第2章 一元二次方程过关测试卷-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

第2章 一元二次方程过关测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 4．用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A． B． C． D． 5．若是方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2022年年收入550美元，预计2024年年收入将达到1550美元，设2023年到2024年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（   ） A． B． C． D． 8．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根为0 9．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的单价上涨元时，可获得1870元的利润，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 10．关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ） A．p是正数，q是负数 B． C．q是正数，p是负数 D． 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．方程的根是 ． 12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 13．如图，平遥推光漆器是山西省著名的传统手工艺品，距今已有千年历史．某商家销售一款平遥推光漆器，原价为100元，为清理库存，商家推出“折上折”活动，即连续两次打折，折扣相同，打折后的售价为81元，则商家每次打 折． 14．若m是一元二次方程的一个实数根，则代数式 ． 15．在实数范围内定义运算“”和“”，其规则为：，，则方程的解为 ． 16．定义新运算：，例如：，．若，则x的值为 ． 三．解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若是一元二次方程的解，求方程的另一个解． 19．一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18米的住房墙，另外三边用34米长的建筑材料围成，为了方便进出，在平行于住房墙的一边一扇2米宽的门． (1)设矩形猪舍的一边的长为x米，则另一边长为 米（用含x的代数式表示）； (2)若围成的矩形猪舍的面积为160平方米，求的长． 20．某地年种植黄桃亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到今年种植了亩 (1)假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率； (2)一水果店以每件元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如下表： 销售单价（元） 销售量（件） ①求与之间的函数关系式；（不需写出自变量的取值范围） ②若要使每天的销售利润为元，又要让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元？ 21．请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)，则的值是______； (2)求当x为何值时，代数式有最小值？并求出最小值为多少． 22．某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍． (1)求商家购买A书籍和B书籍的进价； (2)商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 一元二次方程过关测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可．解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为熟记：． 【详解】解：A、是一元二次方程，此选项符合题意； B、不是整式方程，此选项不符合题意； C、是一元一次方程，此选项不符合题意； D、中，有2个未知数，此选项不符合题意； 故选：A． 2．关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式及各项系数概念即可求解，掌握一元二次方程的一般形式的各项系数概念是关键． 【详解】解：变形可得， 关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，， 故选：D． 3．把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 将方程左边展开，然后移项，化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． 4．用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，其步骤为：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数． 根据配方法解一元二次方程的步骤即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B ． 5．若是方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根，能正确解方程是解题关键．根据一元二次方程的解，把代入一元二次方程中得到关于的方程，然后解此方程即可． 【详解】解：将代入得：， 解得：． 故选：B ． 6．中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2022年年收入550美元，预计2024年年收入将达到1550美元，设2023年到2024年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 设2023年到2024年该地区居民年人均收入平均增长率为x，则根据题意即可直接列出方程． 【详解】解：设2023年到2024年该地区居民年人均收入平均增长率为x， 则根据题意可列方程为：， 故选：． 7．在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 8．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根为0 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式即可得出，从而得出方程有两个不相等的两个实数根，掌握“当时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键． 【详解】解：∵方程， ∴， ∴方程有两个不相等的两个实数根． 故选：B． 9．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的单价上涨元时，可获得1870元的利润，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可，明确题意，找出等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， 故选：A． 10．关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ） A．p是正数，q是负数 B． C．q是正数，p是负数 D． 【答案】D 【分析】设方程的两根为，方程的两根为．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出，，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出，利用不等式的性质以及完全平方公式得出，即可判断B与D． 【详解】解：方程的两根为，方程的两根为． 根据题意，得，， 故A与C都错误，不符合题意； 由方程有两个实数根，由根的判别式得出， ∴， ∴， ∴， 故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，不等式的性质，完全平方公式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键． 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：， ， 则或， 所以 故答案为：． 12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，平遥推光漆器是山西省著名的传统手工艺品，距今已有千年历史．某商家销售一款平遥推光漆器，原价为100元，为清理库存，商家推出“折上折”活动，即连续两次打折，折扣相同，打折后的售价为81元，则商家每次打 折． 【答案】/九 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设商家每次打折，根据“折上折”可得，再解方程即可． 【详解】解：设商家每次打折，则 ， 解得：（舍去）， 故答案为： 14．若m是一元二次方程的一个实数根，则代数式 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根、代数式求值等知识点，掌握整体思想成为解题的关键． 把代入方程中得，即，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴，即， ∴． 故答案为：2025． 15．在实数范围内定义运算“”和“”，其规则为：，，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算的理解和运用，一元二次方程的解法，根据新定义运算列式，对方程进行变形，由此求得方程的解． 【详解】解： ，， ， 故答案为：． 16．定义新运算：，例如：，．若，则x的值为 ． 【答案】或19/19或 【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程、新定义运算等知识，解题的关键是根据题意找到等量关系式．根据新定义运算法则，分别两种情况，列出方程求解即可． 【详解】解：当时， ， ∴， 当时， ， 解得（舍去）或． 综上所述，x的值为或19． 故答案为：或19． 三．解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； （1）先把常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即或， 解得； （2）解：∵， ∴ ∴， 解得． 18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若是一元二次方程的解，求方程的另一个解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数关系和一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根的判别式，准确计算； （1）根据方程有两个不相等的实数根列出不等式即可求解； （2）利用根与系数关系求解即可． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，， 解得，． （2）解：设方程的另一个解为， 因为若是一元二次方程的解， 所以， 解得． 19．一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18米的住房墙，另外三边用34米长的建筑材料围成，为了方便进出，在平行于住房墙的一边一扇2米宽的门． (1)设矩形猪舍的一边的长为x米，则另一边长为 米（用含x的代数式表示）； (2)若围成的矩形猪舍的面积为160平方米，求的长． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）设，则，解答即可； （2）根据题意，得，解方程解答即可． 本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设，则， 故答案为：． （2）解：∵矩形场地面积为， ∴， 即， 解得：，， 当时，，，符合题意， 当时，，，舍去， 故当时，成立， 答：的长为10米． 20．某地年种植黄桃亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到今年种植了亩 (1)假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率； (2)一水果店以每件元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如下表： 销售单价（元） 销售量（件） ①求与之间的函数关系式；（不需写出自变量的取值范围） ②若要使每天的销售利润为元，又要让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)种植黄桃亩数的年平均增长率为 (2)①；②销售单价应定为元 【分析】本题考查了求一次函数解析式、一元二次方程的应用，理解题意、正确求出一次函数解析式、列出一元二次方程是解题的关键． （1）设种植黄桃亩数的年平均增长率为，根据“年种植黄桃亩，今年种植了亩”，列出方程，求解取舍得出答案即可； （2）①设，代入表格数据得出，求解得出与之间的函数关系式即可；②根据“以每件元的价格购进该种黄桃销售，要使每天的销售利润为元”、总利润单件利润销售量，得出方程求解，根据“要让顾客得到实惠”，取舍得出答案即可． 【详解】（1）解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为， 由题意得：， ∴， ∵增长率大于， ∴， 答：种植黄桃亩数的年平均增长率为； （2）解：①∵黄桃每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系， ∴设， 由表格得：当时，；当时，， 代入得：， 解得：， ∴； ②∵以每件元的价格购进该种黄桃销售，要使每天的销售利润为元，由①得， ∴， 整理得：，即， ∴或， 解得：，， ∵要让顾客得到实惠，， ∴， 答：销售单价应定为元． 21．请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)，则的值是______； (2)求当x为何值时，代数式有最小值？并求出最小值为多少． 【答案】(1) (2)当时，有最小值，最小值为 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读懂题意，得，则，，即可作答． （2）模仿题干，则，结合，则当时，有最小值，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，则， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）解：依题意，， ∵， ∴当时，有最小值． 22．某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍． (1)求商家购买A书籍和B书籍的进价； (2)商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？ 【答案】(1)商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元 (2)29元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元，根据购买书籍的数量是书籍的2倍建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本，根据利润（书籍的售价书籍的进价）书籍的销量（书籍的售价书籍的进价）书籍的销量建立方程，解方程求出的值，再根据要促进书籍的销量，选择较小的值即可得． 【详解】（1）解：设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 则， 答：商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元． （2）解：设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵要促进书籍的销量， ∴， 答：每本书籍的售价为29元． 学科网（北京）股份有限公司 $$