第27期 一元函数的导数及其应用核心素养综合测评-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册同步学案（人教A版2019）

高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 数理极 答案详解 2024~2025学年高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期(2025年1月) 第25期2版 所以g(x)=-2sin(x+君），其中xe(0,m)。 专项小练 由题意可得f'(1)=g'(x),所以-1=-2sin+ 1.B;2.A;3.CD.4.-1;5.e 6.解：1)y=60co(3-受） 石）且6e(0,),所以+君=爱解得与=号 7.因为g'(x)=ge-3f'(x)=p,四≠0， 所以y(年）=60cs年=302(emvs). 所以gee=p,即eg3=卫 (2)令-号=2m,解得1=君+ k如，keZ 3 又+1=em,所以px+1=卫 所以最少经过云该小球的瞬时速度达到最大 卫-1 11 第25期3,4版 8.画出函数f(x)=e和y=2x的图 导数的运算同步核心素养测评 象如图所示.设直线m平行于直线1，则直 一、单项选择题 线m的斜率为2，当直线m与函数∫(x)的 1~4 DDAC 5~8 ADBA 图象相切，点P为切点时，点P到直线1：y 提示： =2x的距离最小 1.由题可得f'(x)= 2左所以()=兰 2 =2→a=4. 设切点坐标为(xn）,因为f'(x) 2e2,则f'(xn）=2e2w=2,解得x。=0.又(x0n)在函数f(x) 2.y'=(x'sinx)'=(2)'.sinx+x2.(sinx)'=2xsinx =e“的图象上，则0=e20=1,则切点坐标为(0,1)，到直线 +x'cos x. 3.由题可知p()=2(1+10%)）'=2×1.1', 1:2x-y:0的距离为d=2x0--停则点P到直线 所以p'()=2×1.11n1.1, 2+(-1)了 所以p'(10)=2×1.11n1.1≈2×2.59×0.1 1y=2:的距离的最小值为号 =0.5180.52, 即GDP增长的速度大约是0.52亿元/年. 二、多项选择题 4.由题设，盛液体部分的底面积为S=4π， 9.ACD:10.ABC;11.BCD. 则溶液上升商度&=占。： 提示： 4 9因为直线y=子+m的斜率k=多 3 所以h'=3+6,则'(2)=6(cm/s).故选(C). 4 5jf'(x)=(e+2c08x)1+)-(e+2in）·2x 因为y=-女则y: (1+x月 则f'(0)=e+2s01+0）-(c+2sin0)×0=3, 令}=子解得=±故()正确： (1+0)2 因为y=cosx,则y'=-sinx,又因为-sinx e[-1,1], 即该切线方程为y-1=3x,即y=3x+1, 令x=0,则y=1,令y=0,则x=-子 则方程-血=子>1无解故(B)错误： 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积为 因为y=nx,则y= x s=3x1x5=6 令}=子解得：=子故©)正确： 6.因为fx)=x3-4x,所以∫'(x)=3x2-4.x∈R, 因为y=e,则y'=e, 又g)=2e(x+君） 令心=子解得x=h子放D正确 高中数学人教A版选择性必修第二册 第25~28期 故选(A)(C)(D). 1-xin4x 10.若f(x）=inx+cosx,则f"(x）=-sinx-cosx,在 xe (0.受）上恒有”()<0，所以()在(0，受）上是凸函 (2)y'=(xV个+)'=x'√T+x+x(个+x)'= 数，故(A)正确； 个+7+=1+2)+2 V个+x 1+x2 若f()=hx-2x,则()=-，在(0，受）上恒有 3)因为y(2+受）(2+）=· f(x)<0,所以f(x)在(0，受)上是凸函数，故(B)正确： (-sin2)2x=-in4k,所以y=（-n4 若f(x)=-x+2-1,则/“(x)=-6,在(0,5)上恒 有/(x)<0,所以(x)在(0，号)上是凸函数，故(C)正确： 16解：)由题可得f"()=21)x-1+子 若f(x)=-xe,则f”(x)=2e-e*=(2-x)e,在 所以'(1)=2'(1)-1+2，解得∫'(1)=-1， (0,号）上恒有“(x)>0,所以()在(0，号）)上不是凸函 则f(x)=-x2-x+2nx 数，故(D)错误 (2)g)=U)+2+)+a=la+a, 故选(A)(B)(C): 1山.已知f(x)为奇函数，可知f(-x)=-f(x),又因为 求号可得g()=士 ∫(2-x)+∫(x)=4,则f(2-x)-f(-x)=4,所以f(x+ 由y=e+2x得y'=e+2, 2)=∫(x)+4,所以f(x+4)=f(x+2)+4=∫(x)+8,故 故y=e+2x在(0,1)处的切线斜率k=e°+2=3， (A)错误： 所以y=e+2x在(0,1)处的切线方程为y-1=3(x- 对f(-x)=-f(x)两边求导得-∫"'(-x)=-'(x),即 0),化简可得y=3x+1, f'(-x)=∫'(x),所以g(-x)=g(x),又函数g(x)的定义域 为R,所以g(x)为偶函数，故(B)正确： 令8()=士=3，解得=子 对f(2-x)+f(x)=4两边求导得-f'(2-x)+f"(x) 将其代入切线方程y=3x+1可得y=2, =0,即f'(2-x)=f(x),所以g(2-x)=g(x),故(C)正 确： 代入g)得e(兮）=号+a 因为函数∫(x)是定义域为R的奇函数，所以∫(0)=0，又 所以得1n子+a=2,解得a=2+h3 因为f(x+4)=f(x)+8,所以f(2024)=∫(2020)+8= f(2016)+2×8=…=∫(0)+506×8=4048，故(D)正确. 17.解：(1)f八x)=ax2+1nx的定义域为(0，+)， 故选(B)(C)(D). 由x)=r2+nx求导得了"(x)=2ar+ 三、填空题 12.1:13.4:14.202(sin2x+cos2x). 于是得f'(1)=2a+1,而f1)=a, 提示： 所以1)+f'(1)=3a+1. 12.因为f(x)=2,所以f'(x)=21n2, (2)因曲线y=(x)存在垂直于y轴的切线，则此时切线 又f'(x)=ln4,所以21n2=ln4=2n2,解得，=1. 斜率为0，由导数的几何意义知，方程f'(x)=0在(0，+)内 13.函数f(x)=xlnx,求导得f'(x)=1+lnx, 有解，于是得方程2a+=0,即a=京在(0，+0)内有 依题意得tan0=f'(e)=2, 解，则a<0,所以实数a的取值范围是(-o,0). 所以出2"8号-4 18.解：(1)f'(x)=(x2+2x)e, 14.因为6(x)=sin2x+c0s2x, 由f'(x)<4e,得x2+2x-4<0, 所以f(x)=f6(x)=2(cos2x-sin2x), 解得x∈(-1-5，-1+5)， (x)=f(x)=2 (-sin 2x-cos 2x), 侧所求不等式的解集为(-1-5，-1+5). (x)=f(x)=2'(-cos2x+sin 2x), (2)因为f'(x)=(x2+2x)e, f(x）=f5(x）=2'(sin2x+cos2x), 所以曲线y=∫(x)在点(x∫(x))处的切线方程为 通过以上可以看出∫(x)满足以下规律： y-xeo=(后+2x)e0·(x-). 对任意neN(x)=2f(x (x)=f ()=22004(sin2x+cos 2x). 将点（号.0）的坐标代入，并整理得名·（名+子 四、解答题 号）=子，(6-10(3x+4)e0=0, 15.解：)因为(n4)=衣·(4)'= 解得6=0或=1或。一手 所y:.士a 当=0时，切线方程为y=0; (e)2 e 当0=1时，切线方程为y-e=3e(x-1), 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 即y=3er-2e: 又a为正整数，所以a的最小值为5. 当=-时，切线方程为y-。寺=- 3.由题得f'(x)=(2-2 )即y-+ 令f'(x)>0,解得0<x<2, 令f'(x)<0,解得x>2或x<0, 19.(1)解：由题得y=1,3=cosx 故∫(x)在[-1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增， 因为1≥c08x, 在(2,3]上单调递减， 所以函数=x是函数乃2=six的“导控函数”， 而f(0)=0<f(3)=。 9 (2)解：由题得y=2x2+8,y1=x2+2bx+c,y=8x, 由题意可得8x≤x2+2bx+c≤2x2+8恒成立， 故f(x)在[-1,3]上的最小值是0. 令8x=2x2+8,解得x=2, 4.若函数f(x)=x3-ax在区间(1,2)上单调递减， 故16≤4+4b+c≤16，从而有4+46+c=16. 则f'(x)=3x2-a≤0在区间(1,2)上恒成立， 所以c=12-46, 即a≥3x2在区间(1,2)上恒成立. 又2x2+8≥x2+2bx+c恒成立， x∈(1,2)时，3x2∈(3,12)，所以a≥12. 即x2-2bx+8-e=x2-2bx+4b-4≥0恒成立， 所以"“a>12”是“a≥12”的充分不必要条件， 所以△=462-4(46-4)=4(6-2)2≤0，所以b=2. 即“a>12”是“函数f(x)=x3-ax在区间(1,2)上单调 故b=2,c=4且“导控点”为2： 递减”的充分不必要条件。 (3)证明：充分性：若存在常数c使得p(x)-g(x)=c恒 5.令f(x)=e-x-a,则f(x)>0恒成立， 成立，且函数y=q(x)为偶函数， 所以f(x)m>0. 则p(x)=g(x)+c为偶函数，9(x)=g(-x), 因为f'(x)=e-1,所以当xe(-,0)时f'(x)<0: p(-x)=q(-x)+c=q(x)+c=p(x), 当xe(0,+)时f'(x)>0. 即c+c=e+c, 所以f(x)在(-，0)上单调递减，在(0，+)上单调递 所以(k-1)(e-e)=0恒成立，所以k=1: 必要性：若k=I,则p(x)=e+e=p(-x) 增，所以f(x)m=f(0)=1-a>0,解得a<1, 即实数a的取值范围为(-∞，1) 所以函数(x)为偶函数， 函数y=p(x)是函数y=q(x)的“导控函数”， 6因为f()=宁-9咖，该函数的淀义域为0，+). 因此p'(x)≥g(x), 所以f"()=x-9=子-9 = q(-x)=q(x).p(-x)=p(x). 因此函数y=p(-x)是函数y=g(-x)的导控函数”， 因为x>0,由f'(x)≤0可得0<x≤3， 所以-p'(-x)≥-g(-x), 所以函数f(x)的单调递减区间为(0,3]， 即p'(-x)≤q(-x)恒成立， 因为函数f(x)在区间[a-1,a+1]上单调递减， 用-x代换x有p'(x)≤g'(x), 则[a-1,a+1]C(0,3], 综上可知p'(x)=g(x),记h(x)=p(x)-g(x), 所以0-1>0解得1<4≤2.故选(D)。 则h'(x)=p'(x)-g'(x)=0, la+1≤3， 因此存在常数e使得p(x)-q(x)=c恒成立， 7.因为f(x)=-2cosx-x,x∈(0，r), 综上，“k=1”的充要条件是“存在常数c使得p(x) 所以f'(x)=2sinx-1,xe(0,m). q(x)=c恒成立”， 令f()=0,得如=方解得x=君或=爱 61 第26期2版 专项小练一 当xe(0,)时f()<0,函数f)单调递减： 1.A:2.BD:3.A.4.(0,+0);5.(3,+∞). 当xe(石，)时")>0，函数f(x)单调递增： 专项小练二 1.B:2.C;3.CD.4.2:5.(-,-1) 当xe(m）时"()<0，函数∫()单调递诚， 第26期3.4版 所以当x=石时，函数()取得极小值f(云) 导数在研究函数中的应用同步核心素养测评 一、单项选择题 当=g时，函数f()取得极大值/(） 6 1~4 BBCA 5~8 BDDC 提示： 8.令g(x)= 2x≠0)4()=(x>0 1.由题得∫'(x)=-x2+2x+3, 要满足条件，则g(x)在(0，a)上单调递减， 令f'(x)>0,得-1<x<3,所以增区间为(-1,3). h(x)在[a,+∞)上单调递减，且g(a)≥h(a) 2.f'(x)=3r2+2ax+6,由函数f(x)在R上存在极值， 易知g(x)在(0，+)上单调递减 则f'(x)有两个不等实数根， '(x)=-1n令(x)>0,解得0<x<, 得4=4a2-72>0,解得a>32或a<-32, 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 令h'(x)<0,解得x>e, 所以h(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+)上单调递减， 所以a=b=1,则f(x)=x+ 所以a≥e 由子≥巴解得0<a≤民 fn2)=h2+点=h2+2 13.因为实数a,b,c,d成等比数列，所以ad=bc, 所以实数a的取值范围是[e,e2]. 由f(x)=3x-x, 二、多项选择题 得f'(x)=3-3x2=3(1-x)(1+x), 9.BC:10.BC:11.AC. 令f'(x)=0,解得x=±1， 提示： 当x<-1或x>1时f'(x)<0,f(x)单调递减： 9.观察图象，由f'(x)>0,得x<-2或0<x<2,显然 当-1<x<1时f'(x)>0f(x)单调递增， 当x<-2时f'(x)<0,当0<x<2f'(x)>0,由f'(x)< 所以x=一1时，函数f(x)取得极小值， 0,得-2<x<0或x>2,显然当-2<x<0时f'(x)>0, x=1时，函数f(x)取得极大值， 当x>2时f'(x)<0, 所以b=1,c=∫(1)=3-1=2. 因此函数f(x)在(-，-2)，(2，+)上单调递减，在 所以bc=2,所以ad=2. (-2,2)上单调递增，(A)错误，(B)正确： 14∫'(x)=x+3x,令f'(x)=0,解得x=0或x=-3, 函数f(x)在x=-2处取得极小值，在x=2处取得极大 令f'(x)>0,解得x>0或x<-3. 值，(C)正确，(D)错误.故选(B)(C). 令f“(x)<0,解得-3<x<0, 10.f(x)的定义域为(0，+e),由f(x)=xnx+x2,得 所以f(x)在(-，-3)和(0，+)上单调递增， f'(x)=lnx+2x+1,所以有f'(x)=ln+2xo+1=0,所 在(-3,0)上单调递减 以有2x。=-(ln。+1)>0,即ln<-1,即lnx0<lne, 当x→-时f(x)→-， 所以有0<名<。，故()错误，(B)正确： 当x一+0时f(x)一→+0， 又由/-3)=号+0)=6 f (xo)+xo xolnxo+=(In xo xo+1)= x(-2x。+)=-后<0，故(C)正确，(D)错误. 要使∫(x)有3个不同的零点， 故选(B)(C). 则c<0< +6，解得-号<e<0, 9 业因为)=产所以：气晋：l学所以 所以实数e的取值范图是(-号，0 f'(0)=1,故(A)正确： 四、解答题 因为)=，当<1时)>0，所以)在 15.解：函数f(x)的定义域为(0，+x), (-,1)上单调递增，当x>1时，厂'(x)<0,所以f(x)在(1， f'(x)=x-4=-a +)上单测适减，所以()在：=1处有最大值)：。 当a≤0时f'(x)>0, 则f(x)的单调递增区间为(0，+)，无单调递减区间： 故(B)错误： 当a>0时，由f'(x)>0得x>a, 结合(B)选项可知()的最大值是二 由f'(x)<0得0<x<a, 且/(x)在(-，1)上单调递增， 所以当4>0时，函数∫(x)的单调递增区间为（√a,+), 在(1，+x)上单调递减， 单调递减区间为(0，√a). 又易知当x→-时f(x)→-0， 16.证明：设函数∫(x)=x--1+a, 当x→+时f(x)→0 则f'(x)=ax--a=a(x-1-1). 结合()的大致图象（图略）可知直线y=专与曲线y 令f'(x)=0,得x=1, 所以，当x∈(0,1)时f'(x)>0, f(x)有两个交点， 函数f(x)单调递增： 所以)=之有两个不等实根，故(C)正确： 当xe(1,+)时f‘(x)<0,函数f(x)单调递减. 所以f(x)=x“-ax-1+a在区间(0，+o)上的最大值 因为f(x)在(1，+)上单调递减，所以f(3)>f(4),即 为f(1)=0. 号>会所以3心>4，放(D)错混赦连(A)(C. 3 所以f(x)=x”-x-1+a≤0，即x°-ax≤1-a 三、填空题 17解：(Dg)=++7-2-之 2.2+:13.214.(-号0 x∈(0,8]， 提示： 即g)=-+2-2xe0.81. 2f)=+名，可得f'国=a 6 e 当x=2时，g(2)=-4+9a-2=12,解得a=2, 由题得f(0)=b=1f'(0)=a-b=0, 故)=-+号-2e081 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 2g)=-24r=-x-6, 则当x<1时，F(x)<F(t)=0, 这与H∈R,F(x)≥0矛盾， 当x∈(0,6)时，g'(x）>0 故不存在x使F'(x)=0,故F(x)>0恒成立， 当x∈(6,8]时，g'(x)<0, 故F(x)在R上严格增. 所以函数g(x)在(0,6)上单调递增， 在(6,8]上单调递减， 第27期3,4版 所以x=6时，利润最大为g(6)=52(万元) 一元函数的导数及其应用核心素养综合测评 18.解：(1)因为f(x)=ln(x+a)-x2+x,x>-a, 一、单项选择题 所以”(x)=1-2x+1. 1-4 BACA 5~8 CDAA x 0 提示： 因为函数f(x)=ln(x+a)-x2+x在x=1处取得极值 1.f'(x)=(2x-x2)e+a, 所以f'(1)=0, 由题可得f"(1)=1+a=2,解得a=1. 所以十。1=0.解得a=0,经检验，符合题意 2.函数f(x)=cosx-ar定义域为R, 5 且f'(x)=-sinx-a, (2)证明：因为f(x)=-2x+b, 依题意f'(x)≤0恒成立，即-sinx-a≤0恒成立， 5 即a≥-sinx恒成立， 所以血x-2+x=-+b, 又-1≤-sinx≤1，所以a≥1， 7 所以血x-+2*=6 即实数a的取值范围是[1，+∞). 3.由题意得对任意xeR,e2-x>loga恒成立， 7 令h(x)）=l血-2+2(x>0) 设f(x)=。2-xf'(x)=e2-1, 令f'(x)=c2-1>0,解得x>-2. 则w(0=士-2x+子=-4+少-2义 2 令f‘(x)=e2-1<0,解得x<-2. 所以当x∈[1,3]时，h'(x),h(x)随x的变化情况如表： 则f(x)在(-，-2)上单调递减， [1,2) 2 (2,3] 在(-2，+)上单调递增， 故f(x）≥f(-2)=3,所以1oga<3,解得0<a<8. h'(x) 0 4.当x=0时f(0)=-f'(0)-f(0), h(x) 单调递增 板大值 单调逆减 所以/(0)=-f'(0). h(1)= 号h(3)=n3+2 5 > h(2)=ln2+3, 又")=3x-2f'(0)x+/'0)e-1. 所以h(x)e [n2+3] 则f'(0)=/'(0)-1,解得f"(0)=-2. 所以6的取值范围为[3,2+3] 19.(1)解(x)=3,定义域为R,则f{(x)=3·ln3是在 定文可知-2-101：-210)：4 △x R上的严格单调递增函数，则f(x)=3”是“T函数”； 5.f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).当-3≤x<-2 5(x)=x,定义域为R,则f(x)=3x2不是在R上的严 或2<x≤3时，f'(x)>0,八x)单调递增；当-2<x<2时， 格单调递增函数，则(x)=x不是“T函数”， f'(x)<0,x)单调递减，所以f(x)的最值分别是f(-3), (2)证明：由题可得g(x)在(0，+x)上严格单调递增， f(-2)f(2)f(3)中的最小者和最大者，所以M=24,m= -8,M-m=32. 设G(x)=g(x+1)-g(x), 则G(x)=g'(x+1)-g'(x)>0, 6.由题图f'(x)为奇函数，可知f(x)为偶函数，故可排除 (B),(C): 故G(x)在(0，+∞)上单调递增，故G(a)<G(a+2), 即g(a+1)-g(a)<g(a+3)-g(a+2). 对于(A),当x→0时f'(x)=(e-e)x2+2(e+e)x (3)证明：由题可得F(x)在R上严格单调递增， >0,与∫(x)的图象不符，排除(A)； x R,G(x)F(x)-F()x, 对于(D),由f()=+2csx有f'()= 则G'(x)=F"(x)-F'(x), 当x∈(-，x)时，G'(x。)<0,函数单调递减： 2in,令f)=0,得宁=in,作出函数y=之了=sn 当xe(x,+)时，G(x)>0,函数单调递增， 故G(x)≥G(x）, 的图象（因略）可知，3%∈（受，使得宁=m,当 即F(x)≥F'(xo)x+F(x）-F(x)xo, e(0,x)时f'(x)<0,当e(xo,+)时f'(x)>0,与 当x<0时，F(x)<0恒成立， ∫'(x)的图象相符，(D)正确.故选(D) 则F(x)x+F(x)-F(x)xm<0恒成立， 故F'(n)≥0， 2.因为f(=hx+3-2京a≠0 若存在1eR,使F(t)=0, 所以函数f(x)定义域为(0，+)， 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 f'(x)=g-3+↓=am2-3x+1 + 故选(A)(C. 1.f(x)=-2--2。-x+0x-2 由题意得方程f'(x)=0,即a2-3x+1=0有两个不相 e 等的正根，设为名，， 当x<-1或x>2时f'(x)<0. 4=9-4a>0 当-1<x<2时∫'(x)>0, 3 则+= 即函数∫(x)在(-，-1)，(2，+∞)上单调递减，在 a >0,解得0<4<9 4 (-1,2)上单调递增， ->0 因此函数f(x)在x=-1处取得极小值∫(-1)=-e,在 即a的取值范围为(0，号) ￥=2处取得极大值/(2)=子，放(A)正确： 由(A)作出曲线y=∫(x)及直线y=k,如图1， 8.原不等式等价于ef(x)-e>5=ef(0)-e°， f (x)y 可构造函数g(x)=ef(x)-e,其导数 g'(x)e'f'(x)+e'f (x)-e' =e[f'(x)+f(x)-1], 0 因为f'(x)>1-f(x),即f'(x)+f(x)-1>0, 所以g(x)=e[f'(x)+f(x)-1]>0, 即g(x)=ef(x)-e在R上是增函数， 图1 所以ef(x)-e>5=ef(0)-e°g(x)>g(0), 要使方程∫(x)=k有且只有两个实根， 可得x>0,即原不等式的解集为(0，+)， 观察图象得当-e<k≤0时， 二、多项选择题 直线y=k与曲线y=f(x)有2个交点， 9.ACD;10.AC;11.ACD. 所以方程∫(x)=k有且只有两个实根， 提示： 则k的取值范围为(-e.0],故(B)错误： 9.∫(1)=g(1)=0,故(A)正确： f'(1)=2,g(1)=1,故(B)错误： 由/(x)=0得x+x-1=0,解得x=1±5 2 f)=2xeRg()=士e0,+).存)）= 令f(x)=t,则f()=-1, 结合图象方程∫(：)=-1有两解， g(3）,故曲线f()=2-1与曲线e(x)=nx存在互相 -1-5<h<-1h=0, 2 平行的切线，故(C)正确： 所以f(x)=4,或f(x)=2, 令F()=f()-g),则F()=2x-文，故F()在 因为1+5<2，所以-1与5，-e, 2 (0,号)上单调递减，在（受，+云）上单调递增，而F(侣） 所以方程∫(x)=1有两解： 又因为2=0，结合图象可知f(x)=42也有两解， -+h2<0.F(）>0.e)=2-2>0.放（到 综上，方程∫(f(x)）=-1共有4个根，故(C)正确： 有两个零点，即曲线∫(x)=x-1与曲线g(x)=lnx有两个 因为2)：号，而函数f)在(2，+)上单调通减， 交点，故(D)正确。 结合图象知1≤2， 故选(A)(C)(D) 所以t的最大值为2，故(D)正确， 10.f(x)=xn(1+x),定义域为(-1，+∞， 故选(A)(C)(D) 则f')=hx+)+本 三、填空题 由=ne+0y=本=1都在(-1，+之) 12.(0,3): 13[号）4[3号) 上单调递增，故y=∫'(x)也在(-1，+)上单调递增，又 提示： ∫'(0)=0，故当x∈(-1,0)时∫'(x)<0f(x)单调递减： 12.函数∫(x)的定义域为(0，+)， 当xe(0,+)时f'(x)>0, f'(x)=x-2-3=-2x-3=x-3)x+D x f(x)单调递增，故(A)正确： 由f'(x)=0得x=3,由f"(x)<0得0<x<3, 由(A)知f(x)在(-1,0)上单调递减，在(0，+∞)上单 所以∫(x)在区间(0,3)上单调递减。 调递增，又八0)=0，故∫(x)只有一个零点，故(B)错误； 13.因为y'=x2-2x+1+5=(x-1)2+3≥5， f()=h3-1=-1-n2. 所以曲线上点P处的切线的斜率的取值范围为[5， 根据导数几何意义可知(C)正确： +e),即tan≥3， f(x)的定义域为(-1，+)，不关于原点对称，故f(x) 是非奇非偶函数，故(D)错误， 又ae[0,m),所以a的取值范围是[号受） 6 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 14.由题得h(x)=- -m++2x在[0,3)上有 当x<-1时，g(x)=(x2-4x+1)e>0, 当x→+0时，g(x）→+， 两个不同的零点 J=6e- 令F()=-++2x, 则直线y=m与函数y=F(x)在区间[0,3]上的图象有 =g(x) 两个交点， F"(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+1), 令F(x)=0,可得x=2∈[0,3]，列表如下： =-22- 图3 x [0.2) 2 (2,3] F"(x) 0 结合图象，g(x)与y=a有三个交点 F(x) 极大值0 即0<a<6e,故实数a的取值范围是(0.） 3 4 17.解：由题可得f'(x)=6x2-2ax, F(0)=0,F(3)= 3 ，作出F(x)的图象（图2）， 令f"(x)=0,解得x=0或x=号， 0↑y 3 当x<号或x>0时'(x)>0: )=m V=F(x) 当号<x<0时"()<0. 所以当x:号时()取得极大值， 2 3￥ 图2 (号） 由图可知，当号 天9时， 又f(x）=2x-ax2=- 3 7 直线y=m与函数y=F(x)在区间[0,3]上的图象有两 个交点， 即(x-号）(2+号）=0， 因此实数m的取值范围是 310 123 解得云=号或三一行 四、解答题 因为F()在（受”） 上有最大值， 15.解：(1)f'(x)=3x2+2ax+b. 由题可得'0)）=3+2a+6=8, f(1)=a+b+3=8-2. 所以号<“≤-名 解得a=2,b=1. 解得a≤-4，所以a的取值范围是(-0，-4]. (2)由(1)知f(x)=x2+2x2+x+2, 18.解：(1)当“如意金箍棒”变化到x秒时， f'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1). 其底面半径为(10-x)cm,长度为(l+40x)cm, 则fx)=m(10-x)2(1+40x),且4≤10-x≤10. 令f)=0得=-行或=-1， 即0≤x≤6， 所以在(-x,-1)上∫'(x)>0(x)单调递增， 所以f'(x)=π[-2(10-x)(1+40x)+40(10-x)2] 在(-山，-子）上/"(x)<0()单调递减， =2m(x-10)(60x+1-200), 当10-x=8,即x=2(秒)时∫(x)取得极大值， 在(-子+）上()>0()单调递增， 所以f'(2)=0,即2π(2-10)(60×2+1-200)=0. 解得l=80(cm), 所以f(x)大瓶=∫(-1)=2， 所以f(x)=40π(x-10)2(x+2),且其定义域为[0,6]. a=(）=器 (2)由(1)得f'(x)=120m(x-10)(x-2),0≤x≤6， 所以当0≤x<2时f'(x)>0: 16.解：令g(x)=(x2-4x+1)e, 当2<x≤6时f'(x)<0, f(x)有三个零点即g(x)与y=a的图象有三个交点， 所以f(x)在(0,2)上为增函数，在(2,6)上为减函数， g'(x)=e'(x2-2x-3)=e(x-3)(x+1). 则f(x)的最小值为f(0)或f(6), 当x>3,或x<-1时，g'(x)>0, 又f(0)=8000π(cm3)f(6)=5120π(cm3), 当-1<x<3时，g(x)<0, 所以当x=6(秒)时，“如意金箍棒”体积最小， 所以g(x)在(-，-1)和(3，+0)上单调递增， 此时“如意金箍棒”的底面半径为10-6=4(cm). 在(-1,3)上单调递诚， 19.解：(1)函数f(x)=lnx在(0,1)上是增函数 g(x)的极大值为g(-1)=6e', 极小值为g(3)=-2e3, 因为)：但=华所以F(e): 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 所以当xe(0,1)时，F(x)>0, 5.将等差数列记为a.}, 所以F(x)在(0,1)上为增函数， 其中第n节的容积为a.(1≤n≤9，n∈N,), 所以函数f(x)在(0，I)上不是“单反减函数” 因为8=4， 所以4a,+6d=4, (2)因为g(x)）=2x+2+alx. La as ao =6, la,+7d=2, 8 所以g()=2x+ax-2 a,=1i 2 所以 因为函数g(x)是[1，+)上的“单反减函数”， d=n' 所以g(x)在[1，+）上是增函数， 所以g'(x)≥0在[1，+)上恒成立， 所以4=4+41=片所以第5节的容积为片升 令h(x)=2x2+ax-2. 6.由f(x)=(x-1)(x-2)2得f'(x)=(x-2)2+2(x 则h(x)≥0在[1，+)上恒成立， -1)(x-2)=(x-2)(3x-4). rh(1)≥0， 令∫'(x)>0得x>2或x< 所以 ,解得a≥0. 手，令f"()<0得号< <2,所以(x)在[0，号)和(2,3]上单调递增，在（号2） 令G(x)=(x 上单调递减 则G(x)=2+ 子+n在[，+)上是减函数 又f(0)=-4∫(2)=0，所以x)=(x-1)(x-2)2在 [0,3]上的最小值为-4. 又G'(x)=-4+a1-ln x x 7令g)=1但则g国：但 e 所以G(x)≤0在[1，+)上恒成立， 因为f'(x)-f(x)<0, 即-手+a-血)≤0在L,+)上恒成立， 所以g'(x)<0,g(x)在R上递减， x 因为f(1)=e,所以g(1)=D=1, 即ax-axinx-4≤0在[1，+）上恒成立. 令P(x)=ax-axin x-4,则P'(x）=-alnx, 因为不等式∫(lnx)>x,x>0, 所以有80气o解得0eae4 所以gn)）=n0=n2>1=g1), 综上，实数a的取值范围为[0,4]. 所以lnx<1,解得0<x<e, 故不等式f(lnx)>x的解集是(0，e). 第28期 8.设该数列为a,则由a1-1=2-1=1,4-4= 核心素养阶段测评（五） 5-2=3,a4-a3=10-5=5,45-a4=17-10=7,… 一、单项选择题 可知该数列逐项之差构成的数列(b.}成等差数列，首项 1 ~4 BABD 5-8 CBBC 为1，公差为2，故b。=1+2(n-1)=2n-1,故a1-a。= 提示： bn=2n-1,则a2-a1=1,43-41=3,a4-m3=5,…,a。 1.f'(x)=3x2+2mx,由f'(-1)=f(1)得3-2m=1 a-1=2n-3,上述n-1个式子相加，得a。-a,=1+3+5+ +m+5,即m=-1f'(1)=3+2m=3-2=1. …+(2n-3)=n-)0,+2n-3》=(m-1)2(n≥2)，即 2 2因为a+a,=g(a+a),所以g= an=(n-1)2+a1=(n-1)2+1(n≥2). 由+a0=号得a=2 故4m=192+1=362. 二、多项选择题 由a,=a1g-1=1得n=6. 9.ABC;10.ABD;11.ABD. 3.由等比数列1a.}的前n项和的性质可得 提示： S1o,Sn-So,S0-So也成等比数列， 9.根据等差数列的性质，若S,-S=4(a,+a）=0,则 所以(Sn-Sw)2=So×(So-Sn）, 4,+a,=0,S-14(a*=7a,+a)=0,故（A)正确： 2 得(10-20)2=20×(S-10),解得S0=15. 4.f"(x)=x2+4x+3,令x2+4x+3=0,可得x=-3或 由(A)及结合首项a,>0,可得a,>0,a<0,d<0,所以S 是最大值，故(B)正确：若S,>S,则as<0,那么d<0,所以 x=-1.经分析可知，它们是函数∫(x)的极值点。 ay<0,所以S%>S,S-S6=a1+a+g=3a<0,即S6 由直线y=a与函数f(x)=了+2x+3x+1的图象 >S,故(C)正确，(D)错误 相切，可知它们只有在极值点所对应的点处相切.由x=-3或 故选(A)(B)(C). 10.令g(x)=f(x),则g'(x)=f(x)+f'(x)>0, x=-1可得函数的极值为1或-分 即函数g(x)在定义域内是单调递增函数， 故实数a的值为1或-号 称函数y=∫(x)为“F函数” f(x)=c,g(x)=xf(x）=xe(x∈R), 8 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 g'(x)=e+xe=(x+1)e, 则当n≥2时，上-1=n-1,则 当x>-1时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 当x<-1时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 不符合在定义域内是单调递增函数， 则函数f(x)=。不是“F函数”，故(A)正确： =(n-1)+(n-2)+…+1+1 f (x)Inx.g(x)=xf (x)=xInx(x >0), =(n-D+1=心-n+2(n≥2)， 2 2 g'(x)=Inx+1. 2 当0<x<。时，g()<0,g)单调递减， 即0.=-n+2n≥2)， 当x>时，g(x)>0,g()单调递增。 当n=1时，a,=1适合此式， e 所以4，=-n+2 2 不符合在定义域内是单调递增函数， 则函数f(x)=lnx不是“F函数”，故(B)正确： 14令4=f(m)=ga)则e=1,分+h号= f(x)=x,g(x)=f(x)=x(x ER), g'(x)=3x2≥0， 所以m=3+ln1,n=2e7, 所以g(x)单调递增， 即n-m=2e令-3-ln, 则函数∫(x)=x2是“F函数”，故(C)错误； f(x)=sinx,g(x)=f(x)xsinx(xR), 设60）=20片-3-h.则h0=2寸->0， g'(x)sinx xcosx, 令'()=0，得1=2： 1 当m<<要时，g()<0,g()单调递减， 不符合在定义域内是单调递增函数， 当0<1<分时，'()<0，h()单调递减： 则函数f(x)=sinx不是“F函数”，故(D)正确 故选(A)(B)(D): 当1>子时A()>0,A()单调递增： 山.若a=受，则a.an=(in受）广=l,所以Tm= 所以a)=h(分）=1n2-1, (aa)·(aa)…(amam)=10=1,故(A)正确： 即n-m的最小值为ln2-1. 若a=后，则aa=(m君)广=（分）广，所以 四，解答题 15.解：因为at=(入-3)an+2(n∈N,)及a1=2,a a=(）”，两式相除得=，所以4=4× =-1, 所以4，=(A-3)4+2,解得A=多 (分）-6故(B)正确： 因为a,a1=（sina)”,所以aan2=(sina)',所以 所以4，=-名4+2=号 2=ina≤1，又因为数列1a,各项均为正数，所以an≤ (2)不存在.因为a1=2,a1=(入-3)a,+2",所以a= (A-3)41+2=2A-4,a3=(A-3)m2+4=2A2-10A+16. an,即a2≤a-4,故不存在a及正整数k,使得al>-1, 若数列1a。|为等差数列，则41+a,=2a1,即2+22-10λ+ 故(C)错误： 16=2(2A-4),所以X2-7A+13=0.因为4=49-4×13 若引a.为等比数列，设其公比为g(g>0), <0,所以方程无实数解，所以入不存在.即不存在A,使数列 a.o..=an.ag=()"=(sina)", a,I为等差数列. 16.解：(1)设需要新建n个桥墩， r ai 所以{9 =1,则a,=ina,故(D)正确 (a+1=m,即n=是-1， g2 sin a. 所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x 故选(A)(B)(D). 三填空题 =256(g-1）+婴2+)x 12.n=5;1B元-n+2 2 14.ln2-1. 即y=256m+mR+2m-256. x 提示： (2)由(1)知， 12.由题得，(2”-1)=93 la,·2-4=48, 整理得=3， 2"=32, f=警+2-10 解得n=5. 令f'(x)=0,得x立=512，所以x=64, 13.由题意得1-上=n, 当0<x<64时f'(x)<0(x)在(0,64)内为减函数； dd 当64<x<640时∫'(x)>0,f(x)在(64,640)内为增函数， 9 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 所以f(x)在x=64处取得最小值， 1<0,所以f'(x)>0,所以2不是f(x)的极小值点 此时0=是-1=架-1=9 棕上的取值范围是（分+） 故需新建9个桥墩才能使y最小 19.解f'(x)=3x2+2bx-9∫"(x)=6x+2b. 17.解：(1)当n=k,keN,时， 由题意得∫"(-1)=0，即-6+2b=0.解得b=3. S三-之+仙取最大值。 且f(-1)=10,即(-1)3+3×(-1)2+9+=10 解得a=-1, 即8=5=-分+=， 故f(x)=x3+3x2-9x-1, 故2=16，因此片=4， 所以f'(x)=3x2+6x-9=3(x-1)(x+3), 令∫"(x)>0得x>1或x<-3, 9 从而a,=S.-S=之-(n≥2). 令f'(x)<0得-3<x<1, 7 9. 故f(x)在(-，-3)，(1，+)上单调递增， 又山=S=2,适合0，=立-m, 在(-3,1)上单调递减， 9 所以a.=2-n 故∫(x)在x=-3处取得极大值， 在x=1处取得极小值， ②设”京 n 故极大值为f(-3)=-27+27+27-1=26. 极小值为(1)=1+3-9-1=-6. T=b,+b1+…+b =1+号+是+…+2 （2ge)=2mx2+6(m-15jF+8-3 22+ 21, *, 因为m>0,mx>0,故x>0, 2=2+层+是++ 2+2 即g(x)的定义域为(0，+x), 所以T.=2T.-T g()=6m2+6x+2[6ln(mr)-15]x+18 1 =2+1+2+…+22同 g"(x)=12mx+6+12+2[6ln(mx)-15] =12mx+12ln(mx）-12, 4点点42是 2-1 令g"(x)=0得mx-1+ln(mx)=0, 令h(x)=x+lnx-1,x>0, 18.解：(1)因为f(x)=[x2-(4a+1)x+4m+3]e, 所以f'(x)=[2ax-(4a+1)]e+[ar2-(4a+1)x+ 则h'(x)=1+上>0在(0，+x)上恒成立， 4a+3]e=[ax2-(2a+1)x+2]e, 故h(x)=x+lnx-1在(0，+x)上单调递增， f'(1)=(1-a)e 又(1)=0，由零点存在性定理知 由题设知f'(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1, h(x)=x+lnx-1有唯一的零点x=1, 此时f(1)=3e≠0，所以a=1. (2)由(1)得f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]e 故mx=1,即x=时，满足m-1+lh(mx)=0, m =(x-1）(x-2)e. 若a>方则当xe(位2)f)<0: 当xe(2,+)时f'(x)>0. 故g)的拐点为（偏）片 所以f(x)在x=2处取得极小值 ! 若a≤2则当xe(0,2)时，x-2<0,a-1≤7- 一10书书书 １７． （１５ 分 ） 若 函 数 ｆ （ｘ） ＝ ２ｘ ３ － ａｘ ２（ａ ＜ ０ ） ( 在 ａ２ ， ａ ＋ ６) ３ 上 有 最 大 值 ，求 ａ 的 取 值 范 围 ． １８． （１７ 分 ） 传 说 《 西 游 记 》 中 孙 悟 空 的 “ 如 意 金 箍 棒 ” 原 本 是 东 海 海 底 的 一 枚 “ 定 海 神 针 ”． 作 为 兵 器 ， “ 如 意 金 箍 棒 ” 威 力 巨 大 ， 且 只 有 孙 悟 空 能 让 其 大 小 随 意 变 化 ．假 定 孙 悟 空 在 使 用 “ 如 意 金 箍 棒 ” 与 各 路 妖 怪 打 斗 时 ，都 将 其 变 化 为 底 面 半 径 为 ４ ｃｍ 至 １０ ｃｍ 之 间 的 圆 柱 体 ．现 假 定 孙 悟 空 刚 与 一 妖 怪 打 斗 完 毕 ， 并 降 伏 了 此 妖 怪 ， 此 时 “ 如 意 金 箍 棒 ” 的 底 面 半 径 为 １０ ｃｍ ， 长 度 为 ｌｃｍ ． 在 此 基 础 上 ， 孙 悟 空 使 “ 如 意 金 箍 棒 ” 的 底 面 半 径 以 每 秒 １ ｃｍ 匀 速 缩 短 ， 同 时 长 度 以 每 秒 ４０ ｃｍ 匀 速 增 长 ， 且 在 这 一 变 化 过 程 中 ， 当 “ 如 意 金 箍 棒 ” 的 底 面 半 径 为 ８ ｃｍ 时 ，其 体 积 最 大 ． （ １ ） 求 在 这 一 变 化 过 程 中 ， “ 如 意 金 箍 棒 ” 的 体 积 ｆ （ｘ） （ 单 位 ： ｃｍ ３） 随 时 间 ｘ（ 单 位 ： 秒 ） 变 化 的 解 析 式 ，并 求 出 其 定 义 域 ； （ ２） 假 设 在 这 一 变 化 过 程 中 ，孙 悟 空 在 “ 如 意 金 箍 棒 ” 体 积 最 小 时 ， 将 其 定 型 ，准 备 迎 战 下 一 个 妖 怪 ，求 此 时 “ 如 意 金 箍 棒 ” 的 底 面 半 径 ． １９．（１７ 分 ） 若 函 数 ｆ （ｘ） 是 定 义 域 Ｄ 内 某 个 区 间 Ｉ 上 的 增 函 数 ， 且 Ｆ （ｘ） ＝ ｆ （ｘ） ｘ 在 Ｉ 上 是 减 函 数 ，则 称 函 数 ｆ （ｘ） 是 Ｉ 上 的 “ 单 反 减 函 数 ”．已 知 ｆ （ｘ） ＝ ｌｎ ｘ，ｇ （ｘ） ＝ ２ｘ ＋ ２ｘ ＋ ａ ｌｎ ｘ（ａ ∈ Ｒ ）． （１ ） 判 断 函 数 ｆ （ｘ） 在 （０ ，１ ） 上 是 否 是 “ 单 反 减 函 数 ” ； （２ ） 若 函 数 ｇ （ｘ） 是 ［１ ， ＋ ∞ ） 上 的 “ 单 反 减 函 数 ” ，求 实 数 ａ 的 取 值 范 围 ． !"#$%&'()*+,-./0 ! 12!"#$%&'( !"3$4&'(5*+,-678 ! 92)"*$%&+( : ; < = > + ! " ? 书 导数的应用是高中数学的重要内容．以“新 定义”“知识交汇”和“开放探索”等为出发点的 导数创新问题常成为考试命题的“亮点”之作． 下面撷取几例，和同学们一起体验一下． 一、新定义创新问题 例１给出定义：若函数ｆ（ｘ）在Ｄ上可导，即 ｆ′（ｘ）存在，且函数ｆ′（ｘ）在Ｄ上也可导，则称 ｆ（ｘ）在 Ｄ上存在二阶导函数，记 ｆ″（ｘ） ＝ （ｆ′（ｘ））′，若 ｆ″（ｘ）＜０在 Ｄ上恒成立，则称 ｆ（ｘ）在Ｄ上为凸函数．以下四个函数在其定义 域内是凸函数的是 （　　） （Ａ）ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎｘ＋ｘ （Ｂ）ｆ（ｘ）＝ｘ－ｅｘ （Ｃ）ｆ（ｘ）＝ｘ－ｌｎｘ （Ｄ）ｆ（ｘ）＝ｘ ｅｘ 解：（Ａ）中，ｆ′（ｘ）＝１＋２ｃｏｓｘ，ｆ″（ｘ）＝ －２ｓｉｎｘ，显然在定义域内ｆ″（ｘ）的值有正有负， 故不是“凸函数”； （Ｂ）中，ｆ′（ｘ）＝１－ｅｘ，ｆ″（ｘ）＝－ｅｘ＜０， 故是“凸函数”； （Ｃ）中，ｆ′（ｘ）＝１－１ｘ，ｆ″（ｘ）＝ １ ｘ２ ＞０， 故不是“凸函数”； （Ｄ）中，ｆ′（ｘ）＝１－ｘ ｅｘ ，ｆ″（ｘ）＝ｘ－２ ｅｘ ，在 定义域内 ｆ″（ｘ）的值有正有负，故不是“凸函 数”．故选（Ｂ）． 二、知识交汇创新问题 例２已知向量ａ＝（ｘ２，ｘ＋１），ｂ＝（１－ｘ， ｔ），若函数ｆ（ｘ）＝ａ·ｂ在区间（－１，１）上是增函 数，求ｔ的取值范围． 解：因为ｆ（ｘ）＝ａ·ｂ＝ｘ２（１－ｘ）＋ｔ（ｘ＋ １）＝－ｘ３＋ｘ２＋ｔｘ＋ｔ， 所以ｆ′（ｘ）＝－３ｘ２＋２ｘ＋ｔ． 若ｆ（ｘ）在区间（－１，１）上是增函数，则ｘ∈ （－１，１）时，ｆ′（ｘ）≥０，即 －３ｘ２＋２ｘ＋ｔ≥０， 所以ｔ≥３ｘ２－２ｘ在区间（－１，１）上恒成立． 又因为ｇ（ｘ）＝３ｘ２－２ｘ表示对称轴为ｘ＝ １ ３且开口向上的抛物线，所以当 ｘ∈ （－１，１） 时，ｇ（ｘ）的取值范围是 －１３，[ )５，故所求ｔ的取 值范围是［５，＋∞）． 三、开放探索创新问题 例３定义函数ｆｎ（ｘ）＝（１＋ｘ） ｎ－１（ｘ＞ －２，ｎ∈Ｎ＋且ｎ＞１）．问：是否存在区间［ａ，ｂ］ （－∞，０］，使函数ｈ（ｘ）＝ｆ３（ｘ）－ｆ２（ｘ）在区 间［ａ，ｂ］上的值域为［ｋａ，ｋｂ］？若存在，求出最 小的ｋ值及相应的区间［ａ，ｂ］；若不存在，请说 明理由． 解：假设存在满足条件的区间［ａ，ｂ］，则 ｈ（ｘ）＝ｆ３（ｘ）－ｆ２（ｘ）＝ｘ（１＋ｘ） ２，所以ｈ′（ｘ） ＝３ｘ２＋４ｘ＋１． 令ｈ′（ｘ）＝０，得ｘ＝－１或ｘ＝－１３． 可知ｈ（ｘ）在区间（－２，－１）上单调递增， 在区 间 －１，－１( )３ 上 单 调 递 减，在 区 间 －１３，＋( )∞ 上单调递增，且 ｈ（ｘ）极大值 ＝ ｈ（－１）＝０，ｈ（ｘ）极小值 ＝ｈ－ １( )３ ＝－ ４ ２７． 由题易知ｋ＞０，ｂ＝０． ①当 －１３≤ａ＜０时，ｈ（ｘ）ｍｉｎ ＝ｈ（ａ）＝ ｋａ，即ａ（１＋ａ）２＝ｋａ，所以ｋ＝（１＋ａ）２≥ ４９； ② 当 － ４３ ≤ ａ≤－ １ ３ 时，ｈ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｈ－１( )３ ＝－ ４ ２７＝ｋａ，ｋ＝－ ４ ２７ａ， 所以 １ ９≤ｋ≤ ４ ９； ③当ａ≤－４３时，ｈ（ｘ）ｍｉｎ＝ｈ（ａ）＝ａ（１＋ ａ）２ ＝ｋａ，ｋ＝（１＋ａ）２≥ １９，其中ａ＝－ ４ ３时 取等号． 综上，ｋｍｉｎ ＝ １ ９，此时［ａ，ｂ］＝ － ４ ３，[ ]０． 书 求曲线的切线方程是导数的重要应用之 一，用导数求切线方程的关键在于求出切点 Ｐ（ｘ０，ｙ０）及斜率，其求法为： 设Ｐ（ｘ０，ｙ０）是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）上的一点，则 以Ｐ为切点的切线方程为：ｙ－ｙ０＝ｆ′（ｘ０）（ｘ－ ｘ０）．若曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点Ｐ（ｘ０，ｆ（ｘ０））的切线 平行于ｙ轴（即导数不存在）时，由切线定义知， 切线方程为ｘ＝ｘ０． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 例１曲线ｙ＝ｘ３－３ｘ２＋１在点（１，－１）处 的切线方程为 （　　） （Ａ）３ｘ－ｙ－４＝０ （Ｂ）３ｘ＋ｙ－２＝０ （Ｃ）４ｘ＋ｙ－３＝０ （Ｄ）４ｘ－ｙ－５＝０ 解：由ｆ′（ｘ）＝３ｘ２－６ｘ得斜率ｋ＝ｆ′（１） ＝－３． 故所求的切线方程为ｙ＋１＝－３（ｘ－１）， 即３ｘ＋ｙ－２＝０．故选（Ｂ）． 点评：此类题较为简单，只需求出曲线函数的 导数ｆ′（ｘ）及切线斜率，并代入点斜式方程即可． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 例２与直线２ｘ－ｙ＋４＝０平行的抛物线ｙ ＝ｘ２的切线方程是 （　　） （Ａ）２ｘ－ｙ＋３＝０ （Ｂ）２ｘ－ｙ－３＝０ （Ｃ）２ｘ－ｙ＋１＝０ （Ｄ）２ｘ－ｙ－１＝０ 解：设Ｐ（ｘ０，ｙ０）为切点， 则切线的斜率为ｙ′（ｘ０）＝２ｘ０ ＝２， 所以ｘ０ ＝１．由此得到切点（１，１）． 故切线方程为ｙ－１＝２（ｘ－１）， 即２ｘ－ｙ－１＝０．故选（Ｄ）． 点评：所求的切线方程与直线２ｘ－ｙ＋４＝ ０平行，相当于给出斜率，所以求解的关键是求 出函数的导数，然后求出切点坐标． 类型三：已知过曲线外一点，求切线方程 例３求过点Ａ（２，０）且与曲线ｙ＝１ｘ相切 的直线方程． 解：因为Ａ（２，０）不在曲线上， 设Ｐ（ｘ０，ｙ０）为切点， 则切线的斜率为ｙ′（ｘ０）＝－ １ ｘ２０ ． 所以切线方程为ｙ－ｙ０ ＝－ １ ｘ２０ （ｘ－ｘ０）， 即ｙ－１ｘ０ ＝－１ ｘ２０ （ｘ－ｘ０）． 又已知切线过点Ａ（２，０）， 把它代入上述方程得 －１ｘ０ ＝－１ ｘ２０ （２－ｘ０）． 解得ｘ０＝１，ｙ０＝ １ ｘ０ ＝１，即切点为（１，１）． 故所求的切线方程为ｙ－１＝－（ｘ－１）， 即ｘ＋ｙ－２＝０． 点评：点 Ａ（２，０）实际上是曲线外的一点， 但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充 分反映出待定切点法的高效性． 类型四：已知过曲线上一点，求切线方程 例４求曲线ｙ＝ｘ３－２ｘ过点（１，－１）的切 线方程． 解：设Ｐ（ｘ０，ｙ０）为切点， 则切线的斜率为ｙ′（ｘ０）＝３ｘ ２ ０－２． 所以切线方程为ｙ－ｙ０＝（３ｘ ２ ０－２）（ｘ－ｘ０）， 即ｙ－（ｘ３０－２ｘ０）＝（３ｘ ２ ０－２）（ｘ－ｘ０）． 又知切线过点（１，－１），把它代入上述方程 得 －１－（ｘ３０－２ｘ０）＝（３ｘ ２ ０－２）（１－ｘ０）． 整理得（ｘ０－１） ２（２ｘ０＋１）＝０． 解得ｘ０ ＝１或ｘ０ ＝－ １ ２． 故所求切线方程为ｙ－（１－２）＝（３－２）（ｘ －１）或ｙ－ －１８＋( )１ (＝ ３４－ ) (２ ｘ＋１)２ ． 即ｘ－ｙ－２＝０或５ｘ＋４ｙ－１＝０． 点评：要注意求切线方程时，用词“在”与 “过”的不同． !"#$ %& # !"#$%&'( )& !!!"* #$%&+ ', %$-./*0 & * !" !"# $%&'( )*+, !"#$%&' ()*+,-! ./0123 +456789:3 ;+<=!>?@A BC#.1D+EF GHIJK! "L MFNODPQ5 +RSTUVWXS +0YZ[\RS +]Q5^_`?! 1abcdeV .ffggVh$i j$ikl$im$ i!Rnopqrs tuopvwx#. yz{|+}~ P€YV/‚ƒ „…†~_!.R‡ ˆ‰V Š‹ŒQV: Ž‘’“” Œ•–P—˜!.] ™šw›+*œ ›VžŸ ¡¢+* £¤6¥W¦§¨ ©ªG«+¬­® ¯°Q5! !"+±²³ ´*µ¶·V.+m ¸¹ºN$»¼$ »?@Q!.»½N R‡ˆ‰k ŒQ] Šk¾c¿g+{À ÁÂ! 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!"#$% ! ./ 012 !" !" 书书书 一 元 函 数 的 导 数 及 其 应 用 核 心 素 养 综 合 测 评 ◎ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 第 Ⅰ 卷 选 择 题 （ 共 ５８ 分 ） 一 、 单 项 选 择 题 ： 本 大 题 共 ８ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 ４０ 分 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １． 已 知 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ ｘ２ ｅ１ －ｘ ＋ ａｘ 的 图 象 在 点 （ １， ｆ（ １） ） 处 的 切 线 与 ２ｘ － ｙ ＋ １ ＝ ０ 平 行 ，则 ａ ＝ （ 　 　 ） （ Ａ ） － １ （ Ｂ） １ （ Ｃ） － ２ （ Ｄ ） ２ ２． 若 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ ｃｏ ｓｘ － ａｘ 在 定 义 域 内 单 调 递 减 ，则 实 数 ａ 的 取 值 范 围 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） ［ １， ＋ ∞ ） （ Ｂ） （ － ∞ ，１ ］ （ Ｃ） ［ － １， ＋ ∞ ） （ Ｄ ） （ － ∞ ， － １］ ３． 若 对 任 意 ｘ ∈ Ｒ ，ｅ ｘ＋ ２ ＞ ｘ ＋ ｌｏ ｇ ２ ａ 恒 成 立 ，则 实 数 ａ 的 取 值 范 围 是 （ 　 　 ） （ Ａ ( ） ０， ) １ ２ （ Ｂ ( ） ０， ] １ ２ （ Ｃ） （ ０， ８） （ Ｄ ） （ ０， ８］ ４． 已 知 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ ｘ３ － ｆ′ （ ０） ｘ２ － ｆ （ ０） ｅｘ － ｘ － ｆ′ （ ０） ， 则 ｌｉｍ Δｘ → ０ ２［ ｆ（ － Δ ｘ） － ｆ（ ０） ］ Δ ｘ ＝ （ 　 　 ） （ Ａ ） ４ （ Ｂ） ２ （ Ｃ） － ２ （ Ｄ ） － ４ ５． 已 知 函 数 ｆ （ ｘ） ＝ ｘ３ － １２ ｘ ＋ ８ 在 区 间 ［ － ３， ３］ 上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为 Ｍ ，ｍ ，则 Ｍ － ｍ 的 值 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） １６ （ Ｂ） １２ （ Ｃ） ３２ （ Ｄ ） ６ ６． 已 知 函 数 ｆ（ ｘ） 的 导 函 数 为 ｆ′ （ ｘ） ，ｆ ′（ ｘ） 为 奇 函 数 且 图 象 如 图 所 示 ，则 ｆ（ ｘ） 的 解 析 式 可 以 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） ｆ（ ｘ） ＝ （ ｅｘ ＋ ｅ－ ｘ ） ｘ２ （ Ｂ） ｆ（ ｘ） ＝ ｘ３ － ｓｉ ｎ ｘ （ Ｃ） ｆ（ ｘ） ＝ ｘ２ － ｓｉ ｎ ｘ （ Ｄ ） ｆ（ ｘ） ＝ １ ４ ｘ２ ＋ ２ｃ ｏｓ ｘ ７． 若 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ ａｌ ｎ ｘ ＋ ３ － ｘ ｘ － １ ２ｘ ２ （ ａ ≠ ０） 既 有 极 大 值 也 有 极 小 值 ，则 ａ ∈ （ 　 　 ） （ Ａ ( ） ０， ) ９ ４ （ Ｂ） （ ０， ３） （ Ｃ ( ） ０， ) ９ ４ ∪ （ ９， ＋ ∞ ） （ Ｄ ） （ ０， ３） ∪ （ ９， ＋ ∞ ） ８． 若 定 义 在 Ｒ 上 的 函 数 ｆ（ ｘ） 的 导 函 数 为 ｆ′ （ ｘ） ，且 满 足 ｆ′ （ ｘ） ＞ １ － ｆ（ ｘ） ，ｆ （ ０） ＝ ６， 则 不 等 式 ｅｘ ｆ（ ｘ） ＞ ｅｘ ＋ ５（ 其 中 ｅ 为 自 然 对 数 的 底 数 ） 的 解 集 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） （ ０， ＋ ∞ ） （ Ｂ） （ － ∞ ，０ ） ∪ （ ３ ， ＋ ∞ ） （ Ｃ） （ － ∞ ，０ ） ∪ （ １， ＋ ∞ ） （ Ｄ ） （ ３， ＋ ∞ ） 二 、 多 项 选 择 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ６ 分 ， 共 １８ 分 ． ９． 已 知 曲 线 ｆ（ ｘ） ＝ ｘ２ － １ 与 曲 线 ｇ（ ｘ） ＝ ｌｎ ｘ， 则 下 列 说 法 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） 在 点 （ １， ０） 处 相 交 （ Ｂ） 在 点 （ １， ０） 处 相 切 （ Ｃ） 存 在 相 互 平 行 的 切 线 （ Ｄ ） 有 两 个 交 点 １０ ．己 知 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ ｘｌ ｎ（ １ ＋ ｘ） ，则 （ 　 　 ） （ Ａ ） ｆ（ ｘ） 在 （ ０， ＋ ∞ ） 上 单 调 递 增 （ Ｂ） ｆ（ ｘ） 有 两 个 零 点 （ Ｃ） 曲 线 ｙ ＝ ｆ（ ｘ） ( 在 点 － １ ２ ， ( ｆ － )) １ ２ 处 切 线 的 斜 率 为 － １ － ｌｎ ２ （ Ｄ ） ｆ（ ｘ） 是 奇 函 数 １１ ．已 知 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ ｘ２ ＋ ｘ － １ ｅｘ ，则 下 列 结 论 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） 函 数 ｆ（ ｘ） 只 有 两 个 极 值 点 （ Ｂ） 方 程 ｆ（ ｘ） ＝ ｋ 有 且 只 有 两 个 实 根 ， 则 ｋ 的 取 值 范 围 为 （ － ｅ， ０） （ Ｃ ） 方 程 ｆ（ ｆ（ ｘ） ） ＝ － １ 共 有 ４ 个 根 （ Ｄ ） 若 ｘ ∈ ［ ｔ， ＋ ∞ ） ， ｆ（ ｘ） ｍ ａｘ ＝ ５ ｅ２ ，则 ｔ的 最 大 值 为 ２ 第 Ⅱ 卷 非 选 择 题 （ 共 ９２ 分 ） 三 、 填 空 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 １５ 分 ． １２ ．函 数 ｆ （ ｘ） ＝ １ ２ ｘ２ － ２ｘ － ３ｌ ｎ ｘ的 单 调 递 减 区 间 为 ． １３ ．设 点 Ｐ 是 曲 线 ｙ ＝ １ ３ ｘ３ － ｘ２ ＋ （ １ ＋ 槡 ３） ｘ － ２ 上 的 任 意 一 点 ， 曲 线 在 点 Ｐ 处 的 切 线 的 倾 斜 角 为 α， 则 α 的 取 值 范 围 是 ． （ 用 区 间 表 示 ） １４ ．设 ｆ（ ｘ） 与 ｇ（ ｘ） 是 定 义 在 同 一 区 间 ［ ａ， ｂ］ 上 的 两 个 函 数 ，若 函 数 ｈ（ ｘ） ＝ ｆ（ ｘ） － ｇ（ ｘ） 在 ［ ａ， ｂ］ 上 有 两 个 不 同 的 零 点 ，则 称 ｆ（ ｘ） 与 ｇ（ ｘ） 在 ［ ａ， ｂ］ 上 是 “ 关 联 函 数 ” ．若 ｆ（ ｘ） ＝ － １ ３ ｘ３ － ｍ 与 ｇ（ ｘ） ＝ － １ ２ ｘ２ ＋ ２ｘ 在 ［ ０， ３］ 上 是 “ 关 联 函 数 ” ， 则 实 数 ｍ 的 取 值 范 围 是 ． 四 、 解 答 题 ： 本 题 共 ５ 小 题 ， 共 ７７ 分 ． １５ ．（ １３ 分 ） 已 知 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ ｘ３ ＋ ａｘ ２ ＋ ｂｘ ＋ ２． 曲 线 ｙ ＝ ｆ（ ｘ） 在 ｘ ＝ １ 处 的 切 线 方 程 是 ８ｘ － ｙ － ２ ＝ ０． （ １） 求 ａ， ｂ 的 值 ； （ ２） 求 ｆ（ ｘ） 的 极 值 ． １６ ．（ １５ 分 ） 已 知 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ （ ｘ２ － ４ｘ ＋ １） ｅｘ － ａ 恰 有 三 个 零 点 ，求 实 数 ａ 的 取 值 范 围 ． 3 4 5 6 # 7 8 9 : ; < = > ? @ A ! B C ! " # $ % & ' ( 3 4 5 6 # 7 8 9 : ; < = > D @ A ! B C ) " * $ % & + ( ' ! * ! " #