第12章 定义、命题、证明（思维导图+易错知识+13大考点讲练+易错真题难度拔尖练 共53题）-2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节易错考点培优讲练（新教材）

2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优易错知识讲练（新教材） 第12章 定义、命题、证明 （思维导图+易错知识+13大考点讲练+易错真题难度拔尖练 共53题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 2 易错知识点梳理精讲 2 易错知识点梳理01：定义的理解与应用 2 易错知识点梳理02：命题的构成与分类 2 易错知识点梳理03：证明的基本步骤与格式 3 易错知识点梳理04：逻辑推理与证明方法 3 易错知识点梳理05：证明中的常见错误 3 易错考点精选题讲练 3 易错考点讲练01：判断是否是命题 3 易错考点讲练02：写出命题的题设与结论 4 易错考点讲练03：判断命题真假 5 易错考点讲练04：举例说明假（真）命题 6 易错考点讲练05：写出命题的逆命题 6 易错考点讲练06：判断是否为互逆命题 7 易错考点讲练07：写出一个命题的已知、求证及证明过程 8 易错考点讲练08：已知证明过程填写理论依据 9 易错考点讲练09：举反例 11 易错考点讲练10：反证法证明中的假设 12 易错考点讲练11：用反证法证明命题 12 易错考点讲练12：定理与证明 14 易错考点讲练13：互逆定理 14 易错真题拔尖训练 15 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，易错知识点梳理，易错考点真题汇编，精选易错题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 易错知识点梳理01：定义的理解与应用 易错点： 学生可能对定义的理解不够深入，仅仅停留在表面文字上，没有真正理解其数学含义。 在应用定义解决问题时，可能会忽略定义中的某些关键条件，导致错误。 解题技巧： 深入理解定义，尝试用自己的话复述定义，确保真正掌握其数学意义。 在应用定义时，要仔细审查题目中的条件，确保所有关键条件都得到满足。 易错知识点梳理02：命题的构成与分类 易错点： 学生可能混淆命题的构成部分，如条件（前提）和结论。 在区分真命题和假命题时，可能会因为对命题的理解不够深入而判断错误。 解题技巧： 明确命题的构成部分，即条件和结论，并理解它们之间的逻辑关系。 在判断命题的真假时，要依据数学知识和逻辑推理，而不是仅凭直觉或经验。 易错知识点梳理03：证明的基本步骤与格式 易错点： 学生可能不熟悉证明的基本步骤和格式，导致证明过程混乱或不完整。 在书写证明时，可能会遗漏某些关键步骤或逻辑跳跃，导致证明不严谨。 解题技巧： 熟悉并掌握证明的基本步骤和格式，如明确命题、列出已知条件、进行逻辑推理、得出结论等。 在书写证明时，要确保每一步都有明确的依据和逻辑推理，避免逻辑跳跃和遗漏关键步骤。 易错知识点梳理04：逻辑推理与证明方法 易错点： 学生可能不熟悉常用的逻辑推理方法，如反证法、直接证明法等。 在应用逻辑推理方法时，可能会因为对方法的理解不够深入而使用错误。 解题技巧： 熟悉并掌握常用的逻辑推理方法，理解它们的适用场景和步骤。 在应用逻辑推理方法时，要确保方法的使用正确且符合题目的要求。 易错知识点梳理05：证明中的常见错误 易错点： 在证明过程中，学生可能会因为粗心大意而犯一些常见的错误，如计算错误、逻辑错误等。 在引用已知条件或定理时，可能会因为记忆不准确或理解不深入而引用错误。 解题技巧： 在证明过程中要保持细心和耐心，避免因为粗心大意而犯错。 在引用已知条件或定理时，要确保记忆准确且理解深入，避免引用错误。 易错考点讲练01：判断是否是命题 【典例易错题】（24-25七年级下·全国·课后作业）给出下列语句：①画一个角等于两个已知角的和；②钝角大于直角；③过点A画直线；④相等且互补的两个角都是直角．其中是命题的是（   ） A．①④ B．②④ C．①② D．②③ 【易错训练1】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）下列语句：①两点之间，线段最短；②不许大声讲话；③连接，两点；④鸟是动物；⑤过一点作已知直线的平行线；⑥无论为怎样的自然数，式子的值都是质数吗？其中不是命题的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【易错训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）下列句子中，哪些是命题？ （1） 今天的天气真好；（2）这本书你看完了吗？（3）如果，那么；（4）奇数不能被2整除． 易错考点讲练02：写出命题的题设与结论 【典例易错题】（24-25七年级下·全国·课后作业）指出下列命题的题设和结论： (1)如果a是有理数，那么； (2)如果，那么； (3)两直线平行，内错角相等． 【易错训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)两直线平行，同位角相等． (2)若，，则． (3)不等式的两边同乘一个负数，不等号方向改变． 【易错训练2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）阅读下面内容： “同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”两个命题中的题设，结论位置恰好对调，我们把其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 请你写出“两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则同位角必相等”的逆命题，指出逆命题的题设与结论，判断它的真假并说明理由． 易错考点讲练03：判断命题真假 【典例易错题】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图所示，若，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”对调，所得命题是真命题吗？请说明理由． 【易错训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，举出一个反例． (1)同位角相等，两直线平行； (2)相等的角是内错角； (3)如果，那么； (4)两个锐角互余． 易错考点讲练04：举例说明假（真）命题 【典例易错题】（24-25八年级上·福建漳州·期中）对假命题：“若，则”举个反例，符合要求的反例是（   ） A． B． C． D． 【易错训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）判断下列命题是真命题还是假命题．若是假命题，请举出一个反例． (1)两个锐角的和是锐角； (2)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； (3)如果，那么． 【易错训练2】（24-25八年级上·重庆南岸·期末）以下四个例子中，不能说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（   ） A．设这个角是，它的余角是，但 B．设这个角是，它的余角是，但 C．设这个角是，它的余角是，但 D．设这个角是，它的余角是，但 易错考点讲练05：写出命题的逆命题 【典例易错题】（2025七年级下·全国·专题练习）给出下列命题：①若，则；②锐角都相等；③一个角的补角大于这个角；④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．以上命题的逆命题是假命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【易错训练1】（2025七年级下·江苏泰州·专题练习）有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果，那么；④如果两个有理数相等，那么它们的平方相等．它们的逆命题成立的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【易错训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．对顶角相等 易错考点讲练06：判断是否为互逆命题 【典例易错题】（21-22八年级下·陕西榆林·期末）命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【易错训练1】（21-22七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，已知直线，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：． 解：∵，（已知） ∴∠AMN＝∠DNM（ ） ∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知） ∴∠EMN＝ ∠AMN， ∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义） ∴∠EMN＝∠FNM（等量代换） ∴（ ） （1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 角的平分线互相 ． （2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来． 【易错训练2】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2） 你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 易错考点讲练07：写出一个命题的已知、求证及证明过程 【典例易错题】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【易错训练1】（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【易错训练2】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 易错考点讲练08：已知证明过程填写理论依据 【典例易错题】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【易错训练1】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【易错训练2】（21-22七年级下·山东济宁·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 易错考点讲练09：举反例 【典例易错题】（24-25八年级上·福建泉州·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ）． A． B． C． D． 【易错训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知命题“对顶角相等”． (1)此命题是真命题还是假命题？如果是真命题．请给予说明；如果是假命题，请举出反例． (2)写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予说明；如果是假命题，请举出反例． 【易错训练2】（24-25八年级上·全国·课后作业）判断下列命题是真命题，还是假命题，对于假命题请举出反例． (1)平行于同一条直线的两条直线互相平行； (2)如果，那么． 易错考点讲练10：反证法证明中的假设 【典例易错题】（11-12八年级下·浙江宁波·期中）用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中（    ） A．每一个内角都小于 B．每一个内角都大于 C．有一个内角大于 D．有一个内角小于 【易错训练1】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）选择用反证法证明“已知：在中，，求证： ，中至少有一个角不大于时，应先假设（    ） A．， B．， C．， D．， 【易错训练2】（18-19八年级下·全国·单元测试）已知中，，求证：，用反证法证明：第一步是：假设 ． 易错考点讲练11：用反证法证明命题 【典例易错题】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 【易错训练1】（15-16八年级上·全国·课后作业）“求证：的两个锐角，中至少有一个不大于．”用反证法证明这个命题时，应先假设（   ） A． ， B．， B． C．， D．， 【易错训练2】（21-22七年级下·北京·阶段练习）数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等” 老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下： 小贴士 反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法． 如图1，我们想要证明“如果直线被直线所截，，那么” 如图2 假设，过点O作直线，使， 依据基本事实______． 可得． 这样过点O就有两条直线，都平行于直线，这与基本事实______矛盾， 说明的假设是不对的，于是有． 易错考点讲练12：定理与证明 【典例易错题】（23-24八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．定理可以推导出基本事实 B．定理都是真命题 C．定理和基本事实都不需要证明 D．基本事实不一定是真命题 【易错训练1】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（　　） A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B．定理是命题，而且是真命题 C．“对顶角相等”是命题，但不是定理 D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可 【易错训练2】（2022八年级上·浙江·专题练习）请举出一个关于角相等的定理： ． 易错考点讲练13：互逆定理 【典例易错题】（22-23八年级上·全国·课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ． 【易错训练1】（22-23八年级上·河北沧州·阶段练习）下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 【易错训练2】（20-21八年级下·甘肃武威·期中）下列说法不正确的是（    ） A．命题有真命题，也有假命题 B．要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可 C．一个定理的逆命题是原定理的逆定理 D．要说明一个命题是真命题，需要进行证明 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列命题中，真命题的个数有（   ） ①同旁内角互补；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025七年级下·全国·专题练习）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么这两个角相等 B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 3．（24-25八年级上·山西太原·期末）在判断“对于任意自然数n，代数式的值一定是质数”这一命题的真假时．同学们给出如下的分析，其中正确的是（   ） A．因为时，代数式的值为质数，所以该命题是真命题 B．因为，1，2，…，10时，代数式的值都为质数，所以该命题是真命题 C．如果n取某一自然数时．代数式的值为合数，那么该命题是假命题 D．如果n取某一奇数时，代数式的值为质数，那么该命题是真命题 4．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2024七年级上·全国·专题练习）有下列说法： ①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④同角或等角的补角相等. 其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（24-25八年级上·广西百色·期中）给出下列4个命题： ①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行． 其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 7．（24-25八年级上·北京昌平·期中）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 个，请同学们写出一个真命题 ． 8．（23-24七年级下·吉林四平·期末）给出下列5个命题：①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行；⑤同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 9．（23-24七年级下·陕西安康·期末）下列命题：①垂线段最短；②若，则；③两直线平行，同位角相等；④如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线垂直．其中真命题有 ．（填序号） 10．（23-24七年级下·吉林延边·期中）下列命题中：①对顶角相等；②同位角相等；③两个锐角的和是钝角；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．是真命题的是 ．（填序号） 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）已知命题“等底等高的两个三角形的面积相等”． (1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． (2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． 13．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知命题“两条直线被第三条直线所截，如果一对内错角的平分线互相平行，那么这两条直线互相平行”． (1)如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整． 已知：直线l分别与，交于点，，，分别平分______和______，且______． 求证：______； (2) 判断这个命题的真假，并证明． 14．（23-24七年级下·全国·阶段练习）如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 15．（22-23七年级下·四川广元·期中）如图，已知：点G、点D和点F分别在和上，于E．给出下面三个条件： ①；②；③． 请你在以上三个条件中选两个作为添加的已知条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（如果不止一个，请用小括号标序号），并任选其中一个真命题证明．（解题书写格式：解：真命题：（1）如果，那么；（2）……．选（x）证明如下：……）      第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优易错知识讲练（新教材） 第12章 定义、命题、证明 （思维导图+易错知识+13大考点讲练+易错真题难度拔尖练 共53题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 2 易错知识点梳理精讲 2 易错知识点梳理01：定义的理解与应用 2 易错知识点梳理02：命题的构成与分类 2 易错知识点梳理03：证明的基本步骤与格式 3 易错知识点梳理04：逻辑推理与证明方法 3 易错知识点梳理05：证明中的常见错误 3 易错考点精选题讲练 3 易错考点讲练01：判断是否是命题 3 易错考点讲练02：写出命题的题设与结论 5 易错考点讲练03：判断命题真假 6 易错考点讲练04：举例说明假（真）命题 8 易错考点讲练05：写出命题的逆命题 10 易错考点讲练06：判断是否为互逆命题 11 易错考点讲练07：写出一个命题的已知、求证及证明过程 14 易错考点讲练08：已知证明过程填写理论依据 16 易错考点讲练09：举反例 19 易错考点讲练10：反证法证明中的假设 21 易错考点讲练11：用反证法证明命题 22 易错考点讲练12：定理与证明 24 易错考点讲练13：互逆定理 25 易错真题拔尖训练 27 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，易错知识点梳理，易错考点真题汇编，精选易错题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 易错知识点梳理01：定义的理解与应用 易错点： 学生可能对定义的理解不够深入，仅仅停留在表面文字上，没有真正理解其数学含义。 在应用定义解决问题时，可能会忽略定义中的某些关键条件，导致错误。 解题技巧： 深入理解定义，尝试用自己的话复述定义，确保真正掌握其数学意义。 在应用定义时，要仔细审查题目中的条件，确保所有关键条件都得到满足。 易错知识点梳理02：命题的构成与分类 易错点： 学生可能混淆命题的构成部分，如条件（前提）和结论。 在区分真命题和假命题时，可能会因为对命题的理解不够深入而判断错误。 解题技巧： 明确命题的构成部分，即条件和结论，并理解它们之间的逻辑关系。 在判断命题的真假时，要依据数学知识和逻辑推理，而不是仅凭直觉或经验。 易错知识点梳理03：证明的基本步骤与格式 易错点： 学生可能不熟悉证明的基本步骤和格式，导致证明过程混乱或不完整。 在书写证明时，可能会遗漏某些关键步骤或逻辑跳跃，导致证明不严谨。 解题技巧： 熟悉并掌握证明的基本步骤和格式，如明确命题、列出已知条件、进行逻辑推理、得出结论等。 在书写证明时，要确保每一步都有明确的依据和逻辑推理，避免逻辑跳跃和遗漏关键步骤。 易错知识点梳理04：逻辑推理与证明方法 易错点： 学生可能不熟悉常用的逻辑推理方法，如反证法、直接证明法等。 在应用逻辑推理方法时，可能会因为对方法的理解不够深入而使用错误。 解题技巧： 熟悉并掌握常用的逻辑推理方法，理解它们的适用场景和步骤。 在应用逻辑推理方法时，要确保方法的使用正确且符合题目的要求。 易错知识点梳理05：证明中的常见错误 易错点： 在证明过程中，学生可能会因为粗心大意而犯一些常见的错误，如计算错误、逻辑错误等。 在引用已知条件或定理时，可能会因为记忆不准确或理解不深入而引用错误。 解题技巧： 在证明过程中要保持细心和耐心，避免因为粗心大意而犯错。 在引用已知条件或定理时，要确保记忆准确且理解深入，避免引用错误。 易错考点讲练01：判断是否是命题 【典例易错题】（24-25七年级下·全国·课后作业）给出下列语句：①画一个角等于两个已知角的和；②钝角大于直角；③过点A画直线；④相等且互补的两个角都是直角．其中是命题的是（   ） A．①④ B．②④ C．①② D．②③ 【答案】B 【思路点拨】本题考查命题的定义可以判断真假的陈述句叫命题，根据命题的定义：可以判断真假的陈述句，结合题中语句逐项判断即可得到答案． 【规范解答】解：①不是判断一件事情的语句，不是命题； ②如果一个角是钝角，那么它就大于直角，是判断一件事情的语句，是命题； ③不是判断一件事情的语句，不是命题； ④如果两个角相等且互补，那么这两个角都是直角，是判断一件事情的语句，是命题； 是命题的是②④， 故选：B． 【易错训练1】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）下列语句：①两点之间，线段最短；②不许大声讲话；③连接，两点；④鸟是动物；⑤过一点作已知直线的平行线；⑥无论为怎样的自然数，式子的值都是质数吗？其中不是命题的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路点拨】本题考查命题与定理，解题关键是理解命题的定义，属于中考常考题型．根据命题的定义一一判断即可． 【规范解答】解：①两点之间，线段最短，是命题； ②不许大声讲话，不是命题； ③连接，两点，不是命题； ④鸟是动物，是命题； ⑤过一点作已知直线的平行线，不是命题； ⑥无论为怎样的自然数，式子的值都是质数吗？，不是命题， 故①、④为命题，②、③、⑤、⑥不是命题． 故选：C． 【易错训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）下列句子中，哪些是命题？ （1）今天的天气真好；（2）这本书你看完了吗？（3）如果，那么；（4）奇数不能被2整除． 【答案】（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题 【思路点拨】判断一件事情的语句，叫做命题，分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句． 【规范解答】解：（1）今天的天气真好，是陈述句，不是命题； （2）这本书你看完了吗？不是命题； （3）如果，那么是命题， （4）奇数不能被2整除，是命题． 综上：（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题 易错考点讲练02：写出命题的题设与结论 【典例易错题】（24-25七年级下·全国·课后作业）指出下列命题的题设和结论： (1)如果a是有理数，那么； (2)如果，那么； (3)两直线平行，内错角相等． 【答案】(1)题设：a是有理数．结论： (2)题设：，．结论： (3)题设：两条直线平行．结论：内错角相等． 【思路点拨】本题考查的是命题，命题是由题设和结论两部分组成的，每一个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，如果后面的文字是题设，那么后面的文字是结论. 任何一个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，如果后面的语言为题设，那么后面的语言是结论，以此来解题. 【规范解答】（1）解：命题如果a是有理数，那么，题设：a是有理数．结论：． （2）命题如果，那么，题设：，．结论：． （3）命题两直线平行，内错角相等，题设：两条直线平行．结论：内错角相等． 【易错训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)两直线平行，同位角相等． (2)若，，则． (3)不等式的两边同乘一个负数，不等号方向改变． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查了命题的条件和结论； （1）由命题的题设和结论的定义进行求解即可； （2）由命题的题设和结论的定义进行求解即可； （3）由命题的题设和结论的定义进行求解即可； 理解命题的条件和结论是解题的关键． 【规范解答】（1）解：条件：两直线平行； 结论：同位角相等； （2）解：条件：，， 结论：； （3）解：条件：不等式的两边同乘一个负数， 结论：不等号方向改变． 【易错训练2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）阅读下面内容： “同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”两个命题中的题设，结论位置恰好对调，我们把其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 请你写出“两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则同位角必相等”的逆命题，指出逆命题的题设与结论，判断它的真假并说明理由． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了命题与逆命题，以及真假命题，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 将原命题的题设和结论互换，即可得到逆命题，即可写出题设和结论，根据平行线的判定即可判断真假． 【规范解答】解：逆命题：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，则内错角必相等． 题设：两条直线被第三条直线所截，同位角相等．结论：内错角相等．它是真命题． 理由：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，则两直线平行，所以内错角相等． 易错考点讲练03：判断命题真假 【典例易错题】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图所示，若，，． (1)求证：； (2)若把原题设中“”与结论“”对调，所得命题是真命题吗？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是真命题，理由见解析 【思路点拨】本题考查平行线的判定与性质， （1）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； （2）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案； 解题的关键是掌握平行线的判定与性质． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：是真命题． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【易错训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，举出一个反例． (1)同位角相等，两直线平行； (2)相等的角是内错角； (3)如果，那么； (4)两个锐角互余． 【答案】(1)真命题． (2)假命题，反例：对顶角相等，但不是内错角．（答案不唯一） (3)假命题，反例：，但是．（答案不唯一） (4)假命题，反例：，两个锐角不互余．（答案不唯一） 【思路点拨】此题考查了平行线的判定，内错角的概念，绝对值的意义，互余的概念和真假命题的判断，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行线的判定求解即可； （2）根据内错角的概念求解即可； （3）根据绝对值的意义求解即可； （4）根据互余的概念求解即可． 【规范解答】（1）同位角相等，两直线平行，真命题； （2）相等的角是内错角，假命题，反例：对顶角相等，但不是内错角； （3）如果，那么，假命题，反例：，但是； （4）两个锐角互余，假命题，反例：，两个锐角不互余． 易错考点讲练04：举例说明假（真）命题 【典例易错题】（24-25八年级上·福建漳州·期中）对假命题：“若，则”举个反例，符合要求的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了命题与定义：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．将各选项代入判断即可． 【规范解答】解：“若，则”举个反例，则反例应为小于等于1的数，故C、D不符合题意， 那么A、当时，，故A符合题意； 那么B、当时，，故B不符合题意， 故选：A． 【易错训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）判断下列命题是真命题还是假命题．若是假命题，请举出一个反例． (1)两个锐角的和是锐角； (2)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； (3)如果，那么． 【答案】(1)假命题．反例：，，但，不是锐角（举反例不唯一） (2)真命题 (3)假命题．反例：，有，但（举反例不唯一） 【思路点拨】本题主要考查了命题，锐角的性质，平行线的性质，等式的性质等知识点， （1）通过举反例即可得解； （2）由平行线的公理可得解； （3）通过举反例即可得解； 熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【规范解答】（1）解：假命题．反例：，，但，不是锐角（举反例不唯一）； （2）解：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是公理，是真命题； （3）解：假命题．反例：，有，但（举反例不唯一）． 【易错训练2】（24-25八年级上·重庆南岸·期末）以下四个例子中，不能说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（   ） A．设这个角是，它的余角是，但 B．设这个角是，它的余角是，但 C．设这个角是，它的余角是，但 D．设这个角是，它的余角是，但 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了反例的含义、判断命题的真假．反例是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子；由此可判断出正确的选项． 【规范解答】解：A、所设的角小于它的余角，和原结论相反，故A选项符合题意； B、所设的角与它的余角相等，和原结论相符合，故B选项不符合题意； C、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故C选项不符合题意； D、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故D选项不符合题意． 故选：A． 易错考点讲练05：写出命题的逆命题 【典例易错题】（2025七年级下·全国·专题练习）给出下列命题：①若，则；②锐角都相等；③一个角的补角大于这个角；④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．以上命题的逆命题是假命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了命题与逆命题，不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质等知识点，用不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项，熟练掌握解不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质是解决此题的关键． 【规范解答】解：①若，则的逆命题为：若，则，正确，是真命题，不符合题意； ②锐角都相等的逆命题为：相等的角都为锐角，错误，是假命题，符合题意； ③一个角的补角大于这个角的逆命题为：大于一个角的角是它的补角，错误，是假命题，符合题意； ④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等的逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意； 故选：B． 【易错训练1】（2025七年级下·江苏泰州·专题练习）有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果，那么；④如果两个有理数相等，那么它们的平方相等．它们的逆命题成立的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了判断一个命题逆命题的真假，先把原命题的结论和条件互换写出对应命题的逆命题，再判断真假即可． 【规范解答】解：①原命题的逆命题为两直线平行，同位角相等，是真命题； ②原命题的逆命题为如果两个角相等，那么它们都是直角，是假命题； ③原命题的逆命题为如果，，那么，是真命题； ④原命题的逆命题为如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等，如，则，故命题的逆命题是假命题， 故选：B． 【易错训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．对顶角相等 【答案】C 【思路点拨】本题考查了判断命题的真假，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可 【规范解答】解：如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； 若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意； 两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意； 对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，该命题为假命题，不符合题意； 故选：C 易错考点讲练06：判断是否为互逆命题 【典例易错题】（21-22八年级下·陕西榆林·期末）命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【思路点拨】交换题设和结论，即可得到答案． 【规范解答】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【考点评析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 【易错训练1】（21-22七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，已知直线，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：． 解：∵，（已知） ∴∠AMN＝∠DNM（ ） ∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知） ∴∠EMN＝ ∠AMN， ∠FNM＝ ∠DNM （角平分线的定义） ∴∠EMN＝∠FNM（等量代换） ∴（ ） （1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对 角的平分线互相 ． （2）解题过程中是否应用了互逆命题，如果有，请写出来． 【答案】两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行；（1）内错；平行；（2）有；内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等 【思路点拨】先根据两直线平行内错角相等，可得∠AMN=∠DNM，然后根据角平分线的定义可得∠EMN=∠AMN，∠FNM=∠DNM，然后根据等量代换可得∠EMN=∠FNM，然后根据内错角相等两直线平行即可说明； （1）根据上面的推理过程得出结论即可； （2）两直线平行内错角相等与内错角相等两直线平行为互逆命题． 【规范解答】解：∵，（已知） ∴∠AMN=∠DNM，（两直线平行内错角相等）， ∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）， ∴∠EMN=∠AMN， ∠FNM=∠DNM，（角平分线的定义）， ∴∠EMN=∠FNM（等量代换） ∴，（内错角相等两直线平行）． 故答案为：两直线平行内错角相等；；；内错角相等两直线平行． （1）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行； 故答案为：内错；平行． （2）解题过程中应用了互逆命题，内错角相等两直线平行与两直线平行内错角相等． 【考点评析】本题主要考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，解题的关键是：熟记同位角相等⇔两直线平行；内错角相等⇔两直线平行；同旁内角互补⇔两直线平行． 【易错训练2】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【思路点拨】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2） 解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 易错考点讲练07：写出一个命题的已知、求证及证明过程 【典例易错题】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了命题、平行线的判定与性质，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．证明小明说的命题：如图1（见解析），先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据平行线的判定即可得证；小丽说的命题，通过画图举出反例即可得． 【规范解答】解：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题． 已知：如图1，，， 求证：， 证明：作直线分别于直线、、相交， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题， 如图2，，，而． 【易错训练1】（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【思路点拨】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【规范解答】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 【易错训练2】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【思路点拨】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【规范解答】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【考点评析】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 易错考点讲练08：已知证明过程填写理论依据 【典例易错题】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【思路点拨】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【规范解答】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 【易错训练1】（22-23七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【思路点拨】阅读证明可以得到答案． 【规范解答】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【考点评析】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 【易错训练2】（21-22七年级下·山东济宁·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【思路点拨】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【规范解答】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【考点评析】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 易错考点讲练09：举反例 【典例易错题】（24-25八年级上·福建泉州·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了命题的真假，熟练掌握真假命题的定义是解答本题的关键，当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题．要指出一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了，这样的例子叫做反例．据此进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】解：A、满足，但不满足，故该选项符合题意； B、既不满足也不满足，故该选项不符合题意； C、既不满足也不满足，故该选项不符合题意； D、既满足也满足，故该选项不符合题意； 故选：A 【易错训练1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知命题“对顶角相等”． (1)此命题是真命题还是假命题？如果是真命题．请给予说明；如果是假命题，请举出反例． (2)写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予说明；如果是假命题，请举出反例． 【答案】(1)真命题，证明见解析 (2)相等的角是对顶角，假命题，举例见解析 【思路点拨】本题考查了命题的真假，熟练掌握判断命题的方法是本题的关键．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而得出答案． 【规范解答】（1）解：此命题是真命题． 说明：如图，直线，相交于点． ， ． （2）“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题． 反例：如图，在中，，但与不是对顶角． 【易错训练2】（24-25八年级上·全国·课后作业）判断下列命题是真命题，还是假命题，对于假命题请举出反例． (1)平行于同一条直线的两条直线互相平行； (2)如果，那么． 【答案】(1)是真命题 (2)是假命题，反例见解析 【思路点拨】本题考查了平行公理推论，绝对值的性质，判断命题的真假，举反例． （1）根据平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行即可求解； （2）根据绝对值的定义即可求解． 【规范解答】（1）解：是真命题． 理由：根据如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行可得“平行于同一条直线的两条直线互相平行”是真命题． （2）解：是假命题． 理由：当，时，，， 满足，但是， 故“如果，那么”是假命题． 易错考点讲练10：反证法证明中的假设 【典例易错题】（11-12八年级下·浙江宁波·期中）用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中（    ） A．每一个内角都小于 B．每一个内角都大于 C．有一个内角大于 D．有一个内角小于 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是反证法．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【规范解答】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，应假设这个三角形中每一个内角都小于， 故选：A． 【易错训练1】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）选择用反证法证明“已知：在中，，求证： ，中至少有一个角不大于时，应先假设（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【思路点拨】本题考查反证法，记住反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．假设命题的结论不成立或假设命题的结论的反面成立，然后推出矛盾，说明假设错误，结论成立． 【规范解答】解：用反证法证明命题“，中至少有一个角不大于”时，应先假设，． 故选：D． 【易错训练2】（18-19八年级下·全国·单元测试）已知中，，求证：，用反证法证明：第一步是：假设 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，的反面是． 【规范解答】解：已知中，， 求证：， 运用反证法证明这个结论，第一步应先假设， 故答案为：． 易错考点讲练11：用反证法证明命题 【典例易错题】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 【答案】；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；已知；假设；直线与不平行 【思路点拨】本题主要考查了反证法，平行线的性质，熟知反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法首先假设所求证的结论不成立，然后利用平行线的性质求解即可． 【规范解答】已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线与不平行． 证明：假设所求证的结论不成立，即， 则（两直线平行，同旁内角互补） 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 【易错训练1】（15-16八年级上·全国·课后作业）“求证：的两个锐角，中至少有一个不大于．”用反证法证明这个命题时，应先假设（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【思路点拨】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，，中至少有一个不大于的反面是，． 【规范解答】解：求证：的两个锐角，中至少有一个不大于， 用反证法证明这个命题时，应先假设，． 故选：A． 【考点评析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【易错训练2】（21-22七年级下·北京·阶段练习）数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等” 老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下： 小贴士 反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法． 如图1，我们想要证明“如果直线被直线所截，，那么” 如图2 假设，过点O作直线，使， 依据基本事实______． 可得． 这样过点O就有两条直线，都平行于直线，这与基本事实______矛盾， 说明的假设是不对的，于是有． 【答案】同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【思路点拨】直接利用反证法的基本步骤以及结合平行线的性质分析得出答案． 【规范解答】解：假设，过点O作直线，使，依据基本事实同位角相等，两直线平行， 可得． 这样过点O就有两条直线，都平行于直线， 这与基本事实过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾， 说明的假设是不对的，于是有． 故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【考点评析】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的基本步骤是解题关键． 易错考点讲练12：定理与证明 【典例易错题】（23-24八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．定理可以推导出基本事实 B．定理都是真命题 C．定理和基本事实都不需要证明 D．基本事实不一定是真命题 【答案】B 【思路点拨】本题考查了命题、定理、真命题与假命题．根据命题的定义、真命题与假命题的定义逐项判断即可得． 【规范解答】解：A、基本事实可以作为定理的前提条件或基础,定理可以基于基本事实进行推导和证明，定理可以进一步解释和揭示基本事实之间的关系,或从基本事实中得出更深入的结论定理，不一定可以推导出基本事实，故原说法错误，不符合题意； B、定理都是真命题，正确，符合题意； C、定理都是经过推论、论证的真命题，需要进行证明，原说法错误，不符合题意； D、基本事实是真命题，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 【易错训练1】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（　　） A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B．定理是命题，而且是真命题 C．“对顶角相等”是命题，但不是定理 D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可 【答案】C 【思路点拨】本题考查了定理于命题的相关知识点，掌握命题，定理和证明的概念是关键. 【规范解答】解：证实命题正确与否的推理过程叫做证明，故A正确，不符合题意； 定理是命题，而且是真命题，故B正确，不符合题意； 对顶角相等”是命题，此命题是通过推理证实得出的真命题，所以它是定理，故C错误，符合题意； 要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可，故D正确，不符合题意； 故选：C 【易错训练2】（2022八年级上·浙江·专题练习）请举出一个关于角相等的定理： ． 【答案】两直线平行，同位角相等 【思路点拨】任意写出一个角相等的定理即可． 【规范解答】解：关于角相等的定理：两直线平行，同位角相等 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）． 【考点评析】本题考查角相等的定理，如同位角、内错角或对顶角，写出相应的定理即可． 易错考点讲练13：互逆定理 【典例易错题】（22-23八年级上·全国·课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ． 【答案】 结论 条件 逆命题 逆定理 【思路点拨】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理，进行作答即可． 【规范解答】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理． 故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理． 【考点评析】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【易错训练1】（22-23八年级上·河北沧州·阶段练习）下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 【答案】D 【思路点拨】分别写出个命题逆命题，即可求解． 【规范解答】解：A、逆定理为：两直线平行，同旁内角互补，故本选项不符合题意； B、逆定理为：两直线平行，内错角相等，故本选项不符合题意； C、逆定理为：两直线平行，同位角相等，故本选项不符合题意； D、逆命题为：绝对值相等的两个数互为相反数，是假命题，即该定理没有逆定理，故本选项符合题意； 故选：D 【考点评析】本题主要考查了逆定理，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【易错训练2】（20-21八年级下·甘肃武威·期中）下列说法不正确的是（    ） A．命题有真命题，也有假命题 B．要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可 C．一个定理的逆命题是原定理的逆定理 D．要说明一个命题是真命题，需要进行证明 【答案】C 【思路点拨】根据所学命题的相关知识判断选择即可． 【规范解答】命题有真命题，也有假命题，是正确的，故A不符合题意； 要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可，是正确的，故B不符合题意； 一个定理的逆命题是原定理的逆命题，逆命题不一定正确，即不一定是原定理的逆定理，原说法错误，故C符合题意； 要说明一个命题是真命题，需要进行证明，是正确的，故D不符合题意； 故选C． 【考点评析】本题考查了命题的分类、命题的证明、命题与定理的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列命题中，真命题的个数有（   ） ①同旁内角互补；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路点拨】本题考查了命题、平行线的性质、垂直、平行公理、垂线段最短，熟练掌握性质和公理是解题关键．根据平行线的性质、垂直、平行公理、垂线段最短逐项判断即可得． 【规范解答】解：①两直线平行，同旁内角互补，则原命题是假命题； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，则原命题是假命题； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，则原命题是假命题； ④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，则原命题是真命题； 综上，真命题的个数有1个， 故选：A． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么这两个角相等 B．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查真假命题、逆命题．根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据直角、有理数的平方、对顶角、平行线的判定判断即可． 【规范解答】解：A、如果两个角是直角，那么这两个角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题，不符合题意； B、如果两个有理数相等，那么它们的平方相等，逆命题是如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等，是假命题，不符合题意； C、对顶角相等，逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·山西太原·期末）在判断“对于任意自然数n，代数式的值一定是质数”这一命题的真假时．同学们给出如下的分析，其中正确的是（   ） A．因为时，代数式的值为质数，所以该命题是真命题 B．因为，1，2，…，10时，代数式的值都为质数，所以该命题是真命题 C．如果n取某一自然数时．代数式的值为合数，那么该命题是假命题 D．如果n取某一奇数时，代数式的值为质数，那么该命题是真命题 【答案】C 【思路点拨】本题考查了命题真假的判断方法，熟练掌握真假命题的定义是解答本题的关键； 结合质数与合数的定义来逐一分析即可． 【规范解答】A． 仅当时，，是质数，但不能仅根据这一个值就判定对于任意自然数n，该代数式的值一定是质数，要证明一个命题为真命题，需要对所有符合条件的情况都进行验证，当，，是合数，故该选项说法不正确，不符合题意； B． 虽然当，1，2，…，10时，代数式的值都为质数，但同样不能仅根据这有限个值就判定对于任意自然数n，该代数式的值一定是质数，当，，是合数，故该选项说法不正确，不符合题意； C． 如果能找到一个自然数n，使得代数式的值为合数，也就是除了1和它本身以外还有其他因数，那么就说明“对于任意自然数n，代数式的值一定是质数”这个命题不成立，即该命题是假命题，当，，就是合数，故该选项说法正确，符合题意； D．当，，是合数，故该选项说法不正确，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了命题的真假判断，绝对值的性质，实数的运算等知识点，根据绝对值的性质对①进行判断；根据实数的运算对②，③，④进行判断即可，熟练掌握其性质并能正解对命题进行判断是解决此题的关键． 【规范解答】解：①若，则，是假命题，如，就不成立，不符合题意； ②若，则同时为0，是假命题，如，就不成立，不符合题意； ③两个负数的差一定是负数，是假命题，如就不成立，不符合题意； ④如果，那么，是假命题，如，就不成立，不符合题意； 故选：A． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）有下列说法： ①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④同角或等角的补角相等. 其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路点拨】根据平面内两直线的位置关系、垂直的定义、平行公理、补角的性质逐项分析判断即可． 【规范解答】解：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行两种，垂直只是相交的特殊情形，故说法错误； 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故说法正确； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法正确； 同角或等角的补角相等，故说法正确； 综上所述，正确的说法有，共个， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了判断命题真假，平面内两直线的位置关系，垂直的定义，平行公理，补角的性质等知识点，熟练掌握真假命题的判断方法是解题的关键：要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明），要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 6．（24-25八年级上·广西百色·期中）给出下列4个命题： ①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行． 其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 【答案】① 【思路点拨】本题主要考查命题与定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据性质定理进行判断即可． 【规范解答】解：①垂线段最短，是真命题； ②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本小题为假命题； ③互补的角不一定是邻补角，故本小题为假命题； ④同旁内角互补，两直线平行，故本小题为假命题． 故答案为：①． 7．（24-25八年级上·北京昌平·期中）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 个，请同学们写出一个真命题 ． 【答案】 3 如果，，那么或如果，，那么或如果，，那么 【思路点拨】本题主要考查了判断命题真假，不等式的性质，写出命题的题设和结论当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时除以一个正数不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件 为结论时，据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明． 【规范解答】解：当选取，作为条件，为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件，为结论时， ∵， ∴当时，则 ，即，符合题意； 当时，则 ，即，不符合题意； ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件 为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 综上所述，可以组成真命题的个数为3个，命题为：如果，，那么；如果，，那么；如果，，那么． 故答案为：3；如果，，那．么或如果，，那么或如果，，那么． 8．（23-24七年级下·吉林四平·期末）给出下列5个命题：①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行；⑤同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 【答案】① 【思路点拨】本题考查了真命题，平行线的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握平行线的判定与性质及垂线段最短是解题的关键．根据平行线的判定与性质及垂线段最短公理，即可判断答案． 【规范解答】①是公理,正确； ②忽略了两条直线必须是平行线，故②错误； ③举反例，两直线平行，同旁内角互补，显然这两个角不是邻补角，故③错误； ④“同旁内角互补，两直线平行”，故④不符合平行线的判定，是错误的； ⑤当同旁内角互补时，它们的角的平分线才互相垂直，故⑤错误； 所以真命题是①． 故答案为：①． 9．（23-24七年级下·陕西安康·期末）下列命题：①垂线段最短；②若，则；③两直线平行，同位角相等；④如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线垂直．其中真命题有 ．（填序号） 【答案】①③ 【思路点拨】此题考查了真命题的判断，根据垂线段最短，平方根的意义，平行线的性质，垂线的性质，据此依次判断． 【规范解答】解：①垂线段最短，是真命题； ②若，则，不是真命题； ③两直线平行，同位角相等，是真命题； ④在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，不是真命题， 故答案为：①③． 10．（23-24七年级下·吉林延边·期中）下列命题中：①对顶角相等；②同位角相等；③两个锐角的和是钝角；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．是真命题的是 ．（填序号） 【答案】①④ 【思路点拨】本题考查对顶角的定义，平行线的性质，点、线之间的关系，解答的关键在于熟练掌握各种概念公理． 根据概念定理进行判断即可． 【规范解答】解：①对顶角相等，此命题是真命题； ②两直线平行，同位角相等，此命题是假命题； ③两个锐角的和不一定是钝角，比如，是直角，此选项是假命题； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，此选项是真命题； ∴是真命题的是：①④． 故答案为：①④． 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义； （1）根据题意写出命题，并判断真假即可； （2）选择命题一：先根据垂直得到，即可得到，然后根据角的和差解题即可；选择命题二：延长、交于点，根据垂直可得，然后根据，得到，然后根据等量代换的到，即可得到，证明结论；选择命题三：延长、交于点，可以得到，即可得到，然后推导，即可得到平行． 【规范解答】（1）命题一：已知， 若，，则；真命题． 命题二：已知， 若，，则；真命题． 命题三：已知， 若，，则；真命题． （2）选择命题一． 证明：，， ， ， ． 又， ， ， ． 选择命题二：延长、交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择命题三：延长、交于点， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）已知命题“等底等高的两个三角形的面积相等”． (1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． (2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． 【答案】(1)真命题，证明见解析 (2)逆命题为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是等底等高的三角形，此命题是假命题；举例见解析 【思路点拨】本题主要考查命题真假的判断和逆命题的知识，解题的关键是熟知课本中有关的定义和性质定理； （1）判断命题，需要分析由题设是否能推出结论，若为真，然后证明即可； （2）先写出逆命题，再按照由题设是否能推出结论进行判断，在举出反例即可． 【规范解答】（1）解：真命题，证明如下： 设这两个三角形分别为，， 的底为a，高为h，的底为，高为， ∴， ∵，， ∴， 故命题为真命题； （2）解：逆命题为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是等底等高的三角形， 此命题是假命题； 举例：若的底为2，高为6，的底为3，高为4，此时，，面积相等，但不是等底等高的另两个三角形， 故逆命题为假命题． 13．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知命题“两条直线被第三条直线所截，如果一对内错角的平分线互相平行，那么这两条直线互相平行”． (1)如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整． 已知：直线l分别与，交于点，，，分别平分______和______，且______． 求证：______； (2)判断这个命题的真假，并证明． 【答案】(1)，；； (2)该命题为真命题，详见解析 【思路点拨】本题主要考查了命题的真假判断、平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识点， （1）根据题意、结合图形写出已知和求证； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理证明即可； 熟练掌握命题的真假判断、平行线的判定和性质是解决此题的关键． 【规范解答】（1）由图和题意知，，分别平分和，且， 求证：， 故答案为：；；；； （2）该命题是真命题，理由如下： ∵， ∴， ∵，分别平分和，， ∴，， ∴， ∴． 14．（23-24七年级下·全国·阶段练习）如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定： （1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的明天，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【规范解答】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择①③为题设，②为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择②③为题设，①为结论 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 15．（22-23七年级下·四川广元·期中）如图，已知：点G、点D和点F分别在和上，于E．给出下面三个条件： ①；②；③． 请你在以上三个条件中选两个作为添加的已知条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（如果不止一个，请用小括号标序号），并任选其中一个真命题证明．（解题书写格式：解：真命题：（1）如果，那么；（2）……．选（x）证明如下：……）      【答案】命题见解析，证明见解析 【思路点拨】由题意知，符合条件的真命题有三个：（1）如果，，，那么；（2）如果，，，那么；（3）如果，，，那么；证明（1），由，可得，，由，可得，即，进而可证． 【规范解答】解：由题意知，符合条件的真命题有三个： （1）如果，，，那么； （2）如果，，，那么； （3）如果，，，那么； 证明（1），过程如下： 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【考点评析】本题考查了真命题，平行线的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$