第28期 平面向量基本定理及坐标表示-【数理报】2024-2025学年高一数学必修第二册同步学案（人教A版2019）

高一数学人教A(必修第二册) 第27~31期 ####### 答案详解 2024~2025学年 高一数学人教A(必修第二册) 第27~31期(2025年1月) 9-16 --7v481 第27期2版 37x13 481 专项小练一 第27期3,4版 1.D; 2.B: 3.AD: 4.FE.BC.CB 5.解:由题可知,集合7中的元素实质上是S中任意两点 平面向量的概念及运算同步核心素养测评 连成的有向线段,共有20个. 一、单项选择题 即ABAAA可丽CccD 1~4CBDB 5~8 DBCB B.DCD0:0A0B0C0 提示: 由平行四边形的性质可知,共有8对向量相等 即AB=DA=BC.DA=CB BA=cDA0=o0A 2.向量b在向量a方向上的投影向量的模为 c.D-0B0=0 2/x3co a.b1= 又集合元素具有互异性,故集合T中的元素共有12个 I□l 2/3 专项小练二 )2 1.C; 2.B; 3.ABD; 3.。 4.2a+7h;5.CA. -B. 6.解:在矩形ABCD中,1AD1=1BC1=43.1AB1=8, 则1B1-1AB1+1AB1-8+(4/3)*=47. 4.a/b(b≠0)→存在唯一AeR.使a=Ab,故①错误; 因为BC=bAB=a.B=c, ④中当A:三A:=0时等式成立,故④错,故选(B). 5.根据已知可得0-oB+-0+ 则a-b-c=A-B-B=A-A-B -B+B-2DB. -+1(0-0) 因此,Ia-b-c1=21DB1=2x4/7=87. #-3#-#0-3#-# 专项小练三 1.D; 2.C; 3.BD; 4.e.+2e; 5.2. 6.由a1(2a+b)得a·(2a+b) =2la1*+a·b= 6.解:因为-3#. 21a12-- 所以4M-+3MB. 所以--3(-). 所以AC-3CB 7.连接0A.因为B=A-AB=3AV-3AM=3(0- 4)-3(ov-04)-3(-0M). 1B 所以B.o=3(o-o)·oM 专项小练四 -3(o·0x-1ov1) =3x(2x1xcos120*-1*) 4 =3x(-2)=-6. 6.解:(1) 因为la+b1*}=a^}+b}+2a·b=9+16+2 8.因为a+b与c共线,b-c与a共线. x3x4xcos60*=37. 所以存在实数m,n使a+b=mc,b-c=na 所以1a+b1=③7. 即b=-a+mc.b=na+c. $$$) 因为!a-b1}=^}+b-2a·b=9+16 -2 x3x 所以-a+mc=na+c. 4xcos 60*=13, 因为a,c不共线,所以m=1,n=-1. 所以1a-b1=v3. 所以b-c=-a.(b-c)②=(-a)2,所以2-2b·c=1 (a+b)·(a-b) 所以cosθ= b.c三 1a+blla-b1 高一数学人教A(必修第二册) 第27~31期 设向量b.c的夹角为6. 故选(A)(C)(D). #.。-600. 三、填空题 则1x1xcos8= 2.cosθ= 12.-7 13.5#4# 二、多项选择题 9. BD;10. AB; 11.ACD. 提示: 提示: 2.由题知2-----+3x+6=0. 9.B-+MNV,故(A)错误; 所以- #3-_ ## -(-)#故(B) 所以x= 4 正确; A-AV=NM.故(C)错误; +B+D=M+D=M,故(D)正确 故选(B)(D). $$0.因为l l=l$l=l 且!b-2 al=$ =[-(a+b)]2}=a+b+2ab, 所以($b-2 )^$}=b$ -4 ·$b+4 ^$}=1-4·b+4 =3 所以a.b-2. 因为a,b.c均是单位向量. ,所以la-b12- 所以la+bl=(a+b)* =a+2a·b+b$= 1+1+1=3,故(A)正确; a在a+b上的投影向量的模长为.(a+b)a+a·b la+b ③ 所以1a-b1-15 2- 14. Ia+Ab1?=a^}+2xa·b+b} #3,故(B)正确; 3 =1+4Xcosf+4 因为la-Abl^}=^}-2a·b+^$=A{}-+$$ 4 A*+Acos +coscos) +1 4 4 #) +1-cos}。 (## +sine. 当--co时, 1+b1. sinθ1, 2 当$=-1时,a-Ab=a+b. A=-cosθ_→cos e<0, 此时a-Ab与a+b的夹角为0.不是锐角,故(D)错误 2 故选(A)(B). 11.如图1.20A+3(OA+A+4(OA+A)=90A+3A +4A=0.0-44.(A)正确; 因为ee [0,n],所以sine-. 2 若0-2 0A0 -30B.0=40$$ 6. 则o0=. 因为cosθ<0,所以θ= 所以O是△DEF的重心,直线A0过 EF的中点. 四、解答题 而EF与BC不平行,所以直线A0不 15.解:因为a+3b与2a+lb共线. 过BC边的中点,(B)错误; 图! 所以存在实数入,使ka+3b=A(2a+hkb). 又Soo=S△por =SApo, 即(k-2\)a=(k-3)b$ 而S△nos=6Sos ,S sor=125oc. 由于a.b不共线,所以{-2=0#→k=+6. 所以So:Snoc=2:I.(C)正确: 1Ah-3=0 若 01=101=101=1. 即实数的值为/6或-6. 且$16 C*=(20A+30B)=40+120A$0+9 16.(1)证明:如图2.0+0= 所以0·0-. 20.0+020. ##·A--(20+3B)(0--(2 0 因为0+20+30=(0+ )+2(0B+02(0E+20) =0.即20+0-0. 高一数学人教A(必修第二册) 第27~31期 所以0D与OE共线 解得t=3,所以△ABC的边长为3. 又0D与OE有公共点0.所以D.E.0三点共线 19.(1)证明:因为e,e分别为Ox,0y正方向上的单位向 量,且夹角为60*. (2)解:由(1)知2101=101. 所以e ·e.=Ie 1le. Icos 60*= 所以x,y·x, -2x =(xe +ye)·(xe. +ye) =x.xe+xye·e+xy.e·e+yye} =x&.161*+2+1-,x1e,1 。 $7.解:(1)由题意知la+b1^{}=a^}+2a·b+b=12-$ 又laI=2.Ib1=4. =x2+xy:+)(a+x). 所以a·b=-4. (2)解:因为向量a,b的“未来坐标”分别为sinx,1l. 由(2a-kb) 1.(ka+b) 得(2a-hb)·(ka+b) =0. lcosx.1. 即 ka?}+2a·b-}a·b-kb^{$}=0. 所以f(x)=a·b=(sin xe.+e)·(cos xe.+e) 所以8-8+4-16 =0. =sin xcos xe{}+ sin xe.·e.+cos xe.·e.+e} 解得 -1+3. ($)·(3a+b) =3a}+a·b=8. $$3 +bl= 9q^}+6a·b+b=27$ 令(=sinx+cosx=2sin(x+). 设a与3a+b的夹角为θ. a·(3a+b) 27 则cosθ=- 1al13a+b1=2x27 7 因为xR,所以-2<2sin(x+)<2, 所以a与3a+b的夹角的余弦值为27 即-2:<2. 18.解:(1)因为MN/BC. 令#(t)#-(#+1)(#<<2). 所以N-n--△-△.# #=41(+)#+#. 所以当 --时:g(1)取得最小值(-)-× (2)(i)设AN=xAC,因为M.E.N三点共线, 所以存在唯一的实数A.使得ME=AM. (-)-} 所以A-AM=A(AV-AM). 即AE=(1-A)AM+AAW. 所以-L-+A -3# 2 2 第28期2版 2 专项小练一 解得A: 3 4= 所以V-## 专项小练二 专项小练三 第28期3,4版 9. l6' 平面向量的基本定理及坐标表示同步核心素养测评 9 一、单项选择题 16 1~4 DBBB 5~8 BBDB 9 提示: 16' 1.根据题意,b=2a=2(1,1)=(2,2). 高一数学人教A(必修第二册) 第27~31期 2.由题意得x=2(x+4). 解得x=4或x=-2. 3.由题意得b=AB-ABc=AE-A=AB-2 A 故2h+c--3. 综上,次数最小值为10 二、多项选择题 故AB= 9.AB: 10. BC: 11. BD. 提示: 4.设正方形边长为2.以A为原点,AB,A为x轴,y轴的正 9.对于(A),假设存在实数A使得e。三Ae。, 方向建立平面直角坐标系, 即(10)A(0.1),即三△x0.无解, 则M(2.1).D(0.2).B(2.0).C(2,2),B=(-2.2). to=A 依题意AC=AAM+B 则e =(1.0),e。=(0.1)不共线, 所以可以作为一组基底; 即222-解得 对于(B),假设存在实数入使得e,=Ae, +2=2. 即(1,2)-(-2、1),即-2^无解, l2=A 所以A+= 则e =(1.2),e。=(-2.1)不共线 3 所以可以作为一组基底; 5.由题意可得,设点P(0,y) 对于(C),e=-5e. 则PM=(2.2-)Py=(5.-2-y). (3-)共线,所以不可以作 所以e.=(-3.4),e。= 又因为乙MPN为直角, 所以PM·P-0. 为一组基底; 对于(D).e=-2e, 即2x5+(2-)(-2-y)=0. 所以e.=(2.6),e。=(-1,-3)共线,所以不可以作为 化简可得6+y=0,方程无实根, 一组基底. 所以满足要求的点P不存在 6.a=(2.x),b=(0,2). 故选(A)(B). 2x. 10.a与b的夹角为钝角,故a·b<0.且a.b不反向共线. (2.x)·(0.2) 2 2{+x2} 2+4 4 则$a·b=(3.)·(2.-1) =6-<0且-3- <k$ r+ 解得k>6且k^- 。 因为x>0,所以x+4 =4. 。 。 综上,k>6.(A)正确; l$al=9+k=3,当且仅当h=0时,等号成立,$ 当且仅当x=- 故la1的最小值为3,(B)错误; 2 故?·# $1=4+1=v5,与b共线的单位向量有2个, x+ 为#(2)#,(2#-)#()错误:# 7.因为AB与a=(1.-2)的夹角为“. 所以AB=ha=(k.-2k)(k<0). 若1al=31b1,则 9+=3/5. 因为1AB1-2/5. 解得k=土6,(D)正确. 故选(B)(C). 所以 +(-2)=2v5. 11.如右图,作0E10C,分别以 解得k=-2(舍正),即AB=(-2.4). 0C.0E为x.y轴建立平面直角坐标系, 设点B(x.y),因为A(2.1). 则4(1.0):(4.0)bB(-) 所以AB=(x-2.y-1)=(-2.4). 所以x=0.v=5.即点B的坐标为(0.5) D(-2.2/3). 8. 由题可得,每次跳跃的路径对应的向量为 设o(cos 6,sinθ),6E [0.2]) . =(3,4),b. =(4,3),c =(5,0),d.=(0.5). 设对应的跳跃次数分别为a.b.c.d.其中a.b.c.deN. 则P(4cos 8,4sin9). 可得o=a.+bb,+cc.+dd. 由=x0+y0可得. =(3a+4+5c,4a+3b+5d) =(33,33). cos 8=4x-2y,sinθ=2/3v.且x 0.y0. 若y=x,则cos{θ+sin}θ=(4x-2y)}+(23y)2=1. $4+3+5d=33. 两式相加可得7(a+b)+5(c+d)=66 因为a+b,c+d=N. 若y=2xt,则cos =4x-2y=0.6= lc+d=2 lc+d=9. 所以O·0-0.故(B)正确: 高一数学人教A(必修第二册) 第27~31期 # -(-#)# ·(4cos 8,4sin e) 解得x=3,所以b=(3,-1). a.b 所以a与b的夹角的余弦值为 --6eos θ+2/3sine=43sin(e-). allb! 2x3+2x(-1) [0.2]],故-[-]. 由于θe ②+2xV3+(-1){ 16.解:(1)设点P的坐标为(x,y). 故-6<4/5sin(6-) <6.(C)错误; 则BP=(x-1,y-4).P=(3-x3-y). #因为-## 由于PA=(1-4cos θ,-4sin9). #7-(-400-0n0). 则p P=(1-4eos ) (--4cos o) 所以点P的坐标为(.). 4sin(o). (2)设向量oD的坐标为(a.b),即D(a,b). #[]) 则A=(a-2.b-1).0B=(1.4)0=(3.3), 因为A/0B,o0,则[4(-2)=b-1, 所以sin(e+)[1]. 3+3=0. 解得 正确.故选(B)(D). 三、填空题 所以向量0的坐标为(,-). 14.2. 17.解:(1)设D(x,y)(x,y>0). 提示: 依题意可得AB:C. 12.由已知得AB=(2.1).CD=(5.5).因此AB在CD上的 又A(-2.-4).B(2.0).C(-1.1). 所以AB=(4.4).c=(x+1.y-1). 投影向量为 1CD 5/2 e= 13.因为B=3F. 所以B=3rF----3# (2)设AE=AACe[0,1]. 所以r-a+Cr-a-. 则(m+2.n+4)=A(1,5). ① 所以=.=2. ln+4=5.” 1n-5-4. #-3-+.# ② 所以(m-2)}+n^}=(A-4)+(5-4) =26\^-48$ 由①+3x②得25-t3b. 2-2(-)1 #0-00 14.设a=(1,0),b=(1,s),c =(1-st,t),$,tER. 128.当入=0时.(m-2) +n*取最大值32. 128 由已知可得:1a-b+cl= (1-st)+(t-s){ 12832]. =1+(st)-4st+$+7 所以(m-2)+n*的取值范围为 =(st)*-4st+21st1+1. 18.(1)解:不妨设OM=ma+nb.由于A.D.M三点共线, 当且仅当=?时,取等号, 则存在a(a*-1)使得AM=a. 当st>0时,有(st)^}-2st+1<8.得0<st<2v2+1 即A+OM=a(+0).于是oM= +ao 当st<0时,有(st)②}-6st+1<8,得-1<st<0. 1+a 所以当-1s2\2+1时,-2v\2a·c=1- #0-0. 2.所以a·c的最大值为2 四、解答题 15.解:由题可得a·(a-2b)=a-2a·b=0. + 所以oM 即(2+2)-2x(2x-2)=0. 1+a 高一数学人教A(必修第二册) 第27~31期 a-a,b 所以cosa=a.(a-b) 则 ① lalla-b1=Ialla-bl 即m+2n=1. [n=2(1+a)' r 1、1 4 = :# 由于B.C.M三点共线. 4 则存在$(B+-1)使得CM=BMB,即C+0M=B( +). +B0B 于是0M= (3)设向量a与b的夹角为目. 1+B ,则0cos0<1. ##-o#.# 由题意可知0<θ<- 因为lal=31b1,所以o<|b1 1+B =4(1+B)“ [m=4(1+B) 1 -.. 因为b⑧a= 即4m+n=1. ② 所以 a cos8. 所以0<b⑧a<寸,即0<4(b⑧a)<4 因为4(b⑧a)是整数,所以4(b⑧a)=1. #所以o-3. _4o 所以b⑧a= 1 (2)证明:由于E.M.F三点共线 1 2 1al 4cos f < 所以存在实数n(n-1)使得EM=nM. 即Eo+On(+oF),于是o-oE+nor 1+n ##=04=0B. b2 #△+7. ## 所以oM-Ao+no <cos(1.所以 4<4cose<4. 1+n 1+n+1+n #△a+7b. -<a⑧b<4. 1+1 1 1 故a⑧的取值范围为[,4). 则 ## 3 7, 第29期2版 19.解:(1)因为a+2b=(5.3)+2(-3,2)=(-1.7) 专项小练一 所以a⑧(a+2b)-a.(a+2b) (a+2b)? 1.C: 2. D: 3. BCD: 4. -5: 5.- -#(3- 专项小练二 (-1)+7 1. C; 2.C; 3.ACD; 4.等腰; (2)设向量a与a-b的夹角为a, 专项小练三 因为向量a,b是单位向量, 1. C: 2.A; 3. BD: 4. 12/3;5.3. 所以1al=1,1b1=1. 由(a+b)⑧(2a-b)=16 5 第29期3,4版 可得(a+b)(2a-b) $^}+a·b-b*} 平面向量的应用同步核心素养测评 (2a-b){} 4a^}-4a·b+b 一、单项选择题 5 a.b+1 1~4 CDCA 5~8 CADD $5-4a·b=16' 提示: -△ 解得a·b= 1 寸 1.由正弦定理得-“ 由(a-b)^{}=}-2a·b+b= 3 2. 则a= bsinA sinB 可得la-b1= (a-b) i 2, 高一数学人教A(必修第二册) 第27~31期 因为△ABC是锐角三角形. 所以0<A吾,0<B. 3.由余弦定理得 =1. 所以-A-_B# BC= 设BC边上的高为h. 又y=sinx在(-,) 上单调递增: 则S△48c= 3 所以B=A-B.则A=2 B 2 4.设△ABC的内角C为最大角, $$$<B<-.<A=2B<-5< C=n-3B<$$ 则cosC= +(t+1)-(1+2)} 0. 2t(t+1) 再由三角形三边关系可得1+1+1>1+2, 所以2<2R2 1:>0. 解得:>1, 所以/2<R<2. 所以外接圆面积SE(2n.4n). 解得1<1<3. 二、多项选择题 $.因为3AB+2B+C=3(O-0A)+2(O-0B)+ 9. BC: 10. AD; 11.AC. (A-0)=-20A++0. 提示: 所 OA+20+30=-20++0$$ 9.选项(A):因为A=45*}C=70* 即30+0+20=0. 所以B=65{},三角形的三个角是确定的值,故只有一解 选项(B):因为sinC-esinB83 15 <1,且c>b. 3+1+2= b 所以角C有两解; 6.在△0AB中,因为0AB=45*$0BA=105^*}$$$ bsinA42 所以 A0B=180*-45*-105^+。=30, 选项(C):因为sinB= <1,且b>a. d 7 由正弦定理可知AB 0B sin AOB"sin OAB' 所以角B有两解; bsinA 所以186.0 选项(D):因为sinB= <1,且b<a. .则0B=36/3m. 7 所以角B仅有一解. 故选(B)(C). 在直角三角形0TB中. 10.根据题意,得1G1=1F +F:1. 07 tan乙7B0= 所以1 G1*=1 F1*+1 F1+21F$1$xl F1xcos = 3 363 21F.1(1+cos6). 解得07=36m. 解得!F.12*=2(1+cosθ)' 1G12 7.由题及余弦定理得 _ ×+e-6# #+-} =b-cx 因为e(0.n)时,y=cosθ单调递减. 2ac 2bc 所以6越大越费力,e越小越省力,故(A)正确; 化简得。 .b- a 由题意知e的取值范围是(0,n),故(B)错误 因为1F1=2(1+cosθ)' 当$+b^-2=0时,即a^}+b^= 1G12 则△ABC为直角三角形; 当a^+b-c2*0时,得a=b.$ 所以当?=时,1F1-1G1 2 则△ABC为等腰三角形. 综上,△ABC为等腰或直角三角形 8.由正弦定理可得a-6=bc, 因为1F.1-2(1+cos8)' 1G12 所以a?=b+bc. 由余弦定理得a*=b+c}-2becosA. 所以当θ- 所以b}+bc=b+c2-2bccosA. 即b=c-2bcosA. 所以1F 1=1G1,故(D)正确 由正弦定理得sin B=sinC-2sin BcosA. 故选(A)(D). 因为C="-(A+B). 11. 由正弦定理a =2RsinA.b=2Rsin B.c =2Rsin C. 所以sin C = sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B 得3·(sinAcos C+ sin Ccos A) =2sin B· sin B. 则sin B= sin Acos B-cos Asin B. 所以3=2sinB.所以sinB= 即sinB=sin(A-B). 高一数学人教A(必修第二册) 第27~31期 因为a=b.B是等腰△ABC的底角。 由于0<A<".0<B<n.0<C<n.sinA0.sinB 所以BE (o.),所以B=, 所以△ABC是等边三角形,(A)正确; $所以16=}=a}+b}-2abcosC=a^}+b-ab→ b-$$ 若A.B.C.D四点共圆. ab,得ab<16,当且仅当a=b=4时,等号成立, 则四边形对角互补. 因为CD1AB,所以Snc= 但由于DC=1,DA=3,AC=2v3时, DC+DA-AC 212+3-(2/3)* 所以CD的最大值为23. cosD= 2x1x3 2·DA·DC 四、解答题 __ $5.解:15 km/h =250m/min.250 x5 =1250 m. 500 )m/min,3 10 km/h-500 0x8-4000 设2D=θ. 3 m. 3 则AC^} =DC^+DA*-2 DC·DA· cos θ=10-6cos 6. 整个过程为AB,B.C.如图1所示. ③ 3.(10-6e08)-533 所以Snc= 2cos9. 其中1AB1=50m.1 BC1-1250 m.1C1-4000 4 m 2 2 s= 东 1 所以S那Aecp =Saanc+Sawc= 图! #305# 2, 16.解:(1)在△ABD中,AD=5.AB=7. BDA=6 0* =3(sine.-cos .)+53 所以由余弦定理AB=AD +BD}-2AD·BD·cos BD 可得49=25+BD}-2x5·BD·cos 60*$$$ -3-i0n(6-) 则BD-5BD-24=0. 解得BD=8(BD=-3含去). 因为e(0,n),所以sin(e-)(-,]. (2)在△BCD中. BDC= ADC- BDA=75$-6 0* =15”,又 BCD=135*$ +3.所以(C)正确.(D)不正确 则 CBD=180*-135*-15*=30$$ 2 由(1)得BD=8. 故选(A)(C). 由正弦定理得-CD BD 三、填空题 sn CBD"sin BCD' 12.1;13.2n; 14.2/3. 8 提示: .2sin Acos A2a.62+c2-a} 12. sin24 17.解:(1)由cos2A-3cos(B+C)=1得 2bc sinC sinC 2cosA+3cosA-2=0. 2x4 25+36-16 =1. 即(2cosA-1)(cosA+2)=0. = 6。 2x5x6 $3.由题意得OP=0B+BP=0A+AP-x=5cm.$ 解得cosA=- 0A+0P*-AP2} 在△AoP中,cosa= 2·0A·0P 9+25-49 (2)由s-besinA-b-$V. , 2x3x5 因为aE(0,m). 得bc=20.又b=5,所以c=4. 所以a= 由余弦定理得^}=b+c}-2bcosA=25+16-20= 1 解得a=v21. 14.因为ccos Ccos(A-B)+c =csinC+bsin AsinC 又由正弦定理得sin Bsin C-bsinA. esinA-hsin A 所以由正弦定理得sinCeosCcos(A-B)+sinC = sin Csin}C+ sin Bsin Asin C a 20 5 由于o<C<n,sinCz0. 所以cos Ccos(A-B)+1 =sin}C+ sin BsinA. 18.解:(1)由正弦边角关系得 ()#(){} 所以sin BsinA=cos Ceos(A-B) +1-sinC =cos Ceos(A-B)+cos*C 2sin Aeos C 2cos B =2acos C 20os B. = cos C[eos(A-B)+cos C] sin B b =cos C[cos(A-B)-cos(A+B)] 所以a-c2=2abeos C+2bcos B. =2cos Csin Asin B. 由余弦定理得a^}-c}=a^}+b-^}+2b{cos B$$ 高一数学人教A(必修第二册) 第27~31期 即(1+2cosB)=0 I AB!?=md+n^d-2mndf’ cos 120 =(m}+n}+mn)d. 由1AC1*+IBC1=1AB1得 Va+c-2accos B (2)由(1)及题设知.b= 。 (+n+1)d$ +(m{}+m+1)d^$ =(m}+n}+mn) $. 整理得m+n+2=mn,而n>0,n>0. =7. ()# 则m+n+2=mn 如图2所示,此时MV= 7. 当且仅当m=n.即n=n=1+3时取等号. 设BM=xBV=y. 又m+n=1即有*-4t-8>0.$ , 而1>0,解得1=2+23. 所以实数1的最小值为2+23. C 第30期3,4版 图2 2 平面向量及其应用核心素养综合测评 由余弦定理得x+y-2xycos T=V49 一、单项选择题 4' 49 1~4 CBAB 5~8 BCBB 即2+2+xy= 4. 提示: ##(}). 1.由余弦定理可得a^*=b}+c2-2bceos A. ### 2 2 所以+> 6. 整理得c-3c+2=0. 73 时取等号, 当且仅当x=y= 解得c=1或c=2. 6 2.由题意知1e1=1 所以向量a在向量e上的投影向量为; (1a cos3)。=(2co3-)e=ve 19.解:(1)在△ABC中,cos2A+cos2B-cos2C=1. 即1-2sin}A+1-2sinB-I+2sinC=1, 3.设c=(x,y). 则sin}C=sin}A+sinB. [a.c=2x+y=0. 由正弦定理得^=a?+b, 则 $b.c=x+2y-3/2. 所以△ABC是直角三角形,即C= (2)由(1)知C=吾. 所以1c1=+=2+8=10 则△ABC的三个角都小于120{},如图3 4.因为在△ABC中,A.B=(0,π). 由费马点的定义知APB=乙BPC= 所以cosB=- . 乙APC=120. 设1PA1=v.1PB!=y1P1=2. 即sinB=1-coB-43. 由SuPs+S△arc+Suc=Suc得 C 图3 B #0} 由正弦定理可知sinA-asin B B 2; 8 即$=或{,又<,则A<B 整理得xy+y+x= 3 所以A-2-不成立,故A- 所以·BBP+P:可 5.设线段BC的中点为M.则OB+0C=20 因为2A-0+0所以A-0M 43 则4=A=(+A-寸(+-)= (3)由点P为△ABC的费马点, #44. 得 APB= BPC = CPA=12 0$$$$$$ 设 PBl =ml PCl.1 PAl=nl PCl.$ $PCI=d.m 0.n>0.d>0. 则由| PAI+l PB1=tI PC1得m+n=t 6.如图1,过点P作PM1AC,垂足为 由余弦定理得1AC1}=f+n^}d-2ndfcos 120 M.由题意可知乙PAM=乙PBM= =(n}+n+1)d, 45*, I BC1}=d+md$-2mf$ cos 120*=(m}+m+1) AD 则△PAM,△PBM均为等腰直角 M EB C 图1 高一数学人教A(必修第二册) 第2731期 三角形,可得AM=BM=PM 提示: 且 乙PCM=30,可得MC=3PM. 9.B=A-A=(3.0).(A)正确 因为BC=200(3-1)米. 因为2B-A-(4.-1). 则V3PM-BM=(3-1)BM=2 200(3-1. 所以AB·(2BC-AC)=-5.(B)错误; 解得BM=200米, 因为AB·A=-1.1AB1=2.1A1=5 所以DE=AB-AD-EB= BM-AD-EB=35 0( 即隧道DE的长度为350米. 10(C)正确; ②x5 7.正八边形的每个内角为6x180。 =135*. 8 AA+A=(2-^+)=(3{,+1). 延长GH交直线AB于点M,延长DC交直线AB于点N. 所以{2-=3-,解得--1.=1. 则乙HAM=乙AHM=45*$ +A=A+1. 则△AHM为等腰直角三角形. 则-A=2.(D)正确 且AM=BV=AHcos 45*=2$2 故选(A)(C)(D). 以点A为坐标原点,AB,AF所 ) $0.因为a =7.b=3.c=2.所以sinA:sinB:sinC= 在直线分别为x,y轴建立如图2所 a:b:c=v7:3:2.(A)正确; 示的平面直角坐标系, 由余弦定理得 cos A-+-2-+3-7) 则A(0.0).B(4.0).M(-2/2 2cb 2x2x3 0).N(4+2/2.0). 士.,因为Ae(0.n),所以A-吾.(B)错误; 设点P(x.y),则-2v2<x< 4+22.A=(xy).A=(4.0). 所以AB·=4xe[-8V2, 图2 16+8/21. 8.因为(b+c)-a”=4/3s. 所以乙BAE-. 所以Sacr =Sanc+Saar. 即-#-s nA. 2bc 解得AE=6.(D)正确. 由余弦定理得/3sinA-cosA=1. 故选(A)(C)(D). 则2;in(4-)-1. 11.对于(A).由奔驰定理可得S.:S.:S.=2:3:4.故 (A)错误; 即sin(-)-. 对于(B),由A=-+2A. 在△ABC中A=(0.n). 即-#n-(-o#)+(0-).# #4-(-)# 整理得20+0B+20-0. 6 由奔驰定理可得S.:S.:S.=2:1:2.故(B)正确 由余弦定理得a^}=b}+c^{}-2 bcosA=4+9-2x2 $3 对于(C),由50A+120B+130=0. =7,所以a=/7, 可得$.:$.:$.=5:12:13. 设△ABC的内切圆半径为r. sinA ##### ③' 所以BC:AC:AB=5:12:13. 即BC^}+AC^*}=AB},所以BC1AC 即乙ACB=,故(C)正确; 33 对于(D),5. -1o1+10 1·sin BoC. 所以r三 besinA a+b+c 5+7 5#7 1]1 $= 7+5/7 所以R 3/3 9 5+/7 因为0为△ABC的垂心. 二、多项选择题 所以sin LBOC =sin BAC,sin AOC =sin ABC 9. ACD: 10.ACD; 11. BCD sin 乙AOB=sin 乙ACB. 10灌女工他工阳然分)康引铜系易·特降日群 丰世地相教博营 的￥脑量W装内明 25年1月日五 高中数学 15对-3s 铜归量银反装电远 数理相 28期11 人数A ISA.AE. 参维出额二潘 名人名首 14F代号21 配2 解读 分点坐标轻松才 平面向量基本定理 日湖南季抽 的马的，处决然系镜 白山整凡链转 泉，是一七甲百个不 把人免之轴装期得 难一A,叫题建香风视的内分A,养是长残气反 ，么对干这一可面内的一个到量a有 库在美本性最的速 2已23}，4，-，点P型 过月有一付出数A,A:,他：=A,角书A 有，色迪重都站起风 品本汽视所命A坐秘的清清风：先部向量幅之 桥恤酸延上正1柄。k 载桌单，两精感其河 两小白量朝等制叶鸡重排相等”附方预姐本环 1已知2,3，4，31，P传 d 的无限风先人，木风 例1如习，边形A脱岁中，国=a 启执难失鞋，两上任 示-4y31,2-3-y 面=A易，M什是A0,的中点，由f传7 心虑娃组制： 分面：成由A的电静，明点的坐极表丽 林通（早素从单 之州的关最，最好限海向量相号的定文，料本烟 解提， 正，a-1.-3眉年4-，-3-1 42-, 之 升顿：在：，春为基兔修解向量司身，害 A有人之两 为因。与。表亲的量可易 以的标-，5 解：由N.,所在置 是有一受下 市。京 的力量 -3+ -24- y3 冠。，配-。4-“ 量坐标 .己1-号号引 侧2西月一平内，点A在直线A 的开毛 速解平面心何 图生AB上黑 香，C承合1上对T中E里一点0 二，求量长准或角的度量 口南南转立军 钢2已y彩C的边关为1，力》， 这辆：者由4花直线配上，证喜花 1国1，养直 【思最点进】需光青善准A金标是，来古D ①首这A点毛乘合，测时干平园内任意 50义中.0乙是传，工1 言两点准静，进局来辉石，网的发每，善时厢两 点.=0：形，风.层存在== C,0是∠酒的中点，x是 7。,证，，风，且。+下= 性丝 空若点4与C不重，在A图 1愿酒点园】成证◆直关果，可以速共人周 垃之有帝标不和用J 正。亡因岁边是，C不重合，所只1中 因此.对干任进一点作.丽，司。 =.得联1ai=裙-A 命山，1证 ,道昨无，它不 际占诚亡古网 革女此去，成手向性 CIo.D)A20),02, 厅为是中点， 么表，育几有风在 福.证 “- 证 存年 屁。可+成云，是 }} 20+-22(】 N 4 B.. 三三 禁二 (C43) 1 三二·三·二 c-.2 --10 黑在中内.易根均为的 《中延厂出了 平面向量的基本定理及坐标表示 个小，正万飞 同步核心素养测评 A9 (OH 二.老最球情调：本最本3小显，每小■6井，去修# 双州洛山虹量中，可以作第来的是 1 第】卷选释期弄绍分小 (A6=(40),=04 )6。(l23=《-1,t +e1s21,同ag的且大细为 c(-34·层-】 区，期芳略：高调共5和题，共7T处 15《3分)已如甲的有量0年2,1，泰(3，一.若a4 a一h),某。与治克期门角拉易 1-2,2 (0-2,- ()2,-2 D22 (A1酒4导A的光化为晚用，4.6 (4友-1 高中数学，必第二「人A一核春著 ()a1最物49 C2减-4 (D10-2 运可用合，E表为 用-- 四-- e,0+ (叫+ 民程规青人曾有许解日，“开在语风低单是 4国1.年力形A8心》中，是C的中点 随什参岂得南：盘环并津龙授组，1精天图 165导)在中青直角吴标票中，点？为标观点.2， 规透长”第甘信甲写为图】的启形40 140.a33) ( ()指《P日币▣÷元，求点P的南相： c (D2 )点D满昆和点，火1远，求具量的图 生已划2》白5，+1打，白卡年，轴上，理∠P作为育 的内P有 (A百年年.飘里方= (c13个 (D2李 )智，24，，示10 在巴2-e0,,此大 )前-冰≥1 国网城>号 c 第1卷 (4,- (15,D 2期点A-11》副13引，--1D3,4C万育上 -431 (5