第31期 18.2 特殊的平行四边形 (菱形)-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（人教版 广东专版）

书 答案详解 　　 　　２０２４～２０２５学年　初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２９～３２期（２０２５年２月）　　 　　 ２９期２版 １８．１平行四边形 １８．１．１平行四边形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１．５． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ ＡＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ．因为△ＢＣＥ和△ＣＤＦ都是等边三角形， 所以ＣＤ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＢＥ，∠ＥＢＣ＝∠ＣＤＦ＝６０°．所以ＡＢ＝ ＤＦ，ＢＥ＝ＡＤ，∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＣ＝∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＦ，即∠ＡＢＥ＝ ∠ＦＤＡ．所以△ＡＢＥ≌△ＦＤＡ（ＳＡＳ）．所以ＡＥ＝ＡＦ． ５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∠Ｂ＝６０°，所以 ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｄ＝∠Ｂ＝６０°．所以∠ＢＡＤ＝１８０°－∠Ｂ＝１２０°． 因为ＡＥ⊥ ＢＣ，ＡＦ⊥ ＣＤ，所以 ∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤ＝９０°．所以 ∠ＢＡＥ＝９０°－∠Ｂ＝３０°，∠ＤＡＦ＝９０°－∠Ｄ＝３０°．所以 ∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＤ－∠ＢＡＥ－∠ＤＡＦ＝６０°． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＢＣ＝６，所以ＡＤ＝ ＢＣ＝６．由（１）知∠ＤＡＦ＝３０°．所以ＤＦ＝１２ＡＤ＝３．由勾股 定理，得ＡＦ＝ ＡＤ２－ＤＦ槡 ２ ＝ 槡３３． 能力提高　６．Ｂ． １８．１．２．１平行四边形的判定 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．是． ５．因为ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２＝２ａｃ＋２ｂｄ，所以（ａ－ｃ）２＋（ｂ－ ｄ）２ ＝０．所以ａ＝ｃ，ｂ＝ｄ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． ６．由对顶角相等，得∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ．在△ＡＯＥ和△ＣＯＤ 中， ∠ＥＡＯ＝∠ＤＣＯ， ＡＯ＝ＣＯ， ∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ { ， 所以△ＡＯＥ≌△ＣＯＤ（ＡＳＡ）．所以ＯＥ ＝ＯＤ．所以四边形ＡＥＣＤ是平行四边形． １８．１．２．２三角形的中位线 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．４． ５．因为Ｐ是ＢＤ的中点，Ｅ是ＡＢ的中点，Ｆ是ＣＤ的中点，所 以ＰＥ＝１２ＡＤ，ＰＦ＝ １ ２ＢＣ．因为ＡＤ＝ＢＣ，所以ＰＥ＝ＰＦ．所 以∠ＰＦＥ＝∠ＰＥＦ＝１８°． ６．因为 ＣＤ是 △ＡＢＣ的中线，所以 ＡＤ＝ＤＢ．因为 ＥＦ＝ ＡＥ，所以ＤＥ∥ＢＦ．又 ＣＦ∥ ＡＢ，所以四边形 ＤＢＦＣ是平行四 边形． ２９期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ 二、９．１４；　１０．１１８°；　１１．答案不惟一，如ＡＢ＝ＣＤ； １２．３０°；　１３．６；　１４．１０３或１０． 三、１５．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＯＡ＝ＯＣ， ＯＢ＝ＯＤ．因为ＡＥ＝ＣＦ，所以ＯＡ＋ＡＥ＝ＯＣ＋ＣＦ，即ＯＥ＝ ＯＦ．因为ＢＧ＝ＤＨ，所以ＯＢ－ＢＧ＝ＯＤ－ＤＨ，即ＯＧ＝ＯＨ．所 以四边形ＥＧＦＨ是平行四边形． １６．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ ＢＣ．所以∠ＡＥＢ＝∠ＤＡＥ．因为ＡＢ＝ＡＥ，所以∠Ｂ＝∠ＡＥＢ． 所以∠Ｂ＝∠ＤＡＥ．在△ＡＢＣ和△ＥＡＤ中， ＡＢ＝ＥＡ， ∠Ｂ＝∠ＤＡＥ， ＢＣ＝ＡＤ { ， 所 以△ＡＢＣ≌△ＥＡＤ（ＳＡＳ）． １７．（１）因为 ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，所以 ∠ＣＢＤ＝ ∠ＥＢＤ．因为ＥＤ∥ＢＣ，所以∠ＣＢＤ＝∠ＥＤＢ．所以∠ＥＢＤ＝ ∠ＥＤＢ．所以ＢＥ＝ＥＤ．因为ＢＥ＝ＣＦ，所以ＥＤ＝ＣＦ．又ＥＤ∥ ＦＣ，所以四边形ＥＦＣＤ是平行四边形． （２）因为 ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，∠ＡＢＣ＝６０°，所以 ∠ＡＢＤ＝ １２∠ＡＢＣ＝３０°．因为 ∠ＡＤＢ＝１００°，所以 ∠Ａ＝ １８０°－∠ＡＢＤ－∠ＡＤＢ＝５０°．因为四边形ＥＦＣＤ是平行四边 形，所以ＥＦ∥ＡＣ．所以∠ＡＥＦ＝１８０°－∠Ａ＝１３０°． １８．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ， ＡＢ∥ＣＤ．因为ＣＥ＝ＡＢ，所以ＣＥ＝ＣＤ．所以∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ ＝ １２（１８０°－∠ＤＣＥ）＝９０°－ １ ２∠ＤＣＥ．所以 ∠ＡＥＤ ＝ ∠ＣＤＥ＝９０°－１２∠                                                         ＤＣＥ． —１— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２９～３２期 （２）延长ＤＡ，ＦＥ交于点Ｍ，图略．因为点Ｅ是ＡＢ的中点， 所以ＡＥ＝ＢＥ．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ．所以 ∠Ｍ ＝∠ＥＦＢ＝４５°．由对顶角相等，得 ∠ＡＥＭ ＝ ∠ＦＥＢ．所以△ＡＥＭ≌△ＢＥＦ（ＡＡＳ）．所以ＭＥ＝ＦＥ．因为ＤＦ ⊥ＢＣ，所以∠ＤＦＢ＝９０°．所以∠ＤＦＥ＝∠ＤＦＢ－∠ＥＦＢ＝ ４５°．所以ＤＭ ＝ＤＦ．所以ＤＥ⊥ＥＦ． 附加题　１．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＡＢ＝４，所 以ＣＤ＝ＡＢ＝４，ＡＤ∥ＢＣ．因为∠ＡＣＢ＝３０°，所以∠ＤＡＣ＝ ∠ＡＣＢ＝３０°．根据折叠的性质，得ＡＥ＝ＡＤ，ＣＤ＝ＣＥ，∠ＡＣＤ ＝９０°．所以∠Ｄ＝９０°－∠ＤＡＣ＝６０°．所以△ＡＤＥ是等边三 角形．所以ＡＤ＝ＡＥ＝ＤＥ＝２ＣＤ＝８．所以△ＡＤＥ的周长为： ８×３＝２４． ２．（１）因为ＡＣ＝ＡＥ，ＢＣ＝ＢＥ，所以ＡＢ⊥ＣＥ，∠ＡＥＣ＝ ∠ＡＣＥ，∠ＢＥＣ＝∠ＢＣＥ． 所以 ∠ＡＥＣ＋∠ＢＥＣ＝∠ＡＣＥ＋∠ＢＣＥ，即 ∠ＡＥＢ＝ ∠ＡＣＢ． 因为∠ＡＥＢ＝∠ＣＡＤ，所以∠ＡＣＢ＝∠ＣＡＤ． 所以ＢＣ∥ＡＤ． 因为ＣＤ⊥ＣＥ，所以ＡＢ∥ＣＤ． 所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． （２）过点Ａ作ＡＧ⊥ＣＤ于点Ｇ，图略． 所以ＡＧ∥ＣＦ． 又ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ⊥ＣＥ，所以ＣＦ＝ＡＧ． 根据勾股定理，得ＡＣ２－ＣＧ２ ＝ＡＤ２－ＤＧ２，即４２－（３－ ＤＧ）２ ＝３２－ＤＧ２． 解得ＤＧ＝ １３． 所以ＣＦ＝ＡＧ＝ ＡＤ２－ＤＧ槡 ２ ＝ 槡４５３． 因为ＡＣ＝ＡＥ，ＡＢ⊥ＣＥ，所以ＣＥ＝２ＣＦ＝ 槡８５３． ３０期２版 １８．２特殊的平行四边形（矩形） １８．２．１．１矩形的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．１１０． ４．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ，∠Ｂ＝ ９０°．所以∠ＤＡＥ＝∠ＡＥＢ．因为ＤＦ⊥ＡＥ，所以∠ＡＦＤ＝９０° ＝∠Ｂ．又ＤＡ＝ＡＥ，所以△ＤＦＡ≌△ＡＢＥ．所以ＤＦ＝ＡＢ． （２）因为ＡＢ＝４，所以ＤＦ＝４．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以∠ＡＤＣ＝９０°．因为∠ＦＤＣ＝３０°，所以∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＣ－ ∠ＦＤＣ＝６０°．所以∠ＤＡＦ＝９０°－∠ＡＤＦ＝３０°．所以ＡＤ＝ ２ＤＦ＝８． 能力提高　５．槡４３． ６．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＢ∥ ＣＤ．所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＦＣＯ．由对顶角相等，得∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ．又ＡＥ＝ ＣＦ，所以△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ．所以ＯＥ＝ＯＦ． （２）连接ＯＢ，图略．因为△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ，所以ＯＡ＝ＯＣ， 即Ｏ为矩形ＡＢＣＤ对角线的交点．所以ＯＡ＝ＯＢ．所以∠ＢＡＣ ＝∠ＡＢＯ．因为ＢＥ＝ＢＦ，ＯＥ＝ＯＦ，所以ＢＯ⊥ＥＦ．在Ｒｔ△ＢＥＯ 中，∠ＢＥＦ＋∠ＡＢＯ ＝９０°．因为 ∠ＢＥＦ ＝２∠ＢＡＣ，所以 ２∠ＢＡＣ＋∠ＢＡＣ＝９０°．所以∠ＢＡＣ＝３０°．因为四边形ＡＢＣＤ 是矩形，所以∠ＡＢＣ＝９０°．因为ＢＣ＝２，所以ＡＣ＝２ＢＣ＝４． 根据勾股定理，得ＡＢ＝ ＡＣ２－ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２３． １８．２．１．２直角三角形斜边上的中线 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．１３２． ５．连接ＣＥ，图略． （１）因为ＣＤ＝ＣＢ，Ｅ为ＢＤ的中点，所以ＣＥ⊥ＢＤ． 所以∠ＡＥＣ＝９０°． 因为Ｆ为ＡＣ的中点，所以ＥＦ＝ １２ＡＣ＝１． （２）因为∠ＢＡＣ＝４５°，所以∠ＡＣＥ＝９０°－∠ＢＡＣ＝４５°． 所以ＡＥ＝ＣＥ．因为Ｆ为ＡＣ的中点，所以ＥＦ垂直平分ＡＣ．所以 ＡＭ ＝ＣＭ．所以ＢＣ＝ＣＤ＝ＣＭ＋ＤＭ ＝ＡＭ＋ＤＭ． １８．２．１．３矩形的判定 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ； ３．答案不惟一，如ＤＥ＝ＦＧ；　４．１３． ５．因为ＢＥ∥ＤＦ，所以∠ＤＦＣ＝∠ＡＥＢ． 所以１８０°－∠ＤＦＣ＝１８０°－∠ＡＥＢ，即∠ＤＦＡ＝∠ＢＥＣ． 又ＤＦ＝ＢＥ，ＡＦ＝ＣＥ，所以△ＡＦＤ≌△ＣＥＢ． 所以∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ，ＡＤ＝ＣＢ． 所以ＡＤ∥ＢＣ． 所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． 又∠ＢＡＤ＝９０°，所以四边形ＡＢＣＤ是矩形． 能力提高　６．４． ７．（１）因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠Ｄ＋∠Ｃ＝１８０°．因为∠Ａ＝ ∠Ｄ＝９０°，所以∠Ｃ＝∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°．所以四边形ＡＢＣＤ为 矩形． （２）根据折叠的性质，得∠ＢＧＥ＝∠Ａ＝９０°，ＢＧ＝ＡＢ＝ ６，ＡＥ＝ＧＥ．所以∠ＥＧＦ＝１８０°－∠ＢＧＥ＝９０°．因为Ｅ是ＡＤ 的中点，所以 ＡＥ＝ＤＥ．所以 ＤＥ＝ＧＥ．又 ＥＦ＝ＥＦ，所以 Ｒｔ△ＤＥＦ≌Ｒｔ△ＧＥＦ（ＨＬ）．所以ＤＦ＝ＧＦ．所以ＢＦ＝ＢＧ＋ＧＦ ＝６＋ＤＦ．因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＣＤ＝ＡＢ＝６．在 Ｒｔ△ＢＣＥ中，根据勾股定理，得ＢＣ２＋ＣＦ２ ＝ＢＦ２，即８２＋（６－ ＤＦ）２ ＝（６＋ＤＦ）２．解得ＤＦ＝ ８３                                                                      ． —２— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２９～３２期 ３０期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ 二、９．３５°；　１０．４５；　１１．６；　１２．４８；　１３．７２； １４．槡５２或 槡４５． 三、１５．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＢＣ＝ＡＤ＝ ８．因为ＡＢ＝６，ＡＣ＝１０，所以ＡＣ２ ＝ＡＢ２＋ＢＣ２．所以∠Ｂ＝ ９０°．所以平行四边形ＡＢＣＤ是矩形． １６．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＡＤ∥ＢＣ．所以∠Ｆ ＝∠ＢＣＥ．因为 Ｅ是 ＡＢ的中点，所以 ＡＥ＝ＥＢ．又 ∠ＡＥＦ＝ ∠ＢＥＣ，所以△ＡＥＦ≌△ＢＥＣ（ＡＡＳ）． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ｄ＝９０°．又∠Ｆ＝ ３０°，所以ＣＦ＝２ＣＤ＝８． １７．因为矩形 ＡＢＣＤ≌ 矩形 ＡＥＦＧ，所以 ＡＢ＝ＡＥ＝１， ∠ＤＡＢ＝∠ＦＥＡ＝９０°，ＡＤ＝ＢＣ＝２．所以∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ， ∠ＡＢＥ＋∠ＡＤＢ＝９０°，∠ＡＥＢ＋∠ＤＥＦ＝１８０°－∠ＦＥＡ＝ ９０°．所以∠ＤＥＦ＝∠ＡＤＢ．所以ＥＨ＝ＤＨ．在Ｒｔ△ＡＥＨ中，根 据勾股定理，得ＥＨ２＋ＡＥ２＝ＡＨ２，即（２－ＡＨ）２＋１２＝ＡＨ２．解 得ＡＨ＝ ５４． １８．（１）因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，所以ＡＤ ⊥ ＢＣ，∠ＣＡＤ ＝ １２∠ＢＡＣ．所以 ∠ＡＤＣ＝９０°．因为 ＡＮ为 △ＡＢＣ外角∠ＣＡＭ的平分线，所以 ∠ＣＡＮ＝ １２∠ＣＡＭ．所以 ∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＤ＋∠ＣＡＮ＝９０°．因为ＣＥ⊥ＡＮ，所以∠ＡＥＣ＝ ９０°．所以四边形ＡＤＣＥ为矩形． （２）四边形ＡＢＤＥ是平行四边形．证明如下： 由（１）知，四边形ＡＤＣＥ为矩形．所以ＡＥ＝ＣＤ，ＡＣ＝ＤＥ． 又ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＣＤ，所以ＡＢ＝ＤＥ，ＡＥ＝ＢＤ．所以四边形 ＡＢＤＥ是平行四边形． （３）ＤＦ∥ＡＢ，ＤＦ＝ １２ＡＢ． 附加题 １．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＥ∥ＢＣ．又 ＣＥ∥ＢＤ，所以四边形ＢＣＥＤ是平行四边形．所以ＣＥ＝ＢＤ．又 ＣＥ＝ＡＣ，所以ＡＣ＝ＢＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是矩形． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠ＢＡＤ＝９０°，ＢＣ＝ ＡＤ＝３． 根据勾股定理，得ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２ ＝５． 所以四边形ＢＣＥＤ的周长为：２（ＢＣ＋ＢＤ）＝１６． ２．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ａ＝∠ＡＤＣ＝ ∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝ＣＤ． 由折叠的性质，得 ＡＢ＝ＰＤ，∠Ａ＝∠Ｐ＝９０°，∠Ｂ＝ ∠ＰＤＦ＝９０°． 所以ＰＤ＝ＣＤ，∠ＰＤＦ＝∠ＡＤＣ，∠Ｐ＝∠Ｃ． 所以∠ＰＤＦ－∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＣ－∠ＡＤＦ，即 ∠ＰＤＥ＝ ∠ＣＤＦ． 所以△ＰＤＥ≌△ＣＤＦ（ＡＳＡ）． （２）过点Ｅ作ＥＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，图略． 所以∠ＥＧＦ＝∠ＥＧＢ＝９０°． 所以四边形ＡＢＧＥ和四边形ＥＧＣＤ都是矩形． 所以ＡＥ＝ＢＧ，ＤＥ＝ＣＧ，ＥＧ＝ＣＤ＝４． 在Ｒｔ△ＥＧＦ中，由勾股定理，得ＦＧ＝ ＥＦ２－ＥＧ槡 ２ ＝３． 由（１）得，△ＰＤＥ≌△ＣＤＦ． 所以ＰＥ＝ＣＦ，ＤＥ＝ＤＦ＝ＣＧ＝ＣＦ＋３． 由折叠的性质，得ＡＥ＝ＰＥ． 在Ｒｔ△ＣＤＦ中，由勾股定理，得ＣＤ２＋ＣＦ２ ＝ＤＦ２，即ＣＦ２ ＋４２ ＝（ＣＦ＋３）２． 解得ＣＦ＝ ７６． 所以ＢＣ＝２ＣＦ＋３＝１６３． ３１期２版 １８．２特殊的平行四边形（菱形） １８．２．２．１菱形的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．２０；　４．８０°． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＤ．因 为ＤＥ⊥ＢＤ，所以ＤＥ∥ＡＣ．所以四边形ＡＣＤＥ是平行四边形． ６．因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＰ＝ ∠ＣＢＰ．又ＢＰ＝ＢＰ，所以△ＡＢＰ≌△ＣＢＰ（ＳＡＳ）．所以ＰＡ＝ＰＣ． ７．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＡＤ．所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ．因为 ＡＥ＝ＡＢ，所以 ＡＥ＝ＡＤ．所以 ∠Ｅ＝ ∠ＡＤＥ．所以２∠ＡＤＢ＋２∠ＡＤＥ＝１８０°．所以∠ＡＤＢ＋∠ＡＤＥ ＝９０°．所以△ＢＤＥ为直角三角形． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ． 因为ＡＥ＝ＡＢ，所以ＯＣ＝ＯＡ＝ １２ＤＥ＝ １ ２×６＝３（ｃｍ）． ８．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＣ⊥ ＢＤ，ＯＡ＝ １ ２ＡＣ＝４ｃｍ，ＯＢ＝ １ ２ＢＤ＝３ｃｍ．根据勾股定理，得 ＡＢ＝ ＯＡ２＋ＯＢ槡 ２ ＝５ｃｍ．因为Ｓ菱形ＡＢＣＤ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＤ＝ＡＢ·ＤＨ， 所以ＤＨ＝ＡＣ·ＢＤ２ＡＢ ＝ ２４ ５ｃｍ                                                                      ． —３— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２９～３２期 （２）因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＯＢ＝ＯＤ，∠ＤＡＨ＝ ２∠ＯＡＢ．所以ＯＨ＝ＯＢ．所以∠ＯＨＢ＝∠ＯＢＨ．所以∠ＢＯＨ＝ １８０°－２∠ＯＢＨ．因为∠ＯＡＢ＝９０°－∠ＯＢＨ，所以 ∠ＤＡＨ＝ １８０°－２∠ＯＢＨ．所以∠ＢＯＨ＝∠ＤＡＨ． １８．２．２．２菱形的判定 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ； ３．答案不惟一，如ＡＢ＝ＡＣ； ４．（２，槡２２）或（２，－ 槡２２）． ５．在 △ＡＢＣ和 △ＡＤＣ中， ＡＢ＝ＡＤ， ＡＣ＝ＡＣ， ＢＣ＝ＤＣ { ， 所以 △ＡＢＣ≌ △ＡＤＣ（ＳＳＳ）．所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ．因为 ＡＢ∥ ＣＤ，所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ．所以∠ＤＣＡ＝∠ＤＡＣ．所以 ＡＤ＝ＣＤ．所以 ＡＢ＝ＣＢ＝ＣＤ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． ６．（１）因为 ＡＥ∥ ＣＦ，所以 ∠ＥＡＤ＝∠ＦＣＤ，∠ＡＥＤ＝ ∠ＣＦＤ．因为ＢＡ＝ＢＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，所以ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＤ＝ ＣＤ．所以△ＡＥＤ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ）．所以ＡＥ＝ＣＦ．所以四边形 ＡＥＣＦ是平行四边形．又ＢＤ⊥ＡＣ，所以四边形ＡＥＣＦ是菱形． （２）因为四边形 ＡＥＣＦ是菱形，所以 ＤＥ＝ＤＦ＝２．在 Ｒｔ△ＡＤＢ中，由勾股定理，得 ＡＤ２＋ＢＤ２ ＝ＡＢ２，即４２＋（２＋ ＢＥ）２ ＝（４＋ＢＥ）２．解得ＢＥ＝１．所以ＢＦ＝５． 能力提高　７．（１）能．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ａ ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＤ∥ ＢＣ．所以 ∠ＰＢＥ＝∠ＡＤＢ＝３０°，ＢＣ⊥ ＣＤ．根据题意，得ＢＰ＝２ｔ，ＤＱ＝ｔ．因为ＰＥ⊥ＢＣ，所以ＰＥ∥ ＣＤ，∠ＢＥＰ＝９０°．所以 ＰＥ＝ １２ＢＰ＝ｔ＝ＤＱ．所以四边形 ＰＥＱＤ是平行四边形．因为ＡＢ＝４，所以ＢＤ＝８．所以ＤＰ＝８ －２ｔ．当ＤＰ＝ＰＥ时，四边形ＰＥＱＤ为菱形．所以８－２ｔ＝ｔ．解 得ｔ＝ ８３． （２）①当∠ＥＰＱ＝９０°时，四边形ＥＰＱＣ为矩形，所以ＰＥ ＝ＱＣ，所以ｔ＝４－ｔ，解得ｔ＝２；②当∠ＰＱＥ＝９０°时，由（１） 得，ＰＤ∥ＥＱ，所以 ∠ＤＰＱ＝∠ＰＱＥ＝９０°，在 Ｒｔ△ＤＰＱ中， ∠ＰＱＤ＝３０°，所以ＤＱ＝２ＤＰ，所以ｔ＝２（８－２ｔ），解得ｔ＝１６５； ③不存在∠ＰＥＱ＝９０°的情况． 综上所述，当ｔ＝２或１６５时，△ＰＱＥ为直角三角形． ３１期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ 二、９．６０°；　１０．答案不惟一，如ＡＢ＝ＣＤ；　１１．２４； １２． 槡２０３；　１３．１６；　１４．９０°或５６．２５°． 三、１５．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ＣＤ，∠ＡＢＤ＝ ∠ＣＢＤ．因为 ＥＦ∥ ＢＣ，所以四边形 ＢＣＦＥ是平行四边形， ∠ＥＭＢ＝∠ＣＢＤ．所以ＢＥ＝ＣＦ，∠ＡＢＤ＝∠ＥＭＢ．所以ＢＥ＝ ＥＭ．所以ＣＦ＝ＥＭ． １６．因为∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＥ，所以∠ＢＡＦ－∠ＥＡＦ＝∠ＤＡＥ －∠ＥＡＦ，即∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＦ．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边 形，所以∠Ｂ＝∠Ｄ．又ＢＥ＝ＤＦ，所以△ＡＢＥ≌△ＡＤＦ（ＡＡＳ）．所 以ＡＢ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． １７．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ ＯＤ，ＡＣ⊥ＢＤ．因为ＤＦ＝ＢＥ，所以ＯＢ－ＢＥ＝ＯＤ－ＤＦ，即ＯＥ ＝ＯＦ．所以四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．又ＡＣ⊥ＥＦ，所以四边 形ＡＥＣＦ是菱形． （２）△ＡＤＥ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ＝４，ＢＤ＝８，所以ＯＡ＝２，ＯＢ＝ＯＤ＝４．因为ＢＥ ＝３，所以ＯＥ＝ＯＢ－ＢＥ＝１，ＤＥ＝ＢＤ－ＢＥ＝５．因为ＡＣ⊥ ＢＤ，所以∠ＡＯＥ＝∠ＡＯＤ＝９０°．根据勾股定理，得ＡＥ２＝ＯＡ２ ＋ＯＥ２＝５，ＡＤ２＝ＯＡ２＋ＯＤ２＝２０．所以ＡＥ２＋ＡＤ２＝ＤＥ２．所 以△ＡＤＥ是直角三角形． １８．（１）连接ＡＣ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ．因为∠Ｂ＝６０°，所以∠ＢＣＤ＝１８０°－ ∠Ｂ＝１２０°，△ＡＢＣ是等边三角形．因为Ｅ是ＢＣ的中点，所以 ＡＥ⊥ＢＣ．所以∠ＡＥＣ＝９０°．因为∠ＡＥＦ＝６０°，所以∠ＦＥＣ＝ ∠ＡＥＣ－∠ＡＥＦ＝３０°．所以∠ＣＦＥ＝１８０°－∠ＦＥＣ－∠ＥＣＦ ＝３０°．所以∠ＦＥＣ＝∠ＣＦＥ．所以ＥＣ＝ＣＦ．因为ＣＥ＝１２ＢＣ， 所以ＣＦ＝ １２ＣＤ，即Ｆ是ＣＤ的中点． （２）连接ＡＣ，图略．因为△ＡＢＣ是等边三角形，所以ＡＢ＝ ＡＣ，∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°．所以∠ＡＣＦ＝∠ＢＣＤ－∠ＡＣＢ＝ ６０°＝∠Ｂ．因为∠ＥＡＦ＝６０°，所以∠ＢＡＣ－∠ＥＡＣ＝∠ＥＡＦ －∠ＥＡＣ，即∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＦ．所以△ＡＢＥ≌△ＡＣＦ（ＡＳＡ）．所 以ＡＥ＝ＡＦ．所以△ＡＥＦ是等边三角形．所以∠ＡＥＦ＝６０°．因 为∠ＡＥＦ＋∠ＦＥＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＥ，所以∠ＦＥＣ＝２０°． 附加题　１．（１）因为点Ｅ为ＡＢ的中点，所以ＡＢ＝２ＡＥ＝ ２ＢＥ． 因为ＡＢ＝２ＣＤ，所以ＣＤ＝ＡＥ． 又ＡＥ∥ＣＤ，所以四边形ＡＥＣＤ是平行四边形． 因为ＡＣ平分∠ＤＡＢ，所以∠ＤＡＣ＝∠ＥＡＣ． 因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＤＣＡ＝∠ＣＡＢ． 所以∠ＤＣＡ＝∠ＤＡＣ． 所以                                                                      ＡＤ＝ＣＤ． —４— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２９～３２期 所以四边形ＡＥＣＤ是菱形． （２）因为四边形ＡＥＣＤ是菱形，∠Ｄ＝１２０°，ＣＤ＝２，所以 ＡＢ＝４，ＣＥ＝ＡＥ＝２，∠ＡＥＣ＝∠Ｄ＝１２０°． 所以ＣＥ＝ＢＥ，∠ＣＥＢ＝１８０°－∠ＡＥＣ＝６０°． 所以∠ＡＣＥ＝∠ＣＡＥ＝３０°，△ＣＥＢ是等边三角形． 所以ＢＣ＝２，∠ＥＣＢ＝６０°． 所以∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＥ＋∠ＥＣＢ＝９０°． 根据勾股定理，得ＡＣ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２３． 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＣ＝ 槡２３． ２．（１）因为点Ｅ与点Ｆ关于直线 ＣＤ对称，所以ＦＤ＝ＥＤ， ＦＧ＝ＥＧ，∠ＥＤＧ＝∠ＦＤＧ． 因为ＥＧ∥ＡＦ，所以∠ＥＧＤ＝∠ＦＤＧ． 所以∠ＥＧＤ＝∠ＥＤＧ． 所以ＥＤ＝ＥＧ．所以ＦＤ＝ＥＤ＝ＦＧ＝ＥＧ． 所以四边形ＤＥＧＦ是菱形． （２）连接ＦＣ，ＥＣ，图略． 因为∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，所以∠Ａ＋∠Ｂ＝１８０°． 所以ＡＦ∥ＣＢ． 因为ＡＦ＝ＢＣ＝８，所以四边形ＡＢＣＦ是平行四边形． 所以ＣＦ＝ＡＢ＝１０． 根据轴对称的性质，得ＣＥ＝ＣＦ＝１０． 根据勾股定理，得ＢＥ＝ ＣＥ２－ＢＣ槡 ２ ＝６． 所以ＡＥ＝ＡＢ－ＢＥ＝４． 在Ｒｔ△ＡＤＥ中，根据勾股定理，得ＡＥ２＋ＡＤ２ ＝ＤＥ２，即４２ ＋（８－ＤＦ）２ ＝ＤＦ２． 解得ＤＦ＝５． 所以Ｓ四边形ＤＥＧＦ ＝ＤＦ·ＡＥ＝２０． ３２期２版 １８．２特殊的平行四边形（正方形） １８．２．３．１正方形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１１５． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＡＢ＝ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ， ∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°．因为ＡＥ＝ＡＦ，所以ＡＢ－ＡＥ＝ＡＤ－ＡＦ，即 ＢＥ＝ＤＦ．所以△ＢＣＥ≌△ＤＣＦ（ＳＡＳ）．所以ＣＥ＝ＣＦ．因为点 Ｍ是ＥＦ的中点，所以ＣＭ⊥ＥＦ． ５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是边长为１的正方形，所以ＡＤ＝ ＣＤ＝１，∠Ｄ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ．所以∠ＤＡＥ＝∠Ｆ．因为ＡＥ平 分∠ＣＡＤ，所以∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＥ．所以∠ＣＡＥ＝∠Ｆ．根据勾股 定理，得ＣＦ＝ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝槡２． （２）过点Ｅ作ＥＧ⊥ＡＣ于点Ｇ，图略．所以∠ＥＧＡ＝∠ＥＧＣ ＝９０°．因为 ＡＥ平分 ∠ＣＡＤ，所以 ＥＤ＝ＥＧ．在 Ｒｔ△ＡＤＥ和 Ｒｔ△ＡＧＥ中， ＡＥ＝ＡＥ， ＥＤ＝ＥＧ{ ，所以Ｒｔ△ＡＤＥ≌Ｒｔ△ＡＧＥ（ＨＬ）．所以 ＡＤ＝ＡＧ＝１．所以ＣＧ＝ＡＣ－ＡＧ＝槡２－１．因为四边形ＡＢＣＤ 是正方形，所以∠ＡＣＤ＝４５°．所以∠ＣＥＧ＝９０°－∠ＧＣＥ＝ ４５°．所以ＥＧ＝ＣＧ．根据勾股定理，得ＣＥ＝ ＥＧ２＋ＣＧ槡 ２ ＝２ －槡２． 能力提高　６．槡４２． ７．连接 ＢＦ，图略．根据题意，得 ∠ＥＡＦ＝９０°，∠ＡＦＥ＝ ∠ＡＥＦ＝４５°，ＡＦ＝ＡＥ＝４．根据勾股定理，得ＥＦ２＝ＡＦ２＋ＡＥ２ ＝３２．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＡＢ＝ＡＤ，∠ＤＡＢ＝ ９０°．所以 ∠ＥＡＦ－∠ＤＡＦ＝∠ＤＡＢ－∠ＤＡＦ，即 ∠ＥＡＤ＝ ∠ＦＡＢ．在△ＡＤＥ和△ＡＢＦ中， ＡＤ＝ＡＢ， ∠ＥＡＤ＝∠ＦＡＢ， ＡＥ＝ＡＦ { ， 所以△ＡＤＥ ≌△ＡＢＦ（ＳＡＳ）．所以ＤＥ＝ＢＦ＝２，∠ＡＥＤ＝∠ＡＦＢ＝４５°． 所以∠ＢＦＥ＝∠ＡＦＢ＋∠ＡＦＥ＝９０°．根据勾股定理，得ＢＥ＝ ＥＦ２＋ＢＦ槡 ２ ＝６． １８．２．３．２正方形的判定 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．不一定． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＯＡ＝１，所以 ＯＢ＝１．因为 ＡＢ＝槡２，所以ＯＡ ２＋ＯＢ２＝ＡＢ２．所以∠ＡＯＢ＝９０°．所以ＡＣ⊥ ＢＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠ＡＢＣ＝９０°．因为 ＢＥ ⊥ＥＦ，所以 ∠ＢＥＦ＝９０°．因为 ∠ＡＢＥ＋∠ＣＥＦ＝４５°，所以 ∠ＣＥＢ＋∠ＣＢＥ＝∠ＢＥＦ－∠ＣＥＦ＋∠ＡＢＣ－∠ＡＢＥ＝１８０° －（∠ＣＥＦ＋∠ＡＢＥ）＝１３５°．所以∠ＢＣＥ＝１８０°－（∠ＣＥＢ＋ ∠ＣＢＥ）＝４５°．所以∠ＢＡＣ＝９０°－∠ＢＣＥ＝４５°．所以ＡＢ＝ ＢＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ６．（１）因为ＢＤ平分∠ＡＢＣ，所以∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ．又ＡＢ ＝ＣＢ，ＢＤ＝ＢＤ，所以△ＡＢＤ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ）．所以∠ＡＤＢ＝ ∠ＣＤＢ． （２）因为ＰＭ∥ＣＤ，ＰＮ∥ＡＤ，所以四边形ＭＰＮＤ是平行 四边形，∠ＭＰＤ＝∠ＮＤＰ．所以∠ＭＰＤ＝∠ＭＤＰ．所以ＰＭ＝ ＤＭ．所以四边形 ＭＰＮＤ是菱形．所以当 ＭＮ＝ＰＤ时，四边形 ＭＰＮＤ是正方形． 能力提高　７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ．因为ＡＣ∥ＤＥ，所以四边形ＡＣＥＤ是平行四 边形．所以ＡＤ＝ＣＥ．所以ＢＣ＝ＣＥ． （２）因为四边形ＡＣＥＤ是平行四边形，所以ＣＤ＝２ＣＦ．因 为ＡＤ＝２ＣＦ，所以ＡＤ＝ＣＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形．因为 ＡＤ∥ＥＣ，所以∠ＤＡＦ＝∠ＦＥＢ．因为 ∠ＤＡＦ＝∠ＦＢＥ，                                                                      所以 —５— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２９～３２期 ∠ＦＢＥ＝∠ＦＥＢ．所以ＦＢ＝ＦＥ．因为ＢＣ＝ＣＥ，所以ＦＣ⊥ＢＥ． 所以∠ＢＣＦ＝９０°．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ３２期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ 二、９．１３５°；　１０．槡６；　１１．答案不惟一，如ＡＣ＝ＢＤ； １２． 槡１５２；　１３．８；　１４．槡６２或 槡４５＋ 槡２２． 三、１５．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ ＝４５°．因为 ＢＥ＝ＢＤ，所以 ∠ＢＤＥ＝∠Ｅ＝ １２（１８０°－ ∠ＥＢＤ）＝６７．５°．所以∠ＥＤＡ＝∠ＢＤＥ－∠ＡＤＢ＝２２．５°． １６．因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ｂ＝∠ＤＡＢ＝ ∠ＢＡＦ＋∠ＤＡＦ＝９０°．因为ＡＦ⊥ＤＥ，所以∠ＡＧＤ＝９０°．所以 ∠ＡＤＥ＋∠ＤＡＦ＝９０°．所以 ∠ＢＡＦ＝∠ＡＤＥ．在 △ＡＢＦ和 △ＤＡＥ中， ∠Ｂ＝∠ＥＡＤ， ∠ＢＡＦ＝∠ＡＤＥ， ＡＦ＝ＤＥ { ， 所以△ＡＢＦ≌△ＤＡＥ（ＡＡＳ）．所 以ＡＢ＝ＤＡ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． １７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＤＡＥ＝∠ＢＣＦ ＝４５°，ＡＤ＝ＢＣ．在△ＡＤＥ和△ＣＢＦ中， ＡＤ＝ＣＢ， ∠ＤＡＥ＝∠ＢＣＦ， ＡＥ＝ＣＦ { ， 所 以△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ（ＳＡＳ）． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＢＡＤ＝９０°，ＡＣ⊥ ＢＤ，ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ．因为 ＡＢ＝ＡＤ＝４，所以 ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２ ＝ 槡４２＝ＡＣ．所以ＯＡ＝ＯＢ＝ 槡２２．因为ＡＥ＝ ＣＦ＝槡２，所以ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝ＯＣ－ＣＦ＝ＯＦ＝槡２．所以四 边形ＢＥＤＦ为菱形，ＤＥ＝ ＯＤ２＋ＯＥ槡 ２ ＝槡１０．所以四边形 ＢＥＤＦ的周长为：４ＤＥ＝ 槡４ １０． １８．（１）因为四边形ＡＢＣＤ和 ＣＥＦＧ都是正方形，所以 ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝∠Ｂ＝∠ＡＤＣ＝９０°，ＧＣ＝ＣＥ＝ ＥＦ＝ＦＧ，∠Ｅ＝∠ＣＧＦ＝９０°．所以∠ＡＤＨ＝１８０°－∠ＡＤＣ＝ ９０°，∠ＨＧＦ＝１８０°－∠ＣＧＦ＝９０°．因为ＤＨ＝ＣＥ＝ＢＫ，所以 ＨＧ ＝ ＫＥ ＝ ＡＢ．所 以 △ＡＤＨ≌ △ＡＢＫ≌ △ＫＥＦ≌ △ＨＧＦ（ＳＡＳ）．所以ＡＨ＝ＡＫ＝ＫＦ＝ＨＦ，∠ＤＡＨ＝∠ＢＡＫ．所 以四边形ＡＫＦＨ是菱形，∠ＫＡＨ＝∠ＤＡＨ＋∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＫ＋ ∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＤ＝９０°．所以四边形ＡＫＦＨ是正方形． （２）连接ＡＥ，图略．因为四边形 ＡＫＦＨ的面积为１０，所以 ＫＦ＝槡１０．因为ＣＥ＝１，所以ＢＫ＝ＥＦ＝１．根据勾股定理，得 ＫＥ＝ ＫＦ２－ＥＦ槡 ２ ＝３．所以ＡＢ＝ＫＥ＝３，ＢＥ＝ＢＫ＋ＫＥ＝ ４．所以点Ａ，Ｅ之间的距离为：ＡＥ＝ ＡＢ２＋ＢＥ槡 ２ ＝５． 附加题　１．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＡＢＣ ＝９０°． 所以∠ＥＢＧ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝９０°． 所以平行四边形ＢＥＦＧ是矩形． （２）９０．理由如下： 延长ＧＰ交ＤＣ于点Ｈ，图略． 因为正方形ＡＢＣＤ和平行四边形ＢＥＦＧ，所以ＡＢ∥ＤＣ，ＢＥ ∥ＧＦ，ＤＣ＝ＢＣ． 所以ＤＣ∥ＧＦ． 所以∠ＨＤＰ＝∠ＧＦＰ，∠ＤＨＰ＝∠ＦＧＰ． 因为Ｐ是线段ＤＦ的中点，所以ＤＰ＝ＦＰ． 在△ＤＨＰ和△ＦＧＰ中， ∠ＤＨＰ＝∠ＦＧＰ， ∠ＨＤＰ＝∠ＧＦＰ， ＤＰ＝ＦＰ { ， 所以△ＤＨＰ≌ △ＦＧＰ（ＡＡＳ）． 所以ＨＰ＝ＧＰ，ＤＨ＝ＦＧ． 当∠ＣＰＧ＝９０°时，ＰＧ⊥ＰＣ． 所以ＣＨ＝ＣＧ． 所以ＤＣ－ＣＨ＝ＢＣ－ＣＧ，即ＤＨ＝ＢＧ． 所以ＢＧ＝ＦＧ． 所以平行四边形ＢＥＦＧ是菱形． 由（１）知四边形ＢＥＦＧ是矩形． 所以四边形ＢＥＦＧ是正方形． ２．（１）因为四边形ＡＢＣＤ为矩形，四边形ＥＦＧＨ为菱形，所 以∠Ｄ＝∠Ａ＝９０°，ＨＧ＝ＨＥ． 在Ｒｔ△ＡＨＥ和Ｒｔ△ＤＧＨ中， ＥＨ＝ＨＧ， ＡＨ＝ＤＧ{ ，所以Ｒｔ△ＡＨＥ≌ Ｒｔ△ＤＧＨ（ＨＬ）． 所以∠ＡＥＨ＝∠ＤＨＧ． 因为∠ＡＨＥ＋∠ＡＥＨ＝９０°，所以∠ＡＨＥ＋∠ＤＨＧ＝９０°． 所以∠ＥＨＧ＝９０°． 所以四边形ＥＦＧＨ为正方形． （２）因为ＡＤ＝６，ＤＣ＝７，ＤＧ＝ＡＨ＝２，所以ＤＨ＝ＡＤ－ ＡＨ＝４，ＣＧ＝ＤＣ－ＤＧ＝５． 由勾股定理，得ＨＧ＝ ＤＧ２＋ＤＨ槡 ２ ＝ 槡２５． 因为四边形 ＥＦＧＨ是正方形，所以 ＦＧ＝ 槡２５，∠ＥＦＧ＝ ９０°． 所以∠ＣＦＧ＝１８０°－∠ＥＦＧ＝９０°． 由勾股定理，得ＣＦ＝ ＣＧ２－ＦＧ槡 ２ ＝槡５                                                                      ． —６— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２９～３２期 书 三、１５．因为四 边形 ＡＢＣＤ是平行 四边形，所以 ＢＣ＝ ＡＤ＝８．因为 ＡＢ＝ ６，ＡＣ＝１０，所以ＡＣ２ ＝ＡＢ２＋ＢＣ２．所以 ∠Ｂ＝９０°．所以平 行四边形 ＡＢＣＤ是 矩形． １６．（１）因为四 边形 ＡＢＣＤ是矩形， 所以ＡＤ∥ＢＣ．所以 ∠Ｆ＝∠ＢＣＥ．因为 Ｅ是 ＡＢ的中点，所 以 ＡＥ ＝ ＥＢ． 又 ∠ＡＥＦ＝∠ＢＥＣ，所 以 △ＡＥＦ ≌ △ＢＥＣ（ＡＡＳ）． （２）因为四边 形ＡＢＣＤ是矩形，所 以 ∠Ｄ ＝９０°．又 ∠Ｆ＝３０°，所以 ＣＦ ＝２ＣＤ＝８． １７．ＡＨ＝５４． １８．（１）略． （２） 四 边 形 ＡＢＤＥ是平行四边 形．证明略． （３）ＤＦ∥ ＡＢ， ＤＦ＝１２ＡＢ． 附加题 １．（１）略． （２） 四 边 形 ＢＣＥＤ的周长为１６． ２．（１）略． （２）ＢＣ＝１６３． 书 将两种特殊的四边 形融合为一体考查平行 四边形及特殊平行四边 形的性质与判定，这是常 见的一种题型．解决这类 问题的关键在于熟练掌 握和运用各种特殊四边 形的性质和判定，下面举 例予以说明． 例１　 如图１，矩形 ＥＦＧＨ的顶点 Ｅ，Ｇ分别 在菱形 ＡＢＣＤ的边 ＡＤ， ＢＣ上，顶点 Ｆ，Ｈ在菱形 ＡＢＣＤ的对角线 ＢＤ上． 求证：ＢＧ＝ＤＥ． 证明：因为四边 形ＥＦＧＨ是矩形，所以 ＥＨ＝ＦＧ，ＥＨ∥ ＦＧ． 所 以 ∠ＧＦＨ ＝ ∠ＥＨＦ．所以１８０°－∠ＧＦＨ＝１８０°－∠ＥＨＦ，即 ∠ＢＦＧ＝∠ＤＨＥ．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所 以ＡＤ∥ＢＣ．所以∠ＧＢＦ＝∠ＥＤＨ．所以△ＢＧＦ ≌△ＤＥＨ（ＡＡＳ）．所以ＢＧ＝ＤＥ． 例２　如图２，四边形 ＡＢＣＤ为矩形，Ｇ是对角线 ＢＤ的中点．连接 ＧＣ并延 长至 Ｆ，使 ＣＦ ＝ＧＣ，以 ＤＣ，ＣＦ为 邻 边 作 菱 形 ＤＣＦＥ，连接ＣＥ． （１）判断四边形ＣＥＤＧ的形状； （２）连接ＤＦ，若ＢＣ＝槡３，求ＤＦ的长． 解：（１）因为四边形ＤＣＦＥ是菱形，所以ＣＦ ＝ＤＥ，ＣＦ∥ＤＥ．因为ＣＦ＝ＧＣ，所以ＤＥ＝ＧＣ． 所以四边形 ＣＥＤＧ是平行四边形．因为四边形 ＡＢＣＤ为矩形，Ｇ是对角线 ＢＤ的中点，所以 ＧＢ ＝ＧＣ＝ＧＤ．所以四边形ＣＥＤＧ是菱形． （２）因为四边形ＤＣＦＥ是菱形，所以ＣＤ＝ ＣＦ．因为ＣＦ＝ＧＣ，所以ＧＣ＝ＧＤ＝ＣＤ＝ＧＢ． 所以 △ＣＤＧ是等边三角形．所以 ∠ＣＧＤ ＝ ∠ＧＣＤ＝６０°．所以 １８０°－∠ＣＧＤ ＝１８０°－ ∠ＧＣＤ，即 ∠ＢＧＣ ＝ ∠ＦＣＤ．在 △ＢＧＣ和 △ＦＣＤ中， ＢＧ＝ＦＣ， ∠ＢＧＣ＝∠ＦＣＤ， ＣＧ＝ＤＣ { ， 所以 △ＢＧＣ≌ △ＦＣＤ．所以ＤＦ＝ＢＣ＝槡３． 书 ３０期２版 １８．２特殊的平行四边形（矩形） １８．２．１．１矩形的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．１１０． ４．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＤ ∥ＢＣ，∠Ｂ＝９０°．所以 ∠ＤＡＥ＝∠ＡＥＢ．因为 ＤＦ⊥ＡＥ，所以 ∠ＡＦＤ＝９０°＝∠Ｂ．又 ＤＡ＝ ＡＥ，所以△ＤＦＡ≌△ＡＢＥ．所以ＤＦ＝ＡＢ． （２）因为ＡＢ＝４，所以ＤＦ＝４．因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠ＡＤＣ＝９０°．因为 ∠ＦＤＣ ＝３０°，所以∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＣ－∠ＦＤＣ＝６０°．所 以∠ＤＡＦ＝９０°－∠ＡＤＦ＝３０°．所以ＡＤ＝２ＤＦ ＝８． 能力提高　５．槡４３． ６．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＢ ∥ＣＤ．所以∠ＢＡＣ＝∠ＦＣＯ．由对顶角相等，得 ∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ．又 ＡＥ＝ＣＦ，所以 △ＡＯＥ≌ △ＣＯＦ．所以ＯＥ＝ＯＦ． （２）ＡＢ＝ 槡２３． １８．２．１．２直角三角形斜边上的中线 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．１３２． ５．连接ＣＥ，图略． （１）因为ＣＤ＝ＣＢ，Ｅ为 ＢＤ的中点，所以 ＣＥ⊥ＢＤ．所以∠ＡＥＣ＝９０°．因为Ｆ为ＡＣ的中 点，所以ＥＦ＝１２ＡＣ＝１． （２）因为∠ＢＡＣ＝４５°，所以∠ＡＣＥ＝９０° －∠ＢＡＣ＝４５°．所以ＡＥ＝ＣＥ．因为Ｆ为ＡＣ的 中点，所以ＥＦ垂直平分ＡＣ．所以ＡＭ ＝ＣＭ．所 以ＢＣ＝ＣＤ＝ＣＭ＋ＤＭ ＝ＡＭ＋ＤＭ． １８．２．１．３矩形的判定 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ； ３．答案不惟一，如ＤＥ＝ＦＧ；　４．１３． ５．因为ＢＥ∥ＤＦ，所以∠ＤＦＣ＝∠ＡＥＢ．所 以１８０°－∠ＤＦＣ＝１８０°－∠ＡＥＢ，即∠ＤＦＡ＝ ∠ＢＥＣ．又 ＤＦ＝ＢＥ，ＡＦ＝ＣＥ，所以 △ＡＦＤ≌ △ＣＥＢ．所以 ∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ，ＡＤ＝ＣＢ．所以 ＡＤ∥ＢＣ．所以四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形．又 ∠ＢＡＤ＝９０°，所以四边形ＡＢＣＤ是矩形． 能力提高　６．４． ７．（１）因为 ＡＤ∥ ＢＣ，所以 ∠Ｄ＋∠Ｃ＝ １８０°．因为∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，所以∠Ｃ＝∠Ａ＝ ∠Ｄ＝９０°．所以四边形ＡＢＣＤ为矩形． （２）ＤＦ＝８３． ３０期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ 二、９．３５°；　１０．４５；　１１．６；　１２．４８； １３．７２；　１４．槡５２或 槡４５． 书 菱形以特殊的对称 美而受到人们的喜爱， 在生产、生活中都有着 广泛的应用．下面让我 们一起赏析它的应用 吧！ 例１　 如图１所示 的木制活动衣帽架是由 三个全等的菱形构成， 根据实际需要可以调节 ＡＥ间的距离．若ＡＥ间的 距离调节到６０ｃｍ，菱形 的边长 ＡＢ＝２０ｃｍ，则 ∠ＤＡＢ的度数是 （　　） Ａ．９０°　　Ｂ．１００° Ｃ．１２０° Ｄ．１５０° 解：连接 ＡＥ，如图 １．因为 ＡＥ间的距离调 节到６０ｃｍ，木制活动衣 帽架是由三个全等的菱 形构成，所以ＡＣ＝２０ｃｍ．因为四边形ＡＢＣＤ是 菱形，所以 ＡＢ ＝ ＢＣ ＝２０ｃｍ，∠ＤＡＢ ＝ ２∠ＢＡＣ．所以ＡＣ＝ＡＢ＝ＢＣ．所以△ＡＢＣ是等 边三角形．所以 ∠ＢＡＣ＝６０°．所以 ∠ＤＡＢ＝ １２０°．故选Ｃ． 例２　 蜜蜂采蜜时， 蜜源很远它就会跳起“８ 字舞”，告诉同伴蜜源的 方向．如图２，两个全等菱 形的边长为 １厘米，一只蜜蜂由 Ａ点开始按 ＡＢＣＤＥＦＣＧＡ的顺序沿菱形的边循环运动，飞行 ２２４厘米后停下，则这只蜜蜂停在 点． 解：因为两个全等菱形的边长为１厘米，所 以蜜蜂沿菱形的边飞行一个“８字舞”的路程 为：８×１＝８（厘米）．因为２２４÷８＝２８，所以这 只蜜蜂飞行２２４厘米后停下的点与飞行８厘米 后停下的点相同．由图可知，飞行８厘米后停在 点Ａ．所以这只蜜蜂飞行２２４厘米后停在Ａ点．故 填Ａ． 例３　学校植物园沿路护栏的纹饰部分设 计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图 案，纹饰长度就增加ｄｃｍ，如图３，已知每个菱形 图案的边长为 槡１０３ｃｍ，其中一个内角为６０°．若 ｄ＝２６，该纹饰要用２３１个菱形图案，则纹饰的 长度ｌ＝ ｃｍ． 解：连接ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，如图３．因为四边 形ＡＢＣＤ是菱形，∠ＡＢＣ＝６０°，所以ＢＤ＝２ＢＯ， ＡＣ⊥ＢＤ，∠ＡＢＯ＝３０°．所以∠ＡＯＢ＝９０°．因 为 ＡＢ＝ 槡１０３ｃｍ，所以ＡＯ＝ １ ２ＡＢ＝ 槡５３ｃｍ． 根据勾股定理，得ＢＯ＝ ＡＢ２－ＡＯ槡 ２ ＝１５ｃｍ． 所以ＢＤ＝３０ｃｍ．所以ｌ＝３０＋２６×（２３１－１） ＝６０１０（ｃｍ）．故填６０１０． 书 动点问题是以几何知识和图形为背景，渗 入运动变化观点的一类问题．解决动点问题，有 利于发展同学们的思维，对提高同学们的解题 能力也大有益处．这类问题通过仔细观察图形， 分析、归纳与探究图形的变化规律，抓住图形运 动变化中的不变量和变化规律求解．现将与菱 形有关的动点问题列举如下，供同学们参考． 例１　如图１，已知平行 四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ， ＢＣ＝１０，∠ＢＣＤ＝６０°，两 顶点 Ｂ，Ｄ分别在平面直角 坐标系的ｙ轴，ｘ轴的正半轴 上滑动，连接 ＯＡ，则线段 ＯＡ的长的最小值是 ． 解：过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＤ于点Ｅ，连接ＯＥ，如 图１．当点Ａ，Ｏ，Ｅ在一条直线上时，ＯＡ最短．因 为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＡＢ＝ＢＣ，所以 四边形ＡＢＣＤ是菱形．因为 ＢＣ＝１０，∠ＢＣＤ＝ ６０°，所以 ＡＢ＝ＡＤ＝１０，∠ＢＡＤ＝６０°．所以 △ＡＢＤ是等边三角形．所以ＢＤ＝１０．所以ＤＥ＝ １ ２ＢＤ＝５．根据勾股定理，得ＡＥ＝ ＡＤ ２－ＤＥ槡 ２ ＝ 槡５３．因为∠ＢＯＤ＝９０°，ＢＤ＝１０，所以 ＥＯ ＝５．所以线段ＯＡ的最小值为：ＡＥ－ＥＯ＝ 槡５３ －５． 故填 槡５３－５． 例２　如图２，点Ｐ，Ｑ分 别是菱形ＡＢＣＤ的边ＡＤ，ＢＣ 上的两个动点，若线段ＰＱ长 的最大值为 槡８５，最小值为 ８，则菱形ＡＢＣＤ的边长为 （　　） 槡Ａ．４６　　Ｂ．１０　　Ｃ．１２　　Ｄ．１６ 解：连接ＡＣ，过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＣ，交ＣＢ的延 长线于点Ｅ，如图２．因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形， 所以ＡＢ＝ＢＣ．因为线段ＰＱ长的最大值为 槡８５， 最小值为８，所以ＡＣ＝ 槡８５，ＡＥ＝８．根据勾股 定理，得ＣＥ＝ ＡＣ２－ＡＥ槡 ２ ＝１６．在 Ｒｔ△ＡＥＢ 中，ＡＢ２ ＝ＢＥ２＋ＡＥ２，即 ＢＣ２ ＝（１６－ＢＣ）２＋ ６４．解得ＢＣ＝１０． 故选Ｂ． 书 辅助线是在几何学中用来帮助解答疑难几 何图形问题，通过添加适当的辅助线，可以将条 件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以 便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的． 例 １　 如图 １，在菱形 ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ＝８０°，ＡＢ的 垂直平分线交对角线 ＡＣ于点 Ｆ，垂足为 Ｅ，连接 ＤＦ，则 ∠ＤＦＥ＝ ． 解：连接ＢＦ，如图１．因为四边形ＡＢＣＤ是菱 形，∠ＢＡＤ ＝８０°，所以 ∠ＢＡＣ ＝∠ＤＡＣ ＝ １ ２∠ＢＡＤ＝４０°，ＡＢ＝ＡＤ．因为ＥＦ是线段ＡＢ的 垂直平分线，所以ＡＦ＝ＢＦ，∠ＡＥＦ＝９０°．所以 ∠ＡＢＦ ＝∠ＢＡＦ ＝４０°，∠ＡＦＥ ＝５０°．所以 ∠ＡＦＢ＝１８０°－∠ＢＡＦ－∠ＡＢＦ ＝１００°．在 △ＡＤＦ和 △ＡＢＦ中， ＡＤ＝ＡＢ， ∠ＤＡＦ＝∠ＢＡＦ， ＡＦ＝ＡＦ { ， 所以 △ＡＤＦ≌△ＡＢＦ（ＳＡＳ）．所以∠ＡＦＤ＝∠ＡＦＢ＝ １００°．所以∠ＤＦＥ＝∠ＡＦＤ＋∠ＡＦＥ＝１５０°．故 填１５０°． 例２　 如图２，在菱形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＤＣ＝１２０°，点 Ｅ关于∠Ａ的平分线的对称 点为Ｆ，点Ｆ关于∠Ｂ的平 分线的对称点为 Ｇ，连接 ＥＧ．若 ＡＥ＝１，ＡＢ＝４，则 ＥＧ＝ ． 解：连接ＦＧ，过点Ｂ作ＢＨ⊥ＦＧ于点Ｈ，如 图２．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，∠ＡＤＣ＝１２０°， 所以ＡＢ∥ＣＤ，∠ＡＢＣ＝１２０°．所以∠Ａ＝１８０° －∠ＡＤＣ＝６０°．因为点Ｅ关于∠Ａ的平分线的 对称点为Ｆ，点Ｆ关于∠Ｂ的平分线的对称点为 Ｇ，所以ＡＥ＝ＡＦ＝１，ＢＦ＝ＢＧ．所以△ＡＥＦ是 等边三角形，ＦＨ ＝ＧＨ，∠ＧＦＢ ＝ １２（１８０°－ ∠ＦＢＧ）＝３０°．所以ＥＦ＝１，∠ＡＦＥ＝６０°．所以 ∠ＥＦＧ＝１８０°－∠ＡＦＥ－∠ＧＦＢ＝９０°．因为 ＢＦ＝ＡＢ－ＡＦ＝３，所以ＢＨ＝１２ＢＦ＝ ３ ２．根据 勾股定理，得 ＦＨ＝ ＢＦ２－ＢＨ槡 ２ ＝ 槡３３２．所以 ＦＧ＝２ＦＨ ＝ 槡３３．根据勾股定理，得 ＥＧ＝ ＥＦ２＋ＦＧ槡 ２ ＝ 槡２７．故填 槡２７． 书 一、菱形的四条边都相等 例１　 如图１，在菱形 ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是 ＡＤ， ＢＤ的中点，若ＥＦ＝５，则菱 形ＡＢＣＤ的周长为 （　　） Ａ．２０ Ｂ．３０ Ｃ．４０ Ｄ．５０ 分析：由三角形中位线定理可求得 ＡＢ＝ １０，由菱形的性质即可求解． 解：因为Ｅ，Ｆ分别是ＡＤ，ＢＤ的中点，ＥＦ＝ ５，所以ＡＢ＝２ＥＦ＝１０．因为四边形ＡＢＣＤ是菱 形，所以ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ＝１０．所以菱形 ＡＢＣＤ的周长为：ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＡＤ＝４０．故选 Ｃ． 二、菱形的对角线互相垂直 例 ２　 如图 ２，在菱形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相 交于点 Ｏ，Ｈ为 ＢＣ的中点， ＡＣ＝６，ＢＤ＝８，则线段 ＯＨ 的长为 （　　） Ａ．１２５ Ｂ． ５ ２ Ｃ．３ Ｄ．５ 分析：先根据菱形的性质得到ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＢ ＝１２ＢＤ＝４，ＯＣ＝ １ ２ＡＣ＝３，再利用勾股定理 计算出ＢＣ，最后根据直角三角形斜边上中线的 性质得到ＯＨ的长． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ为菱形，ＡＣ＝６，ＢＤ ＝８，所以 ＡＣ⊥ ＢＤ，ＯＣ＝ １２ＡＣ＝３，ＯＢ＝ １ ２ＢＤ＝４．所以∠ＢＯＣ＝９０°．根据勾股定理，得 ＢＣ＝ ＯＢ２＋ＯＣ槡 ２ ＝５．因为Ｈ为ＢＣ的中点， 所以ＯＨ＝１２ＢＣ＝ ５ ２．故选Ｂ． 三、菱形的每一条对角线平分一组对角 例 ３　 如图 ３，在菱形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＣＤ ＝４０°，则 ∠ＡＢＣ＝ °． 分析：由菱形的性质得 出 ＡＢ ∥ ＣＤ，∠ＢＣＤ ＝ ２∠ＡＣＤ＝８０°，则 ∠ＡＢＣ＋ ∠ＢＣＤ＝１８０°，即可得出答 案． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，∠ＡＣＤ ＝ ４０°，所以ＡＢ∥ＣＤ，∠ＢＣＤ＝２∠ＡＣＤ＝８０°．所 以∠ＡＢＣ＝１８０°－∠ＢＣＤ＝１００°．故填１００． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! " # $ % & ! ! " $ ' & ! ( ! " ! " $ & ! # ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " # $ % & ! ! ) " ! ( # % $ & !"$! ! " " ) ! # ( $ % & ! ! # % $ " ) ! & ! " " ! " # $ " %& '() " *& +,- !%&" ./0123456758 9:;<=!"#$%&'()*+, -.! >?@A=/0#$*123 4$56$789*:;! !"#$ % & !"#$!"#% &' !!"#( "$"% " ") !&*+,(- ' ( !" $ BCDEF ./01234567 892:;<=>?@4 $#'!('")!"*% 89AB;<=>?@4 $#'!('")!"#$ %&­®¯9°± %&­¯’²³´µ¶·¸°¹ klYmpUºS m»=¼,½ ƒ¾¿ÀÁºSÃf=!"#$%&'()(*6+8 rÄÅf=,-.-/0 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! * $ % " ' & ! + ! ! " , ! % $ - & ! " % " ! $ & ! ! . " / " $ & ' ! *$! ! # " ÆÇ ÈÉÊ # % $ " ! ) & ! " !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! " Ë Ì Í Î Ï 6×Ø % SÙÚÕÖ8 6ÛÜ -¤% SoÝ8 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．菱形具有而矩形不一定具有的性质是 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．对角线互相垂直 Ｂ．对边相等 Ｃ．对角相等 Ｄ．对角线相等 ２．在菱形ＡＢＣＤ中，与ＡＣ互相垂直的线段是 （　　） Ａ．ＢＣ Ｂ．ＢＡ Ｃ．ＢＤ Ｄ．ＣＤ ３．如图１，在菱形ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相 交于点Ｏ，点 Ｅ为 ＣＤ的中点．若 ＯＥ＝３，则菱形 ＡＢＣＤ的周长为 （　　） Ａ．６ Ｂ．１２ Ｃ．２４ Ｄ．４８ ４．如图２，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＢＣ ＝６，将线段ＡＢ水平向右平移ａ个单位长度得到线 段ＥＦ，若四边形ＥＣＤＦ为菱形时，ａ的值为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ５．如图３，在平面直角坐标系中， 菱形ＡＢＣＤ的顶点Ｄ在ｘ轴上，边ＢＣ 在ｙ轴上，若点Ａ的坐标为（１２，１３），则 点Ｃ的坐标是 （　　） Ａ．（０，－８）　　Ｂ．（０，－５） Ｃ．（－５，０）　　Ｄ．（０，－６） ６．下列是４位同学所画的菱形，依据所标数 据，不一定为菱形的是 （　　） ７．如图４，在菱形 ＡＢＣＤ中，∠ＤＡＢ＝６０°，ＢＥ ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＣＤ，垂足分别为Ｂ，Ｄ．若ＡＢ＝９ｃｍ， 则ＥＦ的长是 （　　） Ａ．２ｃｍ Ｂ．６ｃｍ 槡Ｃ．３３ｃｍ Ｄ．槡 ９３ ２ ｃｍ ８．如图５，在 △ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＤ为 ＡＣ边上的中线，过点Ｃ作ＣＥ⊥ＢＤ于点Ｅ，过点Ａ 作ＢＤ的平行线，交ＣＥ的延长线于点Ｆ，在ＡＦ的延 长线上截取ＦＧ＝ＢＤ，连接ＢＧ，ＤＦ．若ＣＦ＝６，ＡＣ ＝ＡＦ＋２，则四边形ＢＤＦＧ的周长为 （　　） Ａ．９．５ Ｂ．１０ Ｃ．１２．５ Ｄ．２０ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图 ６，四边形 ＡＢＣＤ是菱形，∠ＡＣＤ ＝ ３０°，则∠ＢＡＤ＝ ． １０．如图７，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ⊥ＢＤ，垂足 为Ｏ，ＡＢ∥ＣＤ，要使四边形ＡＢＣＤ为菱形，应添加 的条件是 （只需写出一个条件 即可）． １１．如图８，在菱形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ的 长度分别为１６和１２，且交于点Ｏ，则△ＡＯＢ的面积 为 ． １２．如图９，菱形花坛 ＡＢＣＤ的周长为８０ｍ， ∠ＡＢＣ＝１２０°，沿着菱形的对角线修建两条小路 ＡＣ和ＢＤ，则小路ＡＣ的长是 ｍ． １３．如图１０，ＣＤ是△ＡＢＣ的角平分线，过点Ｄ 分别作ＡＣ，ＢＣ的平行线，交ＢＣ于点Ｅ，交ＡＣ于点 Ｆ．若∠ＡＣＢ＝６０°，ＣＤ＝ 槡４３，则四边形ＣＥＤＦ的 周长是 ． １４．如图１１，在菱形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝１３５°， Ｐ是对角线ＡＣ上一动点，连接ＤＰ，将△ＣＤＰ沿边 ＣＤ翻折得到△ＣＤＭ，连接ＢＭ，当△ＢＣＭ是以ＢＣ 为腰的等腰三角形时，∠ＡＤＰ的度数为 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（８分）如图１２，在菱形 ＡＢＣＤ中，Ｅ为 ＡＢ 边上一点，过点Ｅ作ＥＦ∥ＢＣ，交ＢＤ于点Ｍ，交ＣＤ 于点Ｆ．求证：ＣＦ＝ＥＭ． １６．（１０分）如图１３，点Ｅ，Ｆ分别在ＡＢＣＤ的 边ＢＣ，ＣＤ上，ＢＥ＝ＤＦ，∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＥ．求证：四 边形ＡＢＣＤ是菱形． １７．（１２分）如图１４，菱形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ， ＢＤ交于点Ｏ，点Ｅ在线段ＯＢ上，点Ｆ在线段ＯＤ 上，且ＤＦ＝ＢＥ，连接ＡＥ，ＡＦ，ＣＥ，ＣＦ． （１）求证：四边形ＡＥＣＦ是菱形； （２）若 ＡＣ ＝４，ＢＤ ＝８，ＢＥ ＝３，试判断 △ＡＤＥ的形状，并说明理由． １８．（１４分）菱形ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝６０°，点Ｅ在 边ＢＣ上，点Ｆ在边ＣＤ上． （１）如图１５，若Ｅ是ＢＣ的中点，∠ＡＥＦ＝６０°， 求证：Ｆ是ＣＤ的中点； （２）如图１６，若∠ＥＡＦ＝６０°，∠ＢＡＥ＝２０°， 求∠ＦＥＣ的度数． （以下试题供各地根据实际情况选用） １．（８分）如图 １，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ ＣＤ，ＡＣ平分∠ＤＡＢ，ＡＢ＝２ＣＤ，Ｅ为ＡＢ的中点，连 接ＣＥ． （１）求证：四边形ＡＥＣＤ为菱形； （２）若∠Ｄ＝１２０°，ＣＤ＝２，求△ＡＢＣ的面积． ２．（１２分）如图２，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝ ∠Ｂ＝９０°，点Ｅ在边ＡＢ上，点Ｆ在ＡＤ的延长线 上，且点Ｅ与点Ｆ关于直线ＣＤ对称，过点Ｅ作ＥＧ ∥ＡＦ交ＣＤ于点Ｇ，连接ＦＧ，ＤＥ． （１）求证：四边形ＤＥＧＦ是菱形； （２）若 ＡＢ＝１０，ＡＦ ＝ＢＣ ＝８，求四边形 ＤＥＧＦ的面积                                                                                                                                                                       ． 书 １８．２特殊的平行四边形（菱形） １８．２．２．１菱形的性质 １．已知四边形 ＡＢＣＤ是菱形，其中 ＡＢ ＝ ４ｃｍ，则四边形ＡＢＣＤ的周长是 （　　） 　　　 　　　　 　　　　　 　　　Ａ．５ｃｍ Ｂ．８ｃｍ Ｃ．１２ｃｍ Ｄ．１６ｃｍ ２．如图１，菱形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ交于 点Ｏ，Ｍ是边ＡＢ的中点，点Ｐ在边ＢＣ上，且ＢＰ＝ ＢＭ，将点Ｍ平移到点Ｐ，则平移的距离为 （　　） Ａ．ＡＢ Ｂ．１２ＡＢ Ｃ．１２ＡＣ Ｄ． １ ２ＢＤ ３．如图２，已知菱形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ＝５， ＢＤ＝８，则菱形ＡＢＣＤ的面积为 ． ４．如图３，在菱形ＡＢＣＤ中， ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，ＡＢ的垂直 平分线 ＥＦ交 ＡＣ于点 Ｆ，连接 ＤＦ，若 ∠ＢＡＤ＝８０°，则 ∠ＤＦＯ 的度数为 ． ５．如图４，在菱形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相 交于点Ｏ，过点Ｄ作对角线ＢＤ的垂线交ＢＡ的延 长线于点Ｅ．求证：四边形ＡＣＤＥ是平行四边形． ６．如图５，点Ｐ是菱形ＡＢＣＤ的对角线ＢＤ上 一点，连接ＣＰ，ＡＰ．求证：ＰＡ＝ＰＣ． ７．如图６，在菱形ＡＢＣＤ中，延长ＢＡ到点Ｅ，使 得ＡＥ＝ＡＢ，连接ＤＥ． （１）求证：△ＢＤＥ为直角三角形； （２）若ＤＥ＝６ｃｍ，求ＯＣ的长． ８．如图７，四边形ＡＢＣＤ是菱形，ＡＣ，ＢＤ交于 点Ｏ，ＤＨ⊥ＡＢ于点Ｈ． （１）若对角线ＡＣ＝８ｃｍ，ＢＤ＝６ｃｍ，求ＤＨ 的长； （２）连接ＨＯ，求证：∠ＢＯＨ＝∠ＤＡＨ． １８．２．２．２菱形的判定 １．如图１，以 Ｏ为圆心，ＯＡ长 为半径画弧分别交ＯＭ，ＯＮ于Ａ，Ｂ 两点，再分别以Ａ，Ｂ为圆心，以ＯＡ 长为半径画弧，两弧交于点 Ｃ，连 接ＡＣ，ＢＣ，则四边形ＯＡＣＢ一定是 （　　） Ａ．平行四边形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．无法确定 ２．要判断一个四边形是否为菱形，可行的测 量方案是 （　　） Ａ．测量两组对边是否相等 Ｂ．测量对角线是否垂直 Ｃ．测量对角线是否互相平分 Ｄ．测量对角线交点到四条边的距离是否相 等 ３．如图２，在 △ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ ＢＣ于点 Ｄ，点 Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＣ边的中点，请你在△ＡＢＣ中添 加一个条件： ，使得四边形 ＡＥＤＦ是菱 形． ４．如图３，点 Ａ，Ｂ的坐标分别为（０，２），（２， ０），点Ｃ在ｙ轴上，点Ｄ为平面内一点，若四边形 ＡＣＤＢ恰好构成一个菱形，请写出点 Ｄ的坐标： ． ５．如图４，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，ＣＢ＝ ＣＤ，若ＡＢ∥ＣＤ，求证：四边形ＡＢＣＤ是菱形． ６．如图 ５，在 △ＡＢＣ中，ＢＡ＝ＢＣ，ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ交ＡＣ于点Ｄ，点Ｅ在线段ＢＤ上，点Ｆ在ＢＤ 的延长线上，连接ＡＥ，ＣＥ，ＡＦ，ＣＦ，且ＡＥ∥ＣＦ． （１）求证：四边形ＡＥＣＦ是菱形； （２）若ＢＦ＝ＢＡ，ＡＤ＝４，ＤＦ＝２，求 ＢＦ的 长． ７．如图６，矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，∠ＡＤＢ＝ ３０°，一动点Ｐ从Ｂ点出发沿对角线ＢＤ方向以每 秒２个单位长度的速度向点 Ｄ匀速运动，同时另 一动点Ｑ从Ｄ点出发沿ＤＣ方向以每秒１个单位 长度的速度向点Ｃ匀速运动，当其中一个点到达 终点时，另一个点也随之停止运动．设点Ｐ，Ｑ运动 的时间为ｔ秒（ｔ＞０）．过点Ｐ作ＰＥ⊥ＢＣ于点Ｅ， 连接ＥＱ，ＰＱ． （１）四边形ＰＥＱＤ能够成为菱形吗？如果能， 求出相应的ｔ值；如果不能，请说明理由． （２）当ｔ为何值时，△ＰＱＥ为直角三角形 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ？ ! !"#$% " !"#&' () !"*+,)- ./0123456 () !"78,)- 9/012345: ;<&=>?#$%&@@ABC ! ! ! 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