第28期 16.2 二次根式的运算(加减)-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（沪科版 安徽专版）

初中数学沪科八年级(AH)第27~31期 数理括 答案详解 2024~2025学年初中数学沪科八年级(AH) 第27~31期 27期2版 三13.(1)3；(235：(3)3a8a. 16.1二次根式 14.婷婷的解答过程正确.另一种解答过程如下： 16.1.1二次根式的有关概念 原式=√8×18=44=12 基础训练1.D:2.A;3.D. 15.(1)因为这个长方体的长、宽、高的比为4：3：1，且高 4()x≤7：(2)>-1：(3)子≤≤5 为万cm,所以长方体的长、宽分别为42cm,3万cm.所以这 5.因为a为正数，所以23-a<23.因为/23-a为正整 个长方体的体积为：4万×32×万=242(cm3). 数所以√23-a</23.因为4</23<5，所以23-a的 (2)根据题意，得E0=H0=24=26(cm),G0=F0 最大值为4.此时23-a=16,即a=7. =5cm所以留下部分的总面积为：26×√15×2= 16.1.2二次根式的性质 12/10(cm2). 基础训练1.C:2.A；3.D. 16.(1)524 4.(1)24:(2)2-5:(3)3x-10. 能力提高5.(56)2=150，(65)2=180.因为150< 证-√√爱5层 180,所以56<65.所以-56>-65. 16.2二次根式的运算（乘除） (2)规律√+ n(n为正整数，n≥2) Vn- 16.2.1二次根式的乘法 n n(n-1)+n n 基础训练1.B;2.A:3.16. 证明：√+一= n2-1 Vn2-1 4.(1)42:(2)206:(3)-51o. 16.2.2二次根式的除法 √m2-i 基础训练1.C:2.A:3.-2. 17.(1)-20. 4.(1)25:(2)10:(3)6. (2)由题意，得2m-4=0,2n+6=0.解得m=2,n= 5.(1)②： -3.所以m-n=2-(-3)=5. 奈方拾 y-5≥0， (3)根据二次根式有意义的条件，得 解得y= 5-y≥0. 27期3版 5.所以x2=64.解得x=±8.当x=8时，x+y=13:当x=-8 题号1234567 8 时，x+y=-3.综上所述，x+y的值是13或-3 答案CBABCBDB 附加题(1)隐含条件2-x≥0.解得x≤2.所以x-3 二9.2：10.>；11.-8；12.2025. <0.所以原式=3-x-(2-x)=1. 初中数学沪科八年级(AH) 第27~31期 (2)根据数轴，得a<0,a+b<0,b-a>0.所以原式=是5. -a-(a+b)-(b-a)=-a-2b. 所以阴影部分的宽是2-5。 (3)由三角形的三边关系，得a+b+c>0,a-b-c<0, 所以阴影部分的长是：5-(2-5)=25-2. b-a-c<0,c-b-a<0.所以原式=a+b+c-(a-b- 所以阴影部分的面积为：(25-2)(2-5)=63-10. c)-(b-a-c)-(c-b-a)a+b+c-a+b+e-b+ 28期3版 a +c-c +b +a 2a +2b +2c. 题号12345678 28期2版 答案BBCDCADD 16.2二次根式的运算（加减） 二9.56：10.x=25；11.363:12.5. 16.2.3二次根式的加减运算 三13.(1)22： 基础训练1.C;2.A；3.D;41-25. (2)102: 5.(1)-33: (3)-1+26. 2)-5, 14.(2,-2)★(5.3-5)=-25-2×(3-5)= (3)72+35. -25-6+25=-6. 6.他们共走了：85+25+35+65+5=205（千 15.(1)这个长方体盒子的容积为：(50-22)2×2= 米) 182(cm3). 7.(1)答案不惟一，如3+2,3-万 (2)这个长方体盒子的侧面积为：（√50-22）×2×4 (2)设这两个共轭实数为x+yf与x-y =24(cm). 因为这两个共轭实数的和是10，差的绝对值是46， 16.因为5x-2>2x-4, 所以(x+yF)+(x-yE)=10,I(x+yF)-(x-yF)I= 所以(5-2)x>25-4. 46. 解得x<2 因为x是正数， 所以2x=10,12yE1=46. 所以0<x<2. 解得x=5,y=2或y=-2,t=6. 所以x+1>0,x-2<0. 所以这两个共轭实数是5+26与5-26. 所以原式=2(x+1)产+(x-2)7=21x+11+ 能力提高8.A；9.A, 1x-21=2x+2+2-x=x+4. 16.2.4二次根式的混合运算 基础训练1.A:2.C:3.B:4.D: 17.(1)因为x=/10-3, 5x≤-5+3 所以x+3=0 4 两边平方，得(x+3)2=10. 6.(1)-6:(2)-2:(3)-122. 所以x2+6x+9=10. 7原武=2-2次当x=5y=号时，原式=8 所以x2+6x=1. 5 所以x2+6x-8=1-8=-7. 能力提高8.D;9.6. 10.根据题意，得正方形①的边长是2，正方形②的边长 (2)因为x=5-1 2 2 初中数学沪科八年级(AH)第27~31期 所以2x=5-1. a- 马0=(a-b)万+a=3-25,ab都是正整数 所以2x+1=5. 两边平方，得(2x+1)2=5. b=-2,a=3. 所以a-2 所以4x2+4x+1=5. 解得b=10. 所以4x2+4x=4. 20.(1)长方形绿地的周长为：（√128+√50）×2= 所以2+x=1. 26万（米）. 所以x2+2x2=x3+x2+x2=x(x2+x)+x2=x+x2 (2)通道的面积为：28×√5⑥-2×（√13+1）× (√13-1)=56（平方米）.购买地砖需要花费：6×56= 2 336(元). 附加题 (1) n+2+m 21.(1)m2+7n2,2mn 2(n+2-n) =n+2-n (2)因为a+65=(m+n5)2=m2+3n2+2mn5,a, (n+2+n)(n+2-n) m,n都是正整数，所以a=m2+3n2,2mn=6.所以mn=3.所 (2)4-5>17-4.理由如下： 以m=1,n=3或m=3,n=1.当m=1,n=3时，a=1+ 因为1 4+15 的4压4-54+5 =4+5, 3×3=28:当m=3,n=1时，a=32+3×12=12.综上所 述，a的值为28或12. 万+4一=万+4,4+5< 万-4(/m-4)(7+4) (3)原式=25. 30期2版 4-厉7-4因为4-下>0，厅- 万+4，所以，1 17,1一元二次方程 4>0,所以4-15>7-4. 基础训练1.B:2.B;3.C；4C；5.C: 29期检测卷 6.200(1+x)2=288:7.2025.8.x=-3. 9.原方程可化为2(x2-2x+1)+bx-b+c=0.整理，得 题号12345678910 答案DBBCCAACAB 2x2+(b-4)x+2-b+c=0.所以b-4=-3,2-b+c= -1.解得b=1,c=-2. 二、1Lx≥19：12.3：13.5+2：14.5： 能力提高10.(1)一元二次方程3x2-5x+2=0是“方 15.6. 正方程”.理由如下： 三16.(1)5： 将x=1代人3x2-5x+2=0,得3-5+2=0. (2)-55: 所以一元二次方程3x2-5x+2=0是“方正方程”. (3)-6-2万 (2)由题意，得5-b+c=0. 1原式=(3a-1)6当a=分时，原式=县 所以b=5+c 4 因为b+c=19, 18.根据数轴，得b<-2<0<a<2.所以a-万<0， 所以5+c+c=19. b+2<0,a-b>0.所以原式=-a+万-b-万-a+b- 解得c=7. b=-2a-b. 17.2一元二次方程的解法 a(2+1)—-2b=反a+ 17.2.1开平方法 因为万合a8号 基础训练1.D:2.B:3.1: 一3 初中数学沪科八年级(AH)第27~31期 4.x1=1,为=-4 有最小值，为2 5.(1)x1=10,x2=-10: 30期3版 (2)x1=-1,32=-9: 一、 题号12345678 (3=子4=-是 答案CDBABABC 二、9.2x2-3x+5=0:10.-1: (4)x1=4,x31=-6 11.x1=4,x2=-1;12.-1. 能力提高6.由题意，得a-2≥0,4-2a≥0. 三.13.(1)x1=1,x2=-2: 解得a=2. (2)x1=-3+23,x2=-3-25; 所以b=-3. 因为关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一 32告6=2,6 2 个根是x=1, 14.(1)等式的基本性质. 所以a+b+c=0. (2)③，等号右边没有加4 解得c=1. (3)x1=2+3,2=2-13. 所以方程为-1=0 15.解不等式k+3≥2k-1,得k≤4 解得1=2，为=-2. 解不等式2（k-1)+1≥子k-),得≥-5 17.2.2配方法 所以不等式组的解集为-5≤k≤4. 基础训练L.C:2.D: 把x=0代人kx2+(k-1)x+k+6k=7,得k2+6k= 3.x1=5+26,x2=5-26: 7. 4.第二象限； 解得k=1或k=-7(合去) 5.1=4+万，x1=4-万. 所以一元二次方程存在实数根x=0,且k的值为1. 6.(1)x1=1+2,x2=1-2: 16.(1)一元二次方程3x2+7x+4=0是“星辰方程”.理 (2)x1=-9,=-3; 由如下： (3)x1=3+T,x2=3-: 当x=-1时，3-7+4=0. 4=5- 所以一元二次方程3x2+7x+4=0是“星辰方程”。 4 (2)因为4x2-mx+n=0是关于x的“星辰方程”， 能力提高7.(1)代数式x2-4x的最小值为-4. 所以4+m+n=0,即n=-(m+4). (20++b-+14=(2+b+)+子8 因为m是此“星辰方程”的一个根， 所以4m2-m2+n=0,即n=-3m2. 86)+14=(a+6)2+2(8-86+16)+14-12=a+ 所以-3m2=-(m+4). +6-4+2 整理，得3m2-m-4=0. 因为a+2≥0，子(6-4)≥0， 解得m=专m=-1 所以(a+b2+2(6-4)+2≥2 所以m的值为号或-1. 17.(1)-3,6. 所以当6=4a=-之=-2时，d+8+ab-6b+14 (2)当x<2时， 一4 初中数学沪科八年级(AH)第27~31期 根据x※2=3※x,得4-2x=3x-x2. 所以x,= 2m+2=m+1 2(m-1)=m-6=1 解得x=1,2=4(合去)： 当2≤x<3时， 一号=1+己因为方程的两个根 (2)由(1)知，=m+ 根据x※2=3※x,得2x-4=3x-x2. 都为正整数所以乙是正整数所以m-1=1或m-1:2 解得=1±五=五（舍： 2 2 解得m=2或m=3.所以m为2或3时，此方程的两个根都为 当x≥3时， 正整数 根据x※2=3※x,得2x-4=x2-3x 17.2.4因式分解法 解得x=1(舍去)，：2=4. 基础训练1.B;2.A:3.C:4.-7或1： 5.4或-1：6.2 综上所述，x的值为1或+，五或4 2 7.(1)x1=3,为=立 5 附加题①当x-2≥0时，即x≥2 原方程可变为x2-2(x-2)-4=0. (2)y1=-3,h=2 解得x=0,为=2. 3 (3)x1=为=-2 因为x≥2， 能力提高8.4x2-5x+1=0,即(4x-1)(x-1)=0.所 所以x=0舍去。 1 ②当x-2<0时，即x<2. 以4-1=0或x-1=0解得=本=1 原方程可变为x2-2(2-x)-4=0. 综合集训营 解得无=2，x2=-4 1.(1)x1=6,2=-10: 因为x<2, (2)x1=8,x2=2: 所以x=2舍去 (3)x=1+0 3 ,x=-1-0 3 所以原方程的解为1=2,2=-4 31期2版 (=子4=1 17.2一元二次方程的解法 2.(1)根据题意，得x(x+2）+1=4. 17.2.3公式法 整理，得x2+2x-3=0. 基础训练1.D:2.D;3.B;4.3±√3； 解得x1=1,为=-3. 5.3- (2)由题意，得1<2(2-a)+1<5. 4 解得0<a<2 6.(1)x=-5+页 =二5-顶 因为a是正整数， 4 4 所以a=1, 1 (2)x1=1,x=-3 所以方程为2x2+3x+1=0. (3=号4-26 解得x1=-1,西=-2 能力提高7.(1)根据题意，得m≠1 31期3版 因为a=m-1,b=-2m,c=m+1, 题号12345678 所以6-4ae=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4. 答案BBCDBACD 一5 初中数学沪科八年级(AH)第27~31期 二、9.(x+1)(x-3)；10.0:11.-3: 将x=2代人方程x2+3x+m-1=0,得4+6+m-1=0. 121-7 解得m=-9. 2 此时原方程为x2+3x-10=0. 三1a(10%22-22 2 解得1=2，x2=-5,符合题意 综上所述，m的值为1或-9 (2)=-2,为=2 5 17.(1)方程a2+bx+c=0(a≠0)的根是x= (3)x=2+ 2 2,南=2-E 2 -b±-4c,方程y+by+ac=0的根是y= 2a 14.(1)降次 -b±B-4ac (2)移项，得2(x-3)-(x-3)2=0. 2 提取公因式，得(x-3)[2-(x-3)]=0. 所以x=上.-b±公4e。上 2 a 所以x-3=0或5-x=0. 1 解得，=3，，=5 (2)根据题意，得方程30-3x+5=0的根与方程> 15.设x2+2x=n,则原方程可化为n2+4n-5=0. 3y+2=0的根之间的关系是x=六 整理，得(n-1)(n+5)=0. 解方程y2-3y+2=0,得y1=1,2=2 解得n=1或n=-5. 当n=-5时，x2+2x=-5无解，舍去. 所以名=06=5 所以x2+2x=1. 附加题 代数式-2x2+x+3存在最大值， 所以x3+3x2+x=x(2+2x+1)+x2=2x+x2=1. -2++3=-2x-+空 16.解方程x2-2x=0,得x1=0,x1=2. ①若x=0是两个方程相同的实数根 因为(x-)2≥0， 将x=0代人方程x2+3x+m-1=0,得m-1=0. 解得m=1 所以-2x-宁户≤0 此时原方程为x2+3x=0. 所以-2x-+≤ 解得x=0,=-3,符合题意 ②若x=2是两个方程相同的实数根 所以代数式-2+：+3有最大值货 ■本报四开四版■每期定价：L.5元■每周三出版■编辑部电话：0351-5271256■本报通联：山西省太原市小店区晋 阳街202号英语周报大厦数理报社编辑部■邮政编码：030006■市场部订报热线：0351-527126915536636887（微信同 号)■订阅：请与本报市场部联系或全国各地邮局（所）■邮政订阅热线：11185■可随时预订、补订和增订■本报向全 国各省（市）级教研员赠报■广告经营许可证号：1400004000110■广告部电话：0351-5271255■山西三联印业有限公司 (太原市杏花龄区后沟村)承印，如有印刷质量问题，请与本报市场部联系调换 一6书 比较二次根式的大小是一种常见题型，比较的方法 也很多，现介绍四种常用的方法———外因内移法、平方 法、作差法、倒数法，供同学们参考． 一、外因内移法 （例题参见上期４版《外因内移轻松解题》一文）． 二、平方法 例１　比较３槡５与５槡３的大小． 分析：将两个二次根式作比较，开方数大的较大． 解：因为（３槡５） ２＝３２×５＝４５，（５槡３） ２＝５２×３＝ ７５，且７５＞４５， 所以３槡５＜５槡３． 例２　比较槡３＋槡１３与槡５＋槡１１的大小． 分析：此题中被开方数３＋１３＝５＋１１，故可采用先 平方后比较的方法． 解：因为（槡３＋槡１３） ２＝１６＋２槡３９，（槡５＋槡１１） ２ ＝１６＋２槡５５，且１６＋２槡３９＜１６＋２槡５５， 所以（槡３＋槡１３） ２ ＜（槡５＋槡１１） ２． 因为槡３＋槡１３＞０，槡５＋槡１１＞０， 所以槡３＋槡１３＜槡５＋槡１１． 温馨提示：此方法适合形如ａ槡ｂ与ｃ槡ｄ的比较，但 主要适合对于槡ａ±槡ｂ与槡ｃ±槡ｄ中，ａ＋ｂ＝ｃ＋ｄ的二 次根式之间的大小比较，判断依据是：当ａ＞０，ｂ＞０时， 如果ａ２ ＞ｂ２，则ａ＞ｂ． 三、作差法 例３　比较７－槡１０与１２－２槡１０的大小． 分析：代数式７－槡１０与１２－２槡１０均为整数减去 一个最简二次根式，且这两个最简二次根式的被开方数 相同，故可选择作差法，根据差值的正负判断它们之间 的大小关系． 解：因为（７－槡１０）－（１２－２槡１０）＝－５＋槡１０ ＜０， 所以７－槡１０＜１２－２槡１０． 温馨提示：此方法适合两个二次根式中出现某些被 开方数相同的二次根式，判断依据是：若ａ－ｂ＞０，则ａ ＞ｂ；若ａ－ｂ＜０，则ａ＜ｂ；若ａ－ｂ＝０，则ａ＝ｂ． 四、倒数法 例４　比较槡１５－槡１４与槡１４－槡１３的大小． 分析：此题中被开方数１５－１４＝１４－１３，故可采用 先求倒数后比较的方法． 解：因为 １ 槡１５－槡１４ ＝ 槡１５＋槡１４ （槡１５－槡１４）（槡１５＋槡１４） ＝ 槡１５＋槡１４， １ 槡１４－槡１３ ＝ 槡１４＋槡１３ （槡１４－槡１３）（槡１４＋槡１３） ＝ 槡１４＋槡１３，且槡１５＋槡１４＞槡１４＋槡１３， 所以 １ 槡１５－槡１４ ＞ １ 槡１４－槡１３ ． 因为槡１５－槡１４＞０，槡１４－槡１３＞０， 所以槡１５－槡１４＜槡１４－槡１３． 温馨提示：此方法适合对于槡ａ－槡ｂ与槡ｃ－槡ｄ中，ａ －ｂ＝ｃ－ｄ的二次根式之间的大小比较，判断依据是：当 ａ＞０，ｂ＞０时，若 １ａ ＞ １ ｂ，则ａ＜ｂ． 书 估算在日常生活与数学学习中都有着十分广泛的 应用，培养学生的估算意识，发展学生的估算能力，让学 生拥有良好的数感，具有重要的价值．学生掌握了科学、 合理的估算方法，对提高学生的分析、判断能力，培养学 生的思维灵活性将起到积极的促进作用． 一、估算代数式的取值范围 例１　估计（２槡５＋５槡２）× １ 槡５的值应在 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４和５之间 Ｂ．５和６之间 Ｃ．６和７之间 Ｄ．７和８之间 分析：先运用二次根式的混合运算法则进行运算， 再根据估算得出答案． 解：原式 ＝２＋槡１０． 因为３＜槡１０＜４，所以５＜２＋槡１０＜６． 故选Ｂ． 二、表示点的位置 例２　如下图，数轴上的点可近似表示（４槡６－ 槡３０）÷槡６的值是 （　　） Ａ．点Ａ　　　Ｂ．点Ｂ　　　Ｃ．点Ｃ　　　Ｄ．点Ｄ 分析：根据二次根式的运算法则以及不等式的性质 即可求出答案． 解：原式 ＝４－槡５． 因为２＜槡５＜３，所以１＜４－槡５＜２． 故选Ａ． 三、确定二次根式的整数部分和小数部分 例３　若３－槡２的整数部分为ａ，小数部分为ｂ，则 代数式（２＋槡２ａ）·ｂ的值是 ． 分析：先根据不等式的性质确定二次根式的整数部 分和小数部分，再代入代数式求解即可． 解：因为１＜槡２＜２，所以１＜３－槡２＜２． 因为３－槡２的整数部分为ａ，小数部分为ｂ，所以ａ ＝１，ｂ＝３－槡２－１＝２－槡２． 所以（２＋槡２ａ）·ｂ＝（２＋槡２）（２－槡２）＝２． 故填２． 书 上期２版 １６．１二次根式 １６．１．１二次根式的有关概念 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．Ｄ． ４．（１）ｘ≤ １２；　（２）ｘ＞－１；　（３） ７ ３≤ｘ≤５． ５．因为ａ为正数，所以２３－ａ＜２３．因为 ２３槡 －ａ为 正整数，所以 ２３槡 －ａ＜槡２３．因为４＜槡２３＜５，所以 ２３槡 －ａ的最大值为４．此时２３－ａ＝１６，即ａ＝７． １６．１．２二次根式的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ｄ． ４．（１）２４；　（２）２－槡３；　（３）３ｘ－１０． 能力提高　５．（槡５６） ２ ＝１５０，（槡６５） ２ ＝１８０．因为 １５０＜１８０，所以 槡５６＜ 槡６５．所以 － 槡５６＞－ 槡６５． １６．２二次根式的运算（乘除） １６．２．１二次根式的乘法 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．１６． ４．（１）槡４２；　（２） 槡２０６；　（３）－ 槡５ １０． １６．２．２二次根式的除法 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ；　３．－２． ４．（１）槡２３；　（２）１０；　（３）６． ５．（１）②； （２） １槡１２＝ 槡１ 槡１２ ＝ １ 槡２３ ＝ １×槡３ 槡２３×槡３ ＝槡３６． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｂ Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ 二、９．２；　１０．＞；　１１．－８；　１２．２０２５． 三、１３．（１）３２；　（２）槡３３；　（３） ３ ２ａ ２ｂ２槡ａ． １４．婷婷的解答过程正确．另一种解答过程如下： 原式 ＝ ８×槡 １８＝槡１４４＝１２． １５．（１）因为这个长方体的长、宽、高的比为４∶３∶ １，且高为槡２ｃｍ，所以长方体的长、宽分别为 槡４２ｃｍ， 槡３２ｃｍ．所以这个长方体的体积为： 槡４２× 槡３２×槡２＝ 槡２４２（ｃｍ ３）． （２）根据题意，得ＥＯ＝ＨＯ＝槡２４＝ 槡２６（ｃｍ），ＧＯ ＝ＦＯ＝ 槡１５ｃｍ．所以留下部分的总面积为：槡２６× 槡１５×２＝ 槡１２ １０（ｃｍ ２）． １６．（１） ５５槡２４． 验证： ５５槡２４＝ １２５ 槡２４ ＝ ５２×５ 槡２４ ＝５ ５ 槡２４． （２）规律： ｎ＋ ｎ ｎ２－槡 １＝ｎ ｎ ｎ２－槡 １（ｎ为正整数，ｎ ≥２）． 证 明： ｎ＋ ｎ ｎ２－槡 １ ＝ ｎ（ｎ２－１）＋ｎ ｎ２－槡 １ ＝ ｎ３ ｎ２－槡 １＝ｎ ｎ ｎ２－槡 １． １７．（１）－２０． （２）由题意，得２ｍ－４＝０，２ｎ＋６＝０．解得ｍ＝２， ｎ＝－３．所以ｍ－ｎ＝２－（－３）＝５． （３）根据二次根式的，得 ｙ－５≥０， ５－ｙ≥０{ ．解得ｙ＝５．所 以ｘ２＝６４．解得ｘ＝±８．当ｘ＝８时，ｘ＋ｙ＝１３；当ｘ＝ －８时，ｘ＋ｙ＝－３．综上所述，ｘ＋ｙ的值是１３或 －３． 附加题　（１）隐含条件２－ｘ≥０．解得ｘ≤２．所以 ｘ－３＜０．所以原式 ＝３－ｘ－（２－ｘ）＝１． （２）根据数轴，得ａ＜０，ａ＋ｂ＜０，ｂ－ａ＞０．所以 原式 ＝－ａ－（ａ＋ｂ）－（ｂ－ａ）＝－ａ－２ｂ． （３）由三角形的三边关系，得ａ＋ｂ＋ｃ＞０，ａ－ｂ－ ｃ＜０，ｂ－ａ－ｃ＜０，ｃ－ｂ－ａ＜０．所以原式 ＝ａ＋ｂ＋ ｃ－（ａ－ｂ－ｃ）－（ｂ－ａ－ｃ）－（ｃ－ｂ－ａ）＝ａ＋ｂ＋ ｃ－ａ＋ｂ＋ｃ－ｂ＋ａ＋ｃ－ｃ＋ｂ＋ａ＝２ａ＋２ｂ＋２ｃ． 书 在进行二次根式的运 算时，如果能运用整式运算 中的相关技巧，可使运算简 便．现举例加以分析，供同 学们参考． 技巧一、运用乘法公式 例 １　 计 算：（４－ ２槡３）（槡３＋１） ２． 分析：根据乘法公式进 行运算即可． 解：原式 ＝（４－２槡３）（４ ＋２槡３）＝４． 例 ２　 计 算 （槡３ ＋ １）（槡６ －槡２）的结果是 ． 分析：对槡６－槡２提取 槡２后，用平方差公式计算 即可． 解：原式 ＝（槡３＋１）［槡２×（槡３－１）］＝槡２×［（槡３ ＋１）（槡３－１）］＝２槡２． 故填２槡２． 技巧二、逆用幂的运算法则 例３　计算：（３－槡１０） ２０２５×（３＋槡１０） ２０２４ ＝ ． 分析：通过观察可以发现，两个底数３－槡１０和３＋ 槡１０相乘可以运用平方差公式计算，因此可先将两个 因式的指数转化成相同的指数，再逆用积的乘方法则进 行计算即可． 解：原式＝［（３－槡１０）（３＋槡１０）］ ２０２４×（３－槡１０） ＝（－１）２０２４×（３－槡１０） ＝３－槡１０． 故填３－槡１０． 技巧三、运用因式分解 例４　已知ａ＝２＋槡５，ｂ＝２－槡５，求代数式ａ ２ｂ＋ ａｂ２的值． 分析：此题可先运用提公因式法对所求式进行因式 分解，然后代入求值即可． 解：因为ａ＝２＋槡５，ｂ＝２－槡５，所以ａ ２ｂ＋ａｂ２ ＝ ａｂ（ａ＋ｂ）＝（２＋槡５）（２－槡５）（２＋槡５＋２－槡５）＝ （－１）×４＝－４． 例５　若ｘ＝槡２－１，则ｘ ２＋２ｘ＋１＝ ． 分析：此题可以先将ｘ２＋２ｘ＋１进行因式分解，再把 ｘ的值代入计算比较简便． 解：当ｘ＝槡２－１时，原式 ＝（ｘ＋１） ２＝（槡２） ２＝２． 故填２． ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " !" # $ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " % & ' ( 书 二次根式的混合运算综合性强、灵活性大，要想学 好这部分内容，必须强化如下四种意识． 一、化简意识 例１　 计算（槡２７－槡１８）（槡３＋槡２）的结果是 ． 分析：此题中有些二次根式不是最简二次根式，应 先化简再计算． 解：原式 ＝（槡３３－ 槡３２）（槡３＋槡２）＝３×［（槡３－ 槡２）（槡３＋槡２）］＝３． 故填３． 点评：在二次根式的混合运算中，一般要先将题中 的二次根式化成最简二次根式，被开方数相同的二次根 式要及时合并，这样可简化运算过程． 二、顺序意识 例２　 计算：槡１２－ 槡１８×槡 １ ６ ＋槡 １ ３ ＝ ． 分析：此题应先进行二次根式的乘法运算，再进行 二次根式的加减运算． 解：原式 ＝ 槡２３－槡３＋槡 ３ ３ ＝ 槡４３ ３． 故填 槡 ４３ ３． 点评：二次根式的运算顺序与实数的运算顺序一 样，都是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要 先算括号里面的．一定要有顺序意识，切不可盲目进行． 三、运算律意识 例３　计算（槡２７－槡１２）×槡 １ ３的结果是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ．槡３３ 槡Ｂ．１ Ｃ．５ Ｄ．３ 分析：根据乘法分配律可以简便运算． 解：原式 ＝ ２７×槡 １ ３ － １２×槡 １ ３ ＝槡９－槡４＝ ３－２＝１． 故选Ｂ． 点评：整式运算中的运算律和运算性质在二次根式 的运算中仍然适用． 四、分母有理化意识 例４　计算： １ 槡２＋１ ＋槡３２＝ ． 分析：先将第一个数进行分母有理化，然后运用二 次根式的加法法则计算即可． 解：原式 ＝ 槡２－１ （槡２＋１）（槡２－１） ＋ 槡４２＝槡２－１＋ 槡４２＝ 槡５２－１． 故填 槡５２－１． 点评：当分母含有二次根式时，可运用平方法或平 方差公式进行分母有理化． 书 二次根式的加减运算是本节学习的重点，其关键在 于掌握二次根式的加减运算的三个基本步骤． １．化：将算式中的各项都化成最简二次根式．这是 二次根式的加减运算的关键步骤． ２．找：在各项都化为最简二次根式后，找出被开方 数相同的二次根式． ３．合：将被开方数相同的二次根式合并．合并时，同 整式加减中合并同类项类似，只合并二次根式前面的 “系数”，二次根号及被开方数不变． 实战演练 例１　计算 槡４５－ 槡３５的结果是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 槡Ａ．５ Ｂ．槡２５ Ｃ．槡３５ Ｄ．槡４５ 分析：此题中的两个二次根式都是最简二次根式， 直接运用二次根式的减法法则运算即可． 解：原式 ＝槡５． 故选Ａ． 例２　计算槡３＋３槡 １ ３的结果是 ． 分析：此题先将３槡 １ ３化成最简二次根式，再根据 二次根式的加法法则计算即可． 解：原式 ＝槡３＋槡３＝ 槡２３． 故填 槡２３． 例３　计算：（槡５４＋槡５）－（槡２０＋槡２４）． 分析：本题可先去括号，再按二次根式的加减运算 的三个步骤进行计算． 解：原式＝槡５４＋槡５－槡２０－槡２４ ＝ 槡３６＋槡５－ 槡２５－ 槡２６ ＝（槡３６－ 槡２６）＋（槡５－ 槡２５） ＝槡６－槡５． 注意事项 １．在二次根式的加减运算中，如果有括号，可以先 化简，再去括号；也可以先去括号，再化简．注意符号不 要出错． ２．化简要彻底，化简后，被开方数不同的二次根式 不能合并，对于没有合并的二次根式不能漏掉，它们是 结果的一部分． ３．在运算的过程中，二次根式中根号外的数字因数 是分数的，不要写成带分数的形式，而要写成假分数的 形式． " )* +,- !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " # $ %&" ! " # $ " ./ 0 * " 12 345 ! ! !"#$ ! " #! !!"#" $"% !" #!#'&"'(( 6789:;<=>?@!"AB #$ C 8DE !"#%#!"#'9> F89:;<=>?G BH9CIJKL B !)C "*$%!"#$%"*+# !" #$&'() 乘除 * B #(C "*+# !"#$&'(+ 加 减 , B #,C - "*./0123 B $! C ")$" 45!"67%")+# 45!"67&89) 开 平方法!配方法 , B &" C ")'# 45!"67&8 9 "公式法!因式分解法 , B &# C ")+$ 45!"67#& :;$ -.")+% 45!" 67&#1<=&><% ")'( 45!"67&? @ B &$ C - ")./0123 B &% C "(+" ABCD%"(+# AB CD&ECD B &'C - "(./0123 B &*C FG23 B &)C ",'%HIJKLM B &(C ",'!NOPIJ B &,C ",'$ QJRSJRT6J +4*UUQJ B %! C ",'$ QJRSJRT6J +!,UUSJ B %" C ",'$ QJRSJRT6J +V,UUT6J%",'% W X1YZ HIJ&[\ B )# C - ",./0123 B )$ C #!'% =]&^=_` - #!'!+" =]&aGbc B )% C #!'#+# =]&de7f% #!+$ WX1YZ ghi =%- #! ./0123 B )'#(! C 23jk !"#$%&'" ()*+,-'. "*+# HMNOPQRSTUA 9VWXY"+ !"#$%&'()*+,-./ 0#1%&2()*+34+ #+56789#:%&2(;);<;=>?* ++ Z[\]Y"+ @ABCDEFG&HEFIG &89#$%&2*++ #+ 5*J#:%&2*+"KL MNO+ "#$% %&'()*!"+ %&^_`9ab %&^`cd<efghi %&^`jklmnopqar 8DEsIJtu svYwxy z{|}~tu€Y/0 "%&!)!)1S2A )*+,-./0 1 23-.456789/ !$'"&'#)"#*( 23:;456789/ !$'"&'#)"!)* 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．计算 槡３５＋ 槡２５的值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　槡 槡Ａ．５ Ｂ．５５ 槡Ｃ．６５ Ｄ．０ ２．若最简二次根式 ｍ＋槡 ２０２５与槡２可以合并，则 ｍ的值为 （　　） Ａ．２０２３ Ｂ．－２０２３ Ｃ．２０２７ Ｄ．－２０２７ ３．计算（槡２－１） ２的结果正确的是 （　　） 槡 槡Ａ．３＋ ２ Ｂ．２－ ２ 槡Ｃ．３－２２ Ｄ．３＋ 槡２２ ４．若槡７５－槡１２ 槡＝ａｂ，则ａ ｂ的值是 （　　） Ａ．６ Ｂ．９ Ｃ．１２ Ｄ．２７ ５．化简｜槡１３－４｜－｜３－槡１３｜的结果为 （　　） Ａ．－１ Ｂ．７ 槡 槡Ｃ．７－２ １３ Ｄ．２ １３－１ ６．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根 式运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行 一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程 如图１所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是 （　　） Ａ．只有乙 Ｂ．甲和丁 Ｃ．乙和丙 Ｄ．乙和丁 ７．如图２，数轴上表示１和 槡２的对应点分别为Ａ，Ｂ，点Ｂ关 于点Ａ的对称点是 Ｃ，设 Ｃ点表 示的数为ｘ，则ｘ＋槡２的值为 （　　） 槡 槡Ａ．１－ ２ Ｂ．１＋ ２ 槡Ｃ．２－１ Ｄ．２ ８．按如图３所示的运算程序，若输入数字“３”，则输 出的结果是 （　　） 槡 槡Ａ．３２－１ Ｂ．３－５２ 槡Ｃ．６２－３ Ｄ．５－ 槡４２ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．计算槡５４＋槡２４的结果是 ． １０．方程２ｘ＋槡２＝３ｘ－槡２的解是 ． １１．若一个梯形的上底长为槡３２，下底长为槡５０，高 为槡９６，则该梯形的面积是 ． １２．若ａ＝槡７＋３，ｂ＝３－槡７，则 ａ ２＋ｂ２－槡 ７的值 为 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（１２分）计算： （１）槡１８－槡３×槡 ２ ３； （２）槡３８－４槡 １ ２ ＋ 槡２ １８； （３）（槡２＋槡３－槡６）（槡２＋槡３＋槡６）． １４．（８分）对于任意四个实数ａ，ｂ，ｃ，ｄ，都可以组成 两个实数对（ａ，ｂ）与（ｃ，ｄ）．我们规定：（ａ，ｂ）★（ｃ，ｄ）＝ ｂｃ－ａｄ．例如：（１，２）★（３，４）＝２×３－１×４＝２．根据 上述规定计算（２，－２）★（槡５，３－槡５）． １５．（１０分）如图４，有一张面积为５０ｃｍ２的正方形 纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的 长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此 小正方形的边长为槡２ｃｍ． （１）求这个长方体盒子的容积； （２）求这个长方体盒子的侧面积． １６．（１０分）已知正数ｘ满足不等式槡３ｘ－槡１２＞２ｘ －４，试化简：２ （ｘ＋１）槡 ２ ＋ ｘ２－４ｘ＋槡 ４． １７．（１２分）请阅读下列材料： 问题：已知ｘ＝槡５＋２，求代数式ｘ ２－４ｘ－７的值． 小明的做法是：因为ｘ＝槡５＋２，所以（ｘ－２） ２＝５． 所以ｘ２－４ｘ＋４＝５．所以ｘ２－４ｘ＝１．所以ｘ２－４ｘ－７ ＝１－７＝－６． 仿照上述方法解决问题： （１）已知ｘ＝槡１０－３，求代数式ｘ ２＋６ｘ－８的值； （２）已知ｘ＝槡５－１２ ，求代数式ｘ ３＋２ｘ２的值． （以下试题供各地根据实际情况选用） 两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根 式，称这两个代数式互为有理化因式． 例如：槡３与槡３，槡２＋１与槡２－１等都互为有理化因 式． 在进行二次根式的计算时，利用有理化因式可以化 去分母中的根号． 例如： １ 槡３ ＝ 槡３ 槡３×槡３ ＝槡３３； １ 槡２＋１ ＝ 槡２－１ （槡２＋１）（槡２－１） ＝槡２－１２－１ ＝槡２－１； …… （１）请仿照上述过程，化去下式分母中的根号： ２ ｎ＋槡 ２ 槡＋ ｎ （ｎ为正整数）； （２）利用有理化因式比较４－槡１５与槡１７－４的大 小，并说明理由                                                                                                                                                                 ． 书 １６．２二次根式的运算（加减） １６．２．３二次根式的加减运算 １．计算 槡２７＋槡７的结果是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　槡 槡Ａ．７ Ｂ．２７ 槡 槡Ｃ．３７ Ｄ．４７ ２．若槡２≈１．４１４，计算 槡２２－ 槡３２－ 槡９９２的结果约 是 （　　） Ａ．－１４１．４ Ｂ．－１００ Ｃ．１４１．４ Ｄ．－０．０１４１４ ３．如果最简二次根式 ３ｘ－槡 ５与 ｘ＋槡 ３是同类二 次根式，那么ｘ的值是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ４．已知ｍ－ｎ＝ 槡３３－２，ｍｎ＝槡３，则（ｍ＋１）（ｎ－ １）的值为 ． ５．计算： （１） 槡５ １３－ 槡８ １３； （２）槡 １ ７ ＋槡２８－槡７００； （３）槡１８－槡３＋ 槡２８＋ 槡２ １２． ６．假期中，王强和同学们到某海岛上去玩探宝游 戏，按照探宝图（如图），他们在点 Ａ登陆后先往东走 槡８３千米到点Ｈ，又往北走 槡２３千米，遇到障碍后往西 走了 槡３３千米，再折向北走了 槡６３千米处往东一拐，走 了槡３千米就找到宝藏埋藏点 Ｂ，求他们共走了多少 千米？ ７．阅读下列材料，并解答问题： 把形如 槡ａ＋ｂ ｍ与 槡ａ－ｂ ｍ（ａ，ｂ都是有理数，ｍ为 开方开不尽的正整数）的两个实数称为共轭实数． （１）请 列 举 出 一 对 共 轭 实 数： 和 ； （２）若两个共轭实数的和是 １０，差的绝对值是 槡４６，请求出这两个共轭实数． ８．若（ａ２＋槡５－２） ２ ＝２０，则ａ２的值为 （　　） 槡 槡Ａ．２＋ ５ Ｂ．２－ ５ 槡Ｃ．２＋ ５或 槡２－３５ Ｄ．２－ 槡３５ ９．已知ｘ，ｙ是正整数，若槡 槡ｘ＋ ｙ＝槡２７５，则ｘ＋ｙ 的值是 （　　） Ａ．１４３或１８７ Ｂ．１３７或２７５ Ｃ．１４３或２７５ Ｄ．５或１１ １６．２．４二次根式的混合运算 １．计算： 槡２ １０÷槡２＋槡５＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　槡Ａ．３５ Ｂ．５ Ｃ．槡５２ Ｄ． 槡１０ ２ ２．若要在（槡５２－槡２）□槡２的“□”中填上一个运 算符号，使计算结果最大，则这个运算符号应该填 （　　） Ａ．＋ Ｂ．－ Ｃ．× Ｄ．÷ ３．如图１，甲、乙、丙三人手中 各有一张纸质卡片，卡片的正面 分别写有一个算式，则这三张卡 片中，算式的计算结果是有理数 的有 （　　） Ａ．０张 Ｂ．１张 Ｃ．２张 Ｄ．３张 ４．若ｘ＝槡２＋ １ ３ 槡２０２５，ｙ＝槡２－ １ ３槡２０２５，则 ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２的值是 （　　） Ａ．１２ Ｂ．４ Ｃ．２０２５ Ｄ．８ ５．不等式槡５ｘ≥３ｘ＋１的解集是 ． ６．计算： （１）槡２×槡３－槡２４； （２）（槡５＋１）（３－槡５）－槡２０； （３）（槡６－ 槡２ ２４）×槡３－６槡 １ ２． ７．先化简，再求值：ｘ－ｙ 槡 槡ｘ＋ ｙ ＋ｘ－２槡ｘｙ＋ｙ 槡 槡ｘ－ ｙ ，其中ｘ ＝５，ｙ＝ １５． ８．已知槡ｘ－ １ 槡ｘ ＝槡３，则槡ｘ＋ １ 槡ｘ 的值为 （　　） 槡 槡Ａ．± ５ Ｂ．± ７ 槡 槡Ｃ．５ Ｄ．７ ９．已知方程组 ２槡ｘ－３槡ｙ＝２， ４ｘ－９ｙ＝１２{ ， 那么２槡ｘ＋３槡ｙ的 值是 ． １０．如图２，一个长方形被分割成四部分，其中图形 ①，②，③都是正方形，且正方形 ①，② 的面积分别为 ４，３，求图中阴影部分的面积 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． !" ! #$%"& '()*+, !"-. ! ! /012345678'!".9 #$ - !"#$ ! 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