专题05 菱形的性质与判定（六大题型）（题型专练）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

专题05 菱形的性质与判定（六大题型） 【题型1利用菱形的性质求角度】 【题型2利用菱形的性质求线段长】 【题型3利用菱形的性质求面积】 【题型4利用萎形的性质证明】 【题型5添一个条件使四边形是菱形】 【题型6根据萎形的性质与判定求线段长/面积/角度】 【题型1利用菱形的性质求角度】 1．（23-24八年级下·陕西安康·期中）如图，在菱形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在菱形中，，，分别是边和的中点，连接，于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在菱形中，，连接，则 度． 5．（23-24七年级下·山西临汾·期末）“福”字象征着中华民族的历史文化与精神．如图①是小红家大门上的“福”字，如图②是抽离出来的菱形，对角线相交于点O，，E是线段上一点，且，则的度数是 ． 【题型2利用菱形的性质求线段长】 6．（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为16，则的长为（   ） A．4 B． C．8 D． 7．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知菱形的周长为，对角线、交于点，且，则的长为（   ） A．6 B．10 C．18 D．12 8．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形纸片中，，点M、N分别在边、上，将纸片沿着直线折叠，使点A的对应点与点B重合，若，则的长为（    ） A． B． C．2 D．1 10．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在菱形中，°，，是边上的一点，分别是的中点，则线段的长为 ． 11．（24-25九年级上·全国·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若的面积为24，，则的长为 ． 12．（24-25九年级上·湖南永州·开学考试）如图，菱形的对角线、相交于点，且，过点作，垂足为，则点到边的距离 ． 13．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示的玩具，其主要部分是由六个全等的菱形组成，菱形边长为3cm，现将玩具尾部点固定，当这组菱形形状发生变化时，玩具的头部沿射线移动，整个过程中六个菱形始终全等．当由变为时，点移动了 cm．    【题型3利用菱形的性质求面积】 14．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的面积为 ． 15．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在菱形中，，对角线，则菱形的面积为 ．    16．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点E，F是菱形边的中点，，，则菱形的面积是 ． 17．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）如图，菱形的面积是10，的面积是 ． 18．（2024·甘肃陇南·模拟预测）如图，菱形的对角线交于点，为的平分线，，为的中点，连接，若菱形的周长为，则的面积为 ．    19．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，菱形中，对角线，，E为边上任意一点，则的面积为 （   ）    A．8 B．12 C．24 D．无法确定 【题型4利用萎形的性质证明】 20．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）菱形不一定具有的性质的是（　　） A．对角线相等 B．邻边相等 C．对边相等 D．对角相等 21．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，作于F，，求证： 22．（2025·山东济南·模拟预测）如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 23．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知：如图，在菱形中，E，F分别是边，上的点，且．求证：． 【题型5添一个条件使四边形是菱形】 24．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）如图，在中，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（） A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·广东佛山·期末）在中，、是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使成为矩形，那么添加的条件是（    ） A． B． C． D．平分 26．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，顺次连结四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A． B． C． D． 【题型6根据萎形的性质与判定求线段长/面积/角度】 27．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 28．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 29．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，平行四边形的对角线、相交于点，平分，过点作，过点作，、交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 30．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，在中，平分，的垂直平分线分别交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形： (2)若，，，求的面积． 31．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在中，线段的垂直平分线交于，分别交，于，，连接，． (1)证明：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，如果，，，求四边形的面积． 32．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，．且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 33．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在矩形中，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 34．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在矩形中，延长到，使，延长到，使，连接、、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 35．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，分别是，边上的点，且． (1)求证：； (2)当时，，，求四边形的面积． 36．（23-24八年级下·广东湛江·期末）如图，在矩形中，O为的中点，过点O作分别交，于点E，F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 37．（2024·广西南宁·一模）如图，点，，，在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 38．（2024·四川广元·二模）如图，中，，点D为边中点，过D点作的垂线交于点E，在直线上截取，使，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，连接，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 菱形的性质与判定（六大题型） 【题型1利用菱形的性质求角度】 【题型2利用菱形的性质求线段长】 【题型3利用菱形的性质求面积】 【题型4利用萎形的性质证明】 【题型5添一个条件使四边形是菱形】 【题型6根据萎形的性质与判定求线段长/面积/角度】 【题型1利用菱形的性质求角度】 1．（23-24八年级下·陕西安康·期中）如图，在菱形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，先根据菱形的对边平行和直线平行的性质得到，然后根据菱形的每一条对角线平分一组对角求解． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， 四边形为菱形， 平分， 故选：C． 2．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在菱形中，，，分别是边和的中点，连接，于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识．延长交的延长线于点G．根据已知可得的度数，再根据余角的性质可得到的度数，进而求得的度数． 【详解】解：延长交的延长线于点G．如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵F是边的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴F为中点． 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵四边形为菱形， ∴， ∵E，F分别为的中点， ∴ ∴； 故选：B． 3．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在菱形中，M，N分别在，上，且，与交于点O，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质，掌握以上性质定理是解题的关键． 根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选B． 4．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在菱形中，，连接，则 度． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质、等边对等角，解题的关键是熟练掌握菱形的四条边都相等，对角相等． 【详解】解：∵是菱形， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·山西临汾·期末）“福”字象征着中华民族的历史文化与精神．如图①是小红家大门上的“福”字，如图②是抽离出来的菱形，对角线相交于点O，，E是线段上一点，且，则的度数是 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．由菱形的性质可得，，可得，由三角形内角和定理求得的度数，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2利用菱形的性质求线段长】 6．（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为16，则的长为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质可得，结合菱形的面积为16可得，进而得到和的长，最后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：菱形的对角线，相交于点O， ，，， ， ， 在中，点O是的中点， ， ， ， ， 菱形的面积为16， ， ， ， 在中，， 的长为． 故选：B． 7．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知菱形的周长为，对角线、交于点，且，则的长为（   ） A．6 B．10 C．18 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、菱形的性质以及菱形面积的计算；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解决问题的关键．根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，由菱形的周长可得的长，在中，根据勾股定理可以求得的长即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质，作点关于的对称点，则，，连接交于点，得到，可知当在一条直线上时，的值最小， 此时，再证明四边形是平行四边形即可求解，根据轴对称找到点的位置是解题的关键． 【详解】解：作点关于的对称点，则，，连接交于点， ∴， 由两点之间线段最短可知，当在一条直线上时，的值最小， 此时， ∵四边形为菱形，周长为， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 9．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形纸片中，，点M、N分别在边、上，将纸片沿着直线折叠，使点A的对应点与点B重合，若，则的长为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及菱形的性质是解题的关键；由题意易得是等腰直角三角形，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 故选A． 10．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在菱形中，°，，是边上的一点，分别是的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，突破点是证明是等边三角形．如图连接，首先证明是等边三角形，可得，再根据三角形的中位线定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·全国·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若的面积为24，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质．根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半，求出菱形的对角线，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 12．（24-25九年级上·湖南永州·开学考试）如图，菱形的对角线、相交于点，且，过点作，垂足为，则点到边的距离 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与勾股定理的运用，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形得到，，，解得，可得到，再根据勾股定理求出的长度，最后利用等面积法即可求出答案． 【详解】解：在菱形中，，，， 则， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示的玩具，其主要部分是由六个全等的菱形组成，菱形边长为3cm，现将玩具尾部点固定，当这组菱形形状发生变化时，玩具的头部沿射线移动，整个过程中六个菱形始终全等．当由变为时，点移动了 cm．    【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点．连接相交于O，由菱形的性质和已知条件可得是等边三角形，即，，最后结合图形即可解答． 【详解】解：如图：连接相交于O，    当时， ∵菱形，， ∴， ∴是等边三角形，即， ∴两点间的距离为； 当时， ∵菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴两点间的距离为； ∴点移动了． 故答案为：． 【题型3利用菱形的性质求面积】 14．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是菱形的性质，等腰三角形的判定与勾股定理，先画图，求解，过作于，结合可得答案． 【详解】解：如图，菱形的周长为， ∴， 过作于，而， ∴， ∴， 则在中，由勾股定理得， ∴ ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在菱形中，，对角线，则菱形的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查菱形的性质综合应用，灵活应用菱形性质是解题关键． 由菱形的，则在中根据勾股定理以及所对的直角边是斜边的一半，列方程可以求出的长，即可求出菱形的面积. 【详解】解：如图，连接与交于O，    ∵四边形为菱形 ∴，O为中点， ∵， ∴ 在中，， 设，根据勾股定理可得： 解得， ∴， ∴菱形的面积为 故答案为：． 16．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点E，F是菱形边的中点，，，则菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中位线，菱形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握中位线，菱形的性质，勾股定理是解题的关键． 如图，记的交点为，由点E，F是菱形边的中点，，可得，，，，由，可得，设，则，由勾股定理得，，可求，则，根据菱形的面积是，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的交点为， ∵点E，F是菱形边的中点，， ∴，，，， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴菱形的面积是， 故答案为：． 17．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）如图，菱形的面积是10，的面积是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 连接交于点，根据菱形的性质得到，，得到，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是菱形， ，， ， ， ， 故答案为：10． 18．（2024·甘肃陇南·模拟预测）如图，菱形的对角线交于点，为的平分线，，为的中点，连接，若菱形的周长为，则的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，中位线的性质等知识，根据题意求出和的长度是解题的关键．先判定是等边三角形，根据菱形的周长求其边长，再根据等边三角形的性质和勾股定理求出和，再根据中点的定义和中位线的性质求出和，再证明，用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，其周长为， 与互相平分，， 又 ， 是等边三角形，， 又 为的平分线， 点是的中点，且， ， ， 为的中点，为的中点， ，，， ， ， 故答案为：． 19．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，菱形中，对角线，，E为边上任意一点，则的面积为 （   ）    A．8 B．12 C．24 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质．根据菱形的性质及三角形面积的计算公式即可求解． 【详解】解：∵菱形中，对角线，， ∴， 故选：B． 【题型4利用萎形的性质证明】 20．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）菱形不一定具有的性质的是（　　） A．对角线相等 B．邻边相等 C．对边相等 D．对角相等 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质的理解和掌握，掌握菱形的性质是解决问题的关键．列举出菱形的所有性质即可． 【详解】解：菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，对角相等，③菱形的对角线互相平分，且每一条对角线平分一组对角； 故菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：A． 21．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，作于F，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，依据菱形的性质即可得到，，再根据AAS即可判定≌，进而得出 【详解】证明：菱形， ，， ，， ， 在与中， ， ， 22．（2025·山东济南·模拟预测）如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形性质是解决问题的关键． （1）由菱形的性质及中点定义得到角的关系及边的关系，再由三角形全等的判定与性质即可证明； （2）由菱形性质及（1）中结论得到，在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵在菱形中，， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：∵在菱形中，， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， 是斜边上的中线， ． 23．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知：如图，在菱形中，E，F分别是边，上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了菱形的性质，全等三角形的判定， 根据菱形的性质得出，，然后证明即可． 【详解】证明：∵四边形是菱形 ∴， ∵ ∴． 【题型5添一个条件使四边形是菱形】 24．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）如图，在中，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．根据菱形的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴添加，能判定是菱形，故A不符合题意； 添加，能判定是菱形；故B不符合题意； 添加，则是矩形，不能判定是菱形；选项C符合题意； 添加，能判定是菱形；选项D不符合题意． 故选：C． 25．（24-25九年级上·广东佛山·期末）在中，、是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使成为矩形，那么添加的条件是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判断，根据矩形和菱形的判定定理逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、由能判定是矩形，该选项符合题意； 、由能判定是菱形，该选项不合题意； 、由能判定是菱形，该选项不合题意； 、由平分能判定是菱形，该选项不合题意； 故选：． 26．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，顺次连结四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定，先说明四边形为平行四边形，再结合四个答案依次判断即可. 【详解】连结，如图所示， ∵E、F、C、H分别为四边形各边中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 当或时， 只能判断四边形为平行四边形，故A、B选项错误； 当时，能判断四边形为矩形，故C选项错误； 当时，能判断四边形为菱形，故D选项正确． 故选：D. 【题型6根据萎形的性质与判定求线段长/面积/角度】 27．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先证得再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论； （2）由菱形的性质得 则即可求解． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握菱形的判定与性质，证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∵垂直平分， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知， 四边形是菱形， 28．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得，进而利用等角对等边得到，然后根据菱形的判定定理可得结论； （2）先根据菱形的性质和勾股定理求得，，再证明四边形是矩形，利用矩形的对角线相等得到． 【详解】（1）证明∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握菱形和矩形的判定与性质是解答的关键． 29．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，平行四边形的对角线、相交于点，平分，过点作，过点作，、交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)10 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的性质得到，推出，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （2）根据已知条件且结合勾股定理得到，根据菱形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴ ∴ 平分， ∴ ∴ 四边形是菱形； （2）解：在菱形中，，， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ． 30．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，在中，平分，的垂直平分线分别交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形： (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证，可得，由菱形的判定可证结论； （2）过点作，由菱形的性质可得，，由直角三角形的性质可得，，即可求的长，再根据三角形面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）证明：在中，平分，的垂直平分线分别交于点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，过点作， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 31．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在中，线段的垂直平分线交于，分别交，于，，连接，． (1)证明：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，如果，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得出，由，得出四边形是菱形； （2）由菱形的性质得出，证明，由平行线的性质得出，由直角三角形的性质和菱形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是线段的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：由（1）得：四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ∴， ，， 四边形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 32．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，．且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）由四边形是平行四边形，可得，结合，即可证明； （2）由（1）得，推出四边形是菱形，，得到，求出、，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 又 ， ．（三线合一） （2）解：由（1）得， 四边形是菱形，， 在中，， ， ， ， ， ，， ． 33．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在矩形中，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，由两直线平行内错角相等可得，利用线段中点的有关计算及已知条件可得，由对顶角相等可得，利用可证得，于是可得，进而可证得四边形是平行四边形，由于，于是结论得证； （2）由平分可得，由矩形的性质可得，，，，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，利用线段中点的有关计算及已知条件可得，于是可得，利用勾股定理可得，进而可得，由（1）可得，于是可得，利用菱形的性质可得，据此即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， 点是的中点，， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：平分， ， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ， 由（1）可得：， ， 菱形的面积． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，两直线平行内错角相等，线段中点的有关计算，对顶角相等，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，等角对等边，线段的和与差，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 34．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在矩形中，延长到，使，延长到，使，连接、、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，根据矩形的四个角都是直角得到，即，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明； （2）根据菱形的邻角互补，对角线平分对角可得，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半得出，根据勾股定理求出，根据菱形的对角线互相平分求出，，根据菱形面积等于对角线积的一半即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴平行四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等．掌握相关知识是解题的关键． 35．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，分别是，边上的点，且． (1)求证：； (2)当时，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析． (2)． 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定和性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，；再根据题中给出的由证明和 全等即可； （2）由（1）中全等三角形的性质得到，得出，再由 证得四边形是平行四边形，再根据 证得四边形 是菱形，然后根据勾股定理求出的长，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半解题即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， 在和中， ， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 设与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 36．（23-24八年级下·广东湛江·期末）如图，在矩形中，O为的中点，过点O作分别交，于点E，F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查了菱形的判定定理，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理．熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）先证四边形为平行四边形，然后根据平行四边形对角线垂直证得菱形； （2）利用勾股定理求出，根据菱形的性质，求出，，根据菱形的面积公式求解． 【详解】（1）证明：如图，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形，，， ， ，， 四边形的面积为：． 37．（2024·广西南宁·一模）如图，点，，，在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由可证； （）先证明四边形是菱形，可得，，，由菱形的面积公式可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：连接交于点， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形， ∴，， 在中， ∴， ∴， ∴． 38．（2024·四川广元·二模）如图，中，，点D为边中点，过D点作的垂线交于点E，在直线上截取，使，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再由，得出四边形是菱形． （2）由菱形的性质得，再由勾股定理求出，推出，进而由勾股定理求出，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵D是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）由（1）得：四边形是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 在中，由勾股定理得： ，    ∵D是的中点，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$