第28期 第十七章 勾股定理小结与复习-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（人教版 广东专版）

书 答案详解 　　 　　２０２４～２０２５学年　初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２５～２８期（２０２５年１月）　　 　　 ２５期２版 １６．１二次根式 １６．１．１二次根式的定义 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ；　３．Ｄ． ４．（１）ｘ≤ １２；　（２）ｘ＞－１；　（３） ７ ３≤ｘ≤５． １６．１．２二次根式的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．＞． ４．（１）小亮； （２）错误的原因是运用二次根式的性质错误，忘记了二次 根式的非负性． １６．２二次根式的乘除 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｂ； 槡　３．２． ４．（１）槡３０；　（２）２；　（３）２４． ５．这个长方体的体积是：槡１８×槡８× ２ ３＝ 槡３２×槡２２× ２ ３ ＝１２×２３ ＝８． １６．３二次根式的加减 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．２． ４．（１）槡７；　（２） 槡１２２；　（３）槡２３． ５．（１）横断面的面积是：１２×（槡８＋槡３２）×槡３＝ １ ２ × （槡２２＋ 槡４２）×槡３＝ １ ２× 槡６２×槡３＝ 槡３６（ｍ ２）． （２）３００÷ 槡３６＝ 槡 ５０６ ３ （ｍ）． 答：若用３００ｍ３的土，可修 槡５０６３ ｍ长的拦河坝． ２５期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ｂ Ａ 二、９．ｘ≥４；　１０．１；　１１．ｘ＝ 槡２３；　１２．ａ ２ｂ；　１３．槡４３； １４．槡５． 三、１５．（１）３２；　（２）５；　（３） 槡１０２． １６．（１）①； （２）一，计算（槡２５） ２时，没有将“２”平方； （３）原式 ＝２１－ 槡７５２． １７．（１）这个长方体盒子的体积为：（槡５０－ 槡２２） ２×槡２＝ 槡１８２（ｃｍ ３）． （２）这个长方体盒子的侧面积为：（槡５０－ 槡２２）×槡２×４ ＝２４（ｃｍ２）． １８．（１） １ ４＋槡１５ ＝ ４－槡１５ （４＋槡１５）（４－槡１５） ＝４－槡１５１６－１５＝ ４－槡１５． （２）ａ＝ １ 槡６－槡５ ＝ 槡６＋槡５ （槡６－槡５）（槡６＋槡５） ＝槡６＋槡５，ｂ＝ １ 槡５－２ ＝ 槡５＋２ （槡５－２）（槡５＋２） ＝槡５＋２． 因为槡６＞２，所以槡６＋槡５＞２＋槡５． 所以ａ＞ｂ． （３）原式 ＝３（ １ １＋槡２ ＋ １ 槡２＋槡３ ＋ １ 槡３＋２ ＋…＋ １ 槡１４＋槡１５ ） ＝３（槡２－１＋槡３－槡２＋２－槡３＋… ＋槡１５－槡１４） ＝３（－１＋槡１５）＝ 槡３ １５－３． 附加题　１．因为ａ＋ｂ＝ 槡２５－槡６，ａ－ｂ＝槡１０－ 槡２３， 所以（ａ＋ｂ）２＝（槡２５－槡６） ２＝２０－ 槡４ ３０＋６＝２６－ 槡４ ３０， （ａ－ｂ）２ ＝（槡１０－ 槡２３） ２＝１０－ 槡４ ３０＋１２＝２２－ 槡４ ３０． 所以ａ２＋ｂ２＝１２［（ａ＋ｂ） ２＋（ａ－ｂ）２］＝１２×（２６－ 槡４ ３０ ＋２２－ 槡４ ３０）＝２４－ 槡４ ３０． ２．（１） ３６－３６槡 ７ ＝６槡 ６ ７；第ｎ个等式为： ｎ ２－ ｎ ２ ｎ＋槡 １ ＝ｎ ｎｎ＋槡 １． （２）原式 ＝１９ １９槡２０×２０ ２０ 槡２１×槡４２ ＝１９×２０× １９ ２０× ２０ ２１×槡 ４２＝ 槡３８０ ３８                                                         ． —１— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２５～２８期 （３） ａ２＋２ａ＋１－１９６ｂ－槡 ２＝ （ａ＋１） ２－１９６ｂ－槡 ２＝ｘ． 因为 ａ２＋２ａ＋１－１９６ｂ－槡 ２＝ｘ符合所得规律，所以（ａ＋ １）２ ＝１９６，ｂ－２＝槡１９６＋１＝１４＋１＝１５． 解得ａ＝１３或 －１５，ｂ＝１７． 所以ａ＋ｂ＝１３＋１７＝３０或ａ＋ｂ＝－１５＋１７＝２，即ａ ＋ｂ的值为３０或２． ２６期评估卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ａ Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ａ 二、１１．槡７；　１２．１；　１３．②；　１４．＜； １５．槡７＋２． 三、１６．（１）槡３３－１；　（２）槡４２． １７．根据数轴，得ｂ＞－２，ａ＜２． 所以ｂ＋２＞０，ａ－２＜０． 所以原式 ＝ｂ＋２＋２－ａ＝４－ａ＋ｂ． １８．该物体的运动速度 ｖ＝ ２ｋｋ 槡ｍ ＝ ２×１０００ 槡 １０ ＝ 槡１０２（米 ／秒）． 四、１９．根据题意，得 槡２６－（－槡６）＝－ｎ－２ｍ． 所以２ｍ＋ｎ＝－ 槡３６． 因为ｍ，ｎ互为相反数，所以ｍ＋ｎ＝０． 所以２ｍ＋ｎ＝ｍ＋ｍ＋ｎ＝ｍ＝－ 槡３６． 所以ｎ＝ 槡３６． ２０．因为两个正方形的面积分别为１２ｄｍ２和２７ｄｍ２，所以 这两个正方形的边长分别为 槡２３ｄｍ和 槡３３ｄｍ． 所以原长方形木板的长为：槡２３＋ 槡３３＝ 槡５３（ｄｍ），宽为 槡３３ｄｍ． 所以原长方形木板的面积为：槡５３× 槡３３＝４５（ｄｍ ２）． ２１．（１）因为ａ＝槡１１＋２，ｂ＝槡１１－２，所以ａ ２＋ｂ２－ａｂ ＝（ａ－ｂ）２＋ａｂ＝（槡１１＋２－槡１１＋２） ２＋（槡１１＋２）（槡１１ －２）＝１６＋７＝２３． （２）因为９＜１１＜１６，所以３＜槡１１＜４． 所以５＜槡１１＋２＜６，１＜槡１１－２＜２． 因为ｍ为ａ的小数部分，ｎ为ｂ的小数部分，所以ｍ＝槡１１ ＋２－５＝槡１１－３，ｎ＝槡１１－２－１＝槡１１－３． 所以ｍ＋ｎ＝（槡１１－３）＋（槡１１－３）＝ 槡２ １１－６． 五、２２．（１）因为ｘ＝槡５－２，所以（ｘ＋２） ２ ＝５，即ｘ２＋４ｘ ＋４＝５．所以ｘ２＋４ｘ＝１．所以ｘ２＋４ｘ－１０＝１－１０＝－９． （２）因为ｘ＝槡５－１２ ，所以２ｘ＋１＝槡５．所以（２ｘ＋１） ２ ＝ ５，即４ｘ２＋４ｘ＋１＝５．所以ｘ２＋ｘ＝１．所以ｘ３＋ｘ２＋１＝ｘ（ｘ２ ＋ｘ）＋１＝槡５－１２ ＋１＝ 槡５＋１ ２ ． ２３．（１）槡５－１２ － ２ 槡５－１ ＝槡５－１２ － ２（槡５＋１） （槡５－１）（槡５＋１） ＝ 槡５－１ ２ － 槡５＋１ ２ ＝－１； 槡８－２ ２ － ２ 槡８－２ ＝槡８－２２ － ２（槡８＋２） （槡８－２）（槡８＋２） ＝槡８－２２ －槡８＋２２ ＝－２； 槡１３－３ ２ － ２ 槡１３－３ ＝槡１３－３２ － ２（槡１３＋３） （槡１３－３）（槡１３＋３） ＝槡１３－３２ － 槡１３＋３ ２ ＝－３． （２）槡２９－５２ － ２ 槡２９－５ ＝－５． （３） ｎ ２＋槡 ４－ｎ ２ － ２ ｎ２＋槡 ４－ｎ ＝－ｎ． 证明如下： 原式 ＝ ｎ ２＋槡 ４－ｎ ２ － ２（ ｎ２＋槡 ４＋ｎ） （ ｎ２＋４槡 －ｎ）（ ｎ ２＋４槡 ＋ｎ） ＝ ｎ２＋槡 ４－ｎ ２ － ｎ２＋槡 ４＋ｎ ２ ＝－ｎ． ２７期２版 １７．１勾股定理 １７．１．１认识勾股定理 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．１６；　４．６１． ５．根据题意，得∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＢ＝９０°． 在Ｒｔ△ＡＣＤ中，由勾股定理，得 ＣＤ ＝ ＡＣ２－ＡＤ槡 ２ ＝ １５２－１２槡 ２ ＝９． 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理，得 ＢＤ ＝ ＡＢ２－ＡＤ槡 ２ ＝ １３２－１２槡 ２ ＝５． 所以ＢＣ＝ＣＤ＋ＢＤ＝１４． １７．１．２勾股定理的验证及应用 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．４ｍ；　４．１０００；　５．１５． ６．由题意，得中间小正方形的边长为ａ－ｂ． 每个直角三角形的面积为： １ ２ａｂ＝ １ ２×８＝４． 根据题意，得４×１２ａｂ＋（ａ－ｂ） ２ ＝２５．解得（ａ－ｂ）２ ＝９． 所以ａ－ｂ＝３，即小正方形的边长为３． ７．（１）设ＡＢ＝ｘ米，则ＢＣ＝（ｘ＋１０）米                                                                      ． —２— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２５～２８期 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理，得ＡＢ２＋ＡＣ２ ＝ＢＣ２，即ｘ２＋ ７０２ ＝（ｘ＋１０）２．解得ｘ＝２４０． 答：该河的宽度ＡＢ为２４０米． （２）（２４０＋１０）÷５＋７０÷４＝６７．５（秒）． 答：航行总时间为６７．５秒． 能力提高　８．５． １７．２勾股定理的逆定理 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．１２；　４．直角三角形． ５．（１）逆命题是：若ａ３＝ｂ３，则ａ＝ｂ．原命题是真命题，逆 命题是真命题． （２）逆命题是：有两个锐角的三角形是钝角三角形．原命 题是真命题，逆命题是假命题． ６．（１）因为ＢＣ＝１５，ＣＤ＝９，ＢＤ＝１２，所以ＢＣ２＝ＣＤ２＋ ＢＤ２．所以△ＢＣＤ是直角三角形． （２）因为ＡＢ＝ＡＣ，所以ＡＤ＝ＡＢ－９．由（１），得∠ＡＤＢ＝ ９０°．在Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理，得ＡＢ２ ＝ＡＤ２＋ＢＤ２，即ＡＢ２ ＝（ＡＢ－９）２＋１２２．解得ＡＢ＝２５２． ２７期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｄ Ｄ Ａ Ａ 二、９．答案不惟一，如３，４，５；　１０．真；　１１．７； １２．ｃ２＋ａｂ，ａ２＋ｂ２＋ａｂ；　１３．１５；　１４．２５１６或 ５ ２或４． 三、１５．在Ｒｔ△ＡＣＤ中，由勾股定理，得ＡＣ＝ ＣＤ２－ＡＤ槡 ２ ＝ １３２－１２槡 ２ ＝５． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理，得 ＡＢ＝ ＡＣ２－ＢＣ槡 ２ ＝ ５２－４槡 ２ ＝３． 所以Ｓ四边形ＡＢＣＤ ＝Ｓ△ＡＢＣ＋Ｓ△ＡＣＤ ＝ １ ２ＡＢ·ＢＣ＋ １ ２ＡＤ·ＡＣ ＝ １２×３×４＋ １ ２×１２×５＝３６． １６．由题意，得ＡＢ＝１２×２＝２４（海里），∠ＢＡＣ＝１８０°－ ３５°－５５°＝９０°． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝３０海里，由勾股定理，得 ＡＣ＝ ＢＣ２－ＡＢ槡 ２ ＝ ３０２－２４槡 ２ ＝１８（海里）． 所以乙船的航速是：１８÷２＝９（海里 ／时）． 答：乙船的航速是９海里 ／时． １７．连接ＡＭ，图略． 因为ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝６，点Ｍ为ＢＣ的中点，所以ＡＭ⊥ ＢＣ，ＣＭ ＝ １２ＢＣ＝３． 在Ｒｔ△ＡＭＣ中，由勾股定理，得 ＡＭ ＝ ＡＣ２－ＣＭ槡 ２ ＝ ５２－３槡 ２ ＝４． 因为 Ｓ△ＡＭＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＭＮ ＝ １ ２ＡＭ·ＣＭ，所以 ＭＮ ＝ ＡＭ·ＣＭ ＡＣ ＝ １２ ５． １８．（１）因为ＢＤ＝１６，所以ＡＥ＝ＢＥ＝ＢＤ－ＤＥ＝１６－ ＤＥ． 因为ＡＤ⊥ＢＣ，所以∠ＡＤＥ＝∠ＡＤＣ＝９０°． 在Ｒｔ△ＡＤＥ中，由勾股定理，得ＡＥ２＝ＡＤ２＋ＤＥ２，即（１６－ ＤＥ）２ ＝１２２＋ＤＥ２． 解得ＤＥ＝３．５． （２）在Ｒｔ△ＡＢＤ中，由勾股定理，得ＡＢ＝ ＢＤ２＋ＡＤ槡 ２ ＝ １６２＋１２槡 ２ ＝２０． 在Ｒｔ△ＡＤＣ中，由勾股定理，得 ＣＤ ＝ ＡＣ２－ＡＤ槡 ２ ＝ １５２－１２槡 ２ ＝９． 所以ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝２５． 因为ＡＢ２＋ＡＣ２＝２０２＋１５２＝６２５，ＢＣ２＝２５２＝６２５，所以 ＡＢ２＋ＡＣ２ ＝ＢＣ２． 所以∠ＢＡＣ＝９０°． 附加题　１．因为点Ｎ是ＦＧ的中点，ＦＧ＝ＢＣ＝１２ｃｍ，所 以ＦＮ＝ １２ＢＣ＝６ｃｍ． ①将长方体展开，前面与上面所在的平面形成长方形 ＡＢＧＨ． 因为ＡＢ＝１８ｃｍ，ＢＦ＝１０ｃｍ，所以 ＢＭ ＝ＡＢ－ＡＭ ＝ １２ｃｍ，ＢＮ＝ＢＦ＋ＦＮ＝１６ｃｍ． 在 Ｒｔ△ＢＭＮ中，ＭＮ ＝ ＢＭ２＋ＢＮ槡 ２ ＝ １２２＋１６槡 ２ ＝ ２０（ｃｍ）． ②将长方体展开，前面与右面所在的平面形成长方形 ＡＣＧＥ，过点Ｎ作ＮＰ⊥ＢＣ于点Ｐ，图略． 所以ＢＰ＝ＦＮ＝６ｃｍ． 因为ＡＢ＝１８ｃｍ，ＢＦ＝１０ｃｍ，所以ＰＭ＝ＡＢ－ＡＭ＋ＢＰ ＝１８ｃｍ，ＰＮ＝ＢＦ＝１０ｃｍ． 在 Ｒｔ△ＰＭＮ中，ＭＮ ＝ ＰＭ２＋ＰＮ槡 ２ ＝ １８２＋１０槡 ２ ＝ 槡２ １０６（ｃｍ）． 因为２０＜ 槡２ １０６，所以它需要爬行的最短路程是２０ｃｍ． ２．（１）９０； （２）因为Ｓ四边形ＡＣＢＥ ＝Ｓ△ＡＣＢ＋Ｓ△ＡＢＥ ＝ １ ２ＡＢ·ＤＧ＋ １ ２ＡＢ ·ＥＧ＝ １２ＡＢ·（ＤＧ＋ＥＧ）＝ １ ２ＡＢ·ＤＥ＝ １ ２ｃ ２，Ｓ四边形ＡＣＢＥ ＝ Ｓ四边形ＡＣＦＥ＋Ｓ△ＥＦＢ ＝ １ ２（ＡＣ＋ＥＦ）·ＣＦ＋ １ ２ＢＦ·ＥＦ＝ １ ２（ｂ＋ ａ）ｂ＋１２（ａ－ｂ）·ａ＝ １ ２ｂ ２＋１２ａｂ＋ １ ２ａ ２－１２ａｂ＝ １ ２ａ ２                                                                      ＋ —３— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２５～２８期 １ ２ｂ ２，所以 １ ２ｃ ２ ＝ １２ａ ２＋１２ｂ ２，即ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２． ２８期评估卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ 二、１１．有两个角互余的三角形是直角三角形； １２．合格；　１３．１．６；　１４．３３或６５；　１５．５０． 三、１６．由勾股定理，得６２＋（ｘ＋２）２＝（ｘ＋４）２．解得ｘ＝６． １７．根据题意，得ＢＣ＝ＡＣ． 在Ｒｔ△ＢＯＣ中，根据勾股定理，得ＯＢ２＋ＯＣ２＝ＢＣ２，即５２ ＋（２５－ＢＣ）２ ＝ＢＣ２．解得ＢＣ＝１３ｍ． 答：机器人行走的路程ＢＣ为１３ｍ． ! ! ! " # " #$ １８．如图，将圆柱的侧面展开，ＡＣ⊥ ＢＣ，蚂蚁沿线段ＡＢ爬行路程最短． 因为圆柱的底面半径为４ｃｍ，所以 ＢＣ＝４π≈１２（ｃｍ）． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，根据勾股定理，得 ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ １３ｃｍ． 答：蚂蚁要爬行的最短路程是１３ｃｍ． １９．因为ｍ，ｎ为整数，且ｍ＞ｎ＞１，ａ＝ｍ２－ｎ２，ｂ＝２ｍｎ， ｃ＝ｍ２＋ｎ２，所以ａ，ｂ，ｃ均为正整数．因为（ｍ２－ｎ２）２＋（２ｍｎ）２ ＝ｍ４－２ｍ２ｎ２＋ｎ４＋４ｍ２ｎ２＝ｍ４＋２ｍ２ｎ２＋ｎ４，（ｍ２＋ｎ２）２＝ ｍ４＋２ｍ２ｎ２＋ｎ４．所以ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２．所以ａ，ｂ，ｃ为勾股数． ２０．（１）因为 ＡＢ＝２６米，ＡＤ＝２４米，ＢＤ＝１０米，所以 ＡＢ２ ＝ＢＤ２＋ＡＤ２．所以∠ＡＤＢ＝９０°． （２）由（１）知∠ＡＤＣ＝９０°． 因为ＡＣ比ＣＤ长１２米，所以ＡＣ＝ＣＤ＋１２． 由勾股定理，得ＣＤ２＋ＡＤ２ ＝ＡＣ２，即ＣＤ２＋２４２ ＝（ＣＤ＋ １２）２． 解得ＣＤ＝１８米． 所以ＡＣ＝３０米． 因为ＤＥ⊥ＡＣ，所以Ｓ△ＡＤＣ ＝ １ ２ＡＤ·ＣＤ＝ １ ２ＡＣ·ＤＥ． 所以ＤＥ＝ＡＤ·ＣＤＡＣ ＝ ７２ ５米． 答：小路ＤＥ的长为７２５米． ２１．设昆虫乙爬行遇到昆虫甲需要ｘｓ． 将长方体的侧面展开成一个平面，记相遇点为 Ｆ．根据题 意，得ＡＦ＝Ｃ１Ｆ＝ｘｃｍ． 因为ＡＢ＝ＢＣ＝６ｃｍ，ＡＡ１ ＝１４ｃｍ，所以ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ ＝１２ｃｍ，ＣＦ＝（１４－ｘ）ｃｍ． 在Ｒｔ△ＡＣＦ中，由勾股定理，得ＡＣ２＋ＣＦ２＝ＡＦ２，即１２２＋ （１４－ｘ）２ ＝ｘ２． 解得ｘ＝８５７． 答：昆虫乙至少需要 ８５ ７ｓ才能遇到昆虫甲． ２２．（１）因为Ｒｔ△ＢＥＦ≌Ｒｔ△ＢＥＧ，Ｒｔ△ＡＥＤ≌Ｒｔ△ＡＥＧ， 所以ＥＤ＝ＥＧ＝ＥＦ＝ｘ． 所以Ｓ△ＡＥＣ ＝ １ ２ｂｘ，Ｓ△ＢＥＣ ＝ １ ２ａｘ，Ｓ△ＡＥＢ ＝ １ ２ｃｘ，Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ａｂ． 因为Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＡＥＣ ＋Ｓ△ＢＥＣ ＋Ｓ△ＡＥＢ， 所以 １ ２ｂｘ＋ １ ２ａｘ＋ １ ２ｃｘ＝ １ ２ａｂ，即（ａ＋ｂ＋ｃ）ｘ＝ａｂ． 解得ｘ＝ ａｂａ＋ｂ＋ｃ． （２）根据题意，得 ａｂａ＋ｂ＋ｃ＝ ａ＋ｂ－ｃ ２ ． 所以（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）＝２ａｂ．所以（ａ＋ｂ）２－ｃ２ ＝ ２ａｂ． 所以ａ２＋ｂ２＋２ａｂ－２ａｂ＝ｃ２，即ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２． ２３．根据题意，得ＢＰ＝２ｔ． （１）当ｔ＝５时，ＰＣ＝ＢＣ－ＢＰ＝６． 在Ｒｔ△ＡＰＣ中，由勾股定理，得 ＡＰ＝ ＡＣ２＋ＰＣ槡 ２ ＝ ８２＋６槡 ２ ＝１０． （２）①当点Ｐ在线段ＢＣ上时，图略． 因为ＤＥ⊥ＡＰ，所以∠ＡＥＤ＝∠ＰＥＤ＝∠ＡＣＢ＝９０°． 因为ＰＤ平分∠ＡＰＣ，所以ＥＤ＝ＣＤ＝３． 在Ｒｔ△ＰＥＤ和Ｒｔ△ＰＣＤ中， ＰＤ＝ＰＤ， ＥＤ＝ＣＤ{ ，所以Ｒｔ△ＰＥＤ≌ Ｒｔ△ＰＣＤ（ＨＬ）． 所以ＰＥ＝ＰＣ＝１６－２ｔ． 因为ＡＣ＝８，所以ＡＤ＝ＡＣ－ＣＤ＝５． 在Ｒｔ△ＡＤＥ中，由勾股定理，得ＡＥ＝ ＡＤ２－ＤＥ槡 ２ ＝４． 所以ＡＰ＝ＡＥ＋ＰＥ＝２０－２ｔ． 在Ｒｔ△ＡＰＣ中，由勾股定理，得ＡＣ２＋ＰＣ２ ＝ＡＰ２，即８２＋ （１６－２ｔ）２ ＝（２０－２ｔ）２． 解得ｔ＝５． ②点Ｐ在线段ＢＣ的延长线上时，图略． 同①，得△ＰＥＤ≌△ＰＣＤ，ＡＥ＝４． 所以ＰＥ＝ＰＣ＝２ｔ－１６． 所以ＡＰ＝ＡＥ＋ＰＥ＝２ｔ－１２． 在Ｒｔ△ＡＰＣ中，由勾股定理，得ＡＣ２＋ＰＣ２ ＝ＡＰ２，即８２＋ （２ｔ－１６）２ ＝（２ｔ－１２）２． 解得ｔ＝１１． 综上所述，在点Ｐ的运动过程中，当ｔ的值为５或１１时，能 使ＰＤ平分∠                                                                      ＡＰＣ． —４— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２５～２８期 ! " # ! ! ! " # " $ " % ! " " # " $ & ! ' " " ( ! " # ! $ % & ' ( ) * + , - . ! $ / & ' ( ) * + - 0 1 2 3 4 5 6 7 ! 8 9 : ; < = > ? @ A ( ! " # $ % & ' & ' ( B ) C ! > ? & ' ( D E F G ! G H I J K L ! M N O A I * + , # - . !!!!!!!!!!!!!!!! ! ! """""""""""""""" " " ################ # # $$$$$$$$$$$$$$$$ $ $ %%%%%%%%%%%%%%%% % % &&&&&&&&&&&&&&&& & & '''''''''''''''' ' ' (((((((((((((((( ( ( )))))))))))))))) ) ) **************** * * //////////////// / / 0000000000000000 0 0 1111111111111111 1 1 ++++++++++++++++ + + 书 《勾股定理》综合评估卷 班级： 　姓名： 　学号： 　满分：１２０分 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 一、精心选一选（本大题共１０小题，每小题３分，共３０分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，斜边ＢＣ＝５，则ＡＢ２＋ＡＣ２ ＝ （　　） Ａ．５ Ｂ．２５ Ｃ．５０ Ｄ．１００ ２．如图１，阴影部分（长方形）的面积为 （　　） Ａ．１８ Ｂ．２４ Ｃ．３０ Ｄ．４８ ３．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ的对边分别是ａ，ｂ，ｃ．若∠Ｂ＋∠Ｃ＝９０°，则下列等式中成 立的是 （　　） Ａ．ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２ Ｂ．ｂ２＋ｃ２ ＝ａ２ Ｃ．ａ２＋ｃ２ ＝ｂ２ Ｄ．ｂ＋ｃ＝ａ ４．如图２，小亮家的木门左下角有一点受潮，他想检测门是否变形，准备采用如下方法：先 测量门的边ＡＢ和ＢＣ的长，再测量点Ａ和点Ｃ之间的距离，由此可推断∠Ｂ是否为直角，这样做 的依据是 （　　） Ａ．勾股定理 Ｂ．三角形内角和定理 Ｃ．勾股定理的逆定理 Ｄ．直角三角形的两锐角互余 ５．如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１５，ＢＣ＝１８，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，则ＡＤ＝ （　　） Ａ．１０ Ｂ．１１ Ｃ．１２ Ｄ．１３ ６．如图４，在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ｄ＝∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ＝１２，ＡＤ＝１６，ＢＣ＝１５，则ＡＢ＝ （　　） Ａ．２０ Ｂ．２５ Ｃ．３５ Ｄ．３０ 书 １７．如图１１，已知∠ＡＯＢ＝９０°，ＯＡ＝２５ｍ，ＯＢ＝５ｍ，一机器人在点Ｂ处看见一个小球从 点Ａ出发沿着ＡＯ方向匀速滚向点Ｏ，机器人立即从点Ｂ出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在 点Ｃ处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，求机器人行走的路程ＢＣ． １８．如图１２，已知一个圆柱高５ｃｍ，底面半径是４ｃｍ，一只蚂蚁从点Ａ爬到点Ｂ处吃食，求蚂 蚁沿圆柱侧面要爬行的最短路程（π取３）． 四、耐心解一解（本大题共３小题，每小题９分，共２７分） １９．若ｍ，ｎ为整数，且ｍ＞ｎ＞１，ａ＝ｍ２－ｎ２，ｂ＝２ｍｎ，ｃ＝ｍ２＋ｎ２．试说明：ａ，ｂ，ｃ为勾股 数． 书 ７．如图５所示的是一种机器人行走的路径，机器人从Ａ点先往东走４ｍ，又往北走１．５ｍ，遇 到障碍后又往西走２ｍ，再转向北走４．５ｍ后往东一拐，仅走０．５ｍ就到达了Ｂ点，则点Ａ与点 Ｂ之间的直线距离是 （　　） Ａ．３．５ｍ Ｂ．４．５ｍ Ｃ．５．５ｍ Ｄ．６．５ｍ ８．现有如图６所示的四边形ＡＢＣＤ，对角线ＡＣ⊥ＢＤ，点Ｏ是垂足．若ＡＢ＝６，ＣＤ＝１０，则 ＡＤ２＋ＢＣ２ ＝ （　　） Ａ．１６ Ｂ．１３６ Ｃ．３６ Ｄ．１６４ ９．如果正整数ａ，ｂ，ｃ满足等式ａ２＋ｂ２＝ｃ２，那么正整数ａ，ｂ，ｃ叫作勾股数．如图７是某同学 探究勾股数的过程，观察图中每组数的规律，可知ｘ＋ｙ的值为 （　　） Ａ．４７ Ｂ．６２ Ｃ．７９ Ｄ．９８ １０．如图８是由四个全等的直角三角形拼合而成．若图中大、小正方形的面积分别为６２１２ 和４，则直角三角形中较长直角边的长为 （　　） Ａ．１３２ Ｂ．５ Ｃ． ９ ２ Ｄ．４ 二、细心填一填（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １１．“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 ． １２．李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是３０ｃｍ，４０ｃｍ和５０ｃｍ，则 这个教具 （填“合格”或“不合格”）． １３．如图９，从电线杆离地面３ｍ的Ａ点向地面拉一条长为３．４ｍ的钢索，ＡＣ⊥ＢＣ，这条钢 索在地面的固定点Ｂ到电线杆底部Ｃ点的距离是 ｍ． １４．已知一个三角形的三边长分别为４，ａ，７，当ａ２ ＝ 时，此三角形为直角三角形． １５．如图１０，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＢ＝２５，ＡＣ＝１５，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＢＤ⊥ＡＤ于点 Ｄ，则Ｓ△ＢＤＣ的值为 ． 三、耐心解一解（本大题共３小题，第１６题６分，第１７题７分，第１８题８分，共２１分） １６．已知△ＡＢＣ的三边长分别为６，ｘ＋２，ｘ＋４，若该三角形是以ｘ＋４为斜边的直角三角形， 求ｘ的值． !" # $ ! 2 %" $ ! ! 3 4 5 . ! + % " $ ! ! 6 ! . " $ & % ! ! - +7- 8 3 8 &7- 8 6 8 $ ' 67- 8 ! ' ( 2 5 +- 36 ) * 6 . 5 +& ! + , - +& +' 3. .- ! 5 ( * , ! 9 ' # - $ % ! " ! +& ! ++ & % $ " ! +3 " $ ! ! " # $ % & ' ( ! ) * + , - ! . $ / 0 1 % ! " # $ % # & ' $ & # ( ! 2 3 4 5 % ) " # $ ! # & ' $ & ( * ! 6 3 7 8 % 9 : ; < = > ? @ A B C D & ) & E F G * 3 H I J K 3 L . M / ! N O . P % ) " ) ) ) ( ! 6 3 U 9 : + 8 V W X Y Z [ \ < = > ] ^ _ A ` a b c d V e f 5 书 ２３．如图１６，已知在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝８，ＢＣ＝１６，Ｄ是ＡＣ上的一点，ＣＤ＝ ３，点Ｐ从Ｂ点出发沿射线ＢＣ方向以每秒２个单位的速度向右运动．设点Ｐ的运动时间为ｔ秒， 连接ＡＰ，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＰ于点Ｅ． （１）当ｔ＝５时，求ＡＰ的长度； （２）连接ＰＤ，在点Ｐ的运动过程中，当ｔ为何值时，能使ＰＤ平分∠ＡＰＣ？ 书 ２０．为迎接六十周年校庆，某学校准备将一块三角形空地ＡＢＣ进行新的规划，如图１３，点Ｄ 是ＢＣ边上的一点，过点Ｄ作垂直于ＡＣ的小路ＤＥ，点Ｅ在ＡＣ边上．经测量，ＡＢ＝２６米，ＡＤ＝ ２４米，ＢＤ＝１０米，ＡＣ比ＣＤ长１２米． （１）试说明：∠ＡＤＢ＝９０°； （２）求小路ＤＥ的长． ２１．如图１４，长方体的棱长分别为ＡＢ＝ＢＣ＝６ｃｍ，ＡＡ１ ＝１４ｃｍ，假设昆虫甲从盒内顶点 Ｃ１开始以１ｃｍ／ｓ的速度在盒子的内部沿棱Ｃ１Ｃ向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点Ａ以相同的速 度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能遇到昆虫甲？ 书 五、耐心解一解（本大题共２小题，第２２题１３分，第２３题１４分，共２７分） ２２．如图１５，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，在直角三角形ＡＢＣ 中，∠ＡＣＢ＝９０°，直角三角形ＡＤＥ与直角三角形ＡＧＥ全等，直角三角形ＢＦＥ与直角三角形ＢＧＥ 全等，ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，正方形ＤＥＦＣ中，ＤＥ＝ＥＦ＝ＣＦ＝ＣＤ＝ｘ．小明发明了一种求 正方形边长的方法：由题意可得ＢＦ＝ＢＧ＝ａ－ｘ，ＡＤ＝ＡＧ＝ｂ－ｘ，因为ＡＢ＝ＢＧ＋ＡＧ，所以 ａ－ｘ＋ｂ－ｘ＝ｃ，解得ｘ＝ａ＋ｂ－ｃ２ ． （１）小亮也发现了另一种求正方形ＤＥＦＣ边长的方法：连接ＣＥ，利用Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＡＥＢ＋Ｓ△ＡＥＣ ＋Ｓ△ＢＥＣ可以得到ｘ与ａ，ｂ，ｃ的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程（ｘ用含ａ，ｂ，ｃ的代数 式表示）； （２）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理． \ghijklQm no !"63poq ! $" !" # $ % ! $( $ # " % & ! $ " # ' % ( ! ! $# % ! 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