第32期 一元线性回归，成对数据的线性相关性-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版2019）

书 答案详解 　　２０２４～２０２５学年　高中数学北师大版选择性必修第一册　第２９～３２期（２０２５年２月）　　 第２９期２版 专项小练一 １．Ｃ；　２．Ｃ；　３．ＢＣ．　４．０．１９６；　５．０１７９２． ６．解：易知Ｘ～Ｂ６，( )１２ ， 所以Ｅ（Ｘ）＝６×１２ ＝３， Ｄ（Ｘ）＝６×１２× １－( )１２ ＝ ３ ２． 专项小练二 １．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ａ．　４．３７；　５． １ ７． ６．解：由题意可知Ｘ服从Ｎ＝１２，Ｍ＝４，ｎ＝４的超几何 分布，故Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝ Ｃｋ４Ｃ ４－ｋ ８ Ｃ４１２ （ｋ＝０，１，２，３，４）． 所以Ｐ（Ｘ＝０）＝ Ｃ０４Ｃ ４ ８ Ｃ４１２ ＝７０４９５＝ １４ ９９， Ｐ（Ｘ＝１）＝ Ｃ１４Ｃ ３ ８ Ｃ４１２ ＝２２４４９５， Ｐ（Ｘ＝２）＝ Ｃ２４Ｃ ２ ８ Ｃ４１２ ＝１６８４９５＝ ５６ １６５， Ｐ（Ｘ＝３）＝ Ｃ３４Ｃ １ ８ Ｃ４１２ ＝３２４９５， Ｐ（Ｘ＝４）＝ Ｃ４４Ｃ ０ ８ Ｃ４１２ ＝ １４９５． 所以Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ ４ Ｐ １４９９ ２２４ ４９５ ５６ １６５ ３２ ４９５ １ ４９５ 第２９期３，４版 二项分布与超几何分布同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＣＤＣＤ　５～８　ＡＤＢＢ 提示： １．由题意知，该同学连续测试３次，只有第３次通过的概率 (Ｐ＝ １－ )１４ ２ ×１４ ＝ ９ ６４．故选（Ｃ）． ２．Ｅ（Ｘ）＝ ４３，Ｅ（２Ｘ＋３）＝２× ４ ３＋３＝ １７ ３． ３．由题知Ｘ服从Ｎ＝８，Ｍ ＝３，ｎ＝２的超几何分布， 所以Ｅ（Ｘ）＝ｎＭＮ ＝ ２×３ ８ ＝ ３ ４． 故选（Ｃ）． ４．由题可得 Ｐ（Ｘ＝０）＝Ｃ０２×（１－ｐ） ２ ＝ ４９， 解得ｐ＝ １３或ｐ＝ ５ ３（舍）， 所以Ｙ～Ｂ４，( )１３ ， 所以Ｄ（Ｙ）＝４×１３× １－( )１３ ＝ ８ ９． 故选（Ｄ）． ５．设摸到黑球的个数为Ｘ，则Ｘ服从超几何分布． 记摸到２个黑球为事件Ａ，则Ｐ（Ａ）＝ Ｃ２３Ｃ １ ５ Ｃ３８ ＝１５５６， 摸到３个黑球为事件Ｂ，则Ｐ（Ｂ）＝ Ｃ３３ Ｃ３８ ＝ １５６， 事件Ａ与Ｂ为互斥事件， 所以Ｐ（Ａ＋Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）＝ ２７． ６．因为Ｘ～Ｂ８，( )１２ ， 所以Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝Ｃｋ８( )１２ ｋ １－( )１２ ８－ｋ ＝Ｃｋ８( )１２ ８ ， 当Ｐ（Ｘ＝ｋ）取得最大值时，只有Ｃｋ８一个变量， 所以根据组合数的性质得到当ｋ＝４时，概率取得最大值． ７．由题意得，每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局和 小军输给大明的概率都为 １ ３，若小军和大明进行五局三胜制 的“石头、剪刀、布”游戏比赛，比赛至第四局小军胜出，则前３ 局中小军胜 ２局，第四局小军胜，所以所求概率                                                        Ｐ ＝ —１— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第２９～３２期 Ｃ (２３ )１３ ( ２ )２３ １ ×１３ ＝ ２ ２７．故选（Ｂ）． ８．设１０件产品中存在ｎ件次品，从中抽取２件，其次品数为Ｘ， 由Ｐ（Ｘ＝１）＝１６４５，得 Ｃ１ｎ·Ｃ １ １０－ｎ Ｃ２１０ ＝１６４５， 化简得ｎ２－１０ｎ＋１６＝０，解得ｎ＝２或ｎ＝８． 又该产品的次品率不超过４０％，所以ｎ≤４，应取ｎ＝２， 所以这１０件产品的次品率为 ２１０×１００％ ＝２０％． 二、多项选择题 ９．ＢＤ；　１０．ＡＣＤ；　１１．ＡＢＣ． 提示： ９．由题可得Ｅ（Ｘ）＝ｎｐ＝１５， Ｄ（Ｘ）＝ｎｐ（１－ｐ）＝４５４， 解得ｐ＝ １４，ｎ＝６０． 故选（Ｂ）（Ｄ）． １０．将一枚硬币连抛３次，每次正面向上的概率均为 １２，所 以正面向上的次数服从二项分布，即Ｘ～Ｂ３，( )１２ ，故（Ａ）正 确； 从７名男生与３名女生共１０名学生干部中选出５名优秀学 生干部，记选出女生的人数为Ｘ，Ｘ服从超几何分布，故（Ｂ）错 误； 某射手的命中率为０．８，现对目标射击１次，记命中目标的 次数为Ｘ，Ｘ服从两点分布，故（Ｃ）正确； 盒中有４个白球和３个黑球，每次从中摸出１球且不放回， 记首次摸出黑球时的总次数为 Ｘ，则 Ｘ不服从超几何分布，故 （Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． １１．由题可知 (Ｙ～Ｂ ５， )２３ ， 则Ｘ＝１０Ｙ－５（５－Ｙ）＝１５Ｙ－２５， 所以Ｅ（Ｙ）＝５×２３ ＝ １０ ３， Ｄ（Ｙ）＝５×２３ (× １－ )２３ ＝１０９，故（Ａ）正确； Ｐ（Ｘ≤５）＝Ｐ（Ｙ≤２） ＝Ｐ（Ｙ＝０）＋Ｐ（Ｙ＝１）＋Ｐ（Ｙ＝２） ＝Ｃ (０５ １－ )２３ ５ ＋Ｃ１５× ２ ３ (× １－ )２３ ４ ＋Ｃ２５ (× )２３ ２ (× １－ )２３ ３ ＝５１２４３，故（Ｂ）正确； Ｅ（Ｘ）＝１５Ｅ（Ｙ）－２５＝１５×１０３－２５＝２５，故（Ｃ）正确； Ｄ（Ｘ）＝１５２Ｄ（Ｙ）＝１５２×１０９ ＝２５０，故（Ｄ）错误． 故选（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）． 三、填空题 １２．００２７；　１３．８１１２５；　１４．１８． 提示： １２．由题意得Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｃ２３×０１ ２×０９＝００２７． １３．至少有两次击中目标包含仅有两次击中，其概率为 Ｃ (２３ )３５ ( ２ １－ )３５ ；或三次都击中，其概率为 Ｃ (３３ )３５ ３ ，根 据互斥事件的概率公式可得，所求概率 Ｐ＝Ｃ (２３ )３５ ( ２ １－ )３５ ＋Ｃ (３３ )３５ ３ ＝８１１２５． １４．继续再进行８０次投掷试验，出现点数１的次数Ｘ服从 二项分布，即 (Ｘ～Ｂ ８０， )１６ ， 由ｋ＝（ｎ＋１）ｐ＝８１×１６ ＝ ２７ ２ ＝１３．５， 结合题中结论可知，ｋ＝１３时概率最大， 即后面８０次中出现１３次点数１的概率最大，加上前面２０ 次中的５次，所以出现１８次的概率最大． 四、解答题 １５．解：Ｘ的可能取值为０，１，２，３，４， Ｐ（Ｘ＝０）＝ Ｃ０６Ｃ ４ ４ Ｃ４１０ ＝ １２１０， Ｐ（Ｘ＝１）＝ Ｃ１６Ｃ ３ ４ Ｃ４１０ ＝４３５， Ｐ（Ｘ＝２）＝ Ｃ２６Ｃ ２ ４ Ｃ４１０ ＝３７， Ｐ（Ｘ＝３）＝ Ｃ３６Ｃ １ ４ Ｃ４１０ ＝８２１， Ｐ（Ｘ＝４）＝ Ｃ４６Ｃ ０ ４ Ｃ４１０ ＝１１４， 所以Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ ４ Ｐ １２１０ ４ ３５ ３ ７ ８ ２１ １ １４ １６．解：（１）设甲班的学生人数为Ｍ， 则 Ｃ２Ｍ Ｃ２７ ＝Ｍ（Ｍ－１）４２ ＝ １ ７， 即Ｍ２－Ｍ－６＝０，解得Ｍ ＝３或Ｍ ＝－２（舍去）． 所以７名学生中甲班的学生共有３人                                                                      ． —２— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第２９～３２期 （２）由题意可知，Ｘ服从超几何分布． 所以Ｐ（Ｘ≥１）＝Ｐ（Ｘ＝１）＋Ｐ（Ｘ＝２） ＝ Ｃ１３Ｃ １ ４ Ｃ２７ ＋ Ｃ２３Ｃ ０ ４ Ｃ２７ ＝ ４７＋ １ ７ ＝ ５ ７． １７．解：（１）年销售额超过４０万元的门店有４个， 则所求概率Ｐ＝ Ｃ２４Ｃ １ １６＋Ｃ ３ ４Ｃ ０ １６ Ｃ３２０ ＝ ５５７． （２）由样本估计总体，从全国随机抽取１个销售门店， 春季新款的年销售额超过４０万元的概率是 ４２０＝ １ ５， 则随机变量 (Ｘ～Ｂ ３， )１５ ， Ｐ（Ｘ＝０）＝Ｃ (０３ )１５ ( ０ )４５ ３ ＝６４１２５， Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ１３× １ ５ (× )４５ ２ ＝４８１２５， Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｃ (２３ )１５ ２ ×４５ ＝ １２ １２５， Ｐ（Ｘ＝３）＝Ｃ (３３ )１５ ( ３ )４５ ０ ＝ １１２５， 所以Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ Ｐ ６４１２５ ４８ １２５ １２ １２５ １ １２５ 所以Ｘ的期望为Ｅ（Ｘ）＝３×１５ ＝ ３ ５． １８．解：（１）Ａ，Ｂ，Ｃ三种药剂中恰有一种能控制Ｈ指标的概 率为Ｐ＝Ｐ（ＡＢＣ）＋Ｐ（ＡＢＣ）＋Ｐ（ＡＢＣ）＝０．５×（１－０．６） ×（１－０．７５）＋（１－０．５）×０．６×（１－０．７５）＋（１－０．５）× （１－０．６）×０．７５＝０．２７５． （２）因为Ａ有治疗效果的概率为ＰＡ ＝０．５×０．６＝０．３， Ｂ有治疗效果的概率为ＰＢ ＝０．６×０．５＝０．３， Ｃ有治疗效果的概率为ＰＣ ＝０．７５×０．４＝０．３， 所以Ａ，Ｂ，Ｃ三种药剂有治疗效果的概率均为０．３， 可看成是独立重复试验，即Ｘ～Ｂ（３，０．３）． 因为Ｘ的可能取值为０，１，２，３， 所以Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝Ｃｋ３×０．３ ｋ×（１－０．３）３－ｋ，即 Ｐ（Ｘ＝０）＝Ｃ０３×０．３ ０×（１－０．３）３ ＝０．３４３， Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ１３×０．３×（１－０．３） ２ ＝０．４４１， Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｃ２３×０．３ ２×（１－０．３）＝０．１８９， Ｐ（Ｘ＝３）＝Ｃ３３×０．３ ３ ＝０．０２７， 故Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ Ｐ ０．３４３ ０．４４１ ０．１８９ ０．０２７ １９．解：（１）因为Ｘ～Ｂ（ｎ，ｐ）， 所以Ｐ（Ｘ＝５）＝Ｃ５ｎｐ ５（１－ｐ）ｎ－５； （２）Ｙ＝ｋ表示进行了ｋ次，前ｋ－１次未发生， 所以Ｐ（Ｙ＝ｋ）＝ｐ（１－ｐ）ｋ－１； （３）Ｐ（Ｙ＝３）＝ｐ（１－ｐ）２ ＝ｐ３－２ｐ２＋ｐ； （４）Ｅ（Ｙ）＝ｐ＋２ｐ（１－ｐ）＋３ｐ（１－ｐ）２＋… ＝ １ｐ 所以２ｐ（１－ｐ）＋３ｐ（１－ｐ）２＋… ＝ １ｐ－ｐ， ① 用１－ｐ代换ｐ得 ２（１－ｐ）ｐ＋３（１－ｐ）ｐ２＋… ＝ １１－ｐ－（１－ｐ）． ② 由①②得 Ｅ（Ｚ）＝２［（１－ｐ）ｐ＋ｐ（１－ｐ）］＋３［（１－ｐ）ｐ２＋（１－ ｐ）２ｐ］＋… ＝２ｐ（１－ｐ）＋３ｐ（１－ｐ）２＋… ＋２（１－ｐ）ｐ＋３（１ －ｐ）ｐ２＋… ＝ １ｐ－ｐ＋ １ １－ｐ－（１－ｐ）＝ １ ｐ（１－ｐ）－１． 第３０期２版 专项小练 １．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｄ．　４．０．８；　５．０．２． ６．解：因为灯泡的使用寿命Ｘ～Ｎ（１０００，３０２）， 故Ｘ在（１０００－３×３０，１０００＋３×３０）内的概率为９９．７％， 即Ｘ在（９１０，１０９０）内取值的概率为９９．７％． 所以灯泡的最低使用寿命应控制在９１０小时以上． 第３０期３，４版 正态分布同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＡＢＡＢ　５～８　ＤＡＡＣ 提示： １．甲、乙、丙三科的均值相同，甲学科的方差最小，故选 （Ａ）． ２．由题意可得２ａ－３＋ａ＋２＝２×３，ａ＝ ７３，故选（Ｂ）． ３．因为随机变量Ｘ～Ｎ（μ，７），且Ｐ（Ｘ＜２）＝Ｐ（Ｘ＞４）， 所以σ２ ＝７，μ＝３，所以Ｅ（Ｘ）＝３，Ｄ（Ｘ）＝７． 故选（Ａ）． ４．学生的身高（单位：ｃｍ）服从正态分布Ｎ（１６５，５２），即服 从均值为１６５ｃｍ，方差为２５的正态分布． 因为适合身高在１５５～１７５ｃｍ范围内取值即在（μ－２σ，μ ＋２σ）内取值，其概率为９５４％                                                                      ， —３— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第２９～３２期 从而得出适合身高在１５５～１７５ｃｍ范围内学生穿的服装 大约套数是１０００×９５．４％ ＝９５４（套），故选（Ｂ）． ５．因为随机变量 Ｘ服从正态分布Ｎ（３，σ２）， 所以正态曲线关于直线ｘ＝３对称． 又Ｐ（Ｘ＜１）＝０．１，所以Ｐ（Ｘ＞５）＝０．１， 所以Ｐ（３≤Ｘ≤５）＝Ｐ（１≤Ｘ≤５）２ ＝１－０１×２２ ＝０．４， 故选（Ｄ）． ６．根据题意，μ＝１００，σ２ ＝１００，故（Ａ）正确，（Ｂ）错误； Ｐ（ｘ＞１２０）＝Ｐ（ｘ＜８０）＞Ｐ（ｘ＜７０），故（Ｃ）错误； Ｐ（１００＜ｘ＜１１０）＝Ｐ（９０＜ｘ＜１００） ＞Ｐ（８０＜ｘ＜９０），故（Ｄ）错误． ７．根据题意，μ＝９０，σ＝１０， 所以Ｐ（Ｘ≥１１０） ＝１－Ｐ（μ－２σ≤Ｘ≤μ＋２σ）２ ＝１－Ｐ（７０≤Ｘ≤１１０）２ ≈１－０９５４２ ＝００２３， 即高于１１０分的概率为０．０２３， 所以数学成绩在该县的排名大约是 １９９０×００２３≈ ４６（名）． ８．由题得 μ＝１１０（１７＋２３＋１９＋２１＋２２＋２１＋１９＋１７＋２２＋１９）＝２０， σ２ ＝ １１０（３ ２＋３２＋１２＋１２＋２２＋１２＋１２＋３２＋２２＋１２）＝４， 解得σ＝２． 所以Ｐ（２０－２≤Ｘ≤２０＋２）≈０６８２６， 所以Ｐ（２０≤Ｘ≤２２）≈０３４１３， 所以Ｐ（Ｘ≤２２）＝０．５＋０．３４１３＝０．８４１３． 故选（Ｃ）． 二、多项选择题 ９．ＡＤ；　１０．ＡＣ；　１１．ＡＣＤ． 提示： ９．根据正态曲线关于直线ｘ＝μ对称，且μ越大，图象越靠 近右边，所以μ１ ＜μ２ ＝μ３，（Ｂ），（Ｃ）错误； 又σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，所以 σ１ ＝σ２ ＜σ３， （Ａ），（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｄ）． １０．随机变量Ｘ服从正态分布Ｎ（０，１）， 所以正态曲线关于直线ｘ＝０对称． 因为ｆ（ｘ）＝Ｐ（Ｘ≤ｘ）（ｘ＞０）， 所以根据正态曲线的对称性可得 ｆ（－ｘ）＝Ｐ（Ｘ＞ｘ）＝１－ｆ（ｘ），所以（Ａ）正确； ｆ（２ｘ）＝Ｐ（Ｘ≤２ｘ），２ｆ（ｘ）＝２Ｐ（Ｘ≤ｘ），所以（Ｂ）错误； Ｐ（｜Ｘ｜≤ｘ）＝Ｐ（－ｘ≤Ｘ≤ｘ） ＝１－２ｆ（－ｘ）＝１－２［１－ｆ（ｘ）］ ＝２ｆ（ｘ）－１，所以（Ｃ）正确； Ｐ（｜Ｘ｜＞ｘ）＝Ｐ（Ｘ＞ｘ或Ｘ＜－ｘ） ＝１－ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ） ＝１－ｆ（ｘ）＋１－ｆ（ｘ） ＝２－２ｆ（ｘ），所以（Ｄ）错误． 故选（Ａ）（Ｃ）． １１．根据正态分布密度曲线的图象和性质可得，三种品牌 的手表日走时误差对应的正态分布密度曲线的对称轴都是 ｙ 轴，所以三种品牌的手表日走时误差的均值相等，所以（Ａ）正 确； 乙品牌对应的正态分布密度曲线在区间［－１，０］之间与ｘ轴 围成的面积和丙品牌对应的正态分布密度曲线在区间［０，２］之间 与ｘ轴围成的面积相等，所以（Ｂ）不正确； 由正态分布密度曲线的图象，可得σ甲 ＜σ乙 ＜σ丙，所以 三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙， 所以（Ｃ）正确； 由σ甲 ＜σ乙 ＜σ丙，可得甲种品牌的手表日走时误差最 小，质量最好，所以（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．０２；　１３．３；　１４．６１１２５． 提示： １２．若随机变量Ｘ服从正态分布Ｎ（μ，σ２）， 则Ｐ（Ｘ＜μ）＝０．５． 故可知μ＝０．２且在ｘ＝μ时取得最大值， 所以ｘ＝０２． １３．由于随机变量Ｘ～Ｎ（μ，σ２）， 满足Ｐ（Ｘ≤１）＝０．３，Ｐ（１＜Ｘ＜５）＝０．４， 因此Ｐ（Ｘ≥５）＝１－０．３－０．４＝０．３＝Ｐ（Ｘ≤１）， 根据正态曲线的对称性可知μ＝１＋５２ ＝３． １４．Ｐ（Ｘ＞７００）＝ １２［１－Ｐ（５００≤Ｘ≤７００）］ ＝ １２×（１－０．６）＝０．２＝ １ ５                                                                      ， —４— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第２９～３２期 所以这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过 ７００辆的概率为Ｐ＝１ (－ １－ )１５ ３ ＝６１１２５． 四、解答题 １５．解：据已知得μ＝１２０，σ＝１０，由于正态总体Ｎ（μ，σ２）在 区间（μ－２σ，μ＋２σ）内取值的概率约为０．９５４， 故１４０分以上的所占概率为１－０９５４２ ＝００２３， 故相应的考生人数为２０００×００２３＝４６（人）． １６．解：因为Ｘ～Ｎ（２５，０２２），所以μ＝２５，σ＝０２． 所以Ｐ（２４８≤Ｘ≤２５４） 　 ＝Ｐ（μ－σ≤Ｘ≤μ＋２σ） ＝ １２×（０６８２６＋０９５４４） ＝０３４１３＋０４７７２＝０８１８５． １７．解：（１）利用测量数据，即可计算平均值μ与标准差σ． μ＝９７＋９７＋９８＋１０２＋１０５＋１０７＋１０８＋１０９＋１１３＋１１４１０ ＝１０５． σ２ ＝６４＋６４＋４９＋９＋０＋４＋９＋１６＋６４＋８１１０ ＝３６， 解得σ＝６． （２）需要进一步调试． 因为Ｚ～Ｎ（１０５，３６）， Ｐ（μ－３σ≤Ｚ≤μ＋３σ）≈０９９７４， 所以内径在（８７，１２３）之外的概率为０．００２６， 而８６（８７，１２３），根据３σ原则，需要进一步调试． １８．解：（１）由频数分布表得： ｘ＝１４×５＋１７×６＋２０×９＋２３×１２＋２６×８＋２９×６＋３２×４５０ ＝２２．７６≈２２８． 所以这５０个社区这一天垃圾量的平均值为２２．８吨． （２）由（１）知μ＝２２．８． 因为ｓ＝５．２，所以σ＝ｓ＝５．２， 则２８＝μ＋σ． 所以Ｐ（Ｘ＞２８）＝Ｐ（Ｘ＞μ＋σ） ＝１－Ｐ（μ－σ≤Ｘ≤μ＋σ）２ ＝ １－０６８２６ ２ ＝０１５８７， 因为３２０×０．１５８７＝５０．７８４≈５１， 所以这３２０个社区中“超标”社区的个数为５１． １９．解：（１）μ＝（４７５＋７２５）×０００４×５＋（５２５＋６７５） ×００２６×５＋（５７５＋６２５）×００７×５＝６０． σ２ ＝［（４７５－６０）２＋（７２５－６０）２］×００２＋［（５２５－ ６０）２＋（６７５－６０）２］×０１３＋［（５７５－６０）２＋（６２５－６０）２］ ×０３５≈２５． （２）由题图可得从全校学生中随机抽取１名学生， 其体重在［５５，６５）的概率为０．７． 随机抽取３人，相当于３重伯努利试验，随机变量Ｘ服从二 项分布Ｂ（３，０．７），Ｐ（Ｘ＝０）＝Ｃ０３×０７ ０×０３３ ＝００２７， Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ１３×０７×０３ ２ ＝０１８９， Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｃ２３×０７ ２×０３＝０４４１， Ｐ（Ｘ＝３）＝Ｃ３３×０７ ３×０３０ ＝０３４３， 所以Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ Ｐ ００２７０１８９０４４１０３４３ Ｅ（Ｘ）＝３×０．７＝２．１． （３）由题意知Ｙ服从正态分布Ｎ（６０，２５）， 则Ｐ（μ－２σ≤Ｙ≤μ＋２σ）＝Ｐ（５０≤Ｙ≤７０）＝０９６ ＞０．９５４４， 所以该校学生的体重是正常的． 第３１期 概率核心素养综合测评 一、单项选择题 １～４　ＡＤＣＢ　５～８　ＣＡＤＢ 提示： １．由概率的乘法公式得 Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ｜Ｂ）Ｐ（Ｂ） ＝ １９× １ ３ ＝ １ ２７． ２．甲至少胜两局， 所以Ｃ２３×０６ ２×０４＋Ｃ３３×０６ ３ ＝３×０３６×０４＋０６３ ＝０．６４８． ３．由对称性可知Ｐ（Ｘ＜５０）＝Ｐ（Ｘ＞９０）， 那么这１万名学生中５０分以下的人数与９０分以上的人数 相等，因此５０分以下者共有２３０人． ４．由题意知， (Ｘ～Ｂ ５， ３ｍ＋ )３ ， 所以Ｅ（Ｘ）＝５× ３ｍ＋３＝３， 解得ｍ＝２，所以 (Ｘ～Ｂ ５， )３５ ， 所以Ｄ（Ｘ）＝５×３５ (× １－ )３５ ＝ ６５． ５．由随机变量 Ｘ服从正态分布 Ｎ（２，９），且 Ｐ（Ｘ＞ｃ）＝ Ｐ（Ｘ＜ｃ－２），得ｃ＋ｃ－２＝４，解得ｃ＝３                                                                      ． —５— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第２９～３２期 ６．因为随机变量Ｘ的分布列为 Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝ ａ ２ｋ ，ｋ＝１，２，…，１０， 所以∑ １０ ｋ＝１ ａ ２ｋ ＝ ａ２＋ ａ ４＋ ａ ８＋… ＋ ａ ２１０ ＝ａ· １ ２ (× １－１２ )１０ １－１２ (＝ａ １－１２ )１０ ＝１， 解得ａ＝１０２４１０２３， 所以Ｐ（３≤Ｘ≤４）＝Ｐ（Ｘ＝３）＋Ｐ（Ｘ＝４） ＝ １０２４ １０２３ ２３ ＋ １０２４ １０２３ ２４ ＝６４３４１． ７．由随机变量的分布列的性质，得 ｓｉｎα ４ ＋ ｓｉｎα ４ ＋ｃｏｓα＝１，即ｓｉｎα＋２ｃｏｓα＝２， 联立 ｓｉｎα＝２－２ｃｏｓα， ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１{ ， 得５ｃｏｓ２α－８ｃｏｓα＋３＝０， 解得ｃｏｓα＝ ３５或ｃｏｓα＝１（舍）， 则ｓｉｎα＝ ４５， 则Ｅ（Ｘ）＝－ｓｉｎα４ ＋２ｃｏｓα ＝－１４× ４ ５＋２× ３ ５ ＝１． ８．由已知得３ａ＋２ｂ＋０×ｃ＝１，即３ａ＋２ｂ＝１， 所以ａｂ＝ １６·３ａ·２ｂ≤ (１６ ３ａ＋２ｂ)２ ２ ＝ １６ (× )１２ ２ ＝ １２４， 当且仅当３ａ＝２ｂ＝ １２，即ａ＝ １ ６，ｂ＝ １ ４时取等号． 二、多项选择题 ９．ＡＣ；　１０．ＢＣ；　１１．ＢＤ． 提示： ９．Ｅ（Ｘ）＝－１×１２＋０× １ ３＋１× １ ６ ＝－ １ ３， Ｄ（Ｘ） (＝ －１＋ )１３ ２ ×１２ (＋ ０＋ )１３ ２ ×１３ (＋ １＋ )１３ ２ ×１６ ＝ ５９， 所以Ｄ（Ｙ）＝Ｄ（２Ｘ＋３）＝４Ｄ（Ｘ）＝２０９， 故选（Ａ）（Ｃ）． １０．由题意可知，从乙盒子里随机取出ｎ个球， 其中红球的个数（记为Ｘ）服从超几何分布， 且Ｍ ＝３，Ｎ＝６，则Ｅ（Ｘ）＝ｎ·ＭＮ ＝ ｎ ２， 故从甲盒子里随机取一球， (相当于从含有 ｎ２＋ )１ 个红 球的（ｎ＋１）个球中随机取一球， 易知取到红球的个数Ｙ服从两点分布， 故Ｐ（Ｙ＝１）＝ ｎ ２＋１ ｎ＋１ ＝ １ ２＋ １ ２ｎ＋２， 所以Ｅ（Ｙ）＝Ｐ（Ｙ＝１）＝ １２＋ １ ２ｎ＋２， 随着ｎ的增加，Ｅ（Ｙ）减小； Ｄ（Ｙ）＝Ｐ（Ｙ＝１）×［１－Ｐ（Ｙ＝１）］ (＝ １２＋ １２ｎ＋ )２ (× １２－ １２ｎ＋ )２ ＝ １４－ １ （２ｎ＋２）２ ， 随着ｎ的增加，Ｄ（Ｙ）增加． 故选（Ｂ）（Ｃ）． １１．因为该型号汽车配件的质量指标 Ｘ服从正态分布 Ｎ（２００，２２４），所以μ＝２００，σ２ ＝２２４． 又因为槡２２４≈１４．９７，所以σ＝１４．９７． 对于（Ａ），Ｐ（１８５．０３≤Ｘ≤２００）＝１２Ｐ（｜Ｘ－μ｜≤σ）≈ １ ２×０６８２６＝０３４１３，故（Ａ）错误； 对于（Ｂ），Ｐ（２００≤Ｘ≤２２９９４）＝１２Ｐ（｜Ｘ－μ｜≤２σ） ≈ １２×０９５４４＝０４７７２，故（Ｂ）正确； 对于（Ｃ），Ｐ（１８５．０３≤Ｘ≤２２９．９４） ＝ １２Ｐ（｜Ｘ－μ｜≤σ）＋ １ ２Ｐ（｜Ｘ－μ｜≤２σ） ＝０．３４１３＋０．４７７２＝０．８１８５，故（Ｃ）错误； 对于（Ｄ），由（Ｃ）中计算知 Ｐ（１８５．０３≤Ｘ≤２２９．９４）＝０８１８５， １００００×０．８１８５＝８１８５， 故任取１００００件该型号汽车配件，其质量指标值位于区间 ［１８５．０３，２２９．９４］内的件数约为８１８５，故（Ｄ）正确． 故选（Ｂ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．３５；　１３． １ １２；　１４．１５                                                                      ． —６— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第２９～３２期 提示： １２．由随机变量的性质，得 Ｐ（Ｘ＝２）＋Ｐ（Ｘ＝４）＋Ｐ（Ｘ＝６）＋Ｐ（Ｘ＝８）＋Ｐ（Ｘ＝１０） ＝ａ＋２ａ＋３ａ＋４ａ＋５ａ＝１５ａ＝１， 所以ａ＝ １１５，所以Ｐ（Ｘ＝２ｋ）＝ １ １５ｋ， 所以Ｐ（Ｘ＞６）＝Ｐ（Ｘ＝８）＋Ｐ（Ｘ＝１０） ＝ ４１５＋ ５ １５＝ ３ ５． １３．设第一人抛出蛇的图案的事件为 Ａ事件，第二人抛出 蛇的图案的事件为Ｂ事件， 则Ｐ（Ａ）＝ １１２，Ｐ（ＡＢ）＝ １×１ １２×１２＝ １ １４４， 所以Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ） ＝ １ １４４ １ １２ ＝ １１２， 即在第一人抛出蛇的图案朝上时，两人心愿均能达成的概 率为 １ １２． １４．用Ｘ表示中奖票数， Ｐ（Ｘ≥１）＝ Ｃ１２Ｃ ｎ－１ ４８ Ｃｎ５０ ＋ Ｃ２２Ｃ ｎ－２ ４８ Ｃｎ５０ ＞０５ ２· ４８！ （ｎ－１）！（４９－ｎ）！ ５０！ ｎ！（５０－ｎ）！ ＋ ４８！ （ｎ－２）！（５０－ｎ）！ ５０！ ｎ！（５０－ｎ）！ ＞ １２， 所以 ２ｎ（５０－ｎ） ５０×４９ ＋ ｎ（ｎ－１） ５０×４９ ＞ １ ２，解得ｎ≥１５． 四、解答题 １５．解：甲、乙两人做错的题的个数的均值分别为 Ｅ（Ｘ１）＝０×０３＋１×０３＋２×０２＋３×０２＝１３， Ｅ（Ｘ２）＝０×０１＋１×０５＋２×０４＝１３． 由上可知甲、乙两人均值相等． 又Ｄ（Ｘ１）＝（０－１３） ２×０３＋（１－１３）２×０３＋（２－ １３）２×０２＋（３－１３）２×０２＝１２１， Ｄ（Ｘ２）＝（０－１３） ２×０１＋（１－１３）２×０５＋（２－ １３）２×０４＝０４１． 可知甲的稳定性差，乙的水平更稳定． 所以乙的答题水平高于甲的水平． １６．解：设“手机落在宿舍”为事件Ｂ１，“手机落在教室”为 事件Ｂ２，“手机落在路上”为事件Ｂ３，“找到手机”为事件Ａ， 则Ω＝Ｂ１∪Ｂ２∪Ｂ３． （１）Ｐ（Ａ） ＝Ｐ（Ａ｜Ｂ１）Ｐ（Ｂ１）＋Ｐ（Ａ｜Ｂ２）Ｐ（Ｂ２）＋Ｐ（Ａ｜Ｂ３）Ｐ（Ｂ３） ＝９８％ ×６０％ ＋５０％ ×２５％ ＋２０％ ×１５％ ＝０．７４３． （２）Ｐ（Ｂ１｜Ａ）＝ Ｐ（Ｂ１Ａ） Ｐ（Ａ） ＝ Ｐ（Ａ｜Ｂ１）Ｐ（Ｂ１） Ｐ（Ａ） ＝６０％ ×９８％０．７４３ ≈０．７９１． １７．解：设既会唱歌又会跳舞的有ｘ人，则文娱队中共有（７ －ｘ）人，那么只会一项的人数是（７－２ｘ）人． （１）因为Ｐ（Ｘ＞０）＝Ｐ（Ｘ≥１）＝１－Ｐ（Ｘ＝０）＝７１０， 所以Ｐ（Ｘ＝０）＝ ３１０，即 Ｃ２７－２ｘ Ｃ２７－ｘ ＝ ３１０． 所以 （７－２ｘ）（６－２ｘ） （７－ｘ）（６－ｘ） ＝ ３ １０，解得ｘ＝２． 故文娱队共有５人． （２）Ｘ的可能取值为０，１，２，则 Ｐ（Ｘ＝１）＝ Ｃ１２Ｃ １ ３ Ｃ２５ ＝ ３５， Ｐ（Ｘ＝２）＝ Ｃ２２ Ｃ２５ ＝ １１０， 所以Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ Ｐ ３１０ ３ ５ １ １０ 所以Ｅ（Ｘ）＝０×３１０＋１× ３ ５＋２× １ １０＝ ４ ５， Ｄ（Ｘ） ＝ ０－( )４５ ２ ×３１０＋ １－( )４５ ２ ×３５ (＋ ２－ )４５ ２ ×１１０ ＝ ９２５． １８．解：（１）①记“从盒子中先后任意飞出两只昆虫，恰有１ 只蜜蜂”为事件Ａ， 设盒子中蜜蜂的只数为ｘ（ｘ∈Ｎ＋）， 则Ｐ（Ａ）＝ Ｃ１ｘＣ １ ８－ｘ Ｃ２８ ＝ ４７，解得ｘ＝４， 故蜜蜂共有４只． ②随机变量Ｘ服从超几何分布，且Ｎ＝８，Ｍ ＝４，ｎ＝３， Ｐ（Ｘ＝ｉ）＝ Ｃｉ４Ｃ ３－ｉ ４ Ｃ３８ ，ｉ＝０，１，２，３． 故Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ Ｐ １１４ ３ ７ ３ ７ １ １４ Ｅ（Ｘ）＝１×３７＋２× ３ ７＋３× １ １４＝ ３ ２． （２）记“任意飞出两只昆虫，至少有１只是蝴蝶”为事件 Ｂ，则事件Ｂ为“任意飞出两只昆虫，其中没有蝴蝶                                                                      ”， —７— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第２９～３２期 Ｐ（Ｂ）＝１－Ｐ（Ｂ）＝１－ Ｃ２ｎ Ｃ２２ｎ ＝１－ ｎ－１２（２ｎ－１） ＝ ３４＋ １ ４（２ｎ－１）（ｎ≥４，ｎ∈Ｎ）， 当ｎ＝４时，Ｐ（Ｂ）ｍａｘ＝ ３ ４＋ １ ２８＝ １１ １４． １９．解：（１）①两个项目都不补考能通过的概率： Ｐ１ ＝ １ ２× ２ ３ ＝ １ ３； ②两个项目中有一个项目要补考才能通过的概率： Ｐ２ ＝ １－( )１２ × １ ２× ２ ３＋ １ ２× １－( )２３ × ２ ３ ＝ ５ １８； ③两个项目都要补考才能通过的概率： Ｐ３ ＝ １－( )１２ × １ ２× １－( )２３ × ２ ３ ＝ １ １８， 所以Ｐ＝Ｐ１＋Ｐ２＋Ｐ３ ＝ １ ３＋ ５ １８＋ １ １８＝ １２ １８＝ ２ ３． （２）Ｐ ＝ Ｃ０６( )１３ ０( )２３ ６ ＋ Ｃ１６( )１３ １( )２３ ５ ＋ Ｃ２６( )１３ ２( )２３ ４ ＝４９６７２９． （３）由题意可得，Ｘ的可能取值为０，１，２， Ｐ（Ｘ＝０）＝ １２× ２ ３ ＝ １ ３， Ｐ（Ｘ＝１）＝１２× １ ２＋ １ ２× １ ３＋ １ ２× １ ２× ２ ３ ＝ ７ １２， Ｐ（Ｘ＝２）＝( )１２ ２ ×１３×１＝ １ １２． 所以随机变量Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ Ｐ １３ ７ １２ １ １２ 所以Ｅ（Ｘ）＝０×１３＋１× ７ １２＋２× １ １２＝ ３ ４． 第３２期１版 专项小练一 １．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ｃ．　４．３．５；　５．２１１５． ６．解：由表中数据可得 珋ｘ＝ ５２，珋ｙ＝ ７ ４， ∑ ４ ｉ＝１ ｘ２ｉ ＝３０，∑ ４ ｉ＝１ ｘｉｙｉ＝ ４３ ２， 所以 ｂ^＝ ∑ ４ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－４珋ｘ·珋ｙ ∑ ４ ｉ＝１ ｘ２ｉ－４珋ｘ ２ ＝ ４３ ２－４× ５ ２× ７ ４ ３０－４×２５４ ＝ ４５， ａ^＝珋ｙ－ｂ^珋ｘ＝ ７４－ ４ ５× ５ ２ ＝－ １ ４． 故所求的线性回归方程为Ｙ＝ ４５Ｘ－ １ ４． 专项小练二 １．Ｂ；　２．Ｄ；　３．槡３２５．　４．－１． ５．解：由题意，得ｘ＝７，ｙ＝５， 则∑ ５ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ） ２ ＝１０， ∑ ５ ｉ＝１ （ｙｉ－ｙ） ２ ＝１６５， ∑ ５ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ）＝－１２５， 所以ｒ＝ －１２５ １０×槡 １６５ ≈－０９７． 因为｜ｒ｜＝０９７∈［０７５，１］， 所以Ｙ与Ｘ之间的线性相关关系很强． 第３２期３，４版 一元线性回归，成对数据的线性相关性 同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＤＡＢＢ　５～８　ＣＤＣＢ 提示： ３． (由 题 意 得 样 本 点 的 中 心 为 ０＋１＋３＋４４ ， ２２＋４３＋４８＋６７)４ ，即（２，４．５）， 则有 ａ^＝４．５－０．９５×２＝２．６，故选（Ｂ）． ４．把Ｘ＝１６５代入Ｙ＝０．８５Ｘ－８５．７， 得Ｙ＝０．８５×１６５－８５７＝５４．５５， 所以在样本点（１６５，５７）处的随机误差为５７－５４．５５＝ ２４５．故选（Ｂ）． ５．因为ｘ＝１＋２＋３＋４＋５５ ＝３， ｙ＝１．２＋１．８＋２．５＋３．２＋３．８５ ＝２．５， 所以这组数据的样本中心点是（３，２．５）， 根据线性回归方程一定过样本中心点得到线性回归方程 Ｙ＝ａ^＋ｂ^ｘ必经过点（３，２．５）                                                                      ． —８— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第２９～３２期 ６．当Ｘ＝６时，Ｚ＝－１＋ｌｎ３００＝ｌｎ３００ｅ， 所以Ｙ＝ｅＺ ＝３００ｅ． ７．由上表可知样本中心点为（４，５）， 将（４，５）代入Ｙ＝０．０８＋ｂ^Ｘ可得 ｂ^＝１．２３， 所以令１．２３Ｘ＋０．０８＞１２，解得Ｘ＞９．６９， 因此据此模型预报该设备使用年限的最大值为 ９，故选 （Ｃ）． ８．由题意可得样本中心为（３．５，４２）， 根据线性回归方程必过样本中心可得 ４２＝ａ^＋９．４×３．５，解得 ａ^＝９．１， 所以线性回归方程为Ｙ＝９．１＋９．４Ｘ， 所以广告费用为６万元时销售额为 ９．１＋９４×６＝６５．５（万元）． 二、多项选择题 ９．ＡＢＣ；　１０．ＡＤ；　１１．ＡＣＤ． 提示： ９．由线性回归方程Ｙ＝０．８５Ｘ－８５．７１可知０．８５＞０，所以 Ｙ与Ｘ具有正的线性相关关系； 若该大学某女生身高增加１ｃｍ，则其体重约增加０．８５ｋｇ； 线性回归方程必过样本中心点； 当Ｘ＝１７０时，Ｙ＝５８．７９， 所以该大学某女生身高为１７０ｃｍ， 则可断定其体重约为５８．７９ｋｇ，不是必为５８．７９ｋｇ． 故选（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）． １０．线性回归方程为Ｙ＝７３．９３＋７．１９Ｘ， ７．１９＞０，即Ｙ随Ｘ的增大而增大，Ｙ与Ｘ具有正的线性相 关关系，（Ａ）正确； 回归直线过样本的中心点（６，１１７．１），（Ｂ）错误； 当Ｘ＝１０时，Ｙ＝１４５．８３，此为估计值，所以儿子１０岁时的 身高的估计值是１４５．８３ｃｍ，而不一定是实际值，（Ｃ）错误； 回归方程的斜率为７．１９，则儿子年龄增加１周岁，身高约 增加７．１９ｃｍ，（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｄ）． １１．对于（Ａ），ｘ＝２＋３＋４＋５＋６５ ＝４， 由线性回归方程得ｙ＝６ｘ＋８＝３２， 则ａ＝３２×５－（１９＋２５＋３８＋４４）＝３４，正确； 对于（Ｂ），由线性回归方程及数表知，Ｘ，Ｙ具有正相关关 系，而相关系数的绝对值不超过１，不正确； 对于（Ｃ），第三个样本点对应的实际值与预测值的差为３４ －（６×４＋８）＝２，正确； 对于（Ｄ），当Ｘ＝７时，生产能耗约６×７＋８＝５０（吨），正确． 故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．丙；　１３．３７５；　１４．１８５． 提示： １２．样本相关系数｜ｒ｜越接近１，成对数据的线性相关程度就 越强，结合题中所给的３组成对数据的样本相关系数知，－０．９０的 绝对值最接近１，所以丙组成对数据的线性相关程度最强． １３．由题意，可得ｘ＝１５０５ ＝３０，代人线性回归方程， 可得Ｙ＝０．６７×３０＋５４．９＝７５， 所以ｙ１＋ｙ２＋ｙ３＋ｙ４＋ｙ５ ＝５×７５＝３７５． １４．ｘ＝１＋２＋３＋４＋５５ ＝３， ｙ＝０７＋０８＋１＋１１＋１４５ ＝１， 所以 ｂ^＝１７１０ ＝０１７， ａ^＝ｙ－ｂ^ｘ＝１－０１７×３＝０４９， 所以年生产利润关于年号的线性回归方程为Ｙ＝０．１７Ｘ＋ ０４９，当Ｘ＝８时，Ｙ＝０．１７×８＋０．４９＝１．８５． 四、解答题 １５．解：显然学习时间与学习成绩间具有相关关系，可用科 学计算器进行计算． 可得 ｂ^＝  １０ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－１０珋ｘ珋ｙ  １０ ｉ＝１ ｘ２ｉ－１０珋ｘ ２ ＝５４５．４１５４．４≈３．５３， ａ^＝珋ｙ－ｂ^珋ｘ＝７４．９－３．５３×１７．４≈１３．４８． 所以可求得线性回归方程为Ｙ＝１３．４８＋３．５３Ｘ． 当Ｘ＝１８时，Ｙ＝３．５３×１８＋１３．４８≈７７． 故预计该同学可得７７分左右． １６．解：（１）ＣＯ对ＰＭ２５有正相关关系，而Ｏ３对ＰＭ２５没有 相关关系． （２）∑ ３ ｉ＝１ ｘｉｙｉ＝０５＋２＋６＝８５， ｘ＝ ７３，ｙ＝１， ３ｘｙ＝７， ∑ ３ ｉ＝１ ｘ２ｉ ＝１＋４＋１６＝２１，３ｘ ２ ＝４９３． 所以 ｂ^＝ ９２８，ａ^＝ １ ４，Ｙ＝ ９ ２８Ｘ＋ １ ４， 当ＣＯ为２００，即Ｙ＝２时，９２８Ｘ＋ １ ４ ＝２                                                                      ， —９— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第２９～３２期 解得Ｘ＝４９９， 即ＰＭ２５的值为 ４９ ９×１００＝ ４９００ ９ ≈５４４（μｇ／ｍ ３）． １７．解：（１）由题可知，ｘ＝５＋２＋９＋８＋１１５ ＝７， ｙ＝２＋３＋１０＋５＋１５５ ＝７． 外卖甲的日接单量的方差 ｓ２甲 ＝ （５－７）２＋（２－７）２＋（９－７）２＋（８－７）２＋（１１－７）２ ５ ＝１０， 外卖乙的日接单量的方差 ｓ２乙 ＝ （２－７）２＋（３－７）２＋（１０－７）２＋（５－７）２＋（１５－７）２ ５ ＝２３．６， 因为ｘ＝ｙ，ｓ２甲 ＜ｓ ２ 乙，即外卖甲的平均日接单量与外卖乙 的平均日接单量相同，但外卖甲的日接单量更集中一些，所以 外卖甲比外卖乙经营状况更好． （２）因为ｒ＝ ∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ） ∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）槡 ２ ∑ ｎ ｉ＝１ （ｙｉ－ｙ）槡 ２ ， 易得∑ ５ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ）＝６６， ∑ ５ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）槡 ２ ∑ ５ ｉ＝１ （ｙｉ－ｙ）槡 ２ ＝ 槡１０ ５９． 所以代入计算可得，样本相关系数ｒ≈０８５９， 所以可认为Ｙ与Ｘ有较强的线性相关关系． １８．解：（１）由表中数据可得， ｘ＝ １５（０＋２＋５＋８＋１０）＝５， ｙ＝ １５（５０＋２５＋２０＋１５＋１０）＝２４， ∑ ５ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－５ｘｙ＝３７０－５×５×２４＝－２３０， ∑ ５ ｉ＝１ ｘ２ｉ－５ｘ ２ ＝６８， 所以 ｂ^＝ ∑ ５ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－５ｘｙ ∑ ５ ｉ＝１ ｘ２ｉ－５ｘ ２ ＝－２３０６８ ≈－３４， 所以 ａ^＝ｙ－ｂ^ｘ＝２４＋３４×５＝４１， 所以Ｙ关于Ｘ的线性回归方程为Ｙ＝４１－３４Ｘ． （２）设该系大一学生每周扣分总数为ｈ（ｘ），则由题意， 得ｈ（ｘ）＝ｘ（－３４ｘ＋４１）＝－３４ｘ２＋４１ｘ， 因为函数对称轴方程为ｘ＝ ４１３４×２≈６０３， 由题意，ｘ＝６时，ｈ（ｘ）有最大值， 即每次扣分为６分时，该系大一新生被扣分的总数最大． （３）设每周上课使用手机扣ｘ分， 则数学系大一学生每学期扣分为２０×（－３４ｘ＋４１）ｘ， 令２０×（－３４ｘ＋４１）ｘ≤１０００， 即３４ｘ２－４１ｘ＋５０≥０， 解得ｘ≥４１＋槡１００１２×３４ ≈１０６８ 或ｘ≤４１－槡１００１２×３４ ≈１３８， 由题意，可知每周至少扣分１１分时，数学系才能被定为控 制手机合格． １９．解：（１）由折线图中的数据得，ｘ＝４， ∑ ７ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ） ２ ＝２８，∑ ７ ｉ＝１ （ｙｉ－ｙ） ２ ＝１８， 所以ｒ＝ ２１ ２８×槡 １８ ≈０９４． 因为Ｙ与Ｘ的相关系数近似为０．９４，说明Ｙ与Ｘ的线性相 关程度相当大，所以可以用线性回归模型拟合Ｙ与Ｘ的关系． （２）因为ｙ＝５４，ｂ^＝ ∑ ７ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ） ∑ ７ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ） ２ ＝２１２８＝ ３ ４， 所以 ａ^＝ｙ－ｂ^ｘ＝５４－３４×４＝５１， 所以Ｙ关于Ｘ的线性回归方程为 Ｙ＝ｂ^Ｘ＋ａ^＝ ３４Ｘ＋５１． 将２０２７年对应的Ｘ＝１０代入得 Ｙ＝ ３４×１０＋５１＝５８５， 所以预测２０２７年该企业污水净化量约为５８．５吨． （３）因为Ｒ２ ＝１－ ∑ ７ ｉ＝１ （ｙｉ－ｙ^ｉ） ２ ∑ ７ ｉ＝１ （ｙｉ－ｙ） ２ ＝１－９４× １ １８ ＝１－１８ ＝ ７ ８ ＝０８７５． 所以“污水净化量的差异”有８７．５％是由年份引起的，这 说明线性回归方程预报的效果是良好的                                                                      ． —０１— 高中数学北师大版选择性必修第一册　第２９～３２期 书书书 若 某 同 学 每 周 用 于 数 学 学 习 的 时 间 为 １８ 小 时 ，试 预 测 该 同 学 的 数 学 成 绩 ． １６． （ １５ 分 ） 专 家 研 究 表 明 ，ＰＭ ２５ 是 霾 的 主 要 成 分 ，在 研 究 ＰＭ ２５ 形 成 原 因 时 ，某 研 究 人 员 研 究 了 ＰＭ ２５ 与 燃 烧 排 放 的 ＣＯ ２ ，Ｎ Ｏ ２ ，ＣＯ ， Ｏ ３ ，Ｐ Ｍ １０ 等 物 质 的 相 关 关 系 ．图 ２ ，图 ３ 分 别 是 ＰＭ ２５ 与 ＣＯ 和 Ｏ ３ 相 关 性 的 散 点 图 ． （１） 根 据 散 点 图 ，请 你 就 ＣＯ ，Ｏ ３ 对 ＰＭ ２５ 的 影 响 关 系 做 出 初 步 评 价 ； （ ２ ） 以 １００ μ ｇ／ｍ ３ 为 单 位 ，在 上 述 图 ２ 中 取 三 个 点 ，如 下 表 所 示 ： ＰＭ ２ ５ μ ｇ／ｍ ３（Ｘ ） １ ２ ４ ＣＯ μ ｇ／ ｍ ３（Ｙ ） ０５ １ １５ 求 Ｙ 关 于 Ｘ 的 线 性 回 归 方 程 ，并 估 计 当 ＣＯ 排 放 量 是 ２００ μ ｇ／ｍ ３ 时 ，ＰＭ ２．５ 的 值 ． （ 结 果 保 留 整 数 ） （ 用 最 小 二 乘 法 求 线 性 回 归 方 程 的 系 数 是 ｂ^ ＝ ∑ ｎｉ＝１ ｘ ｉ ｙ ｉ － ｎｘ ｙ ∑ ｎｉ＝１ ｘ ２ｉ － ｎｘ ２ ，ａ^ ＝ ｙ － ｂ^ ｘ） １７． （１５ 分 ） 互 联 网 使 我 们 的 生 活 日 益 便 捷 ． 网 络 外 卖 也 开 始 成 为 不 少 人 日 常 生 活 中 不 可 或 缺 的 一 部 分 ， 某 市 一 调 查 机 构 针 对 该 市 市 场 占 有 率 较 高 的 甲 、 乙 两 家 网 络 外 卖 企 业 （ 以 下 称 外 卖 甲 、 外 卖 乙 ） 的 经 营 情 况 进 行 了 调 查 ，调 查 结 果 如 下 表 ： １ 日 ２ 日 ３ 日 ４ 日 ５ 日 外 卖 甲 日 接 单 Ｘ ／ 百 单 ５ ２ ９ ８ １１ 外 卖 乙 日 接 单 Ｙ ／ 百 单 ２ ３ １０ ５ １５ （１ ） 试 根 据 表 格 中 这 五 天 的 日 接 单 量 情 况 ， 从 统 计 的 角 度 说 明 这 两 家 外 卖 企 业 的 经 营 状 况 ； （２ ） 据 统 计 表 明 ，Ｙ 与 Ｘ 之 间 具 有 线 性 相 关 关 系 ，请 用 样 本 相 关 系 数 ｒ 对 Ｙ 与 Ｘ 之 间 的 相 关 性 强 弱 进 行 判 断 ． （ 若 ｜ ｒ｜ ＞ ０．７５ ， 则 可 认 为 Ｙ 与 Ｘ 有 较 强 的 线 性 相 关 关 系 ，ｒ 的 值 精 确 到 ０．００１ ） 参 考 公 式 ： 样 本 相 关 系 数 ｒ ＝ ∑ ｎｉ＝ １ （ｘ ｉ － ｘ） （ｙ ｉ － ｙ） ∑ ｎｉ＝１ （ｘ ｉ － ｘ） 槡 ２ ∑ ｎｉ＝１ （ｙ ｉ － ｙ） 槡 ２ ． １８． （１７ 分 ） 某 高 校 数 学 系 为 了 控 制 大 一 学 生 上 课 使 用 手 机 ， 针 对 上 课 使 用 手 机 情 况 ， 进 行 量 化 比 ， 若 发 现 上 课 使 用 手 机 则 扣 除 其 对 应 的 积 分 ，根 据 调 查 发 现 每 次 被 扣 分 数 与 本 系 大 一 学 生 每 周 上 课 使 用 手 机 次 数 的 关 系 如 下 表 所 示 ： 每 次 被 扣 分 数 Ｘ ／ 分 ０ ２ ５ ８ １０ 每 周 上 课 使 用 手 机 次 数 Ｙ ／ 次 ５０ ２５ ２０ １５ １０ （１ ） 试 根 据 以 上 数 据 ，建 立 Ｙ 关 于 Ｘ 的 回 归 直 线 方 程 （ 结 果 保 留 一 位 小 数 ） ； （２ ） 根 据 上 述 回 归 直 线 方 程 分 析 ： 每 次 扣 分 为 多 少 时 （ 精 确 到 整 数 分 ） ，该 系 大 一 新 生 被 扣 分 的 总 数 最 大 ； （３ ） 若 学 校 规 定 ，大 一 新 生 每 学 期 （ 按 ２０ 周 上 课 计 算 ） 因 为 上 课 使 用 手 机 被 扣 分 总 数 不 超 过 １０００ 分 ，则 该 系 大 一 被 定 为 控 制 手 机 合 格 ， 那 么 ，每 周 上 课 使 用 手 机 至 少 扣 多 少 分 时 （ 扣 分 不 低 于 ５ 分 ， 精 确 到 整 数 ） ，数 学 系 才 能 被 定 为 控 制 手 机 合 格 ？ 参 考 公 式 ：ｂ^ ＝ ∑ ｎｉ＝１ ｘ ｉ ｙ ｉ － ｎｘ ｙ ∑ ｎｉ＝１ ｘ ２ｉ － ｎｘ ２ ，Ｙ ＝ ｂ^Ｘ ＋ ａ^ １９ ． （１７ 分 ） 如 图 ４ 是 某 企 业 ２０１８ 年 至 ２０２４ 年 的 污 水 净 化 量 （ 单 位 ： 吨 ） 的 折 线 图 ． （１ ） 由 折 线 图 看 出 ，可 用 线 性 回 归 模 型 拟 合 Ｙ 和 Ｘ 的 关 系 ，请 用 相 关 系 数 加 以 说 明 ； （ ２） 建 立 Ｙ 关 于 Ｘ 的 线 性 回 归 方 程 ，预 测 ２０２７ 年 该 企 业 的 污 水 净 化 量 ； （３ ） 请 用 数 据 说 明 线 性 回 归 方 程 预 报 的 效 果 ． （ 注 ： 年 份 代 码 １ ～ ７ 分 别 对 应 年 份 ２０１８ － ２０２４． ） !"#$%&'()*+,-./0123!"#$%&'( 4"#$%&'(5*+,-670128!")$%&'( 9 : ; < = > ? ! ! ! ! ! ! ! ! " # $ % & ' " # $ % ! % & % % % $ % # % " " & ' ( ) * ! $ ! ( ( " ( ( # ( ( $ ( ( % ( ( ! % ( ! ( ( % ( ) * ! + , - # . / " 0 % ! + , - # ( ! ( ( " ( ( # ( ( $ ( ( % ( ( 1 ( & ( $ ( " ( * # ! + , - # . / " 0 % ! + , - # ( ! " ! # 书 专项小练一、一元线性回归 １．某商场经营一批小商品，根据销售经验， 此商品的日销售量 Ｙ（单位：台）关于销售单价 Ｘ（单位：元）的线性回归方程是Ｙ＝１６１－３Ｘ， 由此估计，当销售单价为３５元时，此商品的日销 售量为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）３０台 （Ｂ）４１台 （Ｃ）５０台　（Ｄ）５６台 ２．对具有线性相关关系的变量ｘ，ｙ，有一组 观测数据（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２，…，８），其线性回归 方程是Ｙ＝１３Ｘ＋ａ，且ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋… ＋ｘ８＝ ２（ｙ１＋ｙ２＋… ＋ｙ８）＝６，则实数ａ的值是 （　　） （Ａ）１１６　　（Ｂ） １ ８　　（Ｃ） １ ４　　（Ｄ） １ ２ ３．某学生在高三学年最近九次考试中的数 学成绩如下表： 第Ｘ次考试 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 数学成绩Ｙ／分 １２１１１９１３０１０６１３１１２３１１０１２４１１６ 由表中数据，求得线性回归方程 Ｙ＝ａ^＋ ｂ^Ｘ，则点（ａ，ｂ）在直线ｘ＋５ｙ－１０＝０的 （　　） （Ａ）左上方 （Ｂ）左下方 （Ｃ）右上方 （Ｄ）右下方 ４．设有一个线性回归方程为Ｙ＝２－３．５Ｘ， 则变量Ｘ增加一个单位时，Ｙ平均减少 个单位． ５．具有线性相关关系的变量Ｘ，Ｙ的一组数 据如下表： Ｘ ２ ４ ５ ６ ８ Ｙ ２０ ４０ ６０ ７０ ８０ 根据上表，利用最小二乘法得到它们的回 归直线方程为Ｙ＝１０．５Ｘ＋ａ，当Ｘ＝２０时，Ｙ的 估计值为 ． ６．已知变量Ｘ，Ｙ线性相关，Ｘ与Ｙ有下列对 应数据： Ｘ １ ２ ３ ４ Ｙ １２ ３ ２ ２ ３ 求Ｙ关于Ｘ的线性回归方程． 专项小练二、成对数据的线性相关性 １．甲、乙、丙、丁四位同学各自对 Ｘ，Ｙ两变 量的线性相关性做试验，分别求得样本相关系 数ｒ，如下表： 甲 乙 丙 丁 ｒ ０２０ －０９５ －０１２ ０８５ 则试验结果中Ｘ，Ｙ两变量有更强线性相关 性的是 （　　） （Ａ）甲 （Ｂ）乙 （Ｃ）丙 （Ｄ）丁 ２．如右图所示，散点图中 需要去掉一组数据，使得剩下 的四组数据的相关系数最大， 则应去掉的数据所对应的点 为 （　　） （Ａ）Ａ （Ｂ）Ｂ （Ｃ）Ｃ （Ｄ）Ｄ ３．若已知∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ） ２是∑ ｎ ｉ＝１ （ｙｉ－ｙ） ２的两 倍，∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ）是∑ ｎ ｉ＝１ （ｙｉ－ｙ） ２的１．２ 倍，则相关系数ｒ的值为 ． ４．在一次试验中，测得（Ｘ，Ｙ）的四组值分 别为（１，２），（２，０），（４，－４），（－１，６），则Ｘ与Ｙ 的相关系数为 ． ５．某网店经销某商品，为了解该商品的月 销量Ｙ（单位：千件）与售价Ｘ（单位：元）之间的 关系，收集５组数据进行了初步处理，得到下表： 售价Ｘ／元 ５ ６ ７ ８ ９ 月销量Ｙ／千件 ８ ６ ４．５ ３．５ ３ 统计学中用样本相关系数 ｒ来衡量两个变 量之间线性相关关系的强弱，若 ｜ｒ｜∈ ［０７５， １］，则认为相关性很强；若 ｜ｒ｜∈ ［０３，０７５）， 则认为相关性一般；若｜ｒ｜∈ ［０，０３），则认为 相关性较弱．请根据表中数据计算Ｙ与Ｘ之间样 本相关系数ｒ，并说明Ｙ与Ｘ之间的线性相关关 系的强弱（精确到０．０１）． 参考数据：槡１６５≈１２８５． 参 考 公 式： 样 本 相 关 系 数 ｒ ＝ ∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ） ∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ） ２∑ ｎ ｉ＝１ （ｙｉ－ｙ）槡 ２ ． 书 当两个变量线性相关时，能准确确定线性 回归方程，有利于进一步加强数学应用意识，培 养运用所学知识分析问题和解决问题的能力， 能根据线性回归方程系数公式正确地求出线性 回归方程也是本节的重点．下面举例说明如何 确定线性回归方程． 一、利用线性回归方程过定点 例１为了研究３月下旬的平均气温 Ｘ（单 位：℃）与 ４月 ２０日前棉花害虫化蛹高峰日 Ｙ（单位：天）的关系，某地区观察了２０１９年至 ２０２４年的情况．得到下面数据 年份 ２０１９ ２０２０ ２０２１ ２０２２ ２０２３ ２０２４ 气温Ｘ／℃ ２４．４ ２９．６ ３２．７ ２８．７ ３０．３ ２８．９ 高峰日Ｙ／天 １９ ６ １ １０ １ ８ 则两个变量间的线性回归方程为 （　　） （Ａ）Ｙ＝７１．６－２．２Ｘ （Ｂ）Ｙ＝７６．１１７８－２．３５８Ｘ （Ｃ）Ｙ＝７１－２Ｘ （Ｄ）Ｙ＝６８６－２２Ｘ 解：ｘ＝１６∑ ６ ｉ＝１ ｘｉ＝ １ ６×（２４．４＋２９．６＋３２７ ＋２８．７＋３０．３＋２８．９）＝２９．１， ｙ＝１６×（１９＋６＋１＋１０＋１＋８）＝７．５， 代入选项中易知只有选项（Ｂ）中的线性回 归方程过点（２９．１，７．５）．故选（Ｂ）． 二、利用线性回归方程系数公式 例２下表提供了某厂节能降耗技术改造后 生产甲产品过程中记录的产量 Ｘ（单位：吨）与 相应的生产能耗 Ｙ（单位：吨）标准煤的几组对 照数据： 产量Ｘ／吨 ３ ４ ５ ６ 生产能耗Ｙ／吨 ２．５ ３ ４ ４．５ （１）用最小二乘法求出线性回归方程 Ｙ＝ ａ^＋ｂ^Ｘ； （２）试根据求出的线性回归方程，预测生产 １００吨甲产品的生产能耗为多少吨标准煤？ 解：（１）计算得 ∑ ４ ｉ＝１ ｘｉｙｉ＝３×２．５＋４×３＋５×４＋６×４．５ ＝６６．５， ｘ＝１４（３＋４＋５＋６）＝４．５， ｙ＝１４（２．５＋３＋４＋４．５）＝３．５， ∑ ４ ｉ＝１ ｘ２ｉ ＝３ ２＋４２＋５２＋６２ ＝８６， 由公式可得 ｂ^＝ ∑ ４ ｉ＝１ ｘｉｙｉ－４ｘｙ ∑ ４ ｉ＝１ ｘ２ｉ－４ｘ ２ ＝６６．５－４×４．５×３．５ ８６－４×４．５２ ＝０．７， ａ^＝ｙ－ｂ^ｘ＝３．５－０．７×４．５＝０．３５， 故所求线性回归方程为Ｙ＝０．３５＋０７Ｘ． （２）生产１００吨甲产品时，生产能耗为０３５ ＋０７×１００＝７０．３５（吨）标准煤． 点评：求出线性回归方程后，往往用来作为现 实生活中两变量之间相关关系的近似关系，从而可 以用来指导生产实践．总之，“最小二乘法”是求线 性回归方程的最常用的方法之一，在以后的学习中 同学们要逐步体会． !"#$%&'()* +,%&-./012' (#%!2%"'!"&1 +,34-./012' (#%!2%"'!!"# !"#$ %&' 56789:;< =: !!"#> "$"%? "@ "#ABC>; : > !" @ABC1$DE FAB1GHIJKLMNDO PQRSTUV2 SWXYZ[ \]^,_`V2abX!"#$%&'()(*c+d efgbX,-.-/0 ! hi jkl mRnopnq 9:;<=>? 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!"#$% !" !" !# 书书书 一 元 线 性 回 归 ， 成 对 数 据 的 线 性 相 关 性 同 步 核 心 素 养 测 评 ◆ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 第 Ⅰ 卷 选 择 题 （ 共 ５８ 分 ） 一 、 单 项 选 择 题 ： 本 题 共 ８ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 ４０ 分 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １． 观 察 下 列 散 点 图 ，其 中 两 个 变 量 的 相 关 关 系 判 断 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） ａ 为 正 相 关 ，ｂ 为 负 相 关 ，ｃ 为 不 相 关 （ Ｂ） ａ 为 负 相 关 ，ｂ 为 不 相 关 ，ｃ 为 正 相 关 （ Ｃ） ａ 为 负 相 关 ，ｂ 为 正 相 关 ，ｃ 为 不 相 关 （ Ｄ ） ａ 为 正 相 关 ，ｂ 为 不 相 关 ，ｃ 为 负 相 关 ２． 在 两 个 变 量 Ｘ 与 Ｙ 的 回 归 分 析 中 ，选 择 了 四 个 不 同 的 模 型 来 拟 合 它 们 之 间 的 关 系 ，四 个 模 型 的 样 本 相 关 系 数 ｒ如 下 表 所 示 ，其 中 拟 合 效 果 最 好 的 模 型 是 （ 　 　 ） 模 型 １ ２ ３ ４ ｒ － ０． ９８ ０． ８０ ０ ． ５０ ０． ２５ （ Ａ ） 模 型 １ （ Ｂ） 模 型 ２ （ Ｃ） 模 型 ３ （ Ｄ ） 模 型 ４ ３． 已 知 Ｙ 与 Ｘ 线 性 相 关 且 取 值 如 下 表 ，若 线 性 回 归 方 程 为 Ｙ ＝ ０． ９５ Ｘ ＋ ａ^， 则 ａ^ ＝ （ 　 　 ） Ｘ ０ １ ３ ４ Ｙ ２ ２ ４ ３ ４ ８ ６ ７ （ Ａ ） ３． ２５ （ Ｂ） ２ ６ （ Ｃ） ２ ２ （ Ｄ ） ０ ４． 根 据 一 组 样 本 数 据 （ ｘ １ ，ｙ １ ） ，（ ｘ ２ ，ｙ ２ ） ，… ，（ ｘ ｎ ，ｙ ｎ） 的 散 点 图 分 析 Ｘ 与 Ｙ 之 间 是 否 存 在 线 性 相 关 关 系 ， 若 求 得 其 线 性 回 归 方 程 为 Ｙ ＝ ０． ８５ Ｘ － ８５ ．７ ，则 在 样 本 点 （ １６ ５ ，５ ７） 处 的 随 机 误 差 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） ５４ ．５ ５ （ Ｂ） ２． ４５ （ Ｃ） ３． ４５ （ Ｄ ） １１ １． ５５ ５． 已 知 Ｘ， Ｙ 之 间 的 数 据 如 下 表 所 示 ，则 线 性 回 归 方 程 过 点 （ 　 　 ） Ｘ １ ２ ３ ４ ５ Ｙ １． ２ １． ８ ２． ５ ３． ２ ３． ８ （ Ａ ） （ ０， ０） 　 　 　 　 　 　 　 （ Ｂ） （ ２， １． ８） （ Ｃ） （ ３， ２． ５） （ Ｄ ） （ ４， ３． ２） ６． 某 化 工 厂 产 生 的 废 气 经 过 过 滤 后 排 放 ， 以 模 型 ｙ ＝ Ｐ ０ ｅ－ ｋｘ 去 拟 合 过 滤 过 程 中 废 气 的 污 染 物 浓 度 Ｙ（ 单 位 ： ｍ ｇ／ Ｌ） 与 时 间 Ｘ（ 单 位 ： ｈ） 之 间 的 一 组 数 据 ，为 了 求 出 线 性 回 归 方 程 ，设 Ｚ ＝ ｌｎ Ｙ， 其 变 换 后 得 到 线 性 回 归 方 程 为 Ｚ ＝ ２ ＋ ｌｎ ３０ ０ － ０ ５Ｘ ，则 当 经 过 ６ ｈ 后 ，预 报 废 气 的 污 染 物 浓 度 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） ３０ ０ ｅ２ ｍ ｇ／ Ｌ （ Ｂ） ３０ ０ ｅ ｍ ｇ／ Ｌ （ Ｃ） ３０ ０ ｅ２ ｍ ｇ／ Ｌ （ Ｄ ） ３０ ０ ｅ ｍ ｇ／ Ｌ ７． 已 知 关 于 某 设 备 的 使 用 年 限 Ｘ（ 单 位 ： 年 ） 和 所 支 出 的 维 修 费 用 Ｙ（ 单 位 ： 万 元 ） 有 如 下 的 统 计 资 料 ： 使 用 年 限 Ｘ ／年 ２ ３ ４ ５ ６ 维 修 费 用 Ｙ ／万 元 ２． ２ ３． ８ ５． ５ ６． ５ ７． ０ 由 上 表 可 得 线 性 回 归 方 程 Ｙ ＝ ０ ０８ ＋ ｂ^Ｘ ， 若 规 定 当 维 修 费 用 Ｙ ＞ １２ 时 该 设 备 必 须 报 废 ，据 此 模 型 预 报 该 设 备 使 用 年 限 的 最 大 值 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） ７ （ Ｂ） ８ （ Ｃ） ９ （ Ｄ ） １０ ８ ． 某 产 品 的 广 告 费 用 Ｘ（ 单 位 ： 万 元 ） 与 销 售 额 Ｙ（ 单 位 ： 万 元 ） 的 统 计 数 据 如 下 表 ： 广 告 费 用 Ｘ ／万 元 ４ ２ ３ ５ 销 售 额 Ｙ ／万 元 ４９ ２６ ３９ ５４ 根 据 上 表 可 得 回 归 方 程 Ｙ ＝ ａ^ ＋ ｂ^Ｘ 中 的 ｂ^为 ９． ４， 据 此 模 型 预 报 广 告 费 用 为 ６ 万 元 时 销 售 额 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） ６３ ．６ 万 元 （ Ｂ） ６５ ．５ 万 元 （ Ｃ） ６７ ．７ 万 元 （ Ｄ ） ７２ ．０ 万 元 二 、 多 项 选 择 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ６ 分 ， 共 １８ 分 ． ９． 设 某 大 学 的 女 生 体 重 Ｙ（ 单 位 ： ｋｇ ） 与 身 高 Ｘ（ 单 位 ： ｃｍ ） 具 有 线 性 相 关 关 系 ， 根 据 一 组 样 本 数 据 （ ｘ ｉ ，ｙ ｉ） （ ｉ ＝ １， ２， … ，ｎ ） ， 用 最 小 二 乘 法 建 立 的 线 性 回 归 方 程 为 Ｙ ＝ ０ ８５ Ｘ － ８５ ７ １， 则 下 列 结 论 中 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） Ｙ 与 Ｘ 具 有 正 的 线 性 相 关 关 系 （ Ｂ） 线 性 回 归 方 程 过 样 本 点 的 中 心 （ ｘ， ｙ） （ Ｃ） 若 该 大 学 某 女 生 身 高 增 加 １ ｃｍ ，则 其 体 重 约 增 加 ０． ８５ ｋｇ （ Ｄ ） 若 该 大 学 某 女 生 身 高 为 １７ ０ ｃｍ ， 则 可 断 定 其 体 重 必 为 ５８ ７ ９ ｋｇ １０ ．下 表 是 一 位 母 亲 给 儿 子 作 的 成 长 记 录 ： 年 龄 Ｘ ／周 岁 ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 身 高 Ｙ ／ｃ ｍ ９４ ．８ １０ ４ ． ２ １０ ８． ７ １１ ７． ８ １２ ４． ３ １３ ０． ８ １３ ９． １ 根 据 以 上 样 本 数 据 ， 她 建 立 了 身 高 Ｙ（ 单 位 ： ｃｍ ） 与 年 龄 Ｘ（ 单 位 ： 周 岁 ） 的 线 性 回 归 方 程 为 Ｙ ＝ ７３ ．９ ３ ＋ ７． １９ Ｘ， 则 以 下 结 论 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） Ｙ 与 Ｘ 具 有 正 的 线 性 相 关 关 系 （ Ｂ） 线 性 回 归 方 程 过 样 本 的 中 心 点 （ ４２ ，１ １７ ．１ ） （ Ｃ） 儿 子 １０ 岁 时 的 身 高 是 １４ ５． ８３ ｃｍ （ Ｄ ） 儿 子 年 龄 增 加 １ 周 岁 ，身 高 约 增 加 ７． １９ ｃｍ １１ ．某 企 业 节 能 降 耗 技 术 改 造 后 ， 在 生 产 某 产 品 过 程 中 记 录 的 产 量 Ｘ（ 单 位 ： 吨 ） 与 相 应 的 生 产 能 耗 Ｙ（ 单 位 ： 吨 ） 的 几 组 对 应 数 据 如 下 表 ，现 发 现 表 中 有 个 数 据 看 不 清 ，已 知 线 性 回 归 方 程 为 Ｙ ＝ ８ ＋ ６Ｘ ，下 列 说 法 正 确 的 是 （ 　 　 ） 产 量 Ｘ ／吨 ２ ３ ４ ５ ６ 生 产 能 耗 Ｙ ／吨 １ ９ ２５ ａ ３８ ４４ （ Ａ ） 看 不 清 的 数 据 ａ 的 值 为 ３４ （ Ｂ） Ｘ， Ｙ 具 有 正 相 关 关 系 ，相 关 系 数 ｒ ＝ ６ （ Ｃ） 第 三 个 样 本 点 对 应 的 实 际 值 与 预 测 值 的 差 为 ２ （ Ｄ ） 据 此 模 型 预 测 产 量 为 ７ 吨 时 ，相 应 的 生 产 能 耗 约 为 ５０ 吨 第 Ⅱ 卷 非 选 择 题 （ 共 ９２ 分 ） 三 、 填 空 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 １５ 分 ． １２ ．若 对 甲 、乙 、丙 ３ 组 不 同 的 成 对 数 据 作 线 性 相 关 性 检 验 ，得 到 这 ３ 组 成 对 数 据 的 样 本 相 关 系 数 依 次 为 ０ ８３ ，０  ７ ２ ， － ０． ９０ ，则 线 性 相 关 程 度 最 强 的 一 组 是 ．（ 填 “ 甲 ” “ 乙 ” 或 “ 丙 ” ） １３ ．为 了 规 定 工 时 定 额 ，需 要 确 定 加 工 某 种 零 件 所 需 的 时 间 ， 为 此 进 行 了 ５ 次 试 验 ， 得 到 ５ 组 数 据 ： （ ｘ １ ， ｙ １ ） ， （ ｘ ２ ，ｙ ２ ） ， （ ｘ ３ ，ｙ ３ ） ， （ ｘ ４ ， ｙ ４ ） ， （ ｘ ５ ，ｙ ５ ） ，由 最 小 二 乘 法 求 得 线 性 回 归 方 程 为 Ｙ ＝ ０． ６７ Ｘ ＋ ５４ ．９ ． 若 已 知 ｘ １ ＋ ｘ ２ ＋ ｘ ３ ＋ ｘ ４ ＋ ｘ ５ ＝ １５ ０， 则 ｙ １ ＋ ｙ ２ ＋ ｙ ３ ＋ ｙ ４ ＋ ｙ ５ ＝ ． １４ ．某 国 企 进 行 节 能 降 耗 技 术 改 造 ， 下 面 是 该 国 企 节 能 降 耗 技 术 改 造 后 连 续 五 年 的 生 产 利 润 ： 年 号 Ｘ １ ２ ３ ４ ５ 年 生 产 利 润 Ｙ （ 单 位 ： 千 万 元 ） ０． ７ ０． ８ １ １． １ １． ４ 预 测 第 ８ 年 该 国 企 的 生 产 利 润 为 千 万 元 ． 参 考 公 式 及 数 据 ： ｂ^ ＝ ∑ｎ ｉ＝１ ｘ ｉ ｙ ｉ － ｎｘ ｙ ∑ｎ ｉ＝１ ｘ２ ｉ － ｎｘ ２ ， ａ^ ＝ ｙ － ｂ^ｘ ， ∑５ ｉ＝１ ｘ ｉ ｙ ｉ － ５ｘ ｙ ＝ １ ７， ∑５ ｉ＝１ ｘ２ ｉ － ５ｘ ２ ＝ １０ ． 四 、 解 答 题 ： 本 题 共 ５ 小 题 ， 共 ７７ 分 ． １５ ．（ １３ 分 ） 高 二 （ ３） 班 学 生 每 周 用 于 数 学 学 习 的 时 间 Ｘ（ 单 位 ： 小 时 ） 与 数 学 成 绩 Ｙ（ 单 位 ： 分 ） 之 间 有 如 下 数 据 ： 时 间 Ｘ ／小 时 ２４ １５ ２ ３ １９ １６ １１ ２０ １６ １７ １３ 成 绩 Ｙ ／分 ９２ ７９ ９７ ８９ ６４ ４７ ８３ ６８ ７１ ５９ Ž  M  ‘ ’ “ ” • – — 2 ˜ ™ š › K * œ ! 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