精品解析：河南省开封市杞县2024- 2025 学年九年级下学期第一次数学试题试卷

2024-2025学年度九年级第一次质量检测 数学 九年级全部内容 注意事项：共三大题，23小题，满分120分，答题时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果两个相似三角形的对应边之比是．那么它们的面积之比是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各项调查适合普查的是（ ） A. 某班每位同学的身高情况 B. 现有微生物种类 C. 某市家庭年收支情况 D. 某品牌台灯的使用寿命 5. 用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图，，为边的中点，点、对应的刻度分别为，．则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 实数根的个数由的值确定 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等实数根 D. 没有实数根 7. 如图，为的直径，点在圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 现有张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外其他完全相同．把这张卡片背面朝上，洗匀放好．小明先从中随机抽取张，记下描述的变化后放回．洗匀，再从中随机抽取张，则这两次抽取的卡片正面图案描述的变化恰好都是化学变化的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线如图所示，则下列结论不正确是（ ） A. B. C. D. 为任意实数 10. 依次连接周长为的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形，，按这样的规律，第个等边三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 成语“守株待兔”反映的事件是_________事件（填必然、不可能或随机）． 12. 铁道口栏杆的短臂长为0.8米，长臂长为8米，当短臂端点下降0.4米时，长臂端点升高______米．（杆的粗细忽略不计）． 13. 若抛物线与轴其中一个交点的坐标是，则的值为___________． 14. 如图，为半圆的直径，为半圆上的一点，，垂足为，延长与半圆交于点．若，则图中阴影部分的面积为___________． 15. 如图，在中，，，．为上的一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点，，则线段的长是___________，线段的长的最大值是___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）如图，是的边上的一点，连接，已知．求证：． 17 如图，抛物线经过点． （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标． （2）当时，求的取值范围． 18. 某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：．篮球，．足球，．排球，．羽毛球，．乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图．某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题． 学生最喜欢球类运动情况扇形统计图 （1）本次调查样本容量是___________，并补全条形统计图． （2）扇形统计图中所对应的圆心角的度数为___________． （3）若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“．篮球”的学生人数． 19. 某网店销售台灯，成本为每盏元，销售大数据分析表明：当每盏台灯的售价为元时，平均每周售出盏；当每盏台灯的售价每下降元时，每周多售出盏． （1）若每盏台灯的售价为元，则每周可售出___________盏台灯． （2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销．当每盏台灯的售价定为多少元时，销售该种台灯每周的利润恰好为元？ 20. 郑州二七纪念塔位于郑州市二七广场，是为纪念京汉铁路工人大罢工事件，发扬“二七”革命传统而修建的纪念性建筑．某校“综合实践”小组在项目式学习中，现场对二七纪念塔的高度进行了测量．如图，小组成员在处用高为的测角仪测得塔顶的仰角是，往前走到达处测得塔顶A的仰角是，测量点与塔底部在同一水平线上．（参考数据：．tan） （1）根据上述测量方案和数据，求二七纪念塔的高度（结果精确到）． （2）该小组上网搜索后发现．二七纪念塔的高约，请计算本次测量的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 21. 如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为，交于点，延长与的延长线交于点． （1）求证：为的切线． （2）若，求线段的长． 22. 如图，一小球从斜坡点弹出，小球的飞行路线可以用抛物线（，是常数、）刻画，斜坡可以用直线刻画．小球飞行的水平距离（单位：）与小球飞行的高度（单位：）之间的变化规律如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 ．．． 0 6 8 ．．． 请根据相关信息，回答下列问题． （1）①填空：___________，___________ ②填空：小球飞行的最大高度为___________m． ③小球的落点是A，求点A的坐标． （2）小球在飞行过程中飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间的关系式是，当小球飞行到最高点时，此时的值是多少？ 23. 综合与实践在中，． 问题发现 （1）如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与之间的数量关系是___________，与的位置关系是___________． 类比探究 （2）如图2，将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与之间的数量关系、位置关系与（1）中的结论是否一致？请说明理由． 迁移应用 （3）如图3，将绕点旋转一定的角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度九年级第一次质量检测 数学 九年级全部内容 注意事项：共三大题，23小题，满分120分，答题时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，根据二次函数的定义“形如（为常数，且）的函数叫做二次函数”进行判断即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是二次函数，符合题意； 、是一次函数，不合题意； 、是反比例函数，不合题意； 、是正比例函数，不合题意； 故选：． 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，以及二次根式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则进行判断．由二次根式的加减运算、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、、不能合并，故C错误； D、，故D错误； 故选：B． 3. 如果两个相似三角形的对应边之比是．那么它们的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵相似三角形的面积之比等于相似比的平方， ∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们的面积的比是， 故选：D． 4. 下列各项调查适合普查的是（ ） A. 某班每位同学的身高情况 B. 现有微生物种类 C. 某市家庭年收支情况 D. 某品牌台灯的使用寿命 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了抽样调查和全面调查，熟练掌握选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，掌握这些特点是解决此题的关键，由抽样调查和全面调查的特点结合实际问题，逐一判定即可． 【详解】 解：A、 某班每位同学的身高情况，适合普查，符合题意； B、现有微生物种类，适合抽样调查，不符合题意； C、某市家庭年收支情况，适合抽样调查，不符合题意； D、某品牌台灯的使用寿命，适合抽样调查，不符合题意； 故选：A． 5. 用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图，，为边的中点，点、对应的刻度分别为，．则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理，根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ，为边的中点， ， 故选：C． 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 实数根的个数由的值确定 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：关于的一元二次方程根的判别式为， 则这个方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 7. 如图，为的直径，点在圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角等于，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解答本题的关键． 由是直径，，可得，根据四边形是圆的内接四边形，所以，即可求解． 【详解】解：为的直径， ， ， ， 四边形是圆的内接四边形， ， 故选：C． 8. 现有张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外其他完全相同．把这张卡片背面朝上，洗匀放好．小明先从中随机抽取张，记下描述的变化后放回．洗匀，再从中随机抽取张，则这两次抽取的卡片正面图案描述的变化恰好都是化学变化的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，将正面图案是铁器生锈、陶瓷烧制、冰雪融化的卡片分别用，，表示．根据题意画出树状图，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】解：将正面图案是铁器生锈、陶瓷烧制、冰雪融化的卡片分别用，，表示． 根据题意，画树状图如下： 由树状图，可知共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面图案描述的变化恰好都是化学变化的结果有种， ， 故选：D． 9. 已知抛物线如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 为任意实数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B，由抛物线与x轴交两个点判断C，由当时，函数有最大值，可判断选项D． 【详解】解：A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， 抛物线的与x轴的交点是：和， ∴对称轴为：直线， ， ， ，故选项A正确． ∵， ∴，故选项B正确． 抛物线与x轴有两个交点， ∴，故选项C正确． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，， ， ，故选项D错误． 故选：D． 10. 依次连接周长为的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形，，按这样的规律，第个等边三角形的周长为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理及应用，规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由题意可得第二个三角形的周长为，同理可得，第三个三角形的周长为，即可得到规律，从而可得第个等边三角形的周长． 【详解】解：如图所示： 、、分别为、、的中点， 、、都为中位线， ，，， 的周长， 第二个三角形的周长为， 同理可得，第三个三角形的周长为， ， 第个等边三角形的周长为， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 成语“守株待兔”反映的事件是_________事件（填必然、不可能或随机）． 【答案】随机 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，熟知事件的分类方法是解题的关键：在一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，在一定条件下，不可能发生的事件是不可能事件，在一定条件下，可能发生也有可能不发生的事件是随机事件． 【详解】解：由题意得，成语“守株待兔”反映的事件是随机事件， 故答案为：随机． 12. 铁道口栏杆的短臂长为0.8米，长臂长为8米，当短臂端点下降0.4米时，长臂端点升高______米．（杆的粗细忽略不计）． 【答案】4 【解析】 【分析】如图所示，由相似三角形的判定与性质，结合题意可知，从而，代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，， ， ，即，解得（米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查利用相似三角形的判定与性质解决实际问题，读懂题意，准确找到相似三角形列出相似比是解决问题的关键． 13. 若抛物线与轴其中一个交点的坐标是，则的值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 若抛物线与轴其中一个交点的坐标是，则，将化为，再整体代入求值． 【详解】解：若抛物线与轴其中一个交点的坐标是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 14. 如图，为半圆的直径，为半圆上的一点，，垂足为，延长与半圆交于点．若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不规则图形的面积，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等． 先根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出和，再根据阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：为半圆的直径，， ， ，， ，， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，．为上的一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点，，则线段的长是___________，线段的长的最大值是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，关键掌握角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，将的最大值转化为最小是解决本题的关键． 先求出的长，过点F作于H，连接，若要使最大，则需要最小，然后根据垂线段最短列式求解即可． 【详解】解：连接，过点F作于H， ，，， ． 垂直平分， ． 若要使最大，则需要最小， 设，则， ， ． (垂线段最短)， ， 解得． 最小值为，的最大值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）如图，是的边上的一点，连接，已知．求证：． 【答案】（1）（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先去括号并化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据两组对应边成比例，且夹角相等判定两个三角形相似． 【详解】解：（1） ； （2）证明：∵，， ． 【点睛】此题考查二次根式的混合运算，相似三角形的判定，熟练掌握二次根式的混合运算法则和相似三角形的判定定理是解题的关键． 17. 如图，抛物线经过点． （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标． （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，把代入得，解得， 可得，即可得到抛物线的顶点坐标； （2）根据题意，由题意：，得到抛物线开口向下，当时，有最大值，当时，，当时，，进而可以得出答案． 【小问1详解】 解：把代入得： ， 解得：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由题意：， ∴抛物线开口向下，当时，有最大值， 当时，， 当时，， ∴当时，求的取值范围是． 18. 某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：．篮球，．足球，．排球，．羽毛球，．乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图．某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题． 学生最喜欢球类运动情况扇形统计图 （1）本次调查的样本容量是___________，并补全条形统计图． （2）扇形统计图中所对应的圆心角的度数为___________． （3）若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“．篮球”的学生人数． 【答案】（1），补图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，样本估计总体，从两个统计图中获取数量之间的关系，和样本估计总体是解决问题的关键． （1）首先根据项目的人数和百分比求出总人数，计算出项目的人数，进而补全条形统计图； （2）用乘所占比例可得答案； （3）用全校人数乘样本中喜欢“．篮球”的学生人数的百分比得出人数． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量是， 项目的人数为：， 补全条形统计图如下： 故答案为：； 【小问2详解】 解：扇形统计图中对应圆心角的度数为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校最喜欢“．篮球”的学生人数为名． 19. 某网店销售台灯，成本为每盏元，销售大数据分析表明：当每盏台灯的售价为元时，平均每周售出盏；当每盏台灯的售价每下降元时，每周多售出盏． （1）若每盏台灯的售价为元，则每周可售出___________盏台灯． （2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销．当每盏台灯的售价定为多少元时，销售该种台灯每周的利润恰好为元？ 【答案】（1） （2）当每盏台灯的售价定为元时，销售该种台灯每周的利润恰好为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）根据当每盏台灯的售价每下降元时，每周多售出盏，可求出结论； （2）设每盏台灯的售价为元，则每盏台灯的利润为元，每周的销售量为盏，根据总利润每盏台灯的利润每周的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：（盏）， 故答案为：； 【小问2详解】 设每盏台灯的售价为元，则每盏台灯的利润为元，每周的销售量为盏， 依题意得： ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：当每盏台灯的售价定为元时，销售该种台灯每周的利润恰好为元． 20. 郑州二七纪念塔位于郑州市二七广场，是为纪念京汉铁路工人大罢工事件，发扬“二七”革命传统而修建的纪念性建筑．某校“综合实践”小组在项目式学习中，现场对二七纪念塔的高度进行了测量．如图，小组成员在处用高为的测角仪测得塔顶的仰角是，往前走到达处测得塔顶A的仰角是，测量点与塔底部在同一水平线上．（参考数据：．tan） （1）根据上述测量方案和数据，求二七纪念塔的高度（结果精确到）． （2）该小组上网搜索后发现．二七纪念塔的高约，请计算本次测量的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 【答案】（1）二七纪念塔的高度约为 （2）误差为，减小误差建议：可以通过多次测量求平均值减小误差．（建议不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长交于点，设．利用直角三角形的性质表示出．，然后在利用直角三角形三角函数得出，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）根据（1）的结果计算即可． 【小问1详解】 如图，延长交于点，根据题意得四边形和四边形均为矩形． 设． 在Rt中，， ． ， ． 在中，，， ， 解得． ， ． 答：二七纪念塔的高度约为． 【小问2详解】 误差为． 减小误差的建议：可以通过多次测量求平均值减小误差．（建议不唯一，合理即可） 21. 如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为，交于点，延长与的延长线交于点． （1）求证：为的切线． （2）若，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，由垂径定理得是的中垂线，推出，再证，可得，即可证明为的切线． （2）先用勾股定理解，再证，根据相似三角形对应边成比例列式，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 为的切线，为切点， ， ，O为圆心， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 为的半径， 为切线． 【小问2详解】 解： 为的切线， ， ，， ， ，， ， ， ， 解得． 【点睛】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，切线的性质定理和判定定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 22. 如图，一小球从斜坡点弹出，小球的飞行路线可以用抛物线（，是常数、）刻画，斜坡可以用直线刻画．小球飞行的水平距离（单位：）与小球飞行的高度（单位：）之间的变化规律如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 ．．． 0 6 8 ．．． 请根据相关信息，回答下列问题． （1）①填空：___________，___________ ②填空：小球飞行的最大高度为___________m． ③小球的落点是A，求点A的坐标． （2）小球在飞行过程中的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间的关系式是，当小球飞行到最高点时，此时的值是多少？ 【答案】（1）①，；②8； ③ （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，从图象和表格中获取数据是解题的关键． （1）①由抛物线经过的点可建立关于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值得出解析式，然后令，即可求出答案； ②将函数解析式化为顶点式即可求出答案； ③联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标； （2）将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求解． 【小问1详解】 解：①根据小球飞行的水平距离(米)与小球飞行的高度(米)的变化规律表可知，抛物线顶点坐标为， ， 解得： 二次函数解析式为， 当时，， 当时，， 故答案为：，； ②解： ∴，，． ∵，抛物线开口向下， ∴当时，有最大值． ∴小球飞行的最大高度是米． 故答案为：； ③联立得：， 解得：或， 点的坐标是； 【小问2详解】 解：， 在中，，抛物线开口向下，顶点坐标为． 当时，函数取得最大值， 所以当小球飞行到最高点时，的值是． 23. 综合与实践在中，． 问题发现 （1）如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与之间的数量关系是___________，与的位置关系是___________． 类比探究 （2）如图2，将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与之间的数量关系、位置关系与（1）中的结论是否一致？请说明理由． 迁移应用 （3）如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】（1），（2）线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致，理由见解析（3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转性质得根据勾股定理列式解得故；运用三角形内角和性质，得出，即，即可作答． （2）根据旋转性质得，根据两边成比例，夹角相等得，即，，得，则，即进行作答即可． （3）如图，过点作于点，根据勾股定理得，再证明，得，因为所以，得．即可作答． 【详解】（1）∵将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，， ∴ ∴， ∴ ∴与之间的数量关系是， 延长交于一点， ∵，， ∴， 即， ∴与的位置关系是， 故答案为：，； （2）线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致， 理由如下： 如图，延长交于点， 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到， ， ， ， ， ，． （3）如图，过点作于点， ， ， ， 又 ， ， ， 由（2）可知． 【点睛】本题考查了旋转性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$