第27期 16.1 分式及其基本性质 16.2.1 分式的乘除-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（华东师大版）

书 分式的分子与分母都 乘以（或都除以）同一个 不等于零的整式，分式的 值不变，这是分式的基本 性质．现就有关分式的基 本性质的题型讲解如下， 供同学们参考． 一、分式的变形 例１　不改变分式的 值，把分式 ０．４ａ－１２ｂ １ ５ａ＋０．３ｂ 的 分子、分母的各项系数都 化 成 整 数 的 形 式 为： ． 分析：观察可知原分 式的分子与分母中的所有 分母的最小公倍数是 １０， 根据分式的基本性质，将 分式的分子与分母同乘以 １０即可得解． 解：原式 ＝ （０．４ａ－１２ｂ）×１０ （ １ ５ａ＋０．３ｂ）×１０ ＝４ａ－５ｂ２ａ＋３ｂ．故填 ４ａ－５ｂ ２ａ＋３ｂ． 例２　不改变分式的值，使分子、分母的含 ｘ项系 数都化为正数，则 －２ｘ＋ｙ －ｘ－３ｙ＝ ． 分析：先将原分式的分子与分母都提取负号，然后 根据分式的基本性质，将分式的分子、分母同除以 －１ 即可得解． 解：原式 ＝－（２ｘ－ｙ）－（ｘ＋３ｙ）＝ ２ｘ－ｙ ｘ＋３ｙ．故填 ２ｘ－ｙ ｘ＋３ｙ． 二、判断分式的值的情况 例３　若将ａ＋ｂａｂ 中的字母ａ，ｂ的值分别扩大为原 来的３倍，则分式的值 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．扩大为原来的３倍 Ｂ．缩小为原来的 １９ Ｃ．缩小为原来的 １３ Ｄ．不变 分析：此题考查分式的基本性质，解题的关键是抓 住分子、分母变化的倍数，解此类题应首先把字母变化 后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得 出结论．依题意分别用３ａ和３ｂ去代换原分式中的ａ和 ｂ，利用分式的基本性质化简即可． 解：将ａ，ｂ的值分别扩大为原来的３倍后的分式为 ３ａ＋３ｂ ３ａ×３ｂ＝ ３（ａ＋ｂ） ９ａｂ ＝ １ ３· ａ＋ｂ ａｂ．所以分式的值缩小为 原来的 １ ３．故选Ｃ． 分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式，如： ｘ－２ ｘ＋１＞０， ２ｘ－３ ｘ－１ ＜０等． （１）求分式不等式ｘ＋２ｘ＋１＜０的解集； （２）直接写出一个解集为ｘ＞３或ｘ＜１的最简分 式不等式． ! ! " # $ % """""""""""""""""""" 书 分式的乘法运算是通过约分化简完成的，约分的理 论依据是分式的基本性质．分式的除法运算是将除法运 算转化为分式的乘法运算进行的．下面将对分式的乘除 运算的典型例题进行解析，供同学们参考． 一、分式的分子、分母都是单项式的乘除运算 例１　计算 －２ａｂ· ｂ２ ａ的正确结果是 （　　） Ａ．２ Ｂ．２ｂ Ｃ．－２ｂ Ｄ．－２ａｂ２ 分析：根据分式的乘法法则即可求出答案． 解：原式 ＝－２ｂ． 故选Ｃ． 例２　计算：ｘｙ ２ －６ｚ２ ÷－３ｘ ２ｙ３ ４ａｚ２ ． 分析：分式的除法运算，应把除式的分子、分母颠倒 位置后，与被除式相乘． 解：原式 ＝ ｘｙ ２ －６ｚ２ · ４ａｚ２ －３ｘ２ｙ３ ＝２ａ９ｘｙ． 二、分式的分子、分母中含有多项式的乘除运算 例３　计算 ａ ２－１ ａ２－２ａ＋１ · １－ａ ａ２＋ａ 的结果为 （　　） Ａ．－１ａ Ｂ． １ ａ Ｃ． ２ ａ Ｄ． ３ ａ 分析：先把能分解的因式进行分解，再约分即可． 解：原式 ＝（ａ＋１）（ａ－１） （ａ－１）２ · １－ａ ａ（ａ＋１）＝－ １ ａ． 故选Ａ． 例４　计算ｘ ２＋４ｘ＋４ ｘ２－４ ÷ｘ ２＋２ｘ ｘ－２的结果是（　　） Ａ．１ｘ Ｂ． １ ｘ＋２ Ｃ． １ ｘ－２ Ｄ． ｘ ｘ＋２ 分析：先把分式的除法运算转化为乘法运算，再将 分式的分子、分母因式分解后计算． 解：原式 ＝ （ｘ＋２） ２ （ｘ＋２）（ｘ－２）· ｘ－２ ｘ（ｘ＋２）＝ １ ｘ． 故选Ａ． 三、分式的乘除混合运算 例５　化简 ａ ４－ａ２ｂ２ ａ２－２ａｂ＋ｂ２ ÷ａ ２＋ａｂ ｂ２ · ａ ｂ２ 的结果为 （　　） Ａ．ａ ２ ａ－ｂ Ｂ． ｂ２ ａ－ｂ Ｃ． ａ２ ａ＋ｂ Ｄ． ｂ２ ａ＋ｂ 分析：按照分式的乘除运算法则从左到右依次进行． 解：原式 ＝ａ ２（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ） （ａ－ｂ）２ · ｂ２ ａ（ａ＋ｂ）· ａ ｂ２ ＝ ａ２ ａ－ｂ． 故选Ａ． ! &' ()* 书 !"#$%&'()*+,- “ ./ ”， 01234 5,6789- “ ./ ” #:17; ． !"# 、 $%&'()*+,-./ 0 １　 0<=" ： ａ－ｂ ２ ， ｘ＋３ ｘ ， ５＋ｙ π ， ３ ４（ｘ ２＋１）， ａ２－ｂ２ ａ＋ｂ&，>?!"#@ ． /+ ： A@ ａ２－ｂ２ ａ＋ｂ ＝ （ａ＋ｂ）（ａ－ｂ） ａ＋ｂ ＝ａ－ｂ，ａ－ｂ ?B" ， CD>?!"#@ ： ａ－ｂ ２ ， ３ ４（ｘ ２＋１），ａ ２－ｂ２ ａ＋ｂ． EF ａ－ｂ ２ ， ３ ４（ｘ ２＋１），ａ ２－ｂ２ ａ＋ｂ． 12 ： !"#$%&'()*+%,-.$/0 ， *+(123+4%,- ， /567839:;<=> ?@ ， A ａ２－ｂ２ ａ＋ｂ(*+； ５＋ｙ π %*B(π ， CDEFG ， (HI ， JK ５＋ｙ π /(*+ ． 3+ ： F ａ－ｂ ２ ， ５＋ｙ π ， ３ ４（ｘ ２＋１）． !"4 、 567%./ 0 ２　 GH!" ｘ－２ （ｘ＋１）（ｘ－２）IJK，ｘ#LMN OPQ （　　） Ａ．ｘ≠－１ Ｂ．ｘ≠２ Ｃ．ｘ≠－１Rｘ≠２ Ｄ．ｘ≠－１Sｘ≠２ /+ ： A@ ｘ－２ （ｘ＋１）（ｘ－２）＝ １ ｘ＋１，CDGH!" ｘ－２ （ｘ＋１）（ｘ－２）IJK，TIｘ＋１≠０．UVｘ≠－１． EW Ａ． 12 ： !"#$%&'()&*+LMNO* ． P QR ， 7*+S ， *T 、 *BUV （ 9WK ） X1YZ+ ， [\]^8_B%`abc ， 7de*+fR-%_B %`abcg ， hijk&*+LMd$ ， l/\mO *=nd$ ． 3+ ： GH!" ｘ－２ （ｘ＋１）（ｘ－２）IJK，TI（ｘ＋ １）（ｘ－２）≠０．CDｘ＋１≠０Sｘ－２≠０．UV ｘ≠ －１ S ｘ≠２． EW Ｄ． !"8 、 9:%;,<= ０ '>?./ 0 ３　 X!" ｜ｍ｜－５ ｍ－５ #M@Y，Tｍ＝ （　　） Ａ．－５ Ｂ．５ Ｃ．±５ Ｄ．０ /+ ： Z[\J ， V ｜ｍ｜－５＝０． UV ｍ＝±５． EW Ｃ． 12 ： #$%&'(opqN*+%*T%ar ０， lstN*B%a/\r ０． + ： Z[\J ， V ｜ｍ｜－５＝０，ｍ－５≠０．UV ｍ ＝－５． EW Ａ． """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! +, -./ 书 一、不等式“牵手”分式有意义的条件 例１　若分式 ３ｘ＋１在实数范围内有意义，则实数ｘ 的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ＞－１ Ｂ．ｘ＜－１ Ｃ．ｘ＝－１ Ｄ．ｘ≠－１ 分析：根据分式有意义的条件即可求出答案． 解：根据题意，得ｘ＋１≠０．解得ｘ≠－１．故选Ｄ． 例２　使式子ｘ－５ｘ＋４÷ ｘ－７ ｘ＋６有意义的ｘ的取值范围 是 （　　） Ａ．ｘ≠－６且ｘ≠－４ Ｂ．ｘ≠－６且ｘ≠７ Ｃ．ｘ≠７且ｘ≠－４ Ｄ．ｘ≠７且ｘ≠－６且ｘ≠－４ 分析：利用分式的除法法则将除法转化为乘法，根 据分式有意义的条件求解即可． 解： ｘ－５ ｘ＋４÷ ｘ－７ ｘ＋６＝ ｘ－５ ｘ＋４· ｘ＋６ ｘ－７．根据题意，得ｘ＋４ ≠０且ｘ＋６≠０且ｘ－７≠０．解得ｘ≠－４且ｘ≠－６且 ｘ≠７． 故选Ｄ． 二、不等式“牵手”分式的值 例３　若分式 ｘ ２ ｘ＋３的值为负数，则ｘ的取值范围是 ． 分析：直接利用“分式的值为负数”结合偶次方的 性质得出ｘ的取值范围． 解：因为分式 ｘ２ ｘ＋３的值为负数，所以ｘ ２＞０，ｘ＋３＜ ０．解得ｘ＜－３． 故填ｘ＜－３． 三、不等式“牵手”分式的基本性质 例４　若等式 １ｘ－３＝ ｘ＋８ ｘ２＋５ｘ－２４ 从左到右变形成 立，则ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ＞８且ｘ≠３ Ｂ．ｘ＝－８ Ｃ．ｘ＜８ Ｄ．ｘ≠－８且ｘ≠３ 分析：根据分式有意义的条件和分式的基本性质求 解即可． 解： １ ｘ－３＝ ｘ＋８ ｘ２＋５ｘ－２４ ＝ ｘ＋８ （ｘ－３）（ｘ＋８）．根据题 意，得ｘ－３≠０且ｘ＋８≠０．解得ｘ≠３且ｘ≠－８． 故选Ｄ． !"# !"!#$$%$& !"#$ !"#$%&' ' " !" (' !!!") % ! ()*+ 0123456789:;< !" = !"#$%&'" ()*+,-'. $%&$>?@ABCDE 3FGHI$&!"#$%&'()*+, -./$010#$& !&2*+#$.345#$%67 '%8 9& JKLMN:;#$%<=>?@)AB #$%<C>?D#$EFG#HI#& (%&!&(>?OPQ 3FGHN:;#$%JKHLKMJN KO@P2QREF#$%JLSTUV& JKLMN:;#WH#X0YZ$%# $%JLKUV! 书 分式的求值题多种多样，有的可以直接求值，有的 需要根据已知条件求出字母之间的关系，再代入分式求 值．下面让我们一起来闯关吧！ 第一关：运用等式的基本性质求值 例１　若ｙ＝ ｘ１－３ｘ，则分式 ２ｘ－３ｘｙ－２ｙ ｙ＋ｘｙ－ｘ 的值为 （　　） Ａ．－９４　　Ｂ．－１　　Ｃ． ７ ３　　Ｄ．－ ７ ３ 分析：运用等式的基本性质将已知条件变形得ｙ－ｘ ＝３ｘｙ，整体代入待求式即可得解． 解：因为 ｙ＝ ｘ１－３ｘ，所以 ｙ－ｘ＝３ｘｙ．所以 ２ｘ－３ｘｙ－２ｙ ｙ＋ｘｙ－ｘ ＝ ２（－３ｘｙ）－３ｘｙ ３ｘｙ＋ｘｙ ＝ －９ｘｙ ４ｘｙ ＝－ ９ ４． 故选Ａ． 第二关：引入参数求值 例２　已知 ａ２ ＝ ｂ ３ ＝ ｃ ４≠０，则 ａ＋ｂ ｃ 的值为 （　　） Ａ．４５ Ｂ． ５ ４ Ｃ．２ Ｄ． １ ２ 分析：引入参数ｋ，用含ｋ的式子表示ａ，ｂ，ｃ，代入待 求式即可得解． 解：设 ａ ２ ＝ ｂ ３ ＝ ｃ ４ ＝ｋ，则ａ＝２ｋ，ｂ＝３ｋ，ｃ＝４ｋ． 所以 ａ＋ｂ ｃ ＝ ２ｋ＋３ｋ ４ｋ ＝ ５ｋ ４ｋ＝ ５ ４． 故选Ｂ． 第三关：结合因式分解求值 例３　如果 ｘ２ －６ｘｙ＋９ｙ２ ＝０，则ｘ－ｙｘ＋ｙ的值为 ． 分析：利用完全平方公式因式分解得到（ｘ－３ｙ）２＝ ０，则ｘ＝３ｙ，代入待求式即可得解． 解：因为ｘ２－６ｘｙ＋９ｙ２ ＝０，所以（ｘ－３ｙ）２ ＝０．所 以ｘ＝３ｙ．所以ｘ－ｙｘ＋ｙ＝ ３ｙ－ｙ ３ｙ＋ｙ＝ ２ｙ ４ｙ＝ １ ２． 故填 １ ２． 书 一、分母是单项式 分母是单项式，应取各 分母系数的最小公倍数与 所有字母的最高次幂的积． 例 １　 分 式 ｘ＋ｙ３ｘｙ， ３ｙ ２ｘ２ ， ｘｙ ６ｘｙ２ 的最简公分母是 （　　） Ａ．３ｘ　　　Ｂ．ｘ Ｃ．６ｘ２ Ｄ．６ｘ２ｙ２ 解析：３，２，６的最小公 倍数是６；ｘ的最高次幂是 ｘ２；ｙ的最高次幂是 ｙ２．所 以 ｘ＋ｙ ３ｘｙ， ３ｙ ２ｘ２ ， ｘｙ ６ｘｙ２ 的最简 公分母是６ｘ２ｙ２． 故选Ｄ． 二、分母是多项式 分母是多项式，先把各多项式分解因式，再取所有 因式的最高次幂的乘积． 例２　分式 １ ｘ２＋２ｘ＋１ ，－ ２ ｘ２－１ ， １ ｘ２－２ｘ＋１ 的最 简公分母是 ． 解析：首先将各分式的分母进行因式分解： １ ｘ２＋２ｘ＋１ ＝ １ （ｘ＋１）２ ，－ ２ ｘ２－１ ＝－ ２ （ｘ＋１）（ｘ－１）， １ ｘ２－２ｘ＋１ ＝ １ （ｘ－１）２ ．因为所有因式的最高次幂分 别是（ｘ－１）２，（ｘ＋１）２，所以 １ ｘ２＋２ｘ＋１ ，－ ２ ｘ２－１ ， １ ｘ２－２ｘ＋１ 的最简公分母是（ｘ＋１）２（ｘ－１）２． 故填（ｘ＋１）２（ｘ－１）２． 三、几种特殊的最简公分母的确定 １．分式与整式通分时，分式的分母就是最简公分母． 如： ａ３ ａ－１与ａ ２＋ａ＋１的最简公分母是ａ－１． ２．分母互为相反数时，任何一个分母都可以作为 最简公分母． 如： ４ ｘ－２与 ｘ＋２ ２－ｘ，因为 ４ ｘ－２＝－ ４ ２－ｘ， ｘ＋２ ２－ｘ＝ －ｘ＋２ｘ－２，所以 ４ ｘ－２与 ｘ＋２ ２－ｘ的最简公分母是２－ｘ或ｘ－２． ３．能约分的分式，要约分后再找最简公分母． 如： ａ＋ｂ ａ２＋２ａｂ＋ｂ２ ， ａｂ２ ａ２ｂ＋ａｂ２ 约分后的最简公分母 是ａ＋ｂ． """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! RS T U ! V W X Y ! Z[ \]^ !"#!"!#$!"!%$% &!$'()*+,%-. /0$12345 < !) = (%&( !"# $%&'()(%&!&( !"* +, < !* = $%+!"! -" *./ < !, = (%&- 012 343567*!"67) (%&. 89:;<=>:9 :; < -' = ? $% @> @AB < -$ = $)+$ CD< E:)$)+!E:*FG < -! = $)+- 35E : < -- = $)+. HIJ E: < -. = $)+# KL< MN < -# = ? $) @> @AB < -%= OPAB < -) = $*+$ QRS TU*'()$*+! 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" 书 １６．１分式及其基本性质 １６．１．１分式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．下列各式：－ｘ，２ π ，－ ３ｘ－２， ｘ ｘ２－１ 中，分式有 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ２．分式ｘ＋２３－ｘ＝０，则ｘ的值是 （　　） Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．３ Ｄ．－３ ３．下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意 义？ （１）ｍ－４２ｍ ； （２） ｘ ２｜ｘ｜＋１； （３）－ａ＋ｂ２ａ－ｂ； （４） ｘ２－６ｘ＋９ ｘ２－５ｘ＋６ ． ４．根据下列叙述列式： （１）某实验学校为支援某灾区重建家园，号召同学 们自愿捐款，已知第一次捐款总额为 ａ元，第一次捐款 人数为ｘ，第二次捐款总额为ｂ元，第二次捐款人数比第 一次多２人，求两次平均每人捐款多少元； （２）打字员要打一份１２０００字的文件，第一天她打 字２ｈ，打字速度为ｗ字／ｍｉｎ，第二天打字速度比第一天 快了１０字／ｍｉｎ，两天打完全部文件，第二天她打字用了 多长时间？ １６．１．２分式的基本性质（基本性质、约分） １．将分式２ｘｘｙ约分的结果是 （　　） Ａ．２ｙ Ｂ． ２ ｘｙ Ｃ． １ ｙ Ｄ． ２ ｘ ２．下列分式中，是最简分式的是 （　　） Ａ．ｘ－ｙ ｘ２＋ｙ２ Ｂ．ｍ－１１－ｍ Ｃ． ｘ－ｙ ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２ Ｄ．２ａ４ｂ ３．若ｘ，ｙ的值均扩大到原来的３倍，则下列分式的 值一定保持不变的是 （　　） Ａ．２＋ｘｘ－ｙ Ｂ． ２ｙ ｘ２ Ｃ．２ｙ ３ ３ｘ Ｄ． ２ｙ ｘ－ｙ ４．约分： （１）２４ａｂ ３ ４ａｂ２ ； （２）（ａ－２ｂ） ２ ａ２－４ｂ２ ； （３） ｘ ２－２ｘ＋１ （ｘ２＋１）２－４ｘ２ ． ５．已知三个整式ｘ２＋４ｘ，４ｘ＋４，ｘ２，从中选出两个 作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式， 并对这个分式进行约分． １６．１．２分式的基本性质（通分） １．分式 ２ ｘ２ｙ 和 ４ ｘｙ２ 的最简公分母是 （　　） Ａ．ｘｙ Ｂ．ｘ２ｙ Ｃ．ｘ２ｙ２ Ｄ．ｘ３ｙ３ ２．把 －１３ａ＋６， ２ ａ２＋２ａ＋１ ， ａ ａ２＋３ａ＋２ 通分后，各分 式的分子之和为 （　　） Ａ．２ａ２＋７ａ＋１１ Ｂ．ａ２＋８ａ＋１０ Ｃ．２ａ２＋４ａ＋４ Ｄ．４ａ２＋１１ａ＋１３ ３．通分： （１）６ｃ ａ２ｂ ， ｃ ３ａｂ２ ； （２） ｘ４ａｘ＋８ａ， ｙ ６ｂｘ＋１２ｂ； （３） ｘｘ－ｙ， ｙ ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２ ， ２ ｘ２－ｙ２ ． １６．２．１分式的乘除 １６．２．１．１分式的乘除 １．计算ｘ－１ｘ ÷ １－ｘ ｘ２ 的结果是 （　　） Ａ．ｘ２ Ｂ．－ｘ２ Ｃ．ｘ Ｄ．－ｘ ２．如图，第一列是王江化简分式 ｘ ２－４ ｘ２－４ｘ＋４ · ２ｘ－ｘ２ ｘ２＋４ｘ＋４ 的部分过程，在化简过程中，横线上依次填 入第二列的序号为 （　　） 原式 ＝（ｘ＋２）（ｘ－２）·ｘ（２－ｘ） （ｘ＋２）２ ① ｘ＋２ 　　 ＝ｘ＋２ｘ－２· ｘ（２－ｘ） （ｘ＋２）２ ② ｘ－２ 　　 ＝ １ｘ－２· －ｘ（ ） ｘ＋２ ③（ｘ－２）２ 　　 ＝－ ｘ ④（ｘ＋２）２ Ａ．④①② Ｂ．③①② Ｃ．③②① Ｄ．④②① ３．若Ｍ÷ｘｙ＋ｙ ２ （ｘ－ｙ）２ ＝ｘ ２－ｙ２ ｙ ，则Ｍ ＝ ． ４．计算： （１）４ｎ ３ ｍ ÷ ２ｎ ｍ２ ； （２） ９ａｂ ２ ａ２－ｂ２ · ５ａ－５ｂ ３ａ２ｂ ； （３） ８１－ａ ２ ａ２＋６ａ＋９ ÷ａ－９２ａ＋６· ａ＋３ ａ＋９． ５．先化简： ｘ ２－１ ｘ２－２ｘ＋１ ÷ｘ＋１ｘ－１· ｘ－１ ｘ＋１，然后从 －１ ≤ｘ≤１的范围内选取一个合适的整数作为ｘ的值代入 求值． １６．２．１．２分式的乘方 １．化简（－３ｙｘ） ２的结果是 （　　） Ａ．３ｙ ２ ｘ２ Ｂ．９ｙ ２ ｘ２ Ｃ．６ｙ ２ ｘ２ Ｄ．－６ｙ ２ ｘ２ ２．已知（－ａ２）５·（１ａ） ７ ＝２７，则 ａ的值为 ． ３．计算： （１）（ｘｙｘ－ｙ） ２· ｘ－ｙ ｘ２ｙ ； （２）（－ａｂ） ２÷２ａ ２ ５ｂ· ａ ５ｂ 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． !" # #$%"& '()*+,-./ ! ! !"#$ ! 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CDKÞQ[\]^ ü_`abcde"$"µ fghŒijË¢ŒP k…Ë\V¯l &$&&$& 书 答案详解 　　　　　 　　２０２４～２０２５学年　初中数学华东师大八年级　第２７～３１期　　　　　 　　 ２７期２版 １６．１分式及其基本性质 １６．１．１分式 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ． ３．（１）ｍ≠０；　（２）ｘ为全体实数；　（３）２ａ≠ｂ； （４）ｘ≠３且ｘ≠２． ４．（１）两次平均每人捐款： ａ＋ｂｘ＋ｘ＋２＝ ａ＋ｂ ２ｘ＋２（元）． （２）第二天她打字用了１２０００－１２０ｗｗ＋１０ ｍｉｎ． １６．１．２分式的基本性质（基本性质、约分） 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ；　３．Ｄ． ４．（１）６ｂ；　（２）ａ－２ｂａ＋２ｂ；　（３） １ ｘ２＋２ｘ＋１ ． ５．ｘ ２＋４ｘ ｘ２ ＝ｘ（ｘ＋４） ｘ２ ＝ｘ＋４ｘ 或 ｘ２ ｘ２＋４ｘ ＝ ｘ ２ ｘ（ｘ＋４）＝ ｘ ｘ＋４． １６．１．２分式的基本性质（通分） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ． ３．（１）最简公分母是３ａ２ｂ２，６ｃ ａ２ｂ ＝１８ｂｃ ３ａ２ｂ２ ， ｃ ３ａｂ２ ＝ ａｃ ３ａ２ｂ２ ． （２）最简公分母是１２ａｂ（ｘ＋２）， ｘ４ａｘ＋８ａ＝ ３ｂｘ １２ａｂ（ｘ＋２） ＝ ３ｂｘ１２ａｂｘ＋２４ａｂ， ｙ ６ｂｘ＋１２ｂ＝ ２ａｙ １２ａｂ（ｘ＋２）＝ ２ａｙ １２ａｂｘ＋２４ａｂ． （３）最简公分母是（ｘ＋ｙ）２（ｘ－ｙ）， ｘ ｘ－ｙ＝ ｘ（ｘ＋ｙ）２ （ｘ＋ｙ）２（ｘ－ｙ） ＝ ｘ ３＋２ｘ２ｙ＋ｘｙ２ ｘ３＋ｘ２ｙ－ｘｙ２－ｙ３ ， ｙ ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２ ＝ ｙ（ｘ－ｙ） （ｘ＋ｙ）２（ｘ－ｙ） ＝ ｘｙ－ｙ ２ ｘ３＋ｘ２ｙ－ｘｙ２－ｙ３ ， ２ ｘ２－ｙ２ ＝ ２（ｘ＋ｙ） （ｘ＋ｙ）２（ｘ－ｙ） ＝ ２ｘ＋２ｙ ｘ３＋ｘ２ｙ－ｘｙ２－ｙ３ ． １６．２．１分式的乘除 １６．２．１．１分式的乘除 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．ｘ ２＋２ｘｙ＋ｙ２ ｘ－ｙ ． ４．（１）２ｍｎ２；　（２） １５ｂ ａ２＋ａｂ ；　（３）－２． ５．原式 ＝ｘ－１ｘ＋１． 根据分式有意义的条件，得ｘ≠１，ｘ≠－１．所以在 －１≤ｘ ≤１的范围内，ｘ可以取的整数为０． 当ｘ＝０时，原式 ＝－１． １６．２．１．２分式的乘方 基础训练　１．Ｂ；　２．－３．　３．（１） ｙｘ－ｙ；　（２） ａ ２ｂ２ ． ２７期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ａ 二、９．１３ａ；　１０．１０；　１１．－ ｘ－ｙ ｘ２＋ｘｙ ；　１２．１或２． 三、１３．（１）ｘ ２＋ｘｙ ｘ２－ｙ２ ＝ ｘ（ｘ＋ｙ） （ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）＝ ｘ ｘ－ｙ； （２）最简公分母为 ａｂ（ｂ＋１）， ｂａｂ＋ａ＝ ｂ２ ａｂ（ｂ＋１）＝ ｂ２ ａｂ２＋ａｂ ， ａ ｂ２＋ｂ ＝ ａ ２ ａｂ（ｂ＋１）＝ ａ２ ａｂ２＋ａｂ ． １４．（１）－３ｘ ３ ４ｙ；　（２）６ａｂ；　（３）ａ＋５；　（４） ２ ３ｘ ２． １５．甲工程队修９００ｍ所用的时间为 ９００ ａ２－４ 天，乙工程队修 ６００ｍ所用的时间为 ６００ （ａ－２）２ 天． ９００ ａ２－４ ÷ ６００ （ａ－２）２ ＝ ９００ （ａ＋２）（ａ－２）· （ａ－２）２ ６００ ＝ ３（ａ－２） ２（ａ＋２）＝ ３ａ－６ ２ａ＋４． 答：甲工程队修９００ｍ所用的时间是乙工程队修６００ｍ所 用时间的 ３ａ－６ ２ａ＋４倍． １６． ａ＋ｂａ＋（ａ－ｂ）．证明如下： ａ３＋ｂ３ ａ３＋（ａ－ｂ）３ ＝ （ａ＋ｂ）（ａ ２－ａｂ＋ｂ２） ［ａ＋（ａ－ｂ）］［ａ２－ａ（ａ－ｂ）＋（ａ－ｂ）２］ ＝ （ａ＋ｂ）（ａ２－ａｂ＋ｂ２） ［ａ＋（ａ－ｂ）］（ａ２－ａｂ＋ｂ２） ＝ ａ＋ｂａ＋（ａ－ｂ）． 附加题　１．因为ａｂｃ＝１，所以 １ａｂ＋ｂ＋１＝ ａｂｃ ａｂ＋ｂ＋ａｂｃ ＝ ａｃａ＋１＋ａｃ， １ ｂｃ＋ｃ＋１＝ ａ ａ（ｂｃ＋ｃ＋１）＝ ａ ａｂｃ＋ａｃ＋ａ＝ ａ １＋ａｃ＋ａ． ２．因为 ２ｘ＋ｙ≠ １，所以 ２ｘ＋ｙ－１≠ ０．所以 ２ｘ２＋３ｘｙ＋ｙ２－ｘ－ｙ ２ｘ２－ｘｙ－ｙ２－ｘ＋ｙ ＝ （２ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ）－（ｘ＋ｙ） （２ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）－（ｘ－ｙ）                                                         ＝ —１— 初中数学华东师大八年级　第２７～３１期 （ｘ＋ｙ）（２ｘ＋ｙ－１） （ｘ－ｙ）（２ｘ＋ｙ－１）＝ ｘ＋ｙ ｘ－ｙ．因为ｘ ２＋ｘｙ－２ｙ２＝０，所以（ｘ＋ ２ｙ）（ｘ－ｙ）＝０．根据分式有意义的条件，得ｘ－ｙ≠０．所以ｘ＋ ２ｙ＝０．所以ｘ＝－２ｙ．所以原式 ＝ －ｙ－３ｙ＝ １ ３． ２８期２版 １６．２．２分式的加减 １６．２．２．１同分母分式相加减 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．Ｂ； ４．（１）ｘ－１，（２）±槡３． ５．（１）１；　（２）１ｘ． ６．原式 ＝ａ＋ｃａ－ｂ．当ａ＝３，ｂ＝－２，ｃ＝－１时，原式 ＝ ２ ５． １６．２．２．２异分母分式相加减 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．１６． ５．（１）２ａ＋５ ａ２ ；　（２）１ａ；　（３） ａ＋ｂ ａ－ｂ． 能力提高　６．Ｂ． １６．２．２．３分式的混合运算 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ． ３．（１）ａ＋１；　（２）ｘ＋２ｘ＋３． ４．原式 ＝ｘ．根据分式有意义的条件，得ｘ≠０，ｘ≠２，ｘ≠ －２．所以在 －２≤ｘ＜槡７的范围内，ｘ可以取的整数为 －１或 １．当ｘ＝１时，原式 ＝１；当ｘ＝－１时，原式 ＝－１． 能力提高　５．Ｂ． ２８期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ａ Ａ Ａ 二、９．１；　１０．ｂ－ａａ ；　１１．１；　１２．－５． 三、１３．（１）ａ＋ｂ；　（２）１３ｂ；　（３）－３ｘ． １４．原式 ＝ａ－２ａ ．当ａ＝３时，原式 ＝ １ ３． １５．（１）大船完成任务用 １００ｘ＋１０天，小船完成任务用 ８０ ｘ天． （２） １００ｘ＋１０－ ８０ ｘ ＝ １００ｘ－８０（ｘ＋１０） ｘ（ｘ＋１０） ＝ ２０ｘ－８００ ｘ（ｘ＋１０）．当０ ＜ｘ＜４０时，１００ｘ＋１０＜ ８０ ｘ，大船用的时间少；当 ｘ＝４０时， １００ ｘ＋１０＝ ８０ ｘ，两船用的时间相等；当ｘ＞４０时， １００ ｘ＋１０＞ ８０ ｘ，小 船用的时间少． １６．（１）分式 ３ｘ＋２与分式 ３ ｘ＋５是“互联分式”．理由如下： 因 为 ３ ｘ＋２ － ３ ｘ＋５ ＝ ３（ｘ＋５）－３（ｘ＋２） （ｘ＋２）（ｘ＋５） ＝ ９ （ｘ＋２）（ｘ＋５）， ３ ｘ＋２· ３ ｘ＋５＝ ９ （ｘ＋２）（ｘ＋５），所以分式 ３ ｘ＋２与分式 ３ ｘ＋５是“互联分式”． （２）设ｘ＋２ｘ＋５的“互联分式”是Ｎ，则 ｘ＋２ ｘ＋５－Ｎ＝ ｘ＋２ ｘ＋５·Ｎ． 所以（ ｘ＋２ ｘ＋５＋１）Ｎ＝ ｘ＋２ ｘ＋５．所以 Ｎ＝ ｘ＋２ ２ｘ＋７，即分式 ｘ＋２ ｘ＋５的 “互联分式”是 ｘ＋２ ２ｘ＋７． 附加题　１．（１）小明组成的值最大的分式是ｘ＋３ｘ＋１；小强 组成的值最大的分式是 ｘ－１ ｘ－３． （２）小强说的有道理．理由如下： ｘ＋３ ｘ＋１－ ｘ－１ ｘ－３＝－ ８ （ｘ＋１）（ｘ－３）．因为ｘ是大于３的正整 数，所以－ ８ （ｘ＋１）（ｘ－３）＜０．所以 ｘ＋３ ｘ＋１＜ ｘ－１ ｘ－３．所以小强说 的有道理． ２．（１）５－ ２ｘ＋２； （２）选择方法一，原式 ＝ｘ ２－２ｘ＋１＋８ｘ－８＋８ ｘ－１ ＝ （ｘ－１）２＋８（ｘ－１）＋８ ｘ－１ ＝ｘ－１＋８＋ ８ ｘ－１＝ｘ＋７＋ ８ ｘ－１． （３） 原 式 ＝ ｘ ２－８ｘ＋１６＋３ｘ－１２＋７ ｘ－４ ＝ （ｘ－４）２＋３（ｘ－４）＋７ ｘ－４ ＝ｘ－４＋３＋ ７ ｘ－４＝ｘ－１＋ ７ ｘ－４． 因为原分式与ｘ的值都是整数，所以ｘ－４＝±１或ｘ－４＝±７． 解得ｘ＝５或３或１１或 －３． ２９期２版 １６．３可化为一元一次方程的分式方程 １６．３．１分式方程的概念及解法 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．２５． ５．（１）ｘ＝９；　（２）无解；　（３）ｘ＝－２３． ６． ２ｘ－２＋ ｘ＋ｍ ２－ｘ＝２两边乘（ｘ－２），得２－ｘ－ｍ＝２ｘ－ ４．解得ｘ＝６－ｍ３ ． （１）因为该分式方程有增根，所以ｘ－２＝０．解得ｘ＝２．所 以 ６－ｍ ３ ＝２．解得ｍ＝０． （２）因为该分式方程的解是正数，所以６－ｍ３ ＞０，且 ６－ｍ ３ ≠２．解得ｍ＜６且ｍ≠０． 能力提高　７．Ｂ． １６．３．２分式方程的应用 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ；　３．１２０． ４．设电动车的速度是 ｘ千米 ／时，则汽车的速度是（ｘ＋ ３５）千米 ／时． 根据题意，得 １３－７ ｘ ＝ １３ ｘ＋３５．解得ｘ＝３０                                                                      ． —２— 初中数学华东师大八年级　第２７～３１期 经检验，ｘ＝３０是原分式方程的解，且符合题意． 所以ｘ＋３５＝６５． 答：电动车的速度是３０千米／时，汽车的速度是６５千米／时． ５．设该市去年居民用水的价格是ｘ元 ／ｍ３，则该市今年居 民用水的价格是（１＋１３）ｘ元 ／ｍ ３． 根据题意，得 ３０ （１＋１３）ｘ －１５ｘ ＝５．解得ｘ＝１．５． 经检验，ｘ＝１．５是原分式方程的解，且符合题意． 所以（１＋１３）ｘ＝２． 答：该市今年居民用水的价格是２元 ／ｍ３． ６．（１）设小明在地面上每分钟行走ｘ米，则小刚在地面上 每分钟行走 ６ ５ｘ米． 根据题意，得１．５×６５ｘ－１．５ｘ＝１５．解得ｘ＝５０． 所以 ６ ５ｘ＝６０． 答：小明在地面上每分钟行走５０米，小刚在地面上每分钟 行走６０米． （２）设平地电梯每分钟行驶ｙ米． 根据题意，得 １２０ ６０＋ｙ＝ １２０－４０３ ５０＋ｙ．解得ｙ＝３０． 经检验，ｙ＝３０是原分式方程的解，且符合题意． 答：平地电梯每分钟行驶３０米． １６．４零指数幂与负整数指数幂 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ．　 ３．（１）９；　（２） １ ａ９ｂ６ ；　（３）ｘ １２ ４ｙ７ ． ２９期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ Ｃ 二、９．９８；　１０．３；　１１． ６２１０ ｘ ＝３（ｘ－１）；　１２． １ ３． 三、１３．（１）ｘ＝１；　（２）ｘ＝４；　（３）无解． １４．设一个工人每小时包装 ｘ盒药品，则一台智能机器人 每小时包装５ｘ盒药品． 根据题意，得 １６００ ４ｘ － １６００ ５ｘ ＝４．解得ｘ＝２０． 经检验，ｘ＝２０是原分式方程的解，且符合题意． 所以５ｘ＝１００． 答：一台智能机器人每小时包装１００盒药品． １５．（１） ６ｘ－３＋ ｘ＋１ ３－ｘ＝１两边乘（ｘ－３），得６－（ｘ－１）＝ ｘ－３．解得ｘ＝５．检验：当ｘ＝５时，ｘ－３≠０．所以ｘ＝５是原 分式方程的解． （２）设▲ ＝ｍ．ｍｘ－３＋ ｘ－１ ３－ｘ＝１两边乘（ｘ－３），得ｍ－（ｘ －１）＝ｘ－３．解得ｘ＝ｍ＋４２ ．因为原分式方程无解，所以 ｍ＋４ ２ ＝３．解得ｍ＝２，即原分式方程中“▲”代表的数为２． １６．（１）设该商家购进运动鞋ｘ双，则购进运动服１．２５ｘ套． 根据题意，得 ６４００ ｘ － ６０００ １．２５ｘ＝４０．解得ｘ＝４０． 经检验，ｘ＝４０是原分式方程的解，且符合题意． 所以１．２５ｘ＝５０． 答：该商家购进运动鞋４０双，购进运动服５０套． （２）每双运动鞋的进价为：６４００÷４０＝１６０（元），每套运 动服的进价为：１６０－４０＝１２０（元）． 根据题意，得４０×３４×（２００－１６０）＋５０× １ ２×（１６０－ １２０）＋４０×１４×（２００×０．１ａ－１６０）＋５０× １ ２×（１６０－１２０ －３ａ）＝２６００．解得ａ＝８． 附加题　１． ｘｘ－１－１＝ ｍ （ｘ－１）（ｘ＋２）两边乘（ｘ－１）（ｘ ＋２），得ｘ（ｘ＋２）－（ｘ－１）（ｘ＋２）＝ｍ．解得ｘ＝ｍ－２．因为 分式方程 ｘ ｘ－１－１＝ ｍ （ｘ－１）（ｘ＋２）有增根，所以ｘ－１＝０或 ｘ＋２＝０．解得ｘ＝１或ｘ＝－２．所以ｍ－２＝１或ｍ－２＝－２． 解得ｍ＝３或ｍ＝０． ２．（１）ｘ＝６． （２） １ｘ＋７－ １ ｘ＋６＝ １ ｘ＋４－ １ ｘ＋３． （３）答案不惟一，如 １ｘ－ｎ＋２－ １ ｘ－ｎ＋１＝ １ ｘ－ｎ－１－ １ ｘ－ｎ－２，这个方程的解为ｘ＝ｎ． ３０期检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ｂ Ｃ Ａ Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ Ｃ Ｄ 二、１３．３２；　１４．７；　１５．５；　１６．ａ＜－１． 三、１７．（１）－２ｂｄ５ａｃ；　（２） １ ｘ＋３． １８．（１）无解；　（２）ｘ＝－３７． １９．原式 ＝ｘ＋１．解不等式组 １ ２（ｘ＋１）≤２， ｘ＋２ ３ ≥ ｘ＋３ ４ { ，得１≤ｘ≤ ３．所以该不等式组的整数解是１，２，３． 要使分式（ ｘ２－ｘ ｘ２－２ｘ＋１ ＋ ２１－ｘ）÷ ｘ－２ ｘ２－１ 有意义，所以ｘ－ １≠０，ｘ＋１≠０，ｘ－２≠０．解得ｘ≠１，ｘ≠－１，ｘ≠２．所以ｘ ＝３．当ｘ＝３时，原式 ＝４                                                                      ． —３— 初中数学华东师大八年级　第２７～３１期 ２０．方程 ４ｘｘ－２－５＝ ｍｘ ２－ｘ两边乘（ｘ－２），得４ｘ－５（ｘ－２） ＝－ｍｘ．整理，得（１－ｍ）ｘ＝１０．因为关于ｘ的方程 ４ｘｘ－２－５＝ ｍｘ ２－ｘ无解，所以ｘ＝２或１－ｍ＝０．解得ｍ＝－４或ｍ＝１． ２１．（１）设这项工程的规定时间是ｘ天． 根据题意，得（ １ ｘ＋ １ ３ｘ）×１５＋ １０ ｘ ＝１．解得ｘ＝３０． 经检验，ｘ＝３０是原分式方程的解，且符合题意． 答：这项工程的规定时间是３０天． （２）设该工程由甲、乙队合做完成需要ｍ天． 根据题意，得（ １ ３０＋ １ ３×３０）ｍ＝１．解得ｍ＝２２．５． ２２．５×（６５００＋３５００）＝２２５０００（元）． 答：该工程的施工费用为２２５０００元． ２２．（１）－２，－３． （２）根据题意，得ｍｎ＝－５，ｍ＋ｎ＝－２．所以 ｎｍ ＋ ｍ ｎ ＝ ｍ２＋ｎ２ ｍｎ ＝ （ｍ＋ｎ）２－２ｍｎ ｍｎ ＝－ １４ ５． （３）原方程变为ｘ－２＋ｋ（－２ｋ－３）ｘ－２ ＝－ｋ－３．所以ｘ１－ ２＝ｋ，ｘ２－２＝－２ｋ－３．所以 ｘ１－２ ｘ２＋１ ＝ ｋ－２ｋ－１＋１＝－ １ ２． ３１期２版 １７．１变量与函数 ①变量与函数 基础训练　１．Ｃ；　２．单价． ３．（１）常量是６；变量是ｎ，ｔ． （２）常量是４０；变量是ｓ，ｔ． ４．（１）１９０； （２）水池的容积是常量；抽水时间、抽出水的体积、水池中 水的体积是变量． ②变量与函数 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．ｙ＝２４ｘ＋３． ４．（１）ｙ是ｘ的函数．理由如下： 存在两个变量：买地砖需要的钱数ｙ和小路的宽度ｘ，对于 每一个ｘ的值，ｙ都有惟一确定的值与之相对应，符合函数的定 义，所以ｙ是ｘ的函数． （２）当ｘ＝３时，两条小路的面积和为：３２×３＋２０×３－３２ ＝１４７（平方米）．地砖的费用为：６０×１４７＝８８２０（元）． １７．２函数的图象 １７．２．１平面直角坐标系 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．ｙ；　５．（３，３）． ６．（１）点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的坐标依次为：Ａ（３，２），Ｂ（－３，４）， Ｃ（－４，－３），Ｄ（３，－３）； （２）图略，得到的封闭图形是一个直角三角形． １７．２．２函数的图象 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．－１＜ｘ＜１或ｘ＞２； ４．２５． ５．图略．当ｘ＝１时，ｙ＝２ｘ＋１＝３＜槡１０．所以点（１， 槡１０）在该函数图象的上方． ６．（１）由图象可知，Ａ点表示小王开始收割前微信零钱有 ２０００元． （２）由图象可知，收割２０亩后，微信零钱为３６００元．所以 收割机收割一亩小麦：（３６００－２０００）÷２０＝８０（元）． （３）ａ＝２０００＋５０×８０＝６０００． （４）全天收割小麦共收入：２８４０＋４０００＝６８４０（元）． ３１期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ａ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ Ｂ 二、９．（－２，３）；　１０．８；　１１．ｙ＝１．８ｘ＋３２； １２．（２２４，０）． 三、１３．（１）学校、汽车站的坐标分别为（１，３），（２，－１）； （２）他路上经过的地方有：商店、公园、汽车站、水果店、学 校、娱乐城、邮局． １４．（１）将ｘ＝１，ｙ＝４代入ｙ＝２ｘ＋ｂ，得２＋ｂ＝４．解得 ｂ＝２． （２）图略． １５．（１）因为点Ｐ在ＡＢ上运动，所以０≤ｘ≤４．根据题意， 得ｙ＝４×８－１２×８ｘ＝－４ｘ＋３２（０≤ｘ≤４）． （２）当阴影部分的面积等于２０，即ｙ＝－４ｘ＋３２＝２０．解 得ｘ＝３．所以ＰＢ＝３． １６．（１）当ｘ＝－３时，ｙ＝－２×（－３）＋１＝７； 当ｘ＝２时，ｙ＝ １２×２－ ３ ２ ＝－ １ ２． （２）Ａ． （３）①当ｘ＜１时，－２ｘ＋１＝１，解得ｘ＝０，符合题意； ②当ｘ≥１时，１２ｘ－ ３ ２ ＝１，解得ｘ＝５，符合题意． 综上所述，输入的ｘ值为０或５． 附加题　１．（１）根据题意，得２－ｍ＝－１．解得ｍ＝３．所 以Ｍ（－１，１）．所以ＭＮ＝１－（－４）＝５． （２）根据题意，得 －（２ｍ－５）－（２－ｍ）＝４．解得 ｍ＝ －１．所以２－ｍ＝３，２ｍ－５＝－７．所以点Ｍ的坐标为（３，－７）． ２．（１）１；点Ｂ表示乙行驶 ８３ｈ时，甲、乙两人相遇；点Ｃ表 示乙行驶５ｈ时，甲、乙两人相距３５ｋｍ． （２）设甲的速度为ａｋｍ／ｈ，乙的速度为ｂｋｍ／ｈ． 根据题意，得 ８ ３ｂ＝ ５ ３ａ， （５－８３）（ａ－ｂ）＝３５ { ．解得 ａ＝４０，ｂ＝２５{ ． 答：甲的速度为４０ｋｍ／ｈ，乙的速度为２５ｋｍ／ｈ                                                                      ． —４— 初中数学华东师大八年级　第２７～３１期