第2章 一元二次方程能力提升测试卷-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

第2章 一元二次方程能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．如图，取一张长与宽之比为的矩形纸板，在四个角各剪去四个边长为的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，若要使包装盒的容积为（纸板的厚度忽略不计），若设矩形纸板的长为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A． B． C．5 D．17 5．对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 6．若a，b是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 7．关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（   ） A．1或5 B．1或 C． D．5 8．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（   ） A． B． C． D． 10．已知关于的一元二次方程为常数，且，下列说法： ①若，则； ②若，则方程必有一个根为0； ③若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则关于的一元二次方程有两个不相等的实根； 其中正确的说法有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，邀请 个球队参加比赛． 12．据售车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年8月至10月，燃油车月销量由72万辆减少到64万辆．设2024年8月至10月新能源车销量的月平均降低率为，则可列方程 ． 13．若m是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 14．如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为 ． 15．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 16．对于实数 a，b，定义运算“﹡”： ．例如，因为，所以 ．若 是一元二次方程的两个根，则 ． 三．解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 18．（8分）关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求的值． 19．（8分）商场以每件20元的价格购进种商品，经市场调查发现该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)该商场规定这种商品每件售价不得高于40元，商场要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 20．（8分）如图，依靠一面长20米的墙，用33米长的篱笆围成一个矩形场地，边上留有1米宽的小门（不用篱笆围），设长为x米．    (1)用含有x的代数式表示边的长，并直接写出x的取值范围； (2)当矩形场地的面积为120平方米时，求的长． 21．（10分）某地一村民，2022年承包种植橙子树100亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2024年一共种植144亩． (1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率； (2)某水果批发店销售该种橙子，经市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 22．（10分）如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D，E同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)用含t的代数式表示 ； ； (2)当为何值时？ (3)在点D运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 一元二次方程能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入已知方程，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴，即， 解得：， 故选：A． 2．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根时，必须满足切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 【详解】解：依题意可得，，解得 关于的一元二次方程， 且． 故选：C． 3．如图，取一张长与宽之比为的矩形纸板，在四个角各剪去四个边长为的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，若要使包装盒的容积为（纸板的厚度忽略不计），若设矩形纸板的长为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出长方体的底面积是解题关键．根据题意用表示出包装盒底边的长和宽，然后用体积公式列方程即可得解． 【详解】 解：包装盒的容积为，矩形纸板的长为， 根据题意可得：， 故选：D． 4．若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A． B． C．5 D．17 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先利用配方法将方程化成的形式，从而可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：， ， ， ∵将一元二次方程化成的形式， ∴， ∴， 故选：C． 5．对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，根据新定义得到，再根据一元二次方程根的判别式即可得出答案，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 6．若a，b是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程的解就是使方程成立的未知数的值和一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：B． 7．关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（   ） A．1或5 B．1或 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系为：，．根据根与系数的关系得到，，整理代入，可求得的值，再根据判别式得出即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两实根， ∴，， ， ∴，解得：， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴； 故选：C． 8．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该小组共有x人，则每人赠送张贺卡，与全组共送贺卡90张，据此列出关于x的一元二次方程即可解答． 【详解】解：设该小组共有x人，则每人赠送张贺卡， 依题意得：． 故选A． 9．如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，在中，利用勾股定理可求出的长度，当运动时间为时，，，根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴， ． 当运动时间为时，，，， 依题意得：，即， 解得：（不合题意舍去）， ∴点，的运动时间为． 故选：B． 10．已知关于的一元二次方程为常数，且，下列说法： ①若，则； ②若，则方程必有一个根为0； ③若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则关于的一元二次方程有两个不相等的实根； 其中正确的说法有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及性质，根据一元二次方程根与判别式的关系以及性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：①若，则是方程的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知，故①正确； ②若，则，即，所以或，所以方程必有一个根为0，故②正确； ③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，则，当且时，关于x的一元二次方程才有两个不相等的实根，故③错误， 故选：C． 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，邀请 个球队参加比赛． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（握手、循环赛问题），根据题意正确列出方程是解题的关键． 设邀请个球队参加比赛，由于赛制为单循环形式，即参赛的每两队之间都要比赛一场，因而每个队都比赛了场，所有队共比赛场，由于每两个队的比赛都被重复计算了一次，因而总比赛场数是场，据此列方程求解即可． 【详解】解：设邀请个球队参加比赛， 赛制为单循环形式，即参赛的每两队之间都要比赛一场， 每个队都比赛了场， 一共有个队参赛， 所有队共比赛场， 队 队比赛和队与队比赛是同一场， 每两个队的比赛都被重复计算了一次， 总比赛场数是场， 计划安排15场比赛， ， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 即：共邀请个球队参加比赛， 故答案为：． 12．据售车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年8月至10月，燃油车月销量由72万辆减少到64万辆．设2024年8月至10月新能源车销量的月平均降低率为，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设2024年8月至10月新能源车销量的月平均降低率为，2024年8月至10月，燃油车月销量由72万辆减少到64万辆．据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：设2024年8月至10月新能源车销量的月平均降低率为，依题意得， ， 故答案为：． 13．若m是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根．熟练掌握一元二次方程根的定义，分解因式，整体代入法求代数式的值，是解决问题的关键． 根据一元二次方程根的定义得到 ，得到，化为，代入计算即得． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 14．如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，准确找出等量关系列出一元二次方程是解题的关键； 设长为，则的长为，再根据长方形的面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设长为，则的长为， 根据题意得，， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴长为． 故答案为：5． 15．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 16．对于实数 a，b，定义运算“﹡”： ．例如，因为，所以 ．若 是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】3或/或3 【分析】本题考查新定义实数运算、解一元二次方程，理解新定义运算法则是解答的关键． 先解出所给的一元二次方程的根，再根据新定义的运算法则分情况求即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ， 解得：或2， ①当，时，； ②当，时，． 故答案为：3或． 三．解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）把原方程变形后利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解： ，，， ， ∴， ∴， （2）解： 整理得： 配方得： 则 ∴， 18．（8分）关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元一次方程，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）直接根据根的判别式证明即可； （2）先根据根与系数的关系求出的值，再代入求解即可． 【详解】（1）证明：在方程中，， 则 因为任何数的平方都大于等于0，即，所以该方程总有两个实数根． （2）解：由根与系数的关系可知， ， 将代入上式得： ， 解得， 经检验，当时，原方程的分母，所以的值为1． 19．（8分）商场以每件20元的价格购进种商品，经市场调查发现该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)该商场规定这种商品每件售价不得高于40元，商场要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一次函数、一元二次方程的实际应用，注意计算的准确性是解题关键． （1）设与之间的函数关系式为：，将点，代入即可求解； （2）根据题意得到，然后解方程求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为：， 将点，代入得：， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：； （2）解：由题意得：， 整理得，， 解得：，， ∵商场规定这种商品每件售价不得高于元， ∴， ∴商品要想获得元的利润，每件商品的售价应定为元． 20．（8分）如图，依靠一面长20米的墙，用33米长的篱笆围成一个矩形场地，边上留有1米宽的小门（不用篱笆围），设长为x米．    (1)用含有x的代数式表示边的长，并直接写出x的取值范围； (2)当矩形场地的面积为120平方米时，求的长． 【答案】(1)米， (2)的长为12米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各边之间的关系，用含x的代数式表示出的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）由篱笆长33米结合米，即可用含x的代数式表示出的长，再由及，可得出x的取值范围； （2）根据矩形的面积公式结合矩形场地的面积为120平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴米． ∵， ∴． （2）解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去），． 答：的长为12米． 21．（10分）某地一村民，2022年承包种植橙子树100亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2024年一共种植144亩． (1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率； (2)某水果批发店销售该种橙子，经市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为 (2)售价应降低6元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，利用该村民2024年种植橙子的亩数该村民2022年种植橙子的亩数该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润每千克的销售利润日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为； （2）解：设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：售价应降低6元． 22．（10分）如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D，E同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)用含t的代数式表示 ； ； (2)当为何值时？ (3)在点D运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 【答案】(1)t，； (2)当时，； (3)的值不可能为5；理由见解析； 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键： （1）根据题意以及路程、速度和时间的关系求解即可； （2）利用三角形的面积公式列方程求解即可； （3）利用三角形的面积公式列方程，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可 【详解】（1）解：∵点D从点C开始沿运动，速度为， ∴， ∵，点E从点B开始沿边运动，速度为， ∴， 故答案为：t，； （2）解：由题意可知，t的最大值为，即， ∵，， ∴， 由题意可知，，，，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴当时，； （3）解：的值不可能为5；理由如下： 由题意可得， ， 假设的值可能为5得， ，即， ∵， ∴方程无解， 故的值不可能为5． 学科网（北京）股份有限公司 $$