第28期 16.2.2 分式的加减-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（华东师大版）

!"#$ !"#$%&' !"#!"!#$!"!%$% &!$'()*+,%-. /0$12345 ! !" " #$%# !"# $%&'()#$%!%# !"* +, ! !& " #$%!"! -" *./ ! !' " #$%( 012 343567*!"67) #$%) 89:;<=>:9 :; ! (* " ? #$ @> @AB ! (# " #"+# CD< E:)#"%!E:*FG ! (! " #"%( 35E : ! (( " #"%) HIJ E: ! () " #"%, KL< MN ! (, " ? #" @> @AB ! ($" OPAB ! (" " #&%# QRS TU*'()#&%! QRST U*VW ! (& " ? #& @> @XB ! ('" #'%#YU ! )-" #'%!ZU ! )#" #'%([6U ! )! " ? #' @> @XB ! )( " !-%# Q \ :)!-%!:]*^P_` ! )) " !-%( :]* ab7c)?!-@>@AB ! ),#,!" ABde #$%&'()* #$%'+,-./012 #$%'3456789:); <=>?@ABC ?DEFGH IJKLMNBCOPE./ #)0-"-"1Q2R STUPE!#0!-$ !"#$%&'( ) *+%&,-./01' -(,#0,!"#!$& *+23,-./01' -(,#0,!"#!$% 书 分式的化简求值问题是考查有关分式运算的常见 题型之一，解题时应先化简，再代入数值进行求值．解题 过程中，往往会因为忽视题目中的隐含条件而造成错 解．现选取两例解析如下，供同学们参考． 例１　先化简： ａ ２－４ ａ２＋４ａ＋４ ÷ａ－２ ａ２＋２ａ ＋ａ ２－ａ ａ－１，然后 从０，１，２，３中选一个合适的ａ值代入求解． 解：原式＝（ａ＋２）（ａ－２） （ａ＋２）２ · ａ（ａ＋２） ａ－２ ＋ ａ（ａ－１） ａ－１ ＝ａ＋ａ＝２ａ． 由各分式（包括化简过程）的分母不为０，得 ａ≠ －２，０，１，２． 所以ａ＝３． 当ａ＝３时，原式 ＝６． 评注：本例是有关分式化简求值的问题，一方面考 查了分式的混合运算，另一方面考查了使分式有意义的 条件．在解题时切忌掉入本题设置的陷阱中． 例２　规定一种新运算：ａ☆ｂ＝２ａ＋ｂ２，例如：２☆１ ＝２×２＋１２ ＝４＋１＝５． （１）计算：（－５）☆３； （２）若ｘ☆１＝２ｘ３－３，求ｘ的值； （３）先化简，再求值：（ｘ＋２ｘ＋１ｘ ）÷ ｘ＋１ ｘ ，其中ｘ的 值从（１）（２）的计算结果中选取． 解：（１）（－５）☆３＝２×（－５）＋３２ ＝－１０＋９＝ －１． （２）根据题意，得ｘ☆１＝２ｘ＋１＝２ｘ３－３．解得 ｘ ＝－３． （３）原式＝ｘ ２＋２ｘ＋１ ｘ · ｘ ｘ＋１ ＝（ｘ＋１） ２ ｘ · ｘ ｘ＋１ ＝ｘ＋１． 由各分式（包括化简过程）的分母不为０，得ｘ≠０， －１． 所以ｘ＝－３． 当ｘ＝－３时，原式 ＝－２． 评注：分式的化简求值是考查的热点，在计算中要合 理运用相应的运算方法，尽量使计算过程简捷．求值时要 注意取的值必须使计算过程中的每个分式都有意义． 书 上期２版 １６．１分式及其基本性质 １６．１．１分式 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ． ３．（１）ｍ≠０；　（２）ｘ为全体实数；　（３）２ａ≠ｂ； （４）ｘ≠３且ｘ≠２． ４．（１）两 次 平 均 每 人 捐 款： ａ＋ｂｘ＋ｘ＋２ ＝ ａ＋ｂ ２ｘ＋２（元）． （２）第二天她打字用了１２０００－１２０ｗｗ＋１０ ｍｉｎ． １６．１．２分式的基本性质（基本性质、约分） 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ；　３．Ｄ． ４．（１）６ｂ；　（２）ａ－２ｂａ＋２ｂ；　（３） １ ｘ２＋２ｘ＋１ ． ５．ｘ ２＋４ｘ ｘ２ ＝ｘ（ｘ＋４） ｘ２ ＝ｘ＋４ｘ 或 ｘ２ ｘ２＋４ｘ ＝ ｘ ２ ｘ（ｘ＋４） ＝ ｘｘ＋４． １６．１．２分式的基本性质（通分） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ． ３．（１）最简公分母是３ａ２ｂ２，６ｃ ａ２ｂ ＝１８ｂｃ ３ａ２ｂ２ ， ｃ ３ａｂ２ ＝ ａｃ ３ａ２ｂ２ ． （２）最简公分母是 １２ａｂ（ｘ＋２）， ｘ４ａｘ＋８ａ＝ ３ｂｘ １２ａｂ（ｘ＋２）＝ ３ｂｘ １２ａｂｘ＋２４ａｂ， ｙ ６ｂｘ＋１２ｂ＝ ２ａｙ １２ａｂ（ｘ＋２） ＝ ２ａｙ１２ａｂｘ＋２４ａｂ． （３）最简公分母是（ｘ＋ｙ）２（ｘ－ｙ）， ｘ ｘ－ｙ＝ ｘ（ｘ＋ｙ）２ （ｘ＋ｙ）２（ｘ－ｙ） ＝ ｘ ３＋２ｘ２ｙ＋ｘｙ２ ｘ３＋ｘ２ｙ－ｘｙ２－ｙ３ ， ｙ ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２ ＝ ｙ（ｘ－ｙ） （ｘ＋ｙ）２（ｘ－ｙ） ＝ ｘｙ－ｙ２ ｘ３＋ｘ２ｙ－ｘｙ２－ｙ３ ， ２ ｘ２－ｙ２ ＝ ２（ｘ＋ｙ） （ｘ＋ｙ）２（ｘ－ｙ） ＝ ２ｘ＋２ｙ ｘ３＋ｘ２ｙ－ｘｙ２－ｙ３ ． １６．２．１分式的乘除 １６．２．１．１分式的乘除 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．ｘ ２＋２ｘｙ＋ｙ２ ｘ－ｙ ． ４．（１）２ｍｎ２；　（２） １５ｂ ａ２＋ａｂ ；　（３）－２． ５．原式 ＝ｘ－１ｘ＋１．根据分式有意义的条件，得ｘ≠１，ｘ ≠－１．所以在 －１≤ｘ≤１的范围内，ｘ可以取的整数为 ０．当ｘ＝０时，原式 ＝－１． １６．２．１．２分式的乘方 基础训练　１．Ｂ；　２．－３． ３．（１） ｙｘ－ｙ；　（２） ａ ２ｂ２ ． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ａ 二、９．１３ａ；　１０．１０；　１１．－ ｘ－ｙ ｘ２＋ｘｙ ；　１２．１或２． 三、１３．（１）ｘ ２＋ｘｙ ｘ２－ｙ２ ＝ ｘ（ｘ＋ｙ） （ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）＝ ｘ ｘ－ｙ； （２）最简公分母为ａｂ（ｂ＋１）， ｂａｂ＋ａ＝ ｂ２ ａｂ（ｂ＋１） ＝ ｂ ２ ａｂ２＋ａｂ ， ａ ｂ２＋ｂ ＝ ａ ２ ａｂ（ｂ＋１）＝ ａ２ ａｂ２＋ａｂ ． １４．（１）－３ｘ ３ ４ｙ；　（２）６ａｂ；　（３）ａ＋５；　（４） ２ ３ｘ ２． （下转１，４版中缝） 书 分式的运算是本节的重点知识，有关分式运算的新 题型层出不穷，现撷取几例分析如下，供同学们参考． 一、说理题 例１　 坤坤在求（ ｘ ２－４ ｘ２－４ｘ＋４ ＋２－ｘｘ＋２）÷ ｘ ｘ－２－ ８ ｘ＋２的值时，把ｘ＝２４看成了ｘ＝７４，答案也正确，请问 为什么？ 分析：此类问题要先化简，通过化简可发现最后的 结果里没有ｘ项，所以ｘ的值不影响结果． 解：原式＝［（ｘ＋２）（ｘ－２） （ｘ－２）２ ＋２－ｘｘ＋２］· ｘ－２ ｘ － ８ ｘ＋２ ＝（ｘ＋２ｘ－２－ ｘ－２ ｘ＋２）· ｘ－２ ｘ － ８ ｘ＋２ ＝（ｘ＋２） ２－（ｘ－２）２ （ｘ－２）（ｘ＋２） · ｘ－２ ｘ － ８ ｘ＋２ ＝ ８ｘ （ｘ－２）（ｘ＋２）· ｘ－２ ｘ － ８ ｘ＋２ ＝ ８ｘ＋２－ ８ ｘ＋２＝０． 因为该式子的值与ｘ的值无关，所以无论ｘ＝２４还 是ｘ＝７４，他算出的结果仍然正确． 二、判断题 例２　有一道分式化简题： ２ｘ＋１＋ ｘ＋５ ｘ２－１ ，甲、乙两 位同学的解答过程分别如下： 甲同 学： ２ ｘ＋１＋ ｘ＋５ ｘ２－１ ＝ ２ （ｘ＋１）（ｘ－１） ＋ ｘ＋５ （ｘ＋１）（ｘ－１）＝ ２＋ｘ＋５ ｘ２－１ ＝ｘ＋７ ｘ２－１ ； 乙同 学： ２ ｘ＋１＋ ｘ＋５ ｘ２－１ ＝ ２（ｘ－１） （ｘ＋１）（ｘ－１） ＋ ｘ＋５ （ｘ＋１）（ｘ－１）＝２ｘ－２＋ｘ＋５＝３ｘ＋３． 下列说法正确的是 （　　） Ａ．只有甲同学的解答过程正确 Ｂ．只有乙同学的解答过程正确 Ｃ．两人的解答过程都正确 Ｄ．两人的解答过程都不正确 分析：根据异分母分式的加法法则比较甲、乙两人 的解答过程即可． 解：原式＝ ２（ｘ－１） （ｘ＋１）（ｘ－１）＋ ｘ＋５ （ｘ＋１）（ｘ－１） ＝ ２ｘ－２＋ｘ＋５ （ｘ＋１）（ｘ－１） ＝ ３ｘ＋３ （ｘ＋１）（ｘ－１） ＝ ３（ｘ＋１） （ｘ＋１）（ｘ－１） ＝ ３ｘ－１． 所以两人的解答过程都不正确． 故选Ｄ． " #¦ §¨© # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ########################################## " ª« ¬­® 书 分式的加减运算应用广 泛，下面举例加以说明，供同 学们参考． 一、比较大小 例１　已知ｂ＞ａ＞０，则 分式 ａ ｂ与 ａ＋１ ｂ＋１的大小关系是 （　　） Ａ．ａｂ ＜ ａ＋１ ｂ＋１ Ｂ．ａｂ ＝ ａ＋１ ｂ＋１ Ｃ．ａｂ ＞ ａ＋１ ｂ＋１ Ｄ．不能确定 分析：利用异分母分式的 减法法则，从而得到 ａ ｂ 与 ａ＋１ ｂ＋１的大小关系． 解： ａ ｂ － ａ＋１ ｂ＋１ ＝ ａ（ｂ＋１）－ｂ（ａ＋１） ｂ（ｂ＋１） ＝ ａ－ｂ ｂ（ｂ＋１）．因为ｂ＞ａ＞０，所以 ａ－ｂ＜０，ｂ＋１＞０．所以 ａ－ｂｂ（ｂ＋１）＜０．所以 ａ ｂ－ ａ＋１ ｂ＋１ ＜０．所以 ａｂ ＜ ａ＋１ ｂ＋１． 故选Ａ． 二、求待定字母 例２　已知 Ａｘ－１－ Ｂ ２－ｘ＝ ２ｘ－６ （ｘ－１）（ｘ－２），则Ａ－ Ｂ＝ ． 分析：根据异分母分式的减法法则计算等式的左 边，根据题意列出方程组，解方程组即可． 解： Ａ ｘ－１ － Ｂ ２－ｘ ＝ Ａ（２－ｘ）－Ｂ（ｘ－１） （ｘ－１）（２－ｘ） ＝ （－Ａ－Ｂ）ｘ＋（２Ａ＋Ｂ） （ｘ－１）（２－ｘ） ＝ （Ａ＋Ｂ）ｘ－（２Ａ＋Ｂ） （ｘ－１）（ｘ－２） ．根据 题意，得 Ａ＋Ｂ＝２， ２Ａ＋Ｂ＝６{ ．解得 Ａ＝４， Ｂ＝－２{ ．所以Ａ－Ｂ＝６． 故填６． 三、求代数式的值 例３　若 １ｘ ＋ １ ｙ ＝－２，则分式 ｘ－ｘｙ＋ｙ ３ｘ＋５ｘｙ＋３ｙ＝ ． 分析：运用分式的加法法则将已知等式进行通分变 形，然后利用整体思想代入求值． 解：因为 １ ｘ＋ １ ｙ＝ ｙ＋ｘ ｘｙ ＝－２，所以ｘ＋ｙ＝－２ｘｙ． 所以原式 ＝ （ｘ＋ｙ）－ｘｙ３（ｘ＋ｙ）＋５ｘｙ＝ －２ｘｙ－ｘｙ ３×（－２ｘｙ）＋５ｘｙ＝３． 故填３． 书 一、运用乘法分配律简化运算 例１　化简：（ ２ｍ ｍ２－４ ＋ １２－ｍ）÷ １ ｍ＋２＝ ． 分析：先把除法运算转化为乘法运算，然后运用乘 法分配律求解即可． 解：原式 ＝［ ２ｍ （ｍ＋２）（ｍ－２）＋ １ ２－ｍ］·（ｍ＋２） ＝ ２ｍ （ｍ＋２）（ｍ－２）·（ｍ＋２）＋ １ ２－ｍ·（ｍ＋２） ＝ ２ｍｍ－２－ ｍ＋２ ｍ－２＝ ２ｍ－ｍ－２ ｍ－２ ＝ ｍ－２ ｍ－２＝１． 故填１． 二、运用乘法公式简化运算 例２　计算：（ｙｘ－ ｘ ｙ）（ ｙ ｘ＋ ｘ ｙ）（ ｙ２ ｘ２ ＋ｘ ２ ｙ２ ）． 分析：本题符合平方差公式的特点，应连续运用平 方差公式后求解． 解：原式＝（ｙ ２ ｘ２ －ｘ ２ ｙ２ ）（ ｙ２ ｘ２ ＋ｘ ２ ｙ２ ）＝ｙ ４ ｘ４ －ｘ ４ ｙ４ ＝ｙ ８－ｘ８ ｘ４ｙ４ ． 三、运用裂项相消简化运算 例 ３　 计 算： １ｘ－１ ＋ １ （ｘ－１）（ｘ－２） ＋ １ （ｘ－２）（ｘ－３）． 分析：观察式子的后两项，我们会发现它们的分母 都是差为１的两个因式乘积的形式，且分子为１，故可用 １ ｎ（ｎ＋１）＝ １ ｎ－ １ ｎ＋１将式子变形后再计算． 解：原式＝ １ｘ－１＋ １ ｘ－２－ １ ｘ－１＋ １ ｘ－３－ １ ｘ－２ ＝ １ｘ－３． 四、运用分离整式简化运算 例４　计算：ｘ ２＋４ｘ＋５ ｘ＋２ － ｘ２＋６ｘ＋１０ ｘ＋３ ＋１． 分析：由于ｘ２＋４ｘ＋５＝（ｘ＋２）２＋１，ｘ２＋６ｘ＋１０ ＝（ｘ＋３）２＋１，故本题的两个分式都可先逆用同分母分 式的加法法则，即运用 ａ＋ｂ ｃ ＝ ａ ｃ＋ ｂ ｃ，分离出一个整 式和一个较简单的分式，合并后再通分． 解：原式＝（ｘ＋２） ２＋１ ｘ＋２ － （ｘ＋３）２＋１ ｘ＋３ ＋１ ＝ｘ＋２＋ １ｘ＋２－ｘ－３－ １ ｘ＋３＋１ ＝ １ｘ＋２－ １ ｘ＋３＝ ｘ＋３－（ｘ＋２） （ｘ＋２）（ｘ＋３） ＝ １ ｘ２＋５ｘ＋６ ． 书 学习分式的加减，我们可以类比以前学过的分数的 加减运算进行．下面选取几例分析，供同学们参考． 一、同分母分式的加减 法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加 减．用式子表示为：ａｃ± ｂ ｃ ＝ ａ±ｂ ｃ ． 温馨提示：（１）式子中的ａ，ｂ，ｃ可以是单项式，也可 以是多项式，当分子相加减时，一定要把各个分子看成 一个整体，并加上括号；（２）运算后的结果要化为最简 形式． 例１　计算 ｙｘ－ｙ－ ｘ ｘ－ｙ的结果是 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．ｙ－ｘ Ｄ． １ｘ－ｙ 分析：利用同分母分式的减法法则运算即可． 解：原式 ＝ｙ－ｘｘ－ｙ＝－１． 故选Ａ． 二、异分母分式的加减 法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式 后再加减．用式子表示为：ａｂ± ｃ ｄ＝ ａｄ ｂｄ± ｂｃ ｂｄ＝ ａｄ±ｂｃ ｂｄ ． 温馨提示：异分母分式的加减法实质分两步：第一 步通分，化异分母分式为同分母分式；第二步运用同分 母分式加减法则计算． 例２　化简 １ａ－３－ ６ ａ２－９ 的结果是 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ． １ａ＋３ Ｂ．ａ－３ Ｃ．ａ＋３ Ｄ． １ａ－３ 分析：两个分式的分母不同，应先通分，再按照同分 母分式的减法法则计算即可． 解：原式 ＝ ａ＋３ （ａ＋３）（ａ－３）－ ６ （ａ＋３）（ａ－３） ＝ ａ＋３－６ （ａ＋３）（ａ－３）＝ ａ－３ （ａ＋３）（ａ－３）＝ １ ａ＋３． 故选Ａ． " ¯$ °±² ########################################## " ³´ µ¶· ! ! #$+!+! ¸¹º»¼ (½¾¿!"#$%&'()*+,-. /$%0'(12+ ÀÁÂÃ345./$%&6712+ " W Ä ¬ Å 456 !-!,7#8&9 : 5 !" ;: !!"#5 % ! ()*+ qr<(ÆǦ%'Èɏ! !" " !"#$%&'" ()*+,-'. # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．化简１－ １ｘ＋１的结果是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．０ Ｂ． ２ｘ＋１ Ｃ． ｘ ｘ＋１ Ｄ． ｘ＋２ ｘ＋１ ２．若３－２ｘｘ－１ ＝□ ＋ １ ｘ－１，则“□”中的数是（　　） Ａ．－１ Ｂ．－２ Ｃ．－３ Ｄ．任意实数 ３．化简 １－ｘ ２ ｘ２－２ｘ＋１ － ｘ１－ｘ的步骤如下： 原式 ＝ １－ｘ ２ （ｘ－１）２ ＋ ｘ ２－ｘ （ｘ－１）２ ＝１－ｘ ２＋ｘ２－ｘ （ｘ－１）２ ＝ １－ｘ （ｘ－１）２ ＝－ １ｘ－１． 上述解题过程中用到的依据有：① 约分；② 合并同 类项；③同分母分式的加减法则；④ 通分，排序正确的 是 （　　） Ａ．①②③④ Ｂ．③②④① Ｃ．④③②① Ｄ．④②③① ４．如右图，若约定：上方相 邻两个代数式之和等于两个代 数式下方箭头共同指向的代数 式，则代数式Ｍ是 （　　） Ａ．２ｘｙｘ＋ｙ Ｂ． ２ｘｙ ｘ－ｙ Ｃ．－２ｘｙ Ｄ．２ｘｙｙ－ｘ ５．照相机成像应用了一个重要原理，用公式 １ｆ ＝ １ ｕ＋ １ ｖ（ｖ≠ｆ）表示，其中ｆ表示照相机镜头的焦距，ｕ 表示物体到镜头的距离，ｖ表示胶片（像）到镜头的距 离．已知ｆ，ｖ，则ｕ＝ （　　） Ａ．ｆｖｆ－ｖ Ｂ． ｆ－ｖ ｆｖ Ｃ． ｆｖ ｖ－ｆ Ｄ． ｖ－ｆ ｆｖ ６．已知ｍ，ｎ为实数，且ｍ≠ｎ，ｍｎ≠０，若 ｎｍ－ １ ｎ＝ ｍ ｎ－ １ ｍ，则ｍ，ｎ满足的关系是 （　　） Ａ．ｍ＋ｎ＝－１ Ｂ．ｍ＋ｎ＝１ Ｃ．ｍ－ｎ＝１ Ｄ．ｍ－ｎ＝－１ ７．下列各式的计算结果与 ｂａ－ ａ ｂ互为倒数的是 （　　） Ａ． ｂａ＋ｂ· ａ ｂ－ａ Ｂ． ａ ｂ－ ｂ ａ Ｃ．１ａ－ １ ｂ Ｄ． ａ ｂ－ａ－ １ ｂ ８．小刚在化简 ２ａ ａ２－ｂ２ －１Ｍ时，把整式Ｍ抄错了，得 到的化简结果是 １ ａ－ｂ，他在核对时发现所抄写的 Ｍ比 原来的Ｍ大２ｂ，则原式的化简结果是 （　　） Ａ． １ａ＋ｂ Ｂ． １ ｂ－ａ Ｃ．－ １ ａ＋ｂ Ｄ． １ ａ－ｂ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．计算： ｍｍ－ｎ＋ ｎ ｎ－ｍ＝ ． １０．已知等式“ ｂ ２ ａ（ａ＋ｂ）－　　 ＝ ａ ａ＋ｂ”被墨迹覆 盖了一部分，则被覆盖的部分是 ． １１．如果 ａ－ｂ＝１，那么代数式（ａ ２＋ｂ２ ａ －２ｂ）÷ ａ－ｂ ａ 的值为 ． １２．在 实 数 范 围 内 定 义 运 算 “※”：ｍ※ｎ ＝ ｍ＋ｎ－６ ｍｎ （ｍｎ≠ ０）．若（ｘ－１）※（ｘ＋２）＝ Ａ ｘ－１＋ Ｂ ｘ＋２，则２Ａ－Ｂ＝ ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（１８分）计算： （１） ａ ２ ａ－ｂ－ ｂ２ ａ－ｂ； （２）１３ａ＋ １ ２ｂ－ ａ＋２ｂ ６ａｂ； （３）（ １ｘ－２－１）÷ ｘ－３ ３ｘ２－６ｘ ． １４．（８分）先化简，再求值：（ａ＋２＋ ４ａ－２）÷ ａ３ ａ２－４ａ＋４ ，其中ａ＝３． １５．（１２分）现有大、小两艘轮船，小船每天运ｘ吨货 物，大船每天比小船多运１０吨货物．现让大船完成运送 １００吨货物的任务，让小船完成运送８０吨货物的任务． （１）分别写出大、小船完成任务所用的时间； （２）试说明哪艘轮船完成任务用的时间少． １６．（１４分）若分式Ｍ与分式Ｎ的差等于它们的积， 即Ｍ－Ｎ＝ＭＮ，则称分式Ｎ是分式Ｍ的“互联分式”． （１）判断分式 ３ｘ＋２与分式 ３ ｘ＋５是否是“互联分 式”，请说明理由； （２）小红在求分式 １ ｘ２＋ｙ２ 的“互联分式”时，用了以 下方法： 设 １ ｘ２＋ｙ２ 的“互联分式”是 Ｎ．则 １ ｘ２＋ｙ２ －Ｎ ＝ １ ｘ２＋ｙ２ ·Ｎ．所以（ １ ｘ２＋ｙ２ ＋１）Ｎ＝ １ ｘ２＋ｙ２ ．所以 Ｎ＝ １ ｘ２＋ｙ２＋１ ，即 １ ｘ２＋ｙ２ 的“互联分式”是 １ ｘ２＋ｙ２＋１ ． 请你仿照小红的方法，求分式 ｘ＋２ ｘ＋５的“互联分式”． （以下试题供各地根据实际情况选用） １．（１０分）小明和小强一起做分式的游戏，他们面 前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），自己任选两张 牌做分子和分母，组成一个分式，然后两人取定一个相 同的ｘ值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意 义，他们约定ｘ是大于３的正整数． （１）请分别写出小明和小强可能组成的分式中，值 最大的分式（直接写出结果）； （２）小强思考了一下，哈哈一笑，说：“虽然我是三 张带减号的牌，但我一定是胜者”，小强说的有道理吗？ 请你通过计算说明． 小明的牌：ｘ＋１　 ｘ＋２　 ｘ＋３ 小强的牌：ｘ－１　 ｘ－２　 ｘ－３ ２．（１０分）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若 分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和 的形式，例如：将 ｘ２＋４ｘ ｘ＋１拆分成整式与分式和的形式： 方法 一： 原 式 ＝ ｘ ２＋２ｘ＋１＋２ｘ＋２－３ ｘ＋１ ＝ （ｘ＋１）２＋２（ｘ＋１）－３ ｘ＋１ ＝ｘ＋１＋２－ ３ ｘ＋１＝ｘ＋３－ ３ ｘ＋１； 方法二：设 ｘ＋１＝ｔ．则 ｘ＝ｔ－１．则原式 ＝ （ｔ－１）２＋４（ｔ－１） ｔ ＝ ｔ２＋２ｔ－３ ｔ ＝ｔ＋２－ ３ ｔ＝ｘ＋３ － ３ｘ＋１． 根据上述方法，解答下列问题： （１）将分式５ｘ＋８ｘ＋２拆分成整式与分式和的形式，得 ５ｘ＋８ ｘ＋２ ＝ ； （２）任选上述一种方法，将ｘ ２＋６ｘ＋１ ｘ－１ 拆分成整式 与分式和的形式； （３）已知分式ｘ ２－５ｘ＋１１ ｘ－４ 与ｘ的值都是整数，求 ｘ 的值                                                                                                                                                                 ． 书 １６．２．２分式的加减 １６．２．２．１同分母分式相加减 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．化简ｍ＋ｎ２ｍ－ｎ＋ ｍ－ｎ ２ｍ－ｎ的结果是 （　　） Ａ． ２ｍ２ｍ－ｎ Ｂ．０ Ｃ．２ Ｄ． ２ｎ２ｍ－ｎ ２．新定义：若两个分式 Ａ与 Ｂ的差为 ｎ（ｎ为正整 数），则称Ａ是 Ｂ的“ｎ○差分式”．若１２＋ｘ３＋２ｘ是 ａｘ＋６ ３＋２ｘ的 “２○差分式”，则ａ的值为 （　　） Ａ．０ Ｂ．－１ Ｃ．－２ Ｄ．－３ ３．已知Ｐ＝ａ ２＋ｂ２ ａ２－ｂ２ ，Ｑ＝ ２ａｂ ａ２－ｂ２ ，其中ａ＞ｂ＞０， 则Ｐ，Ｑ的大小关系是 （　　） Ａ．Ｐ＝Ｑ Ｂ．Ｐ＞Ｑ Ｃ．Ｐ＜Ｑ Ｄ．不能确定 ４．已知两分式ｘ ２－２ ｘ＋１■ １ ｘ＋１中间阴影覆盖了运算 符号． （１）若覆盖了“＋”，其运算结果为 ； （２）若覆盖了“÷”，并且运算结果为１，则ｘ的值为 ． ５．计算： （１）ａ－３ａ－２＋ １ ａ－２； （２）ｘ＋４ ｘ２＋３ｘ － １ ３ｘ＋ｘ２ ． ６． 先 化 简， 再 求 值： ａ ２－ｂ２ （ａ－ｂ）（ａ－ｃ） ＋ ｂ２－ｃ２ （ａ－ｂ）（ａ－ｃ），其中ａ＝３，ｂ＝－２，ｃ＝－１． １６．２．２．２异分母分式相加减 １．计算２ａ＋３ａ－１＋ ａ＋４ １－ａ的结果是 （　　） Ａ．－１ Ｂ．ａ Ｃ．ａ－１ Ｄ．１ ２．老师出了一道题：计算ｘ＋３ｘ＋２＋ ２－ｘ ｘ２－４ ，对于下面 这三名同学的做法，你的判断是 （　　） 乐乐的做法是：原式 ＝（ｘ＋３）（ｘ－２） ｘ２－４ －ｘ－２ ｘ２－４ ＝ （ｘ＋３）（ｘ－２）－ｘ－２ ｘ２－４ ＝ｘ ２－８ ｘ２－４ ； 淇淇的做法是：原式 ＝（ｘ＋３）（ｘ－２）＋（２－ｘ）＝ ｘ２＋ｘ－６＋２－ｘ＝ｘ２－４； 嘉嘉的做法是：原式 ＝ｘ＋３ｘ＋２－ ｘ－２ （ｘ＋２）（ｘ－２）＝ ｘ＋３ ｘ＋２－ １ ｘ＋２＝ ｘ＋３－１ ｘ＋２ ＝１． Ａ．乐乐的做法是正确的 Ｂ．淇淇的做法是正确的 Ｃ．嘉嘉的做法是正确的 Ｄ．三名同学的做法均不正确 ３．若ｘ＋２ｘ ＝４，则分式－ ５ｘ ｘ２＋２ 的值为 （　　） Ａ．－４５ Ｂ．－ ５ ４ Ｃ．４５ Ｄ． ５ ４ ４．已知 ａｘ＋４＋ ｂ ｘ－４＝ ８ｘ ｘ２－１６ ，则 ａｂ的值为 ． ５．计算： （１）２ａ＋ ５ ａ２ ； （２）２ａ－４ ａ２－４ａ － １ａ－４； （３） ｂａ－ｂ＋ ａ ａ＋ｂ－ ２ａｂ ｂ２－ａ２ ． ６．若２ｍ ＝５，５ｎ ＝２，则 １ｍ＋１＋ １ ｎ＋１的值为 （　　） Ａ．１２ Ｂ．１ Ｃ． １ ３ Ｄ．２ １６．２．２．３分式的混合运算 １．化简 １ ｘ２－１ ÷ １ ｘ２－２ｘ＋１ ＋ ２ｘ＋１的结果是 （　　） Ａ．ｘ－１ｘ＋１ Ｂ． ｘ＋１ ｘ－１ Ｃ．１ Ｄ．ｘ ２＋４ｘ－１ ｘ２－１ ２．阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发 现有一道填空题破了一个洞（如图），■ 表示破损的部 分，则破损部分的式子可能是 （　　） 化简：（■ － ３１－ｘ）÷ ｘ ｘ＋１＝ ｘ＋１ ｘ－１√ Ａ．ｘ－３ｘ－１ Ｂ． ｘ＋３ ｘ－１ Ｃ．ｘ ２－ｘ＋１ ｘ２－ｘ Ｄ．ｘ ２＋５ｘ＋１ ｘ２－ｘ ３．计算： （１）（１＋ １ａ－１）· ａ２－１ ａ ； （２）（ｘ＋１－ ３ｘ－１）÷ ｘ２＋ｘ－６ ｘ－１ ． ４．先化简：（ ｘｘ－２－ ４ ｘ２－２ｘ ）÷ｘ＋２ ｘ２ ，然后从－２≤ ｘ＜槡７中选一个你认为合适的整数作为ｘ的值代入求 值． ５．已知ｍ２＋１ ｍ２ ＝２（ｍ＞０），则代数式ｍ２－２ｍ＋ ５＝ （　　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ． 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ６ 书 （上接４版参考答案） １５．甲工程队修 ９００ｍ所用的时间为 ９００ ａ２－４ 天，乙工程队修 ６００ｍ所用的时间为 ６００ （ａ－２）２ 天． ９００ ａ２－４ ÷ ６００ （ａ－２）２ ＝ ９００ （ａ＋２）（ａ－２）· （ａ－２）２ ６００ ＝ ３（ａ－２） ２（ａ＋２） ＝３ａ－６２ａ＋４． 答：甲工程队修 ９００ｍ所用的时间是乙 工程队修６００ｍ所用时 间的 ３ａ－６ ２ａ＋４倍． １６． ａ＋ｂａ＋（ａ－ｂ）． 证明如下： ａ３＋ｂ３ ａ３＋（ａ－ｂ）３ ＝ （ａ＋ｂ）（ａ２－ａｂ＋ｂ２） ［ａ＋（ａ－ｂ）］［ａ２－ａ（ａ－ｂ）＋（ａ－ｂ）２］ ＝ （ａ＋ｂ）（ａ ２－ａｂ＋ｂ２） ［ａ＋（ａ－ｂ）］（ａ２－ａｂ＋ｂ２） ＝ ａ＋ｂａ＋（ａ－ｂ）． 附加题 　１．因为 ａｂｃ ＝ １， 所 以 １ ａｂ＋ｂ＋１ ＝ ａｂｃ ａｂ＋ｂ＋ａｂｃ ＝ ａｃ ａ＋１＋ａｃ， １ ｂｃ＋ｃ＋１ ＝ ａａ（ｂｃ＋ｃ＋１） ＝ ａ ａｂｃ＋ａｃ＋ａ ＝ ａ １＋ａｃ＋ａ． ２．因为２ｘ＋ｙ≠１， 所以２ｘ＋ｙ－１≠０．所 以 ２ｘ２＋３ｘｙ＋ｙ２－ｘ－ｙ ２ｘ２－ｘｙ－ｙ２－ｘ＋ｙ ＝ （２ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ）－（ｘ＋ｙ） （２ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）－（ｘ－ｙ） ＝ （ｘ＋ｙ）（２ｘ＋ｙ－１） （ｘ－ｙ）（２ｘ＋ｙ－１） ＝ ｘ＋ｙ ｘ－ｙ．因为 ｘ ２ ＋ｘｙ－ ２ｙ２ ＝０，所以 （ｘ＋ ２ｙ）（ｘ－ｙ）＝０．根据 分式有意义的条件，得 ｘ－ｙ≠０．所以 ｘ＋２ｙ ＝０．所以 ｘ＝－２ｙ．所 以原式 ＝ －ｙ－３ｙ＝ １ ３． （全文完） ! ! !"#$ ! " %&'( !"#$%&'()*+,- !" . /"0$%&1(2*+,3 !" . 45 ! 67859 :;<=>?@.A 45 ! 67859 B;<=>?@.C DEFGHI!"#$#$J ! " # $ $% $ #&% #&% 书 答案详解 　　　　　 　　２０２４～２０２５学年　初中数学华东师大八年级　第２７～３１期　　　　　 　　 ２７期２版 １６．１分式及其基本性质 １６．１．１分式 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ． ３．（１）ｍ≠０；　（２）ｘ为全体实数；　（３）２ａ≠ｂ； （４）ｘ≠３且ｘ≠２． ４．（１）两次平均每人捐款： ａ＋ｂｘ＋ｘ＋２＝ ａ＋ｂ ２ｘ＋２（元）． （２）第二天她打字用了１２０００－１２０ｗｗ＋１０ ｍｉｎ． １６．１．２分式的基本性质（基本性质、约分） 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ；　３．Ｄ． ４．（１）６ｂ；　（２）ａ－２ｂａ＋２ｂ；　（３） １ ｘ２＋２ｘ＋１ ． ５．ｘ ２＋４ｘ ｘ２ ＝ｘ（ｘ＋４） ｘ２ ＝ｘ＋４ｘ 或 ｘ２ ｘ２＋４ｘ ＝ ｘ ２ ｘ（ｘ＋４）＝ ｘ ｘ＋４． １６．１．２分式的基本性质（通分） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ． ３．（１）最简公分母是３ａ２ｂ２，６ｃ ａ２ｂ ＝１８ｂｃ ３ａ２ｂ２ ， ｃ ３ａｂ２ ＝ ａｃ ３ａ２ｂ２ ． （２）最简公分母是１２ａｂ（ｘ＋２）， ｘ４ａｘ＋８ａ＝ ３ｂｘ １２ａｂ（ｘ＋２） ＝ ３ｂｘ１２ａｂｘ＋２４ａｂ， ｙ ６ｂｘ＋１２ｂ＝ ２ａｙ １２ａｂ（ｘ＋２）＝ ２ａｙ １２ａｂｘ＋２４ａｂ． （３）最简公分母是（ｘ＋ｙ）２（ｘ－ｙ）， ｘ ｘ－ｙ＝ ｘ（ｘ＋ｙ）２ （ｘ＋ｙ）２（ｘ－ｙ） ＝ ｘ ３＋２ｘ２ｙ＋ｘｙ２ ｘ３＋ｘ２ｙ－ｘｙ２－ｙ３ ， ｙ ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２ ＝ ｙ（ｘ－ｙ） （ｘ＋ｙ）２（ｘ－ｙ） ＝ ｘｙ－ｙ ２ ｘ３＋ｘ２ｙ－ｘｙ２－ｙ３ ， ２ ｘ２－ｙ２ ＝ ２（ｘ＋ｙ） （ｘ＋ｙ）２（ｘ－ｙ） ＝ ２ｘ＋２ｙ ｘ３＋ｘ２ｙ－ｘｙ２－ｙ３ ． １６．２．１分式的乘除 １６．２．１．１分式的乘除 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．ｘ ２＋２ｘｙ＋ｙ２ ｘ－ｙ ． ４．（１）２ｍｎ２；　（２） １５ｂ ａ２＋ａｂ ；　（３）－２． ５．原式 ＝ｘ－１ｘ＋１． 根据分式有意义的条件，得ｘ≠１，ｘ≠－１．所以在 －１≤ｘ ≤１的范围内，ｘ可以取的整数为０． 当ｘ＝０时，原式 ＝－１． １６．２．１．２分式的乘方 基础训练　１．Ｂ；　２．－３．　３．（１） ｙｘ－ｙ；　（２） ａ ２ｂ２ ． ２７期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ａ 二、９．１３ａ；　１０．１０；　１１．－ ｘ－ｙ ｘ２＋ｘｙ ；　１２．１或２． 三、１３．（１）ｘ ２＋ｘｙ ｘ２－ｙ２ ＝ ｘ（ｘ＋ｙ） （ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）＝ ｘ ｘ－ｙ； （２）最简公分母为 ａｂ（ｂ＋１）， ｂａｂ＋ａ＝ ｂ２ ａｂ（ｂ＋１）＝ ｂ２ ａｂ２＋ａｂ ， ａ ｂ２＋ｂ ＝ ａ ２ ａｂ（ｂ＋１）＝ ａ２ ａｂ２＋ａｂ ． １４．（１）－３ｘ ３ ４ｙ；　（２）６ａｂ；　（３）ａ＋５；　（４） ２ ３ｘ ２． １５．甲工程队修９００ｍ所用的时间为 ９００ ａ２－４ 天，乙工程队修 ６００ｍ所用的时间为 ６００ （ａ－２）２ 天． ９００ ａ２－４ ÷ ６００ （ａ－２）２ ＝ ９００ （ａ＋２）（ａ－２）· （ａ－２）２ ６００ ＝ ３（ａ－２） ２（ａ＋２）＝ ３ａ－６ ２ａ＋４． 答：甲工程队修９００ｍ所用的时间是乙工程队修６００ｍ所 用时间的 ３ａ－６ ２ａ＋４倍． １６． ａ＋ｂａ＋（ａ－ｂ）．证明如下： ａ３＋ｂ３ ａ３＋（ａ－ｂ）３ ＝ （ａ＋ｂ）（ａ ２－ａｂ＋ｂ２） ［ａ＋（ａ－ｂ）］［ａ２－ａ（ａ－ｂ）＋（ａ－ｂ）２］ ＝ （ａ＋ｂ）（ａ２－ａｂ＋ｂ２） ［ａ＋（ａ－ｂ）］（ａ２－ａｂ＋ｂ２） ＝ ａ＋ｂａ＋（ａ－ｂ）． 附加题　１．因为ａｂｃ＝１，所以 １ａｂ＋ｂ＋１＝ ａｂｃ ａｂ＋ｂ＋ａｂｃ ＝ ａｃａ＋１＋ａｃ， １ ｂｃ＋ｃ＋１＝ ａ ａ（ｂｃ＋ｃ＋１）＝ ａ ａｂｃ＋ａｃ＋ａ＝ ａ １＋ａｃ＋ａ． ２．因为 ２ｘ＋ｙ≠ １，所以 ２ｘ＋ｙ－１≠ ０．所以 ２ｘ２＋３ｘｙ＋ｙ２－ｘ－ｙ ２ｘ２－ｘｙ－ｙ２－ｘ＋ｙ ＝ （２ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ）－（ｘ＋ｙ） （２ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）－（ｘ－ｙ）                                                         ＝ —１— 初中数学华东师大八年级　第２７～３１期 （ｘ＋ｙ）（２ｘ＋ｙ－１） （ｘ－ｙ）（２ｘ＋ｙ－１）＝ ｘ＋ｙ ｘ－ｙ．因为ｘ ２＋ｘｙ－２ｙ２＝０，所以（ｘ＋ ２ｙ）（ｘ－ｙ）＝０．根据分式有意义的条件，得ｘ－ｙ≠０．所以ｘ＋ ２ｙ＝０．所以ｘ＝－２ｙ．所以原式 ＝ －ｙ－３ｙ＝ １ ３． ２８期２版 １６．２．２分式的加减 １６．２．２．１同分母分式相加减 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．Ｂ； ４．（１）ｘ－１，（２）±槡３． ５．（１）１；　（２）１ｘ． ６．原式 ＝ａ＋ｃａ－ｂ．当ａ＝３，ｂ＝－２，ｃ＝－１时，原式 ＝ ２ ５． １６．２．２．２异分母分式相加减 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．１６． ５．（１）２ａ＋５ ａ２ ；　（２）１ａ；　（３） ａ＋ｂ ａ－ｂ． 能力提高　６．Ｂ． １６．２．２．３分式的混合运算 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ． ３．（１）ａ＋１；　（２）ｘ＋２ｘ＋３． ４．原式 ＝ｘ．根据分式有意义的条件，得ｘ≠０，ｘ≠２，ｘ≠ －２．所以在 －２≤ｘ＜槡７的范围内，ｘ可以取的整数为 －１或 １．当ｘ＝１时，原式 ＝１；当ｘ＝－１时，原式 ＝－１． 能力提高　５．Ｂ． ２８期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ａ Ａ Ａ 二、９．１；　１０．ｂ－ａａ ；　１１．１；　１２．－５． 三、１３．（１）ａ＋ｂ；　（２）１３ｂ；　（３）－３ｘ． １４．原式 ＝ａ－２ａ ．当ａ＝３时，原式 ＝ １ ３． １５．（１）大船完成任务用 １００ｘ＋１０天，小船完成任务用 ８０ ｘ天． （２） １００ｘ＋１０－ ８０ ｘ ＝ １００ｘ－８０（ｘ＋１０） ｘ（ｘ＋１０） ＝ ２０ｘ－８００ ｘ（ｘ＋１０）．当０ ＜ｘ＜４０时，１００ｘ＋１０＜ ８０ ｘ，大船用的时间少；当 ｘ＝４０时， １００ ｘ＋１０＝ ８０ ｘ，两船用的时间相等；当ｘ＞４０时， １００ ｘ＋１０＞ ８０ ｘ，小 船用的时间少． １６．（１）分式 ３ｘ＋２与分式 ３ ｘ＋５是“互联分式”．理由如下： 因 为 ３ ｘ＋２ － ３ ｘ＋５ ＝ ３（ｘ＋５）－３（ｘ＋２） （ｘ＋２）（ｘ＋５） ＝ ９ （ｘ＋２）（ｘ＋５）， ３ ｘ＋２· ３ ｘ＋５＝ ９ （ｘ＋２）（ｘ＋５），所以分式 ３ ｘ＋２与分式 ３ ｘ＋５是“互联分式”． （２）设ｘ＋２ｘ＋５的“互联分式”是Ｎ，则 ｘ＋２ ｘ＋５－Ｎ＝ ｘ＋２ ｘ＋５·Ｎ． 所以（ ｘ＋２ ｘ＋５＋１）Ｎ＝ ｘ＋２ ｘ＋５．所以 Ｎ＝ ｘ＋２ ２ｘ＋７，即分式 ｘ＋２ ｘ＋５的 “互联分式”是 ｘ＋２ ２ｘ＋７． 附加题　１．（１）小明组成的值最大的分式是ｘ＋３ｘ＋１；小强 组成的值最大的分式是 ｘ－１ ｘ－３． （２）小强说的有道理．理由如下： ｘ＋３ ｘ＋１－ ｘ－１ ｘ－３＝－ ８ （ｘ＋１）（ｘ－３）．因为ｘ是大于３的正整 数，所以－ ８ （ｘ＋１）（ｘ－３）＜０．所以 ｘ＋３ ｘ＋１＜ ｘ－１ ｘ－３．所以小强说 的有道理． ２．（１）５－ ２ｘ＋２； （２）选择方法一，原式 ＝ｘ ２－２ｘ＋１＋８ｘ－８＋８ ｘ－１ ＝ （ｘ－１）２＋８（ｘ－１）＋８ ｘ－１ ＝ｘ－１＋８＋ ８ ｘ－１＝ｘ＋７＋ ８ ｘ－１． （３） 原 式 ＝ ｘ ２－８ｘ＋１６＋３ｘ－１２＋７ ｘ－４ ＝ （ｘ－４）２＋３（ｘ－４）＋７ ｘ－４ ＝ｘ－４＋３＋ ７ ｘ－４＝ｘ－１＋ ７ ｘ－４． 因为原分式与ｘ的值都是整数，所以ｘ－４＝±１或ｘ－４＝±７． 解得ｘ＝５或３或１１或 －３． ２９期２版 １６．３可化为一元一次方程的分式方程 １６．３．１分式方程的概念及解法 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．２５． ５．（１）ｘ＝９；　（２）无解；　（３）ｘ＝－２３． ６． ２ｘ－２＋ ｘ＋ｍ ２－ｘ＝２两边乘（ｘ－２），得２－ｘ－ｍ＝２ｘ－ ４．解得ｘ＝６－ｍ３ ． （１）因为该分式方程有增根，所以ｘ－２＝０．解得ｘ＝２．所 以 ６－ｍ ３ ＝２．解得ｍ＝０． （２）因为该分式方程的解是正数，所以６－ｍ３ ＞０，且 ６－ｍ ３ ≠２．解得ｍ＜６且ｍ≠０． 能力提高　７．Ｂ． １６．３．２分式方程的应用 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ；　３．１２０． ４．设电动车的速度是 ｘ千米 ／时，则汽车的速度是（ｘ＋ ３５）千米 ／时． 根据题意，得 １３－７ ｘ ＝ １３ ｘ＋３５．解得ｘ＝３０                                                                      ． —２— 初中数学华东师大八年级　第２７～３１期 经检验，ｘ＝３０是原分式方程的解，且符合题意． 所以ｘ＋３５＝６５． 答：电动车的速度是３０千米／时，汽车的速度是６５千米／时． ５．设该市去年居民用水的价格是ｘ元 ／ｍ３，则该市今年居 民用水的价格是（１＋１３）ｘ元 ／ｍ ３． 根据题意，得 ３０ （１＋１３）ｘ －１５ｘ ＝５．解得ｘ＝１．５． 经检验，ｘ＝１．５是原分式方程的解，且符合题意． 所以（１＋１３）ｘ＝２． 答：该市今年居民用水的价格是２元 ／ｍ３． ６．（１）设小明在地面上每分钟行走ｘ米，则小刚在地面上 每分钟行走 ６ ５ｘ米． 根据题意，得１．５×６５ｘ－１．５ｘ＝１５．解得ｘ＝５０． 所以 ６ ５ｘ＝６０． 答：小明在地面上每分钟行走５０米，小刚在地面上每分钟 行走６０米． （２）设平地电梯每分钟行驶ｙ米． 根据题意，得 １２０ ６０＋ｙ＝ １２０－４０３ ５０＋ｙ．解得ｙ＝３０． 经检验，ｙ＝３０是原分式方程的解，且符合题意． 答：平地电梯每分钟行驶３０米． １６．４零指数幂与负整数指数幂 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ．　 ３．（１）９；　（２） １ ａ９ｂ６ ；　（３）ｘ １２ ４ｙ７ ． ２９期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ Ｃ 二、９．９８；　１０．３；　１１． ６２１０ ｘ ＝３（ｘ－１）；　１２． １ ３． 三、１３．（１）ｘ＝１；　（２）ｘ＝４；　（３）无解． １４．设一个工人每小时包装 ｘ盒药品，则一台智能机器人 每小时包装５ｘ盒药品． 根据题意，得 １６００ ４ｘ － １６００ ５ｘ ＝４．解得ｘ＝２０． 经检验，ｘ＝２０是原分式方程的解，且符合题意． 所以５ｘ＝１００． 答：一台智能机器人每小时包装１００盒药品． １５．（１） ６ｘ－３＋ ｘ＋１ ３－ｘ＝１两边乘（ｘ－３），得６－（ｘ－１）＝ ｘ－３．解得ｘ＝５．检验：当ｘ＝５时，ｘ－３≠０．所以ｘ＝５是原 分式方程的解． （２）设▲ ＝ｍ．ｍｘ－３＋ ｘ－１ ３－ｘ＝１两边乘（ｘ－３），得ｍ－（ｘ －１）＝ｘ－３．解得ｘ＝ｍ＋４２ ．因为原分式方程无解，所以 ｍ＋４ ２ ＝３．解得ｍ＝２，即原分式方程中“▲”代表的数为２． １６．（１）设该商家购进运动鞋ｘ双，则购进运动服１．２５ｘ套． 根据题意，得 ６４００ ｘ － ６０００ １．２５ｘ＝４０．解得ｘ＝４０． 经检验，ｘ＝４０是原分式方程的解，且符合题意． 所以１．２５ｘ＝５０． 答：该商家购进运动鞋４０双，购进运动服５０套． （２）每双运动鞋的进价为：６４００÷４０＝１６０（元），每套运 动服的进价为：１６０－４０＝１２０（元）． 根据题意，得４０×３４×（２００－１６０）＋５０× １ ２×（１６０－ １２０）＋４０×１４×（２００×０．１ａ－１６０）＋５０× １ ２×（１６０－１２０ －３ａ）＝２６００．解得ａ＝８． 附加题　１． ｘｘ－１－１＝ ｍ （ｘ－１）（ｘ＋２）两边乘（ｘ－１）（ｘ ＋２），得ｘ（ｘ＋２）－（ｘ－１）（ｘ＋２）＝ｍ．解得ｘ＝ｍ－２．因为 分式方程 ｘ ｘ－１－１＝ ｍ （ｘ－１）（ｘ＋２）有增根，所以ｘ－１＝０或 ｘ＋２＝０．解得ｘ＝１或ｘ＝－２．所以ｍ－２＝１或ｍ－２＝－２． 解得ｍ＝３或ｍ＝０． ２．（１）ｘ＝６． （２） １ｘ＋７－ １ ｘ＋６＝ １ ｘ＋４－ １ ｘ＋３． （３）答案不惟一，如 １ｘ－ｎ＋２－ １ ｘ－ｎ＋１＝ １ ｘ－ｎ－１－ １ ｘ－ｎ－２，这个方程的解为ｘ＝ｎ． ３０期检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ｂ Ｃ Ａ Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ Ｃ Ｄ 二、１３．３２；　１４．７；　１５．５；　１６．ａ＜－１． 三、１７．（１）－２ｂｄ５ａｃ；　（２） １ ｘ＋３． １８．（１）无解；　（２）ｘ＝－３７． １９．原式 ＝ｘ＋１．解不等式组 １ ２（ｘ＋１）≤２， ｘ＋２ ３ ≥ ｘ＋３ ４ { ，得１≤ｘ≤ ３．所以该不等式组的整数解是１，２，３． 要使分式（ ｘ２－ｘ ｘ２－２ｘ＋１ ＋ ２１－ｘ）÷ ｘ－２ ｘ２－１ 有意义，所以ｘ－ １≠０，ｘ＋１≠０，ｘ－２≠０．解得ｘ≠１，ｘ≠－１，ｘ≠２．所以ｘ ＝３．当ｘ＝３时，原式 ＝４                                                                      ． —３— 初中数学华东师大八年级　第２７～３１期 ２０．方程 ４ｘｘ－２－５＝ ｍｘ ２－ｘ两边乘（ｘ－２），得４ｘ－５（ｘ－２） ＝－ｍｘ．整理，得（１－ｍ）ｘ＝１０．因为关于ｘ的方程 ４ｘｘ－２－５＝ ｍｘ ２－ｘ无解，所以ｘ＝２或１－ｍ＝０．解得ｍ＝－４或ｍ＝１． ２１．（１）设这项工程的规定时间是ｘ天． 根据题意，得（ １ ｘ＋ １ ３ｘ）×１５＋ １０ ｘ ＝１．解得ｘ＝３０． 经检验，ｘ＝３０是原分式方程的解，且符合题意． 答：这项工程的规定时间是３０天． （２）设该工程由甲、乙队合做完成需要ｍ天． 根据题意，得（ １ ３０＋ １ ３×３０）ｍ＝１．解得ｍ＝２２．５． ２２．５×（６５００＋３５００）＝２２５０００（元）． 答：该工程的施工费用为２２５０００元． ２２．（１）－２，－３． （２）根据题意，得ｍｎ＝－５，ｍ＋ｎ＝－２．所以 ｎｍ ＋ ｍ ｎ ＝ ｍ２＋ｎ２ ｍｎ ＝ （ｍ＋ｎ）２－２ｍｎ ｍｎ ＝－ １４ ５． （３）原方程变为ｘ－２＋ｋ（－２ｋ－３）ｘ－２ ＝－ｋ－３．所以ｘ１－ ２＝ｋ，ｘ２－２＝－２ｋ－３．所以 ｘ１－２ ｘ２＋１ ＝ ｋ－２ｋ－１＋１＝－ １ ２． ３１期２版 １７．１变量与函数 ①变量与函数 基础训练　１．Ｃ；　２．单价． ３．（１）常量是６；变量是ｎ，ｔ． （２）常量是４０；变量是ｓ，ｔ． ４．（１）１９０； （２）水池的容积是常量；抽水时间、抽出水的体积、水池中 水的体积是变量． ②变量与函数 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．ｙ＝２４ｘ＋３． ４．（１）ｙ是ｘ的函数．理由如下： 存在两个变量：买地砖需要的钱数ｙ和小路的宽度ｘ，对于 每一个ｘ的值，ｙ都有惟一确定的值与之相对应，符合函数的定 义，所以ｙ是ｘ的函数． （２）当ｘ＝３时，两条小路的面积和为：３２×３＋２０×３－３２ ＝１４７（平方米）．地砖的费用为：６０×１４７＝８８２０（元）． １７．２函数的图象 １７．２．１平面直角坐标系 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．ｙ；　５．（３，３）． ６．（１）点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的坐标依次为：Ａ（３，２），Ｂ（－３，４）， Ｃ（－４，－３），Ｄ（３，－３）； （２）图略，得到的封闭图形是一个直角三角形． １７．２．２函数的图象 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．－１＜ｘ＜１或ｘ＞２； ４．２５． ５．图略．当ｘ＝１时，ｙ＝２ｘ＋１＝３＜槡１０．所以点（１， 槡１０）在该函数图象的上方． ６．（１）由图象可知，Ａ点表示小王开始收割前微信零钱有 ２０００元． （２）由图象可知，收割２０亩后，微信零钱为３６００元．所以 收割机收割一亩小麦：（３６００－２０００）÷２０＝８０（元）． （３）ａ＝２０００＋５０×８０＝６０００． （４）全天收割小麦共收入：２８４０＋４０００＝６８４０（元）． ３１期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ａ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ Ｂ 二、９．（－２，３）；　１０．８；　１１．ｙ＝１．８ｘ＋３２； １２．（２２４，０）． 三、１３．（１）学校、汽车站的坐标分别为（１，３），（２，－１）； （２）他路上经过的地方有：商店、公园、汽车站、水果店、学 校、娱乐城、邮局． １４．（１）将ｘ＝１，ｙ＝４代入ｙ＝２ｘ＋ｂ，得２＋ｂ＝４．解得 ｂ＝２． （２）图略． １５．（１）因为点Ｐ在ＡＢ上运动，所以０≤ｘ≤４．根据题意， 得ｙ＝４×８－１２×８ｘ＝－４ｘ＋３２（０≤ｘ≤４）． （２）当阴影部分的面积等于２０，即ｙ＝－４ｘ＋３２＝２０．解 得ｘ＝３．所以ＰＢ＝３． １６．（１）当ｘ＝－３时，ｙ＝－２×（－３）＋１＝７； 当ｘ＝２时，ｙ＝ １２×２－ ３ ２ ＝－ １ ２． （２）Ａ． （３）①当ｘ＜１时，－２ｘ＋１＝１，解得ｘ＝０，符合题意； ②当ｘ≥１时，１２ｘ－ ３ ２ ＝１，解得ｘ＝５，符合题意． 综上所述，输入的ｘ值为０或５． 附加题　１．（１）根据题意，得２－ｍ＝－１．解得ｍ＝３．所 以Ｍ（－１，１）．所以ＭＮ＝１－（－４）＝５． （２）根据题意，得 －（２ｍ－５）－（２－ｍ）＝４．解得 ｍ＝ －１．所以２－ｍ＝３，２ｍ－５＝－７．所以点Ｍ的坐标为（３，－７）． ２．（１）１；点Ｂ表示乙行驶 ８３ｈ时，甲、乙两人相遇；点Ｃ表 示乙行驶５ｈ时，甲、乙两人相距３５ｋｍ． （２）设甲的速度为ａｋｍ／ｈ，乙的速度为ｂｋｍ／ｈ． 根据题意，得 ８ ３ｂ＝ ５ ３ａ， （５－８３）（ａ－ｂ）＝３５ { ．解得 ａ＝４０，ｂ＝２５{ ． 答：甲的速度为４０ｋｍ／ｈ，乙的速度为２５ｋｍ／ｈ                                                                      ． —４— 初中数学华东师大八年级　第２７～３１期