第29期 18.1 平行四边形-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（人教版 广东专版）

书 答案详解 　　 　　２０２４～２０２５学年　初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２９～３２期（２０２５年２月）　　 　　 ２９期２版 １８．１平行四边形 １８．１．１平行四边形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１．５． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ ＡＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ．因为△ＢＣＥ和△ＣＤＦ都是等边三角形， 所以ＣＤ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＢＥ，∠ＥＢＣ＝∠ＣＤＦ＝６０°．所以ＡＢ＝ ＤＦ，ＢＥ＝ＡＤ，∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＣ＝∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＦ，即∠ＡＢＥ＝ ∠ＦＤＡ．所以△ＡＢＥ≌△ＦＤＡ（ＳＡＳ）．所以ＡＥ＝ＡＦ． ５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∠Ｂ＝６０°，所以 ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｄ＝∠Ｂ＝６０°．所以∠ＢＡＤ＝１８０°－∠Ｂ＝１２０°． 因为ＡＥ⊥ ＢＣ，ＡＦ⊥ ＣＤ，所以 ∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤ＝９０°．所以 ∠ＢＡＥ＝９０°－∠Ｂ＝３０°，∠ＤＡＦ＝９０°－∠Ｄ＝３０°．所以 ∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＤ－∠ＢＡＥ－∠ＤＡＦ＝６０°． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＢＣ＝６，所以ＡＤ＝ ＢＣ＝６．由（１）知∠ＤＡＦ＝３０°．所以ＤＦ＝１２ＡＤ＝３．由勾股 定理，得ＡＦ＝ ＡＤ２－ＤＦ槡 ２ ＝ 槡３３． 能力提高　６．Ｂ． １８．１．２．１平行四边形的判定 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．是． ５．因为ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２＝２ａｃ＋２ｂｄ，所以（ａ－ｃ）２＋（ｂ－ ｄ）２ ＝０．所以ａ＝ｃ，ｂ＝ｄ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． ６．由对顶角相等，得∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ．在△ＡＯＥ和△ＣＯＤ 中， ∠ＥＡＯ＝∠ＤＣＯ， ＡＯ＝ＣＯ， ∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ { ， 所以△ＡＯＥ≌△ＣＯＤ（ＡＳＡ）．所以ＯＥ ＝ＯＤ．所以四边形ＡＥＣＤ是平行四边形． １８．１．２．２三角形的中位线 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．４． ５．因为Ｐ是ＢＤ的中点，Ｅ是ＡＢ的中点，Ｆ是ＣＤ的中点，所 以ＰＥ＝１２ＡＤ，ＰＦ＝ １ ２ＢＣ．因为ＡＤ＝ＢＣ，所以ＰＥ＝ＰＦ．所 以∠ＰＦＥ＝∠ＰＥＦ＝１８°． ６．因为 ＣＤ是 △ＡＢＣ的中线，所以 ＡＤ＝ＤＢ．因为 ＥＦ＝ ＡＥ，所以ＤＥ∥ＢＦ．又 ＣＦ∥ ＡＢ，所以四边形 ＤＢＦＣ是平行四 边形． ２９期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ 二、９．１４；　１０．１１８°；　１１．答案不惟一，如ＡＢ＝ＣＤ； １２．３０°；　１３．６；　１４．１０３或１０． 三、１５．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＯＡ＝ＯＣ， ＯＢ＝ＯＤ．因为ＡＥ＝ＣＦ，所以ＯＡ＋ＡＥ＝ＯＣ＋ＣＦ，即ＯＥ＝ ＯＦ．因为ＢＧ＝ＤＨ，所以ＯＢ－ＢＧ＝ＯＤ－ＤＨ，即ＯＧ＝ＯＨ．所 以四边形ＥＧＦＨ是平行四边形． １６．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ ＢＣ．所以∠ＡＥＢ＝∠ＤＡＥ．因为ＡＢ＝ＡＥ，所以∠Ｂ＝∠ＡＥＢ． 所以∠Ｂ＝∠ＤＡＥ．在△ＡＢＣ和△ＥＡＤ中， ＡＢ＝ＥＡ， ∠Ｂ＝∠ＤＡＥ， ＢＣ＝ＡＤ { ， 所 以△ＡＢＣ≌△ＥＡＤ（ＳＡＳ）． １７．（１）因为 ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，所以 ∠ＣＢＤ＝ ∠ＥＢＤ．因为ＥＤ∥ＢＣ，所以∠ＣＢＤ＝∠ＥＤＢ．所以∠ＥＢＤ＝ ∠ＥＤＢ．所以ＢＥ＝ＥＤ．因为ＢＥ＝ＣＦ，所以ＥＤ＝ＣＦ．又ＥＤ∥ ＦＣ，所以四边形ＥＦＣＤ是平行四边形． （２）因为 ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，∠ＡＢＣ＝６０°，所以 ∠ＡＢＤ＝ １２∠ＡＢＣ＝３０°．因为 ∠ＡＤＢ＝１００°，所以 ∠Ａ＝ １８０°－∠ＡＢＤ－∠ＡＤＢ＝５０°．因为四边形ＥＦＣＤ是平行四边 形，所以ＥＦ∥ＡＣ．所以∠ＡＥＦ＝１８０°－∠Ａ＝１３０°． １８．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ， ＡＢ∥ＣＤ．因为ＣＥ＝ＡＢ，所以ＣＥ＝ＣＤ．所以∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ ＝ １２（１８０°－∠ＤＣＥ）＝９０°－ １ ２∠ＤＣＥ．所以 ∠ＡＥＤ ＝ ∠ＣＤＥ＝９０°－１２∠                                                         ＤＣＥ． —１— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２９～３２期 （２）延长ＤＡ，ＦＥ交于点Ｍ，图略．因为点Ｅ是ＡＢ的中点， 所以ＡＥ＝ＢＥ．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ．所以 ∠Ｍ ＝∠ＥＦＢ＝４５°．由对顶角相等，得 ∠ＡＥＭ ＝ ∠ＦＥＢ．所以△ＡＥＭ≌△ＢＥＦ（ＡＡＳ）．所以ＭＥ＝ＦＥ．因为ＤＦ ⊥ＢＣ，所以∠ＤＦＢ＝９０°．所以∠ＤＦＥ＝∠ＤＦＢ－∠ＥＦＢ＝ ４５°．所以ＤＭ ＝ＤＦ．所以ＤＥ⊥ＥＦ． 附加题　１．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＡＢ＝４，所 以ＣＤ＝ＡＢ＝４，ＡＤ∥ＢＣ．因为∠ＡＣＢ＝３０°，所以∠ＤＡＣ＝ ∠ＡＣＢ＝３０°．根据折叠的性质，得ＡＥ＝ＡＤ，ＣＤ＝ＣＥ，∠ＡＣＤ ＝９０°．所以∠Ｄ＝９０°－∠ＤＡＣ＝６０°．所以△ＡＤＥ是等边三 角形．所以ＡＤ＝ＡＥ＝ＤＥ＝２ＣＤ＝８．所以△ＡＤＥ的周长为： ８×３＝２４． ２．（１）因为ＡＣ＝ＡＥ，ＢＣ＝ＢＥ，所以ＡＢ⊥ＣＥ，∠ＡＥＣ＝ ∠ＡＣＥ，∠ＢＥＣ＝∠ＢＣＥ． 所以 ∠ＡＥＣ＋∠ＢＥＣ＝∠ＡＣＥ＋∠ＢＣＥ，即 ∠ＡＥＢ＝ ∠ＡＣＢ． 因为∠ＡＥＢ＝∠ＣＡＤ，所以∠ＡＣＢ＝∠ＣＡＤ． 所以ＢＣ∥ＡＤ． 因为ＣＤ⊥ＣＥ，所以ＡＢ∥ＣＤ． 所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． （２）过点Ａ作ＡＧ⊥ＣＤ于点Ｇ，图略． 所以ＡＧ∥ＣＦ． 又ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ⊥ＣＥ，所以ＣＦ＝ＡＧ． 根据勾股定理，得ＡＣ２－ＣＧ２ ＝ＡＤ２－ＤＧ２，即４２－（３－ ＤＧ）２ ＝３２－ＤＧ２． 解得ＤＧ＝ １３． 所以ＣＦ＝ＡＧ＝ ＡＤ２－ＤＧ槡 ２ ＝ 槡４５３． 因为ＡＣ＝ＡＥ，ＡＢ⊥ＣＥ，所以ＣＥ＝２ＣＦ＝ 槡８５３． ３０期２版 １８．２特殊的平行四边形（矩形） １８．２．１．１矩形的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．１１０． ４．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ，∠Ｂ＝ ９０°．所以∠ＤＡＥ＝∠ＡＥＢ．因为ＤＦ⊥ＡＥ，所以∠ＡＦＤ＝９０° ＝∠Ｂ．又ＤＡ＝ＡＥ，所以△ＤＦＡ≌△ＡＢＥ．所以ＤＦ＝ＡＢ． （２）因为ＡＢ＝４，所以ＤＦ＝４．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以∠ＡＤＣ＝９０°．因为∠ＦＤＣ＝３０°，所以∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＣ－ ∠ＦＤＣ＝６０°．所以∠ＤＡＦ＝９０°－∠ＡＤＦ＝３０°．所以ＡＤ＝ ２ＤＦ＝８． 能力提高　５．槡４３． ６．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＢ∥ ＣＤ．所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＦＣＯ．由对顶角相等，得∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ．又ＡＥ＝ ＣＦ，所以△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ．所以ＯＥ＝ＯＦ． （２）连接ＯＢ，图略．因为△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ，所以ＯＡ＝ＯＣ， 即Ｏ为矩形ＡＢＣＤ对角线的交点．所以ＯＡ＝ＯＢ．所以∠ＢＡＣ ＝∠ＡＢＯ．因为ＢＥ＝ＢＦ，ＯＥ＝ＯＦ，所以ＢＯ⊥ＥＦ．在Ｒｔ△ＢＥＯ 中，∠ＢＥＦ＋∠ＡＢＯ ＝９０°．因为 ∠ＢＥＦ ＝２∠ＢＡＣ，所以 ２∠ＢＡＣ＋∠ＢＡＣ＝９０°．所以∠ＢＡＣ＝３０°．因为四边形ＡＢＣＤ 是矩形，所以∠ＡＢＣ＝９０°．因为ＢＣ＝２，所以ＡＣ＝２ＢＣ＝４． 根据勾股定理，得ＡＢ＝ ＡＣ２－ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２３． １８．２．１．２直角三角形斜边上的中线 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．１３２． ５．连接ＣＥ，图略． （１）因为ＣＤ＝ＣＢ，Ｅ为ＢＤ的中点，所以ＣＥ⊥ＢＤ． 所以∠ＡＥＣ＝９０°． 因为Ｆ为ＡＣ的中点，所以ＥＦ＝ １２ＡＣ＝１． （２）因为∠ＢＡＣ＝４５°，所以∠ＡＣＥ＝９０°－∠ＢＡＣ＝４５°． 所以ＡＥ＝ＣＥ．因为Ｆ为ＡＣ的中点，所以ＥＦ垂直平分ＡＣ．所以 ＡＭ ＝ＣＭ．所以ＢＣ＝ＣＤ＝ＣＭ＋ＤＭ ＝ＡＭ＋ＤＭ． １８．２．１．３矩形的判定 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ； ３．答案不惟一，如ＤＥ＝ＦＧ；　４．１３． ５．因为ＢＥ∥ＤＦ，所以∠ＤＦＣ＝∠ＡＥＢ． 所以１８０°－∠ＤＦＣ＝１８０°－∠ＡＥＢ，即∠ＤＦＡ＝∠ＢＥＣ． 又ＤＦ＝ＢＥ，ＡＦ＝ＣＥ，所以△ＡＦＤ≌△ＣＥＢ． 所以∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ，ＡＤ＝ＣＢ． 所以ＡＤ∥ＢＣ． 所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． 又∠ＢＡＤ＝９０°，所以四边形ＡＢＣＤ是矩形． 能力提高　６．４． ７．（１）因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠Ｄ＋∠Ｃ＝１８０°．因为∠Ａ＝ ∠Ｄ＝９０°，所以∠Ｃ＝∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°．所以四边形ＡＢＣＤ为 矩形． （２）根据折叠的性质，得∠ＢＧＥ＝∠Ａ＝９０°，ＢＧ＝ＡＢ＝ ６，ＡＥ＝ＧＥ．所以∠ＥＧＦ＝１８０°－∠ＢＧＥ＝９０°．因为Ｅ是ＡＤ 的中点，所以 ＡＥ＝ＤＥ．所以 ＤＥ＝ＧＥ．又 ＥＦ＝ＥＦ，所以 Ｒｔ△ＤＥＦ≌Ｒｔ△ＧＥＦ（ＨＬ）．所以ＤＦ＝ＧＦ．所以ＢＦ＝ＢＧ＋ＧＦ ＝６＋ＤＦ．因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＣＤ＝ＡＢ＝６．在 Ｒｔ△ＢＣＥ中，根据勾股定理，得ＢＣ２＋ＣＦ２ ＝ＢＦ２，即８２＋（６－ ＤＦ）２ ＝（６＋ＤＦ）２．解得ＤＦ＝ ８３                                                                      ． —２— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２９～３２期 ３０期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ 二、９．３５°；　１０．４５；　１１．６；　１２．４８；　１３．７２； １４．槡５２或 槡４５． 三、１５．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＢＣ＝ＡＤ＝ ８．因为ＡＢ＝６，ＡＣ＝１０，所以ＡＣ２ ＝ＡＢ２＋ＢＣ２．所以∠Ｂ＝ ９０°．所以平行四边形ＡＢＣＤ是矩形． １６．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＡＤ∥ＢＣ．所以∠Ｆ ＝∠ＢＣＥ．因为 Ｅ是 ＡＢ的中点，所以 ＡＥ＝ＥＢ．又 ∠ＡＥＦ＝ ∠ＢＥＣ，所以△ＡＥＦ≌△ＢＥＣ（ＡＡＳ）． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ｄ＝９０°．又∠Ｆ＝ ３０°，所以ＣＦ＝２ＣＤ＝８． １７．因为矩形 ＡＢＣＤ≌ 矩形 ＡＥＦＧ，所以 ＡＢ＝ＡＥ＝１， ∠ＤＡＢ＝∠ＦＥＡ＝９０°，ＡＤ＝ＢＣ＝２．所以∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ， ∠ＡＢＥ＋∠ＡＤＢ＝９０°，∠ＡＥＢ＋∠ＤＥＦ＝１８０°－∠ＦＥＡ＝ ９０°．所以∠ＤＥＦ＝∠ＡＤＢ．所以ＥＨ＝ＤＨ．在Ｒｔ△ＡＥＨ中，根 据勾股定理，得ＥＨ２＋ＡＥ２＝ＡＨ２，即（２－ＡＨ）２＋１２＝ＡＨ２．解 得ＡＨ＝ ５４． １８．（１）因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，所以ＡＤ ⊥ ＢＣ，∠ＣＡＤ ＝ １２∠ＢＡＣ．所以 ∠ＡＤＣ＝９０°．因为 ＡＮ为 △ＡＢＣ外角∠ＣＡＭ的平分线，所以 ∠ＣＡＮ＝ １２∠ＣＡＭ．所以 ∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＤ＋∠ＣＡＮ＝９０°．因为ＣＥ⊥ＡＮ，所以∠ＡＥＣ＝ ９０°．所以四边形ＡＤＣＥ为矩形． （２）四边形ＡＢＤＥ是平行四边形．证明如下： 由（１）知，四边形ＡＤＣＥ为矩形．所以ＡＥ＝ＣＤ，ＡＣ＝ＤＥ． 又ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＣＤ，所以ＡＢ＝ＤＥ，ＡＥ＝ＢＤ．所以四边形 ＡＢＤＥ是平行四边形． （３）ＤＦ∥ＡＢ，ＤＦ＝ １２ＡＢ． 附加题 １．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＥ∥ＢＣ．又 ＣＥ∥ＢＤ，所以四边形ＢＣＥＤ是平行四边形．所以ＣＥ＝ＢＤ．又 ＣＥ＝ＡＣ，所以ＡＣ＝ＢＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是矩形． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠ＢＡＤ＝９０°，ＢＣ＝ ＡＤ＝３． 根据勾股定理，得ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２ ＝５． 所以四边形ＢＣＥＤ的周长为：２（ＢＣ＋ＢＤ）＝１６． ２．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ａ＝∠ＡＤＣ＝ ∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝ＣＤ． 由折叠的性质，得 ＡＢ＝ＰＤ，∠Ａ＝∠Ｐ＝９０°，∠Ｂ＝ ∠ＰＤＦ＝９０°． 所以ＰＤ＝ＣＤ，∠ＰＤＦ＝∠ＡＤＣ，∠Ｐ＝∠Ｃ． 所以∠ＰＤＦ－∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＣ－∠ＡＤＦ，即 ∠ＰＤＥ＝ ∠ＣＤＦ． 所以△ＰＤＥ≌△ＣＤＦ（ＡＳＡ）． （２）过点Ｅ作ＥＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，图略． 所以∠ＥＧＦ＝∠ＥＧＢ＝９０°． 所以四边形ＡＢＧＥ和四边形ＥＧＣＤ都是矩形． 所以ＡＥ＝ＢＧ，ＤＥ＝ＣＧ，ＥＧ＝ＣＤ＝４． 在Ｒｔ△ＥＧＦ中，由勾股定理，得ＦＧ＝ ＥＦ２－ＥＧ槡 ２ ＝３． 由（１）得，△ＰＤＥ≌△ＣＤＦ． 所以ＰＥ＝ＣＦ，ＤＥ＝ＤＦ＝ＣＧ＝ＣＦ＋３． 由折叠的性质，得ＡＥ＝ＰＥ． 在Ｒｔ△ＣＤＦ中，由勾股定理，得ＣＤ２＋ＣＦ２ ＝ＤＦ２，即ＣＦ２ ＋４２ ＝（ＣＦ＋３）２． 解得ＣＦ＝ ７６． 所以ＢＣ＝２ＣＦ＋３＝１６３． ３１期２版 １８．２特殊的平行四边形（菱形） １８．２．２．１菱形的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．２０；　４．８０°． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＤ．因 为ＤＥ⊥ＢＤ，所以ＤＥ∥ＡＣ．所以四边形ＡＣＤＥ是平行四边形． ６．因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＰ＝ ∠ＣＢＰ．又ＢＰ＝ＢＰ，所以△ＡＢＰ≌△ＣＢＰ（ＳＡＳ）．所以ＰＡ＝ＰＣ． ７．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＡＤ．所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ．因为 ＡＥ＝ＡＢ，所以 ＡＥ＝ＡＤ．所以 ∠Ｅ＝ ∠ＡＤＥ．所以２∠ＡＤＢ＋２∠ＡＤＥ＝１８０°．所以∠ＡＤＢ＋∠ＡＤＥ ＝９０°．所以△ＢＤＥ为直角三角形． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ． 因为ＡＥ＝ＡＢ，所以ＯＣ＝ＯＡ＝ １２ＤＥ＝ １ ２×６＝３（ｃｍ）． ８．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＣ⊥ ＢＤ，ＯＡ＝ １ ２ＡＣ＝４ｃｍ，ＯＢ＝ １ ２ＢＤ＝３ｃｍ．根据勾股定理，得 ＡＢ＝ ＯＡ２＋ＯＢ槡 ２ ＝５ｃｍ．因为Ｓ菱形ＡＢＣＤ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＤ＝ＡＢ·ＤＨ， 所以ＤＨ＝ＡＣ·ＢＤ２ＡＢ ＝ ２４ ５ｃｍ                                                                      ． —３— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２９～３２期 （２）因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＯＢ＝ＯＤ，∠ＤＡＨ＝ ２∠ＯＡＢ．所以ＯＨ＝ＯＢ．所以∠ＯＨＢ＝∠ＯＢＨ．所以∠ＢＯＨ＝ １８０°－２∠ＯＢＨ．因为∠ＯＡＢ＝９０°－∠ＯＢＨ，所以 ∠ＤＡＨ＝ １８０°－２∠ＯＢＨ．所以∠ＢＯＨ＝∠ＤＡＨ． １８．２．２．２菱形的判定 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ； ３．答案不惟一，如ＡＢ＝ＡＣ； ４．（２，槡２２）或（２，－ 槡２２）． ５．在 △ＡＢＣ和 △ＡＤＣ中， ＡＢ＝ＡＤ， ＡＣ＝ＡＣ， ＢＣ＝ＤＣ { ， 所以 △ＡＢＣ≌ △ＡＤＣ（ＳＳＳ）．所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ．因为 ＡＢ∥ ＣＤ，所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ．所以∠ＤＣＡ＝∠ＤＡＣ．所以 ＡＤ＝ＣＤ．所以 ＡＢ＝ＣＢ＝ＣＤ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． ６．（１）因为 ＡＥ∥ ＣＦ，所以 ∠ＥＡＤ＝∠ＦＣＤ，∠ＡＥＤ＝ ∠ＣＦＤ．因为ＢＡ＝ＢＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，所以ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＤ＝ ＣＤ．所以△ＡＥＤ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ）．所以ＡＥ＝ＣＦ．所以四边形 ＡＥＣＦ是平行四边形．又ＢＤ⊥ＡＣ，所以四边形ＡＥＣＦ是菱形． （２）因为四边形 ＡＥＣＦ是菱形，所以 ＤＥ＝ＤＦ＝２．在 Ｒｔ△ＡＤＢ中，由勾股定理，得 ＡＤ２＋ＢＤ２ ＝ＡＢ２，即４２＋（２＋ ＢＥ）２ ＝（４＋ＢＥ）２．解得ＢＥ＝１．所以ＢＦ＝５． 能力提高　７．（１）能．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ａ ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＤ∥ ＢＣ．所以 ∠ＰＢＥ＝∠ＡＤＢ＝３０°，ＢＣ⊥ ＣＤ．根据题意，得ＢＰ＝２ｔ，ＤＱ＝ｔ．因为ＰＥ⊥ＢＣ，所以ＰＥ∥ ＣＤ，∠ＢＥＰ＝９０°．所以 ＰＥ＝ １２ＢＰ＝ｔ＝ＤＱ．所以四边形 ＰＥＱＤ是平行四边形．因为ＡＢ＝４，所以ＢＤ＝８．所以ＤＰ＝８ －２ｔ．当ＤＰ＝ＰＥ时，四边形ＰＥＱＤ为菱形．所以８－２ｔ＝ｔ．解 得ｔ＝ ８３． （２）①当∠ＥＰＱ＝９０°时，四边形ＥＰＱＣ为矩形，所以ＰＥ ＝ＱＣ，所以ｔ＝４－ｔ，解得ｔ＝２；②当∠ＰＱＥ＝９０°时，由（１） 得，ＰＤ∥ＥＱ，所以 ∠ＤＰＱ＝∠ＰＱＥ＝９０°，在 Ｒｔ△ＤＰＱ中， ∠ＰＱＤ＝３０°，所以ＤＱ＝２ＤＰ，所以ｔ＝２（８－２ｔ），解得ｔ＝１６５； ③不存在∠ＰＥＱ＝９０°的情况． 综上所述，当ｔ＝２或１６５时，△ＰＱＥ为直角三角形． ３１期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ 二、９．６０°；　１０．答案不惟一，如ＡＢ＝ＣＤ；　１１．２４； １２． 槡２０３；　１３．１６；　１４．９０°或５６．２５°． 三、１５．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ＣＤ，∠ＡＢＤ＝ ∠ＣＢＤ．因为 ＥＦ∥ ＢＣ，所以四边形 ＢＣＦＥ是平行四边形， ∠ＥＭＢ＝∠ＣＢＤ．所以ＢＥ＝ＣＦ，∠ＡＢＤ＝∠ＥＭＢ．所以ＢＥ＝ ＥＭ．所以ＣＦ＝ＥＭ． １６．因为∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＥ，所以∠ＢＡＦ－∠ＥＡＦ＝∠ＤＡＥ －∠ＥＡＦ，即∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＦ．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边 形，所以∠Ｂ＝∠Ｄ．又ＢＥ＝ＤＦ，所以△ＡＢＥ≌△ＡＤＦ（ＡＡＳ）．所 以ＡＢ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． １７．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ ＯＤ，ＡＣ⊥ＢＤ．因为ＤＦ＝ＢＥ，所以ＯＢ－ＢＥ＝ＯＤ－ＤＦ，即ＯＥ ＝ＯＦ．所以四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．又ＡＣ⊥ＥＦ，所以四边 形ＡＥＣＦ是菱形． （２）△ＡＤＥ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ＝４，ＢＤ＝８，所以ＯＡ＝２，ＯＢ＝ＯＤ＝４．因为ＢＥ ＝３，所以ＯＥ＝ＯＢ－ＢＥ＝１，ＤＥ＝ＢＤ－ＢＥ＝５．因为ＡＣ⊥ ＢＤ，所以∠ＡＯＥ＝∠ＡＯＤ＝９０°．根据勾股定理，得ＡＥ２＝ＯＡ２ ＋ＯＥ２＝５，ＡＤ２＝ＯＡ２＋ＯＤ２＝２０．所以ＡＥ２＋ＡＤ２＝ＤＥ２．所 以△ＡＤＥ是直角三角形． １８．（１）连接ＡＣ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ．因为∠Ｂ＝６０°，所以∠ＢＣＤ＝１８０°－ ∠Ｂ＝１２０°，△ＡＢＣ是等边三角形．因为Ｅ是ＢＣ的中点，所以 ＡＥ⊥ＢＣ．所以∠ＡＥＣ＝９０°．因为∠ＡＥＦ＝６０°，所以∠ＦＥＣ＝ ∠ＡＥＣ－∠ＡＥＦ＝３０°．所以∠ＣＦＥ＝１８０°－∠ＦＥＣ－∠ＥＣＦ ＝３０°．所以∠ＦＥＣ＝∠ＣＦＥ．所以ＥＣ＝ＣＦ．因为ＣＥ＝１２ＢＣ， 所以ＣＦ＝ １２ＣＤ，即Ｆ是ＣＤ的中点． （２）连接ＡＣ，图略．因为△ＡＢＣ是等边三角形，所以ＡＢ＝ ＡＣ，∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°．所以∠ＡＣＦ＝∠ＢＣＤ－∠ＡＣＢ＝ ６０°＝∠Ｂ．因为∠ＥＡＦ＝６０°，所以∠ＢＡＣ－∠ＥＡＣ＝∠ＥＡＦ －∠ＥＡＣ，即∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＦ．所以△ＡＢＥ≌△ＡＣＦ（ＡＳＡ）．所 以ＡＥ＝ＡＦ．所以△ＡＥＦ是等边三角形．所以∠ＡＥＦ＝６０°．因 为∠ＡＥＦ＋∠ＦＥＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＥ，所以∠ＦＥＣ＝２０°． 附加题　１．（１）因为点Ｅ为ＡＢ的中点，所以ＡＢ＝２ＡＥ＝ ２ＢＥ． 因为ＡＢ＝２ＣＤ，所以ＣＤ＝ＡＥ． 又ＡＥ∥ＣＤ，所以四边形ＡＥＣＤ是平行四边形． 因为ＡＣ平分∠ＤＡＢ，所以∠ＤＡＣ＝∠ＥＡＣ． 因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＤＣＡ＝∠ＣＡＢ． 所以∠ＤＣＡ＝∠ＤＡＣ． 所以                                                                      ＡＤ＝ＣＤ． —４— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２９～３２期 所以四边形ＡＥＣＤ是菱形． （２）因为四边形ＡＥＣＤ是菱形，∠Ｄ＝１２０°，ＣＤ＝２，所以 ＡＢ＝４，ＣＥ＝ＡＥ＝２，∠ＡＥＣ＝∠Ｄ＝１２０°． 所以ＣＥ＝ＢＥ，∠ＣＥＢ＝１８０°－∠ＡＥＣ＝６０°． 所以∠ＡＣＥ＝∠ＣＡＥ＝３０°，△ＣＥＢ是等边三角形． 所以ＢＣ＝２，∠ＥＣＢ＝６０°． 所以∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＥ＋∠ＥＣＢ＝９０°． 根据勾股定理，得ＡＣ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２３． 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＣ＝ 槡２３． ２．（１）因为点Ｅ与点Ｆ关于直线 ＣＤ对称，所以ＦＤ＝ＥＤ， ＦＧ＝ＥＧ，∠ＥＤＧ＝∠ＦＤＧ． 因为ＥＧ∥ＡＦ，所以∠ＥＧＤ＝∠ＦＤＧ． 所以∠ＥＧＤ＝∠ＥＤＧ． 所以ＥＤ＝ＥＧ．所以ＦＤ＝ＥＤ＝ＦＧ＝ＥＧ． 所以四边形ＤＥＧＦ是菱形． （２）连接ＦＣ，ＥＣ，图略． 因为∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，所以∠Ａ＋∠Ｂ＝１８０°． 所以ＡＦ∥ＣＢ． 因为ＡＦ＝ＢＣ＝８，所以四边形ＡＢＣＦ是平行四边形． 所以ＣＦ＝ＡＢ＝１０． 根据轴对称的性质，得ＣＥ＝ＣＦ＝１０． 根据勾股定理，得ＢＥ＝ ＣＥ２－ＢＣ槡 ２ ＝６． 所以ＡＥ＝ＡＢ－ＢＥ＝４． 在Ｒｔ△ＡＤＥ中，根据勾股定理，得ＡＥ２＋ＡＤ２ ＝ＤＥ２，即４２ ＋（８－ＤＦ）２ ＝ＤＦ２． 解得ＤＦ＝５． 所以Ｓ四边形ＤＥＧＦ ＝ＤＦ·ＡＥ＝２０． ３２期２版 １８．２特殊的平行四边形（正方形） １８．２．３．１正方形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１１５． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＡＢ＝ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ， ∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°．因为ＡＥ＝ＡＦ，所以ＡＢ－ＡＥ＝ＡＤ－ＡＦ，即 ＢＥ＝ＤＦ．所以△ＢＣＥ≌△ＤＣＦ（ＳＡＳ）．所以ＣＥ＝ＣＦ．因为点 Ｍ是ＥＦ的中点，所以ＣＭ⊥ＥＦ． ５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是边长为１的正方形，所以ＡＤ＝ ＣＤ＝１，∠Ｄ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ．所以∠ＤＡＥ＝∠Ｆ．因为ＡＥ平 分∠ＣＡＤ，所以∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＥ．所以∠ＣＡＥ＝∠Ｆ．根据勾股 定理，得ＣＦ＝ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝槡２． （２）过点Ｅ作ＥＧ⊥ＡＣ于点Ｇ，图略．所以∠ＥＧＡ＝∠ＥＧＣ ＝９０°．因为 ＡＥ平分 ∠ＣＡＤ，所以 ＥＤ＝ＥＧ．在 Ｒｔ△ＡＤＥ和 Ｒｔ△ＡＧＥ中， ＡＥ＝ＡＥ， ＥＤ＝ＥＧ{ ，所以Ｒｔ△ＡＤＥ≌Ｒｔ△ＡＧＥ（ＨＬ）．所以 ＡＤ＝ＡＧ＝１．所以ＣＧ＝ＡＣ－ＡＧ＝槡２－１．因为四边形ＡＢＣＤ 是正方形，所以∠ＡＣＤ＝４５°．所以∠ＣＥＧ＝９０°－∠ＧＣＥ＝ ４５°．所以ＥＧ＝ＣＧ．根据勾股定理，得ＣＥ＝ ＥＧ２＋ＣＧ槡 ２ ＝２ －槡２． 能力提高　６．槡４２． ７．连接 ＢＦ，图略．根据题意，得 ∠ＥＡＦ＝９０°，∠ＡＦＥ＝ ∠ＡＥＦ＝４５°，ＡＦ＝ＡＥ＝４．根据勾股定理，得ＥＦ２＝ＡＦ２＋ＡＥ２ ＝３２．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＡＢ＝ＡＤ，∠ＤＡＢ＝ ９０°．所以 ∠ＥＡＦ－∠ＤＡＦ＝∠ＤＡＢ－∠ＤＡＦ，即 ∠ＥＡＤ＝ ∠ＦＡＢ．在△ＡＤＥ和△ＡＢＦ中， ＡＤ＝ＡＢ， ∠ＥＡＤ＝∠ＦＡＢ， ＡＥ＝ＡＦ { ， 所以△ＡＤＥ ≌△ＡＢＦ（ＳＡＳ）．所以ＤＥ＝ＢＦ＝２，∠ＡＥＤ＝∠ＡＦＢ＝４５°． 所以∠ＢＦＥ＝∠ＡＦＢ＋∠ＡＦＥ＝９０°．根据勾股定理，得ＢＥ＝ ＥＦ２＋ＢＦ槡 ２ ＝６． １８．２．３．２正方形的判定 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．不一定． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＯＡ＝１，所以 ＯＢ＝１．因为 ＡＢ＝槡２，所以ＯＡ ２＋ＯＢ２＝ＡＢ２．所以∠ＡＯＢ＝９０°．所以ＡＣ⊥ ＢＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠ＡＢＣ＝９０°．因为 ＢＥ ⊥ＥＦ，所以 ∠ＢＥＦ＝９０°．因为 ∠ＡＢＥ＋∠ＣＥＦ＝４５°，所以 ∠ＣＥＢ＋∠ＣＢＥ＝∠ＢＥＦ－∠ＣＥＦ＋∠ＡＢＣ－∠ＡＢＥ＝１８０° －（∠ＣＥＦ＋∠ＡＢＥ）＝１３５°．所以∠ＢＣＥ＝１８０°－（∠ＣＥＢ＋ ∠ＣＢＥ）＝４５°．所以∠ＢＡＣ＝９０°－∠ＢＣＥ＝４５°．所以ＡＢ＝ ＢＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ６．（１）因为ＢＤ平分∠ＡＢＣ，所以∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ．又ＡＢ ＝ＣＢ，ＢＤ＝ＢＤ，所以△ＡＢＤ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ）．所以∠ＡＤＢ＝ ∠ＣＤＢ． （２）因为ＰＭ∥ＣＤ，ＰＮ∥ＡＤ，所以四边形ＭＰＮＤ是平行 四边形，∠ＭＰＤ＝∠ＮＤＰ．所以∠ＭＰＤ＝∠ＭＤＰ．所以ＰＭ＝ ＤＭ．所以四边形 ＭＰＮＤ是菱形．所以当 ＭＮ＝ＰＤ时，四边形 ＭＰＮＤ是正方形． 能力提高　７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ．因为ＡＣ∥ＤＥ，所以四边形ＡＣＥＤ是平行四 边形．所以ＡＤ＝ＣＥ．所以ＢＣ＝ＣＥ． （２）因为四边形ＡＣＥＤ是平行四边形，所以ＣＤ＝２ＣＦ．因 为ＡＤ＝２ＣＦ，所以ＡＤ＝ＣＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形．因为 ＡＤ∥ＥＣ，所以∠ＤＡＦ＝∠ＦＥＢ．因为 ∠ＤＡＦ＝∠ＦＢＥ，                                                                      所以 —５— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２９～３２期 ∠ＦＢＥ＝∠ＦＥＢ．所以ＦＢ＝ＦＥ．因为ＢＣ＝ＣＥ，所以ＦＣ⊥ＢＥ． 所以∠ＢＣＦ＝９０°．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ３２期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ 二、９．１３５°；　１０．槡６；　１１．答案不惟一，如ＡＣ＝ＢＤ； １２． 槡１５２；　１３．８；　１４．槡６２或 槡４５＋ 槡２２． 三、１５．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ ＝４５°．因为 ＢＥ＝ＢＤ，所以 ∠ＢＤＥ＝∠Ｅ＝ １２（１８０°－ ∠ＥＢＤ）＝６７．５°．所以∠ＥＤＡ＝∠ＢＤＥ－∠ＡＤＢ＝２２．５°． １６．因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ｂ＝∠ＤＡＢ＝ ∠ＢＡＦ＋∠ＤＡＦ＝９０°．因为ＡＦ⊥ＤＥ，所以∠ＡＧＤ＝９０°．所以 ∠ＡＤＥ＋∠ＤＡＦ＝９０°．所以 ∠ＢＡＦ＝∠ＡＤＥ．在 △ＡＢＦ和 △ＤＡＥ中， ∠Ｂ＝∠ＥＡＤ， ∠ＢＡＦ＝∠ＡＤＥ， ＡＦ＝ＤＥ { ， 所以△ＡＢＦ≌△ＤＡＥ（ＡＡＳ）．所 以ＡＢ＝ＤＡ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． １７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＤＡＥ＝∠ＢＣＦ ＝４５°，ＡＤ＝ＢＣ．在△ＡＤＥ和△ＣＢＦ中， ＡＤ＝ＣＢ， ∠ＤＡＥ＝∠ＢＣＦ， ＡＥ＝ＣＦ { ， 所 以△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ（ＳＡＳ）． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＢＡＤ＝９０°，ＡＣ⊥ ＢＤ，ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ．因为 ＡＢ＝ＡＤ＝４，所以 ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２ ＝ 槡４２＝ＡＣ．所以ＯＡ＝ＯＢ＝ 槡２２．因为ＡＥ＝ ＣＦ＝槡２，所以ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝ＯＣ－ＣＦ＝ＯＦ＝槡２．所以四 边形ＢＥＤＦ为菱形，ＤＥ＝ ＯＤ２＋ＯＥ槡 ２ ＝槡１０．所以四边形 ＢＥＤＦ的周长为：４ＤＥ＝ 槡４ １０． １８．（１）因为四边形ＡＢＣＤ和 ＣＥＦＧ都是正方形，所以 ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝∠Ｂ＝∠ＡＤＣ＝９０°，ＧＣ＝ＣＥ＝ ＥＦ＝ＦＧ，∠Ｅ＝∠ＣＧＦ＝９０°．所以∠ＡＤＨ＝１８０°－∠ＡＤＣ＝ ９０°，∠ＨＧＦ＝１８０°－∠ＣＧＦ＝９０°．因为ＤＨ＝ＣＥ＝ＢＫ，所以 ＨＧ ＝ ＫＥ ＝ ＡＢ．所 以 △ＡＤＨ≌ △ＡＢＫ≌ △ＫＥＦ≌ △ＨＧＦ（ＳＡＳ）．所以ＡＨ＝ＡＫ＝ＫＦ＝ＨＦ，∠ＤＡＨ＝∠ＢＡＫ．所 以四边形ＡＫＦＨ是菱形，∠ＫＡＨ＝∠ＤＡＨ＋∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＫ＋ ∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＤ＝９０°．所以四边形ＡＫＦＨ是正方形． （２）连接ＡＥ，图略．因为四边形 ＡＫＦＨ的面积为１０，所以 ＫＦ＝槡１０．因为ＣＥ＝１，所以ＢＫ＝ＥＦ＝１．根据勾股定理，得 ＫＥ＝ ＫＦ２－ＥＦ槡 ２ ＝３．所以ＡＢ＝ＫＥ＝３，ＢＥ＝ＢＫ＋ＫＥ＝ ４．所以点Ａ，Ｅ之间的距离为：ＡＥ＝ ＡＢ２＋ＢＥ槡 ２ ＝５． 附加题　１．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＡＢＣ ＝９０°． 所以∠ＥＢＧ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝９０°． 所以平行四边形ＢＥＦＧ是矩形． （２）９０．理由如下： 延长ＧＰ交ＤＣ于点Ｈ，图略． 因为正方形ＡＢＣＤ和平行四边形ＢＥＦＧ，所以ＡＢ∥ＤＣ，ＢＥ ∥ＧＦ，ＤＣ＝ＢＣ． 所以ＤＣ∥ＧＦ． 所以∠ＨＤＰ＝∠ＧＦＰ，∠ＤＨＰ＝∠ＦＧＰ． 因为Ｐ是线段ＤＦ的中点，所以ＤＰ＝ＦＰ． 在△ＤＨＰ和△ＦＧＰ中， ∠ＤＨＰ＝∠ＦＧＰ， ∠ＨＤＰ＝∠ＧＦＰ， ＤＰ＝ＦＰ { ， 所以△ＤＨＰ≌ △ＦＧＰ（ＡＡＳ）． 所以ＨＰ＝ＧＰ，ＤＨ＝ＦＧ． 当∠ＣＰＧ＝９０°时，ＰＧ⊥ＰＣ． 所以ＣＨ＝ＣＧ． 所以ＤＣ－ＣＨ＝ＢＣ－ＣＧ，即ＤＨ＝ＢＧ． 所以ＢＧ＝ＦＧ． 所以平行四边形ＢＥＦＧ是菱形． 由（１）知四边形ＢＥＦＧ是矩形． 所以四边形ＢＥＦＧ是正方形． ２．（１）因为四边形ＡＢＣＤ为矩形，四边形ＥＦＧＨ为菱形，所 以∠Ｄ＝∠Ａ＝９０°，ＨＧ＝ＨＥ． 在Ｒｔ△ＡＨＥ和Ｒｔ△ＤＧＨ中， ＥＨ＝ＨＧ， ＡＨ＝ＤＧ{ ，所以Ｒｔ△ＡＨＥ≌ Ｒｔ△ＤＧＨ（ＨＬ）． 所以∠ＡＥＨ＝∠ＤＨＧ． 因为∠ＡＨＥ＋∠ＡＥＨ＝９０°，所以∠ＡＨＥ＋∠ＤＨＧ＝９０°． 所以∠ＥＨＧ＝９０°． 所以四边形ＥＦＧＨ为正方形． （２）因为ＡＤ＝６，ＤＣ＝７，ＤＧ＝ＡＨ＝２，所以ＤＨ＝ＡＤ－ ＡＨ＝４，ＣＧ＝ＤＣ－ＤＧ＝５． 由勾股定理，得ＨＧ＝ ＤＧ２＋ＤＨ槡 ２ ＝ 槡２５． 因为四边形 ＥＦＧＨ是正方形，所以 ＦＧ＝ 槡２５，∠ＥＦＧ＝ ９０°． 所以∠ＣＦＧ＝１８０°－∠ＥＦＧ＝９０°． 由勾股定理，得ＣＦ＝ ＣＧ２－ＦＧ槡 ２ ＝槡５                                                                      ． —６— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２９～３２期 书 平行四边形具有丰富的性质，与平行四边 形相关的考题也多种多样，其中与角平分线有 关的问题是近几年命题的热点．下面选取几例 加以说明，供同学们参考． 一、已知平行四边形一个角的平分线 例１　如图１，在平行四 边形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ的平 分线交ＡＤ于点Ｅ，且∠ＢＥＡ ＝３０°，则∠Ａ的大小为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１５０° Ｂ．１３０° Ｃ．１２０° Ｄ．１００° 解：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ．因为 ∠ＢＥＡ＝３０°，所以 ∠ＣＢＥ＝ ∠ＢＥＡ＝３０°．因为ＢＥ平分∠ＡＢＣ，所以∠ＡＢＥ ＝∠ＣＢＥ＝３０°．所以 ∠Ａ＝１８０°－∠ＡＢＥ－ ∠ＢＥＡ＝１２０°． 故选Ｃ． 二、已知平行四边形一组邻角的平分线 例２　 如图２，在 ＡＢＣＤ 中，∠ＡＢＣ的平分线交ＡＤ于点 Ｅ，∠ＢＣＤ的平分线交 ＡＤ于点 Ｆ．若ＡＢ＝３，ＡＤ＝４，则ＥＦ的 长是 ． 解：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ∥ＣＢ，ＡＢ＝ＤＣ＝３．所以∠ＣＢＥ＝∠ＡＥＢ， ∠ＢＣＦ＝∠ＣＦＤ．因为ＢＥ平分∠ＡＢＣ，ＣＦ平分 ∠ＢＣＤ， 所 以 ∠ＡＢＥ ＝ ∠ＣＢＥ，∠ＤＣＦ ＝ ∠ＢＣＦ． 所 以 ∠ＡＢＥ ＝ ∠ＡＥＢ，∠ＤＦＣ ＝ ∠ＤＣＦ．所以ＡＥ＝ＡＢ＝３，ＤＦ＝ＤＣ＝３．因为 ＡＤ＝４，所以ＡＦ＝ＡＤ－ＤＦ＝１．所以ＥＦ＝ＡＥ －ＡＦ＝２． 故填２． 三、已知平行四边形一组 对角的平分线 例３　 如图３，点 Ｅ，Ｆ分 别在ＡＢＣＤ的ＢＣ，ＡＤ边上， ＡＥ平分∠ＢＡＤ，ＣＦ平分∠ＢＣＤ．求证：ＡＦ＝ＣＥ． 证明：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所 以∠Ｂ＝∠Ｄ，ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，∠ＢＡＤ ＝ ∠ＢＣＤ．因为ＡＥ平分∠ＢＡＤ，ＣＦ平分∠ＢＣＤ，所 以∠ＥＡＢ＝１２∠ＢＡＤ，∠ＦＣＤ＝ １ ２∠ＢＣＤ．所以 ∠ＥＡＢ ＝ ∠ＦＣＤ．在 △ＡＢＥ和 △ＣＤＦ中， ∠Ｂ＝∠Ｄ， ＡＢ＝ＣＤ， ∠ＥＡＢ＝∠ＦＣＤ { ， 所 以 △ＡＢＥ ≌ △ＣＤＦ（ＡＳＡ）．所以ＢＥ＝ＤＦ．所以ＡＤ－ＤＦ＝ ＢＣ－ＢＥ，即ＡＦ＝ＣＥ． 书 ２７期２版 １７．１勾股定理 １７．１．１认识勾股定理 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．１６；　４．６１． ５．ＢＣ＝１４． １７．１．２勾股定理的验证及应用 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．４ｍ； ４．１０００；　５．１５． ６．略．　７．略． 能力提高　８．５． １７．２勾股定理的逆定理 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．１２；　４．直角三角形． ５．略．　６．（１）略．　（２）ＡＢ＝２５２． ２７期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｄ Ｄ Ａ Ａ 二、９．答案不惟一，如３，４，５；　１０．真；　１１．７； １２．ｃ２＋ａｂ，ａ２＋ｂ２＋ａｂ；　１３．１５；　１４．２５１６或 ５ ２或４． 三、１５．Ｓ四边形ＡＢＣＤ ＝３６． １６．乙船的航速是９海里 ／时． １７．ＭＮ＝１２５． １８．（１）ＤＥ＝３．５．　（２）略． 附加题　１．它需要爬行的最短 路程是２０ｃｍ． ２．（１）９０；　（２）略． ２８期评估卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ 二、１１．有两个角互余的三角形是直角三角形； １２．合格；　１３．１．６；　１４．３３或６５；　１５．５０． 三、１６．由勾股定理，得６２＋（ｘ＋２）２ ＝（ｘ＋４）２． 解得ｘ＝６． １７．机器人行走的路程ＢＣ为１３ｍ． １８．蚂蚁要爬行的最短路程是１３ｃｍ． １９．因为ｍ，ｎ为整数，且ｍ＞ｎ＞１，ａ＝ｍ２－ｎ２，ｂ ＝２ｍｎ，ｃ＝ｍ２＋ｎ２，所以ａ，ｂ，ｃ均为正整数． 因为（ｍ２－ｎ２）２＋（２ｍｎ）２ ＝ｍ４－２ｍ２ｎ２＋ｎ４＋ ４ｍ２ｎ２＝ｍ４＋２ｍ２ｎ２＋ｎ４，（ｍ２＋ｎ２）２＝ｍ４＋２ｍ２ｎ２＋ｎ４． 所以ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２． 所以ａ，ｂ，ｃ为勾股数． ２０．（１）因为ＡＢ＝２６米，ＡＤ＝２４米，ＢＤ＝１０米， 所以ＡＢ２ ＝ＢＤ２＋ＡＤ２．所以∠ＡＤＢ＝９０°． （２）小路ＤＥ的长为７２５米． ２１．昆虫乙至少需要８５７ｓ才能遇到昆虫甲． ２２．略． ２３．（１）当ｔ＝５时，ＰＣ＝ＢＣ－ ＢＰ＝６．在Ｒｔ△ＡＰＣ中，由勾股定理 得ＡＰ＝ ＡＣ２＋ＰＣ槡 ２ ＝ ８２＋６槡 ２ ＝ １０． （２）在点Ｐ的运动过程中，当 的值为 ５或 １１时，能使 ＰＤ平分 ∠ＡＰＣ． 书 折叠问题是轴对称 性质的应用，同时考查 空间想象能力，此类问 题可以涵盖三角形的全 等、等腰三角形、平行线 等众多知识．下面我们 就一起学习折叠型问题 在平行四边形中的应 用． 一、求角的度数 例 １　 如图 １，将 ＡＢＣＤ沿对角线ＢＤ折 叠，使点Ａ落在点Ｅ处． 若 ∠１ ＝ ５６°，∠２ ＝ ４２°，则 ∠Ａ的度数为 ． 解：因为四 边 形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所 以 ＡＢ ∥ ＣＤ． 所 以 ∠ＡＢＥ＝∠１＝５６°．由 折叠的性质，得∠ＡＢＤ＝１２∠ＡＢＥ＝２８°．因为 ∠２＝４２°，所以∠Ａ＝１８０°－∠２－∠ＡＢＤ＝ １１０°． 故填１１０°． 二、求线段的长度 例 ２　 如 图 ２， 将 ＡＢＣＤ进行折叠，折叠后 ＡＤ恰好经过点Ｃ得到ＡＤ′． 若 ∠ＢＡＣ＝９０°，ＤＥ＝５， ＣＥ＝４，则线段ＡＣ的长度为 ． 解：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ＝ＤＥ＋ＣＥ＝９，ＡＢ∥ＣＤ． 所以 ∠ＡＣＤ＝∠ＢＡＣ＝９０°．所以 ∠ＥＣＤ′＝ １８０°－∠ＡＣＤ＝９０°．根据折叠的性质，得 Ｄ′Ｅ ＝ ＤＥ ＝ ５，ＡＤ′ ＝ ＡＤ． 所 以 ＣＤ′ ＝ Ｄ′Ｅ２－ＣＥ槡 ２ ＝３．所以ＢＣ＝ＡＤ′＝ＡＣ＋ＣＤ′ ＝ＡＣ＋３．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理，得ＢＣ２ ＝ＡＢ２＋ＡＣ２，即（ＡＣ＋３）２＝９２＋ＡＣ２．解得ＡＣ ＝１２． 故填１２． 三、证明三角形全等 例３　如图３，将ＡＢＣＤ 沿对角线 ＢＤ翻折，点 Ａ落在 点Ｅ处，ＢＥ交 ＣＤ于点 Ｆ．求 证：△ＢＣＦ≌△ＤＥＦ． 证明：由折叠的性质，得 ∠Ｅ＝∠Ａ，ＤＥ＝ＤＡ．因为四边形 ＡＢＣＤ是平 行四边形，所以∠Ｃ＝∠Ａ，ＢＣ＝ＤＡ．所以∠Ｃ ＝∠Ｅ，ＢＣ＝ＤＥ．由对顶角相等，得 ∠ＢＦＣ＝ ∠ＤＦＥ． 在 △ＢＣＦ 和 △ＤＥＦ 中， ∠ＢＦＣ＝∠ＤＦＥ， ∠Ｃ＝∠Ｅ， ＢＣ＝ＤＥ { ， 所 以 △ＢＣＦ ≌ △ＤＥＦ（ＡＡＳ）． 书 三角形中位线定理在一个题设下，有两个 结论：一个是线段之间的位置关系，另一个是线 段之间的数量关系．这个定理在证明、计算、作 图中都有广泛的应用，是三角形的重要性质之 一．当三角形中有中点时，往往借助三角形中位 线定理来解决相关问题． 一、求角度 例１　如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠Ａ＝３０°，点 Ｄ，Ｅ分别是 直角边 ＡＣ，ＢＣ的中点，连接 ＤＥ，则∠ＣＥＤ的度数是 （　　） Ａ．７０°　　　　　　　Ｂ．６０° Ｃ．３０° Ｄ．２０° 解：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝３０°，所以∠Ｂ＝ ９０°－∠Ａ＝６０°．因为Ｄ，Ｅ分别是ＡＣ，ＢＣ的中 点，所以ＤＥ∥ＡＢ．所以∠ＣＥＤ＝∠Ｂ＝６０°． 故选Ｂ． 二、求周长 例２　 如图２，在 △ＡＢＣ 中，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是 ＢＣ，ＡＣ，ＡＢ 的中点．若ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，则 四边形ＢＤＥＦ的周长是 （　　） Ａ．２８ Ｂ．１４ Ｃ．１０ Ｄ．７ 解：因为Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＡＣ，ＡＢ的中点， 所以ＤＥ＝ＢＦ＝１２ＡＢ＝３，ＦＥ＝ＢＤ＝ １ ２ＢＣ＝ ４．所以四边形ＢＤＥＦ的周长是：２（ＤＥ＋ＦＥ）＝ １４． 故选Ｂ． 三、求面积 例３　 如图３，在 △ＡＢＣ中， ＡＢ＝ＡＣ，Ｍ，Ｎ分别是 ＡＢ，ＡＣ的 中点，Ｄ，Ｅ为 ＢＣ边上的点，连接 ＮＤ，ＭＥ．若 ＡＢ ＝１３ｃｍ，ＢＣ ＝ １０ｃｍ，ＤＥ＝５ｃｍ，则图中阴影部 分的面积为 （　　） Ａ．２５ｃｍ２ Ｂ．３５ｃｍ２ Ｃ．３０ｃｍ２ Ｄ．４２ｃｍ２ 解：如图３，连接ＭＮ，过点Ａ作ＡＧ⊥ＢＣ于 点Ｇ，设 ＭＥ与 ＮＤ相交于点 Ｏ．因为 ＢＣ ＝ １０ｃｍ，Ｍ，Ｎ分别是ＡＢ，ＡＣ的中点，所以 ＭＮ＝ １ ２ＢＣ＝５ｃｍ．因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＧ⊥ＢＣ，所以ＢＧ ＝ １２ＢＣ ＝５ｃｍ．由勾股定理，得 ＡＧ ＝ ＡＢ２－ＢＧ槡 ２ ＝１２ｃｍ．所以图中阴影部分的面 积为：Ｓ△ＡＭＮ ＋Ｓ△ＯＭＮ ＋Ｓ△ＯＤＥ ＝ １ ２×５×１２＝ ３０（ｃｍ２）． 故选Ｃ． 书 平行四边形的判定方法较多，综合性较强， 涉及平行四边形元素的各方面，同时它又与平 行四边形的性质联系．判定一个四边形是否为 平行四边形是利用平行四边形的性质解决其他 问题的基础，所以平行四边形的判定定理是本 节的重点． 方法一、两组对边分别平行的四边形是平 行四边形 例１　如图１，在ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝８，点Ｅ是ＡＢ上一点， ＡＥ＝３，连接ＤＥ，过点Ｃ作ＣＦ ∥ＤＥ，交ＡＢ的延长线于点Ｆ， 则ＢＦ的长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．５ Ｂ．４ Ｃ．３ Ｄ．２ 解：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＡＢ＝ ８，所以ＤＣ＝ＡＢ＝８，ＡＢ∥ＣＤ．因为ＡＥ＝３，所 以ＢＥ＝ＡＢ－ＡＥ＝５．因为ＣＦ∥ＤＥ，所以四边 形ＤＥＦＣ是平行四边形．所以ＥＦ＝ＤＣ＝８．所 以ＢＦ＝ＥＦ－ＢＥ＝３． 故选Ｃ． 方法二、两组对边分别相等的四边形是平 行四边形 例２　如图２，对于几何作图“过直线ｌ外一 点Ｐ作这条直线的平行线”，一位同学设计出自 己的尺规作图方案： 在直线ｌ上取 Ａ，Ｂ两点（点 Ｂ在点 Ａ的右 侧），分别以点Ｐ为圆心，ＡＢ长为半径；再以点Ｂ 为圆心，ＰＡ长为半径画弧，两弧相交于点 Ｑ（点 Ｑ和点Ａ在直线ＰＢ的两侧），如图３，ＰＱ所在的 直线即为所求．通过所学知识判断这个方案是 的（填“正确”或“错误”）． 解：根据作图，得ＰＡ＝ＢＱ，ＰＱ＝ＡＢ．所以 四边形ＡＢＱＰ是平行四边形．所以ＰＱ∥直线ｌ． 故填正确． 方法三、两组对角分别相等的四边形是平 行四边形 例３　如图４，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ ＣＤ，∠Ｂ ＝ ∠Ｄ．求证：四边形ＡＢＣＤ为平 行四边形． 证明：因为 ＡＢ∥ ＣＤ，所以 ∠Ｂ＋∠Ｃ＝ １８０°，∠Ａ＋∠Ｄ＝１８０°．因为∠Ｂ＝∠Ｄ，所以 ∠Ａ＝∠Ｃ．所以四边形ＡＢＣＤ为平行四边形． 方法四、对角线互相平分的四边形是平行 四边形 例 ４　 如图 ５，在 ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ两点在对 角线ＢＤ上，且ＢＥ＝ＤＦ， 连接 ＡＥ，ＥＣ，ＣＦ，ＦＡ．求 证：四边形ＡＥＣＦ是平行四边形． 证明：如图５，连接ＡＣ交ＢＤ于点Ｏ．因为四 边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ ＯＤ．因为ＢＥ＝ＤＦ，所以ＯＢ－ＢＥ＝ＯＤ－ＤＦ， 即ＯＥ＝ＯＦ．所以四边形ＡＥＣＦ是平行四边形． 方法五、一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形 例５　如图６，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ与 ＢＤ交于点 Ｏ，ＢＥ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ＡＣ，垂足 分别为点Ｅ，Ｆ，且ＢＥ＝ＤＦ， ∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ．求证：四边形 ＡＢＣＤ是平行四 边形． 证明：因为 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ，所以 ＡＢ∥ ＣＤ．因为 ＢＥ⊥ ＡＣ，ＤＦ⊥ ＡＣ，所以 ∠ＡＥＢ＝ ∠ＣＦＤ ＝ ９０°． 在 △ＡＢＥ 和 △ＣＤＦ 中， ∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦ， ∠ＡＥＢ＝∠ＣＦＤ， ＢＥ＝ＤＦ { ， 所 以 △ＡＢＥ ≌ △ＣＤＦ（ＡＡＳ）．所以 ＡＢ ＝ＣＤ．所以四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形． ! 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Ò *-5 HISKLM<NO Ò */ 5 ,-.,&'()* Ò %55 ,-.* TU+&'()* VW*X Ò %,5 ,-.* TU+&'()* VY*X Ò %*5 ,-.* TU+&'()* VZ3*X Ò %% 5 HI[KLM<NO Ò %! 5 \7NO Ò %# 5 ,/.,]^ Ò %& 5 ,/.*_@]^ Ò %+5 ,/.%`abO cd3e Ò %-5 HIfKLM<NO Ò %/ 5 *5., ^g+h7ijC *5.*^g+klmn Ò !55 H?IKLM<NO Ò !,6!-5 NOop 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．如图１，直线ａ∥ｂ，则直线ａ，ｂ之间的距离 是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．线段ＡＢ Ｂ．线段ＡＢ的长度 Ｃ．线段ＣＤ Ｄ．线段ＣＤ的长度 ２．如图２，Ａ，Ｂ两点被一座山隔开，Ｍ，Ｎ分别 是ＡＣ，ＢＣ的中点，测量ＭＮ的长度为３０ｍ，那么ＡＢ 的长度为 （　　） Ａ．３０ｍ Ｂ．６０ｍ Ｃ．１２０ｍ Ｄ．１６０ｍ ３．如图 ３，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝ １４０°，则∠Ｄ的度数为 （　　） Ａ．４０° Ｂ．７０° Ｃ．１１０° Ｄ．１４０° ４．已知四边形ＡＢＣＤ中∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ的 度数之比，能判定四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的是 （　　） Ａ．１∶２∶３∶４ Ｂ．１∶２∶２∶１ Ｃ．２∶２∶３∶４ Ｄ．２∶３∶２∶３ ５．如图４，ＡＢＣＤ纸片中，∠Ａ＝１２０°，ＡＢ＝ ４，ＢＣ＝５，剪掉两个角后，得到图形ＡＥＦＣＧＨ．已知 ∠ＥＦＣ＝∠ＡＨＧ＝１２０°，且ＥＦ＝１，ＨＧ＝２，则这 个图形ＡＥＦＣＧＨ的周长为 （　　） Ａ．１２ Ｂ．１５ Ｃ．１６ Ｄ．１８ ６．某街区街道如图５所示，其中ＣＥ垂直平分 ＡＦ，ＢＤ∥ＣＦ，ＢＣ∥ＤＦ．从Ｂ站到Ｅ站有两条公交 线路；线路１是Ｂ→Ｄ→Ａ→Ｅ，线路２是Ｂ→Ｃ→ Ｆ→Ｅ，则两条线路的长度关系为 （　　） Ａ．线路１较短 Ｂ．线路２较短 Ｃ．相等 Ｄ．无法确定 ７．如图６，在平行四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ， ＢＤ相交于Ｏ，过点Ｏ作ＯＥ⊥ＡＣ交ＡＤ于点Ｅ．若 ＡＥ＝２，ＤＥ＝１，ＡＢ＝槡５，则ＡＣ的长为 （　　） 槡Ａ．２２ Ｂ．槡 ５２ ２ 槡 槡Ｃ．４２ Ｄ．３２ ８．如图７，四边形ＡＢＣＤ中， ＡＤ∥ ＢＣ，ＢＣ＝３，ＡＢ＝５，ＡＤ ＝６．若点Ｍ是线段ＢＤ的中点， 则ＣＭ的长是 （　　） Ａ．３２ Ｂ．２ Ｃ． ５ ２ Ｄ．３ 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图８，当ｘ＝ 时，四边形ＡＢＣＤ是 平行四边形． １０．如图９，将ＡＢＣＤ的一边ＢＣ延长至点Ｅ． 若∠ＤＣＥ＝６２°，则∠Ａ＝ ． １１．如图１０，四边形ＡＢＣＤ的对角线相交于点 Ｏ，∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ，请添加一个条件 ，使 四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形（只填一种情况即 可）． １２．如图１１，在ＡＢＣＤ的ＡＢ，ＣＤ边上截取线 段ＡＦ，ＣＥ，使 ＡＦ＝ＣＥ，连接 ＥＦ，点 Ｍ，Ｎ是线段 ＥＦ上的两点，且 ＥＮ ＝ＦＭ，连接 ＡＮ，ＣＭ．若 ∠ＣＭＦ ＝１００°，∠ＣＥＭ ＝７０°，则 ∠ＮＡＦ ＝ ． １３．如图１２，在 ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ的平分线 ＢＥ与 ＡＤ交于点 Ｅ，Ｆ为 ＣＤ的中点，且 ＥＦ平分 ∠ＢＥＤ．若ＡＢ＝４，ＤＥ＝１，则ＢＥ＝ ． １４．如图 １３，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ ６ｃｍ，ＡＤ＝１０ｃｍ，点Ｐ在ＡＤ边上，以每秒１ｃｍ的 速度从点Ａ向点Ｄ运动，点 Ｑ在 ＣＢ边上，以每秒 ２ｃｍ的速度从点Ｃ出发，在 ＣＢ之间做往返运动， 两个动点同时出发，当点Ｐ到达点Ｄ时，两点同时 停止运动，设运动时间为ｔ（ｓ）（ｔ＞０）．在点Ｐ，Ｑ的 运动过程中，当ｔ＝ ｓ时，四边形ＡＰＱＢ为 平行四边形． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（８分）如图１４，在ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ， ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｅ在ＣＡ的延长线上，点Ｆ在ＡＣ 的延长线上，且ＡＥ＝ＣＦ，点Ｇ，Ｈ均在线段ＢＤ上， 且ＢＧ＝ＤＨ．求证：四边形ＥＧＦＨ是平行四边形． １６．（１０分）如图１５，在ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＢＣ边 上一点，且ＡＢ＝ＡＥ．求证：△ＡＢＣ≌△ＥＡＤ． １７．（１２分）如图１６，ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分 线，点Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＢＣ上，ＢＥ＝ＣＦ，ＥＤ∥ＢＣ． （１）求证：四边形ＥＦＣＤ是平行四边形； （２）若 ∠ＡＢＣ ＝６０°，∠ＡＤＢ ＝１００°，求 ∠ＡＥＦ的度数． １８．（１４分）如图１７，平行四边形ＡＢＣＤ中，点 Ｅ是ＡＢ边上一点，ＣＥ＝ＡＢ，ＤＦ⊥ＢＣ，交ＣＥ于点 Ｇ，连接ＤＥ，ＥＦ． （１）求证：∠ＡＥＤ＝９０°－１２∠ＤＣＥ； （２）若点Ｅ是ＡＢ边的中点，∠ＥＦＢ＝４５°，求 证：ＤＥ⊥ＥＦ． （以下试题供各地根据实际情况选用） １．（８分）如图１，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，将 △ＡＤＣ沿ＡＣ折叠后，点Ｄ恰好落在ＤＣ延长线上 的点Ｅ处．若∠ＡＣＢ＝３０°，ＡＢ＝４，求△ＡＤＥ的周 长． ２．（１２分）如图２，已知 ＡＣ＝ＡＥ，ＢＣ＝ＢＥ， ∠ＡＥＢ＝∠ＣＡＤ，ＣＤ⊥ＣＥ． （１）求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形； （２）若ＡＤ＝ＣＤ＝３，ＡＣ＝４，求ＣＥ的长                                                                                                                                                                       ． 书 １８．１平行四边形 １８．１．１平行四边形的性质 １．在ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝５０°，则∠Ｄ的度数是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．６５° Ｂ．５５° Ｃ．５０° Ｄ．４０° ２．如图１，若ＡＢＣＯ的顶点Ｏ，Ａ，Ｃ的坐标分 别是（０，０），（５，０），（２，３），则点Ｂ的坐标是 （　　） Ａ．（３，７） Ｂ．（５，３） Ｃ．（７，３） Ｄ．（８，２） ３．如图２，在ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交 于点Ｏ，线段ＥＦ经过点Ｏ，ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ．若ＡＨ ＝２，ＢＣ ＝３，则图中阴影部分的面积是 ． ４．如图３，在ＡＢＣＤ中，∠ＢＣＤ＝１２０°，分别 以ＢＣ和ＣＤ为边作等边△ＢＣＥ和等边△ＣＤＦ，连 接ＡＥ，ＡＦ．求证：ＡＥ＝ＡＦ． ５．如图 ４，在 ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝６０°，ＡＥ⊥ ＢＣ，ＡＦ⊥ＣＤ，垂足分别为点Ｅ，Ｆ． （１）求∠ＥＡＦ的度数； （２）若ＢＣ＝６，求线段ＡＦ的长． ６．如图５，ＡＢ∥ ＤＣ，ＥＤ∥ ＢＣ，ＡＥ∥ ＢＤ，那么图中和 △ＡＢＤ面积相等的三角形（不 包括△ＡＢＤ）有 （　　） Ａ．１个 　　Ｂ．２个 Ｃ．３个 　　Ｄ．４个 １８．１．２．１平行四边形的判定 １．为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平 行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相 等就可以了，依据是：两条铁轨和夹在铁轨之间的 两根枕木构成一个平行四边形，即可得到两条铁 轨平行．判定铁轨和枕木构成平行四边形的依据 是 （　　） Ａ．平行线之间的距离处处相等 Ｂ．一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形 Ｃ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 Ｄ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ２．如图１是由４个全等的正三角形拼成的，则 图中平行四边形有 （　　） Ａ．４个 Ｂ．３个 Ｃ．２个 Ｄ．１个 ３．如图２，在ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别在ＣＤ， ＢＣ的延长线上，ＡＥ∥ＢＤ，ＥＦ⊥ＢＦ，ＣＦ＝槡３，ＥＦ ＝３，则ＡＢ的长是 （　　） Ａ．２３ Ｂ．１ Ｃ． ３ ２ 槡Ｄ．３ ４．在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｃ＝６０°，∠Ｂ ＝∠Ｄ＝１２０°，则四边形 ＡＢＣＤ 平行四 边形（填“是”或“不是”）． ５．已知四边形ＡＢＣＤ的四条边顺次为ａ，ｂ，ｃ， ｄ，且ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２ ＝２ａｃ＋２ｂｄ．求证：四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形． ６．如图３，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ与ＢＤ相交 于点Ｏ，且ＡＯ＝ＣＯ，点Ｅ在ＢＤ上，满足∠ＥＡＯ＝ ∠ＤＣＯ．求证：四边形ＡＥＣＤ是平行四边形． １８．１．２．２三角形的中位线 １．如图１，ＣＤ是 △ＡＢＣ的中线，Ｅ，Ｆ分别是 ＡＣ，ＤＣ的中点，ＥＦ＝１，则ＢＤ的长为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ２．如图２，在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别是ＡＢ，ＡＣ 的中点．若∠Ｂ＝４０°，则∠ＢＤＥ的度数是 （　　） Ａ．５０° Ｂ．４０° Ｃ．１５０° Ｄ．１４０° ３．如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ＝１０，ＢＤ平 分∠ＡＢＣ交ＡＣ于点Ｄ，点Ｆ在ＢＣ上，且ＢＦ＝４， 连接ＡＦ，点Ｅ是ＡＦ的中点，连接ＤＥ，则ＤＥ的长 是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ４．如图４，在四边形ＡＢＣＤ中，∠ＡＤＣ＝１４０°， Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ，ＡＤ的中点，且 ∠ＡＦＥ＝５０°．若 ＢＣ＝１０，ＣＤ＝６，则ＥＦ＝ ． ５．如图５，在四边形 ＡＢＣＤ中，点 Ｐ是对角线 ＢＤ的中点，Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ，ＣＤ的中点．若 ＡＤ＝ ＢＣ，∠ＰＥＦ＝１８°，求∠ＰＦＥ的度数． ６．如图６，ＣＤ是△ＡＢＣ的中线，Ｅ是ＣＤ上的 一点，连接ＡＥ并延长至点Ｆ，使得ＥＦ＝ＡＥ，连接 ＢＦ，ＣＦ．若ＣＦ∥ＡＢ，求证：四边形 ＤＢＦＣ是平行 四边形 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! !"#$% " !"#&' () !"*+,)- ./0123456 () !"78,)- 9/012345: ;<&=>?#$%#@ ! ! ! 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