函数与不等式全真试题专项解析-【数理报】2025年高考数学专项提分

书 函数是中学数学的重点内容，它几乎贯穿中 学数学的始终，蕴涵着中学阶段的所有理念、思 想及方法，它是进一步学习高等数学的基础，因 而是高考数学的考查重点、热点，在历年的高考 中所占比例较大．这些试题不仅考查有关函数的 基本知识、基本技能及基本方法，而且注重考查 逻辑思维能力、运算能力，以及分析问题和解决 问题的能力．通过函数的基本知识、基本方法在 三角函数、数列、立体几何、解析几何等各部分知 识中的应用，从而提高分析问题与解决问题的能 力．因此，我们有必要对函数的相关知识点及其 相互之间的内在联系以及高考命题规律作重点 的讲解与分析． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、函数的三要素 定义域、值域、对应法则是函数的三要素，定 义域是三要素中最关键的要素，是使函数有意义 所必须具备的前提条件．没有定义域的“函数” 就构不成函数，而大多数同学最容易忽视的也是 这一点，因此解题时要遵循“定义域优先”的原 则．函数的对应法则是联系函数的自变量与函数 值之间关系的“桥梁”，中学阶段函数的对应法 则常见的有解析式、图象、图表三种，在表示一个 函数时，它们各有特色．解析式的特点是简洁，图 象、图表的特点是直观．函数的值域是研究函数 的一个落脚点，它是自变量取遍定义域内所有 值，通过对应法则得到的函数值的全体．函数值 域的求法很多，因此函数的值域在函数学习中是 一个难点，注意函数的最值也可以利用求值域的 方法来求取．这部分知识是高考考查的重点和热 点，经常涉及到方程、不等式、导数等问题． 二、函数的单调性 函数的单调性是研究函数图象形态走势的 一种重要工具．求函数的值域、比较函数值的大 小、解不等式等都离不开函数的单调性，判断函 数单调性的常见方法有定义法、值域法、图象法、 导数法．值得注意的是，函数的单调性是针对函 数定义域内的某个区间而言的．导函数的正负也 是判定函数单调性的一种方法． 三、函数的奇偶性和周期性 正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握 好两个问题：（１）定义域在数轴上关于原点对称 是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件； （２）ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ）或ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）是定义 域上的恒等式，奇函数的图象关于原点对称，偶 函数的图象关于ｙ轴对称，反之也真． 对于一个周期函数来说，如果在所有周期中 存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫 做最小正周期． 四、函数的最值 函数的最大（小）值是相对函数的整个定义 域而言，其几何意义即是图象的最高（低）点的 纵坐标，它与函数的值域是两个不同的概念，但 是两者有必然的联系．函数最值与极值也是不同 概念，要注意区别． 题型一、函数的三要素、求值问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例１ 函数ｆ（ｘ）＝１ｘ＋ １槡 －ｘ的定义域是 ． 解析：因为ｆ（ｘ）＝１ｘ＋ １槡 －ｘ， 所以 １－ｘ≥０， ｘ≠０{ ， 解得ｘ≤１且ｘ≠０， 即函数的定义域为（－∞，０）∪（０，１］． 点评：本题主要考查函数的定义域，考查学 生对基础知识的理解和应用以及运算求解能力． 例２ 已知函数 ｆ（ｘ） ＝ 槡ｘ，ｘ＞０， １，ｘ≤０{ ，则 ｆ（３）＝ ． 解析：因为３＞０，所以ｆ（３）＝槡３． 点评：本题考查分段函数求值，考查运算求 解能力． 题型二、函数的奇偶性、单调性 例３ 已知ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ａ，且ｆ（ｘ）是奇函 数，则ａ＝ ． 解析：因为ｆ（ｘ）是奇函数， 所以ｆ（－ｘ）＋ｆ（ｘ）＝０， 即ｘ３＋ａ＋（－ｘ）３＋ａ＝０，得ａ＝０． 点评：本题主要考查函数的奇偶性，考查运 算求解能力． 例４ 下列函数是偶函数的是 （　　） （Ａ）ｆ（ｘ）＝ｅ ｘ－ｘ２ ｘ２＋１ （Ｂ）ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ＋ｘ ２ ｘ２＋１ （Ｃ）ｆ（ｘ）＝ｅ ｘ－ｘ ｘ＋１ （Ｄ）ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋４ｘ ｅ｜ｘ｜ 解析：对于（Ａ），ｆ（－ｘ）＝ｅ －ｘ－（－ｘ）２ （－ｘ）２＋１ ＝ ｅ－ｘ－ｘ２ ｘ２＋１ ≠ｆ（ｘ），故ｆ（ｘ）不是偶函数； 对于（Ｂ），ｆ（－ｘ）＝ｃｏｓ（－ｘ）＋（－ｘ） ２ （－ｘ）２＋１ ＝ ｃｏｓｘ＋ｘ２ ｘ２＋１ ＝ｆ（ｘ），故ｆ（ｘ）是偶函数； 对于（Ｃ），ｆ（ｘ）的定义域为｛ｘ｜ｘ≠－１｝，不 关于原点对称，故ｆ（ｘ）不是偶函数； 对于（Ｄ），ｆ（－ｘ）＝ｓｉｎ（－ｘ）＋４（－ｘ） ｅ｜－ｘ｜ ＝ －ｓｉｎｘ－４ｘ ｅ｜ｘ｜ ＝－ｓｉｎｘ＋４ｘ ｅ｜ｘ｜ ＝－ｆ（ｘ），故ｆ（ｘ）是 奇函数． 故选（Ｂ）． 点评：本题主要考查函数的奇偶性，考查学 生的逻辑推理能力和数学运算能力． 例５ 下列函数中，在区间（０，＋∞）上单 调递增的是 （　　） （Ａ）ｆ（ｘ）＝－ｌｎｘ （Ｂ）ｆ（ｘ）＝１ ２ｘ （Ｃ）ｆ（ｘ）＝－１ｘ （Ｄ）ｆ（ｘ）＝３｜ｘ－１｜ 解析：ｆ（ｘ）＝－ｌｎｘ在（０，＋∞）上单调递 减，（Ａ）错误； ｆ（ｘ）＝１ ２ｘ (＝ ) １ ２ ｘ 在（０，＋∞）上单调递 减，（Ｂ）错误； ｆ（ｘ）＝－１ｘ＝ －１ ｘ在（０，＋∞）上单调递 增，（Ｃ）正确； ｆ（ｘ） ＝３｜ｘ－１｝ ＝ ３ｘ－１，ｘ≥１， ３１－ｘ，０＜ｘ＜１{ ，显然 ｆ（ｘ）＝３｜ｘ－１｜在（０，１）上单调递减，在［１，＋∞） 上单调递增，（Ｄ）错误． 故选（Ｃ）． 点评：本题主要考查函数的单调性，考查学 生的化归与转化能力． 例６ 已知函数 ｆ（ｘ）＝ｅ－（ｘ－１）２．记 ａ＝ (ｆ 槡２)２ ， (ｂ＝ｆ 槡３)２ ， (ｃ＝ｆ 槡６)２ ，则 （　　） （Ａ）ｂ＞ｃ＞ａ （Ｂ）ｂ＞ａ＞ｃ （Ｃ）ｃ＞ｂ＞ａ （Ｄ）ｃ＞ａ＞ｂ 解析：函数ｆ（ｘ）＝ｅ－（ｘ－１）２是由函数ｙ＝ｅｕ 和ｕ＝－（ｘ－１）２复合而成的复合函数，ｙ＝ｅｕ为 Ｒ上的增函数，ｕ＝－（ｘ－１）２在（－∞，１）上单 调递增，在（１，＋∞）上单调递减，所以由复合函 数的单调性可知，ｆ（ｘ）在（－∞，１）上单调递增， 在（１，＋∞）上单调递减．易知ｆ（ｘ）的图象关于 直线ｘ＝１对称，所以 (ｃ＝ｆ 槡６)２ (＝ｆ２－槡６)２ ， 又槡 ２ ２ ＜２－ 槡６ ２ ＜ 槡３ ２ ＜１，所以 (ｆ槡２)２ (＜ｆ２－ 槡６)２ (＜ｆ 槡３)２ ，所以ｂ＞ｃ＞ａ， 故选（Ａ）． 点评：本题考查利用复合函数单调性比较大 小，突出对基础知识的深入理解和灵活掌握，考 查学生的逻辑推理能力和运算求解能力． 题型三、函数的周期性与对称性 例７ 函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ）（ｘ ! " # $ ! %&'()*+,-." %&'/012341 %&'5617891 !!" #$% ! " # $ ! 书 ∈Ｒ），且在（－２，２］上， ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓπｘ２， ｘ＋１２ { ，　 ０＜ｘ≤２， －２＜ｘ≤０， 则ｆ（ｆ（１５））的值为 ． 解析：由ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ）得函数ｆ（ｘ）的周 期为４，所以ｆ（１５）＝ｆ（１６－１）＝ｆ（－１）＝ －１＋１２ ＝ １２，因此 ｆ（ｆ（１５）） ＝ｆ( )１２ ＝ ｃｏｓπ４ ＝ 槡２ ２． 点评：本题主要考查函数的周期性、分段函 数，考查学生分析问题、解决问题的能力以及运 算求解能力． 例８ （多选）已知函数ｆ（ｘ）及其导函数 ｆ′（ｘ）的定义域均为 Ｒ，记 ｇ（ｘ）＝ｆ′（ｘ）．若 (ｆ ３２－２ )ｘ，ｇ（２＋ｘ）均为偶函数，则 （　　） （Ａ）ｆ（０）＝０ （Ｂ） (ｇ － )１２ ＝０ （Ｃ）ｆ（－１）＝ｆ（４） （Ｄ）ｇ（－１）＝ｇ（２） 解析：因为 (ｆ ３２ －２ )ｘ 为偶函数，所以 (ｆ ３２－２ ) (ｘ ＝ｆ ３２＋２ )ｘ，所以函数ｆ（ｘ）的图 象关于直线 ｘ＝ ３２对称， (ｆ ３２－２× )５４ ＝ (ｆ ３２＋２× )５４ ，即ｆ（－１）＝ｆ（４），所以（Ｃ） 正确； 因为ｇ（２＋ｘ）为偶函数，所以 ｇ（２＋ｘ）＝ ｇ（２－ｘ），函数 ｇ（ｘ）的图象关于直线 ｘ＝２对 称，因为ｇ（ｘ）＝ｆ′（ｘ），所以函数ｇ（ｘ）的图象关 (于点 ３２， )０ 对称，（二级结论：若函数 ｈ（ｘ）为 偶函数，则其图象上在关于ｙ轴对称的点处的切 线的斜率互为相反数，即其导函数的图象关于原 点对称．本题函数ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝３２ 对称，则其导函数 ｇ（ｘ） (的图象关于点 ３２， )０ 对称）．所以ｇ（ｘ）的周期Ｔ＝４ (× ２－ )３２ ＝２． 因为ｆ（－１）＝ｆ（４），所以ｆ′（－１）＝－ｆ′（４）， 即ｇ（－１）＝－ｇ（４）＝－ｇ（２），所以（Ｄ）错误； 因为 (ｆ ３２－ )２ (＝ｆ ３２＋ )２ ，即 (ｆ － )１２ (＝ｆ )７２ ，所以 (ｆ′－ )１２ (＝－ｆ′ )７２ ， 所以 (ｇ － )１２ (＝－ｇ )７２ (＝－ｇ２×２－ )１２ (＝－ｇ － )１２ ，所以 (ｇ － )１２ ＝０，所以（Ｂ） 正确； 不妨取 ｆ（ｘ）＝１（ｘ∈ Ｒ），经验证满足题 意，但ｆ（０）＝１，所以（Ａ）错误． 故选（Ｂ）（Ｃ）． 点评：本题考查以抽象函数为背景的函数的 奇偶性、周期性及对称性，考查学生的运算求解 能力、分析问题与解决问题的能力． 题型四、基本初等函数 例９ 已知ａ＞１，且 １ｌｏｇ８ａ － １ｌｏｇａ４ ＝－５２， 则ａ＝ ． 解析：根据题意有 １ １ ３ｌｏｇ２ａ － １２ｌｏｇａ２ ＝－５２， 即３ｌｏｇａ２－ １ ２ｌｏｇａ２ ＝－５２，设ｔ＝ｌｏｇａ２（ａ＞１）， 则ｔ＞０，故３ｔ－１２ｔ＝－ ５ ２，得ｔ＝ １ ６（ｔ＝－１舍 去），所以ｌｏｇａ２＝ １ ６，所以ａ １ ６ ＝２，所以ａ＝６４． 点评：本题考查对数的运算性质与换底公式 的应用，考查学生的运算求解能力． 例１０ 下列幂函数中，定义域为Ｒ的是 （　　） （Ａ）ｙ＝ｘ－１ （Ｂ）ｙ＝ｘ－ １ ２ （Ｃ）ｙ＝ｘ １ ３ （Ｄ）ｙ＝ｘ １ ２ 解析：选项（Ａ）中函数的定义域为（－∞， ０）∪（０，＋∞），选项（Ｂ）中函数的定义域为 （０，＋∞），选项（Ｃ）中函数的定义域为Ｒ，选项 （Ｄ）中函数的定义域为［０，＋∞），故选（Ｃ）． 点评：本题考查幂函数的定义域，考查学生 的化归与转化能力． 例１１若 ａ ＝ ４２－０３，ｂ ＝ ４２０３，ｃ ＝ ｌｏｇ４２０２，则ａ，ｂ，ｃ的大小关系为 （　　） （Ａ）ａ＞ｂ＞ｃ （Ｂ）ｂ＞ａ＞ｃ （Ｃ）ｃ＞ａ＞ｂ （Ｄ）ｂ＞ｃ＞ａ 解析：由函数ｙ＝４２ｘ单调递增可知，０＜ａ ＜１＜ｂ，又ｃ＝ｌｏｇ４２０２＜０，故ｂ＞ａ＞ｃ， 故选（Ｂ）． 点评：本题主要考查利用指数函数与对数函 数的性质比较大小，考查学生的逻辑思维能力． 例１２ 已知（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２）是函数ｙ＝２ ｘ 的图象上两个不同的点，则 （　　） （Ａ）ｌｏｇ２ ｙ１＋ｙ２ ２ ＜ ｘ１＋ｘ２ ２ （Ｂ）ｌｏｇ２ ｙ１＋ｙ２ ２ ＞ ｘ１＋ｘ２ ２ （Ｃ）ｌｏｇ２ ｙ１＋ｙ２ ２ ＜ｘ１＋ｘ２ （Ｄ）ｌｏｇ２ ｙ１＋ｙ２ ２ ＞ｘ１＋ｘ２ 解析：因为（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２）为函数 ｙ＝２ ｘ 的图象上两个不同的点，所以ｙ１＝２ ｘ１，ｙ２＝２ ｘ２， 且ｘ１≠ｘ２，则２ ｘ１≠２ｘ２，所以ｙ１＋ｙ２ ＝２ ｘ１＋２ｘ２ ＞２ ２ｘ１·２ｘ槡 ２ ＝２ ２ ｘ１＋ｘ槡 ２，所以 ｙ１＋ｙ２ ２ ＞ ２ｘ１＋ｘ槡 ２ ＞０，所以 ｌｏｇ２ ｙ１＋ｙ２ ２ ＞ｌｏｇ２ ２ ｘ１＋ｘ槡 ２ ＝ ｘ１＋ｘ２ ２ ，故选（Ｂ）． 点评：本题考查指数函数的性质，指数、对数 的运算和基本不等式，考查学生的逻辑思维能 力． 题型五、分段函数 例１３ 已知函数ｆ（ｘ）＝２－ｘ＋１，且 ｇ（ｘ） ＝ ｌｏｇ２（ｘ＋１），ｘ≥０， ｆ（－ｘ），ｘ＜０{ ， 则方程ｇ（ｘ）＝２的解为 ． 解析：当ｘ≥０时，由ｇ（ｘ）＝ｌｏｇ２（ｘ＋１）＝ ２，得ｘ＋１＝４，解得ｘ＝３； 当ｘ＜０时，由ｇ（ｘ）＝ｆ（－ｘ）＝２ｘ＋１＝ ２，解得ｘ＝０（舍去）． 综上所述，方程ｇ（ｘ）＝２的解为ｘ＝３． 点评：本题主要考查分段函数，考查学生的 运算求解能力． 例１４ 已 知 函 数 ｆ （ｘ） ＝ －ｘ２－２ａｘ－ａ， ｅｘ＋ｌｎ（ｘ＋１{ ）， ｘ＜０， ｘ≥０ 在Ｒ上单调递增，则 ａ 的取值范围是 （　　） （Ａ）（－∞，０］ （Ｂ）［－１，０］ （Ｃ）［－１，１］ （Ｄ）［０，＋∞） 解析：因为函数ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递增， 且ｘ≥０时，ｆ（ｘ）＝ｅｘ＋ｌｎ（ｘ＋１）单调递增， 则需满足 － －２ａ２×（－１）≥０， －ａ≤ｅ０＋ｌｎ１ { ， 解得 －１≤ａ≤０， 即实数ａ的取值范围是［－１，０］．故选（Ｂ）． 点评：本题考查分段函数的单调性和一元二 次函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力、运 算求解能力． 题型六、函数的图象 例１５ 函数ｆ（ｘ）＝－ｘ２＋（ｅｘ－ｅ－ｘ）ｓｉｎｘ在 区间［－２８，２８］的图象大致为 （　　） 解析：由题知函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，关于 原点对称，ｆ（－ｘ）＝－（－ｘ）２＋（ｅ－ｘ －ｅｘ）· ! " # ! " # !!" !"" ! " # ! " # !#" !$" %&'() *+%& ,-./%& 书 ｓｉｎ（－ｘ）＝－ｘ２＋（ｅｘ－ｅ－ｘ）ｓｉｎｘ＝ｆ（ｘ），所以 函数ｆ（ｘ）为偶函数，函数图象关于ｙ轴对称，排 除（Ａ），（Ｃ）；ｆ（１）＝－１ (＋ ｅ－１)ｅ ｓｉｎ１＞－１ (＋ ｅ－１)ｅ ｓｉｎπ６＝－１＋ｅ２－１２ｅ＞０，排除（Ｄ）． 故选（Ｂ）． 点评：本题主要考查函数的图象与性质，考 查学生的化归与转化能力、数形结合能力以及运 算求解能力． 例１６ 函数 ｆ（ｘ）的图象如图 １所示，则 ｆ（ｘ）的解析式可能为 （　　） （Ａ）ｆ（ｘ）＝５（ｅ ｘ－ｅ－ｘ） ｘ２＋２ （Ｂ）ｆ（ｘ）＝５ｓｉｎｘ ｘ２＋１ （Ｃ）ｆ（ｘ）＝５（ｅ ｘ＋ｅ－ｘ） ｘ２＋２ （Ｄ）ｆ（ｘ）＝５ｃｏｓｘ ｘ２＋１ 解析：由题图可知函数 ｆ（ｘ）的图象关于 ｙ 轴对称，所以函数ｆ（ｘ）是偶函数． 对于（Ａ），ｆ（ｘ）＝５（ｅ ｘ－ｅ－ｘ） ｘ２＋２ ，定义域为 Ｒ，ｆ（－ｘ）＝５（ｅ －ｘ－ｅｘ） ｘ２＋２ ＝－ｆ（ｘ），所以函数 ｆ（ｘ）＝５（ｅ ｘ－ｅ－ｘ） ｘ２＋２ 是奇函数，所以排除（Ａ）； 对于（Ｂ），ｆ（ｘ） ＝５ｓｉｎｘ ｘ２＋１ ，定义域为 Ｒ， ｆ（－ｘ）＝５ｓｉｎ（－ｘ） ｘ２＋１ ＝－５ｓｉｎｘ ｘ２＋１ ＝－ｆ（ｘ），所以 函数ｆ（ｘ）＝５ｓｉｎｘ ｘ２＋１ 是奇函数，所以排除（Ｂ）； 对于（Ｃ），ｆ（ｘ）＝５（ｅ ｘ＋ｅ－ｘ） ｘ２＋２ ，定义域为 Ｒ，ｆ（－ｘ）＝５（ｅ －ｘ＋ｅｘ） ｘ２＋２ ＝ｆ（ｘ），所以函数 ｆ（ｘ）＝５（ｅ ｘ＋ｅ－ｘ） ｘ２＋２ 是偶函数，又ｘ２＋２＞０，ｅｘ ＋ｅ－ｘ ＞０，所以ｆ（ｘ）＞０恒成立，不符合题意， 所以排除（Ｃ）； 分析知，选项（Ｄ）符合题意，故选（Ｄ）． 点评：本题主要考查函数的图象与性质，考 查学生的化归与转化能力、数形结合能力以及运 算求解能力． 题型七、函数的零点 例１７ 设函数ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ＋１）２－１，ｇ（ｘ） ＝ｃｏｓｘ＋２ａｘ，当ｘ∈（－１，１）时，曲线ｙ＝ｆ（ｘ） 与ｙ＝ｇ（ｘ）恰有一个交点，则ａ＝ （　　） （Ａ）－１ （Ｂ）１２ （Ｃ）１ （Ｄ）２ 解析：由题意知ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ），则ａ（ｘ＋１）２ －１＝ｃｏｓｘ＋２ａｘ，即ｃｏｓｘ＝ａ（ｘ２＋１）－１．令 ｈ（ｘ）＝ｃｏｓｘ－ａ（ｘ２＋１）＋１．易知ｈ（ｘ）为偶函 数，由题意知ｈ（ｘ）在（－１，１）上有唯一零点，所 以ｈ（０）＝０，即ｃｏｓ０－ａ（０＋１）＋１＝０，得ａ＝ ２，故选（Ｄ）． 点评：本题考查函数的图象与性质及零点问 题，考查学生的理性思维、分析问题和解决问题 的能力． 例１８ 已 知 函 数 ｆ（ｘ） ＝ ２槡ｘ，　０≤ｘ≤１， １ ｘ， ｘ＞１ { ． 若关于 ｘ的方程 ｆ（ｘ）＝ －１４ｘ＋ａ（ａ∈Ｒ）恰有两个互异的实数解，则ａ 的取值范围为 （　　） （Ａ [） ５４， ]９４ （Ｂ (） ５４， ]９４ （Ｃ (） ５４， ]９４ ∪｛１｝ （Ｄ [） ５４， ]９４ ∪｛１｝ 解析：由题意画出 ｆ（ｘ）的图象，如图２所示． 当直线ｙ＝－１４ｘ＋ａ与曲 线ｙ＝１ｘ（ｘ＞１）相切时， 方程 １ ｘ＝－ １ ４ｘ＋ａ有一个解，ｘ ２－４ａｘ＋４＝ ０，Δ＝（－４ａ）２－４×４＝０，得ａ＝１，此时ｆ（ｘ） ＝－１４ｘ＋ａ有两个解． 当直线ｙ＝－１４ｘ＋ａ经过点（１，２）时，即 ２＝－１４×１＋ａ，所以ａ＝ ９ ４； 当直线 ｙ＝－１４ｘ＋ａ经过点（１，１）时， １＝－１４×１＋ａ，得ａ＝ ５ ４． 从图象可以看出当 ａ [∈ ５４， ]９４ 时，函数 ｆ（ｘ） ＝ ２槡ｘ，　０≤ｘ≤１， １ ｘ， ｘ＞ { １ 的 图 象 与 直 线 ｙ＝－１４ｘ＋ａ有两个交点， 即方程ｆ（ｘ）＝－１４ｘ＋ａ有两个互异的实数 解．故选（Ｄ）． 点评：本题主要考查分段函数的图象与性质， 函数图象的交点与方程的解之间的关系，考查学 生分析问题、解决问题的能力，数形结合能力以及 运算求解能力． 题型八、函数的应用 例１９生物丰富度指数ｄ＝Ｓ－１ｌｎＮ是河流水 质的一个评价指标，其中Ｓ，Ｎ分别表示河流中的 生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数 ｄ 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种 类数Ｓ没有变化，生物个体总数由Ｎ１变为Ｎ２，生 物丰富度指数由２１提高到３１５，则 （　　） （Ａ）３Ｎ２ ＝２Ｎ１ （Ｂ）２Ｎ２ ＝３Ｎ１ （Ｃ）Ｎ２２ ＝Ｎ ３ １ （Ｄ）Ｎ ３ ２ ＝Ｎ ２ １ 解析：由题意得 Ｓ－１ ｌｎＮ１ ＝２１，Ｓ－１ｌｎＮ２ ＝３１５， 若Ｓ不变，则２１ｌｎＮ１ ＝３１５ｌｎＮ２， 即２ｌｎＮ１ ＝３ｌｎＮ２，所以Ｎ ３ ２ ＝Ｎ ２ １． 故选（Ｄ）． 点评：本题考查函数模型的实际应用，同时 以实际问题为载体考查分析问题和解决问题的 能力． 题型九、不等式 例２０ 已知ｘ∈Ｒ，则不等式ｘ２－２ｘ－３＜０ 的解集为 ． 解析：方程ｘ２－２ｘ－３＝０的解为ｘ＝－１或 ｘ＝３，则不等式 ｘ２ －２ｘ－３＜０的解集为 ｛ｘ｜－１＜ｘ＜３｝． 点评：本题考查一元二次不等式的解集，考 查运算求解能力． 例２１ 已知函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，ｆ（ｘ） ＞ｆ（ｘ－１）＋ｆ（ｘ－２），且当ｘ＜３时，ｆ（ｘ）＝ｘ， 则下列结论中一定正确的是 （　　） （Ａ）ｆ（１０）＞１００ （Ｂ）ｆ（２０）＞１０００ （Ｃ）ｆ（１０）＜１０００ （Ｄ）ｆ（２０）＜１００００ 解析：因为当ｘ＜３时，ｆ（ｘ）＝ｘ， 所以ｆ（１）＝１，ｆ（２）＝２． 对于ｆ（ｘ）＞ｆ（ｘ－１）＋ｆ（ｘ－２）， 令ｘ＝３，得ｆ（３）＞ｆ（２）＋ｆ（１）＝３， 令ｘ＝４，得ｆ（４）＞ｆ（３）＋ｆ（２）＞５， 依次类推，得 ｆ（５）＞ｆ（４）＋ｆ（３）＞８， ｆ（６）＞ｆ（５）＋ｆ（４）＞１３， ｆ（７）＞ｆ（６）＋ｆ（５）＞２１， ｆ（８）＞ｆ（７）＋ｆ（６）＞３４， ｆ（９）＞ｆ（８）＋ｆ（７）＞５５， ｆ（１０）＞ｆ（９）＋ｆ（８）＞８９， ｆ（１１）＞ｆ（１０）＋ｆ（９）＞１４４， ｆ（１２）＞ｆ（１１）＋ｆ（１０）＞２３３， ｆ（１３）＞ｆ（１２）＋ｆ（１１）＞３７７， ｆ（１４）＞ｆ（１３）＋ｆ（１２）＞６１０， ｆ（１５）＞ｆ（１４）＋ｆ（１３）＞９８７， ｆ（１６）＞ｆ（１５）＋ｆ（１４）＞１５９７＞１０００， 则ｆ（２０）＞１０００，故选（Ｂ）． 点评：本题以不等式为载体考查抽象函数问 题、不等式同向可加性，考查学生的逻辑推理和 数学运算能力． ! !" 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