第32期 17.3 一元二次方程根的判别式-17.5一元二次方程的应用（答案见34期）-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（沪科版 安徽专版）

书 上期３版 一、１．Ｂ；　２．Ｂ； ３．Ｃ；　４．Ｄ； ５．Ｂ；　６．Ａ； ７．Ｃ；　８．Ｄ． 二、９．（ｘ＋１）（ｘ－ ３）； １０．０；　１１．－３； １２．１－槡１７２ ． 三、１３． （１）ｘ１ ＝ ２＋槡２ ２ ，ｘ２ ＝ ２－槡２ ２ ； （２）ｘ１ ＝－２，ｘ２ ＝ ５ ２； （３）ｘ１ ＝槡 ２＋槡３ ２ ， ｘ２ ＝槡 ２－槡３ ２ ． １４．（１）降次． （２）移项，得２（ｘ－ ３）－（ｘ－３）２ ＝０． 提取公因式，得（ｘ －３）［２－（ｘ－３）］＝０． 所以ｘ－３＝０或５ －ｘ＝０． 解得 ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝ ５． １５．设ｘ２＋２ｘ＝ｎ， 则原方程可化为ｎ２＋４ｎ －５＝０． 整理，得（ｎ－１）（ｎ ＋５）＝０． 解得ｎ＝１或ｎ＝ －５． 当ｎ＝－５时，ｘ２＋ ２ｘ＝－５无解，舍去． 所以ｘ２＋２ｘ＝１． 所以ｘ３＋３ｘ２＋ｘ＝ ｘ（ｘ２＋２ｘ＋１）＋ｘ２＝２ｘ ＋ｘ２ ＝１． １６．解方程 ｘ２－２ｘ ＝０，得ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝２． ①若ｘ＝０是两个 方程相同的实数根． 将ｘ＝０代入方程 ｘ２＋３ｘ＋ｍ－１＝０，得 ｍ－１＝０． 解得ｍ＝１． 书 饶有趣味的数字问题总 能激起我们思维的火花，下 面让我们一起领略一元二次 方程解数字问题的风采吧！ 一、特性数 例 １　 五个连续整数 １０，１１，１２，１３，１４有 一 个 特 性，即１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋ １４２，你能再找到五个连续整 数，使它们也具有上述特性 吗？ 分析：题中的等量关系 是：由小到大排列，前三个连 续整数的平方和等于后两个 连续整数的平方和．解答该 问题首先要用字母表示出这 五个连续整数，然后利用等 量关系，借助一元二次方程 的知识求解． 解：设中间的一个数是ｘ，则可列方程为（ｘ－２）２＋ （ｘ－１）２＋ｘ２ ＝（ｘ＋１）２＋（ｘ＋２）２． 整理，得ｘ２－１２ｘ＝０． 解得ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝１２． 所以具备上述特性的另外五个连续整数分别为 －２，－１，０，１，２． 二、两位数 例２　已知一个两位数，个位上的数字比十位上的 数字小４，这个两位数十位的数字与个位交换位置后， 新两位数与原两位数的积为１６１２，那么原两位数是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．９５ Ｂ．５９ Ｃ．２６ Ｄ．６２ 分析：设个位上的数字为 ｙ，十位上的数字为 ｘ，则 原两位数为１０ｘ＋ｙ，且ｘ－４＝ｙ，交换位置后，新两位 数为１０ｙ＋ｘ，根据等量关系，列出方程求解即可． 解：设个位上的数字为ｙ，十位上的数字为 ｘ，则原 两位数为１０ｘ＋ｙ，且ｘ－４＝ｙ，交换位置后，新数字为 １０ｙ＋ｘ． 根据题意，得（１０ｘ＋ｙ）（１０ｙ＋ｘ）＝１６１２． 整理，得（１１ｘ－４）（１１ｘ－４０）＝１６１２． 解得ｘ１ ＝６，ｘ２ ＝－２（不合题意，舍去）． 所以这个两位数是１０ｘ＋ｙ＝６２． 故选Ｄ． 三、日历中的数 例３　下图是一张日历表，在此日历表上用一个正 方形任意圈出２×２个数（如１７，１８，２４，２５）．如果圈出 的四个数中最小数与最大数的积为１２８，那么这四个数 的和为 （　　） 日 一 二 三 四 五 六 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２０ ２１ ２２ ２３ ２４ ２５ ２６ ２７ ２８ ２９ ３０ ３１ Ａ．４０ Ｂ．４８ Ｃ．５２ Ｄ．５６ 分析：根据题意，设最小的数为ｘ，则另外三个数分 别为ｘ＋１，ｘ＋７，ｘ＋８，根据题意可列方程ｘ（ｘ＋８）＝ １２８，结合日历表的数据情况选出合适的数． 解：设最小的数为ｘ，则另外三个数分别为ｘ＋１，ｘ ＋７，ｘ＋８． 根据题意，得ｘ（ｘ＋８）＝１２８． 解得ｘ１ ＝８，ｘ２ ＝－１６（不合题意，舍去）． 所以ｘ＋１＝９，ｘ＋７＝１５，ｘ＋８＝１６． 所以这四个数分别为８，９，１５，１６． 因为８＋９＋１５＋１６＝４８， 所以这四个数的和为４８． 故选Ｂ． 书 一元二次方程 ａｘ２＋ｂｘ ＋ｃ＝０（ａ≠０）的根的判别 式Δ＝ｂ２－４ａｃ是初中数学 的重要内容，成为近年全国 中考的热点问题．下面举例 说明根的判别式的几种常见 应用． 一、判断根的情况 例 １　 一元二次方程 ４ｘ２－２ｘ－１＝０的根的情况 为 （　　） Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 分析：将方程的系数代 入根的判别式，得到 Δ＞０， 由此即可得出该方程有两个 不相等的实数根． 解：因为Δ＝（－２）２－４×４×（－１）＝２０＞０， 所以一元二次方程４ｘ２－２ｘ－１＝０有两个不相等的实 数根．故选Ｂ． 二、确定字母系数的取值范围 例２　若关于ｘ的方程ｋｘ２－ｘ－３４＝０有实数根， 则实数ｋ的取值范围是 ． 分析：根据一元二次方程的根的判别式即可求解． 解：当ｋ≠０时，由题可知Δ＝１＋４ｋ×３４ ＝１＋ ３ｋ≥０．解得ｋ≥－１３．所以ｋ≥－ １ ３且ｋ≠０． 当ｋ＝０时，此时方程为－ｘ－３４＝０，该方程有实 数根，满足题意． 综上所述，实数ｋ的取值范围是ｋ≥－１３． 故填ｋ≥－１３． 三、求字母系数的最小整数值 例３　关于ｘ的一元二次方程ｋｘ２－４ｘ－４＝０有 两个不相等的实数根，则ｋ的最小整数值为 ． 分析：根据一元二次方程的定义和根的判别式的 意义得到ｋ≠０且ｂ２－４ａｃ＞０，求出两个不等式的解 的公共部分即可得解． 解：根据题意，得ｋ≠０且Δ＝１６＋１６ｋ＞０．解得ｋ ＞－１且ｋ≠０．所以ｋ的最小整数值为１． 故填１． 书 上期２版 １７．２一元二次方程的解法 １７．２．３公式法 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．Ｂ；　４．３±槡１３； ５．３－槡１７４ ． ６．（１）ｘ１ ＝ －５＋槡１７ ４ ，ｘ２ ＝ －５－槡１７ ４ ； （２）ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－ １ ３； （３）ｘ１ ＝槡 ２ ２，ｘ２ ＝－ 槡２２． 能力提高　７．（１）根据题意，得ｍ≠１． 因为ａ＝ｍ－１，ｂ＝－２ｍ，ｃ＝ｍ＋１， 所以ｂ２－４ａｃ＝（－２ｍ）２－４（ｍ－１）（ｍ＋１）＝４． 所以ｘ１ ＝ ２ｍ＋２ ２（ｍ－１）＝ ｍ＋１ ｍ－１，ｘ２ ＝１． （２）由（１）知，ｘ１＝ ｍ＋１ ｍ－１＝１＋ ２ ｍ－１．因为方程的 两个根都为正整数，所以 ２ ｍ－１是正整数．所以ｍ－１＝１ 或ｍ－１＝２．解得ｍ＝２或ｍ＝３．所以ｍ为２或３时， 此方程的两个根都为正整数． １７．２．４因式分解法 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ｃ；　４．－７或１；　 ５．４或 －１；　６．２． ７．（１）ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝ ５ ２； （２）ｙ１ ＝－３，ｙ２ ＝ １ ２； （３）ｘ１ ＝ｘ２ ＝－ ３ ２． 能力提高　８．４ｘ２－５ｘ＋１＝０，即（４ｘ－１）（ｘ－１）＝ ０．所以４ｘ－１＝０或ｘ－１＝０．解得ｘ１ ＝ １ ４，ｘ２ ＝１． 综合集训营 １．（１）ｘ１ ＝６，ｘ２ ＝－１０； （２）ｘ１ ＝８，ｘ２ ＝２； （３）ｘ１ ＝ －１＋槡１０ ３ ，ｘ２ ＝ －１－槡１０ ３ ； （４）ｘ１ ＝ ３ ５，ｘ２ ＝１． ２．（１）根据题意，得ｘ（ｘ＋２）＋１＝４． 整理，得ｘ２＋２ｘ－３＝０． 解得ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－３． （２）由题意，得１＜２（２－ａ）＋１＜５．解得０＜ａ＜２． 因为ａ是正整数，所以ａ＝１． 所以方程为２ｘ２＋３ｘ＋１＝０． 解得ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝－ １ ２． 书 一、增长率问题 例１　建设美丽城市，改造老旧小区．某市２０２１年 投入资金１０００万元，２０２３年投入资金１４４０万元，现假定 每年投入资金的增长率相同． （１）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长 率； （２）２０２３年老旧小区改造的平均费用为每个８０万 元．２０２４年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增 加１５％．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在 ２０２４年最多可以改造多少个老旧小区？ 解：（１）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增 长率为ｘ． 根据题意，得１０００（１＋ｘ）２ ＝１４４０． 解得 ｘ１ ＝０．２＝２０％，ｘ２ ＝－２．２（不合题意，舍 去）． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ２０％． （２）设该市在２０２４年可以改造ｙ个老旧小区． 根据题意，得 ８０×（１＋１５％）ｙ≤ １４４０×（１＋ ２０％）． 解得ｙ≤４３２２３． 因为ｙ为整数，所以ｙ的最大值为１８． 答：该市在２０２４年最多可以改造１８个老旧小区． 二、面积问题 例２　 如图，某小区长 方形绿地的长、宽分别为 ３５ｍ，１５ｍ．现计划对其进行 扩充，将绿地的长、宽增加 相同的长度后，得到一个新的长方形绿地． （１）若扩充后的长方形绿地的面积为８００ｍ２，求新 的长方形绿地的长与宽； （２）扩充后，实地测量发现新的长方形绿地的长是 宽的 ５ ３倍，求新的长方形绿地的面积． 解：（１）设将绿地的长、宽增加ｘｍ，则新的长方形绿 地的长为（３５＋ｘ）ｍ，宽为（１５＋ｘ）ｍ． 根据题意，得（３５＋ｘ）（１５＋ｘ）＝８００． 整理，得ｘ２＋５０ｘ－２７５＝０． 解得ｘ１ ＝５，ｘ２ ＝－５５（不符合题意，舍去）． 所以３５＋ｘ＝４０，１５＋ｘ＝２０． 答：新的长方形绿地的长为４０ｍ，宽为２０ｍ． （２）设将绿地的长、宽增加ｙｍ，则新的长方形绿地 的长为（３５＋ｙ）ｍ，宽为（１５＋ｙ）ｍ． 根据题意，得３５＋ｙ＝ ５３（１５＋ｙ）． 解得ｙ＝１５． 所以（３５＋ｙ）（１５＋ｙ）＝１５００． 答：新的长方形绿地的面积为１５００ｍ２． 三、营销问题 例３　某公司为了提高公司经济效益，进行了科技 攻关．最近研发出一种新型高科技设备，每台设备成本 价为３０万元，经过市场调研发现，每台售价为４５万元 时，年销售量为５５０台；每台售价为５０万元时，年销售量 为５００台．假定该设备的年销售量ｙ（单位：台）和销售单 价ｘ（单位：万元）成一次函数关系． （１）求年销售量ｙ与销售单价ｘ的函数关系式； （２）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于６５万 元，如果该公司想获得１２０００万元的年利润，则该设备 的销售单价应是多少万元？ 解：（１）设年销售量ｙ与销售单价ｘ的函数关系式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）． 将（４５，５５０），（５０，５００）代入 ｙ＝ ｋｘ＋ｂ，得 ４５ｋ＋ｂ＝５５０， ５０ｋ＋ｂ＝５００{ ．解得 ｋ＝－１０， ｂ＝１０００{ ． 所以年销售量ｙ与销售单价ｘ的函数关系式为ｙ＝ －１０ｘ＋１０００． （２）设此设备的销售单价为ｘ万元／台，则每台设备 的利润为（ｘ－３０）万元，销售数量为（－１０ｘ＋１０００）台． 根据题意，得（ｘ－３０）（－１０ｘ＋１０００）＝１２０００． 整理，得ｘ２－１３０ｘ＋４２００＝０． 解得ｘ１ ＝６０，ｘ２ ＝７０． 因为ｘ≤６５，所以ｘ＝６０． 答：该设备的销售单价应是６０万元 ／台． !" # $" # !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " !" #$% " & ' ( ) * ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 书 一元二次方程是初中数学的重要知识之一，也是每 年中考必考的考点之一．在考查时，常常将一元二次方 程与其他数学知识联系在一起，赋予一元二次方程崭新 的背景，使得考题新颖．下面举例说明，供同学们参考． 一、与不等式组交朋友 例１　已知不等式组 ｘ－ａ＞０，　① １ ２ｘ－３＜１ { ②有３个整数 解，则关于ｘ的方程ａｘ２＋（２ａ－１）ｘ＋ａ＝０根的情况为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．无法判断 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．有两个相等的实数根 Ｄ．没有实数根 解：解不等式①，得ｘ＞ａ；解不等式②，得ｘ＜８．因 为不等式组有解，所以ａ＜ｘ＜８．因为不等式组有３个 整数解，所以４≤ａ＜５．因为ａ≠０，所以方程ａｘ２＋（２ａ －１）ｘ＋ａ＝０为一元二次方程．因为Δ＝（２ａ－１）２－ ４ａ２ ＝－４ａ＋１，而４≤ａ＜５，所以Δ＜０．所以该方程没 有实数根． 故选Ｄ． 二、与三角形交朋友 例２　已知等腰△ＡＢＣ的两边ＡＢ，ＡＣ的长是关于ｘ 的一元二次方程ｘ２－（２ｋ＋１）ｘ＋ｋ２＋ｋ＝０的两个实数 根，第三边ＢＣ的长为８，则△ＡＢＣ的周长为 ． 解：因为ｘ２－（２ｋ＋１）ｘ＋ｋ２＋ｋ＝０， 所以ｘ＝ｋ＋１或ｘ＝ｋ． 因为△ＡＢＣ是等腰三角形，所以需分情况讨论： ①当ｋ＋１＝ｋ时，不成立； ②当ｋ＋１＝８时，解得ｋ＝７，此时△ＡＢＣ的周长 为：８＋８＋７＝２３； ③当ｋ＝８时，则ｋ＋１＝９，此时△ＡＢＣ的周长为： ９＋８＋８＝２５． 综上所述，△ＡＢＣ的周长为２３或２５． 故填２３或２５． 三、与一次函数交朋友 例３　若实数ｋ，ｂ是一元二次方程（ｘ＋３）（ｘ－１） ＝０的两个根，且ｋ＜ｂ，则一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象不 经过 （　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 解：因为实数ｋ，ｂ是一元二次方程（ｘ＋３）（ｘ－１）＝ ０的两个根，且ｋ＜ｂ，所以ｋ＝－３，ｂ＝１． 所以函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象经过第一、二、四象限， 不经过第三象限． 故选Ｃ． 书 一元二次方程的根与系数存在下列关系：如果 ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的两个根为ｘ１，ｘ２，那么ｘ１＋ｘ２ ＝ －ｂａ，ｘ１ｘ２ ＝ ｃ ａ．与之有关的常见题型有如下三种． 一、已知一根求另一根 例１　已知ｘ１＝３是关于ｘ的一元二次方程ｘ ２－４ｘ ＋ｍ＝０的一个根，则方程的另一个根ｘ２为 ． 解：根据题意，得３＋ｘ２ ＝４．解得ｘ２ ＝１． 故填１． 点评：若方程给出了二次项和一次项的系数，则可 利用两根之和求出另一根；若方程给出了二次项系数和 常数项，则可利用两根之积求出另一根． 二、求与两根相关的代数式的值 例２　已知实数ｍ，ｎ满足条件ｍ２－７ｍ＋２＝０，ｎ２ －７ｎ＋２＝０，则 ｎｍ ＋ ｍ ｎ的值为 ． 解：因为实数ｍ，ｎ满足条件ｍ２－７ｍ＋２＝０，ｎ２－７ｎ ＋２＝０，所以ｍ＝ｎ或ｍ，ｎ为一元二次方程ｘ２－７ｘ＋２ ＝０的两个不相等的实数根．当 ｍ＝ｎ时，ｎｍ ＋ ｍ ｎ ＝ １＋１＝２；当ｍ，ｎ为一元二次方程ｘ２－７ｘ＋２＝０的两 个不相等的实数根时，ｍ＋ｎ＝７，ｍｎ＝２，所以 ｎｍ ＋ ｍ ｎ ＝（ｍ＋ｎ） ２－２ｍｎ ｍｎ ＝ ７２－２×２ ２ ＝ ４５ ２． 综上所述， ｎ ｍ ＋ ｍ ｎ的值为２或 ４５ ２． 故填２或４５２． 点评：求与两根相关的代数式的值时，一般方法是 把所求代数式化成包含两根之和与两根之积的形式，然 后把两根之和与两根之积的值代入计算．注意根与系数 的关系只在一元二次方程有实数根时成立，因此必须保 证所求字母的值使原方程有实数根． 三、已知两根求一元二次方程 例３　若关于ｘ的一元二次方程的两个不相等的实 数根分别为１和２，请你写出满足条件且二次项系数为２ 的关于ｘ的一元二次方程： ． 解：设ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝０的实数根分别为１和２，则ｐ ＝－（１＋２）＝－３，ｑ＝１×２＝２．所以实数根分别为１ 和２的一元二次方程为ｘ２－３ｘ＋２＝０．将其两边同乘２， 得２ｘ２－６ｘ＋４＝０． 故填２ｘ２－６ｘ＋４＝０． 点评：本题也可以利用因式分解进行求解．根据条 件可直接得到２（ｘ－１）（ｘ－２）＝０．整理方程即可得到 ２ｘ２－６ｘ＋４＝０． " + ' , - ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " ./ 012 $%&! 3456789:;< = >?@AB!"#$%&'( )*+,-& '$%&(34567CD9EFGHIF >?@AB!".$%&'(*)/01*2 03456789:& $%&" 345J7CDKL >?@AB5;<7=:>*?@ 2ABC.$%&'(9D7:& ! ! !"#$ ! " #! !!"# " $"% !" )*)"&)'"( MNG>OPQRSTU!"VW #$ X !"#$%&'" ()*+,-'. 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Ｄ．６ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如果关于ｘ的一元二次方程ｘ２－３ｘ＋ｋ＝０有两 个相等的实数根，那么实数ｋ的值是 ． １０．若ｘ１，ｘ２是一元二次方程ｘ ２＋３ｘ－１＝０的两根， 则 １ ｘ１ ＋１ｘ２ ＝ ． １１．已知关于ｘ的一元二次方程ｘ２－２ｘ＋ｍ＝０的 两根为ｘ１，ｘ２，且ｘ ２ １－ｘ１＋ｘ２＝３ｘ１ｘ２，则ｍ＝ ． １２．某种植物的一个主干长出若干支干，每个支干 又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数 是９１，则每个支干长出 个小分支． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（１０分）已知关于ｘ的一元二次方程ｋｘ２－（２ｋ－ １）ｘ＋３４ｋ＋１＝０，其根的判别式的值是１，求ｋ的值． １４．（１０分）已知关于ｘ的一元二次方程ｘ２－（ｍ＋ １）ｘ＝ｘ－２ｍ（ｍ为常数）． （１）求证：不论ｍ为何值，该方程总有实数根； （２）若该方程有一个根为３，求 ｍ的值和方程的另 一个根． １５．（１０分）芯片行业是制约我国工业发展的主要 技术之一．经过大量科研技术人员艰苦攻关，我国芯片 有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降． 原来每片芯片的单价为２００元，准备进行两次降价．如果 该芯片经过两次降价后每片芯片的单价为１２８元，求每 次降价的百分率． １６．（１０分）已知关于ｘ的一元二次方程ｘ２－２（ａ－ １）ｘ＋ａ２＋５＝０有两个不相等的实数根ｘ１，ｘ２． （１）求ａ的取值范围； （２）若ｘ２１＋ｘ ２ ２－ｘ１ｘ２ ＝２２，求ａ的值． １７．（１２分）某中学准备利用围墙的一段 ＭＮ，再砌 三面墙围成一个如图３所示的长方形花园 ＡＢＣＤ（围墙 最多可利用２５米）．已知三面围墙的总长度为４０米． （１）要使长方形花园的面积为１５０平方米，求ＡＢ的 长度； （２）在条件不变的情况下，有人提议要围成面积为 ２１０平方米的长方形花园，这个提议是否可行？为什么？ （以下试题供各地根据实际情况选用） 已知△ＡＢＣ的两边ＡＢ，ＡＣ的长是关于ｘ的一元二 次方程ｘ２－（２ｋ＋３）ｘ＋ｋ２＋３ｋ＋２＝０的两个实数根， ＢＣ边的长为５． （１）求证：无论ｋ取何值，该方程总有两个不相等的 实数根； （２）当ｋ为何值时，△ＡＢＣ是等腰三角形，并求出此 时△ＡＢＣ的周长                                                                                                                                                                 ． 书 此时原方程为ｘ２＋ ３ｘ＝０． 解得 ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝ －３，符合题意． ②若ｘ＝２是两个 方程相同的实数根． 将ｘ＝２代入方程 ｘ２＋３ｘ＋ｍ－１＝０，得 ４＋６＋ｍ－１＝０． 解得ｍ＝－９． 此时原方程为ｘ２＋ ３ｘ－１０＝０． 解得 ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝ －５，符合题意． 综上所述，ｍ的值 为１或 －９． １７．（１）方程ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的根 是 ｘ ＝ －ｂ± ｂ２－４槡 ａｃ ２ａ ，方程 ｙ２＋ｂｙ＋ａｃ＝０的根是 ｙ＝－ｂ± ｂ ２－４槡 ａｃ ２ ， 所 以 ｘ ＝ １ａ· －ｂ± ｂ２－４槡 ａｃ ２ ＝ ｙ ａ． （２）根据题意，得 方程３０ｘ２－３ｘ＋１１５＝０ 的根与方程ｙ２－３ｙ＋２ ＝０的根之间的关系是 ｘ＝ ｙ３０． 解方程ｙ２－３ｙ＋２ ＝０，得ｙ１ ＝１，ｙ２ ＝２． 所以ｘ１＝ １ ３０，ｘ２＝ １ １５． 附加题 　 代数式 －２ｘ２＋ｘ＋３存在最大 值． －２ｘ２ ＋ｘ＋３＝ －２（ｘ－１４） ２＋２５８． 因为（ｘ－１４） ２≥ ０， 所以 －２（ｘ－１４） ２ ≤０． 所以 －２（ｘ－１４） ２ ＋２５８≤ ２５ ８． 所以代数式 －２ｘ２ ＋ｘ＋３有最大值２５８． 书 １７．３一元二次方程根的判别式 １．下列方程有两个不相等的实数根的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｘ２＋１＝０ Ｂ．ｘ２＋２ｘ＋１＝０ Ｃ．ｘ２＋ｘ＋１＝０ Ｄ．ｘ２＋３ｘ＋１＝０ ２．若关于ｘ的一元二次方程ｋｘ２－２ｘ－１＝０有实 数根，则实数ｋ的取值范围是 （　　） Ａ．ｋ≤－１且ｋ≠０ Ｂ．ｋ≥－１且ｋ≠０ Ｃ．ｋ＞－１ Ｄ．ｋ＜－１且ｋ≠０ ３．无论ｐ为何值，关于ｘ的一元二次方程（ｘ－２）（ｘ －３）＝ｐ２的根的情况为 （　　） Ａ．一定有两个不相等的实数根 Ｂ．一定有两个相等的实数根 Ｃ．没有实数根 Ｄ．无法确定 ４．在ｘ２＋（　　）＋１６＝０的括号内添加一个关于 ｘ的一次项，使方程有两个相等的实数根，则这个一次 项可以是 ． ５．若ｘ＝１是一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠ ０）的根，则判别式Δ＝ｂ２－４ａｃ和完全平方式Ｍ＝（２ａ ＋ｂ）２的关系是：Δ Ｍ（填“＞”“＜”或“＝”）． ６．已知关于ｘ的一元二次方程ｍｘ２＋ｎｘ－２＝０． （１）求证：当ｎ＝ｍ－２时，方程总有两个实数根； （２）若方程有两个不相等的实数根，写出一组满足 条件的ｍ，ｎ的值，并求出此时方程的根． 能力提高 ７．关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋２ｘ＋ｍ－１＝０有两 个不相等的实数根． （１）求ｍ的取值范围； （２）当ｍ为符合条件的最大整数时，求此时方程的 解． １７．４一元二次方程的根与系数的关系 １．方程２ｘ２－１＝６ｘ的两根为ｘ１，ｘ２，则ｘ１＋ｘ２ ＝ （　　） Ａ．－１２ Ｂ． １ ２ Ｃ．－３ Ｄ．３ ２．已知ｘ１，ｘ２是一元二次方程ｘ ２＋３ｘ－１＝０的两 个实数根，则ｘ２２＋２ｘ２－ｘ１的值为 （　　） Ａ．４ Ｂ．１ Ｃ．－２ Ｄ．－１ ３．已知关于ｘ的方程ｘ２－（２ｍ－１）ｘ＋ｍ２＝０的两 个实数根为ｘ１，ｘ２．若（ｘ１＋１）（ｘ２＋１）＝３，则ｍ的值为 （　　） Ａ．－３ Ｂ．－１ Ｃ．－３或１ Ｄ．－１或３ ４．关于ｘ的一元二次方程２ｘ２＋４ｍｘ＋ｍ＝０有两 个不同的实数根 ｘ１，ｘ２，且 ｘ ２ １ ＋ｘ ２ ２ ＝ ３ １６，则 ｍ ＝ ． ５．已知ｘ１，ｘ２是关于ｘ的方程ｘ ２－２ｘ＋ｋ－１＝０的 两个实数根，且 ｘ２ ｘ１ ＋ ｘ１ ｘ２ ＝ｘ２１＋２ｘ２－１，则 ｋ的值为 ． ６．已知关于ｘ的方程ｘ２－４ｘ＋ｍ＝０的一个根为２ ＋槡３． （１）求ｍ的值及方程的另一个根； （２）设方程的两个根为 ｘ１，ｘ２，求 ｘ ２０２４ １ ｘ ２０２５ ２ ＋ｘ１的 值． １７．５一元二次方程的应用 １７．５．１第一课时 １．某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比 赛，单循环比赛共进行了４５场，则参加比赛的队伍共有 （　　） Ａ．８支 Ｂ．１０支 Ｃ．７支 Ｄ．９支 ２．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共 有１４４人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传 染的人数是 （　　） Ａ．２２ Ｂ．２０ Ｃ．１１ Ｄ．１０ ３．如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶 数，则它的周长为 ． ４．学校秋季运动会上，九年级准备队列表演，一开 始排成８行１２列，后来又有８４名同学积极参加，使得队 列增加的行数比增加的列数多１，现在队列表演的列数 是 ． ５．某旅行社发布了“南召县五朵山风景区的旅游 信息”，某企业组织一批优秀员工到该风景区参加一日 游活动，依据一日游信息，该企业一共支付给旅行社 ２８００元．请你算一算该企业参加这次一日游活动的优 秀员工一共有多少人？ 南召县五朵山风景区一日游信息表 旅游人数 收费标准（含交通费、午餐费） 不超过３０人 人均收费８０元 超过３０人 每增加１人，人均收费降低１元， 但人均收费不低于５５元 １７．５．２第二课时 １．李师傅家的超市今年１月盈利３０００元，３月盈利 ３６３０元．若从１月到３月，每月盈利的平均增长率都相 同，则这个平均增长率是 （　　） Ａ．１０．５％ Ｂ．１０％ Ｃ．２０％ Ｄ．２１％ ２．如图１，有一块试验园地是边长为６０米的正方 形，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵的等宽小 道，使得剩下的种植面积为３４２２平方米，则小道的宽为 （　　） Ａ．０．５米 Ｂ．１米 Ｃ．１．５米 Ｄ．２米 ３．某商场将进价为３０元的台灯以单价４０元售出， 平均每月能售出６００个．调查表明：这种台灯的单价每 上涨１元，其销售量将减少 １０个．为实现平均每月 １００００元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这 种台灯的售价应定为 元． ４．如图２，李大爷要建一个长方形羊圈，羊圈的一 边利用长为１２ｍ的住房墙，另外三边用２５ｍ长的彩钢 围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇 １ｍ宽的门．若要使羊圈的面积为８０ｍ２，则所围长方形 与墙垂直的一边长为 ｍ． ５．随着旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需 求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加． （１）该宾馆床位数从第一年底的２００个增长到第 三年底的２８８个，求该宾馆这两年的床位数的年平均增 长率； （２）根据市场经验发现每床每日收费４０元，２８８张 床可全部租出，每床每日收费提高１０元，则租出床位减 少２０张．若想平均每天获利１４８８０元，同时又减轻游客 的经济负担，则每张床位应定价为多少元 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ？ !" ! #$%"& '()*+, !"-. !" #$ %& ! ! /012345678'!".9 #$ - !"#$ ! 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