专题2.5 不等式（组）中的含参问题（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题2.5 不等式（组）中的含参问题 · 典例分析 【典例1】我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： （1）不等式组的“长度”______；“整点”为______； （2）若不等式组的“长度”，求a的取值范围； （3）若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案； （3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【解题过程】 （1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解： 解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得，, ∴ 当时，方程组解为：， 满足题意， 综上所述：的取值范围． （3）解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当，不等式的解集为， ∴， 解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解， 综上所述：， ∴为， 解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． · 学霸必刷 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的不等式的解集与不等式的解集相同，则m的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组的解集是，则的值是（   ） A． B． C． D．2 4．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）关于x的不等式组有解，且其解都是不等式的解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）若关于x的不等式组只有3个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（   ） A．39 B．42 C．45 D．48 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·河北保定·期末）已知关于x的不等式组，对于甲、乙二人的结论，下列判断正确的是（    ） 甲：若不等式组无解，则； 乙：若不等式组有解，且所有整数解的和为，则整数a的值为 A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 8．（23-24七年级下·湖北·期末）已知关于x的不等式，下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②当，不等式组无解； ③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是； ④若它有解，则． 其中正确的结论个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2025七年级下·全国·专题练习）若不等式组恰好有4个整数解，则a的取值范围是 ． 10．（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知不等式组的解集为，则的值是 ． 11．（23-24七年级下·广东江门·期中）已知关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的正整数a的值之和是 ． 12．（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 ． 13．（23-24七年级下·全国·假期作业）从，，，，，这六个数中，随机抽取一个数，记为，若数使关于的不等式组无解，那么这六个数中所有满足条件的的值之和是 ． 14．（23-24七年级下·广东惠州·期末）定义：把的值叫做不等式组的“长度”若关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为 ． 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知不等式组的整数解是，，，，确定字母的取值范围． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组 （1）当时，这个不等式组的解集为_______； （2）若这个不等式组恰有两个整数解，求实数a的取值范围． 17．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚． （1）他把“□”猜成3，请你解不等式组； （2）王老师说：我做一下变式，若不等式组的解集为，请求常数“□”的取值范围． 18．（23-24七年级下·北京·期中）对于两个关于的不等式，若有且仅有一个整数，使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式关于整数“互联”．例如：不等式和不等式关于整数“互联”． （1）不等式和关于整数______“互联”； （2）若关于的不等式和关于整数“互联”， ①直接写出的值为______； ②求的最大值； （3）已知不等式和关于整数“互联”，直接写出的取值范围． 19．（23-24七年级下·河南商丘·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． （1）在不等式：①，②，③中，不等式的“云不等式”是_______（填序号）； （2）若关于x的不等式不是的“云不等式”，求m的取值范围； （3）若关于x的不等式与不等式互为“云不等式”且有2个公共的整数解，求a的取值范围． 20．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）定义：对于立信不等式：，当时，；当时，． （1）解关于x的不等式； （2）若关于x的不等式的解集是，求不等式的解集； （3）若关于x的不等式组的解集中有且只有2个整数解，求n的取值范围． 21．（23-24七年级下·山东德州·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖．特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式被不等式覆盖：不等式组无解，被其他任意不等式（组）覆盖． （1）下列不等式（组）中，能被不等式覆盖的是______ ①；    ②；    ③；    ④； （2）若关于的不等式被覆盖，求的取值范围； （3）若关于的不等式被覆盖，直接写出的取值范围． 22．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）我们规定若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“关联方程”． 问题解决： （1）方程是不等式组的“关联方程”吗？请说明理由． （2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； （3）若关于的不等式组的所有“关联方程”只有3个不同整数解，试求的取值范围． 23．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围； （3）关于x的不等式组E：和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为12，求n的取值范围． 24．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组 只有 3 个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： （1）是 阶不等式；   是 阶不等式组； （2）若关于x的不等式组  是4阶不等式组，求a的取值范围； （3）关于x的不等式组 的正整数解有，，，， ．．．其中．．． 如果 是阶不等式组，且关于x的方程的解是 的正整数解，请求出m的值以及 p的取值范围． 25．（23-24八年级下·山东青岛·期中）【定义新知】给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”． 例如：不等式P：是Q：的子集． 同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”． 例如：不等式组M：是不等式组N：的子集． 【新知应用】 （1）请写出不等式的一个子集 ； （2）若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组 是不等式组M：的“子集”（填：A或B）； （3）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 ； （4）若a，b，c，d为互不相等的整数，，，下列三个不等式组D：，E：，F：，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则的值为 ； （5）已知不等式组G：有解，且不等式组H：是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则的最大值为 ． 26．（23-24七年级下·四川内江·期中）阅读以下材料完成下列各题： 材料一： 解一元二次不等式． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 解不等式组①得，解不等式组②得． 所以一元二次不等式的解集是或． 阅读材料一，解决问题． （1）直接写出不等式的解集是_____； （2）求不等式的解集． 材料二： 对m、n的定义一种新运算“◇”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知，． 阅读材料二，解决问题． （3）求a、b的值； （4）若关于x的不等式组只有一个整数解，则t的取值范围； 综合应用∶利用以上两段材料解决下列问题 （5）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求k的取值范围． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 不等式（组）中的含参问题 · 典例分析 【典例1】我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： （1）不等式组的“长度”______；“整点”为______； （2）若不等式组的“长度”，求a的取值范围； （3）若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案； （3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【解题过程】 （1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解： 解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得，, ∴ 当时，方程组解为：， 满足题意， 综上所述：的取值范围． （3）解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当，不等式的解集为， ∴， 解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解， 综上所述：， ∴为， 解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． · 学霸必刷 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的不等式的解集与不等式的解集相同，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次不等式，先分别解两个不等式，再根据两个不等式的解解相同得关于m的方程，解方程即可得解． 【解题过程】 解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵两个不等式的解集相同， ∴， 解得． 故选：C． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【思路点拨】 本题考查了不等式的解集，先求出不等式的解集，然后根据不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，得出或，然后关于a的不等式即可． 【解题过程】 解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中每一个值均不在的范围中， ∴或， 解得或， 故选：B． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组的解集是，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次不等式组的解法和二元一次方程组的解法，先分别解不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”求出不等式组的解集，因为题目告知不等式组解集，即可求出答案． 【解题过程】 解：， 由①得： 由②得：， ， ∴此不等式组的解集为：， 由题可知：此不等式组的解集为：， ∴， 解得：， ∴． 故选：A 4．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）关于x的不等式组有解，且其解都是不等式的解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查的是解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再根据其解都是不等式的解，得出关于a的不等式组，从而求解． 【解题过程】 解：解不等式得：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组有解 ∴，解得，不等式组的解集为， ∵不等式组的解都是不等式的解， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）若关于x的不等式组只有3个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（   ） A．39 B．42 C．45 D．48 【思路点拨】 本题考查一元一次不等式组整数解问题，先解不等式组，根据只有3个整数解，列不等式求解即可得到答案； 【解题过程】 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有且只有3个整数解， 不等式组的解为：， ∴这3个整数数解为3，2，1， ，即， 解得， ∵k为整数， ∴k为12，13，14， ∴符合条件的所有整数k的和为：， 故选：A． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组仅有2个整数解求出m的范围即可． 【解题过程】 解：解不等式，得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组的解集中恰好有两个整数， ∴设相邻的两个整数分别为n和， ∴， 整理得， ∴当时，不等式组有解， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7．（23-24七年级下·河北保定·期末）已知关于x的不等式组，对于甲、乙二人的结论，下列判断正确的是（    ） 甲：若不等式组无解，则； 乙：若不等式组有解，且所有整数解的和为，则整数a的值为 A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【思路点拨】 本题考查了一元一次不等式组的解集情况求参数，理解不等式有解和无解的含义是解题关键．先分别解不等式，根据不等式组无解和有解的情况，求出的取值范围，即可得出答案． 【解题过程】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 若不等式组无解，则，即， 则甲判断错误； 若不等式组有解，则不等式的解集为， 所有整数解的和为，且， ， ， 整数a的值为， 则乙判断正确， 故选：B． 8．（23-24七年级下·湖北·期末）已知关于x的不等式，下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②当，不等式组无解； ③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是； ④若它有解，则． 其中正确的结论个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 本题考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而求出a的范围，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【解题过程】 解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为：， 若它的解集是，则， 解得：，故①符合题意； ②当时，，不等式无解，故②符合题意； ③若它的整数解仅有3个，则整数解为：2、3、4， ∴， 解得：，故③不符合题意； ④若它有解，则， 解得：，故④符合题意； 综上所述，符合题意的有①②④，共个， 故选：C． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）若不等式组恰好有4个整数解，则a的取值范围是 ． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先解不等式组用a表示出解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，得到关于a的不等式组求解即可． 【解题过程】 解： 解不等式①，得 解不等式②，得 由题意可知原不等式组有解 ∴原不等式组的解集为 ∵不等式有4个整数解 ∴整数解为：9，10，11，12 ∴，解得：． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知不等式组的解集为，则的值是 ． 【思路点拨】 本题考查了一元一次不等式组，代数式求值，解题的关键是掌握不等式组的解．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出、的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【解题过程】 解：， 解不等式①： ， ， ， 解不等式②： ， ， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集为， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·广东江门·期中）已知关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的正整数a的值之和是 ． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出a的值．首先求出不等式组的解集为，然后根据，可以求得a的值，从而可以得到所有满足条件的a的值之和． 【解题过程】 解：由不等式组得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：， ∵a是正整数， ∴，，，，5 ∴所有满足条件的正整数a的值之和为：． 故答案为：15． 12．（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 ． 【思路点拨】 根据题意可求不等式组的解集为，再分情况判断出的取值范围，即可求解． 【解题过程】 解：由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：， 所有整数解的和为， ①整数解为：、、、， ， 解得：， 为整数， ． ②整数解为：，，，、、、， ， 解得：， 为整数， ． 综上，整数的值为或 故答案为：或． 13．（23-24七年级下·全国·假期作业）从，，，，，这六个数中，随机抽取一个数，记为，若数使关于的不等式组无解，那么这六个数中所有满足条件的的值之和是 ． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 解不等式组①和②，可得不等式组的解集为，由不等式组无解，确定出的范围，进而即得出，，，，相加即可． 【解题过程】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴不等式组的解集为， 由不等式组无解，得到， 即，，，， 满足条件的的值之和为， 故答案为：． 14．（23-24七年级下·广东惠州·期末）定义：把的值叫做不等式组的“长度”若关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为 ． 【思路点拨】 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，结合题意得出，求出的值即可得出答案． 【解题过程】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3， ∴， 解得：， ∴不等式组的解集为：， ∴该不等式组的整数解为：、、、， ∴该不等式组的整数解之和为， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知不等式组的整数解是，，，，确定字母的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题的关键是掌握不等式组的解法．先分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的整数解是，，，，求解即可． 【解题过程】 解：， 解不等式①得： ， ， ， ， 解不等式②得： ， ， 不等式组的整数解是，，，， 不等式组的解集是， ， 解得：． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组 （1）当时，这个不等式组的解集为_______； （2）若这个不等式组恰有两个整数解，求实数a的取值范围． 【思路点拨】 本题考查的是一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）将代入不等式组，求出结果即可 （2）先解不等式组求得，根据不等式组恰有两个整数解知不等式组的整数解为、0，据此得，解之即可． 【解题过程】 （1）解：当时，不等式组为， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 这个不等式组的解集为； （2）解：解不等式，得：， 解不等式得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式组恰有两个整数解， ∴不等式组的整数解为、0， 则， 解得． 17．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚． （1）他把“□”猜成3，请你解不等式组； （2）王老师说：我做一下变式，若不等式组的解集为，请求常数“□”的取值范围． 【思路点拨】 本题考查的是一元一次不等式组的解法，确定解集的方法，掌握确定不等式组的解集的方法是关键． （1）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可； （2）先解不等式组中的两个不等式，再根据解集为，再确定范围即可； 【解题过程】 （1）解： 解不等式得， ∴， ∴ 解不等式得， ∴， ∴ ∴不等式组的解集为． （2）解：， 设常数“□”为m， ∵， ∴， ∴ ∴不等式的解集为 又∵不等式的解集为， 而不等式组的解集为 ∴， ∴． ∴． 18．（23-24七年级下·北京·期中）对于两个关于的不等式，若有且仅有一个整数，使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式关于整数“互联”．例如：不等式和不等式关于整数“互联”． （1）不等式和关于整数______“互联”； （2）若关于的不等式和关于整数“互联”， ①直接写出的值为______； ②求的最大值； （3）已知不等式和关于整数“互联”，直接写出的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了新定义运算，一元一次不等式组的解法； （1）解不等式得，再根据“互联”的定义即可； （2）①根据定义可得； ②根据题意得，再根据“互联”的定义得； （3）根据题意得，解不等式组，即可求解． 【解题过程】 （1）解：是，理由如下： 解不等式得， 满足条件的整数有且只有一个：，所以这两个不等式是“互联”的； 故答案为：3． （2）解：①解不等式，得 ∵关于的不等式和关于整数“互联”， ∴， 故答案为：． ②依题意，的整数解为， ∴ 解得： 故的最大值为； （3）解：若不等式和是关于整数 “互联”的， 则满足的整数有且只有一个，为 ∴ 解得： 19．（23-24七年级下·河南商丘·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． （1）在不等式：①，②，③中，不等式的“云不等式”是_______（填序号）； （2）若关于x的不等式不是的“云不等式”，求m的取值范围； （3）若关于x的不等式与不等式互为“云不等式”且有2个公共的整数解，求a的取值范围． 【思路点拨】 本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）根据云不等式的定义即可求解； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据云不等式的定义可得，解不等式即可求解； （3）分别求出两个不等式的解集，再根据“云不等式”的定义及有2个公共的整数解得，解关于不等式即可求解． 【解题过程】 （1）解：解不等式得，解不等式得， 不等式和不等式有公共解，故①是不等式的“云不等式”； 不等式和不等式有公共解，故②是不等式的“云不等式”； 不等式和不等式没有公共解，故③不是不等式的“云不等式”； 故答案为：①②； （2）解：解不等式可得， 解不等式得， 关于的不等式不是的“云不等式”， ， 解得， 故的取值范围是； （3）解：解不等式可得， 解不等式得， 关于x的不等式与不等式互为“云不等式”且有2个公共的整数解， ， 解得， 故的取值范围是． 20．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）定义：对于立信不等式：，当时，；当时，． （1）解关于x的不等式； （2）若关于x的不等式的解集是，求不等式的解集； （3）若关于x的不等式组的解集中有且只有2个整数解，求n的取值范围． 【思路点拨】 （1）根据题干提供的信息列出关于x的不等式，解不等式即可； （2）先根据关于x的不等式的解集是，求出，然后把代入求不等式的解集即可； （3）解关于x的不等式组得出，根据关于x的不等式组的解集中有且只有2个整数解，得出，求出n的取值范围即可． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴， 解得：； （2）解：∵，， ∴， 解得：， 又∵关于x的不等式的解集是， ∴， 解得：， ∵， ∴， 把代入得：， 解得：； （3）解：关于x的不等式组可变为： ， 解得：， ∵关于x的不等式组的解集中有且只有2个整数解， ∴， 解得：． 21．（23-24七年级下·山东德州·期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖．特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式被不等式覆盖：不等式组无解，被其他任意不等式（组）覆盖． （1）下列不等式（组）中，能被不等式覆盖的是______ ①；    ②；    ③；    ④； （2）若关于的不等式被覆盖，求的取值范围； （3）若关于的不等式被覆盖，直接写出的取值范围． 【思路点拨】 本题主要考查不等式的性质，解不等式（组）的方法，理解题目中的含义，掌握解不等式（组）的方法是解题的关键． （1）根据不等式的性质，分别求出①②③④的解集，再根据材料提示的信息即可求解； （2）先解不等式得，再根据覆盖的定义即可求解； （3）根据题意，分类讨论：当有解时，； 当无解时，；根据不等式的性质求解即可． 【解题过程】 （1）解：①， 解得，； ②， 解得，； ③， 解得，； ④， 解第一个不等式得，，解第二个不等式得，， ∴不等式组无解； ∴被不等式覆盖的是③④， 故答案为：③④； （2）解：， 移项得， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵不等式被覆盖， ∴， 解得，； （3）解：∵不等式被覆盖， ∴当有解时，， 解得，； 当无解时，， 解得，； 综上所述，当或时，不等式被覆盖． 22．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）我们规定若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“关联方程”． 问题解决： （1）方程是不等式组的“关联方程”吗？请说明理由． （2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； （3）若关于的不等式组的所有“关联方程”只有3个不同整数解，试求的取值范围． 【思路点拨】 本题考查解不等式组和一元一次方程以及新定义的运算，掌握“关联方程”的定义是解题的关键． （1）分别求解一元一次方程和不等式组，根据定义判断即可； （2）分别求解一元一次方程和不等式组，根据定义“一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内”可得方程组，求解即可； （3）解不等式组可得，根据题意可得，求得m的取值范围，可得，，分情况讨论即可． 【解题过程】 （1）解：不是，理由如下： ， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 不是“关联方程”； （2）由，得， 由，得， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得． 即的取值范围是． （3）的解集为：， 不等式组的所有“关联方程”只有3个不同整数解， ， 解得， ，， 当时，必须满足，m无解； 当时，必须满足，解得； 综上所述，． 23．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围； （3）关于x的不等式组E：和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为12，求n的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了一元一次不等式组的应用，理解新定义，正确解不等式组是解题关键． （1）先解不等式组A，进而得出A的解集中点值，再根据“中点包含”的定义判断即可； （2）先解不等式组C和不等式组D，根据不等式组有解，得出，求出C的解集中点值，再根据“中点包含”的定义求解即可； （3）先解不等式组E和不等式组F，求出E的解集中点值，再根据“中点包含”的定义求得，然后根据整数m之和为12，得到的可能取值，进而得出n的取值范围即可． 【解题过程】 （1）解：不等式B对于不等式组A中点包含，判断过程如下： 解不等式组A：，得：， ∴A的解集中点值为， ∵在不等式B：范围内， ∴不等式B对于不等式组A中点包含； （2）解：解不等式组C：，得：， 解不等式组D：，得：， ∵不等式组D对于不等式组C中点包含， ∴不等式组C和不等式组D有解， ∴，解得：， ∴当时，不等式组C的解集为，不等式组D的解集为， ∵C的中点值为，且D对于不等式组C中点包含， ∴， 解得：， 又∵， ∴． 先解不等式组C和不等式组D，根据不等式组有解，得出，再求出 （3）解：解不等式组E：，得：， 解不等式组F：，得：， ∴E的中点值为， ∵不等式组F对于不等式组E中点包含， ∴，解得：， ∵所有符合要求的整数m之和为12， ∴整数m可取3、4、5，或、、0、1、2、3、4、5． ∴或． 24．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若不等式（组）只有n个正整数解（n为自然数），则称这个不等式（组）为n阶不等式（组）． 我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）． 例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式． 不等式组 只有 3 个正整数解，因此称其为3阶不等式组． 请根据定义完成下列问题： （1）是 阶不等式；   是 阶不等式组； （2）若关于x的不等式组  是4阶不等式组，求a的取值范围； （3）关于x的不等式组 的正整数解有，，，， ．．．其中．．． 如果 是阶不等式组，且关于x的方程的解是 的正整数解，请求出m的值以及 p的取值范围． 【思路点拨】 本题主要考查了求不等式组和不等式的整数解： （1）根据题目中的定义进行分析即可； （2）根据题目中的定义进行分析，可知整数解为1，2，3，4，从而可得出a的范围； （3）先解不等式得到，解方程得到，则，根据是阶不等式组，得到最大的正整数解为，再由得到，解方程求出m的值，进而求出p的取值范围即可． 【解题过程】 （1）解：∵不等式有2个正整数解， ∴是2阶不等式； 解不等式组得， ∴这个不等式组有1个正整数解， ∴不等式组是1阶不等式； 故答案为：2，1； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组是4阶不等式组， ∴关于的不等式组有4个正整数解， ∴有4个正整数解， ∴；即； （3）解：解不等式组得， 解方程得， ∴， ∵是正整数， ∴m为偶数， ∵是阶不等式组， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； ∵， ∴整数解为， ∴． 25．（23-24八年级下·山东青岛·期中）【定义新知】 给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”． 例如：不等式P：是Q：的子集． 同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”． 例如：不等式组M：是不等式组N：的子集． 【新知应用】 （1）请写出不等式的一个子集 ； （2）若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组 是不等式组M：的“子集”（填：A或B）； （3）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 ； （4）若a，b，c，d为互不相等的整数，，，下列三个不等式组D：，E：，F：，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则的值为 ； （5）已知不等式组G：有解，且不等式组H：是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则的最大值为 ． 【思路点拨】 本题考查解一元一次不等式组以及新定义运算，读懂题干“子集”的定义以及能求出不等式组的解集是解答此题的关键． （1）由题意根据“子集”的定义进行解答即可； （2）根据题意求出不等式组A与B的解集，进而利用题中的新定义判断即可； （3）由题意根据“子集”的定义确定出a的范围即可； （4）由题意根据“子集”的定义得到，．即可代入原式计算求出值； （5）根据题题意解得．由m，n为正整数，求的最大值，则m最大为2，n最小为10，即可求出答案． 【解题过程】 （1）解：∵的任意一个解都是不等式的一个解， ∴不等式的一个子集为：．（答案不唯一）． 故答案为：．（答案不唯一）． （2）解：解不等式组A得：； 解不等式组B得：； 解不等式组M得：． ∵不等式组A的任意一个解，都是不等式组M的一个解， ∴不等式组A是不等式组M：的“子集”． 故答案为：A． （3）解：∵不等式组的解集为：，关于x的不等式组是不等式组的“子集”， ∴关于x的不等式组的解集为．且． ∴． 故答案为：． （4）解：∵E：，F：，E是F的“子集”，a，b，c，d为互不相等的整数， ∴． ∴． ∵D是E的“子集”，D：， ∴． ∴． ∴． 故答案为：120． （5）解：∵不等式组G：有解， ∴解集为：． ∵不等式组H：是不等式组G的“子集”， ∴． 解得：． ∵m，n为正整数，求的最大值， ∴m最大为2，n最小为10． ∴的最大值为． 故答案为：． 26．（23-24七年级下·四川内江·期中）阅读以下材料完成下列各题： 材料一： 解一元二次不等式． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①或②． 解不等式组①得，解不等式组②得． 所以一元二次不等式的解集是或． 阅读材料一，解决问题． （1）直接写出不等式的解集是_____； （2）求不等式的解集． 材料二： 对m、n的定义一种新运算“◇”，规定：（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知，． 阅读材料二，解决问题． （3）求a、b的值； （4）若关于x的不等式组只有一个整数解，则t的取值范围； 综合应用∶利用以上两段材料解决下列问题 （5）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求k的取值范围． 【思路点拨】 （1）根据题意有理数乘法法则列不等式组求解即可得到答案； （2）根据有理数除法法则直接列不等式组求解即可得到答案； （3）由新定义可得，再解方程组即可； （4）由新定义可得，再结合不等式组只有一个整数解，可得，再进一步可得答案； （5）由新定义可得，解得：，结合，即，再进一步可得答案． 【解题过程】 解：（1）∵， ∴或， 解得：或， ∴一元二次不等式的解集是或； （2）∵， ∴或， 解得：或无解， ∴一元二次不等式的解集是． （3）∵，，， ∴，整理得：， 解得：， （4）∵，而， ∴， 由①得：， 由②得：， ∵关于x的不等式组只有一个整数解， ∴整数解为3， ∴， ∴； （5）∵，而， ∴， 整理得：， 解得：， ∵，即， ∴或， 解得：或． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$