第26期 5.3 导数在研究函数中的应用-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册同步学案（人教A版2019）

高中数学人教A版选择性必修第二册 第25~28期 ###### 答案详解 2024~2025学年 高中数学人教A版选择性必修第二册 第25~28期(2025年1月) 第25期2版 所以g(x)=-2sin(x+吾),其中xe(0,n), 专项小练 由题意可得f'(1)=g'(xo),所以-1=-2sin( 1.B;2.A;3.CD. 4. -1;5.v6. 6.解:(1)y=60co(3t-吾). 7.因为g(x)=qe")f'(x)=p,pq*0. 所以()-60cos吾-30/2(cm/s). 所以q{-=p,即":B. (2)令3--2h,解得1-吾21k 乙. # 所以最少经过。该小球的瞬时速度达到最大. P.1 第25期34版 8.画出函数/(x)=e*和y=2x的图 导数的运算同步核心素养测评 象如图所示.设直线m平行于直线7.则直 一、单项选择题 线n的斜率为2.当直线m与函数/(x)的 1~41 DDAC 5~8ADBA 图象相切,点P为切点时,点P到直线/: -/x) 提示: -2x的距离最小 设切点坐标为(x,y),因为f'()= $ *,则/(x。)=2e}=2,解得x。=0.又(x,y)在函数/(x) 2.'=(’sinx)'=(2)'.sinx+x}.(sinx)'=2xsinx +2cosx. = 的图象上,则y。=e2*=1,则切点坐标为(0,1),到直线 1:2x-y=0的距离为d=2x0-11- 3.由题可知p(1)=2(1+10%)=2x1.1. ②+(-1) 所以p'(t)=2x1.1ln1.1. 所以p'(10)=2x1.1*ln1.1~2x2.59x0.1 =0.518~0.52. 即GDP增长的速度大约是0.52亿元/年 二、多项选择题 9.ACD: 10.ABC: 4.由题设,盛液体部分的底面积为S三4n 11.BCD. -3 提示: 则溶液上升高度h= , 3 9.因为直线y= 2x+m的斜率k= 4 5./'(x)-(e'+20o x)(1+)-(e 2sinx)·2 (1+)} 则/(0)三 (e+2cos0)(1+0)-(e*+2sin0)x0 (1+0){} =3. 因为y=cosx,则y'=-sinx.又因为-sinxe[-1.1]. 即该切线方程为y-1=3x.即y=3x+1. 则方程-sinx=3>1无解,故(B)错误; 3 令x=0,则y=1,令y=0.则x=- 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积为 #$-#1×##-# 6.因为/(x)=x-4x,所以/'(x)=3x-4.xR 因为y=e',则y:e”, 又g(x)=2cos(x+吾) 高中数学人教A版选择性必修第二册 第25~28期 故选(A)(C)(D). -1-xln4 10.若f(x)=sinx+eosx,则f”(x)=-sinx-eosx,在 xef (0.)上恒有/”(x)<0.所以/(x)在(0.) 上是凸函 (2) '=(x1+x)'=x'1+x+x(1+x)'= 数,故(A)正确; 1+ 若/(x)=lnx-2x,则/”(x)--,在(0.,-)上恒有 1+ (3)因为y=xos(2x+-)sin(2x+-)=x· /”(x)<0.所以/(x)在(0.于)上是凸函数,故(B)正确; 若/(x)--x+2x-1.则/”(t)--6x,在(0.)上恒 有/”(x)<0.所以/(x)在(o.)上是凸函数,故(C)正确; 16.解:(1)由题可得/'(x)-2/(1)x-1+2 若f(x)=-xe*,则f”(x)=2e-xe =(2-x)e”,在 所以f'(1)=2/'(1)-1+2,解得/'(1)=-1. (0.)上恒有/”(x)>0.所以/(t)在(0.于)上不是凸函 则/(x)=-x2-x+2lnx. 数,故(D)错误. 故选(A)(B)(C). 11.已知/(x)为奇函数,可知f(-x)=-f(x),又因为 f(2-x)+f(x)=4,则f(2-x)-f(-x)=4,所以f(x+ 由y=+2x得'=+2, 2) =f(x)+4,所以/(x+4)=f(x+2)+4=f(x)+8,故 故y=e+2x在(0.1)处的切线斜率k=e*+2=3. (A)错误; 所以y=e'+2x在(0.1)处的切线方程为y-1=3(x- 对f(-x)=-f(x)两边求导得-f'(-x)=-f’(x),即 0).化简可得y=3x+1. f'(-x)=f'(x),所以g(-x)=g(x),又函数g(x)的定义域 为B,所以g(x)为偶函数,故(B)正确; 对f(2-x)+f(x)=4两边求导得-f'(2-x)+f'(x) 将其代入切线方程y=3x+1可得y=2 =0.即f'(2-x)=f'(x),所以g(2-x)=g(x),故(C)正 代入g(t)得g()=1n+a. 确: 因为函数f(x)是定义域为B的奇函数,所以f(0)=0.又 因为f(x+4)=f(x)+8,所以f(2024)=f(2020)+8= f(2016)+2x8=.=/(0)+506x8=4048,故(D)正确. 17.解:(1)f(x)=ax+lnx的定义域为(0,+×), 故选(B)(C)(D). 由/(x)=ax②+lnx求导得/'(x)=2ax+1 三、填空题 12.1; 13.4;14. 22*-(sin 2x +cos 2x). 于是得/'(1)=2a+1,而f(1)=a, 提示: 所以/f(1)+f'(1)=3a+1. 12.因为f(x)=2',所以f'(x)=2’ln2. (2)因曲线y三fx)存在垂直于v轴的切线,则此时切线 又/'(xo)=ln4,所以2ln2=ln4=2ln2,解得xo=1. 斜率为0.由导数的儿何意义知,方程/(x)=0在(0.+x)内 有解,于是得方程2ax+1 13.函数/(x)=xlnx,求导得/'(x)=1+lnx. =0,即a三- 依题意得tanθ=/'(e)=2. 解,则a<0,所以实数a的取值范围是(-,0). 所以sinθ+2cosθtanθ+2 =4 sin8-cosθ tanf-1 18.解:(1)/(x)=(x+2x)e. 14.因为/(x)=sin2x+cos2x. 由/'(x)<4e*,得x*+2x-4<0. 所以f(x)=f(x)=2(cos2x-sin2x). 解得x=(-1-5,-1+v5). f(x)=ff(x)=2(-sin2x-cos 2x). 则所求不等式的解集为(-1-、5,-1+5). (x)=f(x)=2’(-cos 2x+sin2x). (2)因为f'(x)=(x2+2x)e. f(x)=f(x)=2(sin2x+cos2x). 所以曲线y=/(x)在点(xf(x。))处的切线方程为 通过以上可以看出f(x)满足以下规律; ¥-xe*=(x+2x。)e.(x-x。). 将点(},0) 对任意n=Nf(x)=2f(x). )的坐标代入,并整理得x。e{。(13。一 故&oo(x)=fs(x)=2*^~(sin2x+cos 2x). 四、解答题 , 解得x。=0或x。=1或x。=- 1-1n4x 所以y-(ln4x)'e-ln4r.(e’)' 当x。=0时,切线方程为y=0; (e)2 当xo。=1时,切线方程为y-e=3e(x-1) 6 高中数学人教A版选择性必修第二册 第25~28期 即y=3ex-2e; 又a为正整数,所以a的最小值为5 -14--#4({ 当x=- 3.由题得/'(x)-x(2-x) 。_ 令f'(x)>0,解得0<x<2. 令/'(x)<0.解得x>2或x<0. 19.(1)解:由题得y =1,y=cosx. 故/(x)在[-1.0)上单调递减,在(0.2)上单调递增, 因为1三cosx. 在(2.3]上单调递减 所以函数y =x是函数y,=sinx的“导控函数”. (2)解:由题得y$=2x+8.y =x2+2bx+c,y$=$x$ 而/(0)=0</(3)= 由题意可得8x<x2+2bx+c<2x+8恒成立 故/(x)在[-1,3]上的最小值是0 令8x=2x}+8,解得x=2. 4.若函数/(x)=-ax在区间(1.2)上单调递减, 故16 4+4+c 16,从而有4+4+c=16 则/'(x)=3x-a<0在区间(1.2)上恒成立, 所以c=12-4b. 即a三3x*在区间(1.2)上恒成立. 又2x+8=x*+2bx+c恒成立. x=(1,2)时,3x=(3.12),所以a=12 即-2bx+8-c=-2 b+4b-4>0恒成立,$ 所以“a>12”是“a三12”的充分不必要条件, 所以A=4$ -4(4 -4) =4($b-2)}0$所以$b=$ $ 即“a 12”是“函数f(x)=x-ax在区间(1.2)上单调 故6=2.c=4且“导控点”为2; 递减”的充分不必要条件 (3)证明:充分性:若存在常数c使得p(x)-a(x)三c恒 5.令f(x)=e-x-a,则f(x)>0恒成立 成立,且函数y三q(x)为偶函数, 所以/(x)0. 则p(x)=q(x)+c为偶函数,q(x)=q(-x). 因为/'(x)=e-1,所以当xE(-*,0)时f'(x)0; 则p(-x)=q(-x)+c=q(x)+c=$(x). 当x(0.+x)时f'(x)>0. 即。+he”=e^*+ke', 所以f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+x)上单调递 所以(h-1)(e -e)=0恒成立,所以k=1; 增,所以f(x) =f(0)=1-a>0,解得a<l 必要性:若k=1,则p(x)=e+e”*=p(-x). 即实数a的取值范围为(-x,1). 所以函数p(x)为偶函数, 函数y=p(x)是函数y=q(x)的“导控函数”. 因此p'(x)三’(x). 所以/'(x)=x- 2-9 又q(-x)=q(x),p(-x)=p(x). 。 因此函数y=p(-x)是函数y=q(-x)的“导控函数”. 因为x>0,由/(x)<0可得0<x<3 所以-p'(-x)=-q'(-x). 所以函数/(x)的单调递减区间为(0,3]. 即p'(-x)(-x)恒成立, 因为函数/(x)在区间[a-1,a+1]上单调递减 用-x代换x有p'(x)<q(x). 则[a-1.a+1]C(0.3]. 综上可知p'(x)=q'(x),记(x)=p(x)-q(x). 所以[-1>0.解得1<a<2.故选(). 则(x)=p'(x)-q'(x)=0. la+1<3. 因此存在常数c使得p(x)-q(x)三c恒成立, 7.因为f(x)=-2cosx-x,xe(0.n). 综上,“k=1”的充要条件是“存在常数c使得p(x)- 所以f'(x)=2sinx-1,xE(0.). q(x)三c恒成立”. 第26期2版 当xE (0.吾)时.)”(x)<0,函数/(x)单调递减; 专项小练一 1.A; 2. BD;3.A. 4.(0.+);5.(3,+). 当x= (吾#5)时J'(x)>0.函数(x)单调递增: 专项小练二 1.B; 2.C;3.CD. 4.2;5.(-x,-1). 当xE 第26期3,4版 所以当x-吾时,函数f(x)取得极小值/(吾). 导数在研究函数中的应用同步核心素养测评 当:5#时,数(1)取得极大值(=). 一、单项选择题 1~4 BBCA5~8 BDDC 提示: 1.由题得/'(x)=-r*+2x+3, 要满足条件,则g(x)在(0,a)上单调递减, 令/'(x)>0,得-1<x<3,所以增区间为(-1,3) h(x)在[a,+x)上单调递减,且g(a)>h(a). 2./'(x)=3x+2ax+6,由函数f(x)在R上存在极值 易知g(x)在(0.+x)上单调递减. 则/'(x)有两个不等实数根 得A=4a^-720,解得a 3/2或a<-3v2 {2} 高中数学人教A版选择性必修第二册 第25~28期 令'(x)<0.解得x>e. 所以a=b-1,则/(x)=x+ 所以h(x)在(0.e)上单调递增,在(e.+x)上单调递减, 所以a三e. /(ln2)=ln2+士=ln2+2 lna,解得o<a<e. 13.因为实数a.b,c.d成等比数列,所以ad=bc. 所以实数a的取值范围是[e.e2]. 由/(x)=3x-x. 二、多项选择题 得/f'(x)=3-3x2=3(1-x)(1+x). 9. BC: 10. BC; 11.AC. 令/'(x)=0,解得x=1, 提示: 当x<-1或x>1时,f'(x)<0.f(x)单调递减; 9.观察图象,由xf'(x)>0.得x<-2或0<x<2,显然 当-1<x<1时f'(x)>0/f(x)单调递增 当x<-2时f'(x)<0,当0<x<2f'(x)>0,由xf'(x)< 所以x=-1时,函数/(x)取得极小值. 0.得-2<x<0或x>2.显然当-2<x<0时f'(x)>0. x=1时,函数f(x)取得极大值; 当x>2时/(x)<0. 所以b=1.c=f(1)=3-1=2 因此函数f(x)在(-,-2).(2.+)上单调递减,在 所以bc=2,所以ad=2. (-2,2)上单调递增,(A)错误,(B)正确; $4. /'(x)=x+3x.令f'(x)=0,解得x=0或x=-3 函数f(x)在x=-2处取得极小值,在x=2处取得极大 令/(x)>0,解得x>0或x<-3. 值,(C)正确.(D)错误.故选(B)(C). 令/'(x)<0,解得-3<x<0. 10.f(x)的定义域为(0.+x).由f(x)=xlnx+x.得 所以f(x)在(-*,-3)和(0,+)上单调递增 f'(x)=lnx+2x+1,所以有/'(xo)=lnx。+2x。+1=0,所 在(-3,0)上单调递减. 当x→-*时/(x)→-*, 以有2x。=-(lnx。+1)>0,即lnx。<-1,即lnxo<lne. 当x→+x时/(x)→+, 又由/(-3)= 2+cJ/(0)=c. 9 f(xo)+x=xlnx+x+x=x(lnxo+xo+1)= 要使/(x)有3个不同的零点. xo(-2x。+xo)=-<0,故(C)正确.(D)错误 0 则。c0< 故选(B)(C). <c<0. 11.因为/(x)-,所以/”(x)-,所以 所以实数e的取值范围是(-.0). (e)? /(0)=1,故(A)正确; 四、解答题 15.解:函数f(x)的定义域为(0,+×). ##$(t)--- (一,1)上单调递增,当x>1时f’(x)<0,所以/(x)在(1. 。& 当a<0时f(x)>0. 则/(x)的单调递增区间为(0.+x).无单调递减区间; 故(B)错误; 当a>0时,由/(x)>0得x>v. 由/(x)<0得0<x<. 且/(x)在(-*,1)上单调递增 所以当a>0时,函数/(x)的单调递增区间为(v.+) 在(1,+x)上单调递减. 单调递减区间为(0.ā). 又易知当x→-x时/(x)→-x, 16.证明:设函数/(x)=x-ax-1+a. 当x→+时f(x)→0. 则/'(x)=ax*-a=a(-)-1). 结合f(x)的大致图象(图略)可知直线y= 令/'(x)=0.得x=1. 所以,当xE(0.1)时f'(x)>0. f(x)有两个交点, 函数/(x)单调递增; 有两个不等实根,故(C)正确; 所以/(x)= 当x=(1.+)时f'(x)<0.函数f(x)单调递减 所以f(x)=x”-ax-1+a在区间(0,+)上的最大值 因为f(x)在(1.+x)上单调递减,所以/(3)>f(4),即 为f(1)=0. 所以f(x)=x-ax-1+a<0,即x*-ax<1-a. 三、填空题 17.解:(1)g(x)=- 12.1n2:13.2; 14.(-.0). xe(08], 提示: 即g(x)=- 当x=2时,g(2)=-4+9-2=12,解得$a =2 故g(x)=- 由题得/(0)=b=1/'(0)=a-b=0. 高中数学人教A版选择性必修第二册 第25~28期 (2)g'(x)=- #2*(x-6) 则当x<1时,F(x)<F(t)=0. 这与VxER.F(x)=0矛盾. 当xE(0.6)时,g(x)>0. 故不存在x使F(x)=0,故F(x)>0恒成立, 当xE(6,8]时,g(x)<0. 故F(x)在B上严格增 所以函数g(x)在(0.6)上单调递增. 在(6.8]上单调递减. 第27期3,4版 所以x=6时,利润最大为g(6)=52(万元). 一元函数的导数及其应用核心素养综合测评 18.解:(1)因为f(x)=ln(x+a)-x+x,x>- 一、单项选择题 1~4 BACA 5~8 CDAA x+ 提示: 因为函数f(x)=ln(x+a)-x*}+x在x=1处取得极值 1./'(x)=(2x-2)e*+a. 所以f'(1)=0. 由题可得/(1)=1+a=2,解得a=1. 2.函数f(x)=cosx-ax定义域为R 且/'(x)=-sinx-a. (2)证明:因为/(x)=- 依题意f'(x)<0恒成立,即-sinx-a<0恒成立 5. 即a-sinx恒成立, 所以lnx-x2+x=- #. 又-1<-sinx<1,所以a>1. 所以lnx-2+- 即实数a的取值范围是[1,+). 2=. 3.由题意得对任意xeR.e”*}-x>log。a恒成立, 7 令(x)=lnx-2+- 设/(x)=-x/'(x)=e*-1. 令/'(x)=-1>0,解得x>-2. -(4x+1)(x-2) 2 2x 令f'(x)=*2-1<0,解得x<-2, 所以当xe[1.3]时,h'(x),h(x)随x的变化情况如表; 则/(x)在(-x,-2)上单调递减, ,。 [1.2) 在(-2,+)上单调递增, (23] 故f(x)=f(-2)=3,所以loga<3,解得0<a 8$ h'(x) x 0 4.当x=0时f(0)=-f'(0)-f(0). (x) 单调逃增 极大值 单调减 所以/(0)--/'(0), (1)= 又/'(x)=3x}-2/'(0)x+(0)-1. 所以(x)e [.1n2+3]. 则/(0)-'(0)-1,解得/'(0)--2, 所以b的取值范围为[,1n2+3]. 由定义可知,linmf(-A)-/(0)]--2/'(0)=4. 19.(1)解:f(x)=3*,定义域为R.则/(x)=3·ln3是在 △r $$5. $'(xt =3x-12=3($+2) (-2).当-3$ -$ R上的严格单调递增函数,则f(x)=3*是“T函数”; .(x)=x,定义域为B,则/(x)=3x不是在R上的严$ 或2<x<3时Jf'(x)>0.f(x)单调递增;当-2<x<2时 格单调递增函数,则f(x)=x*不是“T函数” f'(x)<0Jf(x)单调递减.所以f(x)的最值分别是f(-3) f$-2)f(2)f(3)中的最小者和最大者,所以M=24.m= (2)证明:由题可得g(x)在(0.+)上严格单调递增 设G(x)=g(x+1)-g(x). -8.M-m=32. 则G(x)=g'(x+1)-g(x)>0. 6.由题图/'(x)为奇函数,可知/(x)为偶函数,故可排除 (B),(C); 故G(x)在(0.+)上单调递增,故G(a)<G(a+2). 对于(A),当x→0时f'(x)=(e-e”)x2}+2(e+e”) 即g(a+1)-g(a)<g(a+3)-g(a+2). >0.与/(x)的图象不符,排除(A); (3)证明:由题可得F(x)在R上严格单调递增 VxsR.设G(x)=F(x)-F'(xo)x. 则G'(x)=F'(x)-F'(xo). 当xE(-,x)时,G(x)<0,函数单调递减 当xE(x,+)时,G’(x) 0,函数单调递增 的图象(图略)可知,-xoe(,),使得x。=sinxo,当x 故G(x)三G(xo). 即F(x)=F(xo)x+F(xo)-F'(xo)x。, e(0.x)时/'(x)<0,当x。E(x,+)时/'(x)>0.与 当x<0时,F(x)<0恒成立. /'(x)的图象相符,(D)正确.故选(D). 则F(xo)x+F(xo)-F’(xo)xo<0恒成立 故F(xo)三0. 若存在1eR.使F'(t)=0. 所以函数f(x)定义域为(0,+x). 高中数学人教A版选择性必修第二册 第25~28期 故选(A)(C). 11./(x)----2 -(x+1)(x-2) 由题意得方程f'(x)=0.即a -3x+1=0有两个不相 。 。 等的正根,设为x,x, 当x<-1或x>2时f'(x)<0. △=9-4a0. 当-1<x<2时,/(x)>0. 即函数f(x)在(-,-1).(2,+)上单调递减,在 则x:+x:= 4 1,0. (-1.2)上单调递增. x.x:三 因此函数/(x)在x=-1处取得极小值/(-1)=-e,在 即a的取值范围为(o.). x=2处取得极大值/(2)= 由(A)作出曲线y=f(x)及直线y=k,如图1. 8.原不等式等价于ef(x)-e>5=^f(0)-e*. _/()y 可构造函数g(x)=ef(x)-e',其导数 g'(x)=ef'(x)+e'f(x)-e& =ef'(x)+f(x)-1]. 因为f'(x)>1-f(x),即f(x)+f(x)-1>0. _ 所以g(x)=e’/'(x)+/(x)-1]>0. 即g(x)=e*f(x)-e*在R上是增函数. 图: 所以ef(x)-e'>5=ef(0)-e*g(x)>g(0). 要使方程f(x)三人有且只有两个实根。 可得x>0.即原不等式的解集为(0,+x). 观察图象得当-e<:<0时, 二、多项选择题 直线y=k与曲线y=/(x)有2个交点 9.ACD; 10.AC; 11.ACD. 所以方程/(x)三&有且只有两个实根, 提示: 则^的取值范围为(-e.0],故(B)错误; 9./(1)=g(1)=0,故(A)正确; 由/(x)=0得x*+x-1=0.解得x--1 /'(1)=2,g’(1)=1.故(B)错误; 2. /'(x)=2xeR.g'(x)-1e(0.+).存在/'(1)= 令/(x)=t.则/(t)=-1. 结合图象方程/(1)=-1有两解 8().故曲线/(x)--1与曲线g(x)=lnx存在互相 -1-5 <.<-1.1=0. 2 平行的切线,故(C)正确; 所以/(x)=1.或/(x)=t. 令f(x)=f(x)-g(x),则F'(x)=2x-,故F(x)在 因为1+52e,所以-1- -e. (0). )上单减,在({,) 上单调增,而#(^}) 所以方程/(x)三1有两解; 又因为t=0,结合图象可知/(x)三t:也有两解. 综上,方程/(f(x))三-1共有4个根,故(C)正确; 有两个零点,即曲线f(x)=x2-1与曲线g(x)=lnx有两个 因为/(2)=- 交点,故(D)正确. 结合图象知/<2, 故选(A)(C)(D). 所以/的最大值为2,故(D)正确 10.f(x)=xln(1+x),定义域为(-1,+). 故选(A)(C)(D). 三、填空题 12.(0.3); 13.[);14.[30) r41 上单调递增,故y=/'(x)也在(-I,+)上单调递增,又 提示: /'(0)=0,故当xE(-1.0)时/'(x)<0f(x)单调递减; 12.函数/(x)的定义域为(0,+x). --2--3.(-3)(x+1). 当xE(0,+)时/(x)>0. /'(x)=:-2-3 /(x)单调递增,故(A)正确; 由/'(x)=0得x=3,由/'(x)<0得0<x<3. 由(A)知f(x)在(-1.0)上单调递减,在(0,+x)上单 所以/(x)在区间(0,3)上单调递减. 调递增,又/(0)=0.故/(x)只有一个零点,故(B)错误 (-)=1-1=-1-1n2. 13.因为y'=-2x+1+3=(x-1)+3=3. 所以曲线上点P处的切线的斜率的取值范围为[3 根据导数几何意义可知(C)正确: +),即tana三/3. f(x)的定义域为(-1,+x),不关于原点对称,故f(x) 又ae[0.n),所以a的取值范围是[.). 是非奇非偶函数,故(D)错误 高中数学人教A版选择性必修第二册 第25~28期 14.由题得(x)=- 当$x<-1时,g(x)=(-4x+1)e*0. 当x→+x时,g(x)→+×。 两个不同的零点, -10 3 则直线y=m与函数v=F(x)在区间[0.3]上的图象有 y-g(x) 两个交点, F$($x)=-x+x+2=-(x-2)(x+1). --2-...-. 令F'(x)=0,可得x=2e[0.3],列表如下; , 图3 [0.2) 2 (2.3] F'(x) 0 结合图象,g(x)与y=a有三个交点; 即o<a<6e,故实数a的取值范围是(0.). F(x) , {极大值_0 17.解:由题可得/'(x)-6x2-2ax, F(0)=0.F(3)= 当x<或x>0时J'(tx)>0; =n _F() 当<x<0时J'(t)<0. 所以当x=3时/(x)取得极大值, 11()-# 图2 又f(t)=2x-ax=- 直线v=m与函数y=F(x)在区间[0.3]上的图象有两 即(x-)(2x+)-0, 个交点, 3). 因此实数n的取值范围是 四、解答题 因为/(x)在(.)上有最大值, 15.解:(1)/'(x)=3x+2ax+b. 由题可得/(1)=3+2a8. /(1)=a+6+3=8-2, 解得a=2,b=1. 解得a<-4.所以a的取值范围是(-x,-4]. (2)由(1)知/(x)=+2x+x+2 18.解:(1)当“如意金箍棒”变化到x秒时, f'(x)=3x+4x+1=(3x+1)(x+1). 其底面半径为(10-x)cm,长度为(1+40x)em. 则/(x)=n(10-x)(1+40x),且4<10-x 10$ 即0<x<6. 所以在(-x,-1)上/'(x)>0./(x)单调递增 所以f'(x)=-2(10-x)(/+40x)+40(10-x 在(-1-) =2rm(x-10)(60x+I-200). 上/’(x)<0/(x)单调递减, 当10-x=8.即x=2(秒)时f(x)取得极大值 在(-,*)上/'(t)>0J(t)单调递增, 所以f'(2)=0.即2-(2-10)(60×2+/-2200)=0. 解得/=80(cm). 所以/(x)大n=f(-1)=2. 所以f(x)=40n(x-10)(x+2),且其定义域为[0,6]. ()()分 (2)由(1)得/'(x)=120n(x-10)(x-2),0<x6 所以当0<x<2时f(x)>0; 16.解:令g(x)=(x2-4x+1)e*. 当2<x<6时/(x)<0. f(x)有三个零点即g(x)与y=a的图象有三个交点 所以f(x)在(0.2)上为增函数,在(2.6)上为减函数 g$(x)= (*-2x-3)= (x-3)(t+1). 则f(x)的最小值为/(0)或f(6). 当x>3,或x<-1时,g(x) 0. 又/(0)=8000n(cm)f(6)=5 120n(cm). 当-1<x<3时,g(x)<0. 所以当x=6(秒)时,“如意金箍棒”体积最小, 所以g(x)在(-x,-1)和(3,+x)上单调递增. 此时“如意金箍棒”的底面半径为10-6=4(cm). 在(-1,3)上单调递减, 19.解:(1)函数f(x)=lnx在(0.1)上是增函数. g(x)的极大值为g(-1)=6e-. 极小值为g(3)--2e 。2 高中数学人教A版选择性必修第二册 第25~28期 所以当xe(0.1)时,F”(x)>0 5.将等差数列记为a。. 所以F(x)在(0.1)上为增函数, 其中第n节的容积为a.(1<n<9,neN.). 所以函数f(x)在(0,1)上不是“单反减函数”. 因为[S=4, 所以[4+6d=4. (2)因为g(x)=2x+2+alnx la.+a.+a。=6, la.+7d=2. [a= 8 2x+ax-2 所以g(x)= 所以 d= 2 因为函数g(x)是[1,+×)上的“单反减函数”. 11. 所以g(x)在[1,+×)上是增函数, 所以a.=a.+4d= 所以g'(x)>0在[1,+x)上恒成立, 令h(x)=2x2+ax-2. 6.由f(x)=(x-1)(x-2)得f'(x) =(x-2)+2(x 则h(x)>0在[1,+)上恒成立. -1)(x-2)=(x-2)(3x-4). 令/'(x)>得x→2或x<,令/’(x)<得<x rh(1)>0. 所以 #17## 解得a>0. <2.所以/()在[0.,) 和(2.3]上单调递增,在(4,2) 令c(x)&(x) 上单调递减. 又/(0) =-4f(2) =0,所以/f(x)=(x-1)(x-2)在$$ 2 。 [0,3]上的最小值为-4. a(1-lnx) 7.令g(x)-(x),则g'(x)-((x)-/(t) 又G”()=-4 e{ 所以G’(x)<0在[1,+)上恒成立, 因为/(x)-f(x)<0. 4.a(1-lnx) <0在[1,+x)上恒成立, 即二 所以g'(x)<0.g(x)在B上递减. 1 因为/(1)-e.所以g(1)-f(1)-1. 即ax-axlnx-4<0在[1,+×)上恒成立. f 令P(x)=ax-axlnx-4,则P'(x)=-alnx. 因为不等式/(lnx)>x.x>0. 所以g(lnx)/(lnx)(lnx)1=g(1), 所以有[=0. P(1)<0. 解得0三a三4, ,←: r 所以lnx<1,解得o<x<e. 综上,实数a的取值范围为[0.4]. 故不等式f(lnx)>x的解集是(0.e). 第28期 8.设该数列为a. ,则由a-a,=2-1=1,a-a= 核心素养阶段测评(五) $$ -$ =3,a-= 10-5=5,$-=1 7-10 =7...$ 一、单项选择题 可知该数列逐项之差构成的数列b 成等差数列,首项 1~4 BABD 5~8 CBBC 为1,公差为2,故b.=1+2(n-1)=2n-1.故a. ì-a。= 提示: b.=2n-1,则a-a.=1,a-a:=3,a.-a.=5,.,a。- $./'(x)=3x}+2mx,由f'(-1)=f(1)得3-2m= a-=2n-3,上述n-1个式子相加,得a.-a.=1+3+5+ ...t(2n-3)-(n-1)(1+2n-3) +m+5,即m=-1f(1)=3+2m=3-2=1. =(n-1)?(n>2).即 2 2.因为a.+a=q(a:+a),所以q= 2 a.=(n-1)*+a.=(n-1)+1(n>2). 故a=19+1=362. 二、多项选择题 9.ABC; 10.ABD; 由a。=a9*-1=1得n=6. 11.ABD. 3.由等比数列a. 的前n项和的性质可得 提示: S。.S-S。,S-S。也成等比数列. 9.根据等差数列的性质,若S.-S.=4(a.+a)=0.则 所以(S.-S。)=So。x(S。-So). 14(a.+au)-7(a+ax)=0.故(A)正确; a.+a:=0,S= 得(10-20)=20x(S。-10),解得S。=15. 2 4.f'(x)=x2+4x+3,令x2+4x+3=0.可得x=-3或 由(A)及结合首项a.>0.可得a>0.a<0.d<0,所以s. 是最大值,故(B)正确;若S。>S,则a。<0,那么d<0.所以 x=-1.经分析可知,它们是函数/(x)的极值点. a。<0,所以S >S.,S。-S.=a.+a.+a。=3as<0,即S 由直线y=a与函数/(x)= >S。,故(C)正确.(D)错误 相切,可知它们只有在极值点所对应的点处相切,由x三-3或 故选(A)(B)(C). l0.令g(x)=xf(x),则g’(x)=f(x)+xf'(x)>0 即函数g(x)在定义域内是单调递增函数 故实数a的值为1或- 称函数y=/(x)为“F函数” f(x)=c’,g(x)=xf(t)=xe'(x ER). 高中数学人教A版选择性必修第二册 第25~28期 g'(x)=e'+xe'=(x+1)e. 当x>-1时,g’(x)>0,g(x)单调递增 #))() 当x<-1时,g’(x)<0.g(x)单调递减. 不符合在定义域内是单调递增函数 则函数f(x)=e不是“F函数”,故(A)正确; =(n-1)+(n-2)+...+1+1 -(n-1)1--+2(n=2), f(x)=lnx,g(x)=xf(x)=xlnx(x0). 2 g(x)=Inx+1. 2 即a。=- 2 当0<x<1时,g'(x)<0.g(x)单调递减, -(n=2), 司 当x>士时,g(x)>0,g(x)单调递增, 当n=1时,a.=1适合此式, 不符合在定义域内是单调递增函数 n-n+2 则函数f(x)=lnx不是“F函数”,故(B)正确; _t. f$(x)=x2},g(x)=xf(x)=x'(xeR). g'(x)=3x2=0. 所以m=3+In/,n=2e-. 所以g(x)单调递增. 即n-m=2e-3-ln1, 则函数f(x)三x*是“F函数”,故(C)错误 /(x) =sinx,g(x)=xf(x)=xsinx(xER). g(x)=sinx+xcosx. 当<x< 当0 不符合在定义域内是单调递增函数. 则函数/(x)=sinx不是“F函数”,故(D)正确 故选(A)(B)(D). (“in)“-1.所以Tio= 所以bnt) _“() 11.若a=",则a.a.t=( =ln2-1. (aa)·(aa)..(asoaoo)=1*=1,故(A)正确; 即n-m的最小值为ln2-1. (sin吾)*=()*,所以 四、解答题 1$5.解:因为a. =(A-3)a.+2*(neN.)及a.=2. ()“ a. =~1. ()-故(B)正确: . 所以a。= -2 因为aa..三(sina)”,所以a2=(sina)",所以 “-sina<1.又因为数列la.l各项均为正数,所以a. (2)不存在.因为a.=2,. =(A-3)a.+2”,所以a= . $$$-3) +2=2 -4=(-3) +4=2 A-10+1 $6 a。,即a.:<a-:,故不存在a及正整数k,使得a:>a-, 若数列la. 为等差数列,则a.+a。=2a,即2+2x}-10A+ 故(C)错误; $6 =2(2A-4),所以A-7$+13=0.因为A=49-4$ $3 若a 为等比数列,设其公比为q(q>0). <0.所以方程无实数解,所以A不存在.即不存在A,使数列 则a.a.三aq.aq"= a.为等差数列. # 16.解:(1)设需要新建a个桥墩, =I. (n+1)x=m.即n-"-1. 则a.=sinā,故(D)正确. 所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+x) 故选(A)(B)(D). -=256(--1)+”(2+) 三、填空题 2 256mm+2m-256. 14.ln2-1. 即y= 。 提示: (2)由(1)知. [a(2”-1)=93. 12.由题得 整理得d=3. la.·2*=48. 12=32, 解得n=5. 令/'(x)-0,得x-512,所以x-64. 当0<x<64时f’(x)<0f(x)在(0,64)内为减函数; a. 当64<x<640时f'(x)>0f(x)在(64,640)内为增函数 高中数学人教A版选择性必修第二册 第25~28期 所以/(x)在x=64处取得最小值. 1<0.所以f'(x)>0,所以2不是f(x)的极小值点 综上,a的取值范围是(,+). 64 故需新建9个桥墩才能使y最小 19.解;f'(x) =3x2+2bx-9./”(x)=6x+ b. $7.解:(1)当n=k.k=N.时, 由题意得/”(-1)=0.即-6+2b=0.解得$=3.$ 8.=- 且/(-1)=10.即(-1)+3x(-1)+9+a=10 解得a=-1, 即8=8.=-- 故/()=+3x -9x-1. 所以/'(x) =3x2+6x-9=3(x-1)(x+3).$ 故^=16,因此h=4. 令/'(x)>0得x>1或x<-3. 从而a.=S.-S.:= #2~n(n>2). 9 令/'(x)<0得-3<x<1. 9 又a=S= 故f(x)在(-*,-3),(1,+)上单调递增 2-n. 在(-3,1)上单调递减, 9 所以a.三 _n. 故/(x)在x三-3处取得极大值. 2 在x=1处取得极小值 9-2a. n (2)设6= 故极大值为/(-3)=-27+27+27-1=26 2_. 极小值为/(1)=1+3-9-1=-6. T. =b+b+..+b. =1+ 2 因为m>0.mx>0.故x>0. 2 3 即g(x)的定义域为(0,+x). 2~ 所以T.=2T.-T. m' 2 g”(x)=12mx+6+12+2[6ln(mx)-15] =12mx+12ln(mx)-12 1 71 2-2- 令g”(x)=0得mx-1+ln(mx)=0. 令h(x)=x+lnx-1,x 0. 18.解:(1)因为f(x)=[ax②}-(4a+1)x+4a+3]e. 则'(x)-1+>0在(0,+×)上恒成立, 所以f'(x)=[2ax-(4a+1)]e+[ax2-(4a+1)x+ 4a+3]e=[ax-(2a+1)x+2]e*. 故h(x)=x+lnx-1在(0,+x)上单调递增, f'(1)=(1-a)e. 又h(1)=0,由零点存在性定理知 由题设知/'(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1. h(x)=x+lnx-1有唯一的零点x=1. 此时/(1)=3e≠0,所以a=1. 1时,满足mx-1+ln(mx)=0. (2)由(1)得/'(x)=[ax}-(2a+1)x+2]e 故mx=1,即x= m =(ax-1)(x-2)e. 若→,则当x(,2)#)(x)<o; -21=1 故g(t)的拐点为(,1). 当x=(2,+x)时/(x)>0. 所以f(x)在x=2处取得极小值 -10书 一、“极值点动，区间定”下的最值问题 例１已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋１－ｘａｘ，其中ａ为 大于零的常数．求函数 ｆ（ｘ）在区间［１，２］上的 最小值． 解析：令ｆ′（ｘ）＝ａｘ－１ ａｘ２ ＝０，解得ｘ＝１ａ， 当０＜ｘ＜１ａ时，ｆ′（ｘ）＜０，故函数ｆ（ｘ）在 ０，１( )ａ上是单调递减函数； 当 ｘ＞１ａ时，ｆ′（ｘ）＞０，故函数 ｆ（ｘ）在 １ ａ，＋( )∞ 上是单调递增函数； 所以函数ｆ（ｘ）在ｘ＝１ａ处取得极小值． ｆ１( )ａ ＝ｌｎ １ ａ＋ １－１ａ ａ×１ａ ＝１－１ａ－ｌｎａ． 画出函数的草图如图１． ａ．当１≤ １ａ≤２，即 １ ２≤ａ≤１时，如图２， ｆ（ｘ）在区间［１，２］上的最小值即为极小值， 所以ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ｆ １( )ａ ＝１－ １ ａ－ｌｎａ； ｂ．当１ａ＞２，即０＜ａ＜ １ ２时，如图３， ｆ（ｘ）在区间［１，２］上是减函数， 所以ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ｆ（２）＝ｌｎ２－ １ ２ａ； ｃ．当１ａ＜１，即ａ＞１时，如图４， ｆ（ｘ）在区间［１，２］上是增函数， 所以ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ｆ（１）＝０． 综上， ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｌｎ２－１２ａ，　　０＜ａ＜ １ ２， １－１ａ－ｌｎａ， １ ２≤ａ≤１， ０， ａ＞１      ． 二、“极值点定，区间动”下的最值问题 例２已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ－２）２＋１，ｘ∈Ｒ． （１）求函数ｆ（ｘ）的极值； （２）讨论函数ｆ（ｘ）在区间［ｔ，ｔ＋２］上的最 大值． 解析：（１）因为ｆ′（ｘ）＝３ｘ２－８ｘ＋４＝（３ｘ －２）（ｘ－２）， 所以 函 数 ｆ（ｘ）的 单 调 递 增 区 间 为 －∞，２( )３ 和（２，＋∞），ｆ（ｘ）的单调递减区间 为 ２ ３，( )２， 所以ｘ＝２３为ｆ（ｘ）的极大值点，极大值为 ｆ２( )３ ＝ ５９ ２７；ｘ＝２为ｆ（ｘ）的极小值点，极小值为 ｆ（２）＝１． （２）ａ．当ｔ＋２＜２３，即 ｔ＜－ ４ ３时，函数 ｆ（ｘ）在区间［ｔ，ｔ＋２］上递增，如图５， 所以ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ｆ（ｔ＋２）＝ｔ ３＋２ｔ２＋１； ｂ．当ｔ≤ ２３≤ ｔ＋２， 即 －４３≤ｔ≤ ２ ３时，函数 ｆ（ｘ）在区间 ｔ，２[ )３ 上递 增，在区间 ２ ３，ｔ＋[ ]２上递减，如图 ６，所以 ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ｆ ２( )３ ＝ ５９ ２７． ｃ．当 ｔ＞２３时，ｆ（ｘ）ｍａｘ ＝ｍａｘ｛ｆ（ｔ），ｆ（ｔ＋ ２）｝，如图７， 令ｆ（ｔ）≥ｆ（ｔ＋２），则ｔ（ｔ－２）２≥（ｔ＋２）ｔ２， 解得０≤ｔ≤ ２３， 所以当ｔ＞２３时，ｆ（ｔ）＜ｆ（ｔ＋２）， 即ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ｆ（ｔ＋２）＝ｔ ３＋２ｔ２＋１， 综上， ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ ｔ３＋２ｔ２＋１，ｔ＜－４３，或ｔ＞ ２ ３， ５９ ２７， － ４ ３≤ｔ≤ ２ ３ { ． 书书书 １７． （１５ 分 ） 某 品 牌 汽 车 准 备 在 一 次 车 展 过 程 中 给 顾 客 免 费 发 放 冰 淇 淋 ，现 欲 从 源 头 工 厂 批 发 进 购 冰 淇 淋 ． 已 知 该 工 厂 在 这 笔 订 单 中 的 固 定 成 本 为 ２ 万 元 ，生 产 的 最 大 上 限 是 ８ 万 个 ，另 外 ，每 生 产 １ 万 个 冰 淇 淋 成 本 会 增 加 ０．５ 万 元 ，每 ｘ 万 个 冰 淇 淋 的 销 售 额 ｆ （ｘ） 满 足 关 系 式 ｆ （ｘ） ＝ － ｘ ３２ ＋ ９４ ａｘ ２ ＋ ｘ２ （ 单 位 ： 万 元 ， 其 中 ａ 是 常 数 ）．若 该 工 厂 卖 出 ２ 万 个 冰 淇 淋 的 利 润 是 １２ 万 元 ． （１） 设 卖 出 ｘ 万 个 冰 淇 淋 的 利 润 为 ｇ（ｘ） （ 单 位 ：万 元 ） ，求 ｇ（ｘ） 的 解 析 式 ；（ ２ ） 这 笔 订 单 的 销 售 量 为 多 少 时 这 家 工 厂 的 利 润 最 大 ？ 并 求 出 利 润 的 最 大 值 ． １８． （１７ 分 ） 已 知 函 数 ｆ （ｘ） ＝ ｌｎ （ｘ ＋ ａ ） － ｘ ２ ＋ ｘ， 且 ｆ （ｘ） 在 ｘ ＝ １ 处 取 得 极 值 ． （１ ） 求 实 数 ａ 的 值 ； （２ ） 若 关 于 ｘ 的 方 程 ｆ （ｘ） ＝ － ５２ ｘ ＋ ｂ 在 区 间 ［１ ，３ ］ 上 有 解 ，求 ｂ 的 取 值 范 围 ． １９． （１７ 分 ） 若 定 义 域 为 Ｄ 的 函 数 ｙ ＝ ｆ （ｘ） 使 得 ｙ ＝ ｆ′（ｘ） 是 定 义 域 为 Ｄ 的 严 格 增 函 数 ，则 称 ｆ （ｘ） 是 一 个 “Ｔ 函 数 ”． （１） 分 别 判 断 ｆ１ （ｘ） ＝ ３ ｘ，ｆ２ （ｘ） ＝ ｘ ３ 是 否 为 Ｔ 函 数 ，并 说 明 理 由 ； （ ２ ） 已 知 常 数 ａ ＞ ０ ，若 定 义 在 （０ ， ＋ ∞ ） 上 的 函 数 ｙ ＝ ｇ （ｘ） 是 Ｔ 函 数 ，证 明 ：ｇ （ａ ＋ １ ） － ｇ （ａ ） ＜ ｇ （ａ ＋ ３ ） － ｇ （ａ ＋ ２ ） ； （３ ） 已 知 Ｔ 函 数 ｙ ＝ Ｆ （ｘ） 的 定 义 域 为 Ｒ ，不 等 式 Ｆ （ｘ） ＜ ０ 的 解 集 为 （ － ∞ ，０ ）．证 明 ：Ｆ （ｘ） 在 Ｒ 上 严 格 增 ． !"#$%&'()*+,-./0 ! 12!"#$%&'( !"3$4&'(5*+,-678 ! 92!")$%&'( : ; < = > ? @ !"#$%&'()* +,%&-./012' !"#$%#&'$&() +,34-./012' *"#$+#&'$!"# 书 如果原函数在定义域内可导，则原函数的图 象ｆ（ｘ）与其导函数ｆ′（ｘ）的图象有密切的关系． １．导函数ｆ′（ｘ）在ｘ轴上、下方的图象与原 函数图象上升、下降的对应关系： （１）若导函数ｆ′（ｘ）在区间Ｄ上恒有ｆ′（ｘ） ＞０，则ｆ（ｘ）在区间Ｄ上为增函数，由此进一步 得到导函数ｆ′（ｘ）在 ｘ轴上方的图象所对应的 区间Ｄ为原函数图象中的上升区间Ｄ； （２）若导函数ｆ′（ｘ）在区间Ｄ上恒有ｆ′（ｘ） ＜０，则ｆ（ｘ）在区间Ｄ上为减函数，由此进一步 得到导函数ｆ′（ｘ）在 ｘ轴下方的图象所对应的 区间Ｄ为原函数图象中的下降区间Ｄ． ２．导函数ｆ′（ｘ）图象的零点与原函数图象 的极值点的对应关系： 如果在零点的左侧为正，右侧为负，则导函 数的零点为原函数的极大值点；如果在零点的 左侧为负，右侧为正，则导函数的零点为原函数 的极小值点． 一、根据ｆ（ｘ）的图象确定ｆ′（ｘ）的图象 例１如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象如图１所示， 那么导函数ｙ＝ｆ′（ｘ）的图象可能是 （　　） 分析：根据原函数 ｙ＝ｆ（ｘ）的图象可知， ｆ（ｘ）有两个上升区间，有两个下降区间，且从左 到右，第一部分为上升区间，然后相间出现，反 映在导函数图象上就是有两部分图象在 ｘ轴的 上方，有两部分图象在 ｘ轴的下方，且第一部分 在ｘ轴上方，然后相间出现． 解：由原函数的单调性可以得到导函数的 正负情况依次是正 → 负 → 正 → 负，只有选项 （Ａ）满足． 点评：本题观察图象时主要从两个方面下 手：（１）观察原函数 ｆ（ｘ）图象的上升区间及下 降区间；（２）观察导函数ｆ′（ｘ）的图象在哪些区 间大于零，在哪些区间小于零． 二、根据函数ｆ′（ｘ）的图象确定ｆ（ｘ）的图象 例２设 ｆ′（ｘ）是函数 ｆ（ｘ）的导函数，ｙ＝ ｆ′（ｘ）的图象如图２所示，则ｙ＝ｆ（ｘ）的图象最有 可能是 （　　） 分析：先观察所给出的导函数ｙ＝ｆ′（ｘ）的 图象的正负区间，再观察所给的选项的增减区 间，二者结合起来即可做出正确的选择．本题还 可以通过确定导函数 ｙ＝ｆ′（ｘ）的图象零点对 应原函数的极大值或极小值点来判断图象． 解法１：由ｙ＝ｆ′（ｘ）的图象可以清晰地看 出，当ｘ∈（０，２）时，ｆ′（ｘ）＜０，则ｆ（ｘ）为减函 数，只有（Ｃ）项符合，故选（Ｃ）． 解法２：在导函数ｆ′（ｘ）的图象中，零点０的 左侧函数值为正，右侧为负，由此可知原函数 ｆ（ｘ）在ｘ＝０时取得极大值．又零点２的左侧为 负，右侧为正，由此可知原函数ｆ（ｘ）在ｘ＝２时 取得极小值，只有选项（Ｃ）符合，故选（Ｃ）． 点评：（１）导函数值的符号决定原函数的单 调性，导函数的零点确定原函数的极值点；（２） 导函数的增减性与函数增减性之间没有关系， 但它刻画了函数图象上的点的切线斜率的变化 趋势． !"#$ %& , 56789:;< =: !!!"> #$%&? '@ !(ABC>D : > !" !"#$ %&'()*+&, !"#$%&' ()*+,-.$/ 012%&'(3 4 52%&673 45! 89:;"< &=>"?@ABC DEFG!H%&F IJ$K"LMNO PQ&=1R&+S TUVWX+YZ! N[=8+Q&3\ ]^C_`ab!< &cdefbg=h ij8klmn!o K"#pqrst uQ&+vw=xy z{|Y=q}Q~ CR&+€! Q&J$K"L I‚ƒ}&„… †)*!8‡ˆ‰… Š‹Œ$ŽC `= ‘’~s=“ ”SIm%&+' (•*!>_–+— ˜™=8š›œž •Ÿ= ¡‰DE+ ¢£¤¥¦+MY= F§Š¨©C%& ª«¬67­ª«® .¯ž°±²! K"#³´µ «¶·©+…"¸= ¹µ«¶ºs»¼ ½&¾+.!8¿ WX+«ÀÁÂV ÃCR&=1C&¸ +Ħ¤ÅÆ+Ç È=³ÉÊËÌ.Í Î!8+ÏÐÑ҉ ’ÓJ.=1ÔÕ% ÖÅÆ×ØÙÈ+ %&Ú[|YÛÜ! K"#=&3Ý Þ=8+§ßjàá âã=8+ÏÐjà äååÀæ! " # $ ç,è " % $ " % $ " % $ " % $ "&'ç%è ! - ç.è ç/è ç0è " % $ & ç,è $ " %$ & ç/è $ " $ ç0è $ & % $ "&' !ç%è & " % $% " $ & ç.è $ ! & ! AB C D % & & " (1& ) ( " ! ' % & & " (1& $ ( " ! # %& & " (1&$ ( " ! ( % - * ) " ! - % - * ) " ! & & - % - * ) " ! " & - % - * ) " ! 2 & $ ! EF GHI AJKLM$NO AJPM8QRSTUVWNX 3YZ[\]^9 [_`abc defghi^9jkl"#$%&'()()*m+n opqkl,%',-. 书 专项小练一、函数的单调性 １．函数ｆ（ｘ）＝２ｘ３－ａｘ２＋７的单调递减区间 是（０，２），则ａ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）６ （Ｂ）３ （Ｃ）２ （Ｄ）０ ２．（多选）函数ｙ＝ｆ（ｘ） 的部分图象如图所示，则 （　　） （Ａ）ｆ′（２）＞０ （Ｂ）ｆ′（６）＞０ （Ｃ）ｆ′（３）＞０ （Ｄ）ｆ′（３）＜０ ３．已知ａ＝ｌｎ５５，ｂ＝ ｌｎ３ ３，ｃ＝ １ ｅ则ａ，ｂ，ｃ的大 小关系为 （　　） （Ａ）ａ＜ｂ＜ｃ （Ｂ）ｃ＜ａ＜ｂ （Ｃ）ｃ＜ｂ＜ａ （Ｄ）ｂ＜ａ＜ｃ ４．若函数ｆ（ｘ）＝－１３ｘ ３＋ａｘ有三个单调区 间，则实数ａ的取值范围是 ． ５．若函数ｇ（ｘ）＝ｌｎｘ＋１２ｘ ２－（ｂ－１）ｘ存在 单调递减区间，则实数ｂ的取值范围是 ． 专项小练 二、函数的极值与最大（小）值 １．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ａｘ２＋ｂｘ－ａ２在ｘ＝ １处取得极值 －８，则ａ＝ （　　） （Ａ）－３ （Ｂ）２ （Ｃ）－２ （Ｄ）－３或２ ２．函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ＋ｘｓｉｎｘ在［０，π］上的最 大值为 （　　） （Ａ）０ （Ｂ）π４ （Ｃ） π ２ （Ｄ）π ３．（多选）已知函数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋１ｘ（ａ∈Ｒ）， 且满足ｆ′（－１）＝０，则 （　　） （Ａ）函数ｆ（ｘ）在ｘ＝１处有极大值 （Ｂ）函数ｆ（ｘ）在区间（－１，１）上是增函数 （Ｃ）函数ｆ（ｘ）在ｘ＝－１处有极大值 （Ｄ）函数 ｆ（ｘ）在区间（－∞，－１）和（１， ＋∞）上是增函数 ４．函数 ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－１３ｘ的零点个数为 ． ５．当ｘ∈［０，２］时，不等式ｘ３－ｘ２－ｘ＞ｍ恒 成立，则实数ｍ的取值范围是 ． 书 １．Ｂ；　２．Ａ；　３．ＣＤ．　４．－１；　５．槡ｅ． ６．解：（１）ｙ′＝ (６０ｃｏｓ３ｔ－π )２ ， 所以 (ｙ′ π )４ ＝６０ｃｏｓπ４ ＝ 槡３０２（ｃｍ／ｓ）． （２）令３ｔ－π２ ＝２ｋπ，解得ｔ＝ π ６＋ ２ｋπ ３，ｋ∈Ｚ， 所以最少经过 π ６ｓ该小球的瞬时速度达到最大． 一、单项选择题　１～４　ＤＤＡＣ　　５～８　ＡＤＢＡ 二、多项选择题　９．ＡＣＤ；　１０．ＡＢＣ；　１１．ＢＣＤ． 三、填空题 １２．１；　１３．４；　１４．２２０２４（ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ）． 四、解答题 １５．（１）ｙ′＝１－ｘｌｎ４ｘ ｘｅｘ ． （２）ｙ′＝（１＋２ｘ ２） １＋ｘ槡 ２ １＋ｘ２ ． （３）ｙ′＝－１２ｓｉｎ４ｘ－２ｘｃｏｓ４ｘ． １６．（１）ｆ′（１）＝－１，ｆ（ｘ）＝－ｘ２－ｘ＋２ｌｎｘ． （２）ａ＝２＋ｌｎ３． １７．（１）ｆ（１）＋ｆ′（１）＝３ａ＋１．　（２）（－∞，０）． １８．解：（１）ｆ′（ｘ）＝（ｘ２＋２ｘ）ｅｘ， 由ｆ′（ｘ）＜４ｅｘ，得ｘ２＋２ｘ－４＜０， 解得ｘ∈（－１－槡５，－１＋槡５）， 则所求不等式的解集为（－１－槡５，－１＋槡５）． （２）因为ｆ′（ｘ）＝（ｘ２＋２ｘ）ｅｘ，所以曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在 点（ｘ０，ｆ（ｘ０））处的切线方程为ｙ－ｘ ２ ０ｅ ｘ０＝（ｘ２０＋２ｘ０）ｅ ｘ０· （ｘ－ｘ０）． (将点 ２３， )０ 的坐标代入，并整理得 ｘ０ｅｘ０ (· ｘ２０ ＋ １ ３ｘ０－ )４３ ＝ １３ｘ０（ｘ０－１）（３ｘ０＋４）ｅｘ０ ＝０， 解得ｘ０ ＝０或ｘ０ ＝１或ｘ０ ＝－ ４ ３． 当ｘ０ ＝０时，切线方程为ｙ＝０； 当ｘ０＝１时，切线方程为ｙ－ｅ＝３ｅ（ｘ－１），即ｙ＝３ｅｘ －２ｅ； 当ｘ０ ＝－ ４ ３时，切线方程为ｙ－ １６ ９ｅ －４３ ＝－８９ｅ － (４３ ｘ ＋ )４３ ，即ｙ＝－８９ｅ－４３ｘ＋１６２７ｅ－４３． １９．（１）解：由题得ｙ′１＝１，ｙ′２＝ｃｏｓｘ， 因为１≥ｃｏｓｘ，所以函数ｙ１＝ｘ是函数ｙ２＝ｓｉｎｘ的“导 控函数”． （２）解：由题得ｙ′３＝２ｘ ２＋８，ｙ′４＝ｘ ２＋２ｂｘ＋ｃ，ｙ′５＝８ｘ， 由题意可得８ｘ≤ｘ２＋２ｂｘ＋ｃ≤２ｘ２＋８恒成立， 令８ｘ＝２ｘ２＋８，解得ｘ＝２， 故１６≤４＋４ｂ＋ｃ≤１６，从而有４＋４ｂ＋ｃ＝１６， 所以ｃ＝１２－４ｂ， 又２ｘ２＋８≥ｘ２＋２ｂｘ＋ｃ恒成立，即ｘ２－２ｂｘ＋８－ｃ＝ ｘ２－２ｂｘ＋４ｂ－４≥０恒成立， 所以Δ＝４ｂ２－４（４ｂ－４）＝４（ｂ－２）２≤０，所以ｂ＝２， 故ｂ＝２，ｃ＝４且“导控点”为２； （３）证明：充分性：若存在常数ｃ使得ｐ（ｘ）－ｑ（ｘ）＝ｃ 恒成立，且函数ｙ＝ｑ（ｘ）为偶函数， 则ｐ（ｘ）＝ｑ（ｘ）＋ｃ为偶函数，ｑ（ｘ）＝ｑ（－ｘ）， 则ｐ（－ｘ）＝ｑ（－ｘ）＋ｃ＝ｑ（ｘ）＋ｃ＝ｐ（ｘ）， 即ｅｘ＋ｋｅ－ｘ ＝ｅ－ｘ＋ｋｅｘ， 所以（ｋ－１）（ｅｘ－ｅ－ｘ）＝０恒成立，所以ｋ＝１； 必要性：若ｋ＝１，则ｐ（ｘ）＝ｅｘ＋ｅ－ｘ ＝ｐ（－ｘ）， 所以函数ｐ（ｘ）为偶函数， 函数ｙ＝ｐ（ｘ）是函数ｙ＝ｑ（ｘ）的“导控函数”， 因此ｐ′（ｘ）≥ｑ′（ｘ）， 又ｑ（－ｘ）＝ｑ（ｘ），ｐ（－ｘ）＝ｐ（ｘ）， 因此函数ｙ＝ｐ（－ｘ）是函数ｙ＝ｑ（－ｘ）的“导控函数”， 所以 －ｐ′（－ｘ）≥－ｑ′（－ｘ）， 即ｐ′（－ｘ）≤ｑ′（－ｘ）恒成立， 用 －ｘ代换ｘ有ｐ′（ｘ）≤ｑ′（ｘ）， 综上可知ｐ′（ｘ）＝ｑ′（ｘ），记ｈ（ｘ） ＝ｐ（ｘ）－ｑ（ｘ）， 则ｈ′（ｘ）＝ｐ′（ｘ）－ｑ′（ｘ）＝０， 因此存在常数ｃ使得ｐ（ｘ）－ｑ（ｘ） ＝ｃ恒成立， 综上，“ｋ＝１”的充要条件是“存 在常数ｃ使得 ｐ（ｘ）－ｑ（ｘ）＝ｃ恒成 立”． 书 一、函数零点的判断 例１已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３，ｇ（ｘ） 槡＝ｘ＋ｘ．求函 数ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）的零点个数，并说明理由． 解析：由ｈ（ｘ）＝ｘ３ 槡－ｘ－ ｘ， 定义域为［０，＋∞），而ｈ（０）＝０， 且ｈ（１）＝－１＜０，ｈ（２）＝６－槡２＞０， 所以ｘ＝０为ｈ（ｘ）的一个零点， 且ｈ（ｘ）在（１，２）内有零点， 因此，ｈ（ｘ）至少有两个零点． 由ｈ（ｘ）＝ｘ（ｘ２－１－ｘ－ １ ２）， 记φ（ｘ）＝ｘ２－１－ｘ－ １ ２， 则φ′（ｘ）＝２ｘ＋１２ｘ －３２． 当ｘ∈（０，＋∞）时，φ′（ｘ）＞０，从而φ（ｘ） 在（０，＋∞）上单调递增，则φ（ｘ）在（０，＋∞）内 至多只有一个零点．因此ｈ（ｘ）在（０，＋∞）内也 至多只有一个零点． 综上所述，ｈ（ｘ）有且只有两个零点． 点评：函数零点的个数即为方程ｆ（ｘ）＝０根 的个数，可转化为ｆ（ｘ）的图象与ｘ轴交点的个数 进行判断．一般地，对于三次函数ｆ（ｘ），其导函数 为ｆ′（ｘ），若方程ｆ′（ｘ）＝０无解或只有１解，则 函数ｆ（ｘ）在其定义域内是单调的，至多有１个零 点；若方程ｆ′（ｘ）＝０有两个不同的解，则函数存 在极大值Ｍ，极小值ｍ，则当ｍ＞０或Ｍ＜０时， 函数ｆ（ｘ）有一个零点；当ｍ＝０或Ｍ＝０时，函 数ｆ（ｘ）有两个零点；当 ｍ＜０， Ｍ ＞{ ０时，函数ｆ（ｘ）有 三个零点． 二、由函数零点确定参数的取值范围 例２已知函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ－２ｘ＋ａ有零点，则 ａ的取值范围是 ． 解析：由于ｆ（ｘ）＝ｅｘ－２ｘ＋ａ有零点，即ｅｘ－ ２ｘ＋ａ＝０有解，所以ａ＝－ｅｘ＋２ｘ． 令ｇ（ｘ）＝－ｅｘ＋２ｘ，则ｇ′（ｘ）＝－ｅｘ＋２． 令ｇ′（ｘ）＝－ｅｘ＋２＝０，解得ｘ＝ｌｎ２． 当ｘ∈（－∞，ｌｎ２）时，ｇ′（ｘ）＝－ｅｘ＋２＞ ０，且 ｇ（ｘ）为增函数；当 ｘ∈ （ｌｎ２，＋∞）时， ｇ′（ｘ）＝－ｅｘ＋２＜０，且ｇ（ｘ）为减函数． 所以，当ｘ＝ｌｎ２时，函数ｇ（ｘ）＝－ｅｘ＋２ｘ有 极（最）大值２ｌｎ２－２，即ｇ（ｘ）＝－ｅｘ＋２ｘ的值 域为（－∞，２ｌｎ２－２］， 所以ａ∈（－∞，２ｌｎ２－２］． 点评：本题考查导数的应用，即利用导数研 究函数图象、值域等．本题也可利用导数研究方 程的实根分布来求解． ! !"#$% ./01203 45,-678 ! * ) " # ! 9: ;<= !" !" 书书书 导 数 在 研 究 函 数 中 的 应 用 同 步 核 心 素 养 测 评 ◎ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 第 Ⅰ 卷 选 择 题 （ 共 ５８ 分 ） 一 、 单 项 选 择 题 ： 本 大 题 共 ８ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 ４０ 分 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １． 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ － １ ３ ｘ３ ＋ ｘ２ ＋ ３ｘ 的 单 调 递 增 区 间 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） （ － ３， １） （ Ｂ） （ － １， ３） （ Ｃ） （ － ∞ ， － １） 和 （ ３， ＋ ∞ ） （ Ｄ ） （ － ∞ ， － ３） 和 （ １， ＋ ∞ ） ２． 若 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ ｘ３ ＋ ａｘ ２ ＋ ６ｘ － ３ 在 Ｒ 上 存 在 极 值 ，则 正 整 数 ａ 的 最 小 值 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） ４ （ Ｂ） ５ （ Ｃ） ６ （ Ｄ ） ７ ３． 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ ｘ２ ｅｘ ＋１ ，ｘ ∈ ［ － １， ３］ 的 最 小 值 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） １ （ Ｂ） ９ｅ －４ （ Ｃ） ０ （ Ｄ ） ４ｅ －３ ４． “ ａ ＞ １２ ” 是 “ 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ ｘ３ － ａｘ 在 区 间 （ １， ２） 上 单 调 递 减 ” 的 （ 　 　 ） （ Ａ ） 充 分 不 必 要 条 件 （ Ｂ） 充 要 条 件 （ Ｃ） 必 要 不 充 分 条 件 （ Ｄ ） 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 ５． 若 关 于 ｘ 的 不 等 式 ｅｘ － ｘ － ａ ＞ ０ 恒 成 立 ，则 实 数 ａ 的 取 值 范 围 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） （ ｅ， ＋ ∞ ） （ Ｂ） （ － ∞ ，１ ） （ Ｃ） ［ １， ＋ ∞ ） （ Ｄ ） （ － ∞ ，０ ］ ６． 设 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ １ ２ ｘ２ － ９ｌ ｎ ｘ在 区 间 ［ ａ － １， ａ ＋ １］ 上 单 调 递 减 ， 则 实 数 ａ 的 取 值 范 围 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） （ － ∞ ，２ ） （ Ｂ） （ ０， ３］ （ Ｃ） （ ４， ＋ ∞ ） （ Ｄ ） （ １， ２］ ７． 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ － ２ｃ ｏｓ ｘ － ｘ， ｘ ∈ （ ０， π ） ，下 列 关 于 ｆ（ ｘ） 的 说 法 中 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） ( ｆ π ) ６ 为 极 小 值 ， ( ｆ ５ π ) ６ 为 极 小 值 （ Ｂ） ( ｆ π ) ６ 为 极 大 值 ， ( ｆ ５ π ) ６ 为 极 小 值 （ Ｃ） ( ｆ π ) ６ 为 极 大 值 ， ( ｆ ５ π ) ６ 为 极 大 值 （ Ｄ ） ( ｆ π ) ６ 为 极 小 值 ， ( ｆ ５ π ) ６ 为 极 大 值 ８． 已 知 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ ２ ｘ ，０ ＜ ｘ ＜ ａ， ｌｎ ｘ ｘ ，ｘ ≥ ａ { ， 若 ｆ（ ｘ） 在 （ ０， ＋ ∞ ） 上 单 调 递 减 ，则 实 数 ａ 的 取 值 范 围 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） ［ １， ｅ２ ］ （ Ｂ） ［ ｅ， ２ｅ ］ （ Ｃ） ［ ｅ， ｅ２ ］ （ Ｄ ） ［ ｅ， ＋ ∞ ） 二 、 多 项 选 择 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ６ 分 ， 共 １８ 分 ． ９． 已 知 函 数 ｆ（ ｘ） 的 定 义 域 是 Ｒ 且 导 函 数 为 ｆ′ （ ｘ） ，如 图 是 函 数 ｙ ＝ ｘｆ ′（ ｘ） 的 图 象 ， 则 下 列 说 法 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） 函 数 ｆ（ ｘ） 的 减 区 间 是 （ － ２， ０） ， （ ２， ＋ ∞ ） （ Ｂ） 函 数 ｆ（ ｘ） 的 减 区 间 是 （ － ∞ ， － ２） ，（ ２， ＋ ∞ ） （ Ｃ） ｘ ＝ － ２ 是 函 数 ｆ（ ｘ） 的 极 小 值 点 （ Ｄ ） ｘ ＝ ２ 是 函 数 ｆ（ ｘ） 的 极 小 值 点 １０ ．已 知 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ ｘｌ ｎ ｘ ＋ ｘ２ ，且 ｘ ０ 是 函 数 ｆ（ ｘ） 的 极 值 点 ．下 列 说 法 中 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） ｘ ０ ＞ １ ｅ （ Ｂ） ０ ＜ ｘ ０ ＜ １ ｅ （ Ｃ） ｆ（ ｘ ０ ） ＋ ｘ ０ ＜ ０ （ Ｄ ） ｆ（ ｘ ０ ） ＋ ｘ ０ ＞ ０ １１ ．已 知 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ ｘ ｅｘ ，则 下 列 说 法 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） ｆ′ （ ０） ＝ １ （ Ｂ） ｆ（ ｘ） 的 最 大 值 是 ｅ （ Ｃ） ｆ（ ｘ） ＝ １ ｅ２ 有 两 个 不 等 实 根 （ Ｄ ） ３ｅ ４ ＜ ４ｅ ３ 第 Ⅱ 卷 非 选 择 题 （ 共 ９２ 分 ） 三 、 填 空 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 １５ 分 ． １２ ．当 ｘ ＝ ０ 时 ，函 数 ｆ（ ｘ） ＝ ａｘ ＋ ｂ ｅｘ 取 得 最 小 值 １， 则 ｆ（ ｌｎ ２） ＝ ． １３ ．已 知 实 数 ａ， ｂ， ｃ， ｄ 成 等 比 数 列 ，且 曲 线 ｙ ＝ ３ｘ － ｘ３ 的 极 大 值 点 为 ｂ， 极 大 值 为 ｃ， 则 ａｄ ＝ ． １４ ．已 知 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ １ ３ ｘ３ ＋ ３ ２ ｘ２ ＋ ｃ有 ３ 个 不 同 的 零 点 ，则 ｃ的 取 值 范 围 是 ． 四 、 解 答 题 ： 本 题 共 ５ 小 题 ， 共 ７７ 分 ． １５ ．（ １３ 分 ） 已 知 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ １ ２ ｘ２ － ａｌ ｎ ｘ（ ａ ∈ Ｒ ） ， 求 ｆ（ ｘ） 的 单 调 区 间 ． １６ ．（ １５ 分 ） 已 知 ｘ ＞ ０， ０ ＜ ａ ＜ １， 证 明 ：ｘ ａ － ａｘ ≤ １ － ａ． > ? @ A # B C D E F G H I J K L ! M N ! " # $ % & ' ( > ? @ A O B C D E F G H I P K L ! M N ! " ) $ % & ' ( + , , " ! #