特训03 平行四边形 压轴题（九大题型，上海精选+其他补充）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训03 平行四边形 压轴题（九大题型） 目录： 题型1：手拉手模型中的平行四边形 题型2：列函数解析式 题型3：动点问题 题型4：旋转问题 题型5：翻折问题 题型6：倍长中线法构造平行四边形 题型7：平行四边形在平面直角坐标系的应用 题型8：分类讨论 题型9：情景探究、数学活动题 本专题可能用到的几何模型参考： 1、利用旋转构造全等三角形 2、倍长中线模型 3、截长补短法 题型1：手拉手模型中的平行四边形 1．（2025八年级下·上海·统考新编）如图，点是等边边上的一点（不与、重合），以为边作等边，过点，分别交、于点、，联结． （1）说明的理由； （2）说明为等边三角形的理由； （3）线段与存在怎样的数量关系和位置关系？并分别说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）平行且相等，理由详见解析 【分析】（1）由△ABC和△ADE都是等边三角形，所以AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=∠C=60°，所以∠EAB=∠DAC由此可以证得结论； （2）根据三角形的三个内角都是60°的三角形是等边三角形进行证明； （3）BE=CG、BE∥CG．需要证明四边形BCGE是平行四边形，属于只要证明EB∥CG即可推知∠BEF=60°，∠CGE=120°． 【解析】（1）∵是等边三角形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 得（等式性质）， 在与中， ∴ （2）∵（已证） ∴ ∵， ∴（两直线平行，内错角相等） ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 又∵， ∴等腰是等边三角形 （3），， 理由如下： ∵△ABE≌△ACD，∠ABC=∠C=60° ∴∠ABE=∠C=60°． ∵EGBC， ∴∠EFB=∠ABC=60°，∠C+∠EGC=180°． ∴△EFB是等边三角形，∠EGC=120°． ∴∠BEF=60°． ∴∠BEF+∠CGE=180°． ∴BECG． ∵EGBC， ∴四边形EBCG是平行四边形． ∴BE=CG、BECG． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键，需要记住平行四边形的判定方法，属于中考常考题型． 2．（2025八年级下·上海·名校新编）已知等边△ABC中，AB＝8，点D为边BC上一动点，以AD为边作等边△ADE，且点E与点D在直线AC的两侧，过点E作EF//BC，EF与AB、AC分别相交于点F、G．    (1)求证：四边形BCEF是平行四边形； (2)设BD＝，FG＝，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当AD的长为7时，求线段FG的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)3或5 【分析】（1）由三角形ABC与三角形ADE都为等边三角形，得到∠BAC=∠DAE=60°，利用等式的性质得到∠BAD=∠CAE，再由AB=AC，AD=AE，利用SAS得到三角形ABD与三角形ACE全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠ABC=60°，进而确定出同旁内角互补，得到CE与FB平行，再由EF与BC平行，即可得到四边形BCEF为平行四边形； （2）由三角形ABD与三角形ACE全等，得到BD=CE，再由四边形BCEF为平行四边形得到BF=CE，等量代换得到BF=BD=x，由FG与BC平行，由平行得比例，即可列出y关于x的函数解析式，求出x的范围得到定义域； （3）过A作AH⊥BC交BC于M，可得H为BC的中点，即BH=CH=4，在直角三角形ABH中，利用勾股定理求出AH的长，而HD=4-x，在直角三角形ADH中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，代入（2）的解析式中求出y的值，即为FG的长． 【解析】（1）∵△ABC是等边三角形    ∴ AB＝AC ∴ ∵△ADE是等边三角形     ∴AD＝AE ∴    即 ∴ （SAS）   ∴ BD＝EC ∴ ∴     ∴      ∴AB//EC   ∵EF//BC     ∴四边形BCEF是平行四边形 （2）∵EF//BC   ∴ ∴      ∴GE＝EC ∴GE＝EC ＝BD＝x   ∵             ∴ （3）作AH⊥BC，垂足为H    在中， ∴      ∴ 在中， ∴      即，解得或； ∴ ∴FG的长为3或5 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 题型2：列函数解析式 3．（2025八年级下·上海·统考新编）在中，，，，点D是AB上的动点，交AC于点E，分别交射线BC、射线AC于点F、G，联结EF． (1)如图1，如果点G恰好平分EC，判断四边形DEFC的形状并证明； (2)如图2，当点F在线段BC的延长线上时，设AD的长为x，梯形DBFE的面积为y，直接写出y关于x的函数关系及其定义域； (3)当时，求的长． 【答案】(1)四边形DEFC是平行四边形，证明见解析； (2)y＝x2﹣+500＜x＜）； (3)AD的长为或8． 【分析】（1）由AAS证得△CFG≌△EDG，FG＝DG，又CG＝EG，即可得出四边形DEFC是平行四边形； （2）由含30°角直角三角形的性质得出BC＝AB＝5，DE＝AD＝x，BD＝10﹣x，由勾股定理求出AC＝5 ，AE＝x，推出CE＝5﹣x，再由含30°角直角三角形的性质得出BF＝2BD＝20﹣2x，则y＝S梯形DBFE＝（DE+BF）•CE＝x2﹣+50，当点F与C重合时，求出AD＝，即可得出结果； （3）①当点F在线段BC的延长线上时，梯形DBFE为等腰梯形；②当点F在线段BC上时，四边形BDEF为平行四边形，分别求出AD即可． 【解析】（1）解：四边形DEFC是平行四边形，理由如下： ∵点G恰好平分EC， ∴CG＝EG， ∵DE∥BC， ∴∠CFG＝∠EDG， 在△CFG和△EDG中， ， ∴△CFG≌△EDG（AAS）， ∴FG＝DG， ∴四边形DEFC是平行四边形； （2）解：∵∠ACB＝90°，DE∥BC， ∴∠AED＝∠ACB＝90°， ∵∠A＝30°， ∴BC＝AB＝×10＝5，DE＝AD＝x，BD＝AB﹣AD＝10﹣x， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝， ∴CE＝AC﹣AE＝， ∵DF⊥AB， ∴∠BDF＝90°， ∵∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BFD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°， ∴BF＝2BD＝2×（10﹣x）＝20﹣2x， ∴y＝S梯形DBFE＝（DE+BF）•CE＝×（x+20﹣2x）×（）＝x2﹣+50， 当点F与C重合时，如图3所示： ∵CD⊥AB，则∠ADC＝90°， ∵∠A＝30°， ∴CD＝AC＝， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝， ∴AD的长度x的变化范围为0＜x＜， ∴y＝x2﹣+50（0＜x＜）； （3）解：①当点F在线段BC的延长线上时，EF＝DB，梯形DBFE为等腰梯形，如图4，, ∴∠BFE＝∠B， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝60°， ∴∠BFE＝∠B＝60°， ∵DF⊥AB， ∴∠BDF＝90°， ∴∠BFD＝90°﹣∠B＝30°， ∴∠DFE＝∠BFE﹣∠BFD＝60°﹣30°＝30°， ∵DE∥BC， ∴∠EDF＝∠BFD＝30°， ∴∠EDF＝∠DFE＝30°， ∴DE＝EF， ∴DE＝DB， 由（2）可知，当AD＝x时，DE＝x， BD＝10﹣x， ∴x＝10﹣x， 解得：x＝， ∴AD的长为； ②当点F在线段BC上的点 时，如图5所示： 结合图4， ∵EF＝DB＝E, ∴∠FC＝∠F＝∠DBC， ∴DBE, ∵， ∴四边形BDEF为平行四边形， ∴BF＝DE＝x， ∵DF⊥AB， ∴∠BDF＝90°， ∴∠BFD＝90°－∠B＝30°， ∴BD＝BF＝×x＝x， ∴x＝10﹣x， 解得：x＝8， ∴AD的长为8； 综上所述，AD的长为或8． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了含30°角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰梯形的判定与性质、勾股定理、梯形面积的计算、列函数关系式、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握含30°角直角三角形的性质和分类讨论是解题的关键． 4．（22-23八年级下·上海宝山·期末）平行四边形中，E是边上的动点，过点E作，垂足为点G，F是边的中点，连接．    (1)如图甲，当E是边的中点时，如果四边形的面积为10，求的面积； (2)如图乙，点E移动至点C处，试判断形状，并说明理由； (3)如图丙，如果，，设，，求y与x的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定定理得出四边形是平行四边形，设平行四边形边上的高为h，根据面积之间的关系求解即可； （2）取中点H，连接与交于点P，根据平行线的性质及垂直平分线的判定和性质得出，即可得出结果； （3）过点G作于N，过点A作于M，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，，，结合图形得出代入求解即可． 【解析】（1）解：∵平行四边形， ∴， ∵E是边的中点时，F是边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， 设平行四边形边上的高为h， ∴； （2）取中点H，连接与交于点P，    由（1）可知， ∵， ∴P是中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形； （3）过点G作于N，过点A作于M，    在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴点G到的距离为， ∴ ． 【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形及含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质及确定函数解析式等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 题型3：动点问题 5．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）如图，在中，为对角线的中点，，．．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点．将线段绕着点逆时针旋特60°得到线段，连结，设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上运动时，求证：． (3)当点在边上时，求的值． 【答案】(1)当时，；当时， (2)见解析 (3)2或3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答． （1）利用含角的直角三角形的性质，平行四边形的性质解答即可； （2）连接，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （3）利用平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质求得点与点D重合或点E在边上时的值，从而得到的取值范围． 【解析】（1）解：， ， ， ， ∵四边形为平行四边形， ， ①当时，， ②当时，； （2）证明： 连接， 如图， 在中，为对角线的中点， ∴经过点，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ， 在和 中， ， ， ； （3）解：①当点与点重合时，如图， 由题意得：为等边三角形， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点落在边上时，如图， 由题意得：为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在边上时，的值为：2或3． 6．（2025八年级下·上海·专题练习）在中，，，点是线段上的动点（点不与点重合），连接，过点作交直线于点．    (1)如图1，当点为线段的中点时，请判断出，的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在线段上时，求证：； (3)点在射线上运动，若，，求线段的长． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）连接，可知是等腰直角三角形，再证明，得； （2）过点作交于点，首先证明，得，再证明是等腰直角三角形，可得结论； （3）分点在线段和的延长线上两种情形，分别画出图形，利用，得，从而解决问题． 【解析】（1）解：连接， 四边形是平行四边形， ， ， ∴， ， 是等腰直角三角形， 点为的中点， ，， ，    ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作交于点，    ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， ； （3）解：当点在线段上时，如图②，作，交延长线于，    则是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， 由（2）得，； ， ， ， 当点在的延长线上时，作，交延长线于，    同理可得， ， ， ， ， 综上：的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用． 7．（2025八年级下·上海·专题练习）在平行四边形中，于E，于F，H为上一动点，连接，交于G，且． (1)如图1，若，求、的长； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，若，点H是直线上任一点，将线段绕C点逆时针旋转，得到线段，请直接写出的最小值______． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可； （2）过点作于点，连接，由垂直平分线的性质和等边对等角的性质，得到，证明，得到，，进而得出，再证明，得到，即可得出结论； （3）在取点，使得，连接并延长交于，连接，则是等边三角形，结合旋转的性质，可证，得出，进而推出，设与的交点为，点在直线上运动，则当点运动到点处时，有最小值，由（1）可知，，从而得出，再利用勾股定理，求出的长，即为的最小值． 【解析】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，，， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于点，连接， ，， 垂直平分， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，在取点，使得，连接并延长交于，连接， 四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设与的交点为， 点在直线上运动， 当点运动到点处时，有最小值， ，， ， 由（1）可知，， ， ， 在中，， ，， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，综合性较强，掌握相关知识点是解题关键． 题型4：旋转问题 8．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在等边中，点D是边上且与A，B不重合的点，是由线段绕点D顺时针旋转得到的．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点A作分别交于点F，G，连接相交于点M，求证：与相互平分； (3)如图3，在（2）的条件下，若N是的中点连接，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，则是等边三角形，证明，进而可求的度数； （2）如图1，连接，则，由，可得，由，可得，证明，证明四边形是平行四边形，进而结论得证； （3）如图2，延长至点H，使，证明，则，，，证明，则，进而结论得证． 【解析】（1）解：∵是由线段绕点D顺时针旋转得到的， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）证明：如图1，连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴与相互平分； （3）证明：如图2，延长至点H，使，    ∵N是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质是解题的关键． 9．（2025八年级下·上海·专题练习）数学课上张老师出示了一个问题：如图1，在中， E为边上一点，连接， 求证： ①小芳同学说：不必添画辅助线，可以直接利用图1进行证明． ②小芮同学说：可以添画图2中的辅助线，然后进行证明． （1）请你选择一名同学的想法，写出证明过程． 【问题探究】 （2）小迪同学在此问题基础上，过点E作 ，交于点F，如图3，小琳根据小迪的作法，写出了线段之间的数量关系：请你判断这一结论是否成立，如果成立，请你写出证明过程；若不成立，请你写出关于这三条线段数量关系的新结论，并证明． 【类比拓展】 （3）小怡同学突发奇想，过点E作交于点 F，如图4，若的面积为12，，请你直接写出线段的长． 【答案】（1）任选一种，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，即可证明； （2）连接，可得，利用勾股定理，即可证明； （3）过点作，取的中点，连接，可得，设，利用勾股定理列方程，即可解得． 【解析】解：（1）①小芳同学的解法 证明：如图1， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②小芮同学的解法： 证明：如图2，延长与的延长线相较于点 G ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形 ， ， ， ， ； （2）成立，理由如下： 证明: 如图，连接 ， ， 由(1) 得， ∴在中, ∵四边形是平行四边形        ； （3）如图，过点作，取的中点，连接， ， ， ，， ， ，， 的面积为12，， , ， 是的中点， ，， ， 根据勾股定理可得， ， 设， 根据勾股定理可得， ， 即 解得， 题型5：翻折问题 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在平行四边形中，点是的中点，连结，将沿直线翻折，得到．      (1)如图1，延长交于点，求证：； (2)如图2，连结并延长交于，求证：； (3)当，时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接并延长交的延长线于，证出，得到，再由角平分线性质定理及面积关系得，从而得出，即可得出结论； （2）设与交于点，根据等腰三角的三线合一，证出，得到，再根据平行四边形的判定得到为平行四边形，得到，即可得出结论； （3）根据已知，得到，得到直角，得出，，得到为等腰直角三角形，根据即可得出结论． 【解析】（1）证明：见图1，连接并延长交的延长线于，   ， ； ∵点是的中点， ； 在和中， ， ， ， 即为的中点； ∴； 又为的平分线，且设E点到的距离分别为， 则； ∴， ； ， ， 即， ， ； （2）证明：见图2，延长交于G，设与交于点，    由（1）知，为等腰三角形， 等腰三角的三线合一， ； 在和中， ， ， ， 垂直平分，； 又， ； ； ， 即四边形为平行四边形， ∴， 即； （3）解：同图2， ， ， ， ； 在中， ， ， ， ； 在直角三角形中， ， 为等腰直角三角形， ． 【点睛】本题主要考查三角形全等，等腰三角形，平行四边形的性质，角平分线的性质定理，三角形内角和、勾股定理等知识，采用数形结合的方法构造三角形全等以及熟练掌握等腰三角形三线合一的运用是解题的关键． 题型6：倍长中线法构造平行四边形 11．（2025八年级下·上海·专题练习）我们定义：如图，在中，把绕点按顺时针方向旋转（得到，把绕点按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图、图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图，当为等边三角形时，与的数量关系为； ②如图，当，时，则长为 ； (2)精确作图：如图，已知在四边形内部存在点，使得是的“旋补三角形”（点的对应点为点，点的对应点为点），请用直尺和圆规作出点（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明） (3)猜想论证：在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1)①；②； (2)图见解析； (3)，证明见解析． 【分析】（1）①根据含直角三角形的性质解答；②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （）根据线段垂直平分线的性质、利用尺规作图作出点； （）证明四边形′′是平行四边形，得到，，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【解析】（1）解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”． ∴， ∴， ∴， 故答案为； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为； （2）解：作线段、的垂直平分线，交点即为点， （3）解：，理由如下：如图，延长到，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在′和中， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． 题型7：平行四边形在平面直角坐标系的应用 12．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、，将点B向左平移2个单位后落在y轴上的点P处． (1)求m的值； (2)将线段绕点P逆时针旋转，点A落在点C处，求直线的表达式； (3)设（2）中的直线与x轴交于点D，在直角坐标平面内找点Q，使得以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标． 【答案】(1)0 (2) (3)或或 【分析】（1）根据坐标平移规律“左减右加”以及坐标轴上点坐标特征即可求解； （2）根据旋转的性质求得，再利用待定系数法即可求解； （3）先求得，根据平行四边形的性质进行分类讨论，利用平移的性质即可求解． 【解析】（1）解：∵将点B向左平移2个单位后落在y轴上 ∴ 解得 （2）由（1）可得， ∴ ∴ 如图，根据旋转可得， ∴ 设直线的表达式为（） ∵直线经过点， ∴ 解得 ∴直线的表达式为． （3）由（2）知直线的表达式为， ∴ 连接，如图， ①由平移得直线， 此时即为所求， ∵四边形为平行四边形 ∴ ∵，， ∴ ②由平移得直线， 此时即为所求， ∵四边形为平行四边形 ∴ ∵，， ∴ ③由平移得直线轴， 此时即为所求， ∵四边形为平行四边形 ∴ ∵，， ∴     综上所述，Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与坐标轴的交点，旋转的性质，平移的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的性质与判定，坐标平移规律以及坐标轴上点坐标特征等，根据平移求对应点坐标是解题的关键． 13．（23-24八年级下·上海崇明·期末）在平面直角坐标系中（如图），直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上． (1)求点A和点B的坐标； (2)当点C的横坐标是时，如果在y轴上存在点P，使得，求点P的坐标； (3)当点C的横坐标是m时，在平面直角坐标系中存在点Q，使得以O、C、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．（用含m的代数式表示） 【答案】(1) (2)点或 (3)或或 【分析】本题为一次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键． （1）对于，当时，，令，则，即可求解； （2）由，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或为对角线时，同理可解． 【解析】（1）解：对于，当时，， 令，则， 即点的坐标分别为：； （2）设点， 则， 解得：或8， 即点或； （3）设点，点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得， 则点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或或． 14．（23-24八年级下·上海松江·期中）如图，已知一次函数的图像与轴、轴分别交于点点，将线段绕点A顺时针旋转，点的对应点记为点．连接．过点C作轴的垂线，交轴于点．点是线段上的一个动点． (1)如图1，求直线的表达式． (2)如图1，当直线轴时，平面内是否存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若有，请直接写出点的坐标；若没有，请说明理由． (3)如图2，当射线与直线的夹角为时，在射线上取一点，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2)G点坐标为或或 (3) 【分析】（1）先求出A，B点坐标，通过证明，得到，，即可求出C，D两点坐标，用待定系数法即可求解； （2）轴于A点，则，先求出M点坐标，分别在①当是平行四边形的边时，②当是平行四边形的对角线时，进行求解即可； （3）先得出为等腰直角三角形，然后求出M点坐标，利用待定系数法求出解析式，设Q点坐标为，过Q点作轴于T点，利用勾股定理即可求解． 【解析】（1）解：一次函数的图像与轴、轴分别交于A、B两点， 当时，，当时，， ，， ， ， ， ， 轴， ， ， ， ，， ，， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为：； （2）存在，如图， 轴于A点，则， 点M在上，且点M的横坐标是2，直线表达式为， 当时，， 点M的坐标为， ①当是平行四边形的边时，，，， 当G在M上方时，G点坐标为，当G在M下方时，G点坐标为； ②当是平行四边形的对角线时，如图1，取点R连接并延长至点G，使，连接，则且， 设G点坐标为，点，点，点， ，， 解得：，， 点坐标为， 综上所述G点坐标为或或； （3）， 为等腰直角三角形， 点M在线段上， ， 为中点， ，， ，即， 设射线的表达式为，过点A、点M， ，解得：， ，， 设Q点坐标为， 如图2，过Q点作轴于T点， ， ， ， ， ，整理得， 解得：或， 点横坐标值大于A点横坐标值， ，， 点坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，中点坐标的求解，旋转性质，准确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键． 15．（2025八年级下·上海·专题练习）如图1，直线交轴于点，交轴于点．直线关于轴对称的直线交轴于点C，直线经过点C． (1)①求线段的长； ②求出直线的函数表达式； (2)点R、T分别在直线、上．若以A、B、R、T为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点R的坐标； (3)如图2，点在x轴上，过点E作直线．轴，交直线于点P，点在四边形内部，直线交于点Q，直线交于M，求的值． 【答案】(1)①；②直线的函数表达式为； (2)点的坐标为或或； (3)． 【分析】（1）先求得的坐标，根据勾股定理即可求出AB的长度，根据轴对称的性质求得的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）根据直线和直线关于y轴对称求出直线的解析式，根据点R在直线上，可设点的坐标为，然后分类讨论，结合平行四边形的性质和平移的性质，可用含有m的式子表示点T的坐标，再根据点T在直线上求出m的值，即可求出点的坐标； （3）求出点，进而求出的长度，然后再结合点求出直线和直线的解析式，进而求出点和，即可得到与的长度，最后再代入计算即可． 【解析】（1）解：①∵直线交x轴于A，交y轴于B， 令，． ∴，． ∴，． ∴，． ∴，． ∵， ∴； ②∵点与点C关于轴对称， ∴． ∵直线经过点C． ∴， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵．， ∴设直线． ∴． 解得：． ∴直线． ∵点R在直线上， ∴设点的坐标为． ①如下图所示，当点R在线段上时． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴经过平移之后到达． ∴． ∵点T在直线上， ∴，解得． ∴点的坐标为； ②如下图所示，当点R在线段延长线上时． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴经过平移之后到达． ∴． ∵点T在直线上， ∴，解得． ∴点的坐标为； ③如下图所示，当点R在线段延长线上时． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴经过平移之后到达． ∴． ∵点T在直线上， ∴，解得． ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或； （3）解：由题意得， ∴， ∴点的坐标为， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线经过点与， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵直线与x轴交于点Q， ∴． ∴． 解得：． ∴． ∴． 设直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴． 解得：和（舍去）． ∴直线的解析式为． ∵直线与直线交于点M． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及坐标与长度的关系，勾股定理，轴对称和平移的性质，平行四边形的性质和判定定理，代数式求值，应用一次函数的性质正确求出点的坐标是解题关键． 题型8：分类讨论 16．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，和都是等腰直角三角形，，连接，以，为邻边作，连接，． (1)如图1，当点D落在上时，与的数量关系是___________，位置关系是___________ (2)如图2，当点D在的内部时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图3，连接，若，，当时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)成立，见解析 (3)或 【分析】（1）根据，且可判断四边形，证明解答即可． （2）延长交于点K，仿照(1)，利用平行四边形的性质证明即可． （3）分类计算即可．本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【解析】（1）∵四边形是平行四边形，且， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）结论仍然成立，理由如下： 延长交于点K， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． （3）当在的右侧时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴共线， ∵和都是等腰直角三角形，，， ， ∴， ∴， 此时； 当在的左侧时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴共线， ∵和都是等腰直角三角形，，， ， ∴， ∴， 此时； 故的长为或． 17．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转． 【特例感知】 (1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ； 【类比迁移】   (2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由； 【方法运用】 (3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)等边三角形 (2)等边三角形，见解析 (3)或 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，，利用平行线的性质，得到，，，从而推出，最后判定三角形为等边三角形； （2）连接，交分别、于点、，同理可证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，，得到是等腰三角形，最后联合平行线的性质，得到，从而判定三角形为等边三角形； （3）连接、，同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形有，设，则，，先判定是直角三角形，，取的中点，连接，通过，推出，即此时在边上，那么；连接、，同①，可证是直角三角形，，，此时在边上，可得到． 【解析】（1）解：由题意可得，， 四边形是平行四边形 ， 和是等边三角形 、、三点共线 ，， 是等边三角形 故答案为：等边三角形． （2）解：是等边三角形，理由如下， 如下图，连接，交分别、于点、， ， 四边形是平行四边形 ， 和是等边三角形 ，， 点在线段的延长线上 ，即 ， 是等腰三角形 又， 是等边三角形 （3）解：①如下图，连接、 同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形 有 设，则， 是直角三角形， 取的中点，连接 此时在边上 ②如下图，连接、 同①，可证是直角三角形，， 此时在边上 综上所述，或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上知识点，构建合适的辅助线是解题的关键． 题型9：情景探究、数学活动题 18．（2025八年级下·上海·专题练习）【提出问题】 如图1，在中，于点E，于点F．求证：； 【问题探究】 如图2，在四边形中，，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：； 【拓展延伸】 如图3，在四边形中，，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ． 【答案】提出问题：证明见解析；问题探究：证明见解析；拓展延伸： 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理； 提出问题：由垂直可得，由，可得，，得到，即可证明； 问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，先证明，得，，再证明，得到，推出，即可证明，得到，； 拓展延伸：过作于，过作交延长线于，证明，得到，再由勾股定理得到，最后根据计算即可． 【解析】解：提出问题：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，则， ∵G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 拓展延伸：过作于，过作交延长线于，则， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（2025八年级下·上海·专题练习）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． 如图，在平行四边形中，是对角线，，点是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，若，连接，求证； (2)如图2，若，连接交于，求证：； (3)若在（2）的条件下，，点为边上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，求出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）在上截取，连接，先证可得，再证可得，然后再线段的和差和等量代换即可解答； （3）先求得,,再连接,则，当，即有最小值，再根据勾股定理求得，最后根据平行四边形的面积公式即可解答． 【解析】（1）解：， ， 在和， ， ， ， （2）解：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ∴， ∵ ． （3）解：如图：∵， ∴，, 连接， 由（2）可知， ∴是等边三角形， ∴， ∵将线段绕着点E顺时针旋转得到线段， ∴，，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，点的轨迹为过点H且平行的直线， 过H作，其延长线角于M，过C作于Q， 由点到直线的距离，垂线段最短，可知：当时，即有最小值 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了平行四边性的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训03 平行四边形 压轴题（九大题型） 目录： 题型1：手拉手模型中的平行四边形 题型2：列函数解析式 题型3：动点问题 题型4：旋转问题 题型5：翻折问题 题型6：倍长中线法构造平行四边形 题型7：平行四边形在平面直角坐标系的应用 题型8：分类讨论 题型9：情景探究、数学活动题 本专题可能用到的几何模型参考： 1、利用旋转构造全等三角形 2、倍长中线模型 3、截长补短法 题型1：手拉手模型中的平行四边形 1．（2025八年级下·上海·统考新编）如图，点是等边边上的一点（不与、重合），以为边作等边，过点，分别交、于点、，联结． （1）说明的理由； （2）说明为等边三角形的理由； （3）线段与存在怎样的数量关系和位置关系？并分别说明理由． 2．（2025八年级下·上海·名校新编）已知等边△ABC中，AB＝8，点D为边BC上一动点，以AD为边作等边△ADE，且点E与点D在直线AC的两侧，过点E作EF//BC，EF与AB、AC分别相交于点F、G．    (1)求证：四边形BCEF是平行四边形； (2)设BD＝，FG＝，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当AD的长为7时，求线段FG的长． 题型2：列函数解析式 3．（2025八年级下·上海·统考新编）在中，，，，点D是AB上的动点，交AC于点E，分别交射线BC、射线AC于点F、G，联结EF． (1)如图1，如果点G恰好平分EC，判断四边形DEFC的形状并证明； (2)如图2，当点F在线段BC的延长线上时，设AD的长为x，梯形DBFE的面积为y，直接写出y关于x的函数关系及其定义域； (3)当时，求的长． 4．（22-23八年级下·上海宝山·期末）平行四边形中，E是边上的动点，过点E作，垂足为点G，F是边的中点，连接．    (1)如图甲，当E是边的中点时，如果四边形的面积为10，求的面积； (2)如图乙，点E移动至点C处，试判断形状，并说明理由； (3)如图丙，如果，，设，，求y与x的函数关系式，并写出定义域． 题型3：动点问题 5．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）如图，在中，为对角线的中点，，．．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点．将线段绕着点逆时针旋特60°得到线段，连结，设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上运动时，求证：． (3)当点在边上时，求的值． 6．（2025八年级下·上海·专题练习）在中，，，点是线段上的动点（点不与点重合），连接，过点作交直线于点．    (1)如图1，当点为线段的中点时，请判断出，的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在线段上时，求证：； (3)点在射线上运动，若，，求线段的长． 7．（2025八年级下·上海·专题练习）在平行四边形中，于E，于F，H为上一动点，连接，交于G，且． (1)如图1，若，求、的长； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，若，点H是直线上任一点，将线段绕C点逆时针旋转，得到线段，请直接写出的最小值______． 题型4：旋转问题 8．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在等边中，点D是边上且与A，B不重合的点，是由线段绕点D顺时针旋转得到的．    (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点A作分别交于点F，G，连接相交于点M，求证：与相互平分； (3)如图3，在（2）的条件下，若N是的中点连接，求证：． 9．（2025八年级下·上海·专题练习）数学课上张老师出示了一个问题：如图1，在中， E为边上一点，连接， 求证： ①小芳同学说：不必添画辅助线，可以直接利用图1进行证明． ②小芮同学说：可以添画图2中的辅助线，然后进行证明． （1）请你选择一名同学的想法，写出证明过程． 【问题探究】 （2）小迪同学在此问题基础上，过点E作 ，交于点F，如图3，小琳根据小迪的作法，写出了线段之间的数量关系：请你判断这一结论是否成立，如果成立，请你写出证明过程；若不成立，请你写出关于这三条线段数量关系的新结论，并证明． 【类比拓展】 （3）小怡同学突发奇想，过点E作交于点 F，如图4，若的面积为12，，请你直接写出线段的长． 题型5：翻折问题 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在平行四边形中，点是的中点，连结，将沿直线翻折，得到．      (1)如图1，延长交于点，求证：； (2)如图2，连结并延长交于，求证：； (3)当，时，求线段的长． 题型6：倍长中线法构造平行四边形 11．（2025八年级下·上海·专题练习）我们定义：如图，在中，把绕点按顺时针方向旋转（得到，把绕点按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图、图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图，当为等边三角形时，与的数量关系为； ②如图，当，时，则长为 ； (2)精确作图：如图，已知在四边形内部存在点，使得是的“旋补三角形”（点的对应点为点，点的对应点为点），请用直尺和圆规作出点（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明） (3)猜想论证：在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 题型7：平行四边形在平面直角坐标系的应用 12．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、，将点B向左平移2个单位后落在y轴上的点P处． (1)求m的值； (2)将线段绕点P逆时针旋转，点A落在点C处，求直线的表达式； (3)设（2）中的直线与x轴交于点D，在直角坐标平面内找点Q，使得以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标． 13．（23-24八年级下·上海崇明·期末）在平面直角坐标系中（如图），直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上． (1)求点A和点B的坐标； (2)当点C的横坐标是时，如果在y轴上存在点P，使得，求点P的坐标； (3)当点C的横坐标是m时，在平面直角坐标系中存在点Q，使得以O、C、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．（用含m的代数式表示） 14．（23-24八年级下·上海松江·期中）如图，已知一次函数的图像与轴、轴分别交于点点，将线段绕点A顺时针旋转，点的对应点记为点．连接．过点C作轴的垂线，交轴于点．点是线段上的一个动点． (1)如图1，求直线的表达式． (2)如图1，当直线轴时，平面内是否存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若有，请直接写出点的坐标；若没有，请说明理由． (3)如图2，当射线与直线的夹角为时，在射线上取一点，使，求点的坐标． 15．（2025八年级下·上海·专题练习）如图1，直线交轴于点，交轴于点．直线关于轴对称的直线交轴于点C，直线经过点C． (1)①求线段的长； ②求出直线的函数表达式； (2)点R、T分别在直线、上．若以A、B、R、T为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点R的坐标； (3)如图2，点在x轴上，过点E作直线．轴，交直线于点P，点在四边形内部，直线交于点Q，直线交于M，求的值． 题型8：分类讨论 16．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，和都是等腰直角三角形，，连接，以，为邻边作，连接，． (1)如图1，当点D落在上时，与的数量关系是___________，位置关系是___________ (2)如图2，当点D在的内部时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图3，连接，若，，当时，直接写出的长． 17．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转． 【特例感知】 (1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ； 【类比迁移】   (2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由； 【方法运用】 (3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值． 题型9：情景探究、数学活动题 18．（2025八年级下·上海·专题练习）【提出问题】 如图1，在中，于点E，于点F．求证：； 【问题探究】 如图2，在四边形中，，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：； 【拓展延伸】 如图3，在四边形中，，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ． 19．（2025八年级下·上海·专题练习）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． 如图，在平行四边形中，是对角线，，点是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，若，连接，求证； (2)如图2，若，连接交于，求证：； (3)若在（2）的条件下，，点为边上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，求出四边形的面积． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$