精品解析：湖南省长沙市麓山外国语实验中学2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试题

第一次素质测试 一、单选题 1. 下列算式中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若A、B、C是直线l上的三点，P是直线l外一点，，且，，，则点P到直线l的距离是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知是方程的解，则的值是（　　） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 图形的平移是指把图形沿水平方向移动 B. “相等的角是对顶角”是一个真命题 C. 平移前后图形的形状和大小都没有发生改变 D. “直角都相等”是一个假命题 5. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列生活现象是数学中的平移的是（ ） A. 树叶随风飘落 B. 电梯升降 C. 钟表指针转动 D. 车轮的转动 7. 不相邻的两个直角，如果它们有一边在同一直线上，那么另一边相互( ) A. 平行 B. 垂直 C. 平行或垂直 D. 平行或垂直或相交 8. 将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则（ ） A. B. C. D. 9. 为了“践行垃圾分类助力双碳目标”的活动，学校的小亮和小芬一起收集了一些废电池，小亮说：“我比你多收集了5节废电池．”小芬说：“如果你给我6节废电池，此时我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设小亮收集了节废电池，小芬收集了节废电池，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 方程的整数解的个数是(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11. 如图，直线，被直线，所截，在下列条件中：①；②；③；④，能得到直线的是______．（请填写序号） 12. 如图，能与构成同位角的有_______个． 13. 一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为．第二次拐弯的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则______． 14. 若是关于的二元一次方程，则______． 15. 如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与对应，若，若则的度数为_________． 16. 对于三个数a、b、c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数． （1）若，则x的值为___________________________________． （2）若， 则_________________________________________________． 三、解答题 17. 解下列方程组： （1）； （2）． 18. 解下列方程组： （1）； （2）． 19. 已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 20. 如图，，与交于点平分，求的度数． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为与交于点H（_______）， 所以（_______）． 因（已知）， 所以（_______）． 因为（已知）， 所以（______________）， 所以_______． 因为平分（已知）， 所以_______=_______（_______）． 21. 如图，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）与相等吗?什么? （3）若，，求的大小． 22. 如图，在中，的平分线交于点E，过点E作交于点D，过点D作交于点F． （1）求证：是的平分线； （2）若，若，求的度数． 23. 为贯彻落实党中央、国务院决策部署，陕西省推动“消费品以旧换新”行动，对购买一、二级能效绿色智能家电的消费者予以一定置换补贴．补贴标准为产品最终销售价格的，对购买级及以上能效或水校的产品，额外再给予产品最终销售价格的的补贴．某学校分两次更新部分电脑和空调（二级能效），第一次购买台电脑和台空调，补贴前需花费元；第二次购买台电脑和台空调，补贴前需花费元． （1）补贴前．学校购买一台电脑和一台空调所需的资金分别是多少元？ （2）若该校两次购买的所有电脑和空调均参加以旧换新活动，则一共能获得多少元的国家补贴？ 24. 定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的“交换系数方程”为或． （1）方程的“交换系数方程”为______； （2）已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求的值； （3）已知m，n，t都是整数，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 25. 已知，，直线交于点，交于点，点线段上，过作射线、分别交直线、于点、． （1）如图1，当时，求度数； （2）如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系； （3）如图3，在（2）基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边第一次互相平行时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次素质测试 一、单选题 1. 下列算式中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义含有两个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是二元一次方程．根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是二元一次方程；即可进行解答． 【详解】解：A、是二元一次方程，符合题意； B、是分式方程，不符合题意； C、，整理得：， 不是二元一次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2. 若A、B、C是直线l上的三点，P是直线l外一点，，且，，，则点P到直线l的距离是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线的距离的定义（直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离）即可得． 【详解】解：是直线上的一点，是直线外一点，，且， 点到直线的距离是5， 故选：A． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟记定义是解题关键． 3. 已知是方程的解，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于的一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了本题考查了二元一次方程的解，掌握方程解的定义是解题的关键． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 图形的平移是指把图形沿水平方向移动 B. “相等的角是对顶角”是一个真命题 C. 平移前后图形的形状和大小都没有发生改变 D. “直角都相等”是一个假命题 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：A图形的平移可以沿任何方向移动，故错误；B相等的角不一定是对顶角，故错误；C符合平移的特征，故正确；D直角都相等是一个真命题，故错误． 考点：平移 真假命题 5. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法进行判断即可． 【详解】解：， ，故A选项不符合题意； ∵， ，故B选项不符合题意； 由， ∴，故C选项符合题意； ， ，故D选项不符合题意； 故选：C． 6. 下列生活现象是数学中的平移的是（ ） A. 树叶随风飘落 B. 电梯升降 C. 钟表指针转动 D. 车轮的转动 【答案】B 【解析】 【分析】平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动．平移不改变图形的形状和大小，只是改变位置． 【详解】A．树叶随风飘落是无规则的运动，不是平移，故不符合题意； B．电梯升降是平移，符合题意； C．钟表指针转动是旋转，不是平移，故不符合题意； D．车轮的转动是旋转，不是平移，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等． 7. 不相邻的两个直角，如果它们有一边在同一直线上，那么另一边相互( ) A. 平行 B. 垂直 C. 平行或垂直 D. 平行或垂直或相交 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，由平行线的判断定理进行分析． 【详解】解：如图所示： 不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，内错角相等，或同旁内角互补，那么另一边互相平行． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线、垂线．能够想到两个直角既相等，又互补这两种情况是解决本题的关键．同时要注意共线这种情况． 8. 将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，根据矩形性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，从而得出答案； 【详解】解：如图，过点作， 四边形是矩形纸片， ∴， ∴， ，， ∴， 即． 故选：B ； 【点睛】本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，矩形的对边平行，每一个角都是直角的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键． 9. 为了“践行垃圾分类助力双碳目标”的活动，学校的小亮和小芬一起收集了一些废电池，小亮说：“我比你多收集了5节废电池．”小芬说：“如果你给我6节废电池，此时我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设小亮收集了节废电池，小芬收集了节废电池，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，设小亮收集了节废电池，小芬收集了节废电池，小亮说：“我比你多收集了5节废电池．”小芬说：“如果你给我6节废电池，此时我的废电池数量就是你的2倍．”据此列出方程组即可． 【详解】解：设小亮收集了节废电池，小芬收集了节废电池，根据题意可得， 故选：A 10. 方程的整数解的个数是(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的整数根；根据题意得出或或，分别解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：∵，，而是整数，是整数，且， ∴或或， （1）当时，有 ①，②， 其中方程组①有整数解，②没有整数解； (2)当时，有 ①，②，③，④， 其中，方程组①没有整数解，方程组②没有整数解，方程组③有整数解，方程组④没有整数解； (3)当时，有 ①，②， 其中，方程组①没有整数解，方程组②有整数解； 综上所述，原方程组的整数有3个， 故选：C． 二、填空题 11. 如图，直线，被直线，所截，在下列条件中：①；②；③；④，能得到直线的是______．（请填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定逐一判断． 【详解】解： ，（内错角相等两直线平行）； ，和是不相关一组角，不能判断； ，（同旁内角互补两直线平行）； ，（同旁内角互补两直线平行）； 故答案为：①③④． 12. 如图，能与构成同位角的有_______个． 【答案】3 【解析】 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．依此求解即可．本题考查了同位角的定义． 【详解】解：依题意，如图所示： 图中的均能与构成同位角， 故答案为：3． 13. 一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为．第二次拐弯的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，当题目中的已知条件和已有的图形不能解决问题时，往往考虑添加辅助线，将不相关，分散的条件进行转移与转化，构造出一些基本的几何图形，搭建已知和未知之间的桥梁．本题可以过点作后借助平行线的知识进行解答． 【详解】解：过点作．由题可知， ， ，． ． 故答案为：． 14. 若是关于的二元一次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的概念，理解二元一次方程的概念是解题的关键． 令的指数和的指数等于即可求解． 【详解】解：由题意知，， 解得：， ∴． 故答案为： ． 15. 如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与对应，若，若则的度数为_________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．设，即可得到的度数，再根据平行线的性质即可得到，依据列方程解答即可． 【详解】解：设， ∴， 由折叠可得：， 又∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：． 16. 对于三个数a、b、c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数． （1）若，则x的值为___________________________________． （2）若， 则_________________________________________________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况进行讨论求解即可； （2）设，根据，推出，即：，整理得到，即可得解． 【详解】解：（1）①当时，则：，此时，满足题意； ②当时，则：，解得：， ∵， ∴不符合题意； ∴； 故答案为：1； （2）设， 由题意知：， ∵， 当时，则：， ∴， ∴， ∵， ∴只有时，； ∴， 同理当：或时：， ∴当时， ， 即：，整理，得：， ，得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是理解并掌握新定义． 三、解答题 17. 解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法并根据方程特点灵活选用消元方法是解答的关键． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【小问1详解】 解：， ①代入②得，， 解得：， 将代入①得，； ∴原方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， 得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：； ∴原方程组的解为：． 18 解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的解法，解题关键是利用消元法把方程组转化成一元一次方程． （1）先把第一个方程进行整理，再利用加减消元法把方程组转化成一元一次方程进行计算即可． （2）利用加减消元法把方程组转化成一元一次方程进行计算即可． 【小问1详解】 解：， 整理得：③， 得： ④， 得：， 把代入得：， 原方程组的解是：； 小问2详解】 解：， 得：， 得：， 得：， 把代入得：， 把，代入得：， 原方程组的解是：． 19. 已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，由两方程组的解相同，可得出两方程组的解与关于x，y的方程组的解相同，解该方程组可求出x，y的值，将其代入中，可得出关于a，b的二元一次方程组，方程组中两方程相加，可得出，等式两边再同时除以2，即可求出的值． 【详解】解：关于的方程组和的解相同， ， 解得， 将代入方程组，得， ∴， 整理得， ∴． 20. 如图，，与交于点平分，求的度数． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为与交于点H（_______）， 所以（_______）． 因为（已知）， 所以（_______）． 因为（已知）， 所以（______________）， 所以_______． 因为平分（已知）， 所以_______=_______（_______）． 【答案】已知；对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；；；；角平分线的定义． 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质．利用对顶角相等和等量代换得到，由得到，则，由平分即可得到． 【详解】解：因为与交于点H（已知）， 所以（对顶角相等）． 因为（已知）， 所以（等量代换）． 因为（已知）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 所以． 因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）． 故答案为：已知；对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；；；；角平分线的定义． 21. 如图，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）与相等吗?为什么? （3）若，，求的大小． 【答案】（1），见解析 （2）相等，见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等， （1）根据同旁内角互补，两直线平行进行推理证明； （2）根据对顶角和已知条件得到，则可证明，由平行线的性质推出，即可求证； （2）根据角之间的关系求得，利用平行线的性质求得，即可求解． 小问1详解】 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）已证 ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴. 22. 如图，在中，的平分线交于点E，过点E作交于点D，过点D作交于点F． （1）求证：是的平分线； （2）若，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，根据角平分线得到，根据平行线的性质得到，，进而得到，即可得证； （2）根据平行得到，进而求出的度数，利用三角形的内角和定理求出，再次利用三角形的内角和定理求出即可． 【小问1详解】 证明：如图， ∵的平分线交于点E， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即：是的平分线； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线，以及三角形的内角和定理．熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． 23. 为贯彻落实党中央、国务院决策部署，陕西省推动“消费品以旧换新”行动，对购买一、二级能效绿色智能家电的消费者予以一定置换补贴．补贴标准为产品最终销售价格的，对购买级及以上能效或水校的产品，额外再给予产品最终销售价格的的补贴．某学校分两次更新部分电脑和空调（二级能效），第一次购买台电脑和台空调，补贴前需花费元；第二次购买台电脑和台空调，补贴前需花费元． （1）补贴前．学校购买一台电脑和一台空调所需的资金分别是多少元？ （2）若该校两次购买的所有电脑和空调均参加以旧换新活动，则一共能获得多少元的国家补贴？ 【答案】（1）补贴前学校购买一台电脑所需资金为元，一台空调所需资金为元 （2）一共能获得元的国家补贴 【解析】 【分析】（）设补贴前学校购买一台电脑所需资金为元，一台空调所需资金为元，根据题意列出方程组即可求解； （）根据（）及题意算出每台电脑和空调以旧换新的补贴，再列式计算即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意正确列出方程组和算式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设补贴前学校购买一台电脑所需资金为元，一台空调所需资金为元， 由题意得，， 解得， 答：补贴前学校购买一台电脑所需资金为元，一台空调所需资金为元； 【小问2详解】 解：∵，， ∴电脑以旧换新每台补贴为元，空调以旧换新每台补贴为元， ∴元， 答：一共能获得元的国家补贴． 24. 定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的“交换系数方程”为或． （1）方程的“交换系数方程”为______； （2）已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求的值； （3）已知m，n，t都是整数，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求解含参数的二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）根据题目所给“交换系数方程”的定义进行解答即可； （2）先求出与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解，将其代入方程，得到，然后代入计算即可； （3）根据题意根据题目所给“交换系数方程”的定义，分和两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：根据“交换系数方程”的定义可知方程“”的交换系数方程为或． 故答案为：或． 【小问2详解】 解：当的“交换系数方程”为时， 联立，解得：， ∵， ∴， ∴， 当的“交换系数方程”为时， 联立，解得：， ∵， ∴， ∴． 综上：与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解为． 把代入方程得：，即 ∴． 【小问3详解】 解：∵是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”， ∴或， ①当时，整理得：，解得：； ； ②当时，解得：， ∴． 综上：． 25. 已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系； （3）如图3，在（2）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边第一次互相平行时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）的值为，，秒 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，以及旋转的性质； （1）过点作，利用平行线的性质可得，，再利用垂直定义即可得解； （2）根据平行线的性质以、角平分线的定义以及三角形内角和，通过等量代换，即可得解； （3）根据的旋转速度，得到的旋转速度，分情况进行讨论，即可得出结果， 【小问1详解】 解：如图，过点作， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示 由和的角平分线交于点， 设，，、交于点， ， 由（1）得，即：， ，即：， 又，即：， ， 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， 射线绕点以每秒的速度顺时针旋转， 射线绕点以每秒的速度顺时针旋转， 当旋转到在射线上时，有， 此时，， 解得（秒） 当旋转到平行于射线时，有， 则， ∴ 此时，， 解得（秒）； 当旋转到平行于射线时，有， 则， ∴， 此时，， 解得（秒） 当继续旋转到与重合之后，不存在与的一边互相平行的情况， 故的值为，，秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$