第30期 平面向量及其应用综合-【数理报】2024-2025学年高一数学必修第二册同步学案（人教A版2019）

高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 数理柄 答案详解 2024~2025学年高一数学人教A(必修第二册) 第27~31期(2025年1月) 第27期2版 9-16 :-748 37×√13 481 专项小练一 1.D:2.B;3.AD:4.FE.BC.CB. 第27期3.4版 5.解：由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点 平面向量的概念及运算同步核心素养测评 连成的有向线段，共有20个， 一，单项选择题 即A正，A元，A币，Ad:B,BC,Bd,BdC.CB.C元，Cd:D, 1~4 CBDB 5~8 DBCB Di,D元.Dd:0i,0i0元.0i 提示： 由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等， 1.2a+2b-30)-3a-2b-e)=-高a+7b+0 即AB=DC,AD=BC,D=CB,B=CD,A6=O元，O= 2.向量b在向量a方向上的投影向量的模为 CO.DO 0B.OD BO. 25×3×cos 又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个. 1a·b1 3 3 1a1 2 专项小练二 23 1.C;2.B:3.ABD: 3.- 2+ 动=6-a)=(市- 4.2a+7b:5.C 6.解：在矩形ABCD中，1Ad=1BC=43,1A1=8, 分=应 则1D1=√个AB12+1A012=√82+(43)2=4万. 4.a∥b(b≠0)曰存在唯一AeR,使a=Ab,故①错误； ④中当入，=A2=0时等式成立，故④错，故选(B). 因为BC=b,AB=a,Bd=c. 则a-b-c=AB-BC-B丽=AB-Ai-B 5.根据已知可得0C=0丽+配=0成+分店 =DB+D成=2DB. =0成+2(0成-0 因此，Ia-b-c1=21DB1=2×47=87. 专项小练三 =是诚-号o0-0 1.D:2.C:3.BD;4.e1+2e2:5.2. 6.由a⊥(2a+b)得a·(2a+b)=21a12+a·b= 6,解：因为记=子+子应 21a2-1a1b1=0,21a12=1a1, 所以4M元=M+3M元 所以M元-=3(M成-M心. 则=子 所以A亿=3CB 7.连接0A.因为BC=A元-AB=3AN-3A=3(0示 所以A,B,C三点共线且=4 0-3(0i-0d=3(0示-0. IBCI 所以BC.0=3(0示-0)·O 专项小练四 =3(0示.0M-1012) 1.C:2.A:3.BD:4.2:5.3n =3×(2×1×c0s120°-12) =3×(-2)=-6. 6.解：(1)因为1a+b12=a2+b2+2a·b=9+16+2 8.因为a+b与c共线，b-c与a共线. ×3×4×c0s60°=37， 所以存在实数m,n使a+b=mc,b-c=na, 所以1a+b1=√37. 即b=-a+mc,b=na+c, (2)因为1a-b12=a2+b2-2a·b=9+16-2×3× 所以-a+mc=na+c, 4×c0s60°=13. 因为a,c不共线，所以m=1,n=-1. 所以|a-b1=√13 所以b-c=-a,(b-c)2=(-a)2,所以2-2b·c=1, 所以cos9=(a+b)·(a-b) 1 l a b l l a-b l b·c=2 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 设向量b,c的夹角为9， 故选(A)(C)(D). 则1×1x0w0=7m0=70=60 1 三填空题 二，多项选择题 2-+7：14 9.BD:10.AB;11.ACD. 提示： 提示： 12.由题知2x-34- 2 b 2C+ -x+b=0 9方励=网≠尿，故(A)错误： 2 成-分而=a-动：号成：丽，枚( 所以子。 x如+2、 .1 正确： 所以动+ A-AN=N≠MN,故(C)错误： 1 13.因为a+b+2c=0, 心+B+D示=M心+DN=M,故(D)正确. 故选(B)(D). 所以c=-(a+b), 10.因为1a1=1b1=1且1b-2a1=5, 所以(b-2a)2=b2-4a·b+4a2=1-4a·b+4=3, 两边平方得号=[-(a+b)]2=d+公+2ab, 所以a:b= 因为a,b,c均是单位向量， 所以1a+b1=√(a+b)=a+2a·b+b= 所以子=1+1+2ab,所以b=-冬，所以1a-b12= √个+1+1=3，故(A)正确： d+-2ab=1+1-2×(）- a在a+b上的投影向量的模长为。4P。心合 所以1。-61= 立：故正确 14.I a+abl=a'+2a.b+'b =1+4Ac0s0+4A2 因为1a-Ab12=a2-2Aa·b+A2b2=X2-A+1 =4(+A0+2.）+ 4 4， =4(A+s0)2 +1-cos20 所1。-a1≥号>号 2 sin0, 即不存在AeR使得1a一A01=号故(C)错误： 当入=-cos9时，1a+Ab1m=sin0l, 2 当A=-1时，a-Ab=a+b, 此时a-Ab与a+b的夹角为0，不是锐角，故(D)错误 A=-cos0-c0s0<0, 2 故选(A)(B). 11.如图1,20+3(0+A)+4(0+AC=90+3A应 因为1a+A61一=宁所以1血01=宁 +4花=0.则0=号店+号花，(A)正确： 因为0e0,司所以血0=之 若0币=20,0=30丽，0示=40元， 所以0：君或0：名 则0i+0呢+0=0. 所以O是△DEF的重心，直线AO过 因为0s0<0,所以0=5西 6 EF的中点， 四、解答题 而EF与BC不平行，所以直线AO不 15.解：因为a+3h与2a+h共线， 过BC边的中点，(B)错误： 所以存在实数入，使a+3b=A(2a+b), 又SawE=SAr=SAF, 即(k-2A)a=(Ak-3)b. 而SawE=6SA8,S△r=12S△c, 所以Sae:Same=2:1,(C)正确： 由于a,b不共线，所以-21=0=站=±6. 1Ak-3=0 若101=10店1=10元=1. 即实数k的值为6或-6. 且160心=(20+30)2=40办+120.0元+902 16.(1)证明：如图2,0成+0元= 所以0,0成=子 20元.0+0元=20正. 而0元.=-子(20+30成·(0成-0d=4(20 因为0+20B+30元=(0+ B4 +0成.0话-30成)=-。(D)正确 0元)+2(0房+0元=2(0呢+20元 图2 =0,即20i+0正=0， 2 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 所以0币与0正共线. 解得t=3,所以△ABC的边长为3. 又0i与0E有公共点O,所以D,E,0三点共线 19.(1)证明：因为e1,e2分别为Ox,Oy正方向上的单位向 量，且夹角为60°， (2)解：由(1)知210品1=10正1. 所以5e=2Se=2×号5ae 所以6=1e,161s60=分 2x号x 所以x1,少}·，J2 =(xe1+ye2）·(xe,+3e2) 所以业= =xei+ye1·e2+y1e1·e2+y1e SaAoc =1612+之+之+16 17.解：(1)由题意知1a+b12=a2+2a·b+b2=12, 1 又1a1=2,Ib1=4, =++2(xh+) 所以a·b=-4, (2)解：因为向量a,b的“@未来坐标”分别为{sinx,I|, 由(2a-b)⊥(ha+b)得(2a-b)·(a+b)=0, c0sx,1【, 即2ha2+2a·b-2a·b-kb2=0. 所以f八x)=a·b=(sin xe1+e2)·(cos xe,+e,) 所以8k-8+4-16k=0, =sin xcos xei+sin xe1·e+cos xe1·e:+e 解得k=1±3. 1 (2)a·(3a+b)=3a2+a·b=8. sin xcosx++(sin x +cosx), 13a+b1=V9a+6a·b+b=27, 设a与3a+b的夹角为8， 令1=in+esx=2sim(x+平）： 则w0…02x2万 8 27 则snos=之(r-). 所以a与0+b的夹角的余弦值为2识 因为x∈R,所以-2≤2in(x+4）≤2， 即-反≤t≤迈. 18.解：(1)因为MN∥BC, 所以示=-矿=b-子a 令g)=2+1+1(-2≤1≤2 正=子动：安(+心=名+女b 因为对称轴为1=~子，函数图象开口向上， (2)(i)设A=xAC,因为M,E,N三点共线， 所以当1=-子时，g)取得最小值(-）=方× 所以存在唯一的实数A,使得M正=入M示 所以A正-A=A(AN-A, (4-+1= 即AE=(1-A)A+AAN 当1=万时，g0)取得最大值g(万)=之×(2+万+) 所以症=I,AA店+AAC, 2 =3+2 2 即花=之a+A边 由()可得正=文a+名动， 所以八)的最小值为令，最大值为3士三 第28期2版 2会=g,且=令 专项小练一 解得A=子=右 1 kc:2.BcD:3D:4:5号a- 所以不：石花 专项小练二 m=不-丽=名花-号=名b-之a 1.C:2.:3AGD:4(6,4:5-0 专项小练三 (i)由亦=名0-0=右(-3a+b).正=ga+ 1.B:2.A:3BD:4号5-分 专0=名a+).正=-6得。 第28期3,4版 名(-a+b)·ga+)=-0 平面向量的基本定理及坐标表示同步核心素养测评 即点-30+粉-2a)=-6 一、单项选择题 1~4 DBBB 5~8 BBDB 即(-3+-2m号）=-6 提示： 1.根据题意，b=2a=2(1,1)=(2,2). 3 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 2.由题意得x2=2(x+4). 当+6=8时，则次数为8+2=10： 解得x=4或x=-2. lc d 2 3.由题意得b=-应.c=花-A记=之店-2， 当+么=3时，则次数为3+9=12 lc+d=9 故h+e=-多 综上，次数最小值为10. 二、多项选择题 9.AB:10.BC:11.BD. 提示： 4,设正方形边长为2，以A为原点，A,A不为x轴，y轴的正 9.对于(A),假设存在实数入使得e,=入e2, 方向建立平面直角坐标系， 即(1,0)=A(0,1),即=入×0无解。 则M(2,1),D(0,2),B(2,0),C(2,2),BD=(-2,2), 10=入 依题意A配=AA+uB配， 则e1=(1,0),e2=(0,1)不共线， 4 所以可以作为一组基底； 即2入-24=2解得 对于(B),假设存在实数A使得e,=Ae, 1A+2u=2, 1 μ=3 即1,2)=A(-2.期6无解。 所以A+=子 则e1=(1,2),e3=(-2,1)不共线， 所以可以作为一组基底： 5.由题意可得，设点P(0,y), 对于(C),e,=-5e2, 则P=(2,2-y),P=(5,-2-y). 所以e,=(-3,4),e2= 共线，所以不可以作 又因为∠MPN为直角， 所以P.P=0, 为一组基底： 即2×5+(2-y)(-2-y）=0, 对于(D),e,=-2e2, 化简可得6+y2=0,方程无实根， 所以e,=(2,6),e2=（-1,-3)共线，所以不可以作为 所以满足要求的点P不存在。 一组基底 6.a=(2,x),b=(0,2), 故选(A)(B) 故=2：02= 2x 10.a与b的夹角为钝角，故a·b<0,且a,b不反向共线， 22+x2 +4= 4 则a·b=(3,k)·(2,-1)=6-k<0且-3-2k≠0， + 解得长>6且长女-子 因为x>0,所以x+生≥2 4 =4, 综上，k>6,(A)正确： 当且仅当x=兰即x=2时，等号成立， 1a1=√9+≥3，当且仅当片=0时，等号成立， 故|a1的最小值为3，(B)错误： 1b1=√4+T=5,与b共线的单位向量有2个， 为±（后》=±(）（©错误 7.因为A店与a=(L,-2)的夹角为π， 所以AB=ka=(k,-2)(k<0) 若1a1=31b1,则9+=35 解得k=±6，(D)正确. 因为1AB1=25, 故选(B)(C). 所以√+(-2k)7=25, 1L.如右图，作OE⊥0C,分别以 解得k=-2(舍正)，即AB=（-2,4) OC,OE为x,y轴建立平面直角坐标系， 设点B(x,y),因为A(2,1) 则410.640B(-号） 所以4B=(x-2,y-1)=(-2,4), 所以x=0,y=5,即点B的坐标为(0,5) D(-2,25), 8.由题可得，每次跳跃的路径对应的向量为 a1=(3,4).b=(4,3),c1=(5,0),d1=(0,5), 设0cas0.sm.0e[0,号 设对应的跳跃次数分别为a,b,c,d,其中a,b,c,d∈N, 则P(4cos0,4sin0), 可得O0=aa1+bb,+cc1+dd 由0d=x0元+y0d可得， =(3a+46+5c,4a+3b+5d)=(33,33). co80=4x-2y,sin0=23y.且x>0,y>0, 则3n+46+5e=33, 若y=x,则cos20+sin20=(4x-2y)2+(25y)2=1, L4a+3b+5d=33 两式相加可得7(a+b)+5(c+d)=66, 解得x=y=子（负位合去），故x+y=之，()错误： 因为a+b,c+d∈N, 则+6=8或0+6=3， 若y=2,则cs0=4k-2y=0,0=受 lc +d 2 Le d =9. 所以0·O示=0，故(B)正确： 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 .0亦=（子受）(4ems0,4n 解得x=3,所以b=(3,-1), 所以a与b的夹角的余弦值为ab a·b =-6e0s0+25in0=4,5sin(0-号）， 2×3+2x-）=5 由于9e[0,]故0-号e[-号号]， V2+2×V3+(-1)厅5 16.解：(1)设点P的坐标为(x,y), 放-6≤45sin(日-号）≤6，(c)错误： 则脉=(x-1,y-4),P元=(3-x,3-), 由于P=(1-4eos0,-4sin0), 因为成：心， i-(子-4so,-4ain, 5 x=3 解得 则月.Pm=1-4es0)×(--4os0+ -4=3-0, y=3 (-4n0)×(9-46in0）=}-2s0-25n0=} 所以点P的坐标为（停号） 4sin(0+g）小 (2)设向量0元的坐标为(a,b),即D(a,b), 而+石e[g] 则Ad=(a-2,b-1),0i=(1,4),0元=(3,3)， 因为Ad∥0成，0元⊥0成，则4(a-2)=b-1, 所以m(0+君）e[分小 13a+36=0, 7 所以.成：}-4n(0+君)≥}-4=受故(D) [a=5 解得 7 正确.故选(B)(D) b=-5' 三、填空题 23:15+是：42 所以向量0币的坐标为（子，一子）片 17.解：(1)设D(x,y)(x,y>0), 提示： 依题意可得AB=C 12.由已知得AB=(2,1),C7=(5,5),因此AB在CD上的 又A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1), 投影向量为店·巫：5=32。 所以AB=(4,4),CD=(x+1y-1) 1cm152 2e. 所以+1=4解得=3即D(3,5). 13.因为BE=3E ly-1=4," ly=5, 所以B屁=子成，床=-=-子花。 (2)设AE=AAC,Ae[0,1]. 则(m+2,n+4)=A(1,5), 所以脉=a+床=a-子花。 ① 所以m+2=小：则m=A-2。 ln+4=5A,ln=5A-4, 成=子成=b+成， ② 所以(m-2)2+m2=(A-4)2+(5A-4)2=26A2-48入 由①+子×2得瓷㎡=a+, 即脉=+号 因为A∈0，]，所以当A=号时，(a-2+取最小值 14.设a=(1,0),b=(1,s),c=(1-s,),8,4eR, 答当A=0时.(m-2)2+2取最大值32。 由已知可得：la-b+cl=√(1-st)2+(t-s) =√1+()-4s++F 所以(m-2户+：的取值范周为[紧32] ≥√()-4s+21t1+1, 18.(1)解：不妨设O=ma+nb.由于A,D,M三点共线， 当且仅当2=2时，取等号， 当s≥0时，有(s)2-2+1≤8，得0≤≤22+1， 则存在a(a≠-I)使得A=aMi】 当<0时，有(s)2-6s+1≤8，得-1≤s<0, 即d+0=a(心+0币，于是Om=0+a应 1+a 所以当-1≤s1≤22+1时，-22≤a·c=1-M≤ 2.所以a·c的最大值为2. 又0而=分0成， 四，解答题 15.解：由题可得a·(a-2b)=a2-2a·b=0, 即(22+22)-2×(2x-2)=0, 所以O丽= 耐+受丽 1 1+”=1+a+204动， 5 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 1 m=1+a' 所以cosa=a:（a-b)=d2-a·b 则 即m+2n=1 ① lali a-bl=lalla-bl 1 n=2(1+a) 1-46 由于B,C,M三点共线， 则存在B(B≠-1)使得C=BMB,即C可+O=B(Md +0). 故向量a与a-b的夹角的余弦值为6 4 于是0成.0心+B0远 (3)设向量a与b的夹角为8. 1+B 成=}成， 由题意可知0<0<号.则0<cms0<L, 因为1a1≥3引1所以0<合≤分 所以O成=4 O+B0成 1 1+B 即0<s0<分 1 所以 m=4(1+B)'即4m+n=1 ② 因为b②a=:4=b1c0 a B I ajeos 0, n=1+B 所以0<b⑧a<专，即0<4(b©a)<号 1 3 由①2可得m=7n=7, 因为4(b⑧a)是整数，所以4(b⑧a)=L, 所以0成=与+马女 所以b©a=子：名=一0 (2)证明：由于E,M,F三点共线， 所以存在实数()≠-1)使得E=nM 而0<≤分即0<。≤分 即元+0=7（心+0，于是O成=0正+n0证 所以子≤es<1. 1+7 又0正=A0,0亦=u02 因为a因b=a:b=1aL b=167c0s0=4os2a, 所以0成=A0+u0正 。入 又9。≤coa<1.所以9】 1+刀 4≤4cos20<4, 所以+=+， 9 1+刀1+m ≤a⑧b<4, 故a⑧b的取值范围为 3 1+7 第29期2版 19.解：(1)因为a+2b=(5,3)+2(-3,2)=(-1,7), 专项小练一 所以a⑧(a+2b)=a,(a+2b (a+2b)2 1.C:2.D:3.BCD:4.-5:5.-4 .5xD1=0 专项小练二 (-1)2+72 1,C:2.C:3.ACD:4.等腰： 放a⑧(a+2b)的值为受 (2)设向量a与a-b的夹角为a, 专项小练三 因为向量a,b是单位向量， 1.C:2.A;3.BD:4.123:5.3. 所以1a1=1,Ib1=1, 由(a+b)⑧(2a-b)=i6 5 第29期3,4版 可得a+b)·(2a-b2=2a+ab- 平面向量的应用同步核心素养测评 (2a-b)2 4a2-4a·b+b 一、单项选择题 =0·b+1.5 1~4 CDCA 5-8 CADD 5-4a·b=16 提示： 解得a·b=子 1由正弦定理得 sin A=sin B' 由(a-b)2=a2-2a·b+b2= 3 2 可得1a-b1=(a-b了=受， 则n=sin4。 2× sin B 2=6. sin 4 6 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 2.F做的功为Fs=1F1s1e0s60°=10×14×2 =70. 因为△ABC是锐角三角形， 3.由余弦定理得 所以0<A<号，0<B<5 BC=√P+(5)2-2x1×5×ca若 =1 所以-号<A-B<受 设BC边上的高为h, 又ymx在（受号） 上单调递增， 则5auc=方×1x5n号=子×1h,解得h= 1 2 所以B=A-B,则A=2B. 4.设△ABC的内角C为最大角， 又0<B<号0<4=2B<受0<C=T-B<受， 则sc=+)2-+2少<0. 21(1+1) 所以号<B<平由正弦定理得2R=品B=品 2 再由三角形三边关系可得+1+1>1+2， l1>0, 所以2 <2R<2 解得1>1， sin 4 sin 6 所以-24-3<0， 所以Z<R<2, t>1, 所以外接圆面积S∈(2π，4π). 解得1<1<3. 二、多项选择题 5.因为3AB+2BC+C=3(0元-0+2(0元-0)+ 9.BC:10.AD:11.AC. (0-0C=-20i+0i+0C 提示： 所以0+20正+30元=-20+0i+0元. 9.选项(A):因为A=45°，C=70°， 所以B=65°，三角形的三个角是确定的值，故只有一解： 即30+0+20元=0. 所以g=3+2石 1 选项(B):因为sinC=nB=8S<1,且c>6, b 15 所以角C有两解： 6.在△0AB中，因为∠0AB=45°，∠0BA=105°， 所以∠A0B=180°-45°-105°=30°， 选项(C):因为imB=in4=4兰<1，且b>a, 7 由正弦定理可知4B OB sin ZA0B=sin∠OAB 所以角B有两解： 所以86-B,则OB=365m, 选项(D):因为inB=sin4<1,且b<a, 1 ② 所以角B仅有一解 2 故选(B)(C). 在直角三角形OTB中， 10.根据题意，得1G1=F,+F↓， m∠0-8品即号=7 3 所以1G12=IF12+1F212+21F,I×F1×cos0= 363 21F,12(1+cos0), 解得0T=36m 1G12 7.由题及余弦定理得 a-cxato- 解得F,12=21+c0s)' +c2-a2 因为0e(0,r)时，y=cos0单调递减， 2ac -=b-e× 2bc 化简得心+公-c.。心+R-正 所以0越大越费力，0越小越省力，故(A)正确： 由题意知0的取值范围是(0，π)，故(B)错误： 当2+62-c2=0时，即a2+2=2 1G12 因为1F13=21+e0s 则△ABC为直角三角形； 当a2+2-c2≠0时，得a=b, 所以当0=受时，R,12= 2· 则△ABC为等腰三角形. 综上，△ABC为等腰或直角三角形 所以1R1:号1G1,故（©）错误： 8.由正弦定理可得a2-2=bc, 所以a2=公+bc 因为1F,2=21+c00) 1G12 由余弦定理得a2=+c2-2 becos A, 所以6+bc=b2+c2-2 becos A, 所以当0=罗时1R2=1G, 即b=c-2 bcos A, 所以1F,1=1G1,故(D)正确 由正弦定理得sinB=sinC-2 sin Beos A, 故选(A)(D). 因为C=T-(A+B), 1L.由正弦定理a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C, 所以sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 得5·(sin Acos C+sin Ccos A)=2sinB·sinB, sin B sin Acos B-cos Asin B, 即sinB=sin(A-B). 所以5=2sinB,所以sinB= 2 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 因为a=b,B是等腰△ABC的底角， 由于0<A<r,0<B<r,0<C<m,sinA≠0，sinB 所以Be(0,受)所以B=号 ≠0，所以csC=2,则C=号 所以△ABC是等边三角形，(A)正确： 所以16=c2=a2+2-2 abeos C=2+b2-ab≥2ab- 若A,B,C,D四点共圆， ab,得ab≤16，当且仅当a=b=4时，等号成立， 则四边形对角互补， 因为CD⊥AB,所以Se=abin C=之e·GD. 由(A)正确知∠D=等sD=-分 但由于DC=1,DA=3,AC=23时， 故D=学n号-≤26 oD.cnmC=P+-号 所以CD的最大值为23. 2·DA·DC 2×1×3 四、解答题 -子，所以(B)不正确： 15.解：15km/h=250m/min,250×5=1250m. 设∠D=0, 10 km/hm/min,m 则AC=DC2+DA-2DC·DA·cos0=10-6c0s0, 整个过程为A店，BC,C,如图1所示， 所以5a=夏.(10-6s0)=55.35o 4 2 2cos 0. 钟1=0a成1=120a1-4g0n Suein A上 AS62→D 一东 所以Sg边影D =Sac+Sac= 2sin0-3 200s0+53 图1 2 16.解：(1)在△ABD中，AD=5,AB=7,∠BDA=60°， =3(9-m0:9）+ 所以由余弦定理AB2=AD+BD-2AD·BD·COs∠BDA 2 可得49=25+BD2-2×5·BD·cos60°， 3m(0-号)+9， 则BD2-5BD-24=0, 解得BD=8(BD=-3舍去) 因为0e(0,m),所以(0-哥）e(气， (2)在△BCD中，∠BDC=∠ADC-∠BDA=75°-60 =15°，又∠BCD=135, 所以5<Sn≤+3，阴以（©）正魂，(D)不正瑰 则∠CBD=180°-135°-15°=30. 由(1)得BD=8, 故选(A)(C). CD BD 三填空题 由正弦定理得 sin ZCBD=sin∠BCD' 12.1:13.2m;14.25. 提示： 母0产5解得0=4，区 8 12.sin 24=2sin Acos A=2a. 17.解：(1)由cos2A-3cos(B+C)=1得 sin C sin C 2be 2cos2 A +3c0s A -2 =0, =2×4.25+36-16=1. 即(2c0sA-1)(c0sA+2)=0, 6 2×5×6 13.由题意得OP=OB+BP=OA+AP-x=5cm, 解得casA=分或cosA=-2(舍去). 在△A0P中，csa=OA+0P-AP 2·0A·0P 因为0<A<,所以A=号 9+25-49 1 2×3×5 -2 (2)由s=sinA=年c=5, 因为&∈(0，)， 得bc=20,又b=5,所以c=4. 所以a=店=a:01=2石em 由余弦定理得a2=2+c2-2bcc0sA=25+16-20=21. 14.因为ccos Ccos(A-B)+c=csin2C+bsin Asin C, 解得a=√2T, 所以由正弦定理得sin Ccos Ccos(A-B)+sinC 义由正孩定理得sin Bsin C=snA·”2=in2A a sin Csin'C sin Bsin Asin C, 由于0<C<T,sinC≠0， × 所以cos Ceos(A-B)+1=sin2C+sin Bsin A, 所以sin Bsin A=eos Ceos(A-B)+1-sin2C 18解：)由正弦边角关系得()广-（台）广 cos Ceos(A -B)+cos2 C cos C[cos(A-B)+cos C] 2sin Acos C+2cos B=2ucos C+2cosB, sin B b cos C[cos(A -B)-cos(A B) 所以a2-c2=2 abeos C+2 cos B, 2cos Csin Asin B, 由余弦定理得a2-c2=a2+b-c2+2 cos B. 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 即(1+2co8B)=0, 1 ABI2 m'd +n'd -2mnd cos 120 所以caB=-方又Be(0,),则B=要 =(m2+n2+mn)2, 由1AC12+1BC12=1ABI2得 (2)由(1)及题设知，b=√a+c-2 accos B= (n2+n+1)d+(m2+m+1)d=(m2+n2+mn)d, √3+5-2x3x5×()=7, 整理得m+n+2=mn,而m>0,n>0, 如图2所示，此时MN==子， 7 则n+2=m≤()小 当且仅当m=n,即m=n=1+3时取等号， 设BM=x,BN=y, 又m+n=1,即有2-41-8≥0， 而1>0，解得1≥2+23， 所以实数1的最小值为2+23， 第30期3,4版 图2 平面向量及其应用核心素养综合测评 由余弦定理得x+y2-2xyos2红=M=49 3 一、单项选择题 49 1~4 CBAB 5~8 BCBB 即x2+y2+xy= 4 提示： 因为+y+≤+y+生兰=+. 3 1.由余弦定理可得a2=b2+e2-2 bccos A, 2 所烈以+y号号-号 1=3+2-23e× 整理得c2-3c+2=0, _75时取等号， 当组仅当x=y=6 解得c=1或c=2. 2.由题意知1e1=1, 所以Br+BN的最小值为号 所以向量a在向量e上的投影向量为： 19.解：(1)在△ABC中，c0s2A+cos2B-cos2C=1, （a1m）&=(2msp-e 1 -2sin2 A +1 -2sin'B -1 2sin'C 1, 3.设c=(x,y), 则sin2C=sin2A+sin2B, 由正弦定理得c2=a2+ 则0·c=2x+y=0, b·c=x+2y=32, 所以△ABC是直角三角形，即C:受 解得=~2， (2)1)知c=受 y=22, 所以1c1=√星+y=2+8=√0. 则△4BC的三个角都小于120°，如图3， 4.因为在△ABC中，A,Be(0,), 由费马点的定义知∠APB=∠BPC= ∠APC=120°， 所以casB=7 设1P1=x,1P21=y,1P元1=：， 由S△PR+Sae+S么Ax=S△c得 即sinB=V个-cosB=4 图3 7 1 “2+2…91 2+2 ×4 由正弦定理可知sinA=4sinB= 2 b 2 整理得对+万+和=8 即A=晋或写又a<6,则A<B, 3 所以P.P呢+P呢.P元+P元.P 所以A=要不成立，放A=于 3 11 5.设线段BC的中点为M,则0厉+0C=20 因为2A0=0店+0元，所以Ad=0. 3 则而=分矿=子（丽+心=4（店+） (3)由点P为△ABC的费马点， 得∠APB=∠BPC=∠CPA=120° 子裙+ IPBI ml PCI I PAI nI PCI I PCI d,m 0.n>0.d>0. 由B0,D三点共线得片+ =1,解得1=3 则由|PA|+lPB|=tIPC得m+n=t, 6.如图1，过点P作PM⊥AC,垂足为 D 由余弦定理得1AC12=+n-2 nd cos120 M,由题意可知∠PAM=∠PBM= =(n2+n+1), 45°， I BC12 =d md 2md cos 120 (mm+1)d, 则△PAM,△PBM均为等腰直角 A D M EB C 图1 9 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 三角形，可得AM=BM=PM, 提示： 且∠PCM=30°，可得MC=√3PM. 9.BC=AC-AB=(3,0),(A)正确： 因为BC=200(3-1)米， 因为2BC-A元=(4，-1)， 则5PM-BM=(5-1)BM=200(3-1), 所以A店.(2B元-AC=-5,(B)错误： 解得BM-200米， 因为AB·A亿=-1,1A正1=2,1AC1=5, 所以DE=AB-AD-EB=2BM-AD-EB=350(米)， 即隧道DE的长度为350米. 所以os8=万×万 -1 (0正确： 7正人边形的每个内角为X0 =135°， AA+uAC=(2μ-A,4+A)=(3,A+1), 延长GH交直线AB于点M,延长DC交直线AB于点N, 所以2-入=3，解得入=-1,4=1. 则∠HAM=∠AHM=45°， μ+A=A+1, 则△AM为等腰直角三角形， 则A-A=2,(D)正确. 且AM=BN=AHeos45°=22， 故选(A)(C)(D). 以点A为坐标原点，AB,AF所 10.因为a=√7，b=3,c=2,所以sinA:sinB:sinC= 在直线分别为x,y轴建立如图2所 a:b:c=√7：3：2，(A)正确： 示的平面直角坐标系， 则A(0,0),B(4,0),M(-22. 由余弦定理得c0sA=c2+-d_2+32-(7 2cb 2×2×3 0),N(4+22,0), 分，因为Ae(0,),所以4=于，(B)错误： 设点P(x,y),则-22≤x≤ 4+22,Ad=(xy),AB=(4,0), 5an4=号×2×3×号：90正瑞 1 所以AB·AP=4x∈[-82， 图2 16+82]. 因为∠D1B的平分线交直线CB于点E,A=于， 8.因为(b+c)2-a2=455 所以公+e-0+2e=45,2 besin A, 所以∠BME=号， 所以S△Ae=S△c+S△E, 即+-d+1=5nA, 时4×3号=方×3x2n号+4×2n 2be 解得AE=6,(D)正确。 由余弦定理得3sinA-cosA=I, 故选(A)(C)(D) 则2in(4-石）=1 1L.对于(A),由奔驰定理可得S,:Sw:Se=2:3:4,故 (A)错误： 即血(a-君）= 对于(B),由d=与店+号心 在△ABC中A∈(0，T), 即-0=与(0成-0耐+号(0元-， 整理得20+0+20元=0， 则1-后=石故A=号 由奔驰定理可得S,:Sm:Sc=2:1:2,故(B)正确： 由余弦定理得a2=b2+c2-2 becos A=4+9-2×2×3 对于(C),由50+1202+130C=0, =7,所以a=7, 可得S,:Sn:Sc=5:12:13, ×2 设△ABC的内切圆半径为r, 。几=，则R 由正弦定理得2R=”, 5 3 则S:Sn:e=之·BC:7AC:之AB, 所以BC:AC:AB=5:12:13, 因为宁a+b+er=宁oin4. 即BC+AC=AB,所以BC⊥AC, 即∠ACB=又，故(C)正确： 所以r= besin A 23* 35 a b c 对于(D),=1010元1sim∠B0C. 5+万5+万 7 ssin LAOC, 所以R 7+57 35 9 &。=101a成：sin∠A0B, 5+7 因为O为△ABC的垂心， 二、多项选择题 所以sin∠BOC=sin∠BAC,sin∠AOC=sin∠ABC, 9.ACD:10.ACD:11.BCD. sin∠AOB=sin∠ACB, 10本炎生地相餐博营 线的装量报电因 高中数学 4151-1s 251月24日量五 网板童口睡量园带电线 数理招 30泉第111 人数A a151-120134 PMCAEEEEAEEB.ECOLDZEDN.R 名人名首 世长 点睛：表周是向量如请的风州透风与平鼻 l a-51 令，量，情 平面向量二重唱 和的时，自理可司 解：因不。4冠， =a言+人了中的1和以是中一的，骑以a 帝-面。网-风 =1-4a+ 内部建专香过制的 养2日短度向起▣■1.2打，■4-2， =1.a,20+3 用 带：球，▣0， -3-国) 1(-4 ) G-,- -1,-4 分机：报瓶。，本由两的国肿写水山+墨 数( 人生不 拟14+3语。到1.2+3-2：-4 争台来，再调连解方红恒填头无美向量，平可水 名粗，那量之★量，确尾今里，正确他母什相 出A和口的植，进两水g的销和 家，而 点睛：表电英间票，把加洪夜显鼻相广 丽，而 到4货量4◆)光期形84▣(，U 的人机 +2W 中。，=司 分桥：光很铁向量家特的流性透其速端 司。成，福 由●，并网向资表典命运的金静泉的长州a的 面。面，福 时若A 几平规是是观 2市=2请，2成 所-3-240. 凡是然爱里每，一 14-7 有之中 三大制6押37.1家，不 有爱 公式4一瑞 形面积公式 归纳与应用 在中，∠，∠C的对分为 0山床际小 到于一种★，格子 声，@，e边上珍克此树为点人，人r为内同 后丰径，晨方网蓝经5为BC题用d 地域及 公减53▣：41+ 例1在A4中，4A,4n,4C所对的四 推是：减△40C内w箱的调公为0，过0分 AAr在 留02-6,6·号 明骨纳有无千用，雪是 帽绿：系△4区中，基基夏商工用时造用满 之由蓝它理同 眼可布，南上C为敏A或直年时=与G 所以+-a-+6 到1日电到月学轻为4，摩，k”为题内增 解得动 身的可功.香k·体及三所形的理 烟十在可夏多的西制心人 解：因为三角形物话中径表年4，己角州 # H车上著。 SMMHCAAMNSE 一+ 用图量 : 公司 风艺武，中预交化理业，：这是 平面向量及其应用 业菊概甚中，这是十正风边型，中国■4，P老这个八 核心素养综合测评 山限上的在 0物理模妆以整博完中心 (若：网+3丽：4配4，s1多1▣431 第1存篷轻盟【外5到学) 到市。专正，2花为：多-21： 一、单项选题：本题为小整，每小题5异，共分 GC百0为五的心，H5页+2家+日成，身.到上 ([~6-8,45] 《B[-85,14 父内明径r比清 高中 高中亥丰·金修第二第一人款点酸》脑心养垃介酒评 2 242 度4在育量4上的湿影有量清 三，填定圆：本制并3用，等小厘5升，满5分 A)e LC) %生2 《)4 已出量4.e离04。，41，。1，，H4⊥4 二客项选唇本大3小，小6分，共移外 必修第一二一 1而 (B过S 405E 43.3 目5某种年高的图，其中有 品干和个生蒙，鲜制焊子和水平洁内保夷期肉 4.4中，8后=7，示8，一B▣十割∠， 《A1配▣(3， 乡对只口得物的助为1城，好限喝子的忧大相 )2配-花 好 (子 m子宁 42点P在单位国目内信正人边医A44,自也A,4:上画 鞋在B墙G中，候A,周，G对也分%为4，b,0为C4是线 +下++，的地 、解若题：本共3珍理，共刀 长移众】审。，有使过长相等的直角三作板样雀一起 人路的为.1.是日 4哥 员璃共中标此最高的代鲜.如用【明 而，种口奉了快计粒州林脑某诞道山 阳点月现受 的长度的美P点益调博三有A,k.0的筑到限次为■▣4草 (DAE▣6 市·，中A,是，C,D,k为病周测大线的五点星%器直 1北.再州量中有一十气美论，有塘购是.这个精论对红试国 ””构们氧，侯结如下里4，已 A内一点，△w,△4，上积分日，人 确的有