．５．２一元一次不等式与一次函数 基础训练　１．Ａ；　２．ｘ＜０；　３．－２． ４．图略． （１）由图象可知，直线ｙ＝－２ｘ＋６与 ｘ轴的交点坐标为 （３，０）．所以一元一次方程 －２ｘ＋６＝０的解为ｘ＝３． （２）由图象可知，当 －２＜ｙ＜２时，ｘ的取值范围是２＜ｘ ＜４． ５．（１）将点 Ａ（３，４），Ｂ（０，－２）代入 ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得 ３ｋ＋ｂ＝４， ｂ＝－２{ ． 解得 ｋ＝２， ｂ＝－２{ ．所以该一次函数的表达式为 ｙ＝ ２ｘ－２． （２）由图象，得关于ｘ的不等式ｋｘ＋ｂ＞４的解集为ｘ＞３． 能力提高　６．Ｄ． １７．５．３函数的应用 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．３００． ４．（１）当０≤ｘ≤３时，设线段ＡＢ对应的函数表达式为ｙ ＝ｋｘ＋ｂ． 把Ａ（０，１０），Ｂ（３，４）代入，得 ｂ＝１０， ３ｋ＋ｂ＝４{ ．解得 ｋ＝－２， ｂ＝１０{ ．所 以ｙ＝－２ｘ＋１０． 当ｘ＞３时，设函数表达式为ｙ＝ｍｘ． 把（３，４）代入，得ｍ＝１２．所以ｙ＝１２ｘ． 综上所述，整改过程中硫化物的浓度ｙ与时间ｘ之间的函 数表达式为ｙ＝ －２ｘ＋１０（０≤ｘ≤３）， １２ ｘ（ｘ＞３） { ． （２）能．理由如下： 令ｙ＝１２ｘ＝１．解得ｘ＝１２．因为１２＜１５，所以能在１５天 以内达到不超过最高允许的１．０ｍｇ／Ｌ． ３４期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｃ Ａ Ａ 二、９．（２，０）；　１０．ｘ＝２， ｙ＝４０{ ；　１１．２．２；　１２．２＜ｘ＜３． 三、１３．（１）Ａ（－４３，０），Ｂ（０，４），图略． （２）方程组 ３ｘ－ｙ＝－４， ｘ－２ｙ＝－{ ３的解是 ｘ＝－１， ｙ＝１{ ． １４．（１）将点Ａ（－２，１）代入ｙ＝ｍｘ，得ｍ＝－２．所以反比 例函数的关系式为ｙ＝－２ｘ． 将点Ｂ（１，ａ）代入ｙ＝－２ｘ，得ａ＝－２．所以Ｂ（１，－２）．                                                                      将 —３— 初中数学华东师大八年级　第３２～３５期 Ａ（－２，１），Ｂ（１，－２）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得 －２ｋ＋ｂ＝１， ｋ＋ｂ＝－２{ ．解得 ｋ＝－１， ｂ＝－１{ ．所以一次函数的关系式为ｙ＝－ｘ－１． （２）由图象可知，当反比例函数值大于一次函数值时，ｘ的 取值范围是 －２＜ｘ＜０或ｘ＞１． １５．（１）根据题意，得ｙ甲 ＝４×５０＋（ｘ－８）×３＝３ｘ＋１７６， ｙ乙 ＝（４×５０＋３ｘ）×０．９＝２．７ｘ＋１８０． （２）当ｘ＝１０时，ｙ甲 ＝３×１０＋１７６＝２０６，ｙ乙 ＝２．７×１０ ＋１８０＝２０７．因为２０６＜２０７，所以当购买１０个羽毛球时，该班 在甲店购买合算． １６．（１）把 Ａ（－６，０），Ｂ（－１，５）代入 ｙ１ ＝ｋｘ＋ｂ，得 －６ｋ＋ｂ＝０， －ｋ＋ｂ＝５{ ．解得 ｋ＝１， ｂ＝６{ ．所以直线 ＡＢ的函数表达式为 ｙ１ ＝ｘ＋６． （２）过点Ｍ作ＭＰ⊥ｘ轴于点Ｐ，图略．由题意，得Ｍ（－３， ３），Ｎ（－３２，０）．所以ＡＮ＝ ９ ２，ＭＰ＝３．所以Ｓ△ＡＭＮ ＝ １ ２ＡＮ· ＭＰ＝ １２× ９ ２×３＝ ２７ ４． （３）根据图象，得关于ｘ的不等式ｋｘ＋ｂ＜－２ｘ－３的解集 为ｘ＜－３． 附加题　１．（１）设ｙ关于ｘ的函数关系式为ｙ＝ ｋｘ（ｋ≠ ０）．把ｘ＝６，ｙ＝２代入ｙ＝ ｋｘ，得ｋ＝１２．所以ｙ关于ｘ的函 数关系式为ｙ＝１２ｘ． （２）当像高为３ｃｍ时，即ｙ＝３．将ｙ＝３代入ｙ＝１２ｘ，得 ｘ＝４， 答：小孔到蜡烛的距离为４ｃｍ． ２．（１）ａ＝２，ｂ＝ ５２．　（２） ｘ＝１， ｙ＝２{ ． （３）存在．过点Ｐ作ＰＭ⊥ｘ轴于点Ｍ，ＰＮ⊥ｙ轴于点Ｎ， 图略．因为点Ｐ在ｙ＝２ｘ的图象上，所以设点Ｐ的坐标为（ｍ， ２ｍ）．所以ＰＭ＝｜２ｍ｜，ＰＮ＝｜ｍ｜．由题意，得Ａ（０，５２），Ｂ（５， ０）．所以ＯＡ＝５２，ＯＢ＝５．所以Ｓ△ＢＯＰ ＝ １ ２ＯＢ·ＰＭ＝ １ ２×５ ×｜２ｍ｜＝５｜ｍ｜，Ｓ△ＡＯＰ ＝ １ ２ＯＡ·ＰＮ＝ １ ２× ５ ２×｜ｍ｜＝ ５ ４｜ｍ｜．根据题意，得５｜ｍ｜＝ ５ ４｜ｍ｜＋５．解得｜ｍ｜＝ ４ ３．所 以ｍ＝±４３．所以点Ｐ的坐标为（ ４ ３， ８ ３）或（－ ４ ３，－ ８ ３）． ３５期检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ａ Ａ Ａ 二、１３．２；　１４．＜；　１５．四；　１６．６． 三、１７．点Ｐ（１，６）关于ｘ轴的对称点为（１，－６）．将（１，－６）代 入ｙ＝（３ｋ＋２）ｘ＋１，得３ｋ＋２＋１＝－６．解得ｋ＝－３． １８．（１）高中楼，图略． （２）图书馆的坐标是（４，１）；校门在第四象限；分布在第二象 限的是初中楼． １９．（１）把点Ｃ（ｍ，２）代入ｙ＝２ｘ－２，得２＝２ｍ－２．解得ｍ ＝２．所以点Ｃ的坐标为（２，２）．把点Ｃ（２，２），Ｂ（３，１）代入ｙ＝ｋｘ＋ ｂ，得 ２ｋ＋ｂ＝２， ３ｋ＋ｂ＝１{ ．解得 ｋ＝－１， ｂ＝４{ ．所以直线ｌ２的函数表达式为ｙ ＝－ｘ＋４． （２）由图象可得关于ｘ的不等式２ｘ－２≤ｋｘ＋ｂ的解集为ｘ≤ ２． ２０．（１）将点Ａ（３，－２）代入ｙ＝２－ｋｘ，得－２＝ ２－ｋ ３ ．解得ｋ ＝８． （２）由（１），得反比例函数的表达式为ｙ＝－６ｘ．所以在每一 象限内，ｙ随ｘ的增大而增大．因为点Ｃ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）均在反比 例函数ｙ＝－６ｘ的图象上，且０＜ｘ１ ＜ｘ２，所以ｙ１ ＜ｙ２． ２１．（１）设羊腿的售价为每斤ａ元，羊排的售价为每斤ｂ元． 根据题意，得 ４ａ＋３ｂ＝２７２， ２ａ＋ｂ＝１１６{ ． 解得 ａ＝３８， ｂ＝４０{ ． 答：羊腿的售价为每斤３８元，羊排的售价为每斤４０元． （２）设购进羊腿ｘ斤，这批羊肉卖完时获利ｗ元． 根据题意，得ｘ≥１２０，ｗ＝６ｘ＋８（１８０－ｘ）＝－２ｘ＋１４４０． 因为－２＜０，所以ｗ随ｘ的增大而减小．所以当ｘ＝１２０时，ｗ有 最大值，ｗ最大 ＝－２×１２０＋１４４０＝１２００，此时１８０－ｘ＝６０． 答：超市老板应该购进１２０斤羊腿、６０斤羊排，才能使得这 批羊肉卖完时获利最大，最大利润是１２００元． ２２．（１）把Ａ（２，３）代入ｙ＝ ｋｘ，得ｋ＝６．所以反比例函数 的关系式为ｙ＝ ６ｘ． （２）解方程组 ｙ＝ｘ＋１， ｙ＝６ｘ { ，得 ｘ１＝－３，ｙ１＝－{ ２或 ｘ２ ＝２，ｙ２ ＝３{ ．因为点 Ａ（２，３），所以点Ｂ（－３，－２）．因为ＢＣ⊥ｘ轴，所以点Ｃ（－３， ０），ＢＣ＝２．所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２×２×（２＋３）＝５． （３）存在．理由如下： 作点Ｃ关于ｙ轴的对称点Ｃ′，连结ＢＣ′交ｙ轴于点Ｄ，连结 ＣＤ，图略，此时ＢＤ＋ＣＤ的值最小． 因为Ｃ（－３，０），所以Ｃ′（３，０）． 设直线ＢＣ′的关系式为ｙ＝ｍｘ＋ｎ． 将Ｂ（－３，－２），Ｃ′（３，０）代入，得 －３ｍ＋ｎ＝－２， ３ｍ＋ｎ＝０{ ． 解得 ｍ＝ １３， ｎ＝－１ { ． 所以直线ＢＣ′的关系式为ｙ＝ １３ｘ－１． 当ｘ＝０时，ｙ＝－１． 所以点Ｄ的坐标是（０，－１）                                                                      ． —４— 初中数学华东师大八年级　第３２～３５期