三角函数全真试题专项解析-【数理报】2025年高考数学专项提分

! " # $ ! 书 一、注重诱导公式和三角恒等式的学习 利用诱导公式可以把任意的三角函数转化 为锐角三角函数，诱导公式起着变名、变号、变角 等作用，可用“奇变偶不变，符号看象限”来帮助 记忆．三角恒等式在运用时要审查公式成立的条 件，要熟练掌握公式的逆用、反用、变形用，注意升 幂、降幂的特定公式． 二、注重三角函数的图象、性质的学习 熟练掌握和运用函数 ｙ＝ｓｉｎｘ，ｙ＝ｃｏｓｘ， ｙ＝ｔａｎｘ的性质解决三角函数的定义域、值域、 单调性、奇偶性、周期性等问题，这是解决函数与 三角函数结合问题的基础．重点掌握函数 ｙ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ），ｙ＝Ａｃｏｓ（ωｘ＋φ）两类函数的五点 作图法和图象变换过程，有关三角函数的定义域 与值域问题，最大值、最小值问题通常把函数解 析式化为ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）＋Ｂ这种结构，然后 根据图象去求解． 三、注重解三角形知识的学习 在高考解答题中解三角形知识常与三角函 数知识结合考查．正弦定理和余弦定理是解三角 形问题的主要工具，是联系三角形边和角关系的 桥梁，在解答过程中要通过三角公式对由其得到 的关系式进行化简、变形、整理，得到三角形的边 角关系．另外要注意角的取值范围和三角形这一 特定的几何背景． 四、注重三角函数应用题 三角函数的实际应用是指用三角函数理论 解决生产、科研和日常生活中的实际问题．三角 函数的知识产生于测量、航海和天文学，进而在 机械制造、电工、物理学等学科中得到广泛应用． 对于测量、航海问题，要理解有关仰角、俯角、方 位角等概念，画出示意图，将问题归结为解三角 形问题． 五、注重常见方法和技巧的学习 化归与转化思想是三角函数问题的主要思 想，主要表现在变换上，多种变换都需要我们去 掌握． 函数的变换：如切化弦，一般来说把正切函 数变为正、余弦函数便于问题的解决，我们可用 同角三角函数关系中商数关系来转换；再如用诱 导公式呈现正弦和余弦之间的转化． 其他常用的变换主要有： （１）１的变换：如 １＝ｔａｎπ４，１＝ｓｉｎ ２α＋ ｃｏｓ２α等． （２）角的变换：如α＝２·α２，α＝（α＋β）－β， α＝１２［（α＋β）＋（α－β）］等． （３）式的变换：如ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ２α－１＝１－ ２ｓｉｎ２α，ｃｏｓ２α＝１＋ｃｏｓ２α２ ，ｓｉｎ ２α＝１－ｃｏｓ２α２ ． （４）幂的变换：如ｓｉｎα＋ｃｏｓα，ｓｉｎα－ｃｏｓα， ｓｉｎα·ｃｏｓα，这三个式子如果已知其中一个式子 的值，则其余两个的值也可求出． 题型一、 例１ 已知角α的顶点为坐标原点，始边与 ｘ轴的非负半轴重合，终边上有两点 Ａ（１，ａ）， Ｂ（２，ｂ），且ｃｏｓ２α＝２３，则｜ａ－ｂ｜＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （Ａ）１５ （Ｂ） 槡５ ５ （Ｃ） 槡２５５ （Ｄ）１ 解析：由题意知ｃｏｓα＞０． 因为ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ２α－１＝２３， 所以ｃｏｓα＝槡 ５ ６，ｓｉｎα＝±槡 １ ６， 得｜ｔａｎα｜＝槡５５． 由题意知｜ｔａｎα｜＝ ａ－ｂ １－２ ， 所以｜ａ－ｂ｜＝槡５５． 故选（Ｂ）． 点评：本题主要考查任意角的三角函数和三 角恒等变换，考查学生分析问题、解决问题的能 力以及运算求解能力． 题型二、 例２ 已知ｃｏｓ（α＋β）＝ｍ，ｔａｎαｔａｎβ＝２， 则ｃｏｓ（α－β）＝ （　　） （Ａ）－３ｍ （Ｂ）－ｍ３ （Ｃ）ｍ３ （Ｄ）３ｍ 解析：由ｃｏｓ（α＋β）＝ｍ得 ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ＝ｍ． ① 由ｔａｎαｔａｎβ＝２得ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ ＝２， ② 由①②得 ｃｏｓαｃｏｓβ＝－ｍ， ｓｉｎαｓｉｎβ＝－２ｍ{ ， 所以ｃｏｓ（α－β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ ＝－３ｍ，故选（Ａ）． 点评：本题考查两角和与差的余弦公式、切 化弦，利用方程组及整体思想解答，考查运算求 解能力． 例３ 已知 α为锐角，ｃｏｓα＝１＋槡５４ ，则 ｓｉｎα２ ＝ （　　） （Ａ）３－槡５８ （Ｂ） －１＋槡５ ４ （Ｃ）３－槡５４ （Ｄ） －１＋槡５ ４ 解析：由题意，ｃｏｓα ＝１＋槡５４ ＝１－ ２ｓｉｎ２α２，得ｓｉｎ ２α ２＝ ３－槡５ ８ ，将选项逐个代入验 证可知（Ｄ）选项满足，故选（Ｄ）． 点评：本题考查学生对余弦的二倍角公式深 入理解，并能够灵活应用，同时考查运算求解能 力． 例４ 已知α为第一象限角，β为第三象限 角，ｔａｎα＋ｔａｎβ＝４，ｔａｎαｔａｎβ＝槡２＋１，则 ｓｉｎ（α＋β）＝ ． 解析：由题知ｔａｎ（α＋β）＝ ｔａｎα＋ｔａｎβ１－ｔａｎα·ｔａｎβ ＝ ４ １－槡２－１ ＝－ 槡２２， 即ｓｉｎ（α＋β）＝－ 槡２２ｃｏｓ（α＋β）， 又ｓｉｎ２（α＋β）＋ｃｏｓ２（α＋β）＝１， 可得ｓｉｎ（α＋β）＝± 槡２２３． 由２ｋπ＜α＜２ｋπ＋π２，ｋ∈Ｚ， ２ｍπ＋π＜β＜２ｍπ＋３π２，ｍ∈Ｚ， 得２（ｋ＋ｍ）π＋π＜α＋β＜２（ｋ＋ｍ）π＋ ２π，ｋ＋ｍ∈Ｚ． 又ｔａｎ（α＋β）＜０， 所以α＋β是第四象限角， 故ｓｉｎ（α＋β）＝－ 槡２２３． 点评：本题考查两角和的正切公式、同角三 角函数的基本关系，考查运算求解能力． 题型三、 例５ 下列函数中，最小正周期是２π的是 （　　） （Ａ）ｙ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ （Ｂ）ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ （Ｃ）ｙ＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ （Ｄ）ｙ＝ｓｉｎ２ｘ－ｃｏｓ２ｘ 解析：对于（Ａ），ｙ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝槡 (２ｓｉｎ ｘ ＋π )４ ，其最小正周期为２π，（Ａ）正确； 对于（Ｂ），ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝１２ｓｉｎ２ｘ，其最小 正周期为π，（Ｂ）错误； 对于（Ｃ），ｙ＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝１，为常值函 数，不存在最小正周期，（Ｃ）错误； 对于（Ｄ），ｙ＝ｓｉｎ２ｘ－ｃｏｓ２ｘ＝－ｃｏｓ２ｘ，其 最小正周期为π，（Ｄ）错误． 故选（Ａ）． 点评：本题考查三角函数的周期性，考查学 生的转化与化归能力以及运算求解能力． 例６ 已知函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ωｘ＋φ）在区 %&'()'*+ )'*+,-./01 )2*+,34567 !!" # $ ! ! " # $ 书 (间 π６，２π)３ 单调递增，直线ｘ＝π６和ｘ＝２π３为 函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象的两条相邻对称轴，则 (ｆ －５π)１２ ＝ （　　） （Ａ）－槡３２ （Ｂ）－ １ ２ （Ｃ）１２ （Ｄ） 槡３ ２ 解析：由题意得 １ ２× ２π ω ＝２π３ － π ６，解得 ω ＝２，易知ｘ＝π６是ｆ（ｘ）的最小值点， 所以 π ６×２＋φ＝ ３π ２＋２ｋπ（ｋ∈Ｚ）， 得φ＝７π６＋２ｋπ（ｋ∈Ｚ），于是 ｆ（ｘ）＝ (ｓｉｎ２ｘ＋７π６＋２ｋ )π ＝ (ｓｉｎ２ｘ＋７π)６ ， (ｆ －５π)１２ ＝ (ｓｉｎ －５π１２×２＋７π)６ ＝ｓｉｎπ３＝槡３２． 故选（Ｄ）． 点评：本题主要考查三角函数的图象与性 质，考查学生的化归与转化能力以及运算求解能 力． 例７ 函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ－槡３ｃｏｓｘ在［０，π］ 上的最大值是 ． 解析：由题意知ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ－槡３ｃｏｓｘ ＝ (２ｓｉｎ ｘ－π )３ ， 当ｘ∈［０，π］时，ｘ－π３ [∈ －π３，２π]３ ， 当ｘ－π３ ＝ π ２，即ｘ＝ ５π ６时，ｆ（ｘ）ｍａｘ＝２． 点评：本题考查辅助角公式和三角函数的最 值，同时考查运算求解能力． 例８ 已知函数ｆ（ｘ）＝ (ｓｉｎ３ ωｘ＋π )３ （ω ＞０）的最小正周期为π，则ｆ（ｘ） [在 －π１２，π ]６ 的最小值为 （　　） （Ａ）－槡３２ （Ｂ）－ ３ ２ （Ｃ）０ （Ｄ）３２ 解析：由ｆ（ｘ）的最小正周期为π， 可得π＝２π３ω ，所以ω＝２３， 所以ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（２ｘ＋π）＝－ｓｉｎ２ｘ． 当ｘ [∈ －π１２，π ]６ 时， ２ｘ [∈ －π６，π ]３ ，ｓｉｎ２ｘ [∈ －１２，槡３]２ ， 所以ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝－槡 ３ ２，故选（Ａ）． 点评：本题考查三角函数的图象与性质，考 查学生的转化与化归能力以及运算求解能力． 例９ 对于函数 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ和 ｇ（ｘ）＝ (ｓｉｎ ２ｘ－π )４ ，下列说法中正确的有 （　　） （Ａ）ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）有相同的零点 （Ｂ）ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）有相同的最大值 （Ｃ）ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）有相同的最小正周期 （Ｄ）ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的图象有相同的对称轴 解析：对于（Ａ），令ｆ（ｘ）＝０，则ｘ＝ｋπ２，ｋ∈ Ｚ，又 (ｇ ｋπ)２ ≠０，故（Ａ）错误； 对于（Ｂ），ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的最大值都为１，故 （Ｂ）正确； 对于（Ｃ），ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的最小正周期都为 π，故（Ｃ）正确； 对于（Ｄ），ｆ（ｘ）图象的对称轴方程为２ｘ＝ π ２＋ｋπ，ｋ∈Ｚ，即ｘ＝ π ４＋ ｋπ ２，ｋ∈Ｚ，ｇ（ｘ）图 象的对称轴方程为２ｘ－π４＝ π ２＋ｋπ，ｋ∈Ｚ，即 ｘ＝３π８＋ ｋπ ２，ｋ∈Ｚ，故ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的图象的 对称轴不相同，故（Ｄ）错误． 故选（Ｂ）（Ｃ）． 点评：本题考查三角函数的图象与性质和零 点问题，考查学生的应用意识及计算能力． 例１０ 设函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎωｘ（ω＞０）．已知 ｆ（ｘ１）＝－１，ｆ（ｘ２）＝１，且｜ｘ１－ｘ２｜的最小值 为 π ２，则ω＝ （　　） （Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４ 解析：因为ｆ（ｘ）＝ｓｉｎωｘ∈［－１，１］， 且ｆ（ｘ１）＝－１，ｆ（ｘ２）＝１， ｜ｘ１－ｘ２｜ｍｉｎ ＝ π ２， 所以ｆ（ｘ）的最小正周期Ｔ＝２×π２ ＝π， 所以ω＝２πＴ ＝２． 点评：本题考查正弦函数的图象与性质，考 查学生的应用意识及逻辑推理能力． 例１１ 当ｘ∈［０，２π］时，曲线ｙ＝ｓｉｎｘ与 ｙ＝ (２ｓｉｎ ３ｘ－π )６ 的交点个数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）３ （Ｂ）４ （Ｃ）６ （Ｄ）８ 解析：因为函数ｙ＝ (２ｓｉｎ３ｘ－π )６ 的最小 正周期Ｔ＝２π３，所以函数ｙ＝ (２ｓｉｎ ３ｘ－π )６ 在 ［０，２π］上的图象恰好是三个周期的图象， 所以作出函数 ｙ＝ (２ｓｉｎ３ｘ－ π )６ 与 ｙ＝ｓｉｎｘ在［０，２π］上的图象如下图所示， 由图可知，这两个图象共有６个交点， 故选（Ｃ）． 点评：本题考查正弦函数的图象与性质，考 查数形结合思想以及运算求解能力． 例１２ 已知函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓωｘ－１（ω＞０） 在区间［０，２π］有且仅有３个零点，则 ω的取值 范围是 ． 解析：函数 ｆ（ｘ）＝ｃｏｓωｘ－１在区间［０， ２π］有且仅有３个零点，即ｃｏｓωｘ＝１在区间［０， ２π］有且仅有３个根，因为ω＞０，ｘ∈［０，２π］， 所以ωｘ∈［０，２ωπ］，则由余弦函数的图象可知， ４π≤２ωπ＜６π，解得２≤ω＜３，即ω的取值范 围是［２，３）． 点评：本题主要考查余弦函数的图象与性 质，通过三角函数的零点个数确定参数的取值范 围，考查学生的化归与转化能力以及运算求解能 力． 题型四、 例１３ 已知 ｃｏｓαｃｏｓα－ｓｉｎα ＝槡３，则 (ｔａｎ α＋ π )４ ＝ （　　） （Ａ）槡２３＋１ （Ｂ）槡２３－１ （Ｃ）槡３２ （Ｄ）１－槡３ 解析：根据题意有 ｃｏｓα－ｓｉｎα ｃｏｓα ＝槡３３， 即１－ｔａｎα＝槡３３，所以ｔａｎα＝１－ 槡３ ３， 所以 (ｔａｎ α＋π )４ ＝ｔａｎα＋１１－ｔａｎα ＝ ２－槡３３ 槡３ ３ ＝ 槡２３－１， 故选（Ｂ）． 点评：本题主要考查三角函数的恒等变换， 考查学生的转化与化归能力以及运算求解能力． 例１４若３ｓｉｎα－ｓｉｎβ＝槡１０，α＋β＝ π ２， 则ｓｉｎα＝ ，ｃｏｓ２β＝ ． 解析：因为α＋β＝π２，所以β＝ π ２－α，所以 ３ｓｉｎα－ｓｉｎβ＝３ｓｉｎα－ (ｓｉｎ π２－ )α ＝３ｓｉｎα －ｃｏｓα＝槡１０ｓｉｎ（α－φ）＝槡１０，其中 ｓｉｎφ ＝槡１０１０，ｃｏｓφ＝ 槡３ １０ １０ ．所以α－φ＝ π ２＋２ｋπ， ｋ∈Ｚ，所以α＝π２＋φ＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ，所以ｓｉｎα ＝ (ｓｉｎ π２＋φ＋２ｋ )π ＝ｃｏｓφ＝ 槡３ １０１０ ．因为 ｓｉｎβ＝３ｓｉｎα－槡１０＝－槡 １０ １０，所以ｃｏｓ２β＝ １－２ｓｉｎ２β＝１－１５ ＝ ４ ５． 点评：本题主要考查三角函数的恒等变换， 利用诱导公式及辅助角公式求得 ｓｉｎα的值，再 %&'()*+, !"!"# # $ $! ! %! & $! & !%$!'( &$& ! ! ! " $ ) *) *$ ' ! ! ! ! ! 书 利用二倍角的余弦公式计算求值，考查学生的转 化与化归能力以及运算求解能力． 题型五、 例１５ 在 △ＡＢＣ中，内角 Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边 分别为ａ，ｂ，ｃ，若 Ｂ＝π３，ｂ ２ ＝９４ａｃ，则 ｓｉｎＡ＋ ｓｉｎＣ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （Ａ） 槡２ ３９１３ （Ｂ） 槡３９ １３ （Ｃ）槡７２ （Ｄ） 槡３ １３ １３ 解析：由正弦定理得 ９ ４ｓｉｎＡｓｉｎＣ＝ｓｉｎ ２Ｂ， 因为Ｂ＝π３，所以ｓｉｎＡｓｉｎＣ＝ ４ ９ｓｉｎ ２Ｂ＝１３．由 余弦定理得ｂ２ ＝ａ２＋ｃ２－２ａｃ·ｃｏｓＢ＝ａ２＋ｃ２ －ａｃ＝９４ａｃ，所以ａ ２＋ｃ２ ＝１３４ａｃ，所以ｓｉｎ ２Ａ＋ ｓｉｎ２Ｃ＝１３４ｓｉｎＡｓｉｎＣ，所以（ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ） ２ ＝ ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｃ＋２ｓｉｎＡｓｉｎＣ＝２１４ｓｉｎＡｓｉｎＣ＝ ７ ４， 又 ｓｉｎＡ＞０，ｓｉｎＣ＞０，所以ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ＝槡７２． 点评：本题主要考查正、余弦定理在解三角 形中的应用，意在考查学生的化归与转化能力、 运算求解能力． 例１６ 记△ＡＢＣ的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别 为ａ，ｂ，ｃ，已知 ｓｉｎＣ＝槡２ｃｏｓＢ，ａ ２＋ｂ２－ｃ２ ＝ 槡２ａｂ． （１）求Ｂ； （２）若△ＡＢＣ的面积为３＋槡３，求ｃ． 解析：（１）由余弦定理得 ｃｏｓＣ＝ａ ２＋ｂ２－ｃ２ ２ａｂ ＝ 槡２ ２， 又０＜Ｃ＜π，所以Ｃ＝π４． 所以槡２ｃｏｓＢ＝ｓｉｎＣ＝槡 ２ ２，所以ｃｏｓＢ＝ １ ２， 又０＜Ｂ＜π，所以Ｂ＝π３． （２）由（１）得Ａ＝π－Ｂ－Ｃ＝５π１２， 由正弦定理 ａ ｓｉｎＡ＝ ｃ ｓｉｎＣ，得 ａ 槡２＋槡６ ４ ＝ ｃ 槡２ ２ ， 所以ａ＝１＋槡３２ ｃ． 所以△ＡＢＣ的面积Ｓ＝１２ａｃｓｉｎＢ ＝１＋槡３４ ｃ ２×槡３２ ＝３＋槡３， 得ｃ＝ 槡２２． 点评：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形 的面积公式，意在考查学生的化归与转化能力、 运算求解能力． 例１７ 记△ＡＢＣ的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别 为ａ，ｂ，ｃ，已知ｓｉｎＡ＋槡３ｃｏｓＡ＝２． （１）求Ａ； （２）若ａ＝２，槡２ｂｓｉｎＣ＝ｃｓｉｎ２Ｂ，求△ＡＢＣ 的周长． 解析：（１）由ｓｉｎＡ＋槡３ｃｏｓＡ＝２， 得 １ ２ｓｉｎＡ＋ 槡３ ２ｃｏｓＡ＝１， 所以 (ｓｉｎ Ａ＋π )３ ＝１． 因为０＜Ａ＜π，所以π３ ＜Ａ＋ π ３ ＜ ４π ３， 所以Ａ＋π３ ＝ π ２，故Ａ＝ π ６． （２）由槡２ｂｓｉｎＣ＝ｃｓｉｎ２Ｂ， 得槡２ｂｓｉｎＣ＝２ｃｓｉｎＢｃｏｓＢ， 由正弦定理得槡２ｓｉｎＢｓｉｎＣ＝２ｓｉｎＣｓｉｎＢｃｏｓＢ， 所以ｃｏｓＢ＝槡２２， 因为０＜Ｂ＜π，所以Ｂ＝π４． Ｃ＝π－（Ａ＋Ｂ）＝７π１２， 所以ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ７π１２＝ (ｓｉｎ π３＋π )４ ＝ｓｉｎπ３ｃｏｓ π ４＋ｃｏｓ π ３ｓｉｎ π ４ ＝槡３２× 槡２ ２＋ １ ２× 槡２ ２ ＝ 槡６＋槡２ ４ ． 由正弦定理 ａ ｓｉｎＡ＝ ｂ ｓｉｎＢ＝ ｃ ｓｉｎＣ， 得 ２ ｓｉｎπ６ ＝ ｂ ｓｉｎπ４ ＝ ｃ ｓｉｎ７π１２ ， 解得ｂ＝ 槡２２，ｃ＝槡６＋槡２， 所以△ＡＢＣ的周长为ａ＋ｂ＋ｃ＝２＋槡６＋槡３２． 点评：本题考查辅助角公式、二倍角公式、正 弦定理等，意在考查学生的逻辑思维能力、运算 求解能力． 例１８记△ＡＢＣ的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别 为ａ，ｂ，ｃ，已知△ＡＢＣ的面积为槡３，Ｄ为ＢＣ的中 点，且ＡＤ＝１． （１）若∠ＡＤＣ＝π３，求ｔａｎＢ； （２）若ｂ２＋ｃ２ ＝８，求ｂ，ｃ． 解析：（１）因为Ｄ为ＢＣ的中点， 所以Ｓ△ＡＤＣ ＝ １ ２ＡＤ·ＤＣｓｉｎ∠ＡＤＣ＝ １ ２×１ ×１２ａ× 槡３ ２ ＝ 槡３ ８ａ＝ １ ２Ｓ△ＡＢＣ ＝ 槡３ ２，解得ａ＝４． 在△ＡＢＤ中，∠ＡＤＢ＝２π３，由余弦定理得 ｃ２ ＝ＢＤ２＋ＡＤ２－２ＢＤ·ＡＤｃｏｓ∠ＡＤＢ， 即ｃ２ ＝４＋１－２×２×１ (× － )１２ ＝７， 解得ｃ＝槡７，则ｃｏｓＢ＝ ７＋４－１ 槡２７×２ ＝ 槡５７１４， ｓｉｎＢ＝ １－ｃｏｓ２槡 Ｂ＝ １ (－ 槡５７)１４槡 ２ ＝槡２１１４， 所以ｔａｎＢ＝ｓｉｎＢｃｏｓＢ＝ 槡３ ５． （２）在△ＡＢＤ和 △ＡＣＤ中，由余弦定理得 ｃ２ ＝１４ａ ２＋１－２×１２ａ×１×ｃｏｓ（π－∠ＡＤＣ）， ｂ２ ＝１４ａ ２＋１－２×１２ａ×１×ｃｏｓ∠ＡＤＣ { ， 整理得 １ ２ａ ２＋２＝ｂ２＋ｃ２，结合ｂ２＋ｃ２＝８， 解得ａ＝ 槡２３． 又Ｓ△ＡＤＣ ＝ １ ２×槡３×１×ｓｉｎ∠ＡＤＣ ＝１２Ｓ△ＡＢＣ ＝ 槡３ ２， 解得ｓｉｎ∠ＡＤＣ＝１，而０＜∠ＡＤＣ＜π， 所以∠ＡＤＣ＝π２，ｂ＝ｃ＝ ＡＤ ２＋ＣＤ槡 ２ ＝２． 点评：本题主要考查正、余弦定理，三角形的 面积公式以及同角三角函数间的基本关系，意在 考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力． 例１９已知在△ＡＢＣ中，Ａ＋Ｂ＝３Ｃ，２ｓｉｎ（Ａ －Ｃ）＝ｓｉｎＢ． （１）求ｓｉｎＡ； （２）设ＡＢ＝５，求ＡＢ边上的高． 解析：（１）因为Ａ＋Ｂ＝３Ｃ， 所以π－Ｃ＝３Ｃ，解得Ｃ＝π４． 又２ｓｉｎ（Ａ－Ｃ）＝ｓｉｎＢ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｃ）， 所以２ｓｉｎＡｃｏｓＣ－２ｃｏｓＡｓｉｎＣ＝ｓｉｎＡｃｏｓＣ＋ ｃｏｓＡｓｉｎＣ， 即ｓｉｎＡｃｏｓＣ＝３ｃｏｓＡｓｉｎＣ，即ｓｉｎＡ＝３ｃｏｓＡ， 所以ｔａｎＡ＝３，又０＜Ａ＜π２， 所以ｓｉｎＡ＝ ３ 槡１０ ＝ 槡３ １０１０ ． （２）由（１）得ｃｏｓＡ＝ １ 槡１０ ＝槡１０１０． 所以ｓｉｎＢ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｃ） ＝ｓｉｎＡｃｏｓＣ＋ｃｏｓＡｓｉｎＣ ＝槡２(２ 槡３ １０１０ ＋槡１０)１０ ＝ 槡２５５， 由正弦定理 ＡＣ ｓｉｎＢ＝ ＡＢ ｓｉｎＣ， 得ＡＣ＝ＡＢ·ｓｉｎＢｓｉｎＣ ＝ ５× 槡２５５ 槡２ ２ ＝ 槡２ １０， 故ＡＢ边上的高为 ＡＣ×ｓｉｎＡ＝ 槡２ １０× 槡 ３ １０ １０ ＝６． 点评：本题主要考查正、余弦定理，两角和与 差的正弦公式，以及同角三角函数间的基本关 系，意在考查学生的逻辑思维能力、运算求解能 力． ! 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