平面向量全真试题专项解析-【数理报】2025年高考数学专项提分

书 平面向量也是高考中的常考点之一，考查方 式有两种，一是以选择题、填空题的形式去考查 有关向量的基本知识；二是与三角函数、解析几 何等知识结合起来以解答题的形式考查，本文总 结了第一种考查方式下的常见题型． 题型一、 例１ 在△ＡＢＣ中，点Ｄ在边ＡＢ上，ＢＤ＝ ２ＤＡ．记 →ＣＡ＝ｍ，→ＣＤ＝ｎ，则 →ＣＢ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）３ｍ－２ｎ （Ｂ）－２ｍ＋３ｎ （Ｃ）３ｍ＋２ｎ （Ｄ）２ｍ＋３ｎ 解析：因为ＢＤ＝２ＤＡ，所以 →ＡＢ＝３→ＡＤ， 所以 → → → →ＣＢ＝ＣＡ＋ＡＢ＝ＣＡ＋３→ＡＤ →＝ＣＡ＋３（→ →ＣＤ－ＣＡ）＝－２→ＣＡ＋３→ＣＤ ＝－２ｍ＋３ｎ． 故选（Ｂ）． 点评：本题主要考查平面向量的线性运算， 考查学生的化归与转化能力及运算求解能力． 题型二、 例２ 已知 ａ＝（２，５），ｂ＝（６，ｋ），且 ａ∥ｂ，则ｋ的值为 ． 解析：因为ａ∥ｂ，所以２ｋ＝５×６， 解得ｋ＝１５． 点评：本题主要考查平面向量的平行、向量 的坐标运算，考查学生的运算求解能力． 例３ 已知向量ａ＝（０，１），ｂ＝（２，ｘ），若 ｂ⊥（ｂ－４ａ），则ｘ＝ （　　） （Ａ）－２ （Ｂ）－１ （Ｃ）１ （Ｄ）２ 解析：因为ａ＝（０，１），ｂ＝（２，ｘ），所以ｂ－ ４ａ＝（２，ｘ）－４（０，１）＝（２，ｘ）－（０，４）＝（２， ｘ－４）．因为ｂ⊥（ｂ－４ａ），所以ｂ·（ｂ－４ａ）＝ ０，所以２×２＋ｘ（ｘ－４）＝０，所以（ｘ－２）２＝０， 解得ｘ＝２，故选（Ｄ）． 点评：本题主要考查平面向量的垂直、向量 的坐标运算，考查学生的运算求解能力． 例４ 已知向量ａ＝（ｘ＋１，ｘ），ｂ＝（ｘ，２）， 则 （　　） （Ａ）“ｘ＝－３”是“ａ⊥ｂ”的必要条件 （Ｂ）“ｘ＝－３”是“ａ∥ｂ”的必要条件 （Ｃ）“ｘ＝０”是“ａ⊥ｂ”的充分条件 （Ｄ）“ｘ＝－１＋槡３”是“ａ∥ｂ”的充分条件 解析：ａ⊥ｂｘ２＋ｘ＋２ｘ＝０ｘ＝０或 ｘ ＝－３，所以ｘ＝－３是ａ⊥ｂ的充分条件，ｘ＝０ 是ａ⊥ｂ的充分条件，故（Ａ）错误，（Ｃ）正确． ａ∥ｂ２ｘ＋２＝ｘ２ｘ２－２ｘ－２＝０ｘ＝ １±槡３，故（Ｂ）（Ｄ）错误． 点评：本题将向量和常用逻辑用语结合，通 过向量的垂直、平行的判定考查充要条件，考查 学生的运算求解能力． 题型三、 例５ 已知向量ａ＝（２，１），ｂ＝（－２，４）， 则｜ａ－ｂ｜＝ （　　） （Ａ）２ （Ｂ）３ （Ｃ）４ （Ｄ）５ 解析：因为ａ－ｂ＝（２，１）－（－２，４）＝（４， －３），所以｜ａ－ｂ｜＝ ４２＋（－３）槡 ２ ＝５． 故选（Ｄ）． 点评：本题主要考查向量的坐标运算、向量 的模，考查学生的运算求解能力． 例６ 已知向量ａ，ｂ满足｜ａ｜＝１，｜ａ＋２ｂ｜＝ ２，且（ｂ－２ａ）⊥ｂ，则｜ｂ｜＝ （　　） （Ａ）１２ （Ｂ） 槡２ ２ （Ｃ）槡３２ （Ｄ）１ 解析：由（ｂ－２ａ）⊥ｂ，得（ｂ－２ａ）·ｂ＝ｂ２ －２ａ·ｂ＝０，所以ｂ２ ＝２ａ·ｂ．将｜ａ＋２ｂ｜＝２ 的两边同时平方，得ａ２＋４ａ·ｂ＋４ｂ２＝４，即１＋ ２ｂ２＋４ｂ２ ＝１＋６｜ｂ｜２ ＝４，解得｜ｂ｜２ ＝１２， 所以｜ｂ｜＝槡２２，故选（Ｂ）． 点评：本题主要考查平面向量的模、平面向 量的数量积，考查学生的运算求解能力． 题型四、 例７ 已知向量ａ＝（３，１），ｂ＝（２，２），则 ｃｏｓ〈ａ＋ｂ，ａ－ｂ〉＝ （　　） （Ａ）１１７ （Ｂ） 槡１７ １７ （Ｃ）槡５５ （Ｄ） 槡２５ ５ 解析：根据题意，ａ＋ｂ＝（５，３）， ａ－ｂ＝（１，－１）， 所以ｃｏｓ〈ａ＋ｂ，ａ－ｂ〉＝（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）｜ａ＋ｂ｜｜ａ－ｂ｜ ＝ ２ 槡３４×槡２ ＝槡１７１７． 故选（Ｂ）． 点评：本题主要考查向量的坐标运算、数量 积、夹角公式，考查学生的运算求解能力． 例８ 已知向量ａ，ｂ，ｃ满足｜ａ｜＝｜ｂ｜＝１， ｜ｃ｜＝槡２，且ａ＋ｂ＋ｃ＝０，则ｃｏｓ〈ａ－ｃ，ｂ－ｃ〉＝ （　　） 　 　　 　　　 　　　 　　 　　 　　 （Ａ）－４５ （Ｂ）－ ２ ５ （Ｃ）２５ （Ｄ） ４ ５ 解析：由ａ＋ｂ＋ｃ＝０得ａ＋ｂ＝－ｃ， 所以ａ２＋ｂ２＋２ａ·ｂ＝ｃ２， 即１＋１＋２ａ·ｂ＝２，解得ａ·ｂ＝０． 如图１，令向量 ａ，ｂ的起 点均为 Ｏ，终点分别为 Ａ，Ｂ， 以 →ＯＡ，→ＯＢ分别为 ｘ，ｙ轴的正 方向建立平面直角坐标系， 则ａ＝（１，０），ｂ＝（０，１）， ｃ＝－ａ－ｂ＝（－１，－１）， 所以ａ－ｃ＝（２，１），ｂ－ｃ＝（１，２）， 则ｃｏｓ〈ａ－ｃ，ｂ－ｃ〉＝（ａ－ｃ）·（ｂ－ｃ）｜ａ－ｃ｜·｜ｂ－ｃ｜ ＝ ２＋２ 槡５×槡５ ＝４５， 故选（Ｄ）． 点评：本题主要考查向量的坐标运算、数量 积、夹角公式，考查学生的运算求解能力． 题型五、 例９ 如图２，在△ＡＢＣ 中，Ｄ是 ＢＣ的中点，Ｅ在边 ＡＢ上，ＢＥ＝２ＥＡ，ＡＤ与ＣＥ交 于点Ｏ．若→ＡＢ·→ＡＣ＝６→ＡＯ· →ＥＣ，则ＡＢＡＣ的值是 ． 解析：由Ａ，Ｏ，Ｄ三点共线，可设 →ＡＯ＝λ→ＡＤ， 则 →ＡＯ＝λ２（ → →ＡＢ＋ＡＣ）， 由Ｅ，Ｏ，Ｃ三点共线可设 →ＥＯ＝μ→ＥＣ， 则 → →ＡＯ－ＡＥ＝μ（→ →ＡＣ－ＡＥ）， 则 →ＡＯ＝（１－μ）→ＡＥ＋μ→ＡＣ ＝１３（１－μ） →ＡＢ＋μ→ＡＣ， ! ! " # $ ! " # $ % & ! ! ' $ " #" # #" & " ( ! ! " %&'()*+ %&,-./0 %&'1 ,2%&3456 %&'78 !!" #$% 书 由平面向量基本定理可得 １ ３（１－μ）＝ λ ２， μ＝λ２ { ， 解得μ＝１４，λ＝ １ ２， 则 →ＡＯ＝１４（ → →ＡＢ＋ＡＣ）， → → → →ＥＣ＝ＡＣ－ＡＥ＝ＡＣ－１３ →ＡＢ， 则６→ＡＯ· →ＥＣ ＝６×１４（ → →ＡＢ＋ＡＣ (）· →ＡＣ－１３ → )ＡＢ ＝ (３２ ２３ →ＡＢ· → →ＡＣ＋ＡＣ２－１３ →ＡＢ )２ →＝ＡＢ· →ＡＣ， 化简得３→ＡＣ２ →＝ＡＢ２，则ＡＢＡＣ＝槡３． 点评：本题主要考查向量的线性运算、平面 向量基本定理，考查学生分析问题、解决问题的 能力． 题型六、 例１０ 已知向量ａ，ｂ，则“（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ） ＝０”是“ａ＝ｂ或ａ＝－ｂ”的 （　　） （Ａ）充分不必要条件 （Ｂ）必要不充分条件 （Ｃ）充要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 解析：由（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝０，得ａ２－ｂ２＝ ０，即｜ａ｜２－｜ｂ｜２＝０，所以｜ａ｜＝｜ｂ｜，当ａ＝ （１，１），ｂ＝（－１，１）时，｜ａ｜＝｜ｂ｜，但ａ≠ｂ且 ａ≠－ｂ，故充分性不成立； 当ａ＝－ｂ或ａ＝ｂ时，（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝０， 故必要性成立． 所以“（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝０”是“ａ＝－ｂ或 ａ＝ｂ”的必要不充分条件． 点评：本题考查向量的数量积、充分条件与 必要条件，考查学生分析问题和解决问题的能 力． 例１１ 正方形ＡＢＣＤ的边长是２，Ｅ是ＡＢ的 中点，则 →ＥＣ· →ＥＤ＝ （　　） （Ａ）槡５ （Ｂ）３ （Ｃ）槡２５ （Ｄ）５ 解析：以点Ａ为坐标原点，→ＡＢ，→ＡＤ的方向分 别为ｘ，ｙ轴的正方向建立平面直角坐标系，则 Ｅ（１，０），Ｃ（２，２），Ｄ（０，２），则 →ＥＣ＝（１，２），→ＥＤ ＝（－１，２），→ＥＣ· →ＥＤ＝－１＋４＝３，故选（Ｂ）． 点评：本题主要考查平面向量的数量积运 算，考查学生的运算求解能力． 题型七、 例１２ 在边长为１的正方形 ＡＢＣＤ中，Ｅ为 线段ＣＤ的三等分点，ＣＥ＝１２ＤＥ， →ＢＥ＝λ→ＢＡ＋ μ→ＢＣ，则λ＋μ＝ ；若Ｆ为线段ＢＥ上的 动点，Ｇ为 ＡＦ中点，则 →ＡＦ· →ＤＧ的最小值为 ． 解析：以点Ａ为坐标原点 建立如图３所示的平面直角 坐标系，则 Ａ（０，０），Ｂ（１，０）， Ｃ（１，１），Ｄ（０，１）， (Ｅ ２３， )１ ， 所以 → (ＢＥ＝ －１３， )１ ， →ＢＡ＝（－１，０），→ＢＣ＝（０，１）， 因为 →ＢＥ＝λ→ＢＡ＋μ→ＢＣ， (所以 －１３， )１ ＝λ（－１，０）＋μ（０，１）， 所以λ＝１３，μ＝１，所以λ＋μ＝ ４ ３． 由Ｂ（１，０）， (Ｅ ２３， )１ 可得直线 ＢＥ的方程 为ｙ＝－３（ｘ－１）， 设Ｆ（ａ，３－３ａ (） ２３≤ａ≤ )１ ， 则 (Ｇ ａ２，３－３ａ)２ ， 所以 →ＡＦ＝（ａ，３－３ａ），→ (ＤＧ＝ ａ２，１－３ａ)２ ， 所以 →ＡＦ· →ＤＧ＝ａ·ａ２＋（３－３ａ）· １－３ａ ２ ＝５ａ２－６ａ＋３２ ＝ (５ ａ－ )３５ ２ －３１０， 所以当ａ＝２３时， →ＡＦ·→ＤＧ取得最小值，为－５１８． 点评：本题考查平面向量的线性运算、向量 数量积等，考查学生分析问题、解决问题的能力 及运算求解能力． 例１３ 在三角形ＡＢＣ中，∠Ａ＝π３， →｜ＢＣ｜ ＝１，Ｄ为线段ＡＢ的中点，Ｅ为线段ＣＤ的中点， 若设 →ＡＢ＝ａ，→ＡＣ＝ｂ，则 →ＡＥ可用 ａ，ｂ表示为 ；若 →ＢＦ＝１３ →ＢＣ，则 →ＡＥ·→ＡＦ的最大值为 ． 解析：如图４， 由题得 →ＡＥ ＝ １２ →ＡＤ＋ １ ２ →ＡＣ＝１４ →ＡＢ＋１２ →ＡＣ＝１４ａ ＋１２ｂ． →ＡＦ＝２３ →ＡＢ＋１３ →ＡＣ＝２３ａ＋ １ ３ｂ， →ＡＥ·→ ( ＡＦ＝ １ ４ａ＋ １ ２ )ｂ (· ２３ａ＋１３ )ｂ ＝１６ａ２＋５１２ａ·ｂ＋ １ ６ｂ ２．在三角形ＡＢＣ中，∠Ａ＝π３， →｜ＢＣ｜＝１，设 三角形ＡＢＣ的三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为 ａ，ｂ，ｃ，则ａ＝１，｜ａ｜＝ｃ，｜ｂ｜＝ｂ，所以ａ·ｂ＝ ｂｃｃｏｓπ３ ＝ ｂｃ ２，由余弦定理得 ａ ２ ＝ｂ２ ＋ｃ２ － ２ｂｃｃｏｓπ３，即１＝ｂ ２＋ｃ２－ｂｃ，所以ｂ２＋ｃ２ ＝ｂｃ ＋１，所以 →ＡＥ·→ＡＦ＝１６ａ ２＋５１２ａ·ｂ＋ １ ６ｂ ２＝１６ｃ ２ ＋５２４ｂｃ＋ １ ６ｂ ２＝１６（ｂｃ＋１）＋ ５ ２４ｂｃ＝ ３ ８ｂｃ＋ １ ６． 又ｂ２＋ｃ２ ＝ｂｃ＋１≥２ｂｃ，解得ｂｃ≤１． 当且仅当ｂ＝ｃ＝１时取等号． 所以 →ＡＥ· →ＡＦ的最大值为３８＋ １ ６ ＝ １３ ２４． 点评：本题主要考查平面向量基本定理、向 量数量积、余弦定理和基本不等式，考查学生分 析问题、解决问题的能力及运算求解能力． 例１４ 在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，∠Ｃ＝ ９０°．Ｐ为△ＡＢＣ所在平面内的动点，且ＰＣ＝１， 则 →ＰＡ· →ＰＢ的取值范围是 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　（Ａ）［－５，３］ （Ｂ）［－３，５］ （Ｃ）［－６，４］ （Ｄ）［－４，６］ 解析：根据题意，建立如 图５所示的平面直角坐标系， 则Ｃ（０，０），Ａ（３，０），Ｂ（０，４）． 因为ＰＣ＝１，所以 Ｐ在 以Ｃ为圆心，１为半径的圆上 运动． 设Ｐ（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ），θ∈［０，２π］， 所以 →ＰＡ＝（３－ｃｏｓθ，－ｓｉｎθ）， →ＰＢ＝（－ｃｏｓθ，４－ｓｉｎθ）， →ＰＡ· →ＰＢ＝（－ｃｏｓθ）×（３－ｃｏｓθ）＋（４－ ｓｉｎθ）×（－ｓｉｎθ） ＝ｃｏｓ２θ－３ｃｏｓθ－４ｓｉｎθ＋ｓｉｎ２θ ＝１－３ｃｏｓθ－４ｓｉｎθ ＝１－５ｓｉｎ（θ＋φ），其中ｓｉｎφ＝３５，ｃｏｓφ＝ ４ ５， 因为 －１≤ｓｉｎ（θ＋φ）≤１， 所以 －４≤１－５ｓｉｎ（θ＋φ）≤６， 即 →ＰＡ· →ＰＢ∈［－４，６］．故选（Ｄ）． 点评：本题主要考查向量在平面几何中的应 用、三角函数，考查学生分析问题、解决问题的能 力及运算求解能力．! 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