专题04 矩形的性质与判定（七大题型）（题型专练）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

专题04 矩形的性质与判定（七大题型） 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【题型2根据矩形的性质求线段长】 【题型3根据矩形的性质求面积】 【题型4矩形与折叠问题】 【题型5直角三角形斜边上的中线】 【题型6矩形的判定】 【题型7 矩形的性质与判定综合】 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．（23-24八年级下·安徽池州·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）将一块含角的直角三角板按如图方式放置在矩形上，点A，B分别落在边，上．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形中，点是延长线上一点，连接，若则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河北唐山·一模）如图，直线，线段和矩形在直线a，b之间，点A，E分别在a，b上，点B、C、F在同一直线上，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽合肥·一模）小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·浙江·阶段练习）如图，延长矩形的边至点，使，连结，若，则 ．    8．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，矩形的对角线交于点O，点E在线段上，若，，则的度数为 ． 9．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接，若，则的度数是 ． 【题型2根据矩形的性质求线段长】 10．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，则对角线的长为（　　） A． B． C．5 D．4 11．（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 12．（2024九年级·河北·学业考试）如图，中，，，将沿对角线折叠，使点A落在平面上处．若，则长为（   ） A．8 B． C． D． 13．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为（   ） A．8 B．12 C． D． 14．（2021·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，的平分线交于点F，交于点E，，则的长为（    ） A． B． C． D． 15．（2023·天津·一模）如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，F为的中点，．若，则的长为 ． 16．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则的周长为 ． 17．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，以矩形的顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点E，连接．若，，则的周长是 ． 18．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形中，E为边上一点，，点F与点A关于直线成轴对称，若平分，，则的长为 ． 【题型3根据矩形的性质求面积】 19．（22-23八年级下·河北邯郸·期中）如图，已知点是矩形的对称中心，、分别是边、上的点，且关于点中心对称，如果矩形的面积是，那么图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 20．（22-23八年级下·浙江台州·期末）如图，的边的长为．将向上平移得到，且，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 21．（22-23八年级下·河北唐山·期中）如图，在矩形中，E、F、G、H分别为边的中点，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．6 B．8 C．12 D．16 22．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）如图所示，周长为48米的平行四边形绿化地被划分为三块区域，两边为三角形的花坛，中间为矩形的草地长度之比为，则矩形草地的面积为（   ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）为了提高学生动手能力，学校借助直角三角形花坛的一条直角边开辟出一个矩形实践基地，根据图中数据，可知该矩形实践基地的面积为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）一个矩形的长和宽分别是 ，，则它的面积为 ． 25．（2024·甘肃陇南·模拟预测）如图，矩形和矩形关于点成中心对称，已知，则阴影部分的面积是 ． 26．（2023·江苏常州·一模）如图，现将四根木条钉成的矩形框变形为平行四边形木框，且与相交于边的中点E，若，，则原矩形和平行四边形重叠部分的面积是 ． 27．（2024·江西南昌·模拟预测）《增删算法统宗》有这样一首诗：“今有坡田一段，西高东下增量．十步五寸是斜长，南北均阔六丈．欲要修为平埌，东增一丈新墙．不知几许请推详，须要算皆停当．”大意：今有一段坡田，量得斜坡长为10步5寸（50.5尺），宽为6丈（60尺），想要修整为平地，需在东边修一新墙，墙高为1丈（10尺），如图，则矩形平地的面积为 亩．（1步尺，1尺寸，1丈尺，1亩平方尺） 28．（2024·山东菏泽·二模）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是 ． 【题型4矩形与折叠问题】 29．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图所示，折叠矩形的一边，使点D落在边上点F处，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D．5 30．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，长方形的两边，分别落在轴负半轴，轴正半轴上，点的坐标为，点，分别在边，上，且，将沿直线折叠，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 31．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，将长方形纸片沿折叠后，使得点，重合，点落在处．若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，矩形中，，点在射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长是 ． 33．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为．为上一点，连接，若，，则 ．    34．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在矩形中，是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点，延长相交于点，若，则 ． 35．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，长方形纸片中，，，现将，重合，使纸片折叠压平，设折痕为，则= ． 36．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片折叠，点落在对角线上的点处，则的长为 (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，①证明：．②求的长 (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点B落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、（包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 37．（24-25八年级上·四川达州·期中）阅读材料，回答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》（如图有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么、、，三者之间的数量关系是　　． (2)对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： 证明： ，，　　　　，且　　　　　　　　， ， 整理得，　　　　． (3)如图3，把矩形折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长． 38．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，矩形的顶点，分别在轴和轴上，已知点的坐标为，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当，分别到达终点，时，停止运动，设运动时间为秒． (1)求△的面积，直接用表示为　　． (2)如图2，把矩形沿着折叠，点恰好落在点处，此时点的对应点为，求此时到直线的距离； (3)若△是以为腰的等腰三角形，求的值． 【题型5直角三角形斜边上的中线】 39．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，D是的中点，，则的长是（   ） A．3 B．6 C． D．4 40．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，，为边上的中线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 41．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在四边形中，，，点E为对角线的中点，连接，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 42．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，在中，D是的中点，，则的长是 ． 43．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，，点D在的延长线上，连接．点E，F分别是，的中点．若，则的长为 【题型6矩形的判定】 44．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，下列条件中，能够判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 45．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，，是四边形的对角线，点E，F分别是，的中点，点M，N分别是，的中点．若四边形是矩形，则原四边形应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 46．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，要使成为矩形，应添加的条件是 （只填一个）． 47．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，E，F是的对角线上两点，且． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形． 48．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，是的中点，是的中点，，交的延长线于点，连接．求证：四边形是矩形． 【题型7 矩形的性质与判定综合】 49．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，点分别在上，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 50．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 51．（2023·贵州六盘水·一模）如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 52．（22-23八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求四边形的面积． 53．（2024·湖南岳阳·二模）如图，四边形中，，． (1)求证：； (2)连接，若，，求四边形的面积． 54．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，连接，E为的中点，延长与的延长线交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 矩形的性质与判定（七大题型） 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【题型2根据矩形的性质求线段长】 【题型3根据矩形的性质求面积】 【题型4矩形与折叠问题】 【题型5直角三角形斜边上的中线】 【题型6矩形的判定】 【题型7 矩形的性质与判定综合】 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．（23-24八年级下·安徽池州·期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）将一块含角的直角三角板按如图方式放置在矩形上，点A，B分别落在边，上．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形内角和定理的应用，先块含角的直角三角板，求出，，先求出，再求出，最后求出． 【详解】解：∵一块含角的直角三角板， ∴，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴． 故选：C． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确的作出需要的辅助线是解题的关键． 由等腰三角形的性质可得，再由矩形的性质和三角形的外角性质可求解． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形中，点是延长线上一点，连接，若则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，主要利用了矩形的对角线相等，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．根据等边对等角的性质可得，再求解即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故选：D． 5．（2024·河北唐山·一模）如图，直线，线段和矩形在直线a，b之间，点A，E分别在a，b上，点B、C、F在同一直线上，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，分别过点B，F作平行于直线a，得直线，然后结合矩形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，分别过点B，F作平行于直线a， ∵直线 ∴直线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．（2024·安徽合肥·一模）小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行线的判定和性质．过点A作，可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作， ∴， 矩形中，， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴． 故选：C 7．（23-24八年级下·浙江·阶段练习）如图，延长矩形的边至点，使，连结，若，则 ．    【答案】/30度 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角与内角关系，解题关键是添加辅助线构造等腰三角形，掌握矩形对角线互相平分且相等，对边平行等性质．如图，连接，根据矩形对角线互相平分且相等，对边分别平行，得，，，根据“等边对等角”及平行线的性质得，已知，根据等量代换得，然后根据“等边对等角”，即可得，再根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”，得，求解即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点，   四边形是矩形， ，，， ，则， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，矩形的对角线交于点O，点E在线段上，若，，则的度数为 ． 【答案】/103度 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，利用这三个性质是解题的关键；由矩形的性质得的度数，由等腰三角形的性质可求得的度数，由三角形外角的性质即可求得结果． 【详解】解：在矩形中，， ； ， ， ； ， ， ； 故答案为：． 9．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接，若，则的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及等边对等角的性质. 连接，交于O，由矩形的性质得，，，，则，得，再证，由等腰三角形等边对等角的性质得，则，即可求解． 【详解】解∶连接，交于O，如图∶ ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【题型2根据矩形的性质求线段长】 10．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，则对角线的长为（　　） A． B． C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键； 本题由坐标系中点到原点的距离计算公式求出的长，然后根据矩形的性质对角线相等，即可求解； 【详解】解：连接，如图： ， ∵顶点B的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴； 故选：A； 11．（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，根据四边形是矩形，则对角线互相平分且相等，则，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 12．（2024九年级·河北·学业考试）如图，中，，，将沿对角线折叠，使点A落在平面上处．若，则长为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形和折叠得到，，，过作于，过作于，再证明，得到，，即可得到，四边形是矩形，，设，则，，再在和中，利用勾股定理得到，代入列方程求解即可． 【详解】解：过作于，过作于，则， ∵中，，， ∴，，， ∴， ∵将沿对角线折叠， ∴，，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 13．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为（   ） A．8 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键. 过点作，垂足为，先求得，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可. 【详解】解：过点作，垂足为，如图， 四边形为矩形， ， ， ， ∴， ∴， 在中，． 故选：D． 14．（2021·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，的平分线交于点F，交于点E，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点F作于点G，设矩形对角线相交于点O．根据矩形的性质证明是等边三角形得到，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理分别求得，，，进而求解即可． 【详解】解析：如图，过点F作于点G，设矩形对角线相交于点O． 在矩形中，是的平分线，，，， ， ． ， ， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，又， ∴， 解得， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质、角平分线的定义、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 15．（2023·天津·一模）如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，F为的中点，．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了中位线，勾股定理，矩形的性质，平行线的性质等知识．解题的关键在于添加辅助线，构造中位线．如图，连接，是的中位线，则，，，，在中，由勾股定理求的值，由矩形的性质可得，根据，求解的值即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵为的中点， ∴是的中位线， ，， ∴， ∵，， ，， 在中，由勾股定理得， ∴， ， 故答案为：2． 16．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，勾股定理的应用，解题的关键是熟知矩形的性质．先由，得到，然后结合矩形的性质得到，再结合点和点分别是和的中点得到和的长，最后得到的周长即可． 【详解】解：，矩形， ，，， ， ， 点和点分别是和的中点， ，，是的中位线， ，， ． 故答案为：． 17．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，以矩形的顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点E，连接．若，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理等知识，证明，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由作图可知，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 故答案为：． 18．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形中，E为边上一点，，点F与点A关于直线成轴对称，若平分，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，轴对称的性质，勾股定理，所对直角边是斜边的一半，角平分线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．过作于点，于点，，由四边形是矩形，得，，证明四边形是矩形，通过角平分线的性质证得四边形是正方形，最后根据轴对称的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，于点，    ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴，， ∴四边形是正方形， 点F与点A关于直线成轴对称， ，， ， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 【题型3根据矩形的性质求面积】 19．（22-23八年级下·河北邯郸·期中）如图，已知点是矩形的对称中心，、分别是边、上的点，且关于点中心对称，如果矩形的面积是，那么图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全等三角形的判定得到，将阴影部分的面积转化为的面积进行计算即可． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ． 故选：． 【点睛】此题考查了矩形的性质以及全等三角形的判定，解题的关键题是阴影部分的面积一般的思路是将不规则的阴影部分转化为求解． 20．（22-23八年级下·浙江台州·期末）如图，的边的长为．将向上平移得到，且，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据阴影部分的面积矩形的面积求解即可． 【详解】解：由平移变换的性质可知，阴影部分的面积矩形的面积． 故选：D． 【点睛】本题考查平移的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．（22-23八年级下·河北唐山·期中）如图，在矩形中，E、F、G、H分别为边的中点，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】根据图形的面积等于各个图形面积之和计算即可． 【详解】∵矩形中，E、F、G、H分别为边的中点，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积为， 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 22．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）如图所示，周长为48米的平行四边形绿化地被划分为三块区域，两边为三角形的花坛，中间为矩形的草地长度之比为，则矩形草地的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形性质、勾股定理、矩形面积等知识， 根据题中长度之比为，设，由周长求出，从而得到相关边长，进而由勾股定理得到矩形的边长，利用距离面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：两边为三角形的花坛，中间为矩形的草地，长度之比为， 设， 平行四边形的周长为48米， ，即，则，解得， ， 在直角三角形中，第三边长为， 矩形草地的面积为， 故选：D． 23．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）为了提高学生动手能力，学校借助直角三角形花坛的一条直角边开辟出一个矩形实践基地，根据图中数据，可知该矩形实践基地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求得矩形的长为，进而根据矩形性质，即可求解． 【详解】解：根据图中数据可得，矩形的边长为 ∴矩形的面积为， 故选：A． 24．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）一个矩形的长和宽分别是 ，，则它的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法．根据矩形的面积公式计算，即可． 【详解】解：矩形的面积 ． 故答案为： 25．（2024·甘肃陇南·模拟预测）如图，矩形和矩形关于点成中心对称，已知，则阴影部分的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题考查了中心对称的性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，先利用成中心对称图形的性质可出，，，进而判断四边形是平行四边形，则可得出，由矩形的性质可得出，，则，即可求解． 【详解】解：∵矩形和矩形关于点成中心对称， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形和四边形是矩形， ∴，， ∴， 故答案为：24． 26．（2023·江苏常州·一模）如图，现将四根木条钉成的矩形框变形为平行四边形木框，且与相交于边的中点E，若，，则原矩形和平行四边形重叠部分的面积是 ． 【答案】 【分析】根据矩形和平行四边形的性质可得：，，，，从而得出，根据中点的定义即可求出，然后根据勾股定理即可求出，进而求出，最后根据梯形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵矩形木框变形为平行四边形木框 ∴，，，， ∴ ∵点E为的中点， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∴， ∴= 故答案为：． 【点睛】此题考查的是矩形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，掌握矩形的性质定理、平行四边形的性质定理、用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键． 27．（2024·江西南昌·模拟预测）《增删算法统宗》有这样一首诗：“今有坡田一段，西高东下增量．十步五寸是斜长，南北均阔六丈．欲要修为平埌，东增一丈新墙．不知几许请推详，须要算皆停当．”大意：今有一段坡田，量得斜坡长为10步5寸（50.5尺），宽为6丈（60尺），想要修整为平地，需在东边修一新墙，墙高为1丈（10尺），如图，则矩形平地的面积为 亩．（1步尺，1尺寸，1丈尺，1亩平方尺） 【答案】0.495/ 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，根据题意，先求出（尺）因此矩形的面积为：（平方尺），再根据1亩平方尺，即可得出矩形的面积为：（亩） 【详解】为10步5寸（50.5尺），墙高为1丈（10尺），， （尺） 宽为6丈（60尺）， （平方尺）， 矩形的面积为：（亩）， 故答案为：0.495． 28．（2024·山东菏泽·二模）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是 ． 【答案】48 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积， 根据第二个矩形左上角的长方形的面积求解即可． 【详解】解：如图， 由题意和图可得：， ∴， 故答案为：48． 【题型4矩形与折叠问题】 29．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图所示，折叠矩形的一边，使点D落在边上点F处，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、折叠性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质和勾股定理求解是解答的关键． 设，由折叠性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， 在中， ， ∴， 设 在中，， ∴，解得， 故选：A． 30．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，长方形的两边，分别落在轴负半轴，轴正半轴上，点的坐标为，点，分别在边，上，且，将沿直线折叠，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键． 根据题意得出是等腰直角三角形，再由折叠的性质得出，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵沿直线折叠，点落在点处， ∴，，，， ∴， ∵点的坐标为， 点的坐标为， 即， 故选：A ． 31．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，将长方形纸片沿折叠后，使得点，重合，点落在处．若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，，，再根据折叠的性质可得，然后设，则，在中，利用勾股定理求解可得的值，最后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 32．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，矩形中，，点在射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质可得，由勾股定理可求得，再由勾股定理可求得的长． 【详解】解：如图，若点在线段上时，过点作， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， 四边形是矩形， ∵把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上 ； 如图，点在线段的延长线上，过点作， 同理可求得，， 综上所述，的长为或， 故答案为：或 【点睛】本题考查翻折变、矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题关键． 33．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为．为上一点，连接，若，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，解答本题的关键是由折叠的性质得到． 由，求出，由邻补角的性质得到，由折叠的性质可得到． 【详解】解：，， ， ， 由折叠的性质得：， 故答案为：． 34．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在矩形中，是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点，延长相交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质以及折叠的性质，勾股定理、三角形全等的判定与性质，连接，由折叠的性质可得：，，，得出，证明，得出，设，则，，由勾股定理得出，求出，设，则，再利用勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ，是的中点， ， 由折叠的性质可得：，，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ， ∵， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：． 35．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，长方形纸片中，，，现将，重合，使纸片折叠压平，设折痕为，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 由翻折的性质知，，且，故由勾股定理求得的长，再证得，有，则； 【详解】解：由题意知，，， 在中，，， 即， 解得：， ， ， 又，， ， ， ， ； 故答案为： 36．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片折叠，点落在对角线上的点处，则的长为 (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，①证明：．②求的长 (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点B落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、（包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)2 (2)①见解析② (3)的最大值为，最小值为1 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）在中，由勾股定理得出，由折叠得，从而可求出； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点A时，此时最小；当折痕所在直线经过点C时，最大，，由勾股定理得． 【详解】（1）解：∵矩形纸片中，， ∴， 由折叠得，点落在对角线上的点E处， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）解：①证明：由折叠得 在和中， ， ∴， ②设， 由折叠的性质得：，， ∵ ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：当折痕所在直线经过点A时，如图所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点C时，如图所示： 此时最大，， 由勾股定理得：， ∴的最大值为，最小值为1． 37．（24-25八年级上·四川达州·期中）阅读材料，回答问题： (1)中国古代数学著作《周髀算经》（如图有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么、、，三者之间的数量关系是　　． (2)对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： 证明： ，，　　　　，且　　　　　　　　， ， 整理得，　　　　． (3)如图3，把矩形折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3) 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，掌握矩形的判定和性质是解题关键． （1）根据题意可得直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方，即可得到答案； （2）由图形可知，，，，且，即可证明结论； （3）过点作于点，由折叠的性质可知，，，结合矩形的性质，得到，进而得到，设，利用勾股定理列方程，求出的值，再证明四边形是矩形，，，进而得出，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5． ，， 直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方， 在中，如果，，，，那么、、，三者之间的数量关系是， 故答案为：； （2）证明： ，，，且， ， 整理得， ． （3）解：如图，过点作于点， 由折叠的性质可知，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则， ， ， 在中，， ， 解得：， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中， 38．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，矩形的顶点，分别在轴和轴上，已知点的坐标为，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当，分别到达终点，时，停止运动，设运动时间为秒． (1)求△的面积，直接用表示为　　． (2)如图2，把矩形沿着折叠，点恰好落在点处，此时点的对应点为，求此时到直线的距离； (3)若△是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】（1）作于点，由矩形的性质及得，，，，则，而，则，于是得到问题的答案； （2）作于点，由折叠得，，，因为，且，所以，求得，则，由，求得，则此时到直线的距离为6； （3）分两种情况讨论，①，作于点，则，且，由，且，得，求得；②，由，得，求得． 【详解】（1）解：如图1，作于点， 四边形是矩形，且顶点，分别在轴和轴上，， ，，，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2，作于点， 由折叠得，，， ，且， ， 解得， ， ， ， 解得， 此时到直线的距离为6； （3）解：①如图3，当时，作于点，则， ∴，且，， ∴四边形是矩形， ， ，且， ， 解得； ②当时， ，且，，， ， 解得， 综上所述，的值为或． 【点睛】此题重点考查图形与坐标、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 【题型5直角三角形斜边上的中线】 39．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，D是的中点，，则的长是（   ） A．3 B．6 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，D是的中点， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∴． 故选：A． 40．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，，为边上的中线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形的斜边中线定理．根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：在中，，为的中点， ， ， 故选：A． 41．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在四边形中，，，点E为对角线的中点，连接，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边对等角、直角三角形的性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，先求出，再由直角三角形的性质可得，由等边对等角可得，，，再由三角形外角的定义及性质可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∵，点E为对角线的中点， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 42．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，在中，D是的中点，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题关键．根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴． 故答案为：2． 43．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，，点D在的延长线上，连接．点E，F分别是，的中点．若，则的长为 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，点为线段的中点， ∴， ∴， ∵点分别为线段的中点， ∴， 故答案为：6 【题型6矩形的判定】 44．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，下列条件中，能够判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质等知识；由矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：在中，添加，由对角线相等的平行四边形是矩形，故能判定是矩形， 在中，添加或或，都不能判定是矩形， 故选：D． 45．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，，是四边形的对角线，点E，F分别是，的中点，点M，N分别是，的中点．若四边形是矩形，则原四边形应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是中点四边形、三角形中位线定理、矩形的判定，根据三角形中位线定理得到，，，，，则可证明四边形为平行四边形，当时，，则此时平行四边形为矩形，据此可得答案． 【详解】解：，，，分别是，，，的中点， 、、、分别为、、、的中位线， ，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 当时，，则此时平行四边形为矩形， 而当可证明， 故选：B． 46．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，要使成为矩形，应添加的条件是 （只填一个）． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的知识，熟练掌握矩形的判定定理是解决本题的关键． 【详解】∵有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， ∴可以添加条件(或其余三个内角中的一个为)． 又∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴也可以添加条件(答案不唯一)． 故答案为：（或，答案不唯一）． 47．（24-25九年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，E，F是的对角线上两点，且． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）利用平行四边形的对边平行且相等得到，，再由平行线的性质和平角的定义证明，最后根据证明得到，进而可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，根据一组对边平行且相等证四边形为平行四边形，再根据矩形的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：添加的条件：，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 48．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，是的中点，是的中点，，交的延长线于点，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，先证明，得到，再证明四边形是平行四边形，再由矩形的判定方法即可证明四边形是矩形，掌握其性质定理是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，是的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 【题型7 矩形的性质与判定综合】 49．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，点分别在上，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和判定，利用勾股定理列方程是解题的关键； （1）先证四边形是平行四边形，再结合对角线相等证明即可； （2）根据勾股定理，可得， ，即可得到方程，再求解即可． 【详解】（1）证明：证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， ， ， ， 设， 在中，， 在中，， ， 解得：， ， ． 50．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到四边形是平行四边形，进而，结合，可得，得证结论； （2）由，，得到，，根据可求出，根据矩形的性质得到，进而得到，最后根据角的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 51．（2023·贵州六盘水·一模）如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)12 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，从而得到，利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质得出，从而证明出四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质得出，推出四边形是矩形，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， 根据勾股定理得， ∴矩形的面积为． 52．（22-23八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只要证明四边形是平行四边形，且即可； （2）利用等腰三角形的性质与矩形的性质求出，，进而即可求出面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是边上的中线， ∴，即， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，是边上的中线， ∴． 由（1）知，四边形是矩形，， ∴， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． 53．（2024·湖南岳阳·二模）如图，四边形中，，． (1)求证：； (2)连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理． （1）根据，得出，即可根据求证； （2）根据全等三角形的性质推出四边形是平行四边形，进而得出是矩形，根据勾股定理得出，最后根据矩形的面积公式，即可解答． 【详解】（1）证明： ∵， ∴（两直线平行， 内错角相等）， 在和中， ， ∴； （2）解： ∵， ∴，， ∴ 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 又∵ ， ∴是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）， ∴（矩形的四个角是直角）， ∵，， ∴ ∴矩形的面积． 54．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，连接，E为的中点，延长与的延长线交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形性质及应用，矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等知识： （1）由四边形是平行四边形，得，而点E是的中点，可得，即知，从而四边形是平行四边形； （2）由 ，得，， ，四边形是平行四边形，得，从而，即可得四边形的面积为36． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 答：四边形的面积为36． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$