数学（上海卷01）-学易金卷：2025年高考第三次模拟考试

2025年高考第三次模拟考试 高三数学（上海卷）01·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，则 ． 【答案】 【分析】先求出集合B，再应用并集定义计算即可. 【解析】． 故答案为：. 2．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将不等式转化成一元二次不等式求解即可. 【解析】由不等式，得，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 3．准线为直线，且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为 . 【答案】 【分析】由抛物线的性质得出抛物线标准方程即可. 【解析】设抛物线为， 因为准线为，则，所以， 所以. 故答案为：. 4．函数的严格减区间为 . 【答案】 【分析】根据严格减区间定义即可得出答案. 【解析】因为的单调减区间为， 所以的严格减区间为. 故答案为： 5．在研究线性回归模型时， 样本数据（，，，，）所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则 . 【答案】 【分析】根据线性相关系数的定义直接得解. 【解析】由已知样本数据（，，，，）所对应的点均在直线上， 则， 又， 所以满足负相关， 即， 故答案为：. 6．若（为虚数单位）是关于的方程的根，则实数 ． 【答案】 【分析】方程有两个虚数根，则这两个虚数根互为共轭复数，由韦达定理得出参数的值. 【解析】∵（为虚数单位）是关于的方程的根 ∴另一根为 ∴ ∴ 故答案为： 7．设，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用对数函数单调性求解不等式. 【解析】当时，函数在上单调递减， 不等式，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 8．已知数列满足，且，，则 ． 【答案】 【分析】 根据等差中项法判断数列为等差数列，进而利用等差数列的性质求解. 【解析】因为数列满足， 所以数列为等差数列， 所以，又因为，， 所以，解得， 故答案为：. 9．设，若，则 ． 【答案】 【分析】令，即可得到，再利用赋值法计算可得. 【解析】令，则， 令，可得， 令，可得， 所以. 故答案为： 10．在平面直角坐标系，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若的面积等于的直线恰有3条，则正实数的值为 . 【答案】 【分析】将圆的方程配成标准式，求出圆心及半径，由三角形面积公式得，则或，要使的面积等于的直线恰有3条，则有最小值，从而得到，即可求解； 【解析】解：由，得：，则圆心，， 因为点在圆内， 所以解得 由已知得：， 解得：，则或 因为过的直线与圆相交于，两点，要使的面积等于的直线恰有3条，则有最小值， 即 所以（负值舍去）. 故答案为：. 11．如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为 立方米.（精确到0.1立方米）    【答案】3.7 【分析】先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可. 【解析】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为， 设底面中心为，截面中心为，则，， 所以，所以截面为的面积为.    设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为，， 所以，所以，为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为， 所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 帐篷围成几何体的体积为：（立方米）. 故答案为：3.7. 12．对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数(k，b为常数)，对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线和的“分渐近线”．给出定义域均为的四组函数如下： ①，； ②，； ③,； ④, 其中，曲线和存在“分渐近线”的是 ． 【答案】②④ 【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【解析】和存在分渐近线的充要条件是时，． 对于①，，当时，令 由于，所以为增函数，不符合时，，所以①不存在； 对于②， ， 因为当且时，，所以存在分渐近线； 对于③，， 当且时，与均单调递减，但的递减速度比快， 所以当时会越来越小，不会趋近于0， 所以不存在分渐近线； 对于④，，当时， ，且 因此存在分渐近线． 故存在分渐近线的是②④． 故答案为②④． 【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于中档题. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．“”是“事件A与事件互相独立”（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据事件互斥，对立，独立的关系得出即可. 【解析】因为对于任意两个事件，如果，则事件与事件相互独立，若事件与事件相互独立，则事件A与事件也互相独立，所以充分性成立； 若事件A与事件互相独立，则事件与事件也相互独立，则成立，所以必要性成立； 故选：C 14．已知和都是锐角，向量，，则（    ） A．存在和，使得 B．存在和，使得 C．存在和，使得 D．存在和，使得 【答案】B 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示及和角公式得到，即可判断A、C，当时可以判断B，根据数量积的运算律判断D. 【解析】因为和都是锐角，所以， 又，， 所以，，， 因为，所以，故，因此A和C错误； 当时，，即，所以B正确；，所以D错误； 故选：B. 15．如图，正四棱柱的底面边长为，为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，则棱长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设出点、、的坐标，结合已知条件得到方程，根据方程解的情况求出的取值范围即可求解. 【解析】根据已知条件， 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， 设正四棱柱的高为，令，，， 所以，， 因为，所以，即， 整理得：，因为棱上至少存在一点使得， 所以关于得的方程，至少有一个解， 即，整理得：，解得， 又因为，所以，所以棱长的最大值为. 故选：A 16．已知数列，若存在数列满足对任意正整数，都有，则称数列是的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；②对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列.下列结论正确的是（   ） A．①与②都是真命题； B．①为真命题，②为假命题； C．①为假命题，②为真命题； D．①与②都是假命题． 【答案】A 【分析】对于①：根据等差数列通项公式为一次函数形式分析判断；对于②：根据等比数列通项公式为指数型，并举例说明即可. 【解析】对于①：因为数列、均为等差数列， 设，则， 若，可知当时，恒成立，不满足交错数列； 若，可知的符号不变，不满足交错数列； 若，可知当时，恒成立，不满足交错数列； 综上所述：对任意等差数列、，均不是的交错数列，故①正确； 对于②：因为数列为等比数列，设， 等比数列的公比为 不妨假设，，此时等比数列的公比为 当为奇数，则； 当为偶数，则； 满足是的交错数列， 若等比数列的公比为，根据对称结构，上述结论依然成立， 同理若，，此时等比数列的公比为 当为奇数，则； 当为偶数，则； 满足是的交错数列， 若等比数列的公比为，根据对称结构，上述结论依然成立， 综上所述：对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列，故②正确； 故选：A. 【点睛】关键点点睛：数列是特殊的函数，根据数列的特性，准确构造相应的函数，借助函数性质分析求解是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，．    (1)求证：平面PBC； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用面面平行的判定、性质推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【解析】（1）由正方形，得，而平面，平面，则平面， 又，平面，平面，则平面， 又平面，因此平面平面，而平面， 所以平面. （2）由平面，且四边形为正方形，得直线两两垂直， 以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    令，则， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面的法向量，则，取，得， 设二面角的大小为，则，， 所以二面角的正弦值为. 18．已知函数(为常数，). （1）讨论函数的奇偶性； （2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义求解即可； （2）当函数为偶函数时，，列出方程，利用换元法，结合指数函数和对勾函数的性质，由求根公式解出方程的根，可得实数的取值范围． 【解析】（1）∵函数的定义域为， 又∵ ∴①当时，即时，可得 即当时，函数为偶函数； ②当时，即时，可得 即当时，函数为奇函数. （2）由（1）可得，当函数为偶函数时，， 即时， 由题可得， 令，则有 ∵ ∴， 又∵，当且仅当时，等号成立 根据对勾函数的性质可知，，即 ① 此时的取值不存在； ② 此时，可得的取值为 综上可得 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的性质，考查指数函数和对勾函数的应用，解决本题的关键点是令，则方程化简为，利用求根公式并讨论根与区间端点的关系，得出参数的范围，考查学生分类讨论思想和计算能力，属于中档题． 19．某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据： 不达标 达标 合计 男 300 女 100 300 合计 450 600 (1)完成列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？ (2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率； (3)在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、数学期望及方差． 附：，． 【答案】(1)表格见解析，根据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关. (2) (3)分布列见解析，数学期望为，方差为 【分析】（1）根据题意补全列联表，再由卡方公式以及独立性性检验的思想判定结果即可. （2）根据全概率公式结合表格数据可求出这600位居民参加体能测试合格的频率，然后由样本估计总体的思想可得当地全体居民体能测试合格的概率. （3）由题意随机变量，且由（2），故根据二项分布概率公式即可求得X的每一个取值对应的概率，进而得随机变量的分布列；根据二项分布的期望值和方差公式得期望值和方差. 【解析】（1）根据数据补全列联表如下： 不达标 达标 合计 男 50 250 300 女 100 200 300 合计 150 450 600 零假设体育锻炼达标与性别无关， 由表格数据得， 因为， 所以推断不成立，依据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关. （2）由表格数据该地区居民体育达标的概率为， 记事件“从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，其体能测试合格”， 则由题. （3）由题意，当地居民人口基数大，可近似看做二项分布，即， 所以；； ；； 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则；. 20．如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、． （1）求的周长； （2）求面积的取值范围； （3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解； （2）设过的直线方程为，联立椭圆方程消元后，根据根与系数的关系得，换元后可求，代入三角形面积公式即可求解； （3）根据三角形内切圆的性质及（1）可得，即可转化为，根据三角形面积可化为，利用直线与椭圆联立求出，代入化简后利用均值不等式即可求解. 【解析】 （1），为椭圆的两焦点，且，为椭圆上的点， ，从而的周长为． 由题意，得，即的周长为. （2）由题意可设过的直线方程为， 联立，消去x得， 则， 所以， 令， 则（当时等号成立，即时） 所以, 故面积的取值范围为. （3）设，直线的方程为：，将其代入椭圆的方程可得， 整理可得， 则，得，， 故． 当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得， 同理，可得， 因为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立. 若轴时，易知，，， 此时， 综上，的最大值为. 21．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是区间上的“平均值函数”，0是它的均值点. (1)已知函数、，判断、是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由； (2)设是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的整数数对； (3)若是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点，求证：. 【答案】(1)函数是区间上的“平均值函数”， 不是区间上的“平均值函数”，理由见解析 (2)或或或. (3)证明见解析 【分析】（1）利用“平均值函数”的定义计算即可判断； （2）由平均值函数的定义可得，可求所有满足条件的整数数对； （3）所证不等式可变形为，利用换元法，令，可证结论. 【解析】（1）（1）函数是区间上的“平均值函数”， 不是区间上的“平均值函数”，理由如下： 由题题意，得，则，所以函数是区间上的“平均值函数”； ，即， 所以，无解，所以不是区间上的“平均值函数”； （2）因为是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点， 所以， 即，显然不成立， 所以，因为是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得， 又所求的为整数对，故或或或. （3）由题意可得，则所证不等式为， 需证，令，则不等式为， 则不等式等价于， 令，求导得， 所以在上单调递减，所以， 即，即. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为常见函数，进行求解即可. 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（上海卷）01·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 ． ____________________ 2 ． ____________________ 3． ____________________ 4 ． ____________________ 5． __ __________________ 6 ． ____________________ 7． ____________________ 8 ． ____________________ 9． ____________________ 10 ． ____________________ 11． ____________________ 12 ． ____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17． （14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（14分） 不达标 达标 合计 男 300 女 100 300 合计 450 600 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（上海卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，则 ． 2．不等式的解集为 ． 3．准线为直线，且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为 ． 4．函数的严格减区间为 ． 5．在研究线性回归模型时， 样本数据（，，，，）所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则 ． 6．若（为虚数单位）是关于的方程的根，则实数 ． 7．设，若，则实数的取值范围是 ． 8．已知数列满足，且，，则 ． 9．设，若，则 ． 10．在平面直角坐标系，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若的面积等于的直线恰有3条，则正实数的值为 ． 11．如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为 立方米．（精确到0.1立方米） 12．对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数(k，b为常数)，对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线和的“分渐近线”．给出定义域均为的四组函数如下： ①，； ②，； ③,； ④, 其中，曲线和存在“分渐近线”的是 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．“”是“事件A与事件互相独立”（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知和都是锐角，向量，，则（    ） A．存在和，使得 B．存在和，使得 C．存在和，使得 D．存在和，使得 15．如图，正四棱柱的底面边长为，为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，则棱长的最大值为（    ） A． B． C． D． 16．已知数列，若存在数列满足对任意正整数，都有，则称数列是的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；②对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列.下列结论正确的是（   ） A．①与②都是真命题； B．①为真命题，②为假命题； C．①为假命题，②为真命题； D．①与②都是假命题． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，． (1)求证：平面PBC； (2)求二面角的正弦值． 18．已知函数(为常数，). （1）讨论函数的奇偶性； （2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围. 19．某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据： 不达标 达标 合计 男 300 女 100 300 合计 450 600 (1)完成列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？ (2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率； (3)在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、数学期望及方差． 附：，． 20．如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、． （1）求的周长； （2）求面积的取值范围； （3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值． 21．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是区间上的“平均值函数”，0是它的均值点. (1)已知函数、，判断、是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由； (2)设是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的整数数对； (3)若是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点，求证：. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（上海卷）01·参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11．3.7 12．②④ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 14 15 16 C B A A 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）由正方形，得，而平面，平面，则平面， 又，平面，平面，则平面， (2分) 又平面，因此平面平面，而平面， 所以平面. (6分) （2）由平面，且四边形为正方形，得直线两两垂直， 以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    令，则， ， (8分) 设平面的法向量，则，取，得， 设平面的法向量，则，取，得， (10分) 设二面角的大小为，则，， 所以二面角的正弦值为. (14分) 18．（1）∵函数的定义域为， 又∵ ∴①当时，即时，可得 即当时，函数为偶函数； (3分) ②当时，即时，可得 即当时，函数为奇函数. (6分) （2）由（1）可得，当函数为偶函数时，， 即时， 由题可得， 令，则有 ∵ ∴， 又∵，当且仅当时，等号成立 根据对勾函数的性质可知，，即 ① 此时的取值不存在； ② 此时，可得的取值为 综上可得 (14分) 19．（1）根据数据补全列联表如下： 不达标 达标 合计 男 50 250 300 女 100 200 300 合计 150 450 600 零假设体育锻炼达标与性别无关， 由表格数据得， 因为， 所以推断不成立，依据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关. (3分) （2）由表格数据该地区居民体育达标的概率为， 记事件“从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，其体能测试合格”， 则由题. (6分) （3）由题意，当地居民人口基数大，可近似看做二项分布，即， 所以；； ；； 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则；. (14分) 20．（1），为椭圆的两焦点，且，为椭圆上的点， ，从而的周长为． 由题意，得，即的周长为. (4分) （2）由题意可设过的直线方程为， 联立，消去x得， 则， 所以， 令， 则（当时等号成立，即时） 所以, 故面积的取值范围为. (10分) （3）设，直线的方程为：，将其代入椭圆的方程可得， 整理可得， 则，得，， 故． 当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得， 同理，可得， 因为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立. 若轴时，易知，，， 此时， 综上，的最大值为. (18分) 21．（1）（1）函数是区间上的“平均值函数”， 不是区间上的“平均值函数”，理由如下： 由题题意，得，则，所以函数是区间上的“平均值函数”； ，即， 所以，无解，所以不是区间上的“平均值函数”； (4分) （2）因为是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点， 所以， 即，显然不成立， 所以，因为是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得， 又所求的为整数对，故或或或. (10分) （3）由题意可得，则所证不等式为， 需证，令，则不等式为， 则不等式等价于， 令，求导得， 所以在上单调递减，所以， 即，即. (18分) 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第三次模拟考试 高三数学（上海卷）01·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、 21 题每题 18 分.) 17．（14 分） 18．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 不达标 达标 合计 男 300 女 100 300 合计 450 600 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18 分） 21．（18 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（上海卷）01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，则 ． 2．不等式的解集为 ． 3．准线为直线，且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为 ． 4．函数的严格减区间为 ． 5．在研究线性回归模型时， 样本数据（，，，，）所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则 ． 6．若（为虚数单位）是关于的方程的根，则实数 ． 7．设，若，则实数的取值范围是 ． 8．已知数列满足，且，，则 ． 9．设，若，则 ． 10．在平面直角坐标系，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若的面积等于的直线恰有3条，则正实数的值为 ． 11．如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为 立方米．（精确到0.1立方米） 12．对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数(k，b为常数)，对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线为曲线和的“分渐近线”．给出定义域均为的四组函数如下： ①，； ②，； ③,； ④, 其中，曲线和存在“分渐近线”的是 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．“”是“事件A与事件互相独立”（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知和都是锐角，向量，，则（    ） A．存在和，使得 B．存在和，使得 C．存在和，使得 D．存在和，使得 15．如图，正四棱柱的底面边长为，为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，则棱长的最大值为（    ） A． B． C． D． 16．已知数列，若存在数列满足对任意正整数，都有，则称数列是的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；②对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列.下列结论正确的是（   ） A．①与②都是真命题； B．①为真命题，②为假命题； C．①为假命题，②为真命题； D．①与②都是假命题． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，． (1)求证：平面PBC； (2)求二面角的正弦值． 18．已知函数(为常数，). （1）讨论函数的奇偶性； （2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围. 19．某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据： 不达标 达标 合计 男 300 女 100 300 合计 450 600 (1)完成列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？ (2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率； (3)在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、数学期望及方差． 附：，． 20．如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、． （1）求的周长； （2）求面积的取值范围； （3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值． 21．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是区间上的“平均值函数”，0是它的均值点. (1)已知函数、，判断、是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由； (2)设是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的整数数对； (3)若是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点，求证：. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$