9.1 用坐标描述平面内点的位置【8个必考点】（必考点分类集训）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册必考点分类集训系列（人教版2024）

9.1 用坐标描述平面内点的位置【8个必考点】 【人教版2024】 【知识点1 平面直角坐标系有关概念】 1 【必考点1 判断一个点所在的象限】 2 【知识点2 平面直角坐标系内点的坐标及其特征】 2 【必考点2 坐标轴上的点的坐标特征】 3 【必考点3 象限角平分线上的点的坐标特征】 3 【必考点4 平行与坐标轴的直线上的点的坐标特征】 3 【必考点5 点到坐标轴的距离】 4 【必考点6 坐标系中有关点的新定义问题】 4 【必考点7 建立平面直角坐标系求点的坐标】 5 【必考点8 平面直角坐标系内点的坐标综合】 7 【知识点1 平面直角坐标系有关概念】 1.平面直角坐标系的概念： 平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。 ①坐标轴：水平的数轴称为横轴（x轴）；竖直的数轴称为纵轴（y轴）。 ②坐标原点：两条坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。 ③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。 2.象限： 如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为第一象限；逆时针一次得到第二象限、第三象限以及第四象限。 特别地，坐标轴不属于任何一个象限。 【必考点1 判断一个点所在的象限】 【例1】在平面直角坐标系中，点（﹣1，m2+3）一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】平面直角坐标系中点P（a﹣2024，a+2024）不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】若点P（a，b）在第四象限，则点M（a﹣b，b﹣a）在第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【变式3】如图，点A，B，C，D，E，F，G为正方形网格图中的7个格点．在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别是（﹣1，0）和（3，0），则上述7个点中在第一象限的点有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【知识点2 平面直角坐标系内点的坐标及其特征】 1.点的坐标： 横坐标：过平面内一点做x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数为这个点的横坐标； 纵坐标：过平面内一点做y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数为这个点的纵坐标； 2.象限内的点的坐标特点： 第一象限内的所有点的坐标，横坐标纵坐标均大于0；可以表示为 （+，+）。 第二象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标大于0；可以表示为（－，+）。 第三象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标小于0；可以表示为（－，－）。 第四象限内的所有点的坐标，横坐标大于0，纵坐标小于0；可以表示为（+，－）。 3.坐标轴上的点的坐标特点： ①x轴上的所有点的纵坐标等于 0 ，可表示为（x，0）。 ②y轴上的所有点的横坐标等于 0 ，可表示为（0，y）。 4.象限角平分线上的点的坐标特点： ①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 相等 。 ②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 互为相反数 。 5.平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的所有点的坐标 纵坐标 相等。 6.平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的所有点的坐标 横坐标 相等。 7.点到坐标轴的距离： 点到横坐标轴的距离等于该点的 纵坐标的绝对值 。 点到纵坐标轴的距离等于该点的 横坐标的绝对值 。 【必考点2 坐标轴上的点的坐标特征】 【例1】若点A（a，b）在y轴上，则点B（﹣1，ab）在（　　） A．y轴的正半轴上 B．y轴的负半轴上 C．x轴的正半轴上 D．x轴的负半轴上 【变式1】已知直角坐标系内有一点M（a，b），且ab＝0，则点M的位置一定在（　　） A．原点上 B．x轴上 C．y轴上 D．坐标轴上 【变式2】点M（1﹣m，1+m）在x轴上，点N（n+2，n﹣2）在y轴上，那么m+n的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1 【变式3】已知点A（a﹣1，2b﹣4）在y轴上，点B（3a﹣6，b+4）在x轴上，则点C（a，b）的坐标为（　　） A．（1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（﹣2，2） D．（﹣4，﹣2） 【必考点3 象限角平分线上的点的坐标特征】 【例1】在平面直角坐标系中，点A在第二、四象限的角平分线上，且到x轴的距离为4，则点A的坐标为　 ． 【变式1】已知点P（b+3，2b﹣1）在一、三象限的角平分线上，则b＝ 　 　． 【变式2】点A（2y+7，y﹣1）在第二、四象限的角平分线上，则y＝　 　． 【变式3】已知点P、Q的坐标分别为（2m﹣5，m﹣1）、（n+2，2n﹣1），若点P在第二、四象限的角平分线上，点Q在第一、三象限的角平分线上，则mn的值为　 　． 【必考点4 平行与坐标轴的直线上的点的坐标特征】 【例1】已知点A（a﹣2，a+1），B（2，3），且直线AB∥y轴，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】已知点A（﹣1，3）和点B（3，m﹣1），如果直线AB⊥y轴，那么m的值为（　　） A．1 B．﹣4 C．﹣1 D．4 【变式2】已知点P（4，a+1）与点Q（﹣5，7﹣a）的连线平行于x轴，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】若点A的坐标是（2，﹣1），AB＝4，且AB平行于y轴，则点B的坐标为（　　） A．（2，﹣5） B．（6，﹣1）或（﹣2，﹣1） C．（2，3） D．（2，3）或（2，﹣5） 【必考点5 点到坐标轴的距离】 【例1】已知点M（3a﹣2，a+6），若点M到x轴、y轴的距离相等，则点M的坐标为（　　） A．（10，﹣10） B．（﹣5，5） C．（10，10）或（﹣5，5） D．（﹣10，﹣10）或（﹣5，﹣5） 【例2】在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，PQ平行于x轴，PQ＝4，则点Q的坐标是（　　） A．（6，﹣3）或（﹣2，﹣3） B．（6，﹣3） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）或（7，﹣2） 【变式1】已知点P（a，b）到x轴的距离是2，到y轴的距离是5，且|a﹣b|＝a﹣b，则P点的坐标是（　　） A．（5，2） B．（2，﹣5） C．（5，2）或（5，﹣2） D．（2，﹣5）或（5，2） 【变式2】已知点P（2a，1﹣3a）在第二象限，且点P到x轴的距离与到y轴的距离之和是11，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．3 【变式3】在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，PQ∥x轴，若PQ＝4，则点Q的坐标是（　　） A．（6，﹣3）或（﹣2，﹣3） B．（6，3）或（﹣2，3） C．（2，1）或（2，﹣7） D．（﹣1，﹣2）或（7，﹣2） 【必考点6 坐标系中有关点的新定义问题】 【例1】已知点P的坐标为（a，b），其中a，b均为实数，若a，b满足3a＝2b+5，则称点P为“和谐点”．若点M（m+1，3m﹣7）是“和谐点”，则点M所在的象限是（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【变式1】在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如图中的P，Q两点即为“等距点”．若点A的坐标为（﹣3，1），点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为（　　） A．（3，9） B．（﹣3，3） C．（﹣9，﹣3） D．（﹣9，3） 【变式2】若点A（x，y）的坐标满足等式x+y﹣xy＝0，则称该点A为“和谐点”．若某个“和谐点”到x轴的距离为4，则该点的坐标为（　　） A． 或（2，2） B． 或 C． 或（﹣2，﹣2） D． 或 【变式3】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣3，2）的“短距”为 　 　． （2）若点B（3a﹣1，5）是“完美点”，求a的值． （3）若点C（9﹣2b，﹣5）是“完美点”，求点D（﹣6，2b﹣1）的“短距”． 【必考点7 建立平面直角坐标系求点的坐标】 【例1】如图，在网格图中，若点A的坐标表示为（0，﹣1），点B坐标表示为（﹣3，0），则点C的坐标为（　　） A．（4，2） B．（﹣4，2） C．（4，﹣2） D．（﹣4，﹣2） 【变式1】如图是象棋的对弈图（部分），如果棋子“帅”在点（0，﹣3），棋子“仕”在点（﹣1，﹣3），则棋子“马”所在点的坐标是（　　） A．（3，0） B．（0，﹣3） C．（0，3） D．（﹣3，0） 【变式2】如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），则叶杆“底部”点C的坐标为（　　） A．（2，﹣2） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（3，﹣3） 【变式3】五子连珠棋和象棋，围棋一样，深受广大棋友的喜爱，其规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向（横向，竖向或者是斜着的方向）上连成五子者为胜．如图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图，甲执黑子先行，乙执白子后走．若白①的位置是（0，3），白②的位置是（3，1）． （1）请根据题意，画出平面直角坐标系xOy； （2）若甲的下一步落子可以在某个方向上连成四子，请写出符合题意得的其中两个落子处的坐标． 【变式4】围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为A（﹣2，4），B（1，2）． （1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （2）分别写出C、D两颗棋子的坐标； （3）有一颗黑色棋子E的坐标为（3，﹣1），请在图中画出黑色棋子E． 【必考点8 平面直角坐标系内点的坐标综合】 【例1】在平面直角坐标系中，已知点P（2a﹣6，a+3）． （1）若点P在y轴上，求点P的坐标； （2）若点P到x轴的距离等于到y轴的距离，求点P的坐标； （3）若点P的纵坐标比横坐标大5，平面直角坐标系内另有一点Q，满足PQ∥x轴，且PQ＝4，求点Q的坐标． 【变式1】已知点A（2a+3，﹣a），B（a﹣2，1）． （1）若点A在第一象限的角平分线上时，求a的值； （2）若点A到y轴的距离是B到x轴的距离的3倍，求B点坐标； （3）若线段AB∥y轴，求点A，B的坐标及线段AB的长． 【变式2】已知平面直角坐标系中一点P（m﹣4，2m+1），解答下列问题： （1）若点P在y轴上，求出点P的坐标； （2）若点P在第二象限，且它到x轴的距离是它到y轴距离的二倍，求出m的值； （3）若PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣3），求出线段PA的长度． 【变式3】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2+a，2a﹣6）． （1）若点A在y轴上，求点A的坐标； （2）点A的纵坐标比横坐标大3，求点A的坐标； （3）若点B（2，14），直线AB∥x轴，求a的值； （4）若点A在第四象限，且到两坐标轴距离之和为9，求a的值； （5）点C的坐标为（4，b+1），若直线AC∥y轴，且线段AC的长为5，求b的值及点C的坐标． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.1 用坐标描述平面内点的位置【8个必考点】 【人教版2024】 【知识点1 平面直角坐标系有关概念】 1 【必考点1 判断一个点所在的象限】 2 【知识点2 平面直角坐标系内点的坐标及其特征】 4 【必考点2 坐标轴上的点的坐标特征】 5 【必考点3 象限角平分线上的点的坐标特征】 6 【必考点4 平行与坐标轴的直线上的点的坐标特征】 7 【必考点5 点到坐标轴的距离】 8 【必考点6 坐标系中有关点的新定义问题】 10 【必考点7 建立平面直角坐标系求点的坐标】 13 【必考点8 平面直角坐标系内点的坐标综合】 16 【知识点1 平面直角坐标系有关概念】 1.平面直角坐标系的概念： 平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。 ①坐标轴：水平的数轴称为横轴（x轴）；竖直的数轴称为纵轴（y轴）。 ②坐标原点：两条坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。 ③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。 2.象限： 如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为第一象限；逆时针一次得到第二象限、第三象限以及第四象限。 特别地，坐标轴不属于任何一个象限。 【必考点1 判断一个点所在的象限】 【例1】在平面直角坐标系中，点（﹣1，m2+3）一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】先根据偶次方的非负性判断m2+3的正负，然后根据点的坐标正负判断点的位置即可． 【解答】解：∵m2≥0， ∴m2+3＞0， ∴点（﹣1，m2+3）一定在第二象限， 故选：B． 【变式1】平面直角坐标系中点P（a﹣2024，a+2024）不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】假设点P分别是第一象限、第二象限、第三象限、第四象限的点，建立不等式组即可求解． 【解答】解：①假设点P是第一象限的点： 则， 解得：a＞2024； ②假设点P是第二象限的点： 则， 解得：﹣2024＜a＜2024； ③假设点P是第三象限的点： 则， 解得：a＜﹣2024； ④假设点P是第四象限的点： 则， 此时不等式组无解； 故点P不可能在第四象限． 故选：D． 【变式2】若点P（a，b）在第四象限，则点M（a﹣b，b﹣a）在第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【分析】根据第四象限坐标的符号特征（+，﹣），确定a，b的符号，再计算确定a﹣b，b﹣a的符号，解答即可． 【解答】解：由条件可知：a＞0，b＜0， ∴a﹣b＞0，b﹣a＜0， 故M（a﹣b，b﹣a）位于第四象限， 故选：D． 【变式3】如图，点A，B，C，D，E，F，G为正方形网格图中的7个格点．在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别是（﹣1，0）和（3，0），则上述7个点中在第一象限的点有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据B，C两点的坐标分别是（﹣1，0）和（3，0）建立平面直角坐标系，进而可得出结论． 【解答】解：∵B，C两点的坐标分别是（﹣1，0）和（3，0）， ∴平面直角坐标系如图， 由图可知，7个点中在第一象限的点有D、E、F共3个． 故选：C． 【知识点2 平面直角坐标系内点的坐标及其特征】 1.点的坐标： 横坐标：过平面内一点做x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数为这个点的横坐标； 纵坐标：过平面内一点做y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数为这个点的纵坐标； 2.象限内的点的坐标特点： 第一象限内的所有点的坐标，横坐标纵坐标均大于0；可以表示为 （+，+）。 第二象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标大于0；可以表示为（－，+）。 第三象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标小于0；可以表示为（－，－）。 第四象限内的所有点的坐标，横坐标大于0，纵坐标小于0；可以表示为（+，－）。 3.坐标轴上的点的坐标特点： ①x轴上的所有点的纵坐标等于 0 ，可表示为（x，0）。 ②y轴上的所有点的横坐标等于 0 ，可表示为（0，y）。 4.象限角平分线上的点的坐标特点： ①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 相等 。 ②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 互为相反数 。 5.平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的所有点的坐标 纵坐标 相等。 6.平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的所有点的坐标 横坐标 相等。 7.点到坐标轴的距离： 点到横坐标轴的距离等于该点的 纵坐标的绝对值 。 点到纵坐标轴的距离等于该点的 横坐标的绝对值 。 【必考点2 坐标轴上的点的坐标特征】 【例1】若点A（a，b）在y轴上，则点B（﹣1，ab）在（　　） A．y轴的正半轴上 B．y轴的负半轴上 C．x轴的正半轴上 D．x轴的负半轴上 【分析】根据y轴上点的横坐标为0得出a＝0，继而得出ab＝0，再根据点B的坐标即可判断． 【解答】解：∵点A（a，b）在y轴上， ∴a＝0， ∴ab＝0， ∴点B的坐标是（﹣1，0）， ∴点B（﹣1，ab）在x轴的负半轴上， 故选：D． 【变式1】已知直角坐标系内有一点M（a，b），且ab＝0，则点M的位置一定在（　　） A．原点上 B．x轴上 C．y轴上 D．坐标轴上 【分析】根据坐标轴上的点的特征：至少一个坐标为0解答． 【解答】解：若ab＝0，则a＝0，或b＝0，或a，b均为0． 当a＝0，M在y轴上； 当b＝0，M在x轴上； 当a，b均为0，M在原点； 即点M在坐标轴上． 故选：D． 【变式2】点M（1﹣m，1+m）在x轴上，点N（n+2，n﹣2）在y轴上，那么m+n的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1 【分析】根据x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0列方程求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可解答． 【解答】解：∵点M（1﹣m，1+m）在x轴上， ∴1+m＝0， ∴m＝﹣1， ∵点N（n+2，n﹣2）在y轴上， ∴n+2＝0， ∴n＝﹣2， ∴m+n＝﹣1+（﹣2）＝﹣3， 故选：A． 【变式3】已知点A（a﹣1，2b﹣4）在y轴上，点B（3a﹣6，b+4）在x轴上，则点C（a，b）的坐标为（　　） A．（1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（﹣2，2） D．（﹣4，﹣2） 【分析】在y轴上的点横坐标为0，在x轴上的点的纵坐标是0，据此进行解答即可． 【解答】解：由条件可知：a﹣1＝0，b+4＝0， 解得a＝1，b＝﹣4， ∴C（1，﹣4）， 故选：A． 【必考点3 象限角平分线上的点的坐标特征】 【例1】在平面直角坐标系中，点A在第二、四象限的角平分线上，且到x轴的距离为4，则点A的坐标为　 ． 【分析】根据平面直角坐标系中，第二、四象限的角平分线上的点横、纵坐标互为相反数，即可解答． 【解答】解：在平面直角坐标系中，已知点M在第二、四象限的角平分线上，且点M距离x轴的距离为4，则点M的坐标为（4，﹣4）或（﹣4，4）， 故答案为：（4，﹣4）或（﹣4，4）． 【变式1】已知点P（b+3，2b﹣1）在一、三象限的角平分线上，则b＝ 　 　． 【分析】一、三象限的角平分线上的点的坐标特征为横纵坐标相等，即可得出答案． 【解答】解：∵点P（b+3，2b﹣1）在一、三象限的角平分线上， ∴b+3＝2b﹣1， ∴b＝4． 故答案为：4． 【变式2】点A（2y+7，y﹣1）在第二、四象限的角平分线上，则y＝　 　． 【分析】根据二、四象限的角平分线上的点的特征即可得出答案． 【解答】解：∵点A（2y+7，y﹣1）在第二、四象限的角平分线上， ∴（2y+7）+（y﹣1）＝0， ∴y＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【变式3】已知点P、Q的坐标分别为（2m﹣5，m﹣1）、（n+2，2n﹣1），若点P在第二、四象限的角平分线上，点Q在第一、三象限的角平分线上，则mn的值为　 　． 【分析】根据一、三象限的角平分线上各点的横纵坐标相；第二、四象限的角平分线上个点的横纵坐标互为相反数求解即可． 【解答】解：∵点P（2m﹣5，m﹣1）在第二、四象限的角平分线上， ∴2m﹣5+m﹣1＝0． 解得：m＝2． ∵点Q（n+2，2n﹣1）在第一、三象限的角平分线上， ∴n+2＝2n﹣1． 解得：n＝3． ∴mn＝23＝8． 故答案为：8． 【必考点4 平行与坐标轴的直线上的点的坐标特征】 【例1】已知点A（a﹣2，a+1），B（2，3），且直线AB∥y轴，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平行于y轴的直线上的点纵坐标相同进行求解即可． 【解答】解：由题意可得：a﹣2＝2， ∴a＝4． 故选：D． 【变式1】已知点A（﹣1，3）和点B（3，m﹣1），如果直线AB⊥y轴，那么m的值为（　　） A．1 B．﹣4 C．﹣1 D．4 【分析】根据A、B纵坐标相同，得m﹣1＝3，即可求得m的值． 【解答】解：由条件可知直线AB上所有点的纵坐标相同， ∴m﹣1＝3， 解得：m＝4； 故选：D． 【变式2】已知点P（4，a+1）与点Q（﹣5，7﹣a）的连线平行于x轴，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据平行于x轴的直线上点的坐标特征得到a+1＝7﹣a，然后解一元一次方程即可． 【解答】解：∵PQ∥x轴， ∴点P和点Q的纵坐标相同， 即a+1＝7﹣a， ∴a＝3． 故选：B． 【变式3】若点A的坐标是（2，﹣1），AB＝4，且AB平行于y轴，则点B的坐标为（　　） A．（2，﹣5） B．（6，﹣1）或（﹣2，﹣1） C．（2，3） D．（2，3）或（2，﹣5） 【分析】直接利用坐标轴上点的坐标特点以及平行于坐标轴的直线上点的关系分别分析得出答案． 【解答】解：已知点A（2，﹣1），AB∥y轴，且AB＝4，则B点的坐标为（2，3）或（2，﹣5）， 故选：D． 【必考点5 点到坐标轴的距离】 【例1】已知点M（3a﹣2，a+6），若点M到x轴、y轴的距离相等，则点M的坐标为（　　） A．（10，﹣10） B．（﹣5，5） C．（10，10）或（﹣5，5） D．（﹣10，﹣10）或（﹣5，﹣5） 【分析】首先根据点M到x轴、y轴的距离相等，可解得a＝4或a＝﹣1，然后确定点M的坐标即可． 【解答】解：根据题意，点M到x轴、y轴的距离相等， 则有|3a﹣2|＝|a+6|， ∴3a﹣2＝a+6或3a﹣2＝﹣（a+6）， 解得a＝4或a＝﹣1， 当a＝4时，3a﹣2＝10，a+6＝10，即M（10，10）， 当a＝﹣1时，3a﹣2＝﹣5，a+6＝5，即M（﹣5，5）， 所以，点M的坐标为（10，10）或（﹣5，5）． 故选：C． 【例2】在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，PQ平行于x轴，PQ＝4，则点Q的坐标是（　　） A．（6，﹣3）或（﹣2，﹣3） B．（6，﹣3） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）或（7，﹣2） 【分析】先根据题意得出P点坐标，根据PQ平行于x轴设出Q点的坐标，进而可得出结论． 【解答】解：∵第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2， ∴P（2，﹣3）， ∵PQ平行于x轴， ∴设Q（x，﹣3）， ∵PQ＝4， ∴|x﹣2|＝4， ∴x＝6或x＝﹣2， ∴Q（6，﹣3）或（﹣2，﹣3）． 故选：A． 【变式1】已知点P（a，b）到x轴的距离是2，到y轴的距离是5，且|a﹣b|＝a﹣b，则P点的坐标是（　　） A．（5，2） B．（2，﹣5） C．（5，2）或（5，﹣2） D．（2，﹣5）或（5，2） 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，由绝对值的性质求出a、b的值，然后写出点P的坐标即可． 【解答】解：∵点P（a，b）到x轴的距离是2，到y轴的距离是5， ∴|b|＝2，|a|＝5， 则a＝±5，b＝±2， 又∵|a﹣b|＝a﹣b， ∴a﹣b≥0，即a≥b， ∴a＝5，b＝2或b＝﹣2， 则点P的坐标为（5，2）或（5，﹣2）， 故选：C． 【变式2】已知点P（2a，1﹣3a）在第二象限，且点P到x轴的距离与到y轴的距离之和是11，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．3 【分析】根据第二象限的点的坐标特征，得到2a＜0，1﹣3a＞0，再结合“点P到x轴的距离与到y轴的距离之和是11”，列出方程求出a的值即可解答． 【解答】解：由条件可知2a＜0，1﹣3a＞0， ∴点P到x轴的距离为|1﹣3a|＝1﹣3a，到y轴的距离为|2a|＝﹣2a， 由题意得，1﹣3a﹣2a＝11， 解得：a＝﹣2． 故选：C． 【变式3】在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，PQ∥x轴，若PQ＝4，则点Q的坐标是（　　） A．（6，﹣3）或（﹣2，﹣3） B．（6，3）或（﹣2，3） C．（2，1）或（2，﹣7） D．（﹣1，﹣2）或（7，﹣2） 【分析】先根据题意得出P点坐标，根据PQ∥x轴设出Q点的坐标，进而可得出结论． 【解答】解：由条件可知P（2，﹣3）， ∵PQ∥x轴， ∴设Q（m，﹣3）， 若PQ＝4， 则|m﹣2|＝4， 解得：m＝6或m＝﹣2， ∴点Q的坐标为（6，﹣3）或（﹣2，﹣3）， 故选：A． 【必考点6 坐标系中有关点的新定义问题】 【例1】已知点P的坐标为（a，b），其中a，b均为实数，若a，b满足3a＝2b+5，则称点P为“和谐点”．若点M（m+1，3m﹣7）是“和谐点”，则点M所在的象限是（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【分析】根据“和谐点”的定义列出关于m的方程，然后求得m的值，进而确定点M的坐标，最后确定其所在的象限即可． 【解答】解：根据题意可知，点M（m+1，3m﹣7）是“和谐点”， ∴3（m+1）＝2（3m﹣7）+5， 3m+3＝6m﹣14+5， 解得：m＝4， ∴m+1＝4+1＝5，3m﹣7＝3×4﹣7＝12﹣7＝5， ∴M（5，5） ∴点M在第一象限． 故选：D． 【变式1】在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如图中的P，Q两点即为“等距点”．若点A的坐标为（﹣3，1），点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为（　　） A．（3，9） B．（﹣3，3） C．（﹣9，﹣3） D．（﹣9，3） 【分析】先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据”等距点“概念进行解答即可． 【解答】解：∵点A的坐标为（﹣3，1），到x、y轴的距离中的最大值等于3， ∴点B坐标中到x、y轴的距离中，至少有一个为3的点， 如果m＝3时，点B坐标为（3，9）； 如果m＝﹣3时，点B坐标为（﹣3，3）； 如果m+6＝3时，点B坐标为（﹣3，3）； 如果m+6＝﹣3时，点B坐标为（﹣9，﹣3）， 这些点中与A符合“等距点”的是：（﹣3，3）， 故选：B． 【变式2】若点A（x，y）的坐标满足等式x+y﹣xy＝0，则称该点A为“和谐点”．若某个“和谐点”到x轴的距离为4，则该点的坐标为（　　） A． 或（2，2） B． 或 C． 或（﹣2，﹣2） D． 或 【分析】根据到x轴的距离为4，求出y的值，即可表示出该点的坐标． 【解答】解：∵到x轴的距离为4， ∴y＝4或y＝﹣4， 当y＝4时， x+y﹣xy＝x+4﹣4x＝0， 解得x， ∴该点的坐标为（，4）； 当y＝﹣4时， x+y﹣xy＝x﹣4+4x＝0， 解得x， ∴该点的坐标为（，﹣4）． 故选：B． 【变式3】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣3，2）的“短距”为 　 　． （2）若点B（3a﹣1，5）是“完美点”，求a的值． （3）若点C（9﹣2b，﹣5）是“完美点”，求点D（﹣6，2b﹣1）的“短距”． 【分析】（1）根据短距的定义，进行判断即可； （2）根据完美点的定义，列出方程进行求解即可； （3）根据完美点的定义，求出b的值，进而求出D点坐标，进而求出点D的短距即可． 【解答】解：（1）点A（﹣3，2）的“短距”为2， 故答案为：2； （2）∵点B（3a﹣1，5）是“完美点”， ∴|3a﹣1|＝5， ∴3a﹣1＝5 或 3a﹣1＝﹣5， 解得a＝2或； （3）由题意，得|9﹣2b|＝5， ∴9﹣2b＝5或9﹣2b＝﹣5， 解得b＝2或b＝7， 当b＝2时，点D（﹣6，3）， ∵|﹣6|＝6，6＞3， ∴“短距”为3； 当b＝7时，点D（﹣6，13）， ∵|﹣6|＝6，13＞6， ∴“短距”为6． 综上所述，点D（﹣6，2b﹣1）的“短距”为3或6． 【必考点7 建立平面直角坐标系求点的坐标】 【例1】如图，在网格图中，若点A的坐标表示为（0，﹣1），点B坐标表示为（﹣3，0），则点C的坐标为（　　） A．（4，2） B．（﹣4，2） C．（4，﹣2） D．（﹣4，﹣2） 【分析】根据题意建立适当的平面直角坐标系，即可解答． 【解答】解：根据题意建立如图所示的直角坐标系： ∴点C的坐标为（﹣4，2）， 故选：B． 【变式1】如图是象棋的对弈图（部分），如果棋子“帅”在点（0，﹣3），棋子“仕”在点（﹣1，﹣3），则棋子“马”所在点的坐标是（　　） A．（3，0） B．（0，﹣3） C．（0，3） D．（﹣3，0） 【分析】直接利用已知点坐标确定原点位置，进而建立平面直角坐标系进而得出答案． 【解答】解：如图所示：棋子“马”所在点的坐标是（﹣3，0）， 故选：D． 【变式2】如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），则叶杆“底部”点C的坐标为（　　） A．（2，﹣2） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（3，﹣3） 【分析】根据A，B的坐标确定出坐标轴的位置，点C的坐标可得． 【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0）， ∴得出坐标轴如图所示位置： ∴点C的坐标为（2，﹣3）． 故选：B． 【变式3】五子连珠棋和象棋，围棋一样，深受广大棋友的喜爱，其规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向（横向，竖向或者是斜着的方向）上连成五子者为胜．如图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图，甲执黑子先行，乙执白子后走．若白①的位置是（0，3），白②的位置是（3，1）． （1）请根据题意，画出平面直角坐标系xOy； （2）若甲的下一步落子可以在某个方向上连成四子，请写出符合题意得的其中两个落子处的坐标． 【分析】（1）根据白①的位置是（0，3），画出直角坐标系即可； （2）根据五子连棋的规则，据此即可确定点的坐标． 【解答】解：（1）如图： （2）若甲的下一步落子可以在某个方向上连成四子，则符合题意的落子处的坐标可以为（6，2）或（5，4）或（4，4）． 故答案为：（5，4）或（4，4）（答案不唯一）． 【变式4】围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为A（﹣2，4），B（1，2）． （1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （2）分别写出C、D两颗棋子的坐标； （3）有一颗黑色棋子E的坐标为（3，﹣1），请在图中画出黑色棋子E． 【分析】（1）利用A、B点坐标画出对应的直角坐标系； （2）根据点的位置写出坐标即可； （3）根据点的坐标作出点E的位置即可． 【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系； （2）点C的坐标（2，1），点D的坐标（﹣2，﹣1）； （3）如图，点E即为所求． 【必考点8 平面直角坐标系内点的坐标综合】 【例1】在平面直角坐标系中，已知点P（2a﹣6，a+3）． （1）若点P在y轴上，求点P的坐标； （2）若点P到x轴的距离等于到y轴的距离，求点P的坐标； （3）若点P的纵坐标比横坐标大5，平面直角坐标系内另有一点Q，满足PQ∥x轴，且PQ＝4，求点Q的坐标． 【分析】（1）根据y轴上点的横坐标为0即可求解； （2）根据到两坐标轴的距离相等，则点P的横纵何极的绝对值相等即可求解； （3）先由点P的纵坐标比横坐标大5求得a值，再根据平行于x轴的纵坐标相等的特点并结合线段的距离表示法即可求解． 【解答】解：（1）∵点P在y轴上， ∴2a﹣6＝0，解得a＝3． ∴a+3＝6， ∴P（0，6） （2）根据题意得：|2a﹣6|＝|a+3|， ∴2a﹣6＝a+3或2a﹣6＝﹣（a+3） 解得：a＝9或a＝1， 当a＝9时，2a﹣6＝12，a+3＝12，此时P（12，12）； 当a＝1时，2a﹣6＝﹣4，a+3＝4，此时P（﹣4，4）， 故点P的坐标是（12，12）或（﹣4，4）． （3）依据题意：（a+3）﹣（2a﹣6）＝5， 解得：a＝4． 此时，2a﹣6＝2，a+3＝7， ∴点P（2，7）． ∴PQ∥x轴，PQ＝4， ∴Q（2±4，7）， 即点Q的坐标是（6，7）或（﹣2，7）． 【变式1】已知点A（2a+3，﹣a），B（a﹣2，1）． （1）若点A在第一象限的角平分线上时，求a的值； （2）若点A到y轴的距离是B到x轴的距离的3倍，求B点坐标； （3）若线段AB∥y轴，求点A，B的坐标及线段AB的长． 【分析】（1）根据第一象限的角平分线上点的横纵坐标相等得出关于a的方程，解之可得； （2）根据点A到y轴的距离是B到x轴的距离的3倍得出关于a的方程，解之可得a再写出坐标即可； （3）由AB∥y轴知横坐标相等求出a的值，再得出点A，B的坐标，从而求得AB的长度． 【解答】（1）已知点A（2a+3，﹣a）， ∵点A在第一象限的角平分线上， ∴2a+3＝﹣a， 解得：a＝﹣1． （2）由题意可得：2a+3＝3或2a+3＝﹣3， 解得a＝0或a＝﹣3， ∴B点坐标为（﹣2，1）或（﹣5，1）． （3）由题意可得： ∴2a+3＝a﹣2， 解得a＝﹣5， ∴点A（﹣7，5），B（﹣7，1）， ∴线段AB的长为|5﹣1|＝4． 【变式2】已知平面直角坐标系中一点P（m﹣4，2m+1），解答下列问题： （1）若点P在y轴上，求出点P的坐标； （2）若点P在第二象限，且它到x轴的距离是它到y轴距离的二倍，求出m的值； （3）若PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣3），求出线段PA的长度． 【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征即可解决问题． （2）根据题意可建立关于m的方程，据此可解决问题． （3）根据平行于x轴的直线上点的坐标特征，可求出m的值，进而得出点P的坐标，据此可解决问题． 【解答】解：（1）∵点P在y轴上， ∴m﹣4＝0， 解得m＝4， ∴2m+1＝9， ∴点P的坐标为（0，9）． （2）∵点P在第二象限， ∴m﹣4＜0，2m+1＞0， ∴点P到x轴的距离可表示为2m+1，点P到y轴的距离可表示为﹣m+4， ∴2m+1＝2（﹣m+4）， 解得m． （3）∵PA∥x轴， ∴2m+1＝﹣3， 解得m＝﹣2， ∴m﹣4＝﹣6， ∴点P的坐标为（﹣6，﹣3）． ∴PA＝﹣4﹣（﹣6）＝2． 【变式3】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2+a，2a﹣6）． （1）若点A在y轴上，求点A的坐标； （2）点A的纵坐标比横坐标大3，求点A的坐标； （3）若点B（2，14），直线AB∥x轴，求a的值； （4）若点A在第四象限，且到两坐标轴距离之和为9，求a的值； （5）点C的坐标为（4，b+1），若直线AC∥y轴，且线段AC的长为5，求b的值及点C的坐标． 【分析】（1）根据y轴上的点横坐标为0列方程可解答； （2）根据纵坐标＝横坐标+3列方程可解答； （3）根据平行于x轴的直线纵坐标相等列方程可解答； （4）先根据第四象限的特征确定2+a＞0，2a﹣6＜0，再由已知列方程可解答； （5）根据平行于y轴的直线上的点横坐标相等列方程可得a＝2，由AC＝5分两种情况确定点C的坐标，最后可得b的值． 【解答】解：（1）由题意得：2+a＝0， ∴a＝﹣2， ∴A的坐标为（0，﹣10）； （2）由题意得：2a﹣6＝2+a+3， ∴a＝11， ∴A的坐标为（13，16）； （3）由题意得：2a﹣6＝14， ∴a＝10； （4）∵点A（2+a，2a﹣6）在第四象限， ∴2+a＞0，2a﹣6＜0， ∵点A到两坐标轴距离之和为9， ∴|2+a|+|2a﹣6|＝9， ∴2+a+6﹣2a＝9， ∴a＝﹣1； （5）∵点A的坐标为（2+a，2a﹣6），点C的坐标为（4，b+1），直线AC∥y轴， ∴2+a＝4， ∴a＝2， ∴A的坐标为（4，﹣2）， ∵AC＝5， ∴C的坐标为（4，﹣7）或（4，3）， ∴b+1＝﹣7或b+1＝3， ∴b＝﹣8或2． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$