第17讲 反比例函数综合5大题型-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）

八年级下苏科版 第17讲 专题5--反比例函数综合5大题型 【类型一：反比例函数与一次函数】 1．（2024春•梁溪区校级期末）如图，若反比例函数与一次函数y2＝ax+b交于A、B两点，当0＜y1≤y2时，x的取值范围是 　 　. 2．（2024春•新吴区期末）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数在第一象限内交于点C（5，2），则当x＞0时，的解集为 　 　． 3．（2024春•秦淮区校级期末）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A（1，a）和B（2，b）两点，与x轴交于点C，下列说法：①反比例函数的关系式；②根据图象，当时，x的取值范围为0＜x＜1或x＞2；③若点P在x轴上，且，点P的坐标（8，0）．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（2024春•仪征市期末）将双曲线y（ki＞0，i＝1，2，3，…1012）向左平移2个单位，再向下平移1个单位后与直线y＝3（x+2）﹣1相交于2024个点，这2024个交点的横坐标的和为（　　） A．﹣1012 B．﹣2024 C．﹣4048 D．2024 5．（2024春•秦淮区校级期末）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A'．函数y1、y2的图象相交于第一象限B点．（1）用无刻度的直尺与圆规作出点A′； （2）若a＝2，点B坐标为（4，2）． ①分别求函数y1、y2的表达式； ②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围； （3）若点B的横坐标为3a，△AA′B 的面积为16，求k的值． 6．（2024春•梁溪区校级期末）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A（﹣1，6），B（3，a﹣3），与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）点M在x轴上，若S△OAM＝S△OAB，求点M的坐标． 【类型二：反比例函数图像上点的特征】 7．（2024春•扬州期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形ABCD的顶点C，D，若点A、点B、点C的坐标分别为（3，0），（0，4），（a，6），则k的值是 　　． 8．（2024春•惠山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，矩形CDEF的顶点D在BC上，顶点F在y轴上．已知C是OF的中点，反比例函数的图象经过点B，图中阴影部分的面积为4，则k的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 9．（2024春•新吴区期末）如图，点A在反比例函数图象上，且OA＝6，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为（　　） A．7 B．8 C． D． 10．（2023春•惠山区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点 A、C在坐标轴上，B在第一象限，反比例函数的图象经过OB中点E，与AB交于点F，将矩形沿直线EF翻折，点B恰好与点O重合．若矩形面积为，则点B坐标是（　　） A．（） B．） C． D． 11．（2023春•宜兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，其纵坐标为3，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（　　） A． B． C．4 D． 12．（2024春•南京期末）反比例函数y的图象经过点A（1，4）和B（m，n），则m2+n2的最小值为 　　． 13．（2024春•玄武区期末）在平面直角坐标系xOy中，A，B是反比例函数图象上不同的两点，点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，且O，A，B三点不在同一条直线上．若OA＝OB，则mn＝　 ． 14．（2024春•工业园区期末）如图，点A、D分别在函数y，y的图象上，点B、C在x轴上，若四边形ABCD为正方形，点A在第二象限，则A的坐标为 　 　． 15．（2023春•溧阳市期末）如图，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形BCDE的边BC∥x轴，另一边BE在直线l，且点B是AE的中点，点D在反比例函数的图象上，则k＝　 　． 16．（2023春•滨湖区期末）如图，直线y＝3x与双曲线y交于A、B两点，将直线AB绕点A顺时针旋转45°，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，设直线AC的函数表达式为y＝ax+b，则a＝　　；若S△ABC＝70，则k＝　 　． 17．（2024春•江都区期末）已知如图，A（﹣4，0），C（﹣1，4），过点C作DB⊥x轴，垂足为B（D在C上方），AF平分∠BAC，CE平分∠ACD，直线EC交射线AF于点F．若反比例函数（x＞0）的图象经过点F，则k的值为 　 　． 18．（2023春•梁溪区校级期末）如图，点A在y轴的正半轴上，过点A作x轴的平行线，交反比例函数y2（x＞0）的图象于点B，过点B作y轴的平行线，交反比例函数y1（x＞0）的图象于点C，过点C作x轴的平行线，交y轴于点D，记四边形ABCD的面积为S． （1）若点A的纵坐标为2，求S的值； （2）求证：无论点A在y轴正半轴的何处，S的值不变． 19．（2024春•宜兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC＝4，顶点A在x轴的正半轴上，AB⊥x轴，若双曲线y（k≠0）交边AC于中点D，交边AB于点E． （1）若OA＝7，求k值； （2）若AEAB，求k值以及点D的坐标． 20．（2023春•苏州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），已知点C、点M（5， 在反比例函数图象上． （1）k＝　 　； （2）若点A关于点C的对称点D也在反比例函数图象上，求此时点C的坐标； （3）若点A绕点C顺时针旋转 120° 所得对应点B刚好落在y轴的正半轴上，求线段AB的长． 【类型三：反比例函数中的存在性问题】 21．（2024春•玄武区期末）如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（4，m），B（﹣6，﹣2）． （1）求k的值和一次函数的表达式； （2）关于x的不等式的解集为 　 　； （3）若点P为直线AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，与反比例函数的图象交于点Q，当△OPQ的面积为6时，请直接写出点Q的坐标． 22．（2024春•工业园区期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于点A（﹣1，m），B（n，﹣1）． （1）求m，n的值，并直接写出不等式ka+b的解集； （2）点C是线段AB上一点，过C作y轴的平行线交反比例函数在第四象限的图象于点D，若△COD的面积为5，求点C的坐标． 23．（2024春•沛县校级期末）如图，一次函数y＝x+8的图象与反比例函数的图象交于A（a，6），B（﹣6，b）两点． （1）求此反比例函数的表达式； （2）在y轴上存在点P，使得AP+BP的值最小，求AP+BP的最小值； （3）M为反比例函数图象上一点，N为x轴上一点，是否存在点M、N，使△MBN是以MN为底的等腰直角三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由． 24．（2023春•睢宁县期末）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在正比例函数y＝2x的图象上，反比例函数y（x＞0，k＞0）的图象经过点A，且与边CD相交于点E． （1）若BC＝4，求点E的坐标； （2）连接AE，OE． ①若△AOE的面积为24，求k的值； ②是否存在某一位置使得AE⊥OA，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 25．（2024春•锡山区期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数（k≠0）的图象在第一象限交于A（1，a）和B（2，b）两点．则△AOB的面积为 　 　；若点P在y轴上，点Q在反比例函数y 的图象上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的Q点的坐标：　 　． 26．（2024春•新吴区期末）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（﹣2，0）、B（0，1）、C（m，n）． （1）求C点坐标； （2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式； （3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 27．（2023春•新吴区期末）如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线经过C、D两点． （1）a＝　 　，b＝　 　； （2）求反比例函数表达式： （3）点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标． 28．（2024春•姑苏区期末）如图，在△ABO中，AO＝AB，点A的坐标为（5，0），点B（2，a）在反比例函数的图象上．若将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，点C恰好在反比例函数的图象上． （1）求k1，k2的值； （2）若P，Q分别为反比例函数，图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标． 29．（2024春•工业园区期末）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数y（k≠0）在第一象限的图象经过正方形的顶点C． （1）求点C的坐标和反比例函数的表达式； （2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形A'B'C'D'，点A'恰好落在反比例函数的图象上，求此时点D'的坐标； （3）在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、A'、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【类型四：与反比例函数有关的创新题】 30．（2023春•太仓市期末）定义：平面直角坐标系xOy中，若点M绕点N顺时针旋转90°，恰好落在函数图象W上，则称点M是点N关于函数图象W的“直旋点”．例如．点（﹣1，1）是原点O关于函数y＝x图象的一个“直旋点” （1）在①（﹣1，2）②（1，3）③（﹣3，2）三点中，是原点O关于一次函数y＝2x﹣1图象的“直旋点”的有 　 （填序号）； （2）点M（﹣2，4）是点N（1，0）关于反比例函数y图象的“直旋点”，求k的值； （3）如图1，点A（1，3）在反比例函数y图象上，点B是在反比例函数y图象上点A右侧的一点，若点B是点A关于函数y的“直旋点”，求点B的坐标． 31．（2023春•溧阳市期末）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点A（x，y），我们把点B（，）称为点A的“倒数点”． （1）写出平面直角坐标系中第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标 　　； （2）点P是反比例函数（x＞0）图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式； （3）如图，矩形OCDE的顶点C为（4，0），顶点E在y轴上，函数（x＞0）的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，求△OBC的面积． 32．（2023春•常州期末）背景：点A是反比例函数（k＞0）的图象上一个动点，连接AO，将线段AO绕点A逆时针方向旋转90°到AB．如图1，已知A（1，t），小李测得点B（5，3）． （1）填空：k＝　　； （2）探究：通过改变点A的位置，小李发现点B的纵坐标与点A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题：设点B的纵坐标与点A的横坐标分别为z，x，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时的“Z函数”的图象． ①求这个“Z函数”的表达式； ②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）； ③过点（3，2）作一条直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标． 33．（2024春•盱眙县期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】： （1）点C（2，3）　 　“美好点”（填“是”或“不是”）； 【深入探究】： （2）①若“美好点”E（m，6）（m＞0）在双曲线（k≠0，且k为常数）上，则k＝　 　； ②在①的条件下，F（2，n）在双曲线上，求S△EOF的值； 【拓展延伸】： （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点P（x，y）是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式； ②对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）⋅（y﹣2）是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 34．（2023春•灌云县期末）【定义】平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴；②有两个顶点在同一反比例函数的图象上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”． 例如：图（1）中，矩形ABCD的边AD∥BC∥x轴，AB∥CD∥y轴，且顶点A、C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则矩形ABCD是反比例函数y＝（x＞0）的“伴随矩形”． 【解决问题】： （1）已知，在矩形EFGH中，点E、G的坐标分别为：①E（﹣3，8），G（6，﹣4）②E（1，2），G（2，3）③E（3，4），G（2，6），其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是 　 　；（填序号） （2）如图（1），已知点B（2，）是反比例函数y的“伴随矩形”ABCD的顶点，求直线BD的解析式； （3）若反比例函数的“伴随矩形”MNPQ如图（2）所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点． 35．（2024春•广陵区校级期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线l1∥l2，点A，D在直线l1上，点B，C在直线l2上，若∠BAD＝2∠BCD，则四边形ABCD是半对角四边形． （1）如图2，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，∠A＝60°，AB＝2，AE＝4．若四边形ABCE为半对角四边形，则AD＝　　． （2）如图3，以▱ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边AD上一点，满足BC＝AE+CE．求证：四边形ABCE是半对角四边形； （3）如图4，在（2）的条件下，若点E是反比例函数图象上的动点，当点E运动时，点B恰好在反比例函数的图象上运动，请直接写出k的值 　　． 【类型五：反比例函数综合题】 36．（2023春•锡山区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（0，10）、B（6，a+10）、C（6，a）． （1）BC＝　 　，四边形OABC的面积是 　 　； （2）当四边形OABC是轴对称图形时，求a的值； （3）连接OB，过OB的中点E作直线l，分别交线段AB、OC于点F、G．连接OF，△OFG的面积为20，反比例函数y的图象经过直线l上两点E、F，求k的值． 37．（2024春•惠山区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴正半轴与y轴正半轴分别交于点A、B，设OA＝a，OB＝b（a＞0，b＞0）．将△AOB绕点A顺时针方向旋转90°得到△ADC，点B的对应点为点C；再将△ADC沿射线AB方向平移，使点A与点B重合得到△BEF，点D的对应点为点E，点E在y轴上，点G为线段EF的中点，点C与点G恰好落在同一个反比例函数的图象上． （1）当a＝1时，求反比例函数的解析式． （2）求的值． （3）若线段BD、GO交于点P，且△PGC的面积为4，求a的值． 38．（2024春•锡山区期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正方形OABC的边AB交于点E（﹣3，4），与边BC交于点D，一次函数b的图象经过点D，与边AB交于点F． （1）求点F的坐标： （2）连接OF、OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明； （3）在x轴上找两点M，N（M在N的右侧），使MN＝2，且使四边形AMND的周长最小，则点M的坐标为 　 　，四边形AMND的周长最小为 　 ． 39．（2023春•无锡期末）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E． （1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由； （2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形． ①求k、b的值； ②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标． 40．（2023春•梁溪区校级期末）如图1，反比例函数的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1）B（﹣1，3）两点． （1）直接填写：k＝　 　；m＝　 　；n＝　 　； （2）设直线AB交y轴于点C，点N（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数y的图象于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞4，求t的取值范围． （3）如图2，将一次函数y＝mx+n的图象向下平移后，与反比例函数的图象在第二象限的交点为点D，与x轴负半轴交于点E，y轴上一点P的纵坐标为4，且DP＝EP，求点D的坐标． 41．（2024春•苏州期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OACB是矩形，顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，顶点C的坐标为（8，6），双曲线分别交AC，BC于点D，E． （1）点D的坐标为 　 　； （2）若点P是对角线OC上一点． ①连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转90°后得到线段AQ．若点Q恰好在双曲线上，求此时点P坐标； ②连接DE，DP，若∠DPC＝∠DEC，请画出图形探究并求OP的长． 42．（2024春•姑苏区校级期末）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点A'与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A'． （1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上． ①分别求函数y1、y2的表达式； ②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围； （2）设，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上． 43．（2024春•秦淮区校级期末）思考探究： 【形成概念】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|． 【初步理解】 （1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝　 　． ②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是 　 　． ③函数的图象如图②所示，C是该函数的图象上的一点，若d（O，C）的值最小，点C的坐标是 　 　． 【深入探究】 （2）如图③，菱形ABCD顶点A的坐标是（1，3），B（3，2）．小明发现：菱形ABCD的边上会有两个点分别到原点O的距离d相等．若点E在菱形的边上且d（O，E）＝d（O，B），指出点E在菱形的那条边上，并求出它的坐标． （3）实数m（m＞0），如图④，直接写出在矩形ABCD边上，且到原点O的距离d等于m的点的个数与m值的关系． 44．（2023春•常州期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数y＝mx+b（m＜0）的图象在第一象限交于A、B两点． 探究一： P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积记为SA、SB、SP，矩形周长记为∁A、∁B、∁P． （1）如图1，P是线段AB上不与点A、B重合的一点，k＝8． SA＝　8　，SA　＜　SP（填“＞”、“＜”或“＝”）； 猜想：当点P从点A运动到点B时，SP的变化规律是 　 　； （2）如图2，P是双曲线AB段上不与点A、B重合的一点，m＝﹣1，b＝4． ∁A＝　8　，∁A　＞　∁P．（填“＞”、“＜”或“＝”）； 猜想：当点P从点A运动到点B时，∁P的变化规律是 　 　． 探究二： 如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线AB右上方的点Q，OQ与反比例函数的图象交于点G．若G是OQ的中点，且△QAB的面积为9，求k的值． 45．（2024春•仪征市期末）如图1，已知反比例函数与一次函数y＝ax+b的图象相交于点A、B，直线AB与x轴、y轴交于点C、D． （1）若点A（1，6），点B（2，m）． ①一次函数解析式是 　 　； ②直接写出线段AD、BC的长，你有什么发现？ （2）若点A（m，n），点B（n，m），则②中的结论是否仍然成立？试说明理由． （3）实际上，对于任意两点A、B，②中的结论都成立，利用此结论解决问题： 如图2，已知矩形EFGH，点E（1，4），FG＝2，若反比例函数与矩形的对角线EG有交点，则k的最大值为 　 　． 46．（2024春•邗江区期末）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了（x＞0）和y＝﹣x+10的图象，两个函数图象交于A（1，9），B（9，1）两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现PQ的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究PQ的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： （1）设点P的横坐标为x，PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为 　 　（1≤x≤9）； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象：①列表： x 1 2 3 4 6 9 y 0 m 4 n 0 表中m＝　　，n＝　 　； ②描点连线：根据上表中的数据，在图2中描出各点，并画出该函数的图象； ③观察图2中函数图象，当x＝　　时，y的最大值为 　 　． （3）已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数，求m取最大值时矩形的对角线长； （4）如图3，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2kx﹣2（k＞0）与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数第一象限图象上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D．直接写出四边形ABCD面积的最小值 　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下苏科版 第17讲 专题5--反比例函数综合5大题型 【类型一：反比例函数与一次函数】 1．（2024春•梁溪区校级期末）如图，若反比例函数与一次函数y2＝ax+b交于A、B两点，当0＜y1≤y2时，x的取值范围是 　x≤﹣1　. 【分析】写出在x轴的上方，且一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可． 【解答】解：观察图象可知，当0＜y1≤y2时，x的取值范围是x≤﹣1． 故答案为：x≤﹣1． 2．（2024春•新吴区期末）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数在第一象限内交于点C（5，2），则当x＞0时，的解集为 　x＞5　． 【分析】结合图象，根据两函数在第一象限内交于点C，找出一次函数图象在反比例图象上方时x的范围即可． 【解答】解：∵一次函数y＝ax+b与反比例函数y在第一象限内交于点C（5，2）， ∴由图象可知：当x＞0时，ax+b0的解集为x＞5． 故答案为：x＞5． 3．（2024春•秦淮区校级期末）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A（1，a）和B（2，b）两点，与x轴交于点C，下列说法：①反比例函数的关系式；②根据图象，当时，x的取值范围为0＜x＜1或x＞2；③若点P在x轴上，且，点P的坐标（8，0）．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】①先把点A（1，a）代入y＝﹣x+3中求出a得到A（1，2），然后利用待定系数法即可得到反比例函数的表达式； ②根据图象得出取值范围； ③先求得S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC，进而得出S△APC＝5，设P（t，0），则OC＝|t﹣3|，利用三角形面积公式得到S△APC，求解即可． 【解答】解：①把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2， ∴A（1，2）， 把A（1，2）代入反比例函数， ∴k＝1×2＝2； ∴反比例函数的表达式为y， ∴结论①正确； ②把B（2，b）代入y，得b＝1， ∴B（2，1）， 根据图象可知，当时，x的取值范围为0＜x＜1或x＞2， ∴结论②正确； （3）∵S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC， 又∵， ∴S△APC5， 设P（t，0），则OC＝|t﹣3|， ∴S△APC， 解得：t＝8或t＝﹣2， ∴P（8，0）或（﹣2，0）． ∴结论③错误． 故选：A． 4．（2024春•仪征市期末）将双曲线y（ki＞0，i＝1，2，3，…1012）向左平移2个单位，再向下平移1个单位后与直线y＝3（x+2）﹣1相交于2024个点，这2024个交点的横坐标的和为（　　） A．﹣1012 B．﹣2024 C．﹣4048 D．2024 【分析】直线y＝3（x+2）﹣1可由直线y＝3x向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到，这与双曲线y（ki＞0，i＝1，2，3，…1012）的平移方式相同，从而可知双曲线y（ki＞0，i＝1，2，3，…1012）与直线y＝3（x+2）﹣1的交点也可以由双曲线y（ki＞0，i＝1，2，3，…1012）与直线y＝3x的交点以同样的方式平移得到，从而得知双曲线y（ki＞0，i＝1，2，3，…1012）与直线y＝3（x+2）﹣1的交点横坐标之和是﹣4，再用﹣4乘以1012得解． 【解答】解：直线y＝3（x+2）﹣1可由直线y＝3x向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到， ∴直线y＝3x（到直线y＝3（x+2）﹣1（ki＞0，i＝1，2，3，•••，1011）的平移方式与双曲线y（ki＞0，i＝1，2，3，…1012）的相同， ∴双曲线与直线y＝3（x+2）﹣1的交点也可以由双曲线y（ki＞0，i＝1，2，3，…1012）与直线y＝3x的交点以同样的方式平移得到， 设双曲线y（ki＞0，i＝1，2，3，…1012）与直线y＝3x的交点的横坐标为xi，x'i，（i＝1，2，3，•••，1012）， 则双曲线y（ki＞0，i＝1，2，3，…1012）与直线y＝3（x+2）﹣1的交点的横坐标为xi+2，x'i+2（i＝1，2，3，•••，1012）， 根据双曲线y（ki＞0，i＝1，2，3，…1012）与直线y＝3x图象都关于原点对称，可知双曲线y（ki＞0，i＝1，2，3，…1012）与直线y＝3x的交点也关于原点对称， ∴xi+x'i＝0，（i＝1，2，3，•••，1012）， ∴（xi﹣2）+（x'i﹣2）＝﹣4（i＝1，2，3，•••，1012）， 即双曲线y（ki＞0，i＝1，2，3，…1012）与直线y＝3（x+2）﹣1的交点的横坐标之和都是﹣4， ∴这2024个点的横坐标之和为：﹣4×1012＝﹣4048． 故选：C． 5．（2024春•秦淮区校级期末）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A'．函数y1、y2的图象相交于第一象限B点．（1）用无刻度的直尺与圆规作出点A′； （2）若a＝2，点B坐标为（4，2）． ①分别求函数y1、y2的表达式； ②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围； （3）若点B的横坐标为3a，△AA′B 的面积为16，求k的值． 【分析】（1）作点A关于原点对称的点A′即可； （2）①待定系数法求出两个函数解析式即可；②根据两个函数图象写出不等式解集即可； （3）设A（a，），B（3a，），根据面积列出8，解出k值即可． 【解答】解：（1）如图示， （2）①∵点B坐标为（4，2），且点B在反比例函数图象上， ∴k＝8， ∴反比例函数解析式为y， a＝2时，y＝4， ∴A（2，4）， ∴点A（2，4）、B（4，2）在一次函数图象上， ，解得， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+6． ②由函数图象可知，使y1＞y2＞0成立的x的范围为0＜x＜2或4＜x＜6． （3）∵△AA′B 的面积为16， ∴S△AOB＝8， 设A（a，），B（3a，）， ∴8， 解得k＝6． 6．（2024春•梁溪区校级期末）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A（﹣1，6），B（3，a﹣3），与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）点M在x轴上，若S△OAM＝S△OAB，求点M的坐标． 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数解析式求出B的坐标，把A、B的坐标代入所设一次函数解析式即可求出函数的解析式； （2）依据题意求得C点的坐标，求出△AOB的面积，利用S△OAM＝S△OAB，即可求出OM，进而即可求得M点的坐标． 【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y， ∵A（﹣1，6）在反比例函数图象上， 解得k1＝﹣1×6＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为y， 把B（3，a﹣3）代入y，可得 a﹣3， 解得a＝1， ∴B（3，﹣2）， 设一次函数的解析式为y＝k2x+b， 将A（﹣1，6），B（3，﹣2）代入y＝k2x+b， 可得， 解得， ∴一次函数的解析式为 y＝﹣2x+4； （2）当y＝0 时，可得0＝﹣2x+4，解得x＝2， ∴C（2，0）， ∴OC＝2， ∴s△OAB＝S△OAC+S△OBC， ∵S△OAM＝S△OAB， ∴S△OAM8， ∴OM， ∴点M的坐标为（，0）或（，0）． 【类型二：反比例函数图像上点的特征】 7．（2024春•扬州期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形ABCD的顶点C，D，若点A、点B、点C的坐标分别为（3，0），（0，4），（a，6），则k的值是 　9　． 【分析】根据A（3，0），B（0，4），C（a，6）利用中点坐标公式求出点D（a+3，2），根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程求出a值得到点C坐标即可得到k值． 【解答】解：∵A（3，0），B（0，4），C（a，6）， ∴k＝6a，BE＝2，OB＝4，OA＝3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD和AC互相平分， 由中点坐标公式得： a+3＝0+xD；6+0＝4+yD， ∴D（a+3，2）， ∵点C、D在反比例函数图象上， ∴6a＝2（a+3）， 解得a， ∴C（，6）， ∴k＝9． 故答案为：9． 8．（2024春•惠山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，矩形CDEF的顶点D在BC上，顶点F在y轴上．已知C是OF的中点，反比例函数的图象经过点B，图中阴影部分的面积为4，则k的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】证明△CMO≌△DME（AAS），根据S阴影＝S△DME+SAOMB，等量代换后得出4，从而求出k． 【解答】解：如图：OE与CB交于点M， ∵C是OF的中点， ∴CF＝OC， ∵DE＝CF， ∴OC＝DE， ∵∠OCB＝∠EDC＝90°，∠CMO＝∠EMD， ∴△CMO≌△DME（AAS）， ∵S阴影＝S△DME+SAOMB ＝S△CMO+S△OMB ＝S△OCB k， ∵阴影部分的面积为4， ∴4， ∴k＝8； 故选：D． 9．（2024春•新吴区期末）如图，点A在反比例函数图象上，且OA＝6，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为（　　） A．7 B．8 C． D． 【分析】根据线段垂直平分线的性质可知AB＝OB，由此推出△ABC的周长＝OC+AC，设OC＝a，AC＝b，根据勾股定理和函数解析式即可得到关于a、b的方程组，解之即可求出△ABC的周长． 【解答】解：∵OA的垂直平分线交OC于B， ∴AB＝OB， ∴△ABC的周长＝OC+AC， 设OC＝a，AC＝b， 则：， 解得a+b＝4， 即△ABC的周长＝OC+AC＝4． 故选：C． 10．（2023春•惠山区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点 A、C在坐标轴上，B在第一象限，反比例函数的图象经过OB中点E，与AB交于点F，将矩形沿直线EF翻折，点B恰好与点O重合．若矩形面积为，则点B坐标是（　　） A．（） B．） C． D． 【分析】先求出反比例函数k值，再根据题意得到EF垂直平分线段OB，设点B（m，n），则F（，n），BF＝mOF，利用勾股定理建立方程n2+（）2＝（）2，求出n值，最后根据反比例函数图象上得到坐标特征求出m值，继而得到B的坐标． 【解答】解：设点B（m，n）， ∵点E是OB的中点， ∴E（，）， ∵矩形面积为8， ∴mn＝8， ∴kmn2， ∴反比例函数解析式为y， ∵图形对折后点B与点O重合， ∴EF是线段OB的垂直平分线， ∴F（，n），BF＝mOF， 在Rt△AOF中，OA2+AF2＝OF2， ∴n2+（）2＝（）2， 解得：n＝2 m＝4， ∴点B坐标为（4，2）． 故选：B． 11．（2023春•宜兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，其纵坐标为3，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（　　） A． B． C．4 D． 【分析】作MN⊥x轴于N，根据题意P（，3），PQ＝3，由于将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM，得出QM＝QP＝3，∠PQM＝60°，即可得出∠MQN＝30°，即可得出MNQM，QN，得到M（，），代入反比例函数解析式即可求得k的值． 【解答】解：作MN⊥x轴于N， ∵点P在反比例函数的图象上，其纵坐标为3，过点P作PQ∥y轴，交x轴于点Q， ∴P（，3）， ∴PQ＝3， ∵将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM． ∴QM＝QP＝3，∠PQM＝60°， ∴∠MQN＝90°﹣60°＝30°， ∴MNQM， ∴QN， ∴M（，）， ∵点M也在该反比例函数的图象上， ∴k＝（）， 解得k， 故选：D． 12．（2024春•南京期末）反比例函数y的图象经过点A（1，4）和B（m，n），则m2+n2的最小值为 　8　． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征和利用完全平方公式取最值解答即可． 【解答】解：∵反比例函数y的图象经过点A（1，4）， ∴k＝4， ∴y， ∵B（m，n）在反比例函数图象上， ∴mn＝4， ∵m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2≥0， ∴m2+n2≥2mn＝8， ∴m2+n2的最小值为 8． 故答案为：8． 13．（2024春•玄武区期末）在平面直角坐标系xOy中，A，B是反比例函数图象上不同的两点，点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，且O，A，B三点不在同一条直线上．若OA＝OB，则mn＝　±6　． 【分析】根据反比例函数的对称性得到A、B的坐标，代入反比例函数中，即可求得mn＝±6． 【解答】解：由题意可知A、B两点关于直线y＝x或关于直线y＝﹣x对称， 当A、B两点关于直线y＝x对称时，点A（m，n），B（n，m）， ∴k＝mn＝6； 当A、B两点关于直线y＝﹣x对称时，点A（m，﹣n），B（n，﹣m）， ∴k＝﹣mn＝6，即mn＝﹣6． 故答案为：±6． 14．（2024春•工业园区期末）如图，点A、D分别在函数y，y的图象上，点B、C在x轴上，若四边形ABCD为正方形，点A在第二象限，则A的坐标为 　（，2）　． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，确定S△AOB＝0.5，S△COD，进而得到S△AOD＝2，S正方形ABCD＝4，根据正方形的性质可求出AB的值，确定点A的纵坐标，代入求出点A的横坐标即可． 【解答】解：连接AO、DO，则S△AOBk＝0.5，同理S△COD， ∴S△AOD＝S△AOB+S△COD＝2， ∴S正方形ABCD＝4， ∴AB＝2， 即A点纵坐标为2，代入y，得A点横坐标为， 即点A（，2）， 故答案为：（，2）． 15．（2023春•溧阳市期末）如图，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形BCDE的边BC∥x轴，另一边BE在直线l，且点B是AE的中点，点D在反比例函数的图象上，则k＝　﹣54　． 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、点B坐标，由勾股定理求出AB，进而得出菱形的边长，由全等三角形的性质可求出点D的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值即可． 【解答】解：如图，延长DE交y轴于点F， 当x＝0时，y＝3， ∴直线l：与y轴相交于点B（0，3）， 当y＝0时，x＝4， ∴直线l：与x轴相交于点A（4，0）， ∴OA＝4，OB＝3， 在Rt△AOB中，AB5， ∵点B是AE的中点， ∴AB＝BE＝5， ∵四边形BCDE是菱形， ∴BC＝CD＝DE＝EB＝5， ∵DE∥x轴， ∴∠EFB＝∠AOB＝90°，∠EBF＝∠ABO， ∴△BEF≌△BAO（AAS）， ∴EF＝OA＝4，BF＝OB＝3， ∴DF＝DE+EF＝9，OF＝3+3＝6， ∴点D（﹣9，6）， ∵点D（﹣9，6）在反比例函数的图象上， ∴k＝﹣9×6＝﹣54， 故答案为：﹣54． 的解集为：﹣1＜x＜0或x＞4． 故答案为：﹣1＜x＜0或x＞4． 16．（2023春•滨湖区期末）如图，直线y＝3x与双曲线y交于A、B两点，将直线AB绕点A顺时针旋转45°，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，设直线AC的函数表达式为y＝ax+b，则a＝　　；若S△ABC＝70，则k＝　12　． 【分析】作AH⊥x轴于H，OE⊥OA交AC于E，EF⊥x轴于F，CN⊥x轴于N，连接OC，设AC交x轴于M，证明△EOF≌△OAH，求出EF与AH的比，再求出MF的份数，证明出NC与MN的比，表示出NC的份数，利用△OAC的面积求出x＝2，即可求出k． 【解答】解：作AH⊥x轴于H，OE⊥OA交AC于E，EF⊥x轴于F，CN⊥x轴于N，连接OC，设AC交x轴于M， ∵∠CAB＝45°， ∴OA⊥OE，OA＝OE， ∴∠EOF+∠AOH＝90°， ∵∠OAH+∠AOH＝90°， ∴∠EOF＝∠OAH， ∴△EOF≌△OAH（AAS）， 设OH＝EF＝x， ∵直线AB解析式：y＝3x， ∴AH＝3x＝OF， ∴EF：AH＝1：3， ∵EF∥AH， ∴MF：MH＝1：3，即MF：（MF+4x）＝1：3， ∴MF＝2x，MH＝6x ∵CN∥EF， ∴NC：MN＝EF：MF＝1：2， ∵点C、A在反比例函数上， ∴NC•ON＝OH•AH， 设NC＝y， ∴MN＝2y， ∴y（2y+5x）＝x•3x， 解得：yx或y＝﹣3x（舍去）， ∵OA＝OB， ∴S△OAC70＝35， 即OM（AH+CN）＝35， 即5x（3xx）＝35， ∴x＝2或x＝﹣2（舍去）， ∴OH＝2，AH＝6， ∴k＝12． ∴A（2，6），B（﹣6，2）， 直线AC的函数表达式为y＝ax+b，， ∴a， 故答案为：，12． 17．（2024春•江都区期末）已知如图，A（﹣4，0），C（﹣1，4），过点C作DB⊥x轴，垂足为B（D在C上方），AF平分∠BAC，CE平分∠ACD，直线EC交射线AF于点F．若反比例函数（x＞0）的图象经过点F，则k的值为 　6　． 【分析】依据题意，在x轴取一点G，使得AG＝AC，连接GF，作轴CG，先证明ACF≌△AGF，再结合题意，C与G关于AF对称，又C（﹣1，4），G（1，0），求出直线CG为y＝﹣2（x﹣1），再根据AF⊥OG，可设AF为yx+m，又A（﹣4，0），求出直线AF，再结合外角的性质可得∠CFG＝90°，最后由C（﹣1，4），G（1，0），F（n，n+2），可得1，进而求出F，代入反比例函数y即可得解． 【解答】解：由题意，如图在x轴取一点G，使得AG＝AC，连接GF，作轴CG． ∵A（﹣4，0），C（﹣1，4）， ∴AB＝3，BC＝4． ∴AC5． ∴AG＝AC＝5． ∴OG＝1． ∴G（1，0）． ∵AF平分∠BAC， ∴∠CAF＝∠GAF． 又AC＝AG，AF＝AF， ∴△ACF≌△AGF（SAS）． 结合题意，C与G关于AF对称， 又C（﹣1，4），G（1，0）， ∴直线CG为y＝﹣2（x﹣1）． 又AF⊥CG， ∴可设AF为yx+m， 又A（﹣4，0）， ∴﹣2+m＝0． ∴m＝2． ∴直线AF为yx+2． ∴可设F为（n，n+2）（n＞0）． ∵∠ACE是△ACF的一个外角， ∴∠ACE＝∠CAF+∠AFC． ∴∠AFC＝∠ACE﹣∠CAF． 又∠ACE∠ACD，∠CAF∠CAB， ∴∠AFC＝∠ACE﹣∠CAF（∠ACD﹣∠CAB）， 又∠ACD﹣∠CAB＝∠ABC＝90， ∴∠AFC＝45°． 又∵△ACF≌△AGF， ∴∠AFC＝∠AFG＝45°． ∴∠CFG＝90°， 又C（﹣1，4），G（1，0），F（n，n+2）， ∴1． ∴n＝2或n＝﹣2（舍去）． ∴F（2，3）． 又F在反比例函数y上， ∴k＝2×3＝6． 故答案为：6． 18．（2023春•梁溪区校级期末）如图，点A在y轴的正半轴上，过点A作x轴的平行线，交反比例函数y2（x＞0）的图象于点B，过点B作y轴的平行线，交反比例函数y1（x＞0）的图象于点C，过点C作x轴的平行线，交y轴于点D，记四边形ABCD的面积为S． （1）若点A的纵坐标为2，求S的值； （2）求证：无论点A在y轴正半轴的何处，S的值不变． 【分析】（1）根据题意求得B、C点的坐标，即可求得AB＝3，BC，然后根据矩形的面积公式即可求解； （2）利用反比例函数系数k的几何意义即可证得结论． 【解答】（1）解：由题意可知B点的纵坐标为2， 把y＝2代入y2（x＞0）得，2， 解得x＝3， ∴B（3，2）， ∴C点的横坐标为3， 把x＝3代入y1（x＞0）得，y， ∴C（3，）， ∴BC＝2， ∴S＝AB•BC＝34； （2）证明：延长BC，交x轴于E， ∵AB∥CD∥x轴，BC∥y轴， ∴S四边形ABEO＝6，S四边形DCEO＝2， ∴S＝S四边形ABEO﹣S四边形DCEO＝6﹣2＝4， ∴无论点A在y轴正半轴的何处，S的值不变． 19．（2024春•宜兴市期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC＝4，顶点A在x轴的正半轴上，AB⊥x轴，若双曲线y（k≠0）交边AC于中点D，交边AB于点E． （1）若OA＝7，求k值； （2）若AEAB，求k值以及点D的坐标． 【分析】（1）过点C作CF⊥x轴于F，则四边形ABCF为矩形，先求出AF＝BC＝2，CF＝AB，再根据OA＝7得OF＝OA﹣AF＝5，从而得点A（7，0），点C，则点D，将点D的坐标代入之中即可求出k的值， （2）由（1）可知CF＝AB，BC＝AF＝2，则AEAB，设OF＝t，则OA＝OF+AF＝t+2，则点C，点A（t+2，0），点E，进而得点D，将的点D，E的坐标代入之中得t＝1，由此即可得出k的值及点D的坐标． 【解答】解：（1）过点C作CF⊥x轴于F，如图1所示： ∵∠ABC＝90°，AB⊥x轴， ∴四边形ABCF为矩形， ∴AF＝BC，CF＝AB， 在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝4， ∴BCAC＝2，由勾股定理得：AB， ∴AF＝BC＝2，CF＝AB， ∵OA＝7， ∴OF＝OA﹣AF＝5，点A（7，0）， ∴点C， ∵点D为AC的中点， ∴点D的坐标为， ∵点D在双曲线（k≠0）上， ∴k； （2）由（1）可知：CF＝AB，BC＝AF＝2， ∴AEAB， ∴设OF＝t，则OA＝OF+AF＝t+2， ∴点C，点A（t+2，0），点E， ∵点D为AC的中点， ∴点D的坐标为， ∵点D，E均在双曲线（k≠0）上， ∴， 解得：t＝1， ∴k， ∴点D的坐标为． 20．（2023春•苏州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），已知点C、点M（5， 在反比例函数图象上． （1）k＝　15　； （2）若点A关于点C的对称点D也在反比例函数图象上，求此时点C的坐标； （3）若点A绕点C顺时针旋转 120° 所得对应点B刚好落在y轴的正半轴上，求线段AB的长． 【分析】（1）利用待定系数法求得即可； （2）设C（m，），根据题意得到D为（2m﹣4，），代入y即可求得m的值，从而求得点C的坐标； （3）过C点作CD⊥x轴于点D，作CE⊥y轴于点E，将△CBE绕C点顺时针旋转120°，得△CAF，延长CF交x轴于点H，则∠DCF＝30°，设C（m，），用m表示AH和FH，再在Rt△AHF，根据三角函数关系列出m的方程求得m，进一步求得B点的坐标，然后利用勾股定理即可求得． 【解答】解：（1）∵点M（5， 在反比例函数图象上， ∴k＝5×315． 故答案为：15； （2）设C（m，）， ∵点A的坐标为， ∴点A关于点C的对称点D为（2m﹣4，）， ∵点C、D在反比例函数图象上， ∴（2m﹣4）•15， ∴m， ∴C（，）； （3）过C点作CD⊥x轴于点D，作CE⊥y轴于点E，将△CBE绕C点顺时针旋转120°，得△CAF，延长CF交x轴于点H，则∠DCF＝30°， 设C（m，）， ∴CF＝CE＝m，CD， ∴DH＝CD•tan30°，CH， ∴FH＝CH﹣CFm， ∵点A的坐标为， ∴AH＝OD+DH﹣OA＝m4， ∵∠AHF＝90°﹣∠DCH＝60°， ∴AH＝2FH， ∴m42（m）， 解得m＝3，m（舍）， ∴OE＝CD5，CE＝OD＝3， ∴AD＝OA﹣OD＝4， ∴BC2＝AC2＝CD2+AD2＝28， ∴BE1， ∴OB＝OE+BE＝5+1＝6， ∴B（0，6）， ∴AB2． 【类型三：反比例函数中的存在性问题】 21．（2024春•玄武区期末）如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（4，m），B（﹣6，﹣2）． （1）求k的值和一次函数的表达式； （2）关于x的不等式的解集为 　x＞4或﹣6＜x＜0　； （3）若点P为直线AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，与反比例函数的图象交于点Q，当△OPQ的面积为6时，请直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）由△OPQ的面积PQ×|xP||x+1|×|x|＝6，即可求解． 【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4m＝﹣6×（﹣2）＝12， 则k＝12，m＝3， 即反比例函数的表达式为：y，点A（4，3）； 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得： ，解得：， 则一次函数表达式为：yx+1； （2）观察函数图象知，不等式的解集为x＞4或﹣6＜x＜0， 故答案为：x＞4或﹣6＜x＜0； （3）设点P（x，x+1），则点Q（x，）， 则△OPQ的面积PQ×|xP||x+1|×|x|＝6， 解得：x＝0（舍去）或6或﹣8或﹣2， 即点Q的坐标为：（6，2）或（﹣8，）或（﹣2，﹣6）． 22．（2024春•工业园区期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于点A（﹣1，m），B（n，﹣1）． （1）求m，n的值，并直接写出不等式ka+b的解集； （2）点C是线段AB上一点，过C作y轴的平行线交反比例函数在第四象限的图象于点D，若△COD的面积为5，求点C的坐标． 【分析】（1）将点A（﹣1，m），B（n，﹣1）坐标代入y可得m、n值，根据函数图象直接写出不等式的解集即可； （2）先求出直线AB解析式，设直线CD交x轴于点E，点C（t，﹣t+5），则D（t，），根据面积列出方程求出t值，得到点C坐标即可． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，m），B（n，﹣1）坐标代入y得： m6，﹣1， 解得：m＝6，n＝6， 根号函数图象及交点坐标，不等式kx+b的解集为﹣1≤x＜0或x≥6； （2）由（1）可知，A（﹣1，6），B（6，﹣1）， ，解得， ∴直线AB解析式为y＝﹣x+5， 设直线CD交x轴于点E，点C（t，﹣t+5），则D（t，）， 则5，故点C在第一象限， ∴S△CEO＝S△COD﹣S△DEO＝2， ∴， 解得t1＝1，t2＝4， ∴C（1，4）或（4，1）． 23．（2024春•沛县校级期末）如图，一次函数y＝x+8的图象与反比例函数的图象交于A（a，6），B（﹣6，b）两点． （1）求此反比例函数的表达式； （2）在y轴上存在点P，使得AP+BP的值最小，求AP+BP的最小值； （3）M为反比例函数图象上一点，N为x轴上一点，是否存在点M、N，使△MBN是以MN为底的等腰直角三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）作点A关于y轴的对称点A'（2，6），连接A'B交y轴于点P，此时AP+BP的周长最小，即可求解； （3）证明△MHB≌△BFN（AAS），得到HM＝BF，HB＝FN，即可求解；当M在B点左侧时，同理可解． 【解答】解：（1）将A（a，6）代入y＝x+8得：6＝a+8， 解得：a＝﹣2， 所以，A（﹣2，6）， 将A（﹣2，6）代入得：k＝xy＝﹣12， 即反比例函数的表达式为：y； （2）联立， 解得：， ∴B点坐标为（﹣6，2）； 作点A关于y轴的对称点A'（2，6）， 连接A'B交y轴于点P，此时AP+BP的周长最小， 则AP+BP的最小值； （3）存在，理由： 设点M（m，），N（n，0）， 当点M在点B的右侧时，如图： 过点B作BF⊥x轴于点F，交过点M和x轴的平行线于点H， ∵△MBN是以MN为底的等腰直角三角形， 则∠MBN＝90°，MB＝NB， ∴∠FBN+∠HBM＝90°，∠HBM+∠HMB＝90°， ∴∠FBN＝∠HMB， ∵∠MHB＝∠BFN＝90°，MB＝NB， ∴△MHB≌△BFN（AAS）， ∴HM＝BF，HB＝FN， 即m﹣（﹣6）＝2﹣0且2＝n﹣（﹣6）， 解得：m＝﹣4，n＝﹣5， 即点M（﹣4，3）； 当M在B点左侧时，同理可得， ∴M（﹣4，3）或． 24．（2023春•睢宁县期末）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以线段BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在正比例函数y＝2x的图象上，反比例函数y（x＞0，k＞0）的图象经过点A，且与边CD相交于点E． （1）若BC＝4，求点E的坐标； （2）连接AE，OE． ①若△AOE的面积为24，求k的值； ②是否存在某一位置使得AE⊥OA，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝BC＝4，求得A（2，4），得到k＝2×4＝8，于是求得点E的坐标为； （2）①设A（a，2a）（a＞0），则点，根据梯形的面积公式即可得到答案； ②根据余角的性质得到∠OAB＝∠BAE，根据全等三角形的性质得到OB＝DE，由①可知，A（a，2a）（a＞0），则点，求得OB＝a，，推出k＝0，于是得到答案． 【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC＝4， ∴A（2，4）， ∵A（2，4）在的图象上， ∴k＝2×4＝8， ∵OC＝OB+BC＝6， ∴xE＝6， 将xE＝6代入中，得：， ∴点E的坐标为； （2）①设A（a，2a）（a＞0），则点， ∵S△ABO＝S△CEO8＝4， ∴S△AHO＝S梯形BCEH， ∵S梯形ABCE＝S△AEH+S梯形BCEH， S△AEH+S△AHO＝S△AOE＝24， ∴ 解得a2＝9， ∴k＝2a2＝18； ②答：不存在， 理由：∵AE⊥OA， ∴∠OAB+∠BAE＝90°， ∵∠BAD＝∠BAE+∠DAE＝90°， ∴∠OAB＝∠DAE， ∵∠ABO＝∠D＝90°，AB＝AD， ∴△OAB≌△EAD（ASA）， ∴OB＝DE， 由①可知，A（a，2a）（a＞0），则点， ∴OB＝a，， ∴， ∴a＝0， ∴k＝0， ∵k＞0， ∴不符合题意，不存在． 25．（2024春•锡山区期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数（k≠0）的图象在第一象限交于A（1，a）和B（2，b）两点．则△AOB的面积为 　　；若点P在y轴上，点Q在反比例函数y 的图象上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的Q点的坐标：　（﹣1，﹣2）或（3，）　． 【分析】（1）把A与B的坐标代入一次函数解析式求出a与b的值，确定出A与B坐标，再将A坐标代入反比例解析式求出k的值，设一次函数与y轴交于点D，求出D的坐标，确定出OD的长，△AOB面积＝三角形BOD面积﹣△AOD面积，求出即可； （2）设Q为（x，），P（0，m），根据A与B的坐标，分AB为边和对角线两种情况，根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求出Q的坐标即可． 【解答】解：∵A（1，a）和B（2，b）两点在一次函数y＝﹣x+3的图象上， ∴a＝﹣1+3＝2，b＝﹣2+3＝1， ∴A（1，2），B（2，1）， ∵A（1，2），B（2，1）在反比例函数图象上， ∴k＝2， ∴反比例函数解析式为y， 设一次函数与y轴交于点D，则D（0，3），OD＝3， ∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD3×（2﹣1）； 故答案为：； （2）设Q为（x，），P（0，m）， ∵A（1，2），B（2，1）， ∴当四边形ABPQ是平行四边形时，根据中点坐标公式可得1+0＝x+2，即x＝﹣1，此时Q（﹣1，﹣2），P（0，﹣3），符合题意； 当四边形APBQ是平行四边形时，根据中点坐标公式可得1+2＝0+x，即x＝3，此时Q（3，），P（0，），符合题意， 综上所述，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，Q坐标为（﹣1，﹣2）或（3，）． 故答案为：（1，﹣2）或（3，）． 26．（2024春•新吴区期末）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（﹣2，0）、B（0，1）、C（m，n）． （1）求C点坐标； （2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式； （3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）由在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，可证得△ADC≌△BOA，继而求得C点坐标； （2）首先设向右平移了m个单位长度，则点B′的坐标为（m，1）、C′的坐标为（m﹣3，2），由B′、C′正好落在某反比例函数图象上，即可得m＝2（m﹣3），继而求得m的值，则可求得各点的坐标，然后由待定系数法求得这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式； （3）由四边形PGMC′是平行四边形，可得PC′相当于MG平移的得到，PF＝ME，FG＝C′E＝2，继而求得点P的坐标，然后求得点M的坐标． 【解答】解：（1）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC＝∠AOB＝90°， ∴∠DAC+∠ACD＝90°， ∵Rt△ABC，∠A＝90°， ∴∠DAC+∠BAO＝90°， ∴∠BAO＝∠ACD， 在△ADC和△BOA中， ， ∴△ADC≌△BOA（AAS）， ∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝2， ∴OD＝OA+AD＝3， ∴C点坐标为：（﹣3，2）； （2）设向右平移了m个单位长度，则点B′的坐标为（m，1）、C′的坐标为（m﹣3，2）， ∵B′、C′正好落在某反比例函数图象上， ∴m＝2（m﹣3）， 解得：m＝6， ∴B′（6，1），C′（3，2）， ∴反比例函数的解析式为：y； 设直线B′C′的解析式为：y＝kx+b， 则， 解得：， ∴直线B′C′的解析式为：yx+3； （3）存在． 理由：如图2，过点C′作C′E⊥x轴于点E，过点P作PF⊥y轴于点F， ∵四边形PGMC′是平行四边形， ∴PC′相当于MG平移的得到， ∴PF＝ME，FG＝C′E＝2， ∵G是直线B′C′与x轴的交点， ∴G的坐标为：（0，3）， ∴P的纵坐标为：3+2＝5， ∴点P的坐标为：（，5）， ∴ME＝PF， ∵A′的坐标为：（4，0），A′E＝AD＝1， ∴OM＝OA′﹣ME﹣A′E＝41， ∴点M的坐标为：（，0）． 27．（2023春•新吴区期末）如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线经过C、D两点． （1）a＝　﹣1　，b＝　﹣2　； （2）求反比例函数表达式： （3）点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标． 【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标， （2）设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根据反比例函数的性质求出t，由D的坐标即可求出反比例函数表达式； （3）由（2）知k＝4可知反比例函数的解析式为y，再由点P在双曲线y，上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标． 【解答】解：（1）∵（a+b+3）2＝0，且0，（a+b+3）2≥0， ， 解得， 故答案为：﹣1，﹣2； （2）设反比例函数表达式为y， 由（1）知，a＝﹣1，b＝﹣2， ∴A（﹣1，0），B（0，﹣2）， ∵E为AD中点， ∴xD＝1， 设D（1，t）， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴C（2，t﹣2）， ∴t＝2t﹣4， ∴t＝4， ∴D（1，4）， ∵D点在反比例函数y的图象上， ∴4， ∴k＝4， ∴反比例函数表达式为y； （3）∵点P在双曲线y上，点Q在y轴上， ∴设Q（0，y），P（x，）， ①当AB为边时：如图1所示： 若ABPQ为平行四边形，则0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）； 如图2所示： 若ABQP为平行四边形，则x，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）； ②如图3所示： 当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ； ∴，解得x＝﹣1， ∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）； 综上所述，Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）． 28．（2024春•姑苏区期末）如图，在△ABO中，AO＝AB，点A的坐标为（5，0），点B（2，a）在反比例函数的图象上．若将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，点C恰好在反比例函数的图象上． （1）求k1，k2的值； （2）若P，Q分别为反比例函数，图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标． 【分析】（1）过B作BE⊥OA于E，得到OA＝AB＝5，OE＝2，BE＝n，根据勾股定理得到B（2，4），求得k1＝2×4＝8；过C作CF⊥x轴于F，根据全等三角形的性质得到CF＝AE＝3，AF＝BE＝4，得到C（9，3），求得k2＝9×3＝27； （2）由（1）知y，y，设P（a，），Q（b，），根据平行四边形的性质列方程组即可得到结论． 【解答】解：（1）过B作BE⊥OA于E， ∵A的坐标为（5，0），点B（2，a）， ∴OA＝AB＝5，OE＝2，BE＝n， ∴AE＝5﹣2＝3， ∴n4， ∴B（2，4）， ∴k1＝2×4＝8； 过C作CF⊥x轴于F， ∴∠AEB＝∠AFC＝90°， ∵将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC， ∴AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABE+∠BAE＝∠BAE+∠CAF＝90°， ∴∠ABE＝∠CAF， ∴△ABE≌△CAF（AAS）， ∴CF＝AE＝3，AF＝BE＝4， ∴OF＝9， ∴C（9，3）， ∵点C恰好在反比例函数的图象上， ∴k2＝9×3＝27； （2）由（1）知y，y， ∵P，Q分别为反比例函数，图象上一点， ∴设P（a，），Q（b，）， ∵以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形， ∴当AO为平行四边形的对角线时，由图象得这种情况不存在； 当AP为平行四边形的对角线时， ， 解得a， ∴P（，）； 当AQ为平行四边形的对角线时， ， 解得a（不合题意）， 综上所述，P（，）． 29．（2024春•工业园区期末）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数y（k≠0）在第一象限的图象经过正方形的顶点C． （1）求点C的坐标和反比例函数的表达式； （2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形A'B'C'D'，点A'恰好落在反比例函数的图象上，求此时点D'的坐标； （3）在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、A'、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）作CH⊥x轴于H，利用AAS证明△AOB≌△BHC，得BH＝OA＝6，CH＝OB＝3，可得点C的坐标，再将点C代入反比例函数解析式可得答案； （2）由（1）同理可得，点D（6，9），根据A'的坐标求出m的值，再利用平移的性质可得D'的坐标； （3）分OA'＝OP，A'O＝A'P，PA'＝PO三种情形，分别画出菱形，根据菱形的性质可得答案． 【解答】解：（1）作CH⊥x轴于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠CBH＝90°， ∵∠ABO+∠OAB＝90°， ∴∠OAB＝∠CBH， ∴△AOB≌△BHC（AAS）， ∴BH＝OA＝6，CH＝OB＝3， ∴C（9，3）， ∵反比例函数y（k≠0）在第一象限的图象经过正方形的顶点C． ∴k＝9×3＝27， ∴y； （2）由（1）同理可得，点D（6，9）， ∵点A'恰好落在反比例函数的图象上， ∴当y＝6时，x， ∴m， ∴D'（6，9），即D'（）； （3）当OA'＝OP时，如图， ∵A'（，6）， ∴OA'， ∵四边形OPQA'是菱形， ∴A'Q∥OP，A'Q＝OP， ∴Q（12，6）， 当点Q'在第二象限时，Q'（﹣3，6）， 当A'O＝A'P时，如图， 则点A'与Q关于x轴对称， ∴Q（，﹣6）， 当PO＝PA'时，如图，设P（m，0）， 则PO＝PA'， ∴m2＝（m）2+62， 解得m， ∴OP＝A'Q， ∴Q（，6）， 综上：Q（12，6）或（﹣3，6）或（，﹣6）或（，6）． 【类型四：与反比例函数有关的创新题】 30．（2023春•太仓市期末）定义：平面直角坐标系xOy中，若点M绕点N顺时针旋转90°，恰好落在函数图象W上，则称点M是点N关于函数图象W的“直旋点”．例如．点（﹣1，1）是原点O关于函数y＝x图象的一个“直旋点” （1）在①（﹣1，2）②（1，3）③（﹣3，2）三点中，是原点O关于一次函数y＝2x﹣1图象的“直旋点”的有 　③　（填序号）； （2）点M（﹣2，4）是点N（1，0）关于反比例函数y图象的“直旋点”，求k的值； （3）如图1，点A（1，3）在反比例函数y图象上，点B是在反比例函数y图象上点A右侧的一点，若点B是点A关于函数y的“直旋点”，求点B的坐标． 【分析】（1）根据“直旋点”的定义依次判断即可； （2）先将点M绕N点顺时针旋转90°的点算出来，再根据“直旋点”的定义即可求解； （3）根据待定系数求得反比例函数为y，设点B（m，），再将点B绕点A顺时针旋转90°的点表示出来，最后根据“直旋点”的定义即可求解． 【解答】解：（1）①点（﹣1，2）绕原点顺时针旋转90°得点（2，1）， 当x＝2时，y＝3， ∴点（﹣1，2）不是一次函数y＝2x﹣1图象的“直旋点”； ②点（1，3）绕原点顺时针旋转90°得点（3，﹣1）， 当x＝3时，y＝5， ∴点（1，3）不是一次函数y＝2x﹣1图象的“直旋点”； ③点（﹣3，2）绕原点顺时针旋转90°得（2，3）， 当x＝2时，y＝3， ∴点（﹣3，2）是一次函数y＝2x﹣1图象的“直旋点”； 故答案为：③； （2）点M（﹣2，4）绕点N（1，0）顺时针旋转90°得点（5，3）， ∵点M（﹣2，4）是点N（1，0）关于反比例函数y图象的“直旋点”， ∴3， ∴k＝15； （3）∵点A（1，3）在反比例函数y图象上， ∴k＝1×3＝3， ∴反比例函数为y， 设点B（m，）， ∴点B绕点A（1，3）顺时针旋转90°得点（2，4﹣m）， ∵点B是点A关于函数y的“直旋点”， ∴（2）（4﹣m）＝3， 解得m＝6或m＝1（舍去）， ∴B（6，）． 31．（2023春•溧阳市期末）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点A（x，y），我们把点B（，）称为点A的“倒数点”． （1）写出平面直角坐标系中第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标 　（1，1）　； （2）点P是反比例函数（x＞0）图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式； （3）如图，矩形OCDE的顶点C为（4，0），顶点E在y轴上，函数（x＞0）的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，求△OBC的面积． 【分析】（1）根据倒数点规定，在一象限内，只有1的倒数是它本身，所以第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标（1，1）； （2）点P的“倒数点”Q满足的坐标是（，），可得或； （3）根据倒数点规定，可知B（，），积为定值在反比例函数上，排除点B在OE、OC上的可能，分别讨论在ED、CD上的面积即可． 【解答】解：（1）根据倒数点规定，在一象限内，只有1的倒数是它本身，所以第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标（1，1）． 故答案为：（1，1）． （2）∵P（x，y）是反比例函数（x＞0）图象上的一点， ∴点P的“倒数点”Q满足的坐标是（，）， ∴xy， ∴或． （3）设点A的坐标为（m，）， ∵点B是点A的倒数点， ∴B（，）， ∴点B的纵横坐标满足， ∴B点在y的图象上，点B不可能在坐标轴上，只能在线段ED或CD上， ①点B在ED上时，点A与B纵坐标相同，， ∴m＝±3（舍去﹣3）， 点B的纵坐标为1，此时S△OBC2， ②点B在CD上时，点B的横坐标为4，点B的纵坐标为． 此时S△OBC4． 32．（2023春•常州期末）背景：点A是反比例函数（k＞0）的图象上一个动点，连接AO，将线段AO绕点A逆时针方向旋转90°到AB．如图1，已知A（1，t），小李测得点B（5，3）． （1）填空：k＝　4　； （2）探究：通过改变点A的位置，小李发现点B的纵坐标与点A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题：设点B的纵坐标与点A的横坐标分别为z，x，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时的“Z函数”的图象． ①求这个“Z函数”的表达式； ②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）； ③过点（3，2）作一条直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标． 【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求出k即可． （2）①求出点A的坐标，再代入反比例函数的解析式即可． ②利用描点法画出图象，根据函数图象可得结论（答案不唯一）． ③由题意可知直线的解析式为z＝kx+2﹣3k，构建方程组，利用Δ＝0，求出k可得结论，另外直线x＝3也符合题意． 【解答】解：（1）连接OB， ∵A（1，t），点B（5，3）， ∴OA，OB， ∵将线段AO绕点A逆时针方向旋转90°到AB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴OBOA， ∴2（1+t2）＝34， 解得t＝4（负值舍去）， ∴A（1，4）， ∴k＝4； 故答案为：4； （2）①如图，过A作AD⊥x轴于D，过B作BC⊥AD于C， 则△AOD≌△BAC（AAS）， ∴AC＝OD＝x， ∴A（x，z+x）， ∴x（z+x）＝4， ∴zx； ②图象如图所示． 性质1：x＞0时，z随x的增大而减小． 性质2：图象是中心对称图形． ③设直线的解析式为z＝kx+b， 把（3，2）代入得到，2＝3k+b， ∴b＝2﹣3k， ∴直线的解析式为z＝kx+2﹣3k， 由，消去z得到，（k+1）x2+（2﹣3k）x﹣4＝0， 当k≠﹣1时，当Δ＝0时，（2﹣3k）2+4（k+1）×4＝0， 此方程无实数根； 当k＝﹣1时．方程的解为x，符合题意， 另外直线x＝3，也符合题意，此时交点的横坐标为3， 综上所述，满足条件的交点的横坐标为或3． 33．（2024春•盱眙县期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】： （1）点C（2，3）　不是　“美好点”（填“是”或“不是”）； 【深入探究】： （2）①若“美好点”E（m，6）（m＞0）在双曲线（k≠0，且k为常数）上，则k＝　18　； ②在①的条件下，F（2，n）在双曲线上，求S△EOF的值； 【拓展延伸】： （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点P（x，y）是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式； ②对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）⋅（y﹣2）是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【分析】（1）验证矩形的周长与面积的数值是否相等，即验证横纵坐标的绝对值之和是否等于横纵坐标的绝对值的乘积； （2）①根据E是“美好点”，求出m，再将点E代入双曲线方程就可求出k； ②根据“F（2，n）在双曲线上”求出n，再用待定系数法求出直线EF的方程，从而求出它与x轴的交点，最后利用S△EOF＝S△FOG﹣S△EOG求S△EOF即可； （3）①根据点P（x，y）是第一象限内的“美好点”，利用“美好点”的定义即可求出y关于x的函数表达式； ②将①中的关系式代入（2﹣x）⋅（y﹣2）得出定值，从而得解． 【解答】解：（1）∵（2+3）×2＝10≠2×3＝6， ∴点C（2，3）不是“美好点”， 故答案为：不是； （2）①∵E（m，6）（m＞0）是“美好点”， ∴2×（m+6）＝6m， 解得：m＝3， ∴E（3，6）， 将E（3，6）代入双曲线， 得k＝18， 故答案为：18； ②∵k＝18， ∴双曲线的解析式是：． ∵F（2，n）在双曲线上， ∴， ∴F（2，9）， 设直线EF的解析式为：y＝ax+b，代入得： ， 解得：， ∴直线EF的解析式为：y＝﹣3x+15， 令直线EF与x轴交于点G， 当y＝0时，﹣3x+15＝0， 解得：x＝5， ∴G（5，0）， 画出图如图2所示： ∴； （3）①∵点P（x，y）是第一象限内的“美好点”， ∴2（x+y）＝xy， 化简得：， ∵第一象限内的点的横坐标为正， ∴， 解得：x＞2， ∴y关于x的函数表达式为：（x＞2）； ②“对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）⋅（y﹣2）为定值．”理由如下： ∵， ∴， ∴对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）⋅（y﹣2）是为定值，定值为﹣4． 34．（2023春•灌云县期末）【定义】平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴；②有两个顶点在同一反比例函数的图象上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”． 例如：图（1）中，矩形ABCD的边AD∥BC∥x轴，AB∥CD∥y轴，且顶点A、C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则矩形ABCD是反比例函数y＝（x＞0）的“伴随矩形”． 【解决问题】： （1）已知，在矩形EFGH中，点E、G的坐标分别为：①E（﹣3，8），G（6，﹣4）②E（1，2），G（2，3）③E（3，4），G（2，6），其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是 　①③　；（填序号） （2）如图（1），已知点B（2，）是反比例函数y的“伴随矩形”ABCD的顶点，求直线BD的解析式； （3）若反比例函数的“伴随矩形”MNPQ如图（2）所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点． 【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标的特征可得答案； （2）根据矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标的特征可得A（2，3），C（4，），从而得出点D的坐标，再利用待定系数法可得直线BD的解析式； （3）设M（m，），P（n，），则N（m，），Q（n，），利用待定系数法求出直线BD的解析式可得答案． 【解答】（1）解：①∵A（﹣3，8），C（6，﹣4）， ∴﹣3×8＝﹣24，6×（﹣4）＝﹣24， ∴A、C满足同一个反比例函数， ②∵A（1，2），C（2，3）， ∴1×2＝2，2×3＝6， ∴A、C不满足同一个反比例函数， ③∵A（3，4），C（2，6）， ∴3×4＝12，2×6＝12， ∴A、C满足同一个反比例函数， ∴可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是①③， 故答案为：①③； （2）解：∵B（2，）的反比例函数y的“伴随矩形”ABCD的顶点， ∴A（2，3），C（4，）， ∴D（4，3）， 设直线BD的解析式为y＝kx+b， 则， ∴， ∴y； （3）证明：∵M、P在反比例函数y上， 设M（m，），P（n，），则N（m，），Q（n，）， 设直线QN的解析式为＝cx+d， 则， ∴， 即y， ∴直线QN过原点． 35．（2024春•广陵区校级期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线l1∥l2，点A，D在直线l1上，点B，C在直线l2上，若∠BAD＝2∠BCD，则四边形ABCD是半对角四边形． （1）如图2，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，∠A＝60°，AB＝2，AE＝4．若四边形ABCE为半对角四边形，则AD＝　6　． （2）如图3，以▱ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边AD上一点，满足BC＝AE+CE．求证：四边形ABCE是半对角四边形； （3）如图4，在（2）的条件下，若点E是反比例函数图象上的动点，当点E运动时，点B恰好在反比例函数的图象上运动，请直接写出k的值 　8　． 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到∠BCD＝∠A＝60°，CD＝AB＝2，∠BCE＝∠DEC，再根据题中定义得到，然后得到∠DEC＝∠DEC＝30°，根据等角对等边得到DE＝CD＝2，进而可求解； （2）先根据平行四边形的性质得到AD＝BC，∠B＝∠EDC，进而证得CE＝DE，根据等边对等角得到∠EDC＝∠ECD，然后利用三角形的外角性质推导出∠AEC＝2∠B，进而根据题中定义可得结论； （3）根据等腰三角形的判定推导出E为AD的中点，设E（a，b），利用中点坐标公式可得D（2a，0），A（0，2b），进而可得点B的坐标为（﹣2a，2b），利用反比例函数图象上点的坐标特征可求解． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝60°，AB＝2， ∴∠BCD＝∠A＝60°，CD＝AB＝2，AD∥BC， ∴∠BCE＝∠DEC， ∵四边形ABCE为半对角四边形， ∴， ∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝30°， ∴∠DEC＝∠DEC＝30°， ∴DE＝CD＝2， ∵AE＝4， ∴AD＝AE+DE＝6， 故答案为：6； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠B＝∠EDC， ∵BC＝AE+CE，AD＝AE+DE， ∴CE＝DE， ∴∠EDC＝∠ECD， ∴∠AEC＝∠EDC+∠ECD＝2∠EDC＝2∠B， 即， ∴四边形ABCE是半对角四边形； （3）由（2）知，CE＝DE，∠ADC＝∠ECD， ∵∠DAC+∠ADC＝∠ECD+∠ACE＝∠AOD＝90°， ∴∠EAC＝∠ACE， ∴CE＝AE，则CE＝AE＝DE， ∴E为AD的中点， 设E（a，b），则D（2a，0），A（0，2b）， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝OD＝﹣2a，AB∥CD， 由题意，点B的坐标为（﹣2a，2b）， ∵点E是反比例函数图象上，点B恰好在反比例函数的图象上， ∴k＝﹣2a×2b＝﹣4ab，ab＝﹣2， ∴k＝﹣4×（﹣2）＝8， 故答案为：8． 【类型五：反比例函数综合题】 36．（2023春•锡山区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（0，10）、B（6，a+10）、C（6，a）． （1）BC＝　10　，四边形OABC的面积是 　60　； （2）当四边形OABC是轴对称图形时，求a的值； （3）连接OB，过OB的中点E作直线l，分别交线段AB、OC于点F、G．连接OF，△OFG的面积为20，反比例函数y的图象经过直线l上两点E、F，求k的值． 【分析】（1）平行线两点之间的距离，横坐标相等，用纵坐标相减即可，根据平行四边形的判定，可得四边形OABC是平行四边形，即可求得面积． （2）①当四边形OABC是矩形时，根据矩形的性质得a＝0；②当四边形OABC是菱形时，根据菱形的性质得OC＝OA＝10，a＝8或﹣8； （3）E为平行四边形OABC对称中心，S四边形AOGFS四边形OABC＝30＝S△OFG+S△OFA，可得S△OFA，过F作FH⊥y轴，垂足为H，根据面积公式即可得FH＝2，设直线AB的函数表达式为：y＝kx+b，两点确定一条直线的解析式，直线AB的函数表达式为yx+10，把E、F两点代入反比例函数y（k＞0，x＞0），可得a＝6，即可求出k的值． 【解答】解：（1）∵点A（0，10）、B（6，a+10）、C（6，a）， ∴OA∥BC，OA＝10，BC＝a+10﹣a＝10， ∴OA＝BC， ∴四边形OABC是平行四边形， ∴四边形OABC的面积＝10×6＝60， 故答案为10，60； （2）∵B（6，a+10）、C（6，a）， ∴BC＝10，BC∥y轴， ∵A（0，10）， ∴BC＝OA＝10，BC∥OA， ∴四边形OABC为平行四边形， ①当四边形OABC是矩形时，a＝0； ②当四边形OABC是菱形时， ∵OC＝OA＝10， ∴62+a2＝102， 解得a＝8或﹣8， 故a的值为0或8或﹣8； （3）∵E为OB中点， ∴E为平行四边形OABC对称中心， ∴S四边形AOGFS四边形OABC60＝30， ∵S△OFG＝20， ∴S△OFA＝30﹣20＝10， 过F作FH⊥y轴，垂足为H， ∴OA×FH＝10， 即：FH＝10， ∴FH＝2， 设直线AB的函数表达式为：y＝kx+b， ∵过A（0，10），B（6，a+10）， ∴直线AB的函数表达式为yx+10， ∴F（2，10）， ∵E为OB中点，B（6，a+10）， ∴E（3，）， ∵反比例函数y的图象经过直线l上两点E，F， ∴2×（10）＝3k， 解得a＝6， ∴k＝24． 37．（2024春•惠山区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴正半轴与y轴正半轴分别交于点A、B，设OA＝a，OB＝b（a＞0，b＞0）．将△AOB绕点A顺时针方向旋转90°得到△ADC，点B的对应点为点C；再将△ADC沿射线AB方向平移，使点A与点B重合得到△BEF，点D的对应点为点E，点E在y轴上，点G为线段EF的中点，点C与点G恰好落在同一个反比例函数的图象上． （1）当a＝1时，求反比例函数的解析式． （2）求的值． （3）若线段BD、GO交于点P，且△PGC的面积为4，求a的值． 【分析】（1）由题意可知C（a+b，a），BE＝a+b，利用反比例函数系数k的几何意义得出（a+b）•EG＝（a+b）•a，即可求得EG＝a，点G为线段EF的中点，则EF＝2a＝b，即可得出G（1，3），利用待定系数法即可求得； （2）由（1）可知b＝2a，则； （3）连接OC、GC、GD、BG、OD，作CF⊥x轴于点F，易证得四边形OBGD是平行四边形，根据平行四边形的性质的OP＝GP，由△PGC的面积为4，得到△OGC的面积为8，由S△COG＝S△OAG+S梯形AGCF﹣S△OCF＝S梯形AGCF＝8，即可求得a的值． 【解答】解：（1）由题意可知C（a+b，a），BE＝a+b， ∵k＝BE•EG＝a（a+b）， ∴（a+b）•EG＝（a+b）•a， ∴EG＝a， ∵点G为线段EF的中点， ∴EF＝2a， ∴OB＝EF＝2a＝b， ∵a＝1， ∴G（1，3）， 设反比例函数的解析式为y， ∴k＝1×3＝3， ∴反比例函数的解析式为y； （2）由（1）可知b＝2a， ∴； （3）连接OC、GC、GD、BG、OD，作CF⊥x轴于点F， 由（1）可知EG＝OA＝a， ∴四边形OAGE是矩形， ∴AG∥OE， ∵OB＝DG， ∴四边形OBGD是平行四边形， ∴OP＝GP， ∵△PGC的面积为4， ∴△OGC的面积为8， ∵S△OAG＝S△OCF， ∴S△COG＝S△OAG+S梯形AGCF﹣S△OCF＝S梯形AGCF＝8， ∴（AG+CF）•AF＝8， ∵b＝2a， ∴AG＝a+b＝3a，CF＝a，AF＝b＝2a， ∴（3a+a）•2a＝8， ∴a． 38．（2024春•锡山区期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正方形OABC的边AB交于点E（﹣3，4），与边BC交于点D，一次函数b的图象经过点D，与边AB交于点F． （1）求点F的坐标： （2）连接OF、OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明； （3）在x轴上找两点M，N（M在N的右侧），使MN＝2，且使四边形AMND的周长最小，则点M的坐标为 　（，0）　，四边形AMND的周长最小为 　2　． 【分析】（1）求出点D（﹣4，3），得到y（x+4）+3x+5，即可求解； （2）在Rt△GNE中，GE2＝NG2+EN2，即（4﹣x）2＝x2+22，则x＝1.5，则点G（﹣3，），得到点T（﹣4，2），即CT＝2＝AF，证明Rt△OCT≌Rt△OAF（HL），即可求解； （3）作点D关于x轴的对称点D′（﹣4，﹣3），将点D′向右平移2个单位（D′D″＝MN＝2）得到点D″（﹣2，﹣3），连接AD″交x轴于点M，将点M向左平移2个单位得到点N，连接ND′，则此时，四边形AMND的周长最小，即可求解． 【解答】解：（1）将点E的坐标代入反比例函数表达式得：k＝﹣3×4＝12， 则反比例函数的表达式为：y， 则点D（﹣4，3）， 则一次函数的表达式为：y（x+4）+3x+5， 当y＝4时，即4x+5，则x＝﹣2， 即点F（﹣2，4）； （2）∠AOF∠EOC，理由： 由点O、F的表达式知，直线OF的表达式为：y＝﹣2x； 过点E作EH⊥OC交过O作∠EOC的角平分线于点G，过点G作GN⊥EO于点N， 设GH＝GN＝x，则GE＝4﹣x， 由点E的坐标知，OE＝5，则EN＝5﹣ON＝5﹣OH＝2， 在Rt△GNE中，GE2＝NG2+EN2，即（4﹣x）2＝x2+22，则x＝1.5， 则点G（﹣3，）， 由点O、G的坐标得，直线OG的表达式为：yx， 设OG交BC于点T，则点T（﹣4，2），即CT＝2＝AF， 而OA＝OC， ∴Rt△OCT≌Rt△OAF（HL）， 则∠COT＝∠AOF， 即∠AOF∠EOC； （3）作点D关于x轴的对称点D′（﹣4，﹣3），将点D′向右平移2个单位（D′D″＝MN＝2）得到点D″（﹣2，﹣3）， 连接AD″交x轴于点M，将点M向左平移2个单位得到点N，连接ND′，则此时，四边形AMND的周长最小，理由： ∵D′D″＝MN、D′D″∥MN， 则四边形MND′D″为平行四边形，则ND′＝MD″， 则四边形AMND的周长＝AD+DN+MN+AM＝AD+D′N+2+AM＝AD+D″M+2+AM＝AD+AD″+2为最小， 由点A、D″、D的坐标得，AD，AD″， 故四边形AMND的周长最小为2； 设直线AD″的表达式为y＝kx+4， 将点D″的坐标代入上式得：﹣3＝﹣2k+4， 解得：k， 则直线AD″的表达式为：yx+4， 令y＝0，则x，即点M（，0）． 故答案为：（，0），2． 39．（2023春•无锡期末）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E． （1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由； （2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形． ①求k、b的值； ②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标． 【分析】（1）设点A的坐标为（m，），根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如图，连接CE交AD于H，得到CH＝EH，求得E（2m，），于是得到点E在这个反比例函数的图象上； （2）①根据正方形的性质得到AD＝CE，AD垂直平分CE，求得CHAD，设点A的坐标为（m，），得到m＝2（负值舍去），求得A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，解方程组即可得到结论； ②延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，则点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y＝x﹣2，于是得到结论． 【解答】解：（1）点E在这个反比例函数的图象上， 理由：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A， ∴设点A的坐标为（m，）， ∵点C关于直线AD的对称点为点E， ∴AD⊥CE，AD平分CE， 如图．连接CE交AD于H， ∴CH＝EH， ∵BC＝CD，OC⊥BD， ∴OB＝OD， ∴OCAD， ∵AD⊥x轴于D， ∴CE∥x轴， ∴E（2m，）， ∵2m8， ∴点E在这个反比例函数的图象上； （2）①∵四边形ACDE为正方形， ∴AD＝CE，AD垂直平分CE， ∴CHAD， 设点A的坐标为（m，）， ∴CH＝m，AD， ∴m， ∴m＝2（负值舍去）， ∴A（2，4），C（0，2）， 把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得， ∴； ②延长ED交y轴于P， ∵CB＝CD，OC⊥BD， ∴点B与点D关于y轴对称， ∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|， 则点P即为符合条件的点， 由①知，A（2，4），C（0，2）， ∴D（2，0），E（4，2）， 设直线DE的解析式为y＝ax+n， ∴， ∴， ∴直线DE的解析式为y＝x﹣2， 当x＝0时，y＝﹣2， ∴P（0，﹣2）． 故当|PE﹣PB|最大时，点P的坐标为（0，﹣2）． 40．（2023春•梁溪区校级期末）如图1，反比例函数的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1）B（﹣1，3）两点． （1）直接填写：k＝　﹣3　；m＝　﹣1　；n＝　2　； （2）设直线AB交y轴于点C，点N（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数y的图象于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞4，求t的取值范围． （3）如图2，将一次函数y＝mx+n的图象向下平移后，与反比例函数的图象在第二象限的交点为点D，与x轴负半轴交于点E，y轴上一点P的纵坐标为4，且DP＝EP，求点D的坐标． 【分析】（1）将点B，点A坐标代入反比例函数的解析式，可求a和k的值，利用待定系数法可求一次函数解析式； （2）先求出点C坐标，由面积关系可求解． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点， ∴k＝﹣1×3＝a×（﹣1）， ∴k＝﹣3，a＝3， ∴点A（3，﹣1），反比例函数的解析式为y， 由题意可得， 解得， 故答案为：﹣3，﹣1，2； （2）由（1）知一次函数的解析式为y＝﹣x+2， ∵直线AB交y轴于点C， ∴点C（0，2）， ∴S四边形COMN＝S△OMN+S△OCN2×t， ∵S四边形COMN＞4， ∴t＞4， ∴t； （3）过点D作DG垂直y轴于点G，过P作PH⊥DE于H，过D作DF⊥x轴于F，设直线DE与y轴交于M， 则直线DE的解析式为y＝﹣x+2+b， 令y＝0，则x＝2+b，令x＝0，则y＝2+b， ∴OE＝OM＝|2+b|， ∴∠OME＝∠OEM＝45°， ∴∠DEF＝45°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∵PD＝PE， ∴DH＝EH， 连接FH，则FH⊥DE， ∴点F，H，P三点共线， ∵∠PHM＝90°，∠PMH＝45°， ∴∠MPF＝45°， ∵∠POF＝90°， ∴∠PFO＝45°， ∴OF＝OP＝4， ∴DG＝OF＝4， 把x＝﹣4代入y中得，y， ∴D（﹣4，）． 41．（2024春•苏州期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OACB是矩形，顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，顶点C的坐标为（8，6），双曲线分别交AC，BC于点D，E． （1）点D的坐标为 　（3，6）　； （2）若点P是对角线OC上一点． ①连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转90°后得到线段AQ．若点Q恰好在双曲线上，求此时点P坐标； ②连接DE，DP，若∠DPC＝∠DEC，请画出图形探究并求OP的长． 【分析】（1）将y＝6代入反比例函数y求出x值可得点D坐标； （2）①作QM⊥y轴，PN⊥y轴，利用一线三垂直证明△MAQ≌△NPA，得到PN＝AM，QM＝AN，设点P坐标为（m，），则PN＝AM＝m，QM＝AN＝6，可得Q（6，6+m），利用反比例函数图象上得到坐标特征列出方程求出m即可得到点P坐标； ②根据题意，符合条件的点P只有一处，即圆与OC的交点，依据相关数据代入计算即可． 【解答】解：（1）在反比例函数y中，当y＝6时，x＝3， ∴点D（3，6）． 故答案为：（3，6）． （2）①如图，作QM⊥y轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N， ∵C（8，6）， ∴直线OC的解析式为y， ∵∠QAP＝90°， ∴∠MAQ＝∠NPA＝90°﹣∠NAP， 在△MAQ和△NPA中， ， ∴△MAQ≌△NPA（AAS）， ∴PN＝AM，QM＝AN， 设点P坐标为（m，），则PN＝AM＝m，QM＝AN＝6， ∴Q（6，6+m）， ∵点Q在反比例函数y图象上， ∴（6）（6+m）＝18， 解得m＝6或m＝﹣4（舍去）， ∴点P（6，）． ②根据题意，点E（8，）， ∵∠DPC＝∠DEC，CD＝8﹣3＝5， ∴点C、D、P、E四点共圆，点P在如图所示位置时， 四边形PECD为矩形， 此时DE＝PC， OC10， ∴OP＝10． 42．（2024春•姑苏区校级期末）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数的图象上，点A'与点A关于点O对称，一次函数y2＝mx+n的图象经过点A'． （1）设a＝2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上． ①分别求函数y1、y2的表达式； ②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围； （2）设，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上． 【分析】（1）①将点B（4，2）代入y1，求出点A坐标，根据A和点A'关于原点对称，得到点A'的坐标，将点A'和点B的坐标代入y2＝mx+n，利用待定系数法求出函数y2的表达式； ②根据图象，找出反比例函数落在一次函数图象的上方且都在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围； （2）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标． 【解答】（1）解：①由已知，点B（4，2）在y1（x＞0）的图象上， ∴k＝8， ∴y1； ∵a＝2， ∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）， 把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2＝mx+n， ， 解得， ∴y2＝x﹣2； ②当y1＞y2＞0时，y1图象在y2＝x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方， ∴由图象得：2＜x＜4； （2）证明：由已知A（a，），则A′为（﹣a，）， 把A′代入到y， ， ∴n， ∴A′D解析式为y， 当x＝a时，点D纵坐标为， ∴AD， ∵AD＝AF， ∴点F和点P横坐标为， ∴点P纵坐标为， ∴点P在y1（x＞0）的图象上． 43．（2024春•秦淮区校级期末）思考探究： 【形成概念】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|． 【初步理解】 （1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝　3　． ②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是 　（1，2）　． ③函数的图象如图②所示，C是该函数的图象上的一点，若d（O，C）的值最小，点C的坐标是 　（2，2）　． 【深入探究】 （2）如图③，菱形ABCD顶点A的坐标是（1，3），B（3，2）．小明发现：菱形ABCD的边上会有两个点分别到原点O的距离d相等．若点E在菱形的边上且d（O，E）＝d（O，B），指出点E在菱形的那条边上，并求出它的坐标． （3）实数m（m＞0），如图④，直接写出在矩形ABCD边上，且到原点O的距离d等于m的点的个数与m值的关系． 【分析】（1）①根据定义求解值即可； ②设B（x，﹣2x+4），根据定义可得方程x﹣2x+4＝3，求出x的值即可求点B的坐标； ③设C（x，），根据定义可得d（O，C）＝x4，当且仅当x时，即x＝2时，d（O，C）有最小值4，此时C（2，2）， （2）当E点在AD上时，设E（x，x），由定义可得方程xx5，从而求出E（，）； （3）设矩形边上任意一点为P，分别求出P点在矩形各边上时，d（O，P）的取值范围，从而确定m的值与到原点O的距离d等于m的点的个数的关系即可． 【解答】解：（1）①∵O（0，0），A（﹣2，1）， d（O，A）＝|2﹣0|+|1﹣0|＝3， 故答案为：3； ②设B（x，﹣2x+4）， ∵O（0，0）， ∴|x﹣0|+|﹣2x+4﹣0|＝x﹣2x+4＝3， 解得x＝1， ∴B（1，2）， 故答案为：（1，2）； ③设C（x，）， ∵O（0，0）， ∴d（O，C）＝|x﹣0|+|0|＝x4， 当且仅当x时，即x＝2时，d（O，C）有最小值4， ∴C（2，2）， 故答案为：（2，2）； （2）∵B（3，2）， ∵O（0，0）， ∴d（O，B）＝|3﹣0|+|2﹣0|＝5， 设直线AD的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线AD的解析式为yx（1≤x≤3）， 当E点在AD上时，设E（x，x）， ∴xx5， 解得x， ∴E（，）； ∵D（3，4），O（0，0） ∴d（O，D）＝|3﹣0|+|4﹣0|＝7＞5， ∴E点不能在D点右侧， 综上所述：E（，）； （3）∵O（0，0），A（1，2），B（6，2），C（6，5） d（O，A）＝3，d（O，B）＝8，d（O，C）＝11． 设矩形边上任意一点为P， 当P点在线段AD上时，3≤d（O，P）≤6， 当P点在线段CD上时，6≤d（O，P）≤11， 当P点在线段BC上时，8≤d（O，P）≤11， 当P点在线段AB上时，3≤d（O，P）≤8， ∴当0＜m＜3时，到原点O的距离d等于m的点有0个． 当m＝3时，到原点O的距离d等于m的点有1个， 当3＜m＜11时，到原点O的距离d等于m的点有2个． 当m＝11时，到原点O的距离d等于m的点有1个， 44．（2023春•常州期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数y＝mx+b（m＜0）的图象在第一象限交于A、B两点． 探究一： P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积记为SA、SB、SP，矩形周长记为∁A、∁B、∁P． （1）如图1，P是线段AB上不与点A、B重合的一点，k＝8． SA＝　8　，SA　＜　SP（填“＞”、“＜”或“＝”）； 猜想：当点P从点A运动到点B时，SP的变化规律是 　先变大后变小　； （2）如图2，P是双曲线AB段上不与点A、B重合的一点，m＝﹣1，b＝4． ∁A＝　8　，∁A　＞　∁P．（填“＞”、“＜”或“＝”）； 猜想：当点P从点A运动到点B时，∁P的变化规律是 　先变小后变大　． 探究二： 如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线AB右上方的点Q，OQ与反比例函数的图象交于点G．若G是OQ的中点，且△QAB的面积为9，求k的值． 【分析】探究一：（1）根据反比例函数k的几何意义，结合图形即可求解； （2）根据直线解析式的特点，结合图形即可求解； 探究二：设G（x，y），则xy＝k，根据题意分别得到Q（2x，2y），A（2x，），B（，2y），再由S△QAB（2y）×（2x）k＝9，即可求k＝8． 【解答】解：探究一： （1）∵A点、B点在反比例函数y上， ∴SA＝SB＝8， 过P点作PQ⊥y轴交反比例函数图象于点Q，过点Q作QD⊥x轴交于点D， ∴SP＝8+PQ•DQ， 设P（x，y），则Q（，y）， ∴PQ•DQ＝y（x）＝xy﹣8＝x（mx+b）﹣8＝m（x）2﹣8， ∵m＜0，b＞0， ∴在x＞0时，PQ•DQ的值先增大后减小， ∴SA＜SP， 故答案为：8，＜，先增大后减小； （2）∵m＝﹣1，b＝4， ∴直线的解析式为y＝﹣x+4， 设A点坐标为（s，t）， ∴s+t＝4， ∴∁A＝∁B＝8， 过P点作PE∥x轴交反比例函数于点E，过E作EF⊥x轴交于点F， ∴∁P＝8﹣2PE， 设E（x，y），则P（，y）， ∴PE＝x， ∴2PE＝2x2（4﹣y）8﹣2（y）， ∴∁P＝16+2（y）， ∵y＞0，k＞0， ∴y＞0时，y先减小后增大， ∴∁P先减小后增大， ∴∁A＞∁P， 故答案为：8，＞，先减小后增大； 探究二： 设G（x，y），则xy＝k， ∵G是OQ的中点， ∴Q（2x，2y）， ∵AQ⊥x轴， ∴A（2x，）， ∵BQ⊥y轴， ∴B（，2y）， ∵S△QAB（2y）×（2x） （4k﹣k﹣k） k ＝9， ∴k＝8． 45．（2024春•仪征市期末）如图1，已知反比例函数与一次函数y＝ax+b的图象相交于点A、B，直线AB与x轴、y轴交于点C、D． （1）若点A（1，6），点B（2，m）． ①一次函数解析式是 　y＝﹣3x+9　； ②直接写出线段AD、BC的长，你有什么发现？ （2）若点A（m，n），点B（n，m），则②中的结论是否仍然成立？试说明理由． （3）实际上，对于任意两点A、B，②中的结论都成立，利用此结论解决问题： 如图2，已知矩形EFGH，点E（1，4），FG＝2，若反比例函数与矩形的对角线EG有交点，则k的最大值为 　4.5　． 【分析】（1）①利用待定系数法可得一次函数的解析式； ②根据两点的距离公式计算AD和BC的长，可得结论； （2）同法进行计算可得结论； （3）利用②中的结论，确定反比例函数与矩形的对角线EG有交点N（N是MG的中点）时，k有最大值，从而可以解答． 【解答】解：（1）①∵反比例函数与一次函数y＝ax+b的图象相交于点A、B，且点A（1，6），点B（2，m）， ∴2m＝1×6， ∴m＝3， ∴B（2，3）， 把点A（1，6），点B（2，3）代入一次函数y＝ax+b中得：， 解得：， ∴一次函数解析式是：y＝﹣3x+9； 故答案为：y＝﹣3x+9； ②当x＝0时，y＝9， ∴D（0，9）， 当y＝0时，﹣3x+9＝0， ∴x＝3， ∴C（3，0）， ∴AD， BC， 发现AD＝BC； （2）AD＝BC仍然成立，理由如下： 把点A（m，n），点B（n，m）代入一次函数y＝ax+b中得：， 解得：， ∴一次函数解析式是：y＝﹣x+m+n； 当x＝0时，y＝m+n， ∴D（0，m+n）， 当y＝0时，﹣x+m+n＝0， ∴x＝m+n， ∴C（m+n，0）， ∴ADm， BCm， 发现AD＝BC； （3）∵四边形EFGH是矩形，点E（1，4），FG＝2， ∴G（3，0）， 如图2，延长GE交y轴于M， 设直线EG的解析式为：y＝k1x+b1， 则， 解得：， ∴直线EG的解析式为：y＝﹣2x+6， 当x＝0时，y＝6， ∴M（0，6）， ∴MG的中点N的坐标为（1.5，3）， 在②中对于任意两点A，B，②中的结论都成立， ∴当反比例函数与矩形的对角线EG有交点N时，k有最大值，此时k＝1.5×3＝4.5． 故答案为：4.5． 46．（2024春•邗江区期末）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了（x＞0）和y＝﹣x+10的图象，两个函数图象交于A（1，9），B（9，1）两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现PQ的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究PQ的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： （1）设点P的横坐标为x，PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为 　y＝﹣x+10　（1≤x≤9）； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象：①列表： x 1 2 3 4 6 9 y 0 m 4 n 0 表中m＝　　，n＝　　； ②描点连线：根据上表中的数据，在图2中描出各点，并画出该函数的图象； ③观察图2中函数图象，当x＝　3　时，y的最大值为 　4　． （3）已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数，求m取最大值时矩形的对角线长； （4）如图3，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2kx﹣2（k＞0）与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数第一象限图象上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D．直接写出四边形ABCD面积的最小值 　12　． 【分析】（1）表示出点P、Q的坐标，从而得出y与x的函数解析式； （2）①将x＝2和x＝（6分）别代入（1）中函数解析式即可； ②③通过描点、连线，观察图象可得答案； （3）①将W＝2（m+n）代入中，得出m关于n的函数解析式，再根据（2）中结论求出最大值，从而解决问题． ②先求出点A，点B坐标，设点M（x，），可求CA，BD，由四边形ABCD面积＝列式，即可求解． （3）①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长； ②由四边形ABCD面积＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD即可求解． 【解答】解：（1）∵点P的横坐标为x， ∴P（x，﹣x+10），Q（x，）， ∴y＝﹣x+10， 故答案为：y＝﹣x+10； （2）①当x＝2时，m＝﹣2+10， 当x＝6，n＝﹣6+10， 故答案为：，； ②如图所示， ③观察函数图象，当x＝3时，y有最大值为4， 故答案为：3，4； （3）①根据题意可得W＝2（m+n）代入中，可以得到m＝﹣n+14， 即m＝（﹣n+10）+4， 由（2）可知函数y＝﹣n+10在n＝3时，y取得最大值为4， ∴当n＝3时，m＝8，即m取得最大值8， ∵， ∴在m取得最大值8时，矩形的对角线长为． ②∵直线y＝﹣2kx﹣2与坐标轴分别交于点A、B， ∴点A（，0），点B（0，﹣2）， 设点M（x，）， ∴C（x，0），点D（0，）， 则四边形ABCD面积＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD （2+2x+x） （k+2x）， 由a+b（a＞0，b＞0）得：k≥22（k＞0）， 同理可得：2x2（x＞0）， 故（k+2x）≥2， 即四边形ABCD面积的最小值为2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$