第27期 16.1 二次根式 16.2 二次根式的运算(乘除)-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（沪科版 安徽专版）

书 利用二次根式的性质化简二次根式，不仅要掌握二 次根式的运算性质，而且还要把握化简中的一些要点． 一、将被开方数分解 例１　化简：槡２７＝ ． 分析：在化简时可将２７分解成３与９的积，根据二 次根式的性质化简． 解：原式 ＝ ３×槡 ９＝槡３×槡９＝３槡３． 故填３槡３． 二、将分母化为平方数 例２　计算２ １槡２的结果是 ． 分析：要化简２ １槡２，可以将 １ ２的分子、分母都乘 ２，即 １２ ＝ ２ ４，这样就把分母变成平方数４． 解：原式 ＝２ １×２２×槡 ２＝２× 槡２ 槡４ ＝２×槡２２ ＝槡２． 故填槡２． 三、将带分数化为假分数 例３　化简： １１槡８． 分析：因为１１８是带分数，不能直接进行开方运算， 应先将其化为假分数 ９ ８，再运用例２的方法化简． 解：原式 ＝ ９槡８ ＝ ９×２ ８×槡 ２＝ ３２×槡 ２ 槡１６ ＝３槡２４． 四、将小数化为分数 例４　化简： ０．槡 ２４． 分析：０．２４是一个小数，在化简时应先将０．２４化为 分数 ２４ １００，然后再进行化简． 解：原式 ＝ ２４槡１００＝ 槡２４ 槡１００ ＝ ２ ２×槡 ６ １０ ＝ 槡６ ５． 五、运用积的算术平方根的性质 例５　已知ａｂ＜０，则 －ａ２槡 ｂ化简后为 （　　） Ａ．－ａ槡－ｂ Ｂ．－ａ槡ｂ Ｃ．ａ槡ｂ Ｄ．ａ槡－ｂ 分析：根据二次根式的性质即可得解． 解：因为ａｂ＜０，－ａ２ｂ≥０，所以ａ＞０，ｂ＜０． 所以原式 ＝ ａ槡 ２·槡－ｂ＝ａ槡－ｂ． 故选Ｄ． 六、运用商的算术平方根的性质 例６　化简： ７ｃ １２ａｂ槡 ２． 分析：将分式的分子、分母同时乘３ａ，从而使分母变 成能开得尽方的因式，然后运用商的算术平方根的性质 进行化简． 解：原式 ＝ ７ｃ １２ａｂ槡 ２ ＝ ７ｃ·３ａ １２ａｂ２·３槡 ａ＝ ２１槡 ａｃ ３６ａ２ｂ槡 ２ ＝ ２１槡 ａｃ ６ａｂ． 书 一、开放型 例１　 如果一个无理 数ａ与槡８的积是一个有理 数，写出 ａ的一个值是 ． 分析：根据二次根式的 乘法法则即可得解． 解：因为槡８ ＝２槡２， （槡２） ２ ＝２，所以 ａ是化简 成最简二次根式后含有槡２ 的数． 故填槡２（答案不惟一）． 小结：此类题不仅能巩 固知识，形成技能，而且能 启发思维，培养能力．解题 时，既要考虑问题及明确的 条件，又要考虑隐藏的条件． 二、实际应用型 例２　 秦九韶公式是 我国南宋数学家秦九韶曾 经提出的利用三角形的三边求面积的计算公式，如果一 个三角形的三边长分别是ａ，ｂ，ｃ，记ｐ＝ａ＋ｂ＋ｃ２ ，那么 三角形的面积为 Ｓ＝ ｐ（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ槡 ），这个 公式在西方也被称为海伦公式．如图，在 △ＡＢＣ中， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ所对的边分别为ａ，ｂ，ｃ．若ａ＝５，ｂ＝６，ｃ ＝７，则△ＡＢＣ的面积为 （　　） Ａ．６槡６ Ｂ．６槡３ Ｃ．１８ Ｄ．１９２ 分析：利用已知求出 ｐ的值，再利用三角形的面积 公式得出答案． 解：根据题意，得ｐ＝ａ＋ｂ＋ｃ２ ＝９． 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ ｐ（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ槡 ） ＝ ９×（９－５）×（９－６）×（９－７槡 ）＝６槡６． 故选Ａ． 小结：此类题型注重知识的应用．解题时，特别要注 意实际情况． 三、规律型 例３　观察下列各式： ① １＋１槡 ３ ＝２ １ 槡３； ② ２＋１槡 ４ ＝３ １ 槡４； ③ ３＋１槡 ５ ＝４ １ 槡５；… （１）请观察规律，并写出第④个等式： ； （２）请用含ｎ（ｎ≥１）的式子写出你猜想的规律： ； （３）请证明（２）中的结论． 分析：（１）认真观察题中所给的式子，得出其规律 并写出第④个等式； （２）根据规律写出含ｎ的式子即可； （３）结合二次根式的性质进行验证即可． 解：（１） ４＋１槡 ６ ＝５ １ 槡６； （２） ｎ＋ １ｎ＋槡 ２＝（ｎ＋１） １ ｎ＋槡 ２； （３） ｎ＋ １ｎ＋槡 ２＝ ｎ２＋２ｎ＋１ ｎ＋槡 ２ ＝ （ｎ＋１）２ ｎ＋槡 ２ ＝（ｎ＋１） １ｎ＋槡 ２． 小结：此类题型考查归纳总结能力．解题时，要专注 细节，重视变形和转化，多方位地分析观察． 书 二次根式，其实质是一个非 负数的算术平方根，即槡ａ（ａ≥ ０）是一个非负数．这里包含两 个非负性：ａ非负和槡ａ非负． 一、二次根式的被开方数的 非负性 例 １　 若 ｙ＝ ｘ－槡 ３＋ ３槡 －ｘ＋４， 则 ｘ＋ ｙ ＝ ． 分析：先根据二次根式有意 义的条件列出关于 ｘ的不等式 组，即可确定ｘ的值，从而求出ｙ 的值，再代入 ｘ＋ｙ进行计算 即可． 解：根据题意，得 ｘ－３≥０， ３－ｘ≥０{ ． 解得ｘ＝３． 所以ｙ＝４． 所以ｘ＋ｙ＝７． 故填７． 二、二次根式的非负性 例２　如果 （ｘ－２）槡 ２ ＝２－ｘ，那么ｘ的取值范围 是 （　　） Ａ．ｘ≤２ Ｂ．ｘ＜２ Ｃ．ｘ≥２ Ｄ．ｘ＞２ 分析：根据二次根式是一个非负数可得不等式，求 解即可． 解：根据题意，得２－ｘ≥０． 解得ｘ≤２． 故选Ａ． 例３　若｜ａ－ｂ＋１｜与 ａ＋２ｂ＋槡 ４互为相反数， 则（ａ－ｂ）２０２５ ＝ ． 分析：根据“几个非负数的和为０，则这几个数都为 ０”即可得解． 解：因为｜ａ－ｂ＋１｜与 ａ＋２ｂ＋槡 ４互为相反数， 所以｜ａ－ｂ＋１｜＋ ａ＋２ｂ＋槡 ４＝０． 因为｜ａ－ｂ＋１｜≥０， ａ＋２ｂ＋槡 ４≥０， 所以 ａ－ｂ＋１＝０， ａ＋２ｂ＋４＝０{ ．解得 ａ＝－２， ｂ＝－１{ ． 所以（ａ－ｂ）２０２５＝（－２＋１）２０２５＝（－１）２０２５＝－１． 故填 －１． 书 在利用二次根式的乘、除法法则进行计算时，需要 根据题目类型灵活选用法则或其逆变形进行计算．下面 举例说明． 一、槡ａ·槡ｂ型式子的计算方法 当ａ，ｂ都不是平方数或者ａ，ｂ相乘可以约分时，使 用法则槡ａ·槡 槡ｂ＝ ａｂ计算；当ａ，ｂ中有平方因数时，则 可以先利用 ａ槡 ２ ＝｜ａ｜化简，然后再求积． 例１　计算：－槡２×槡３＝ ． 分析：根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 解：原式 ＝－ ２×槡 ３＝－槡６． 故填 －槡６． 例２　计算槡１８×槡 １ ２的结果为 ． 分析：此题的二次根式的乘法中，有一个被开方数 是分数，另一个被开方数有平方因数，先化简再计算比 较繁琐，通过观察可知这两个被开方数相乘的结果是平方 数，直接利用二次根式的乘法法则进行运算即可得解． 解：原式 ＝ １８×槡 １ ２ ＝槡９＝３． 故填３． 二、槡 槡 ａ ｂ 型式子的计算方法 当ｂ是ａ的约数时，可用槡 槡 ａ ｂ ＝ ａ槡ｂ进行计算；当ｂ 不是ａ的约数且ａ，ｂ都不是平方数时，可以先类比分数 的基本性质用槡 槡 ａ ｂ ＝槡ａ·槡ｂ 槡ｂ·槡ｂ 变形，然后用（槡ａ） ２ ＝ａ进 行化简． 例３　计算：槡１５÷槡３＝ ． 分析：根据二次根式的除法法则进行计算即可． 解：原式 ＝ １５÷槡 ３＝槡５． 故填槡５． 三、二次根式的乘除混合运算 在进行二次根式的乘除混合运算时，有括号的，先 算括号里的，然后按照从左到右的顺序进行，注意结果 要写成最简二次根式的形式． 例４　计算：槡３０÷槡３×槡２． 分析：根据二次根式的乘除法法则进行计算即可， 注意同级运算要按照从左到右的顺序进行． 解：原式 ＝ ３０÷３×槡 ２＝槡２０＝ 槡２５． 书 求解二次根式的问题时，灵活运用不等式、不等式 组、分式的相关知识，可找到很好的解题途径．下面举例 说明，供同学们参考． 实验室一、一元一次不等式参与 例１　若 ａ－槡 ６有意义，则ａ的值可以是 （　　） Ａ．－１　 　　Ｂ．０　 　　Ｃ．２　　 　Ｄ．８ 分析：利用二次根式有意义的条件得出ａ的取值范 围，进而得出答案． 解：因为 ａ－槡 ６有意义，所以ａ－６≥０． 解得ａ≥６． 所以ａ的值可以是８． 故选Ｄ． 实验室二、一元一次不等式组加入 例 ２　 已知 ２，５，ｍ是某三角形三边的长，则 （ｍ－３）槡 ２ ＋ （ｍ－７）槡 ２ ＝ （　　） Ａ．２ｍ－１０ Ｂ．１０－２ｍ Ｃ．１０ Ｄ．４ 分析：利用三角形的三边关系得出 ｍ的取值范围， 再利用二次根式的性质化简得出答案． 解：根据三角形的三边关系，得３＜ｍ＜７． 所以ｍ－３＞０，ｍ－７＜０． 所以 （ｍ－３）槡 ２＋ （ｍ－７）槡 ２ ＝ｍ－３＋７－ｍ＝４． 故选Ｄ． 实验室三、分式介入 例３　若ａ２－３ａｂ＋ｂ２ ＝０，且ａ＞ｂ＞０，则ｂ－ａｂ＋ａ 的值为 （　　） Ａ．－槡５２ Ｂ．－ 槡２ ２ Ｃ．－ 槡５ ５ Ｄ．槡２ 分析：根据分式的基本性质结合二次根式的除法运 算即可得解． 解：因为ａ２－３ａｂ＋ｂ２＝０，所以（ｂ－ａ）２＝ａ２－２ａｂ ＋ｂ２ ＝ａｂ，（ｂ＋ａ）２ ＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２ ＝５ａｂ． 因为ａ＞ｂ＞０，所以ｂ－ａ＝－槡ａｂ，ｂ＋ａ＝ ５槡ａｂ． 所以 ｂ－ａ ｂ＋ａ＝ －槡ａｂ ５槡ａｂ ＝－槡５５． 故选Ｃ． 书 在处理二次根式的有关问题时，我们常常需要把根 号外的因数或因式转移到根号里面．下面撷取几例予以 说明，供同学们参考． 一、比较大小 例１　比较２槡７与７槡２的大小． 分析：将两个二次根式根号外面的因数移到根号里 面作比较，被开方数大的较大． 解：２槡７＝ ２ ２×槡 ７＝槡２８， ７槡２＝ ７ ２×槡 ２＝槡９８， 因为２８＜９８， 所以槡２８＜槡９８． 所以２槡７＜７槡２． 温馨提示：这种方法适用于两个二次根式的比较或 一个二次根式与一个有理数的比较，依据为：当ａ＞０，ｂ ＞０，ａ＞ｂ时，槡ａ＞槡ｂ． 二、化简 例２　实数 ａ，ｂ在数轴上的 位置如图所示，则化简（ａ－ｂ） ａ＋ｂ 槡ａ－ｂ的结果是 （　　） Ａ． ａ２－ｂ槡 ２ Ｂ．槡ｂ－ａ Ｃ．－ ａ２－ｂ槡 ２ Ｄ．－ ｂ２－ａ槡 ２ 分析：根据数轴可知ａ－ｂ＜０，ａ＋ｂ＜０，再把根号外 的因式平方以后移到根号内，特别要注意原式的正负． 解：根据数轴，得ａ－ｂ＜０，ａ＋ｂ＜０． 所以（ａ－ｂ） ａ＋ｂ槡ａ－ｂ＝－ ａ＋ｂ ａ－ｂ·（ａ－ｂ）槡 ２ ＝ － ａ２－ｂ槡 ２．故选Ｃ． 温馨提示：要把根号外的因数或因式移到根号里 面，最基本的方法是把根号外的因数或因式平方后与根 号里面的式子相乘．在这个过程中，还要注意题目中的 隐含条件，必须保证二次根式有意义且正负不变，以防 止最后结果出现符号错误． １．比较二次根式的大小：－６槡３ －３槡６（填 “＞”“＝”或“＜”）． ２．化简（ｍ－１） － １ｍ－槡 １的结果是 （　　） Ａ． １槡 －ｍ Ｂ．－ １槡 －ｍ Ｃ． ｍ－槡 １ Ｄ．－ ｍ－槡 １ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!" # " $ % ! & " !" #$% " !& '() " * + , ( - " .+ /01 " 2 3 4 5 6 " *7 89: "#$";<=> ?@ABC!"#$%&'()*+,$ DEFGC"$ -./#$%&01234567 089:;$ %$<=#$%&0+,>!"?670#$%& 0@A$ "#$%;<=>HIJKLMN ?@ABCBC#$%&0DEEFGHEEF *IA#$%&0()$ DEFGC JKLMNOP#Q% &0DHRSTU> -@#Q%&VI A#Q%&$ ! ! !"#$ ! 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"#$% %&'()*!"+ .+cde?fg .+cehiTjklmn .+ceopqrstuvfw Q[\x_`yz x{C|(} ~€‚ƒyz„…C./ "'0!(!(1†2X )*+,-./0 1 23-.456789/ !+&"3&%("%#) 23:;456789/ !+&"3&%("!)* 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．二次根式 １槡 －ｘ在实数范围内有意义，则实数ｘ 的取值范围在数轴上表示为 （　　） ２．下列二次根式中，是最简二次根式的是 （　　） Ａ．槡２０ Ｂ．槡２ Ｃ．槡 １ ２ Ｄ． ０．槡 ２ ３．将槡４８化简后的结果是 （　　） 槡 槡Ａ．４３ Ｂ．２６ 槡Ｃ．６２ Ｄ．槡８３ ４．已知ａ＝槡２，ｂ＝槡１０，用含 ａ，ｂ的代数式表示 槡２０，则这个代数式是 （　　） Ａ．ａ＋ｂ Ｂ．ａｂ Ｃ．２ａ Ｄ．２ｂ ５．若２＜ａ＜３，则 ａ２－４ａ＋槡 ４－ （ａ－３）槡 ２ ＝ （　　） Ａ．５－２ａ Ｂ．１－２ａ Ｃ．２ａ－５ Ｄ．２ａ－１ ６．如图１，将一个小正方形放入 到一个大正方形中，阴影部分的面积 等于小正方形的面积，则大正方形与 小正方形的边长之比为 （　　） 槡Ａ．２∶１ 　　　　Ｂ．２∶１ 槡Ｃ．４∶１ 　　　　Ｄ．３∶１ ７．下列表示的是四位同学的运算过程，其中正确的 是 （　　） Ａ． ５２＋１２槡 ２ ＝ ５槡 ２ ＋ １２槡 ２ ＝５＋１２＝１７ Ｂ．２槡ａ·３槡ａ＝６槡ａ Ｃ．槡４２÷ 槡２２＝ 槡２２ Ｄ．槡４ 槡３ ＝ 槡２３３ ８．如果ａｂ＞０，ａ＋ｂ＜０，那么下面各式：① ａ槡ｂ ＝ 槡 槡 ａ ｂ ；② ａ槡ｂ· ｂ 槡ａ ＝１；③ 槡ａｂ÷ ａ 槡ｂ ＝－ｂ，其中正 确的是 （　　） Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．①③ Ｄ．①②③ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．计算：槡８÷槡２＝ ． １０．比较大小：槡 槡３２ １７（填“＞”“＝”或 “＜”）． １１．若槡２×槡２０＝槡２×ｍ槡５ 槡＝ｍ ｎ，则ｍ－ｎ＝ ． １２．已知实数ａ满足 ａ－槡 ２０２５＋｜２０２４－ａ｜＝ａ， 则ａ－２０２４２ ＝ ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（１２分）计算： （１）槡５× ９ 槡２０； （２）（槡３） ２×槡１５÷槡５； （３）２ ａｂ槡 ３ ×３４ ａ ３ 槡 ｂ÷ １ 槡ａ． １４．（８分）婷婷对“化简：槡８×槡１８”的解答过程如 下： 解：原式 ＝ 槡２２× 槡３２＝（２×３）×（槡２） ２ ＝６×２ ＝１２． 试问婷婷的解答过程是否正确？若正确，请再写出 一种解答过程；若有错误，请写出正确的解答过程． １５．（１０分）解答下列问题： （１）已知一个长方体的长、宽、高的比为４∶３∶１，且 高为槡２ｃｍ，求这个长方体的体积； （２）如图２，从正方形ＡＢＣＤ中裁去两个面积分别为 ２４ｃｍ２和１５ｃｍ２的正方形ＢＥＯＨ和ＤＦＯＧ，求留下部分 的总面积． １６．（１０分）先来看一个有趣的现象： ２槡 ２ ３ ＝ 槡 ８ ３ ＝ ２２×２ 槡３ ＝２槡 ２ ３，这里根号里的因数２经过 适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种 现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如： ３槡 ３ ８ ＝３槡 ３ ８， ４ ４ 槡１５＝４ ４ 槡１５等等． （１）请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证； （２）你能只用一个正整数ｎ（ｎ≥２）来表示含有上 述规律的等式吗？证明你找到的规律． １７．（１２分）二次根式槡ａ的双重非负性是指被开方 数ａ≥０，其化简的结果槡ａ≥０，利用槡ａ的双重非负性解 答以下问题： （１）已知 ａ－槡 ２＋ ５槡 ＋ｂ＝０，则 ２ａｂ的值为 ； （２）已知实数ｍ，ｎ满足｜２ｍ－４｜＋ ２ｎ＋槡 ６＝０， 求ｍ－ｎ的值； （３）若ｘ，ｙ为实数，且ｘ２＝ ｙ－槡 ５＋ ５槡 －ｙ＋６４， 求ｘ＋ｙ的值． （以下试题供各地根据实际情况选用） 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并 解答下面的问题： 化简：（ １－３槡 ｘ） ２－｜１－ｘ｜． 解：隐含条件１－３ｘ≥０．解得ｘ≤ １３．所以１－ｘ＞ ０．所以原式 ＝１－３ｘ－（１－ｘ）＝－２ｘ． 【启发应用】 （１）按 照 上 面 的 解 法，化 简： （ｘ－３）槡 ２ － （ ２槡 －ｘ） ２． 【类比迁移】 （２）实数ａ，ｂ在数轴上的位 置如右图所示，化简： ａ槡 ２ ＋ （ａ＋ｂ）槡 ２ －｜ｂ－ａ｜． （３）已 知 ａ，ｂ，ｃ为 △ＡＢＣ的 三 边 长，化 简： （ａ＋ｂ＋ｃ）槡 ２ ＋ （ａ－ｂ－ｃ）槡 ２ ＋ （ｂ－ａ－ｃ）槡 ２ ＋ （ｃ－ｂ－ａ）槡 ２                                                                                                                                                                 ． 书 １６．１二次根式 １６．１．１二次根式的有关概念 １．二次根式槡ｘ中，ｘ的值不能是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．π Ｂ．１ Ｃ．０ Ｄ．－１ ２．当ａ＝－２时，二次根式 ２槡 －ａ的值为 （　　） 槡 槡Ａ．２ Ｂ．２ Ｃ．± ２ Ｄ．±２ ３．若ｙ＝ ｘ－槡 ４＋ ８－２槡 ｘ－４，则点Ｐ（ｘ，ｙ）在 （　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ４．当ｘ为何值时，下列各式有意义？ （１） １－２槡 ｘ； （２） １ｘ＋槡 １； （３） ３ｘ－槡 ７＋ ５槡 －ｘ． ５．若ａ为正数，且 ２３槡 －ａ为正整数，求 ２３槡 －ａ 的最大值及此时ａ的值． １６．１．２二次根式的性质 １．计算： （－８）槡 ２ ＝ （　　） Ａ．１８ Ｂ．－ １ ８ Ｃ．８ Ｄ．－８ ２．若ａ＝槡２，ｂ＝槡７，则 １４ａ２ ｂ槡２ ＝ （　　） 槡 槡Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．７ Ｄ．２ ３．实数 ａ，ｂ在数轴上对应 点的位置如图所示，化简 ａ＋ （ａ－ｂ）槡 ２的结果是 （　　） Ａ．－２ａ＋ｂ Ｂ．２ａ－ｂ Ｃ．－ｂ Ｄ．ｂ ４．计算： （１）（－ 槡２６） ２； （２） （槡３－２）槡 ２； （３） ９－６ｘ＋ｘ槡 ２ ＋（ ２ｘ－槡 ７） ２． ５．王老师总结了这样一句话：“对于任意两个正整 数ａ，ｂ，如果ａ＞ｂ，那么槡 槡ａ＞ ｂ．”然后讲解了下面一 道例题： 比较 １ ５槡２００和 槡２３的大小． 解：（ １ ５槡２００） ２ ＝１２５×２００＝８，（槡２３） ２ ＝４×３ ＝１２．因为８＜１２，所以 １５槡２００＜ 槡２３． 参考例题的解法，比较 － 槡５６与 － 槡６５的大小． １６．２二次根式的运算（乘除） １６．２．１二次根式的乘法 １．计算：－槡２×槡７＝ （　　） Ａ．槡１４ Ｂ．－槡１４ Ｃ．槡２７ Ｄ．－槡２７ ２．若槡ｘ· ｘ－槡 ６＝ ｘ ２－６槡 ｘ，则 （　　） Ａ．ｘ≥６ Ｂ．ｘ≥０ Ｃ．０≤ｘ≤６ Ｄ．ｘ为一切实数 ３．若 槡４４ ＝２槡ａ，槡５０ ＝ｂ槡２，则 ａ＋ｂ＝ ． ４．计算： （１）槡６×槡７； （２）槡８×槡１５×槡２０； （３）－５ ８槡２７× １槡 １ ４ ×槡２７． １６．２．２二次根式的除法 １．－槡２０２５的倒数是 （　　） Ａ．－槡２０２５ Ｂ．槡２０２５ Ｃ．－槡２０２５２０２５ Ｄ． 槡２０２５ ２０２５ ２．化简 １２＋槡 １ ３的结果是 （　　） Ａ．槡３０６ Ｂ． 槡６ ３０ Ｃ．槡５６ Ｄ．槡６５ ３．若二次根式 ２ｘ＋槡 ７是最简二次根式，则ｘ可取 的最小整数是 ． ４．计算： （１）槡７２÷槡６； （２）槡６×槡５０÷槡３； （３） ３ａ槡 ２ ÷ ａ槡２ ÷ １ ２ ２ａ 槡３． ５．阅读材料，并回答问题： 小君在学习二次根式时，化简 １ 槡１２的过程如下： 解： １ 槡１２＝ 槡１ 槡１２ 　　　…第①步 ＝ １ 槡４３ …第②步 ＝ １× 槡４３ 槡４３× 槡４３ …第③步 ＝槡３３． …第④步 （１）上述解答过程中，从第 步开始出现了 错误（填序号）； （２）在下面的空白处，写出正确的解答过程 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． !" ! #$%"& '()*+,-./ ! 012345!"#!$!"#%678/9 ! ! :;<=>?@ABC'&'DE %( . !"#$ ! 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CDKÞQ[\]^ ü_`abcde#!#µ fghŒijË¢ŒP k…Ë\V¯l &$&&!- mî (# no 初中数学沪科八年级(AH)第27~31期 数理括 答案详解 2024~2025学年初中数学沪科八年级(AH) 第27~31期 27期2版 三13.(1)3；(235：(3)3a8a. 16.1二次根式 14.婷婷的解答过程正确.另一种解答过程如下： 16.1.1二次根式的有关概念 原式=√8×18=44=12 基础训练1.D:2.A;3.D. 15.(1)因为这个长方体的长、宽、高的比为4：3：1，且高 4()x≤7：(2)>-1：(3)子≤≤5 为万cm,所以长方体的长、宽分别为42cm,3万cm.所以这 5.因为a为正数，所以23-a<23.因为/23-a为正整 个长方体的体积为：4万×32×万=242(cm3). 数所以√23-a</23.因为4</23<5，所以23-a的 (2)根据题意，得E0=H0=24=26(cm),G0=F0 最大值为4.此时23-a=16,即a=7. =5cm所以留下部分的总面积为：26×√15×2= 16.1.2二次根式的性质 12/10(cm2). 基础训练1.C:2.A；3.D. 16.(1)524 4.(1)24:(2)2-5:(3)3x-10. 能力提高5.(56)2=150，(65)2=180.因为150< 证-√√爱5层 180,所以56<65.所以-56>-65. 16.2二次根式的运算（乘除） (2)规律√+ n(n为正整数，n≥2) Vn- 16.2.1二次根式的乘法 n n(n-1)+n n 基础训练1.B;2.A:3.16. 证明：√+一= n2-1 Vn2-1 4.(1)42:(2)206:(3)-51o. 16.2.2二次根式的除法 √m2-i 基础训练1.C:2.A:3.-2. 17.(1)-20. 4.(1)25:(2)10:(3)6. (2)由题意，得2m-4=0,2n+6=0.解得m=2,n= 5.(1)②： -3.所以m-n=2-(-3)=5. 奈方拾 y-5≥0， (3)根据二次根式有意义的条件，得 解得y= 5-y≥0. 27期3版 5.所以x2=64.解得x=±8.当x=8时，x+y=13:当x=-8 题号1234567 8 时，x+y=-3.综上所述，x+y的值是13或-3 答案CBABCBDB 附加题(1)隐含条件2-x≥0.解得x≤2.所以x-3 二9.2：10.>；11.-8；12.2025. <0.所以原式=3-x-(2-x)=1. 初中数学沪科八年级(AH) 第27~31期 (2)根据数轴，得a<0,a+b<0,b-a>0.所以原式=是5. -a-(a+b)-(b-a)=-a-2b. 所以阴影部分的宽是2-5。 (3)由三角形的三边关系，得a+b+c>0,a-b-c<0, 所以阴影部分的长是：5-(2-5)=25-2. b-a-c<0,c-b-a<0.所以原式=a+b+c-(a-b- 所以阴影部分的面积为：(25-2)(2-5)=63-10. c)-(b-a-c)-(c-b-a)a+b+c-a+b+e-b+ 28期3版 a +c-c +b +a 2a +2b +2c. 题号12345678 28期2版 答案BBCDCADD 16.2二次根式的运算（加减） 二9.56：10.x=25；11.363:12.5. 16.2.3二次根式的加减运算 三13.(1)22： 基础训练1.C;2.A；3.D;41-25. (2)102: 5.(1)-33: (3)-1+26. 2)-5, 14.(2,-2)★(5.3-5)=-25-2×(3-5)= (3)72+35. -25-6+25=-6. 6.他们共走了：85+25+35+65+5=205（千 15.(1)这个长方体盒子的容积为：(50-22)2×2= 米) 182(cm3). 7.(1)答案不惟一，如3+2,3-万 (2)这个长方体盒子的侧面积为：（√50-22）×2×4 (2)设这两个共轭实数为x+yf与x-y =24(cm). 因为这两个共轭实数的和是10，差的绝对值是46， 16.因为5x-2>2x-4, 所以(x+yF)+(x-yE)=10,I(x+yF)-(x-yF)I= 所以(5-2)x>25-4. 46. 解得x<2 因为x是正数， 所以2x=10,12yE1=46. 所以0<x<2. 解得x=5,y=2或y=-2,t=6. 所以x+1>0,x-2<0. 所以这两个共轭实数是5+26与5-26. 所以原式=2(x+1)产+(x-2)7=21x+11+ 能力提高8.A；9.A, 1x-21=2x+2+2-x=x+4. 16.2.4二次根式的混合运算 基础训练1.A:2.C:3.B:4.D: 17.(1)因为x=/10-3, 5x≤-5+3 所以x+3=0 4 两边平方，得(x+3)2=10. 6.(1)-6:(2)-2:(3)-122. 所以x2+6x+9=10. 7原武=2-2次当x=5y=号时，原式=8 所以x2+6x=1. 5 所以x2+6x-8=1-8=-7. 能力提高8.D;9.6. 10.根据题意，得正方形①的边长是2，正方形②的边长 (2)因为x=5-1 2 2 初中数学沪科八年级(AH)第27~31期 所以2x=5-1. a- 马0=(a-b)万+a=3-25,ab都是正整数 所以2x+1=5. 两边平方，得(2x+1)2=5. b=-2,a=3. 所以a-2 所以4x2+4x+1=5. 解得b=10. 所以4x2+4x=4. 20.(1)长方形绿地的周长为：（√128+√50）×2= 所以2+x=1. 26万（米）. 所以x2+2x2=x3+x2+x2=x(x2+x)+x2=x+x2 (2)通道的面积为：28×√5⑥-2×（√13+1）× (√13-1)=56（平方米）.购买地砖需要花费：6×56= 2 336(元). 附加题 (1) n+2+m 21.(1)m2+7n2,2mn 2(n+2-n) =n+2-n (2)因为a+65=(m+n5)2=m2+3n2+2mn5,a, (n+2+n)(n+2-n) m,n都是正整数，所以a=m2+3n2,2mn=6.所以mn=3.所 (2)4-5>17-4.理由如下： 以m=1,n=3或m=3,n=1.当m=1,n=3时，a=1+ 因为1 4+15 的4压4-54+5 =4+5, 3×3=28:当m=3,n=1时，a=32+3×12=12.综上所 述，a的值为28或12. 万+4一=万+4,4+5< 万-4(/m-4)(7+4) (3)原式=25. 30期2版 4-厉7-4因为4-下>0，厅- 万+4，所以，1 17,1一元二次方程 4>0,所以4-15>7-4. 基础训练1.B:2.B;3.C；4C；5.C: 29期检测卷 6.200(1+x)2=288:7.2025.8.x=-3. 9.原方程可化为2(x2-2x+1)+bx-b+c=0.整理，得 题号12345678910 答案DBBCCAACAB 2x2+(b-4)x+2-b+c=0.所以b-4=-3,2-b+c= -1.解得b=1,c=-2. 二、1Lx≥19：12.3：13.5+2：14.5： 能力提高10.(1)一元二次方程3x2-5x+2=0是“方 15.6. 正方程”.理由如下： 三16.(1)5： 将x=1代人3x2-5x+2=0,得3-5+2=0. (2)-55: 所以一元二次方程3x2-5x+2=0是“方正方程”. (3)-6-2万 (2)由题意，得5-b+c=0. 1原式=(3a-1)6当a=分时，原式=县 所以b=5+c 4 因为b+c=19, 18.根据数轴，得b<-2<0<a<2.所以a-万<0， 所以5+c+c=19. b+2<0,a-b>0.所以原式=-a+万-b-万-a+b- 解得c=7. b=-2a-b. 17.2一元二次方程的解法 a(2+1)—-2b=反a+ 17.2.1开平方法 因为万合a8号 基础训练1.D:2.B:3.1: 一3 初中数学沪科八年级(AH)第27~31期 4.x1=1,为=-4 有最小值，为2 5.(1)x1=10,x2=-10: 30期3版 (2)x1=-1,32=-9: 一、 题号12345678 (3=子4=-是 答案CDBABABC 二、9.2x2-3x+5=0:10.-1: (4)x1=4,x31=-6 11.x1=4,x2=-1;12.-1. 能力提高6.由题意，得a-2≥0,4-2a≥0. 三.13.(1)x1=1,x2=-2: 解得a=2. (2)x1=-3+23,x2=-3-25; 所以b=-3. 因为关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一 32告6=2,6 2 个根是x=1, 14.(1)等式的基本性质. 所以a+b+c=0. (2)③，等号右边没有加4 解得c=1. (3)x1=2+3,2=2-13. 所以方程为-1=0 15.解不等式k+3≥2k-1,得k≤4 解得1=2，为=-2. 解不等式2（k-1)+1≥子k-),得≥-5 17.2.2配方法 所以不等式组的解集为-5≤k≤4. 基础训练L.C:2.D: 把x=0代人kx2+(k-1)x+k+6k=7,得k2+6k= 3.x1=5+26,x2=5-26: 7. 4.第二象限； 解得k=1或k=-7(合去) 5.1=4+万，x1=4-万. 所以一元二次方程存在实数根x=0,且k的值为1. 6.(1)x1=1+2,x2=1-2: 16.(1)一元二次方程3x2+7x+4=0是“星辰方程”.理 (2)x1=-9,=-3; 由如下： (3)x1=3+T,x2=3-: 当x=-1时，3-7+4=0. 4=5- 所以一元二次方程3x2+7x+4=0是“星辰方程”。 4 (2)因为4x2-mx+n=0是关于x的“星辰方程”， 能力提高7.(1)代数式x2-4x的最小值为-4. 所以4+m+n=0,即n=-(m+4). (20++b-+14=(2+b+)+子8 因为m是此“星辰方程”的一个根， 所以4m2-m2+n=0,即n=-3m2. 86)+14=(a+6)2+2(8-86+16)+14-12=a+ 所以-3m2=-(m+4). +6-4+2 整理，得3m2-m-4=0. 因为a+2≥0，子(6-4)≥0， 解得m=专m=-1 所以(a+b2+2(6-4)+2≥2 所以m的值为号或-1. 17.(1)-3,6. 所以当6=4a=-之=-2时，d+8+ab-6b+14 (2)当x<2时， 一4 初中数学沪科八年级(AH)第27~31期 根据x※2=3※x,得4-2x=3x-x2. 所以x,= 2m+2=m+1 2(m-1)=m-6=1 解得x=1,2=4(合去)： 当2≤x<3时， 一号=1+己因为方程的两个根 (2)由(1)知，=m+ 根据x※2=3※x,得2x-4=3x-x2. 都为正整数所以乙是正整数所以m-1=1或m-1:2 解得=1±五=五（舍： 2 2 解得m=2或m=3.所以m为2或3时，此方程的两个根都为 当x≥3时， 正整数 根据x※2=3※x,得2x-4=x2-3x 17.2.4因式分解法 解得x=1(舍去)，：2=4. 基础训练1.B;2.A:3.C:4.-7或1： 5.4或-1：6.2 综上所述，x的值为1或+，五或4 2 7.(1)x1=3,为=立 5 附加题①当x-2≥0时，即x≥2 原方程可变为x2-2(x-2)-4=0. (2)y1=-3,h=2 解得x=0,为=2. 3 (3)x1=为=-2 因为x≥2， 能力提高8.4x2-5x+1=0,即(4x-1)(x-1)=0.所 所以x=0舍去。 1 ②当x-2<0时，即x<2. 以4-1=0或x-1=0解得=本=1 原方程可变为x2-2(2-x)-4=0. 综合集训营 解得无=2，x2=-4 1.(1)x1=6,2=-10: 因为x<2, (2)x1=8,x2=2: 所以x=2舍去 (3)x=1+0 3 ,x=-1-0 3 所以原方程的解为1=2,2=-4 31期2版 (=子4=1 17.2一元二次方程的解法 2.(1)根据题意，得x(x+2）+1=4. 17.2.3公式法 整理，得x2+2x-3=0. 基础训练1.D:2.D;3.B;4.3±√3； 解得x1=1,为=-3. 5.3- (2)由题意，得1<2(2-a)+1<5. 4 解得0<a<2 6.(1)x=-5+页 =二5-顶 因为a是正整数， 4 4 所以a=1, 1 (2)x1=1,x=-3 所以方程为2x2+3x+1=0. (3=号4-26 解得x1=-1,西=-2 能力提高7.(1)根据题意，得m≠1 31期3版 因为a=m-1,b=-2m,c=m+1, 题号12345678 所以6-4ae=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4. 答案BBCDBACD 一5 初中数学沪科八年级(AH)第27~31期 二、9.(x+1)(x-3)；10.0:11.-3: 将x=2代人方程x2+3x+m-1=0,得4+6+m-1=0. 121-7 解得m=-9. 2 此时原方程为x2+3x-10=0. 三1a(10%22-22 2 解得1=2，x2=-5,符合题意 综上所述，m的值为1或-9 (2)=-2,为=2 5 17.(1)方程a2+bx+c=0(a≠0)的根是x= (3)x=2+ 2 2,南=2-E 2 -b±-4c,方程y+by+ac=0的根是y= 2a 14.(1)降次 -b±B-4ac (2)移项，得2(x-3)-(x-3)2=0. 2 提取公因式，得(x-3)[2-(x-3)]=0. 所以x=上.-b±公4e。上 2 a 所以x-3=0或5-x=0. 1 解得，=3，，=5 (2)根据题意，得方程30-3x+5=0的根与方程> 15.设x2+2x=n,则原方程可化为n2+4n-5=0. 3y+2=0的根之间的关系是x=六 整理，得(n-1)(n+5)=0. 解方程y2-3y+2=0,得y1=1,2=2 解得n=1或n=-5. 当n=-5时，x2+2x=-5无解，舍去. 所以名=06=5 所以x2+2x=1. 附加题 代数式-2x2+x+3存在最大值， 所以x3+3x2+x=x(2+2x+1)+x2=2x+x2=1. -2++3=-2x-+空 16.解方程x2-2x=0,得x1=0,x1=2. ①若x=0是两个方程相同的实数根 因为(x-)2≥0， 将x=0代人方程x2+3x+m-1=0,得m-1=0. 解得m=1 所以-2x-宁户≤0 此时原方程为x2+3x=0. 所以-2x-+≤ 解得x=0,=-3,符合题意 ②若x=2是两个方程相同的实数根 所以代数式-2+：+3有最大值货 ■本报四开四版■每期定价：L.5元■每周三出版■编辑部电话：0351-5271256■本报通联：山西省太原市小店区晋 阳街202号英语周报大厦数理报社编辑部■邮政编码：030006■市场部订报热线：0351-527126915536636887（微信同 号)■订阅：请与本报市场部联系或全国各地邮局（所）■邮政订阅热线：11185■可随时预订、补订和增订■本报向全 国各省（市）级教研员赠报■广告经营许可证号：1400004000110■广告部电话：0351-5271255■山西三联印业有限公司 (太原市杏花龄区后沟村)承印，如有印刷质量问题，请与本报市场部联系调换 一6