专题06 正方形的性质与判定（七大题型）（题型专练）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

专题06 正方形的性质与判定（七大题型） 【题型1根据正方形的性质求角度】 【题型2根据正方形的性质求边长】 【题型3根据正方形的性质求面积】 【题型4添一个条件使四边形是正方形】 【题型5证明四边形是正方形】 【题型6正方形的判定与性质综合】 【题型7正方形与折叠综合】 【题型1根据正方形的性质求角度】 1．（22-23八年级下·湖北荆州·期中）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（2024·广东江门·二模）如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连接，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西玉林·期中）如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，正方形内有一等边，则的度数是 ．    5．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则 ． 6．（2024·陕西渭南·二模）将边长相等的正五边形和正方形按如图位置摆放，为正五边形和正方形的一条公共边，点C、D分别为正五边形和正方形的一个顶点，连接，则的度数为 ． 7．（23-24八年级下·广西防城港·期中）如图，是正方形的对角线，点E是延长线上的点，且，则 ． 【题型2根据正方形的性质求边长】 8．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，直线，，分别过正方形的三个顶点A，B，C，且相互平行，若，的距离为8，，的距离为6，则正方形的对角线长为（   ） A．10 B． C．14 D． 9．（2022九年级上·吉林长春·学业考试）如图，四边形是正方形，经过对角线交点的一条直线分别交、于E、F，G是上一点，．已知，，的长是（   ） A． B．9 C． D． 10．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形与四边形都是正方形，点，分别在，上，连接，，，若，，则的长为 ． 11．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在正方形中，，P是上任意一点，过点P分别作，，垂足为E和F，则 ． 12．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，直线过正方形的顶点，点、点到直线的距离分别为1和2，则正方形的边长是 ． 13．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线则图（1）中菱形的对角线长为 ． 14．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，在正方形和正方形中，点在上，点、、在同一条直线上，，，是的中点，连接，则的长是 ． 【题型3根据正方形的性质求面积】 16．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）如图，正方形的边长为5，点E，F分别是对角线上的两点，，，，，垂足分别为G，I，H，J，则图中阴影部分的面积等于（    ） A．25 B． C． D． 17．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，点E是正方形的边上一点，连接，过点A作交的延长线于点F，连接．若，，则的面积为（   ） A．3 B．5 C．8 D．10 18．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，在菱形中，，，则以为边长的正方形的面积为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 19．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在和边上，，，，则的面积为（   ） A．3 B．8 C． D．12 20．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图①，将边长为的正方形纸片做成七巧板，并用这副七巧板拼成“温暖小屋”（图②），则图中涂色部分的面积是 ． 21．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，将个边长都为1的正方形按如图所示的方法摆放，点分别是正方形对角线的交点，则2025个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为 ． 22．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，正方形的对角线交于点，是边上的一点，连接，过点作交于点，若，求四边形的面积． 【题型4添一个条件使四边形是正方形】 23．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知菱形的对角线为和，下列条件中，不能使菱形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 24．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）在平行四边形中，，要使四边形是正方形，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D．平行四边形的对角线互相平分 25．（2024·河北沧州·三模）已知四边形是平行四边形，若，要使得四边形是正方形，则需要添加条件（    ） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，添加下列条件不能判定矩形为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【题型5证明四边形是正方形】 27．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，的平分线交于的平分线交于，求证：四边形是正方形． 28．（24-25九年级上·江西九江·期中）已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为，，的中点，连接，，，． (1)求证：； (2)当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 29．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)若为等腰直角三角形，，求证：四边形是正方形． 30．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点，，．求证：四边形为正方形． 31．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点E，F，G，H分别是的中点． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形． 【题型6正方形的判定与性质综合】 32．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 33．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，在矩形中，点，分别在，上．将矩形分别沿，翻折后点，均落在点处，此时，，三点共线，若． (1)求证：矩形为正方形； (2)若，求的长． 34．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）已知：四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若正方形的边长为，，求正方形的边长． 35．（23-24八年级下·广西南宁·期末）在正方形中，点P在对角线上，点E，F分别在边，上，且于点P． (1)特例发现：如图1，当点P在对角线，的交点处时，求证：； (2)探究证明：如图2，当点P不在对角线，的交点处时，判断与的数量关系，并说明理由； (3)拓展运用：在（2）的条件下，若，，连接，请直接写出的长． 36．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 37．（22-23八年级下·广东江门·期中）如图，四边形是正方形，M是边上的点，N是边上的点，已知．    (1)求证：； (2)若，，求正方形的边长． 38．（22-23八年级下·贵州遵义·期末）已知，四边形是正方形，点(不与点重合)是对角线上一个动点． (1)【问题解决】 如图①，连接，，求证：； (2)【问题延伸】 如图②，连接，过点作交线段于点，连接．求的度数； (3)【拓展应用】 如图③，连接，过点作交线段于点，在点的运动过程中，请直接写出线段，，的数量关系．      【题型7正方形与折叠综合】 39．（2025·陕西西安·一模）如图，正方形的边长为6，将正方形折叠，使顶点D 落在边上的点E 处，折痕为．若点E恰好是的中点，则线段的长为（   ） A． B． C．3 D． 40．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，已知正方形纸片，M、N分别是、的中点，把边向上翻折，使点C恰好落在上的P点处，为折痕，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 41．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 42．（24-25九年级下·河南驻马店·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，正方形的点A的坐标为，E是线段上一点，且，沿折叠后B点落在点F处，那么点F的坐标为 ． 43．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 44．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接． (1)求证； (2)如图，若正方形边长为，点为的中点，连接，求线段的长； (3)在（）的条件下求出的面积． 45．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    46．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）【操作感知】如图1，在矩形纸片的边上取一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，则的大小为______度． 【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点Q，连接． （1）证明：； （2）若正方形的边长为4，点为中点，则的长为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 正方形的性质与判定（七大题型） 【题型1根据正方形的性质求角度】 【题型2根据正方形的性质求边长】 【题型3根据正方形的性质求面积】 【题型4添一个条件使四边形是正方形】 【题型5证明四边形是正方形】 【题型6正方形的判定与性质综合】 【题型7正方形与折叠综合】 【题型1根据正方形的性质求角度】 1．（22-23八年级下·湖北荆州·期中）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了正方形和等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 由正方形，等边得到，，，得是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质即可求出，进而根据即可解答． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ∵是等边三角形，， ，， 是等腰三角形，， ， ∴． 故选：C. 2．（2024·广东江门·二模）如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连接，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四边形是正方形，得到，根据得到，选择即可． 本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 故选C． 3．（23-24八年级下·广西玉林·期中）如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角求出，根据菱形的对角线平分一组对角可得，计算即可得解．本题主要考查了正方形的对角线平分一组对角，菱形的对角线平分一组对角的性质，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：是正方形的对角线， ， 是菱形的对角线， ． 故选：B． 4．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，正方形内有一等边，则的度数是 ．    【答案】/30度 【分析】本题主要考查了正方形的性质以及等边三角形的性质，由正方形的性质可得出，由等边三角形的性质的得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵是正方形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为： 5．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握这三种性质是关键；由题意得是等腰三角形，则可求得的度数；同理可求得的度数，由即可求解． 【详解】解：正方形中，； 为等边三角形， ， ，， ； 同理，； ； 故答案为：30． 6．（2024·陕西渭南·二模）将边长相等的正五边形和正方形按如图位置摆放，为正五边形和正方形的一条公共边，点C、D分别为正五边形和正方形的一个顶点，连接，则的度数为 ． 【答案】81 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边对等角，正五边形内角和定理，先根据正方形的性质得到，再求出，进而求出，据此可得答案． 【详解】解：由正方形的性质可得， 由正五边形的性质可得，， ∴， ∴， 故答案为：81． 7．（23-24八年级下·广西防城港·期中）如图，是正方形的对角线，点E是延长线上的点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边对等角，先由正方形的性质得到，则，再根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2根据正方形的性质求边长】 8．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，直线，，分别过正方形的三个顶点A，B，C，且相互平行，若，的距离为8，，的距离为6，则正方形的对角线长为（   ） A．10 B． C．14 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等及勾股定理，关键是根据题意作出辅助线，建立一线三等角的全等模型．添加垂直辅助线，通过证明三角形全等将已知线段转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理得解． 【详解】解：如图，过C作于点M，过A作于点N， 则，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴正方形对角线的长． 故选：B． 9．（2022九年级上·吉林长春·学业考试）如图，四边形是正方形，经过对角线交点的一条直线分别交、于E、F，G是上一点，．已知，，的长是（   ） A． B．9 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，关键是由正方形的性质与勾股定理求得的长度．连接、交于点，根据正方形的性质，证明，，再结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接、交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∵经过点， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， 故选：D． 10．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形与四边形都是正方形，点，分别在，上，连接，，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，利用面积关系列出等式是解题的关键． 由正方形的性质可得，，由面积关系列出等式即可求解． 【详解】解：四边形与四边形都是正方形， ，， ， ， ， ， 即， 化简得：， ， ， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在正方形中，，P是上任意一点，过点P分别作，，垂足为E和F，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理：连接，根据正方形的性质得出，，，根据三角形的面积得出，将值代入计算即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，直线过正方形的顶点，点、点到直线的距离分别为1和2，则正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，过点分别作的垂线，垂足分别为，证明得出，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， 四边形是正方形， ，． ，， ，． ． ． 点、到直线的距离分别是和，即，， ． ∴． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线则图（1）中菱形的对角线长为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理求出，连接、交于点，则，由菱形的性质结合题意得出为等边三角形，则，由勾股定理求出，进而即可得解． 【详解】解：在正方形中，，， ∴， ∵，， ∴， 如图，连接、交于点，则， 在菱形中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 14．（24-25九年级上·广东梅州·期中）如图，在正方形和正方形中，点在上，点、、在同一条直线上，，，是的中点，连接，则的长是 ． 【答案】 【分析】根据题意连接，延长交于，继而得到，四边形是矩形，，，，，由勾股定理得，由是的中点，，可得，继而求出本题答案． 【详解】解：连接，延长交于， ∵正方形和正方形， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形性质，矩形判定及性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边一半，正确添加辅助线是解决本题的关键． 【题型3根据正方形的性质求面积】 16．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）如图，正方形的边长为5，点E，F分别是对角线上的两点，，，，，垂足分别为G，I，H，J，则图中阴影部分的面积等于（    ） A．25 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题． 根据轴对称图形的性质，可以得到四边形的面积与四边形的面积相等，从而得到阴影的面积是正方形面积的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，正方形的边长为2， ∴直线是正方形的对称轴，， ∵，，，，垂足分别为G，I，H，J． ∴根据对称性可知：四边形的面积与四边形的面积相等， ∴， 故选：B． 17．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，点E是正方形的边上一点，连接，过点A作交的延长线于点F，连接．若，，则的面积为（   ） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是证明出． 首先根据题意证明出，得到，然后利用勾股定理求出，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的面积为． 故选B． 18．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，在菱形中，，，则以为边长的正方形的面积为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质是解答此题的关键． 先根据菱形的性质得出，再由可知是等边三角形，故可得出的长，根据正方形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：四边形是菱形，， ． ， 是等边三角形， ， ∴． 故选：D． 19．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在和边上，，，，则的面积为（   ） A．3 B．8 C． D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形中面积的计算，解题关键是发现平行四边形． 本题主要考查了正方形中面积的计算，解题关键是发现平行四边形．由正方形，，，，得，得四边形为平行四边形，得，得，即可得的面积． 【详解】解：在正方形中，，，， 得， 得四边形为平行四边形， 得， 得， 得的面积． 故选：D． 20．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图①，将边长为的正方形纸片做成七巧板，并用这副七巧板拼成“温暖小屋”（图②），则图中涂色部分的面积是 ． 【答案】25 【分析】由图形性质求解，可得，再结合面积公式计算即可． 【详解】解：将边长为的正方形纸片做成七巧板， ∴七巧板如图所示： ∴，，， ∴， ∴， ∴图中涂色部分的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查七巧板．等腰直角三角形，平行四边形，正方形的性质，勾股定理的应用，根据图形间的关系得出面积之间的关系是解题关键． 21．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，将个边长都为1的正方形按如图所示的方法摆放，点分别是正方形对角线的交点，则2025个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为 ． 【答案】506 【分析】本题主要考查了正方形部分重叠问题．熟练掌握正方形性质，全等三角形的判定与性质，割补法求图形面积，是解决本题的关键． 正方形的中心为，、分别与所在的正方形交于点E、F，连接，，证明，可得，求出每个阴影部分的面积都是，根据2025个正方形照这样重叠有2024个阴影部分求解即可． 【详解】解：如图，正方形的中心为，、分别与所在的正方形交于点E、F，连接，， 在正方形中，，，， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 同理可得每个阴影部分的面积都是， ∵2025个正方形照这样重叠，每两个正方形的重叠面积都是，共2024个， ∴2025个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为． 故答案为：506． 22．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，正方形的对角线交于点，是边上的一点，连接，过点作交于点，若，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，进而可证，得到，即得，由求出即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【题型4添一个条件使四边形是正方形】 23．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知菱形的对角线为和，下列条件中，不能使菱形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质及正方形的判定．在菱形基础上添加一个内角为直角或者对角线相等即可得到正方形，据此求解即可． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等． A、当时，菱形是正方形，选项不符合题意； B、当时，菱形是正方形，选项不符合题意； C、当时，，菱形是正方形，选项不符合题意； D、当时，菱形不能确定是正方形，选项符合题意； 故选：D． 24．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）在平行四边形中，，要使四边形是正方形，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D．平行四边形的对角线互相平分 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的判定，根据矩形的判定定理得到四边形为矩形，再根据正方形的判定定理判断即可．掌握邻边相等的矩形是正方形是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形中，， ∴四边形是矩形，此时，，，对角线互相平分， ∴当时，四边形是正方形， 故选：B． 25．（2024·河北沧州·三模）已知四边形是平行四边形，若，要使得四边形是正方形，则需要添加条件（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了添一个条件使四边形是正方形，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可得四边形是菱形，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，得出答案即可，熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴再添加条件，即可判定四边形是正方形， 故选：B． 26．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，添加下列条件不能判定矩形为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法． 根据正方形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、对角线垂直的矩形是正方形，不符合题意； B、邻边相等的矩形是正方形，不符合题意； C、由无法证明矩形为正方形，故符合题意； D、∵在矩形中，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴矩形是正方形，故不符合题意． 故选：C． 【题型5证明四边形是正方形】 27．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，的平分线交于的平分线交于，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．首先结合矩形的性质证明四边形是平行四边形，再根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”证明四边形是矩形，然后根据“邻边相等的矩形为正方形”证明四边形是正方形． 【详解】证明：如下图， 四边形是矩形， ， ． 平分， ， ， ； 同理可得， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 28．（24-25九年级上·江西九江·期中）已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为，，的中点，连接，，，． (1)求证：； (2)当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识； （1）由菱形的性质得出，，由已知证出，由证明即可； （2）由三角形中位线定理证出，，，得到，证出四边形是菱形，再证出，进而得四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为，，的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为，，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 29．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)若为等腰直角三角形，，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质． （1）由“”可证，由全等，可得； （2）先根据（1）的结论得到四边形是平行四边形，然后等腰直角三角形的性质得到，，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴； （2）∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵为等腰直角三角形，，为中线， ∴，， ∴平行四边形是正方形． 30．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点，，．求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的证明，根据，可得四边形为平行四边形；结合可得四边形为矩形，进而得，再由平分得，即可求证； 【详解】证明：∵，． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形． ∴， ∵平分， ∴， ∴四边形为正方形． 31．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点E，F，G，H分别是的中点． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论． (2)当满足什么条件时，四边形是正方形． 【答案】(1)平行四边形，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、正方形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形中位线定理得出，且，再由平行四边形的判定定理即可得证； （2）由得出，则四边形为矩形，再由得到，继而即可得证． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形． 证明：∵分别是边的中点， ∴，且， 同理：，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是正方形， 由（1）可得：四边形是平行四边形， 同上可得：， ， ∴， ， 四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形． 【题型6正方形的判定与性质综合】 32．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，作于，于，根据正方形的性质可得，进而说明，再证明可得，再结合四边形是矩形即可证明结论； （2）同（1）的方法判断出得到，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图，作于，于，则，   点是正方形对角线上的点， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， ∴， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形． （2）解：的值是定值，定值为，理由如下： 正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是定值． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、矩形的判定、三角形的全等的性质和判定、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 33．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，在矩形中，点，分别在，上．将矩形分别沿，翻折后点，均落在点处，此时，，三点共线，若． (1)求证：矩形为正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由翻折得，，，则，所以，而，即可证明，而四边形是矩形，所以四边形是正方形； （2）由翻折和正方形的性质得出，根据，得出，，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】（1）证明：由翻折得，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形，且， 四边形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的长是8． 【点睛】此题重点考查正方形的判定、折叠的性质、勾股定理、矩形的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 34．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）已知：四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若正方形的边长为，，求正方形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2)正方形的边长为 【分析】（1）作于，于，得到，然后证得，得到，则有，根据正方形的判定即可证得矩形是正方形； （2）证明，可得，，进而可证明，连接，利用勾股定理即可求得正方形的边长． 【详解】（1）证明：如图，作于，于， 得矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； （2）解：正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 连接， ， ， 正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确作出辅助线，证得是解题的关键． 35．（23-24八年级下·广西南宁·期末）在正方形中，点P在对角线上，点E，F分别在边，上，且于点P． (1)特例发现：如图1，当点P在对角线，的交点处时，求证：； (2)探究证明：如图2，当点P不在对角线，的交点处时，判断与的数量关系，并说明理由； (3)拓展运用：在（2）的条件下，若，，连接，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可得证； （2）过点P分别作的垂线，垂足分别为M，N ．证明，即可得出结论； （3）勾股定理求出的长，证明是等腰直角三角形，进一步进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴．    ∴都是等腰直角三角形． ∴．    ∵， ∴． ∴， 即．    在和中 ∴．    ∴． （2）解：过点P分别作的垂线，垂足分别为M，N ． ∵四边形是正方形， ∴． ∴四边形是矩形． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是正方形． ∴． ∴即． 在和中 ∴． ∴． （3）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式．解题的关键是证明三角形全等． 36．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）作于P，于Q，证明，即可； （2）勾股定理得到，进而得到为的中点，得到点F与C重合，矩形为正方形，即可得出结果； （3）分与的夹角为和与的夹角为，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， 作于P，于Q， ∴四边形为矩形，为等腰直角三角形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2中，在中，， ∵， ∴， ∴为的中点， ∴， ∴点F与C重合，矩形为正方形， ∴． （3）解：①当与的夹角为时，点F在BC边上，， 则， 在四边形中，由四边形内角和定理得：， ②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示： ∵， ∴， 综上所述，或． 37．（22-23八年级下·广东江门·期中）如图，四边形是正方形，M是边上的点，N是边上的点，已知．    (1)求证：； (2)若，，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，，进而得到，再根据得到结论； （2）设正方形边长为，则，，根据勾股定理计算． 【详解】（1）证明：如图，将绕点D逆时针旋转，使与重合，点M落在点H处， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 即， ， ， ， ；    （2）解：由（1）得， 设正方形边长为，则，， 在中，， 即， 解得，（舍去）， 正方形的边长为12． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质以及旋转的性质，利用旋转的性质构造三角形全等是解题的关键． 38．（22-23八年级下·贵州遵义·期末）已知，四边形是正方形，点(不与点重合)是对角线上一个动点． (1)【问题解决】 如图①，连接，，求证：； (2)【问题延伸】 如图②，连接，过点作交线段于点，连接．求的度数； (3)【拓展应用】 如图③，连接，过点作交线段于点，在点的运动过程中，请直接写出线段，，的数量关系．      【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，再加上公共边即可用判定； （2）过点作于，于，证四边形是正方形，得到，再用判定，得到，推出是等腰直角三角形即可解决问题； （3）过点作于，的延长线交于，于，根据（2）中的结论，由等腰直角推出与的关系，判定四边形是矩形，得到与、、的关系，即可推出线段，，的数量关系． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 又， ； （2）解：如图②，过点作于，于，   ， 四边形是矩形， 平分，于，于， ， 矩形是正方形， ， ， ， ， 又， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ； （3）解：如图③，过点作于，的延长线交于，于，    由（2）可知四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， 又， ， ，， 是等腰直角三角形， ，， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【题型7正方形与折叠综合】 39．（2025·陕西西安·一模）如图，正方形的边长为6，将正方形折叠，使顶点D 落在边上的点E 处，折痕为．若点E恰好是的中点，则线段的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据正方形的性质可得，再根据翻折的性质可得，设，从而可得，然后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：正方形的边长为6，点恰好是的中点， ， 由翻折的性质得：， 设，则， 在中，，即， 解得， 即， 故选：A． 40．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，已知正方形纸片，M、N分别是、的中点，把边向上翻折，使点C恰好落在上的P点处，为折痕，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，折叠问题；取的中点E，连接，证明四边形为矩形，得出，根据直角三角形性质得出，证明为等边三角形，得出，即可得出结果． 【详解】解：取的中点E，连接，如图所示：    ∵四边形为正方形， ∴，，， 根据折叠的性质知：，， ∵M、N分别是、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：C． 41．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用勾股定理，全等三角形的判定与性质． 连接，证明得出，设，则，，勾股定理求得，则 ，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， 由折叠可知，， ， ， ， ， 正方形边长是， ， 设，则， ， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，， ∴， 的周长为， 故答案为：． 42．（24-25九年级下·河南驻马店·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，正方形的点A的坐标为，E是线段上一点，且，沿折叠后B点落在点F处，那么点F的坐标为 ． 【答案】（，2） 【分析】作于点D，于点G，根据折叠的性质得到，则，则，得到，即可得到点F的坐标． 【详解】解：作于点D，于点G， ∵，沿折叠后B点落在点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理、坐标与图形、折叠的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 43．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出值，即可得答案． 【详解】解：如图，设与轴交于点，， ∵四边形是正方形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为， ∴，，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 故答案为： 【点睛】本题考查折叠性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、坐标与图形及勾股定理，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键． 44．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接． (1)求证； (2)如图，若正方形边长为，点为的中点，连接，求线段的长； (3)在（）的条件下求出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）由正方形得，，由折叠的性质得，，即可得，，进而利用即可求证； （）由正方形的边长为得，进而由折叠得，又由得，设，则，，在中，利用勾股定理求出即可求解； （）求出，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得，，， ∴，， 在和， ， ∴； （2）解：∵正方形边长为， ∴， ∵点为的中点， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，掌握正方形和折叠的性质是解题的关键． 45．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，正方形中，，求证：； （2）如图②，将边长为12的正方形折叠，使点落在上的点，然后压平折痕，若的长为13，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）7 【分析】（1）过点作，垂足为，证明四边形为矩形，得出，证明，得出； （2）作，垂足为，根据勾股定理得．根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：（1）过点作，垂足为，如图所示： 四边形为正方形， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ． （2）作，垂足为，如图所示： 由（1）知， 在中，由勾股定理，得： ． 将正方形纸片折叠，使得点落在边上的点，折痕为， ， 由（1）可知， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 46．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）【操作感知】如图1，在矩形纸片的边上取一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，则的大小为______度． 【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点Q，连接． （1）证明：； （2）若正方形的边长为4，点为中点，则的长为______． 【答案】【操作感知】：30；（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查正方形的性质，长方形的性质，全等三角形的判定等知识， 操作感知：根据折叠求出，即可得出结论； 迁移探究： （1）根据证即可； （2）设的长为x，则，，利用勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：【操作感知】：由折叠知，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30； 【迁移探究】（1）证明：∵正方形纸片按照【操作感知】进行折叠， ∴， 在和中， ， ∴， 即； （2）解：设的长为， ∵正方形的边长为4，点P为中点， ∴，，， 在中，， 即， 解得 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$