第27期 平面向量的概念及运算-【数理报】2024-2025学年高一数学必修第二册同步学案（人教A版2019）

遂心实得零两》碑)审1离幸%：以0则 丰世地相教博我 的￥脑量W装内明 数理报 8年1月J日-星五 高中数学 15对-3s 级重日量洗率线 27期111海 人数A 参维出额二潘】 高中数人人 必想第二册 打开平面向量 证d-。e-0(1+为32▣4+ 反之之，有儿同的果生是解决几何园 的有力工风，下向从平点情黄的模全然件日鞋 大 平面面■夏 共线定理的“应用之门 性专角 ⊙需江点建 所南共权判量定健，汽是“有紧a身)与 果+)0投1……号 宰向量无一中精康所的受，叶容的有美规 其：会提为章，专向组考，角且车祖解年家向量人 收t:形，C,D,K三左拉开一条线士 a“,信属此它理，再局传所十信馆： 酒带平型址品专 例1后出下命超： 1西141mg.调道"0： 斜，家.子可，面 反，点N0C上，且4N (3着与行，与 地用平型的日及风 【门)西。车#不线.南e+b=8M= 其中真命超们字号为 点P,求AP:PM的道 解时干11，艺1a1=0,侧e元0，数卡证确) 一，正明（到标}三成共适 解：a=,C= 解1下号来件中厘瑞定A,点单三不共 ■+-,- 211, 前复我 的昆 配+，+， 千131，若a中-十见5量，州零汽 日为点A”,共线，点是，P,共线 美八重立生式何桥击 1)下。 双7-9丽 注意概念要领 用表要目生 理解整本知识 明14+，·《3期+n满=1,4 解31”443)”华1，由共线到量定 A·￥-2)4，+(4+e-川 二，家◆前地 单敏向景化是向景中的一分骑流向量，有 风-，正a--4a+ 解 博可。可 (A)单R风量一定见型厅利量 y销,C,,A一条性 (目内南据不定是技★笔 例19平面1上有4个宜钟物点1.B.G,0.日 构造图形 解：时干()，草位州量的方肖不尾调见 对1成，减-网=成-试新 速解向量问题 的.所衣语保， 期国为派，风-21而，可 日山有王明摩 线期上判 拟风，话2x 刀于G),共度的单有量的长速等，国 1 闲不它制 1,,函 三，丽晓不带关系 记分表以 花考边的平边 的对A晨的长，每用1丽 打延表卡：鞋走通，有量夏计要处会相形。 1)1路1<1a-2》1 边形为 例3春P为AA防在甲离内一D法适P 二，求植 0j1a1c4a-2 满已行，丽，=为P种点4和的式 例2已如1所=5，上城= 州黄，目1a一h1=,斯多有：▣的，代人可 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则=子 所以A亿=3CB 7.连接0A.因为BC=A元-AB=3AN-3A=3(0示 所以A,B,C三点共线且：4 0-3(0i-0=3(0示-0j, IBCI 所以BC.0=3(0示-Oi)·O 专项小练四 =3(0示.0-1012) l.C:2.A:3.BD:4.2;5.3知 =3×(2×1×c0s120°-12) =3×(-2)=-6. 6.解：(1)因为1a+b12=a2+b2+2a·b=9+16+2 8.因为a+b与c共线，b-c与a共线. ×3×4×c0560°=37， 所以存在实数m,n使a+b=mc,b-c=na, 所以1a+b1=√37. 即b=-a+mc,b=na+c, (2)因为1a-b12=a2+b2-2a·b=9+16-2×3× 所以-a+mc=na+c, 4×c0s60°=13. 因为a,c不共线，所以m=1,n=-1, 所以1a-b1=√13. 所以b-c=-a,(b-c)2=(-a)2,所以2-2b·c=1, 所以cos0=(a+b)·(a-b 1a+b11a-b1 b·c=2 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 设向量b,c的夹角为9， 故选(A)(C)(D). 则1×1xew0=7m0=70=60 1 三填空题 二，多项选择题 12-+7:14 9.BD:10.AB;11.ACD. 提示： 提示： 12.由题知2x-30- 2 b 2C+ 2 x+b=0 9子励=丽≠尿，故(A)错误： 成-分而=a.动：}成：丽，枚( 所以子。 41 .1 正确： 所以x=a-7b+7 A-AN=N≠Mm,故(C)错误： 1 13.因为a+b+2c=0, 心+BD+D示=M心+DN=M,故(D)正确. 故选(B)(D). 所以c=-(a+b), 10.因为1a1=1b1=1且1b-2a1=5, 所以(b-2a)2=b2-4a·b+4a2=1-4a·b+4=3, 两边平方得号=[-(a+b)]2=d+公+2ab, 所以a:b=子 因为a,b,c均是单位向量， 所以1a+b1=√(a+b)=√a+2a·b+b= 所以子=1+1+2ab,所以b=-冬，所以1a-b12= √个+1+1=3，故(A)正确： G+-2ab=1+1-2×(）- a在a+b上的投影向量的模长为。4P。心合 所以1a-b1=⑤ 2 +乞马，放(B)正确： 14.I a+abl=a'+2a.b+b =1+4Ac0s0+4A2 因为1a-Ab12=a2-2Aa·b+A2b2=X2-A+1 =4(+A0+2.2）+ 4 4· =4(A+s0)2 所1。-a1≥号>号 2 +1-cos20 sin0, 即不存在A运R,使得1a一A01=号故(C)错误： 当入=-cos9时，1a+Ab1m=sin0l, 2 当A=-1时，a-Ab=a+b, 此时a-Ab与a+b的夹角为0，不是锐角，故(D)错误 A=-co0cos <0. 故选(A)(B). 11.如图1,20+3(0+A+4(0+AC=90+3A应 因为1a+A61一=宁，所以1血01=分 +4花=0.则d=号店+号花，(A)正确： 因为0e0,司所以血0=之 若0币=20,0元=30i,0示=40元， 所以0=君或0：名 则0i+0呢+0=0， 所以O是△DEF的重心，直线AO过 因为c00<0,所以0=5西 6 EF的中点， 四、解答题 而EF与BC不平行，所以直线AO不 15.解：因为a+3h与2a+h共线， 过BC边的中点，(B)错误： 所以存在实数入，使a+3b=A(2a+b), 又SaWE=SAw=SAF 即(k-2A)a=(Ak-3)b. 而SawE=6SAA0w,S△6r=12SAc, 所以Sae:Same=2:1,(C)正确： 由于a,b不共线，所以-21=0=站=±6. 1Ak-3=0 若101=10成1=10元1=1 即实数k的值为6或-6. 且160心=(20+30)2=40办+120.0元+90。 16.(1)证明：如图2,0成+0元= 所以0,0成=壬 20元.0+0元=20E 而0.=-子(2a+30成·(0成-0d=4(20耐 因为0+20B+30元=(0+ B4 +0成.0话-30成)=-。(D)正确 0元)+2(0房+0C=2(0呢+20元 图2 =0,即20i+0正=0， 2 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 所以0币与0尼共线. 解得t=3,所以△ABC的边长为3. 又0i与0E有公共点O,所以D,E,0三点共线 19.(1)证明：因为e1,e3分别为Ox,Oy正方向上的单位向 量，且夹角为60°， (2)解：由(1)知210元1=10呢1， 所以5e=28am=2x号5a 所以66=1e,161s60=分 所以x1,y·,2 2x号x= =(xe,+y,e2）·(x2e1+2e2) 所以匹=3 =x3ei+xye1·e2+y1e1·e2+y1e SBAoC =1612+之+字+16 17.解：(1)由题意知1a+b12=a2+2a·b+b2=12, 1 又1a1=2,Ib1=4, =+y+2(xn+) 所以a·b=-4, (2)解：因为向量a,b的“@未来坐标”分别为{sinx,I|, 由(2a-b)⊥(ha+b)得(2a-b)·(ha+b)=0, cos a.1. 即2ha2+2a·b-k2a·b-kb2=0. 所以f八x)=a·b=(sin xe,+e)·(cose,+e,) 所以8k-8+4k2-16k=0, =sin xcos xei+sin xe1·e+cos xe1·e,+e 解得k=1±3. 1 (2)a·(3a+b)=3a2+a·b=8. =sin xcos++(sin x+cos). 13a+b1=√9a+6a·b+b=27, 设a与3a+b的夹角为0， 令1=ing+esx=2sim(x+平）小 则w0002x27 8 27 则snos=之f-）. 7 所以a与0+b的夹角的余弦值为2识 因为xeR,所以-2≤2in(x+4）≤2， 即-迈≤t≤迈， 18.解：(1)因为MN∥BC, 所以示=-丽=b-子a 令g0=2+1+1(-2≤1≤2 正=子而：g(+=名+b 因为对称轴为1=一子，函数图象开口向上。 (2)(i)设A=xAC,因为M,E,N三点共线， 所以当1=-方时，g)取得最小值(-）=方× 所以存在唯一的实数A,使得M正=入M, 所以A正-A=A(AN-Ai, (4-+= 即AE=(1-A)AM+AAN, 当1=万时，g)取得最大值g(万)=之×(2+万+) 所以症=1，AA店+AAC 2 =3+2 2 即正=之a+Ah 由（山）可得正=文a+名动， 所以八)的最小值为令，最大值为3士豆 第28期2版 2会=g,且=令 专项小练一 解得A=子=石 21 1:2.BGD:3:43:5号a-a 所以示：右花 专项小练二 m=不-丽=名花-号=名b-之a 1.C:2B:3AGD:4(6,4:5-0 专项小练三 (i)由亦=名0-0=右(-3a+b).花=ga+ 1.B:2.A:3.BD:4.1 6:5.-2 专0=名a+).正=-6得。 第28期3,4版 名(-知+b)·ga+)=-0 平面向量的基本定理及坐标表示同步核心素养测评 即点-3+粉-2a)=-6 一、单项选择题 1~4 DBBB 5~8 BBDB 即(-3n+-2m号）=-6 提示： 1.根据题意，b=2a=2(1,1)=(2,2). 3 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 2.由题意得x2=2(x+4), 当+6=8时，则次数为8+2=10： 解得x=4或x=-2. lc+d 2 3.由题意得b=币-应.c=花-A花=之店-2花， 当+=3时，则次数为3+9=12 lc+d=9 故h+e=-多硒 综上，次数最小值为10. 二、多项选择题 9.AB:10.BC:11.BD. 提示： 4,设正方形边长为2，以A为原点，A,A不为x轴，y轴的正 9.对于(A),假设存在实数入使得e,=Ae2, 方向建立平面直角坐标系， 即(1,0)=A(0,1),即=入×0无解， 则M(2,1),D(0,2),B(2,0),C(2,2),BD=(-2,2), l0=入 依题意A配=AA+uB配， 则e1=(1,0),e2=(0,1)不共线 4 所以可以作为一组基底； = 即2入-24=2解得 3 对于(B),假设存在实数入使得e,=Ae2, 1A+2u=2, μ=3 即1,2)=A-2.期6无解。 所以A+A=子 则e1=(1,2),e2=(-2,1)不共线， 所以可以作为一组基底： 5.由题意可得，设点P(0,y), 对于(C),e,=-5e2, 则P=(2,2-y),P=(5,-2-y）) 所以e1=(-3,4),e2= 共线，所以不可以作 又因为∠MPN为直角， 所以P.P=0, 为一组基底： 即2×5+(2-y)(-2-y）=0, 对于(D),e,=-2e2, 化简可得6+y2=0,方程无实根， 所以e,=(2,6),e2=（-1,-3)共线，所以不可以作为 所以满足要求的点P不存在 一组基底 6.a=(2,x),b=(0,2), 故选(A)(B) 放=202= 10.a与b的夹角为钝角，故a·b<0,且a,b不反向共线， 22+x2 +4= 4 则a·b=(3,k)·(2,-1)=6-k<0且-3-2k≠0， + 解得长>6且6女-子 因为x>0,所以x+生≥2入 4 =4 综上，k>6,(A)正确： 当组仅当x:兰，即x=2时，等号成立， 1a1=√9+≥3，当且仅当片=0时，等号成立， 故|a1的最小值为3，(B)错误： 1b1=√4+T=5,与b共线的单位向量有2个， 为±（后》=±(）（©错误 7.因为AB与a=(L,-2)的夹角为π， 所以AB=ka=(k,-2k)(k<0) 若1a1=31b1,则9+=35 解得k=±6，(D)正确. 因为1AB1=25, 故选(B)(C). 所以√+(-2h)7=25, 1L.如右图，作OE⊥OC,分别以 解得k=-2(舍正)，即AB=（-2,4) OC,OE为x,y轴建立平面直角坐标系， 设点B(x,y),因为A(2,1), 则410.640B(-号） 所以4B=(x-2,y-1)=(-2,4), 所以x=0,y=5,即点B的坐标为(0,5) D(-2,25), 8.由题可得，每次跳跃的路径对应的向量为 a1=(3,4).b1=(4,3),c1=(5,0),d1=(0,5), 设0cs0.sm.0e[0,号 设对应的跳跃次数分别为a,b,c,d,其中a,b,c,d∈N, 则P(4cos0,4sin0), 可得O0=aa1+bb,+cc1+dd 由0d=x0元+y0i可得， =(3a+46+5c,4a+3b+5d)=(33,33). cos 0 4x -2y,sin 0 2 3y.x>0y >0, 则3a+46+5e=33, 若y=x,则cos29+sin20=(4x-2y)2+(23y)2=1, L4m+3b+5d=33 两式相加可得7(a+b)+5(c+d)=66, 解得x=y=子（负值合去），故x+y=之()错误： 因为a+b,c+d∈N, 则+6=8或0+6=3， 若y=2,则cos0=4k-2y=0,0=受 le +d 2 Le d =9. 所以O·O亦=0，故(B)正确： 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 .0亦=（是受）小(4os0,4aino) 解得x=3,所以b=(3,-1), 所以a与b的夹角的余弦值为b a.b =-6eos0+25in0=4,5sin(0-号）， 2×3+2x-）=5 由于9e[0,]故0-号e[-号号]， V2+2×V32+(-1)厅5 16.解：(1)设点P的坐标为(x,y), 放-6≤45sin(日-号）≤6，(C)错误： 则脉=(x-1,y-4),P元=(3-x,3-), 由于P=(1-4eos0,-4sin0), 因为励：方心 i-(3-4so,-4ain, 5 x=3 解得 则.Pm=1-4ms0)×(--4os0+ -4=-w.= (-4n0)×(9-46in0）=}-2s0-25n0=} 所以点P的坐标为（停号） 4in(0+g） (2)设向量0元的坐标为(a,b),即D(a,b), 而0+石e[g] 则Ad=(a-2,b-1),0i=(1,4),0元=(3,3)， 因为Ad∥成，0元⊥0成，则4(a-2)=b-1, 所以m(0+君）e[分小 13a+36=0, 7 所以.成：}-4n(0+君)≥}-4=受故(D) 解得 正确.故选(B)(D). b=-5 三、填空题 2:1B+号：42 所以向量0心的坐标为（子，一子）片 17.解：(1)设D(x,y)(x,y>0), 提示： 依题意可得A正=C心， 12.由已知得AB=(2,1),C⑦=(5,5)，因此B在CD上的 又A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1), 投影向量为·可：15=32。 所以AB=(4,4),CD=(x+1y-1) 1cm152 2e. 所以+1=4解得=3即D(3,5). 13.因为BE=3E. ly-1=4, ly=5, 所以配=子成，床=-=子花， (2)设AE=AA元，Ae[0,1]. 则(m+2,n+4)=A(1,5), 所以成=a+d=a-子花， ①D 所以m+2=小：则m=A-2。 ln+4=5A,ln=5A-4, 成=子成=b+成， ② 所以(m-2)2+n2=(A-4)2+(5A-4)2=26A2-48入 由①+子×2得瓷㎡=a+, 即脉-总+是 因为Ae0.,所以当A=号时，(m-2》P+2取最小值 14.设a=(1,0),b=(1,s),c=(1-s1,),8,leR, 答当A=0时.(m-2)+2取最大值32。 由已知可得：la-b+cl=√(1-st)2+(t-s) =√1+（动）-4++F 所以(m-2产+：的取值范周为[器32] ≥√(s)2-4s+21t1+1, 18.(1)解：不妨设ON=ma+nb.由于A,D,M三点共线， 当且仅当2=2时，取等号， 当s≥0时，有(s)2-21+1≤8，得0≤≤22+1 则存在a(a≠-I)使得A=aM币】 当t<0时，有(s)2-6s+1≤8，得-1≤s<0, 即d+0=a(心+0币，于是Om=+a应 1+a 所以当-1≤s1≤22+1时，-22≤a·c=1-s1≤ 2.所以a·c的最大值为2. 又0而=分0成， 四，解答题 15.解：由题可得a·(a-2b)=a2-2a·b=0, 所以O成= 耐+受丽 1 即(22+22)-2×(2x-2)=0, 1+”=1+a+2动， 5 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 1 m=1+a 所以csa=a:(a-b)=c2-a·b 则 即m+2n=1. ① lali a-bl=lalla-bl 1 n=201+a) 1-46 由于B,C,M三点共线， 则存在B(B≠-1)使得C=BMB,即C可+O=B(Md +0). 故向量a与a-b的夹角的余弦值为6 4” 于是0成.0元+B0远 (3)设向量a与b的夹角为8. 1+B 成=}成， 由题意可知0<0<号.则0<ms0<L, 所以O成=4 O+B0成 因为1a1≥3引1所以0<治≤分 1 1+B 即0<s0<分 1 1 所以 m=4(1+B)`即4m+n=1 ② 因为b因a=:0=b10 a B lajeos 0, n=1+B 所以0<b⑧a<专，即0<4(b©a)<手 1 3 由①2可得m=7n=7, 因为4(b☒a)是整数，所以4(b③a)=1, 所以0成=与+女 所以b©a=子：名=一。 (2)证明：由于E,M,F三点共线， 所以存在实数n()≠-1)使得E=nM 而0<8≤分：即0<。≤分 即d+0=n(心+0，于是O-0匠+n0证 所以子≤es0<1, 1+ 又0正=A0,0亦=u0成 因为a⑧b=a:b-IaL B=bcos 0=4cos 0. 所成。A应：十+骨 又96≤cosB<1,所以9】 1+刀 ￥≤4eos20<4, 所以+=+， 9 1+刀1+刀 ≤a⑧b<4, 1 故a⑧b的取值范围为 小 3 第29期2版 19.解：(1)因为a+2b=(5,3)+2(-3,2)=(-1,7), 专项小练一 所以a⑧(a+2b)=a:(a+2b】 (a+2b)2 1.C:2.D;3.BCD:4.-5;5.-4 .5x1=8 专项小练二 (-1)+72 1.C:2.C:3.ACD:4.等腰： 放a⑧(a+2b)的值为受 (2)设向量a与a-b的夹角为a, 专项小练三 因为向量a,b是单位向量， 1.C:2.A;3.BD:4.123:5.3. 所以1a1=1,Ib1=1, 由(a+b)⑧(2a-b)=i6 5 第29期3,4版 可得a+b）·(2a-b.2g+a·b-B 平面向量的应用同步核心素养测评 (2a-b)2 4a2-4a·b+b 一、单项选择题 =a·b+1.5 1~4 CDCA 5-8 CADD 5-4a…b=16* 提示： 解得a·6=子 1由正弦定理得 b sin A=sin B' 由(a-b2=a2-2ab+B= 3 可得1a-b1=(a-b了=受， 则n=sinA。 2× sin B 2=6 sin 4 6 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 2.F做的功为F·s=1F1s1e0s60°=10×14×2 =70. 因为△ABC是锐角三角形， 3.由余弦定理得 所以0<A<号，0<B<受 BC=V+(3)2-2×1×5×c0s石 6 =1 所以-受<A-B<受 设BC边上的高为h, 又y=mx在(-受受) 上单调递增， 则5auc=方x1x5n号=子x1h,解得= 1 21 所以B=A-B,则A=2B. 4.设△ABC的内角C为最大角， 又0<B<号0<A=2B<号0<C=T-3B<受， 则sc=+)2-+2少<0. 21(1+1) 所以号<B<平由正弦定理得2R=品B=品 2 再由三角形三边关系可得+1+1>1+2， 4>0, 所以2 <2R<2 解得t>1, sin 4 sin 6 所以-2-3<0， 所以Z<R<2. 1t>1. 所以外接圆面积S∈(2π，4π). 解得1<1<3. 二、多项选择题 5.因为3AB+2B元+C=3(0-0+2(0元-0+ 9.BC:10.AD:11.AC. (0-0元=-20i+0i+0C 提示： 所以0+20品+30元=-20+0i+0元 9.选项(A):因为A=45°，C=70°， 所以B=65°，三角形的三个角是确定的值，故只有一解： 即30+0+20元=0， 所以心=3+2石 1 选项(B):因为inC=nB=8S<1,且c>6, b 15 所以角C有两解： 6.在△0AB中，因为∠0AB=45°，∠0BA=105°， 所以∠A0B=180°-45°-105°=30°， 选项(C):因为imB=in4=42<1,且b>a, 7 由正弦定理可知4B OB sin A0B=sin∠OAB 所以角B有两解： 所以186.0B.则0B=365m, 选项(D):因为imB=sin4<1,且b<a, ② 所以角B仅有一解 故选(B)(C). 在直角三角形OTB中， 10.根据题意，得1G1=F,+F2I, m∠80：8品即号=7 39 所以1G12=F,12+1F2I2+21F,1×F21×cos0= 363 21F,12(1+cos0), 解得0T=36m 1G12 7.由题及余弦定理得 a-exato-b 解得F,12=21+c0s)' =b-c×2 +e2-2 因为0∈(0，r)时，y=cos0单调递减， 2bc 化简得+公-c.。心+F-正 所以0越大越费力，0越小越省力，故(A)正确； 由题意知0的取值范围是(0，π)，故(B)错误： 当2+62-e2=0时，即a2+2=2, 1G12 因为1F,12=21+c0s0) 则△ABC为直角三角形： 当a2+62-c2≠0时，得a=b, 所以当0=受时，R,12=1 2· 则△ABC为等腰三角形 综上，△ABC为等腰或直角三角形. 所以1R1:号1G1,故(C)错误： 8.由正弦定理可得a2-2=bc, 1G12 所以a2=+bc 因为1F,12=21+co0)' 由余弦定理得a2=2+c2-2cosA. 所以62+bc=b2+c2-2 becos A, 所以当0=罗时1F2=1G, 即b=c-2 bcos A, 所以1F,1=1G1,故(D)正确， 由正弦定理得sinB=sinC-2 sin Beos A, 故选(A)(D). 因为C=T-(A+B), 1L.由正弦定理a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C, 所以sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 得5·(sin Acos C+sin Ccos A)=2sinB·sinB, sin B sin Acos B-cos Asin B, 即sinB=sin(A-B). 所以5=2sinB,所以sinB= 2 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 因为a=b,B是等腰△ABC的底角， 由于0<A<r,0<B<r,0<C<m,sinA≠0，sinB 所以Be(0,受)所以B=号 ≠0，所以csC=2则C=号 所以△ABC是等边三角形，(A)正确： 所以16=c2=a2+62-2 abeos C=2+b2-ab≥2ab- 若A,B,C,D四点共圆， ab,得ab≤16，当且仅当a=b=4时，等号成立， 则四边形对角互补， 因为CD⊥AB,所以Sae=ulin c=之e·CD, 由()正确知∠D=号sD=-宁 但由于DC=1,DA=3,AC=23时， 故D=学n号-≤26 mD.Cnmc=P+-号 所以CD的最大值为25. 2·DA·DC 2×1×3 四、解答题 -子，所以(B)不正确： 15.解：15km/h=250m/min,250×5=1250m. 设∠D=0, 10 km/hm/minm 则AC2=DC2+DA-2DC·DA·cos0=10-6cos0, 整个过程为A店，B配，C,如图1所示， 所以5ag=5(10-6s0)=55.35o 4 2 2 cos 0. 钟1=0a,成1=120ma1-4g0n Suein A上 A62→D 东 所以Sg边形D =Sac+Sac=多 in0-3 200s0+53 图1 2 16.解：(1)在△ABD中，AD=5,AB=7,∠BDA=60°， 所以由余弦定理AB=AD+BD-2AD·BD·COs∠BDA 2 可得49=25+BD2-2×5·BD·cos60°， 3m(0-号)+9， 则BD2-5BD-24=0, 解得BD=8(BD=-3舍去) 因为0e(0,m),所以im(0-号）e(-号，1小， (2)在△BCD中，∠BDC=∠ADC-∠BDA=75°-60 =15°，又∠BCD=135°， 所以5<Sn≤+3，阴以（©）正魂，(D)不正瑰 则∠CBD=180°-135°-15°=30. 由(1)得BD=8, 故选(A)(C). CD BD 三填空题 由正弦定理得 sin ZCBD=sin∠BcD' 12.1:13.2m;14.23. 8 提示： 母0=5解得0=4江 12.sin 24=2sin Acos A=2a. 17.解：(1)由cos2A-3cos(B+C)=1得 sin C sin C 2be 2c0s2A+3c0sA-2=0, =2×4.25+36-16=1. 即(2cosA-1)(c0sA+2)=0, 6 2×5×6 13.由题意得OP=OB+BP=OA+AP-x=5cm, 解得cmsA=子或cosA=-2(舍去). 在△AOP中，cos:= 0A+0P2-AP2 2·0A·0P 因为0<A<m,所以A=号 9+25-49 1 2×3×5 =-2 2由5=n4=c=5a, 因为&∈(0，)， 得bc=20,又b=5,所以c=4. 所以a号而=a01=2m 由余弦定理得a2=2+c2-2 becosA=25+16-20=21. 14.因为ceos Ccos(A-B)+c=csin2C+bsin Asin C, 解得a=√2T, 所以由正弦定理得sin Ccos Ccos(A-B)+sinC 又由正弦定理得sin Bsin C=nA·”2=inA a a sin Csin'C sin Bsin Asin C, 由于0<C<π，sinC≠0， -× 所以cos Ceos(A-B)+1=sin2C+sin Bsin A, 所以sin Bsin A=eos Ceos(A-B)+1-sin2C 18解：)由正弦边角关系得()广-（台）广。 cos Ceos(A-B)+cos2C cos C[cos(A-B)+cos C] 2sin Acos C+2cos B=2acos C+2cosB, sin B b cos C[cos(A -B)cos(A B) 所以a2-c2=2 abeos C+2cosB, 2cos Csin Asin B, 由余弦定理得a2-c2=a2+b-c2+2 cos B. 8 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 即(1+2co8B)=0 I ABI2 m'd +n'd -2mnd cos 120 所以easB=-方又Be(0,),则B=9 =(m2+n2+mn)2, 由1AC12+1BC12=1ABI2得 (2)由(1)及题设知，b=√a+c-2 accos B= (n2+n+1)d+(m2+m+1)=(m2+n2+mn), √3+5-2x3x5×(7)=7, 整理得m+n+2=mn,而m>0,n>0, 如图2所示，此时MN==子 7 则+2=m≤()小 当且仅当m=n,即m=n=1+3时取等号， 设BM=x,BN=y, 又m+n=1,即有2-41-8≥0， 而1>0，解得1≥2+23， 所以实数1的最小值为2+23 第30期3,4版 图2 平面向量及其应用核心素养综合测评 由余弦定理得x+y-2xye0s2红=MN=49 3 一、单项选择题 49 1~4 CBAB 5~8 BCBB 即x2+y2+xy= 4" 提示： 因为+了+≤产++=+ 3 1.由余弦定理可得a2=b2+e2-2 becos A, 2 所烈以+y号号-骨 即1=3+c2-23c×9, 整理得c2-3c+2=0, _75时取等号， 当组仅当x=y=6 解得c=1或c=2. 2.由题意知1e1=1, 所以Br+BN的最小值为号 所以向量a在向量e上的投影向量为： 19.解：(1)在△ABC中，c0s2A+cos2B-c0s2C=1, （a1m）&=(2mse-e 1 2sin2A 1 2sin'B-1 +2sin2 C 1, 3.设c=(x,y), 则sin2C=sin2A+sin2B, 由正弦定理得c2=a2+2, 则0·c=2x+y=0, b·c=x+2y=32, 所以△ABC是直角三角形，即C:号 解得=~2， (2))知c=受 y=22, 所以|c1=星+y=2+8=√0 则△ABC的三个角都小于120°，如图3， 4.因为在△ABC中，A,B∈(0，T), 由费马点的定义知∠APB=∠BPC= ∠APC=120°， 所以csB=7 设1P1=x,1P呢1=y,1P元1=：， 由S△R+SaBe+S么Ax=S△e得 即sinB=V个-cosB=4 7 图3 1 2+2 ×4 由正弦定理可知inA=asin B= 2 b 2 整理得y+万+和=8， 3 即A=号或号又a<6,则A<B 所以P.P呢+P店.P元+P元.P 所以A:罗不成立，放A=号 11 5.设线段BC的中点为M,则0厉+0C=20. 因为2A0=0+0元，所以40=0 3 则而=分矿=子（店+商=4（访+） (3)由点P为△ABC的费马点， 得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°， 子丽+ PBI mI PCI I PAI nI PCI I PCI d,m 0.n>0.d>0. 由B0,D三点共线得子+ =1,解得1=3 则由|PA|+lPBI=tIPC得m+n=t, 6.如图1，过点P作PM⊥AC,垂足为 由余弦定理得1AC12=+n-2 ndcos120 M,由题意可知∠PAM=∠PBM= =(n2+n+1), 45°， I BC12=d mid 2md cos 1200 (mm+1)d, 则△PAM,△PBM均为等腰直角AD M EB C 图1 9 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 三角形，可得AM=BM=PM, 提示： 且∠PCM=30°，可得MC=3PM. 9.BC=AC-A店=(3,0)，(A)正确： 因为BC=200(3-1)米， 因为2B配-A元=(4，-1)， 则5PM-BM=(3-1)BM=200(5-1). 所以A.(2B元-AC=-5,(B)错误： 解得BM=200米， 因为AB·A亿=-1,1AB1=2,1A记1=5， 所以DE=AB-AD-EB=2BM-AD-EB=350(米). 即隧道DE的长度为350米. 7,正人边形的每个内角为5x0 所以cos8=万×5 -1 巴(0正确： =135° AA+uA记=(2μ-A,4+A)=(3,A+1), 延长GH交直线AB于点M,延长DC交直线AB于点N, 所以2-A=3,解得A=-1,4=1. 则∠HAM=∠AHM=45°， μ+A=A+1, 则△AM为等腰直角三角形， 则u-A=2,(D)正确 且AM=BN=AHeos45°=22， 故选(A)(C)(D). 以点A为坐标原点，AB,AF所 10.因为a=√7，b=3,c=2,所以sinA:sinB:sinC= 在直线分别为x,y轴建立如图2所 a:b:c=√7：3：2，(A)正确： 示的平面直角坐标系， 则A(0,0),B(4,0),M(-22. 由余弦定理得cosA=c+-心.兰+3（万。 2cb 2×2×3 0),N(4+22,0), 分，因为Ae(0,m),所以4=于，(B)错误： 设点P(x,y),则-22≤x≤ 4+22,Ad=(xy),AB=(4,0), 5a安n4=号×2×3×号：0正瑞 所以AB·AP=4x∈[-82， 图2 16+82]. 因为∠DB的平分线交直线CB于点E,A=于， 8.因为(b+c)2-a2=455 所以公+e-。+2e=45,2 besin A. 所以∠BME=号 所以SAA=S△c+S△AE, 即公+2-心+1=5imA, 博时4北×3号=方×3x2n号+4x2n 解得AE=6,(D)正确。 由余弦定理得3sinA-cosA=I, 故选(A)(C)(D) 则2in(4-石）=1 1L.对于(A),由奔驰定理可得S,:Sw:Se=2:3:4,故 (A)错误： 即血(a-君）= 1 对于(B),由d=与店+子心 在△ABC中A∈(0，π)， 即4-e() 即-0耐=与(0成-0励+号(0元-， 整理得20i+0示+20元=0， 则4-石=石故A=号 由奔驰定理可得S,:Sm:Sc=2:1:2,故(B)正确： 由余弦定理得a2=b2+c2-2 becos A=4+9-2×2×3 对于(C),由50+1202+130C=0, ￥2 =7,所以a=7, 可得S,:Sw:Sc=5:12:13, 设△ABC的内切圆半径为r, 由正弦定理得2R=4 分。=门=百，则。 则S:Sn:=之·Bc:7AC:之AB. 所以BC:AC:AB=5:12:13, 因为宁a+b+er=宁oin4, 即BC+AC=AB,所以BC⊥AC, 即LACB=又，故(C)正确： 所以r= besin A 33 a b c 对于(D),=}1010元1sim∠B0C. 5+万5+万 万 s。=10110 sin A0C, 所以R 7+5万 35 9 。=10ia:sin∠A0B, 5+7 因为O为△ABC的垂心， 二、多项选择题 所以sin∠BOC=sin∠BAC,sin∠AOC=sin∠ABC, 9.ACD:10.ACD:11.BCD. sin∠AOB=sin∠ACB, 10