专题03 平行四边形的性质和判定（六大题型）（题型专练）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

专题03平行四边形的性质和判定（六大题型） 【题型1 根据平行四边形的性质求边长】 【题型2根据平行四边形的性质求角度】 【题型3根据平行四边形的性质求周长】 【题型4 平行四边形的判定】 【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】 【题型6 平行四边形的性质与判定综合】 【题型1 根据平行四边形的性质求边长】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及等积法，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解 【详解】解：在平行四边形中，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 故选D． 2．（24-25八年级上·上海·期中）如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及翻折变换，由折叠性得，， 根据题意可得，， 则，再根据平行四边形的性质可得，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠性得，， ∵的周长为，的周长为， ∴，， ∴的周长的周长平行四边形的周长， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴ 的周长， 故答案为：． 3.（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，由平行四边形的性质可得，，再由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，中，为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质．连接，如图，利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，再根据平行四边形的性质得到，设，则，然后在中利用勾股定理得到，于是解方程得到的长． 【详解】解：连接，如图， 由作法得垂直平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， 解得， 即的长为5． 故答案为：5． 5．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由平行四边形的性质可得，，进而得，又由角平分线的定义可得，即可得，得到，即得，同理可得，最后根据线段的和差关系即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，， ，，作对角线的垂直平分线，分别交对边，于点E，F，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解． 连接，过点C作，交的延长线于点H，设，则，，在根据勾股定理，即可得到x的值． 【详解】解：如图：连接，过点C作，交的延长线于点H， 平行四边形中，， ， ，， ， ， 又， ， 设，则， 垂直平分， ， 在中，， ， 解得：， 的长为， 故答案为：． 7．（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，过点A作，垂足为E．若，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】过点作于点，根据题意求出，，，，解直角三角形求出，，则，根据平行四边形的性质得到的面积，据此求解即可．本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到的面积是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 的面积，， ， ， 故答案为： 8．（22-23八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；连接并延长，交点．连接，若，，则的长为 ．    【答案】5 【分析】设交于O点，先利用基本作图得到平分，则根据等腰三角形的性质得，，再利用平行四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】设交于O点，如图    由作法得：平分 ， ∵四边形是平行四边形， ∴ 故答案为：5． 【点睛】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质． 9．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在平行四边形中，．的平分线交于点F，交的延长线于点E，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意可以求得和的长，从而可以得到的长，再根据平行线的性质可以得到和的关系，从而可以得到和的关系，进而得到的长，本题得以解决． 本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：在平行四边形中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2根据平行四边形的性质求角度】 10．（24-25九年级上·重庆渝北·期末）如图，将平行四边形的一边延长至点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 根据根据平角等于列式计算求出的度数，再平行四边形的对角相等，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：A． 11．（23-24七年级下·全国·期中）如图，中，，于点 E，于点 F，与交于点 H，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了垂线的定义，平行四边形的性质，三角形内角和定理，对顶角，找出角度之间的数量关系是解题关键．由垂直和平行线的性质，得到，进而得到，再由三角形内角和定理，得到，最后利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：， ， ∵在中，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 12．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，的平分线交线段于点，若，则 ． 【答案】/145度 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 先根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型3根据平行四边形的性质求周长】 13．（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，还涉及了平行线的性质，等角对等边，应熟练掌握．根据平行四边形的性质得到，，利用平行线的性质和角平分线推出，从而得到，求出，即可得到周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长， 故选：D． 14．（23-24九年级上·四川内江·开学考试）如图，在中P是边上一点，且和分别平分和，若，，则的周长是（　　） A．13 B．12 C．11.5 D．10.5 【答案】B 【分析】此题重点考查平四边形的性质、勾股定理等知识，由平行四边形的性质得，，则，，，而，，所以，，，则，，求得，所以，进而求得的周长是12，于是得到问题的答案，推导出是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，，， 是边上一点，且和分别平分和， ，， ，，， ，， ， ， ， ， 的周长是12， 故选：B． 15．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，点是的边的中点，的延长线交于点．则的周长为（    ） A．30 B．25 C．20 D．10 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形性质，涉及中点定义、全等三角形的判定与性质等知识，先由中点定义及平行四边形的性质，结合全等三角形的判定得到，进而得到，即可得到答案，熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：点是的边的中点， ， ， ， 在中，，则， 在和中， ， ， 在中，，则， 的周长为， 故选：C． 16．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，过点作高，垂足刚好为点，，，则▱的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的性质，能灵活应用这两个性质是解题的关键． 根据勾股定理，求出，再根据平行四边形的性质求得结果． 【详解】解：， ， ∴平行四边形的周长是． 故选：A． 17．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，以点D为圆心作弧，交于点，分别以点为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，若，则四边形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，用同一个未知数表示是解题的关键．设，则根据平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质得到，再根据勾股定理求出，即可得解． 【详解】13．解答解：在中， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则； 由作图可知，即， 在中，， 即：，解得：， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 故答案为： 18．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在周长为的中，，，相交于点，交于，则的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是平行四边形的性质及线段垂直平分线的性质，解答此题的关键是将三角形的三边长转为平行四边形的一组邻边的长之和．先根据平行四边形的性质得出垂直平分，再利用垂直平分线的性质即可求出，所以的周长． 【详解】解：中，相交于点， 为的中点， ， ∴垂直平分， ， 的周长， 的周长为． 故答案为：10． 19．（22-23八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在平行四边形中，O是、的交点，过点O与垂直的直线交边于点E，若的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由平行四边形的对角线相交于点O，，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由平行四边形的，继而可得的周长等于． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵的周长， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：． 【题型4 平行四边形的判定】 20．（2025八年级下·全国·专题练习）依据所标数据，一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由数据可知，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定为平行四边形，故选项A不符合题意； B、由数据可知，一组对边平行且相等，能判定为平行四边形，故选项B符合题意； C、由数据可知，只有一组对边平行，不能判定为平行四边形，故选项C不符合题意； D、由数据可知，有三条边相等，不能判定为平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 21．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形中，已知，对角线，相交于点，若增加下列条件，则可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边的判定定理是解题的关键．根据平行四边的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A. 由，，不能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B. 由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C. ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； D. 由，，不能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：C． 22．（23-24八年级下·全国·单元测试）在四边形中，下列条件不能使四边形成为平行四边形的是（    ） A．， B． ， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由平行四边形的判定定理分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：如图： A. 当，时，四边形是平行四边形，不符合题意； B.当，时，四边形是平行四边形，不符合题意； C.当，时，四边形是平行四边形，不符合题意； D.当，时，不能判定四边形是平行四边形，符合题意． 故选：D． 23．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四边形的对角线相交点O，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．由平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、 ， ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意； B、 ， ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意； C、 ， ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意； D、 ， ，不可以判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选：D． 24．（24-25九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点．要添加一个条件使四边形是平行四边形，不能添加（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用平行四边形的判定与性质．根据可得，利用平行四边形的判定可知，如，则四边形是平行四边形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， A．如， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴A选项不符合题意， B．如添加，无法证明四边形是平行四边形， ∴B选项不符合题意， C.如， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴C选项不符合题意， D．如， 则， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴D选项不符合题意， 故选：B． 25．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，平分平分．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质得到，，根据角平分线的性质，结合平行线的性质，得到，进而得到，结合，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵，即， ∴四边形是平行四边形． 26．（24-25九年级上·江西抚州·期中）如图，，且，是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行证明，即可作答． 【详解】证明：∵是的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】 27．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，且于，于． 求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，由平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点，分别是，的中点， ，， ， ，， ， 在和和中， ， ； （2）因为， 所以， 因为，（或因为，所以）， 所以， 四边形是平行四边形． 28．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在四边形中，为的中点，，， (1)求证： (2)当时，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）利用即可证明； （2）首先证明四边形是平行四边形，推出即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ， 是中点， ， ∵， ∴； （2）解：， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， ，为的中点， ． 29．（2023·浙江湖州·一模）如图，E、F是的对角线上的两点，且，，连接，． (1)求证：． (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）利用证明，可得； （2）结合（1）中条件证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：由得：，， ∴四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 30．（22-23八年级上·湖南长沙·期中）如图，． (1)求证：≌； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长 【分析】（1）根据，证得四边形是平行四边形，进而利用证明≌； （2）利用平行四边形的性质求出平行四边形的周长即可． 【详解】（1）证明：∵， 四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ≌； （2）解：由可知，，， 四边形的周长． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【题型6 平行四边形的性质与判定综合】 31．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． （1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据三角形的中位线的性质即可得证； 【详解】（1）∵是的中点， ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 （2）∵及分别是的中点， ∴是的中位线 ∴ 32．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点， (1)根据平行四边形的性质，得，，根据平行线的性质，得，则，根据可以证明，得，，从而证明，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形； (2)根据勾股定理得到,连接交于，进而可以得到的长，然后利用三角形面积公式即可得解； 熟练掌握其性质并能正确得到是解决此题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：， ， ， ， ． 33．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在四边形中， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)216 【分析】本题考查了平行四边的性质与判定，勾股定理，求平行四边的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由平行线的性质得，因为得，则两组对应边互相平行的四边形是平行四边形，即可作答． （2）运用勾股定理列式，，则，解出，再运算出，结合平行四边形的面积等于底乘高，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作 设 ∵ ∴在 在 则 解得 ∴ 则四边形的面积 34．（22-23八年级下·江西宜春·阶段练习）如图所示，将的边延长至点，使，连接，是边的中点，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，，进而利用已知得出，，进而得出答案； （2）首先过点作于点，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，是边的中点， ，， 四边形是平行四边形 （2）解：过点作于点，    由（1）得：四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形，， ，，， ， ， 在中，， ， 又 是边的中点， ， ， 在中，， ． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等、直角三角形的性质，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键． 35．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，，E、F分别是的中点，延长至点D，使，连接交于点O．      (1)证明：与互相平分； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理即可证明四边形是平行四边形，从而结论可证明； （2）在中由勾股定理即可完成求解． 【详解】（1）证明：∵E、F分别是的中点， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵F是的中点，， ∴， 由（1）知，与互相平分； ∴； 在中，由勾股定理得：． 即的长度为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质等知识，证明四边形是平行四边形是关键． 36．（22-23八年级下·四川·期末）如图，在四边形中，，，为边上一点，连接，相交于点F，且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)取中点，连接，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明得到，进而证明得到，由此即可证明四边形是平行四边形； （2）如图所示，过点C作于H，由平行四边形的性质得到，证明为的中位线，得到，再证明，求出，则，利用勾股定理求出则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，过点C作于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵G为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴．      【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形的性质与判定条件是解题的关键． 37．（22-23八年级下·广东惠州·期中）如图，中，，、分别为、的中点，连接，过作交的延长线于；    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明是的中位线，得到，再由，可证明四边形为平行四边形，由此即可证明； （2）先证明是等边三角形得到，，利用勾股定理求出，则由平行四边形的性质可得． 【详解】（1）证明：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，即， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵为中点， ∴， ∴在中，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 38．（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，的平分线分别与线段交于点F，E，与交于点G． (1)求证：． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义证明，得到，即可证明；再根据平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，同理可得，则； （2）过点C作交于K，交于点I，证明四边形是平行四边形，，得到，再证明，得到，则，同理证明，得到，求出，则． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，， ∴． ∵分别是的平分线， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴； （2）解：过点C作交于K，交于点I， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义等等，正确作出辅助线是解题的关键． 39．（黑龙江哈尔滨·一模）已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接． (1)求证：互相平分； (2)若，求四边形的周长和面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长为12，四边形的面积为 【分析】（1）证明互相平分，只要证是平行四边形，利用两组对边分别平行来证明． （2）首先证明出是等边三角形，然后根据平行四边形的周长公式求解，过D点作于点G，根据勾股定理求出，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∵分别是和的角平分线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴即 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴互相平分； （2）∵， ∴是等边三角形 ∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形的周长； 过D点作于点G， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03平行四边形的性质和判定（六大题型） 【题型1 根据平行四边形的性质求边长】 【题型2根据平行四边形的性质求角度】 【题型3根据平行四边形的性质求周长】 【题型4 平行四边形的判定】 【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】 【题型6 平行四边形的性质与判定综合】 【题型1 根据平行四边形的性质求边长】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，过点作，垂足为．若，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．3 2．（24-25八年级上·上海·期中）如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ． 3.（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 4．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，中，为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若，，则的长为 ． 5．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是 ． 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，， ，，作对角线的垂直平分线，分别交对边，于点E，F，则 ． 7．（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，过点A作，垂足为E．若，，，则的长为 ．    8．（22-23八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；连接并延长，交点．连接，若，，则的长为 ．    9．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在平行四边形中，．的平分线交于点F，交的延长线于点E，则的长为 ． 【题型2根据平行四边形的性质求角度】 10．（24-25九年级上·重庆渝北·期末）如图，将平行四边形的一边延长至点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·全国·期中）如图，中，，于点 E，于点 F，与交于点 H，则 ． 12．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，的平分线交线段于点，若，则 ． 【题型3根据平行四边形的性质求周长】 13．（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 14．（23-24九年级上·四川内江·开学考试）如图，在中P是边上一点，且和分别平分和，若，，则的周长是（　　） A．13 B．12 C．11.5 D．10.5 15．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，点是的边的中点，的延长线交于点．则的周长为（    ） A．30 B．25 C．20 D．10 16．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，过点作高，垂足刚好为点，，，则▱的周长是（     ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，以点D为圆心作弧，交于点，分别以点为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线交于点E，若，则四边形的周长是 ． 18．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在周长为的中，，，相交于点，交于，则的周长为 ． 19．（22-23八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在平行四边形中，O是、的交点，过点O与垂直的直线交边于点E，若的周长为，则的周长为 ． 【题型4 平行四边形的判定】 20．（2025八年级下·全国·专题练习）依据所标数据，一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形中，已知，对角线，相交于点，若增加下列条件，则可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 22．（23-24八年级下·全国·单元测试）在四边形中，下列条件不能使四边形成为平行四边形的是（    ） A．， B． ， C．， D．， 23．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四边形的对角线相交点O，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在中，对角线相交于点O，E，F是对角线上的两点．要添加一个条件使四边形是平行四边形，不能添加（    ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，平分平分．求证：四边形是平行四边形． 26．（24-25九年级上·江西抚州·期中）如图，，且，是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】 27．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，且于，于． 求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 28．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在四边形中，为的中点，，， (1)求证： (2)当时，求长． 29．（2023·浙江湖州·一模）如图，E、F是的对角线上的两点，且，，连接，． (1)求证：． (2)连接交于点，若，，求的长． 30．（22-23八年级上·湖南长沙·期中）如图，． (1)求证：≌； (2)若，，求四边形的周长． 【题型6 平行四边形的性质与判定综合】 31．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求证： 32．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的面积． 33．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在四边形中， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)当时，求四边形的面积． 34．（22-23八年级下·江西宜春·阶段练习）如图所示，将的边延长至点，使，连接，是边的中点，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 35．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，，E、F分别是的中点，延长至点D，使，连接交于点O．      (1)证明：与互相平分； (2)若，，求的长度． 36．（22-23八年级下·四川·期末）如图，在四边形中，，，为边上一点，连接，相交于点F，且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)取中点，连接，若，，，求四边形的面积． 37．（22-23八年级下·广东惠州·期中）如图，中，，、分别为、的中点，连接，过作交的延长线于；    (1)求证：； (2)若，求的长． 38．（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，的平分线分别与线段交于点F，E，与交于点G． (1)求证：． (2)若，求的长度． 39．（黑龙江哈尔滨·一模）已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接． (1)求证：互相平分； (2)若，求四边形的周长和面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$