精品解析：上海市嘉定区第一中学2024-2025学年高二下3月月考数学试题

上海市嘉定区第一中学2024-2025学年高二下3月月考数学试卷 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每题４分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 函数在处的瞬时变化率为__________． 2. 若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是_____________. 3. 若向量是直线l的一个法向量，则直线l的倾斜角为______. 4. 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是______． 5. 若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是___________. 6. 若在上最大值为，则实数的最大值为__________. 7. 若，则_____. 8. 已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离是________. 9. 已知点，，若直线：上存在点，使得，则实数的取值范围为__________. 10. 若方程有且仅有一个实数，则实数的取值范围为_________. 11. “曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为______． 12. 已知复数满足，（其中是虚数单位），则的最小值为______ 二、选择题（第13、14题每题４分，第15、16题每题5分，满分18分） 13. ，且下列式子有意义，则下列代数式中最小值为的是（ ） A. B. C. D. 14. 若函数，则等于（ ） A B. 0 C. 1 D. 2 15. 如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为（ ） A. B. C. D. 16. 已知双曲线，圆与轴的交点分别为的一个顶点和一个焦点，设分别为的左，右焦点，若为右支上任意一点，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. （1）已知关于，的方程组的解都为正数，求实数的取值范围. （2）已知，，，，试比较与大小，并说明理由 18. 已知函数，不等式的解集为. （1）求实数a，b的值； （2）若对，恒成立，求实数k的取值范围. 19. 设为实数，已知函数是奇函数． （1）求的值； （2）求证：是增函数． 20. 汽车的前灯、探照灯、反射式的天文望远镜以及日常生活中使用的手电筒，它们的反光镜都是采用旋转抛物面，即抛物线绕对称轴旋转一周而成的曲面. 这种反光镜（抛物镜面）有一个很好的光学特性：把光源放在抛物线的焦点处，经镜面反射后的光线变成了与对称轴平行的光束.现用导数的几何意义来证明这个性质. 如图所示，不妨设抛物线的焦点为. （1）求抛物线上任一点处的切线的方程，其中是该切线与轴的交点. （2）证明：，并由此说明对于抛物镜面来说，从焦点出发的入射光线经镜面反射后的反射光线一定与该镜面的对称轴（轴）平行. 21. 已知抛物线的顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点． （1）若，求线段中点到轴距离； （2）设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值； （3）已知，过点作直线分别交抛物线于两点，作直线分别交抛物线于两点，且，设直线与直线的交点为，求直线的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市嘉定区第一中学2024-2025学年高二下3月月考数学试卷 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每题４分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 函数在处的瞬时变化率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据瞬时变化率定义计算即可. 【详解】增量为． 函数的平均变化率为， 而．． 故答案为：. 2. 若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据指数函数的性质得答案. 【详解】由指数函数的性质可得 解得 故答案为： 3. 若向量是直线l的一个法向量，则直线l的倾斜角为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据法向量的定义，以及直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【详解】因为向量是直线l的一个法向量， 所以直线l的斜率，设直线l的倾斜角为， 则，又， 所以直线l的倾斜角. 故答案为：. 4. 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】由方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得，所以的取值范围是． 故答案为：. 5. 若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出分段函数的解析式，即可求出其最小值. 【详解】时，， 时，， 时，， 则， 故， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 6. 若在上的最大值为，则实数的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】解方程可得出，分、两种情况讨论，结合可求得实数的取值范围，即可得解. 【详解】由可得，解得或， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，此时； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意可得，此时，. 综上，，因此，实数的最大值为. 故答案为：. 7. 若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义求值. 【详解】由题意：， 所以. 故答案为： 8. 已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，求出抛物线的方程，再利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】因为点在抛物线上， 所以，解得， 所以抛物线，其准线方程为， 所以点到抛物线焦点的距离是， 故答案为：. 9. 已知点，，若直线：上存在点，使得，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由点到的轨迹为圆，问题转换成直线与圆有交点即可求解； 【详解】解：设点， 点，，， ，整理得，即点在圆 上， 又直线上存在点使得， 圆与直线有公共点， 圆心到直线的距离，解得， 即. 故答案为： 10. 若方程有且仅有一个实数，则实数的取值范围为_________. 【答案】或， 【解析】 【分析】分离参数，构造函数，求导得函数的单调性，即可作出函数图象，结合函数图象即可求解. 【详解】由可得， 记，则， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，且当，时， 故作出的大致图象如下： 故有且仅有一个实数，则或， 故答案为：或， 11. “曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意可得，结合对称性只研究，，作出图形即可得面积. 【详解】由可得，即， 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 根据，对称性可知，只需讨论，即可． 此时，所以， 可得轨迹在第一象限内与轴和轴所围成的面积为， 所以的面积为． 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：根据方程研究其对称性，这样只需研究，即可，分别理解和计算. 12. 已知复数满足，（其中是虚数单位），则的最小值为______ 【答案】6 【解析】 【分析】设，根据复数的几何意义可得点的轨迹是以为焦点的椭圆；设，则点的轨迹为射线，如图，结合图形可知取得最小值满足题意，结合两点坐标求距离即可求解. 【详解】设，（其中是虚数单位），在复平面的对应点， 则 ， 即点的轨迹是以为焦点的椭圆， 且该椭圆的长轴在直线上，短轴在直线上． 长半轴长为，半焦距，短半轴长为． 因为，所以（当且仅当即时等号成立）． 设在复平面的对应点为． 即点的轨迹为射线．如图， 若使得最小，则需取得最小值， 即点为椭圆在第一象限内的短轴端点，点为射线的端点时，最小． ． 故答案为：6 二、选择题（第13、14题每题４分，第15、16题每题5分，满分18分） 13. ，且下列式子有意义，则下列代数式中最小值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 详解】对于选项A，当时，，所以选项A错误， 对于选项B，易知，因为， 当且仅当，即时取等号，所以选项B正确， 对于选项C，易知，所以，则， 当且仅当，即时取等号，所以选项C错误， 对于选项D，易知，又， 当且仅当取等号，但无解， 所以，故选项D错误， 故选：B. 14. 若函数，则等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数求导法则求出导数，再代入求出导数值. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 15. 如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法，根据对称性排除CD，令，解方程排除B. 【详解】显然图象关于y轴对称，即把x换成方程不变，可知CD错误； 对于B：令，可得，解得或，不合题意； 故选：A. 16. 已知双曲线，圆与轴的交点分别为的一个顶点和一个焦点，设分别为的左，右焦点，若为右支上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出双曲线方程，令，根据双曲线定义可得：，然后利用函数的单调性即可求出结果. 【详解】圆与轴的交点分别为 故，根据双曲线定义得，即, 令，则， 又函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：先根据双曲线定义得出，再换元令，得出所求式子关于参数t的表达式，利用函数的单调性即可求得结果. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. （1）已知关于，的方程组的解都为正数，求实数的取值范围. （2）已知，，，，试比较与大小，并说明理由. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先根据方程组将，的值解出来，再根据关于，的方程组的解都为正数，即可求出实数的取值范围. （2）利用做差，比较做差结果和0的大小关系，即可得到与的大小. 【详解】（1）根据方程组，解得， 又因为关于，的方程组的解都为正数， 所以，解得，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为，，所以 又因为，， 所以，，，， 所以，即， 当且仅当时. 18. 已知函数，不等式的解集为. （1）求实数a，b的值； （2）若对，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由不等式与方程关系，根据一元二次方程的解与系数关系，可得答案； （2）根据不等式恒成立，结合二次函数的单调性求得最值，可得答案. 【小问1详解】 因为的解集为， 所以的两根为和3， 所以解得. 【小问2详解】 由（1）得， ，，即， 因为当时，单调递增， 所以，即，解得. 19. 设为实数，已知函数是奇函数． （1）求的值； （2）求证：是增函数． 【答案】（1）2 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用，求出的值，验证即可； （2）利用函数单调性的定义证明即可； 【小问1详解】 函数是奇函数， 则，解得， 经检验，当时，， 则，则为奇函数， 所以的值为2. 【小问2详解】 由（1）可知，，设， 则，因为， 所以，， 故，即， 所以是上的增函数. 20. 汽车的前灯、探照灯、反射式的天文望远镜以及日常生活中使用的手电筒，它们的反光镜都是采用旋转抛物面，即抛物线绕对称轴旋转一周而成的曲面. 这种反光镜（抛物镜面）有一个很好的光学特性：把光源放在抛物线的焦点处，经镜面反射后的光线变成了与对称轴平行的光束.现用导数的几何意义来证明这个性质. 如图所示，不妨设抛物线的焦点为. （1）求抛物线上任一点处的切线的方程，其中是该切线与轴的交点. （2）证明：，并由此说明对于抛物镜面来说，从焦点出发的入射光线经镜面反射后的反射光线一定与该镜面的对称轴（轴）平行. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过求导确定切线斜率即可求出切线的方程. （2）通过证明可得结论，利用角度转化可得，即可说明从焦点出发的入射光线经镜面反射后的反射光线一定与该镜面的对称轴（轴）平行. 【小问1详解】 当点在轴上方时，由得， ∴，故在点P处切线的斜率为， ∴所求切线方程为， 由得，. 当点在轴下方时，由得， ∴，故在点P处切线的斜率为， ∴所求切线的方程为， 由得，. 综上得，当点在轴上方时，切线方程为；当点在轴下方时，切线的方程为. 【小问2详解】 不妨设点在轴上方，要证，即证. 在直线中，令，得，即， ∴，， ∴，故. 由镜面反射得，， ∵，∴， ∴对于抛物镜面来说，从焦点出发的入射光线经镜面反射后的反射光线一定与该镜面的对称轴（轴）平行. 21. 已知抛物线的顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点． （1）若，求线段中点到轴的距离； （2）设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值； （3）已知，过点作直线分别交抛物线于两点，作直线分别交抛物线于两点，且，设直线与直线的交点为，求直线的斜率． 【答案】（1）； （2）16； （3）. 【解析】 【分析】(1) 由抛物线的定义及中点坐标公式即可求得； (2) 由题可知和到直线的距离相等．联立直线与抛物线方程，用韦达定理即可； (3) 可设的方程为，联立直线与抛物线方程可得，将其代入中即可得的方程，根据方程可看出直线恒过定点，同理直线也恒过定点，从而求得坐标，即可得斜率. 【小问1详解】 设，因为过焦点的直线交抛物线于两点，且， 所以由抛物线的性质可得，即， 因此线段中点到轴的距离为. 小问2详解】 因为顶点关于点的对称点为，所以和到直线的距离相等， 所以． 由题意可知直线的斜率不为，，设直线的方程为， 由得． 则， 因此， 故当时，四边形面积取得最小值. 【小问3详解】 由题意可知，直线的斜率不为，且点的横坐标均不为， 设的方程为, ，整理得， 设，由韦达定理， 所以，同理， 因为，所以， 即，因此， 故的方程为， 从而直线恒过定点，同理，直线恒过定点， 所以，因此，即直线的斜率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$