第2套 2025年高考数学3月仿真卷1（巩固卷）（新高考通用）

GZXXJYXW by EEEIQ 第2套 2025年高考数学3月仿真卷1（巩固卷） ||| 试卷概述 1.2025年高考数学猜想：单选题部分回归基础，减少偏题怪题，着重考查基础知识的理解与运用；多选题会增加创新思维的考查，突破常规思维；填空题与解答题难度梯度清晰，压轴题仍然突出综合性，保证了对不同水平考生的区分与选拔；总体难度预计会有所降低. 2.本卷特点： （1）本卷有意降低难度，旨在发挥考前培训、巩固知识、增强信心的作用，助力考生更好地迎接高考. （2）自3月起，我们将精心筛选各地优质模拟考卷，并以此为蓝本进行仿真出卷.鉴于模拟卷通常难度高于高考，我们特别推出只有基础卷与巩固卷的系列套题.这些套题会精准对标高考难度，助力考生提前熟悉高考节奏，适应高考题型风格，在备考之路上稳步前行.||| 仿真好题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知，则的最大值是（ ） A. B.3 C.1 D.6 2.设，则“”是“”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 4.在的展开式中含项的系数是（ ） A. B. C.240 D.60 5.（24-25高一上·山西晋中·期末）以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图.已知某勒洛三角形的三段圆弧的总长度为，则该勒洛三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 6.若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.已知圆与圆交于两点，则线段的中垂线方程为（ ） A. B. C. D. 8.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是（ ） ①事件与相互独立 ② ③ ④ A.4 B.3 C.2 D.1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9.在平面直角坐标系中，已知点，P是一个动点，则（ ） A.若，则点P的轨迹为椭圆 B.若，则点P的轨迹为双曲线 C.若，则点P的轨迹为直线 D.若，则点P的轨迹为圆 10.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题中，正确的有（ ） A.平面 B.平面 C.平面平面 D.平面平面 11.设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B.在上单调递减 C.点是函数的一个对称中心 D.方程有5个实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据，如表所示.根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为.据此计算出在样本处的残差为_________. x 2 3 4 5 6 y 1.5 2 3.5 4 5.5 13.已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则__________. 14.已知直线是曲线和的公切线，则实数__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分13分）已知等差数列满足：，，其前项和为. （1）求及； （2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和. 16.（本小题满分15分）已知的内角的对边分别为，角的平分线交于点，且. （1）求角； （2）若的周长为15，求的长. 17.（本小题满分15分）如图，四棱锥中，底面，四边形中，，，，，，. （1）若E为的中点，求证：平面平面； （2）若三角形是钝角三角形，求平面与平面所成的角的余弦值. 18.（本小题满分17分）已知点O为平面直角坐标系的坐标原点，点F是抛物线C：的焦点. （1）过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，求的面积； （2）若点T为直线上的动点，过点T作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过定点. 19.（本小题满分17分）已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：. 3/4 学科网（北京）股份有限公司 $$GZXXJYXW by EEEIQ 第2套 2025年高考数学3月仿真卷1（巩固卷） ||| 试卷概述 1.2025年高考数学猜想：单选题部分回归基础，减少偏题怪题，着重考查基础知识的理解与运用；多选题会增加创新思维的考查，突破常规思维；填空题与解答题难度梯度清晰，压轴题仍然突出综合性，保证了对不同水平考生的区分与选拔；总体难度预计会有所降低. 2.本卷特点： （1）本卷有意降低难度，旨在发挥考前培训、巩固知识、增强信心的作用，助力考生更好地迎接高考. （2）自3月起，我们将精心筛选各地优质模拟考卷，并以此为蓝本进行仿真出卷.鉴于模拟卷通常难度高于高考，我们特别推出只有基础卷与巩固卷的系列套题.这些套题会精准对标高考难度，助力考生提前熟悉高考节奏，适应高考题型风格，在备考之路上稳步前行.||| 仿真好题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知，则的最大值是（ ） A. B.3 C.1 D.6 【答案】B 【分析】利用基本不等式，直接计算即可. 【详解】，当且仅当，即取得等号，满足题意. 故选：B. 2.设，则“”是“”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，利用指数函数与对数函数的性质，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得， 又由不等式，即，可得，解得， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 【答案】A 【分析】把函数由函数表示出，再结合图象平移求解作答. 解：依题意，， 所以把函数图象上所有的点向左平移个单位可以得到函数的图象，A正确. 故选：A 4.在的展开式中含项的系数是（ ） A. B. C.240 D.60 【答案】C 【分析】运用二项式定理，结合组合数公式求解即可. 【详解】， 要得到含项，只需要找出展开式的，即可. 二项式的展开式中含的项为，没有含的项. 故含项为，含项的系数是240. 故选：C. 5.（24-25高一上·山西晋中·期末）以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图.已知某勒洛三角形的三段圆弧的总长度为，则该勒洛三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用弧长公式与扇形面积公式计算即可. 【详解】设等边三角形的边长为， 所以，可得， 因此等边三角形的面积为，扇形面积为； 则对应的弓形面积为， 所以该勒洛三角形的面积为. 故选：D 6.若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】函数在区间内有极值点等价于导函数的图象在区间上有变号零点，即可得到，解得即可； 【详解】解：因为，所以， 因为函数在区间内有极值点等价于导函数的图象在区间上有变号零点，结合， 所以解得. 故选：B 7.已知圆与圆交于两点，则线段的中垂线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程得圆心坐标，然后分析出线段的中垂线就是直线，再根据两点式求出方程，化为一般式可得结果. 【详解】依题意可得，， 因为，，所以直线是线段的垂直平分线， 所以直线的方程为：，即. 故选：A 8.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是（ ） ①事件与相互独立 ② ③ ④ A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【分析】根据独立事件的概念判断①，计算条件概率判断②，根据全概率公式求解判断②④，即可回答. 【详解】显然，，，是两两互斥的事件，且，， 而，①错误； ，，所以，②正确； ，③正确； ，④错误，综上：结论正确的个数为2. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9.在平面直角坐标系中，已知点，P是一个动点，则（ ） A.若，则点P的轨迹为椭圆 B.若，则点P的轨迹为双曲线 C.若，则点P的轨迹为直线 D.若，则点P的轨迹为圆 【答案】AD 【分析】根据椭圆以及双曲线的定义即可求解AB；根据向量的线性运算，结合圆的定义可判断C；根据点点距离化简，结合圆的一般方程即可求解D. 【详解】对于A，，而，故，故点的轨迹为以为焦点的椭圆，故A正确， 对于B，，而，故，故点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，故B错误； 对于C，由，可得，所以， 则点的轨迹为以原点为圆心的圆，故C错误， 对于D，若，设，则， 化简可得，满足，故点的轨迹为圆，D正确. 故选：AD. 10.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题中，正确的有（ ） A.平面 B.平面 C.平面平面 D.平面平面 【答案】CD 【分析】将展开图还原为立体图，即可根据线面关系，结合线面平行以及面面平行的判断求解. 【详解】展开图可以折成如图①所示的正方体. 在正方体中，连接，如图②所示. 易知与平面有公共点与平面有公共点，所以AB错误； 如图③所示，连接， 由于平面，平面，所以平面， 同理可得平面，平面， 则平面平面， 同理可证平面平面，所以CD正确. 故选：CD 11.设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B.在上单调递减 C.点是函数的一个对称中心 D.方程有5个实数解 【答案】AD 【分析】根据题意可得是函数的一个周期，由对称性作出函数部分图象和的草图，数形结合判断各个选项得解. 【详解】为奇函数，函数的图象关于点成中心对称， 为偶函数，函数的图象关于直线成轴对称. 则且， ，即， 所以， 是函数的一个周期. 当时，，则可作出函数部分图象和的草图如下. 由图可知A，D正确，B，C不正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据，如表所示.根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为.据此计算出在样本处的残差为_________. x 2 3 4 5 6 y 1.5 2 3.5 4 5.5 【答案】 【分析】由表格计算可得，，把，代入回归方程可得，进而得出残差. 【详解】由表格可得：，， 把代入，解得， ， 把代入解得， 在样本处的残差为. 故答案为：. 13.已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则__________. 【答案】 【分析】联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据弦长公式求解. 【详解】设双曲线与直线交于两点， 由消去整理得，则，解得，且， 所以. 由，解得，所以. 故答案为： 14.已知直线是曲线和的公切线，则实数__________. 【答案】 【分析】设与曲线相切于点，写出切线方程，将切点代入两个方程，求出，再设与曲线相切于点，对函数求导，利用切线斜率求出切点，再将其代入，即可求得值. 【详解】设直线与曲线相切于点，由，得， 因为与曲线相切，所以消去，解得. 设与曲线相切于点，由，得， 即，， 因在曲线上，故， 即，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分13分）已知等差数列满足：，，其前项和为. （1）求及； （2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【分析】由等比中项求出，进而求出等差数列的首项与公差，再用公式法写出其通项公式和前n项和. 先求等比数列的前n项和，数列的前n项和即为. 【详解】（1）是等差数列， ， 数列的公差，首项， ，. ，为所求. （2）令，由题意有； 数列是以1为首项，3为公比的等比数列 其前n项和， ，数列的前n项和 故为所求. 16.（本小题满分15分）已知的内角的对边分别为，角的平分线交于点，且. （1）求角； （2）若的周长为15，求的长. 【答案】（1） （2） 【分析】利用正弦定理，角化边，再利用余弦定理即可求解； 利用余弦定理解得，再根据和三角形的面积公式列式求解即可. 【详解】（1）由题意根据正弦定理得，即， 利用余弦定理可知， 因为中，所以. （2）因为，所以， 在中，由余弦定理可得：，解得， 因为在中，有， 又因为为角的平分线，所以， 所以，即， 解得. 17.（本小题满分15分）如图，四棱锥中，底面，四边形中，，，，，，. （1）若E为的中点，求证：平面平面； （2）若三角形是钝角三角形，求平面与平面所成的角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】易证平面，得到，再由即可求证； 建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可； 【详解】（1）在四棱锥中，底面，平面， 则，， 而，，，平面， 于是平面， 又平面，则， 由，E为的中点，得，，，平面， 因此平面，而平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，直线，，两两垂直， 以点A为原点，直线，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 由余弦定理得 ， 解得：或， 因为三角形是钝角三角形，经代入验证不符合题意， 故， 过C作于F，得，，，， ，， 设平面的法向量，则， 令，则，，得. 由平面，得平面的一个法向量， 依题意，， 平面与平面所成的角的余弦值 18.（本小题满分17分）已知点O为平面直角坐标系的坐标原点，点F是抛物线C：的焦点. （1）过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，求的面积； （2）若点T为直线上的动点，过点T作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线MN过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【分析】联立直线与抛物线方程，得到韦达定理式，利用弦长公式即可； 设点，，，以为切点的切线方程为，联立抛物线方程，根据判别式等于0得到直线斜率，从而得到切线方程，从而得到切点弦所在直线方程，即可得到所过定点. 【详解】（1）据题意，直线l的斜率为，则直线l的方程为，设，， 由，联立可得， 易得，故，， 因此，. （2）证明：设点，，，以M为切点的抛物线的切线方程为， 由，联立可得， 由判别式，即，即，显然，可得， 因此，以M为切点的抛物线的切线方程为， 同理可得，以N为切点的抛物线的切线方程为， 由于这两条切线都经过点，代入可得，， 则直线MN的方程为，可得直线MN过定点. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是设出切线方程，将其与抛物线方程联立，利用判别式等于0，从而得到切线斜率，再写出切线方程，最后得到切点弦所在直线方程，最后即可求出直线所过定点坐标. 19.（本小题满分17分）已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【分析】求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 不等式对恒成立可得对恒成立，再构造函数并利用导数探讨单调性推理得证. 由（2）取可得不等式，再取，并借助裂项相消法求得证. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）不等式， 由时，恒成立，得， 令，由当时，恒成立， 得，，求导得，令， 求导得，而，则当，即时，， 函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 则，符合题意，因此； 当时，由，得，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 则当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. （3）由（2）知，当时，， 取，则，而， 因此 ， 所以. 3/15 学科网（北京）股份有限公司 $$