第11章 一元一次不等式（思维导图+易错知识+14大考点讲练+易错真题难度拔尖练 共57题）-2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节易错考点培优讲练（新教材）

2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优易错知识讲练（新教材） 第11章 一元一次不等式 （思维导图+易错知识+14大考点讲练+易错真题难度拔尖练 共57题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 2 易错知识点梳理精讲 2 易错知识点梳理01：不等式的概念与性质 2 易错知识点梳理02：一元一次不等式的解法 3 易错知识点梳理03： 不等式的应用 3 易错知识点梳理04：不等式的性质与运算的混淆 3 易错考点优选题讲练 4 易错考点讲练01：不等式的定义 4 易错考点讲练02：不等式的性质 4 易错考点讲练03：不等式的解集 5 易错考点讲练04：在数轴上表示不等式的解集 5 易错考点讲练05：一元一次不等式的定义 6 易错考点讲练06：解一元一次不等式 7 易错考点讲练07：一元一次不等式的整数解 8 易错考点讲练08：由实际问题抽象出一元一次不等式 9 易错考点讲练09：一元一次不等式的应用 9 易错考点讲练10：一元一次不等式组的定义 11 易错考点讲练11：解一元一次不等式组 11 易错考点讲练12：一元一次不等式组的整数解 12 易错考点讲练13：由实际问题抽象出一元一次不等式组 13 易错考点讲练14：一元一次不等式组的应用 14 易错真题拔尖训练 16 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，易错知识点梳理，易错考点真题汇编，精选易错题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 易错知识点梳理01：不等式的概念与性质 易错点： 学生可能对不等式与等式之间的区别理解不够深入，容易混淆两者的概念和性质。 在理解不等式的基本性质（如加法、减法、乘法、除法性质）时，可能会忽略不等式方向的变化规则，特别是在乘法或除法涉及负数时。 解题技巧： 明确不等式与等式在表示关系上的区别，不等式表示的是两个量之间的大小关系，而不是相等关系。 熟练掌握不等式的基本性质，并特别注意在乘法或除法涉及负数时，不等号的方向会发生变化。 易错知识点梳理02：一元一次不等式的解法 易错点： 在移项时，可能会忘记改变不等号的方向，特别是当移项涉及负数时。 在合并同类项时，可能会计算错误，导致解出的不等式解集不正确。 在求解不等式时，可能会忽略不等式解集的表示方法，如使用数轴或区间表示法。 解题技巧： 在移项时，要特别注意不等号的方向变化，特别是当移项涉及负数时，不等号的方向要反转。 在合并同类项时，要仔细计算，确保每一项都被正确合并。 在求解不等式后，要使用数轴或区间表示法正确地表示不等式的解集。 易错知识点梳理03： 不等式的应用 易错点： 在将不等式应用到实际问题中时，可能会忽略问题的实际背景，导致解出的不等式不符合实际情况。 在设置不等式时，可能会遗漏某些条件或设置错误的未知数。 在求解实际问题时，可能会混淆不等式的解与实际问题的解，即不等式的解集可能包含不符合实际情况的解。 解题技巧： 仔细审题，理解问题的实际背景，确保设置的不等式符合实际情况。 在设置不等式时，要全面考虑所有条件，并正确设置未知数。 在求解实际问题后，要仔细分析不等式的解集，排除不符合实际情况的解，得到实际问题的解。 易错知识点梳理04：不等式的性质与运算的混淆 易错点： 在进行不等式的运算时，可能会混淆不等式的性质与运算规则，导致运算错误。 在进行不等式的比较时，可能会忽略不等式之间的逻辑关系，导致比较结果错误。 解题技巧： 熟练掌握不等式的性质与运算规则，并特别注意在进行运算时保持不等式的方向正确。 在进行不等式的比较时，要仔细分析不等式之间的逻辑关系，确保比较结果正确。 易错考点讲练01：不等式的定义 【典例易错题】（2024•巴林左旗模拟）小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为　　 A． B． C． D． 【易错训练1】（2023春•石狮市校级期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【易错训练2】（2021春•尧都区期中）周末，丽丽的妈妈买了她爱吃的菠萝和香蕉，丽丽上网查找得到：菠萝适宜的冷藏温度是，香蕉适宜的冷藏温度是，现在要将菠萝和香蕉同时放在一起冷藏，则冰箱应设置的适宜温度是 　　． 易错考点讲练02：不等式的性质 【典例易错题】（2024春•蒙城县期末）下列判断正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【易错训练1】（2024春•姑苏区校级月考）已知、满足． （1）若，求的取值范围； （2）若、满足，且，，求的取值范围． 【易错训练1】（2023春•沾化区期末）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元． （1）若， ①当时，到甲商场实际花费 　　元，到乙商场实际花费 　　元； ②若，那么当　　时，到甲或乙商场实际花费一样； （2）经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠1元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出，的值； （3）若时，到甲或乙商场实际花费一样，且，请直接写出的最小值． 易错考点讲练03：不等式的解集 【典例易错题】（2024春•巴南区期末）定义一种新运算：，下列说法： ①若，则，； ②若，则该不等式的解集为或； ③代数式有最小值6； ④若关于，的二元一次方程组的解为，则的值为0或4． 以上结论正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【易错训练1】（2024春•鼓楼区校级月考）已知的解集为，则的解集为 　　． 【易错训练2】（2022春•潢川县期末）若不等式组的解集是空集， 则，的大小关系是　　． 易错考点讲练04：在数轴上表示不等式的解集 【典例易错题】（2024春•江陵县期末）已知一个不等式的解集在数轴上如图所示，则这个不等式是　　 A． B． C． D． 【易错训练1】（2024•西平县一模）如图表示某个关于的不等式的解集，若是该不等式的一个解，则的取值范围是 　　． 【易错训练2】（2024春•顺德区校级月考）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． （1）的解集为 　　，的解集为 　　； （2）不等式的解集是 　　． （3）若对任意的都成立，则的取值范围是 　　． 易错考点讲练05：一元一次不等式的定义 【典例易错题】（2023春•益阳期末）下列式子中，一元一次不等式有　　 ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【易错训练1】（2023春•荔城区校级月考）已知是关于的一元一次不等式，则　　． 【易错训练2】（2021春•大武口区校级月考）已知是关于的一元一次不等式，则的值是 　　． 易错考点讲练06：解一元一次不等式 【典例易错题】（2024春•博罗县期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，如果两个不等式的解集相同，则称不等式与为同解不等式． （1）若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； （2）若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是整数，试求，的值． 【易错训练1】（2024春•广陵区期末）已知关于，的方程组． （1）若，求的值； （2）已知为负数，为非正数，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若为整数，则当为何值时，不等式的解集为． 【易错训练2】（2024春•鼓楼区校级期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程的解为，而一元一次不等式的解集为，不难发现在范围内，则一元一次方程是一元一次不等式的“伴随方程”． （1）在①，②，③，三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有 　　（填序号）； （2）若关于的一元一次方程是关于一元一次不等式的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于的一元一次不等式的“伴随方程”． ①求的取值范围； ②直接写出代数式的最大值． 易错考点讲练07：一元一次不等式的整数解 【典例易错题】（2024春•游仙区期末）若实数使关于的不等式组有整数解且至多有4个整数解，且使关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和为 　． 【易错训练1】（2024•肥城市二模）若关于的不等式的最小整数解为5，则实数的取值为 　 【易错训练2】（2023秋•苏州期末）已知关于的方程． （1）若该方程的解满足，求的取值范围； （2）若该方程的解是不等式的 的负整数解，求的值． 易错考点讲练08：由实际问题抽象出一元一次不等式 【典例易错题】（2024春•黄埔区校级期中）把一些书分给若干名同学，若______；若每人分11本，则不够分，依题意，设有名同学，列不等式．则以上横线上的信息可以是　　 A．每人分7本，则可多分9个人 B．每人分7本，则剩余9本 C．每人分9本，则剩余7本 D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本 【易错训练1】（2024春•淮北期末）某商店有一款商品，每件进价为100元，标价为150元，现准备打折销售．若要保证利润率不低于，设打折销售，则下列说法正确的是　　 A．依题意得 B．依题意得 C．该商品最多打8折 D．该商品最多打9折 【易错训练2】（2024春•花山区校级期中）政务区银泰百货商场促销，真真将促销信息告诉了妈妈，现假设某一商品的定价为元，真真妈妈根据信息列出了不等式，那么真真告诉妈妈的信息是　　 A．买两件等值的商品可减150元，再打八折，最后不超过1200元 B．买两件等值的商品可打八折，再减150元，最后不超过1200元 C．买两件等值的商品可减150元，再打八折，最后不到1200元 D．买两件等值的商品可打八折，再减150元，最后不到1200元 易错考点讲练09：一元一次不等式的应用 【典例易错题】（2024•大渡口区校级开学）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，后则显示的结果，比如依次输入1，2，则输出结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算． ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是1； ②若将2，3，6这3个整数任意的一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4； ③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数，2，，全部输入完毕后显示的最后结果为，若的最大值为2021，那么的最小值为2019． 以上说法正确的个数有　　个． A．3 B．2 C．1 D．0 【易错训练1】（2019•沙坪坝区校级二模）临近端午，某超市准备购进某品牌的白粽、豆沙粽、蛋黄粽，三种品种的粽子共1000袋（每袋均为同一品种的粽子），其中白粽每袋12个，豆沙粽每袋8个，蛋黄粽每袋6个．为了推广，超市还计划将三个品种的粽子各取出来，拆开后重新组合包装，制成、两种套装进行特价销售：套装为每袋白粽4个，豆沙粽4个；套装为每袋白粽4个，蛋黄粽2个，取出的袋数和套装的袋数均为正整数．若蛋黄粽的进货袋数不低于总进货袋数的，则豆沙粽最多购进　　袋． 【易错训练2】（2024春•平罗县期末）每年的5月20日是中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息如下 ①快餐成分：蛋白质、脂肪、碳水化合物和其它； ②快餐总质量为400克； ③脂肪所占的百分比为； ④碳水化合物质量是蛋白质质量的4倍．根据此信息，解答下列问题： （1）求这份快餐中所含脂肪质量； （2）若碳水化合物占快餐总质量的，求这份快餐所含蛋白质的质量； （3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于，求其中所含碳水化合物质量的最大值． 易错考点讲练10：一元一次不等式组的定义 【典例易错题】（2023春•美姑县期末）下列是一元一次不等式组的是　　 A． B． C． D． 【易错训练1】（2022•丰顺县校级开学）下列不等式组为一元一次不等式组的是　　 A． B． C． D． 【易错训练2】（2022春•潍坊期中）写出一个解集为的一元一次不等式组 　　． 易错考点讲练11：解一元一次不等式组 【典例易错题】（2024春•邯郸期末）关于的不等式组有解，且其解都是不等式的解，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【易错训练1】（2024春•蒙阴县期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：，，．如果　　 A． B． C． D． 【易错训练2】（2024春•辽阳期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． （1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 　　；（填序号） （2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 易错考点讲练12：一元一次不等式组的整数解 【典例易错题】（2024春•河北区期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数的个数为　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【易错训练1】（2023春•樊城区期中）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为　　 A．5 B．8 C．9 D．15 【易错训练2】（2024春•兴化市期末）我们规定若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“关联方程”． 问题解决： （1）方程是不等式组的“关联方程”吗？请说明理由． （2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； （3）若关于的不等式组的所有“关联方程”只有3个不同整数解，试求的取值范围． 易错考点讲练13：由实际问题抽象出一元一次不等式组 【典例易错题】（2024春•泰兴市月考）小明有1元和5角的硬币■，问小明可能有几枚1元的硬币？ 解：设小明有1元硬币枚，根据题意得不等式组．■是被污染的部分，根据以上信息推测出被污染的部分内容有：①1元和5角的硬币15枚；②1元的硬币不少于2枚；③这些硬币的总币值不足10元．对被污染的信息推测正确的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【易错训练1】（2024春•曲阳县期末）用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料，要求至少含有4200单位的维生素，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料，则可列不等式组为　　 原料 甲 乙 维生素 600单位 100单位 原料价格 8元 4元 A． B． C． D． 【易错训练2】．（2024春•宁明县校级月考）在学校读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们．如果每人分5本，那么剩余12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，问勤奋小组的人数？设勤奋小组有人，则可列不等式组为 　　 ． 易错考点讲练14：一元一次不等式组的应用 【典例易错题】（2023•东兴区校级二模）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨辆） 5 8 10 汽车运费（元辆） 300 400 500 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节约运费，该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量； （3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 【易错训练1】（2021春•淅川县期中）一批货物要运往某地，货主准备租用汽运公司的甲、乙两种货车，已知过去租用这两种汽车运货的情况如表所示． （1）一辆甲货车和一辆乙货车一次分别运货多少吨？ （2）若货主现有30吨货物，计划同时租用甲货车辆，乙货车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． ①请你帮助货主设计租车方案； ②若甲货车每辆租金100元，乙货车每辆租金120元．请选出最省钱的租车方案． 第一次 第二次 甲货车辆数 3 2 乙货车辆数 4 3 累积运货吨数 36 26 【易错训练2】（2024春•东安区校级期末）某电脑商店计划购进，两种型号的电脑进行销售．若购进2台型电脑和3台型电脑需23000元，而购进4台型电脑和1台型电脑则需21000元． （1）求，两种型号电脑每台的进价； （2）因正值高考录取季，电脑的销售情况较好，商店决定投入500000元全部用于购进这两种型号的电脑．预计销售时每台型电脑可获利900元，每台型电脑可获利1000元．商店计划购进型电脑的数量不超过120部，且这批电脑全部售出后，利润不低于111000元，则商店有几种进货方案？ （3）商店最后按（2）中可获得最大利润的方案进货并将电脑全部售出，商店决定拿出的利润，购买甲、乙两种型号的空气循环扇捐献给敬老院（两种型号都有），如果甲型空气循环扇每台500元，乙种型号的空气循环扇每台400元，请直接写出捐献空气循环扇台数最多捐赠方案． 一、选择题 1．（24-25七年级上·重庆·期末）已知两个多项式，，下列结论正确的有（   ）个． ①若关于的代数式不含一次项，则； ②若，则； ③若，则或； ④若关于x的方程的解为负整数，则符合条件的非负整数a有1个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级·全国·假期作业）若关于的方程的解为自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的和为 （   ） A．5 B．2 C．4 D．6 4．（17-18八年级下·全国·单元测试）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，已知某队一共比赛了10场，均保持不败，得分超过22分，则该队（   ） A．最多胜了6场 B．最多胜了7场 C．最少胜了6场 D．最少胜了7场 二、填空题 6．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）如图，某同学设计了一种运算程序，输入数，将每次运算结果是否大于作为一次运算，若大于，则输出结果；若小于或等于，则将运算结果重新赋值给，并进行运算．    （1）若，，则最终输出的结果为 ． （2）若，程序进行了3次运算后停止，则可取的最小整数为 ． 7．（23-24七年级下·全国·期中）运算程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果程序操作恰好进行了次后停止，那么满足条件的的最大整数值为 ．    8．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ． 9．（24-25七年级下·全国·期末）某医院安排护士若干名负责护理病人，若每名护士护理名病人，则有名病人没人护理，如果每名护士护理名病人，有一名护士护理的病人多于人不足人，那么这个医院安排了 名护士护理病人． 10．（23-24七年级下·全国·期末）某商家在甲、乙、丙三处批发市场购进A，B，C三种商品，已知同种商品在不同批发市场的批发价均相同，6件B的总价与9件C的总价相同．已知在甲处购买30个A，20个B，20个C，在乙处购买A，B，C三种商品的数量分别为在甲处购买的数量的基础上增加，同时，在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．已知在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，则商家在丙处购买三种商品的数量和最少是 ． 三、解答题 11．（22-23七年级下·福建泉州·期中）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 12．（24-25七年级下·全国·期中）（新考法）对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，根据以上材料，解决下列问题： (1)__________， __________； (2)若，则的取值范围是__________； (3)求满足的所有非负数的值． 13．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）2023年是农历癸卯年（兔年），生肖兔的挂件成了热销品．某商店准备购进A、B两种型号的兔子挂件．已知购进2件A型号兔子挂件和1件B型号兔子挂件共需105元，3件A型号兔子挂件比1件B型号兔子挂件贵95元． (1)该商店购进的A、B两种型号的兔子挂件的单价分别为多少元？ (2)该商店计划购进A型号兔子挂件600件，B型号兔子挂件件，甲、乙两个厂家的优惠方式如下： 甲厂家：每购买10件A型号兔子挂件赠送一件B型号兔子挂件； 乙厂家：A型号兔子挂件不打折，B型号兔子挂件打九折． 若你是商家的采购员，在只能选择一个厂家采购的条件下，如何采购较省钱？ 15．（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优易错知识讲练（新教材） 第11章 一元一次不等式 （思维导图+易错知识+14大考点讲练+易错真题难度拔尖练 共57题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 2 易错知识点梳理精讲 2 易错知识点梳理01：不等式的概念与性质 2 易错知识点梳理02：一元一次不等式的解法 3 易错知识点梳理03： 不等式的应用 3 易错知识点梳理04：不等式的性质与运算的混淆 3 易错考点优选题讲练 4 易错考点讲练01：不等式的定义 4 易错考点讲练02：不等式的性质 5 易错考点讲练03：不等式的解集 8 易错考点讲练04：在数轴上表示不等式的解集 10 易错考点讲练05：一元一次不等式的定义 12 易错考点讲练06：解一元一次不等式 13 易错考点讲练07：一元一次不等式的整数解 18 易错考点讲练08：由实际问题抽象出一元一次不等式 20 易错考点讲练09：一元一次不等式的应用 22 易错考点讲练10：一元一次不等式组的定义 25 易错考点讲练11：解一元一次不等式组 26 易错考点讲练12：一元一次不等式组的整数解 29 易错考点讲练13：由实际问题抽象出一元一次不等式组 33 易错考点讲练14：一元一次不等式组的应用 35 易错真题拔尖训练 39 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，易错知识点梳理，易错考点真题汇编，精选易错题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 易错知识点梳理01：不等式的概念与性质 易错点： 学生可能对不等式与等式之间的区别理解不够深入，容易混淆两者的概念和性质。 在理解不等式的基本性质（如加法、减法、乘法、除法性质）时，可能会忽略不等式方向的变化规则，特别是在乘法或除法涉及负数时。 解题技巧： 明确不等式与等式在表示关系上的区别，不等式表示的是两个量之间的大小关系，而不是相等关系。 熟练掌握不等式的基本性质，并特别注意在乘法或除法涉及负数时，不等号的方向会发生变化。 易错知识点梳理02：一元一次不等式的解法 易错点： 在移项时，可能会忘记改变不等号的方向，特别是当移项涉及负数时。 在合并同类项时，可能会计算错误，导致解出的不等式解集不正确。 在求解不等式时，可能会忽略不等式解集的表示方法，如使用数轴或区间表示法。 解题技巧： 在移项时，要特别注意不等号的方向变化，特别是当移项涉及负数时，不等号的方向要反转。 在合并同类项时，要仔细计算，确保每一项都被正确合并。 在求解不等式后，要使用数轴或区间表示法正确地表示不等式的解集。 易错知识点梳理03： 不等式的应用 易错点： 在将不等式应用到实际问题中时，可能会忽略问题的实际背景，导致解出的不等式不符合实际情况。 在设置不等式时，可能会遗漏某些条件或设置错误的未知数。 在求解实际问题时，可能会混淆不等式的解与实际问题的解，即不等式的解集可能包含不符合实际情况的解。 解题技巧： 仔细审题，理解问题的实际背景，确保设置的不等式符合实际情况。 在设置不等式时，要全面考虑所有条件，并正确设置未知数。 在求解实际问题后，要仔细分析不等式的解集，排除不符合实际情况的解，得到实际问题的解。 易错知识点梳理04：不等式的性质与运算的混淆 易错点： 在进行不等式的运算时，可能会混淆不等式的性质与运算规则，导致运算错误。 在进行不等式的比较时，可能会忽略不等式之间的逻辑关系，导致比较结果错误。 解题技巧： 熟练掌握不等式的性质与运算规则，并特别注意在进行运算时保持不等式的方向正确。 在进行不等式的比较时，要仔细分析不等式之间的逻辑关系，确保比较结果正确。 易错考点讲练01：不等式的定义 【典例易错题】（2024•巴林左旗模拟）小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】直接根据题意可得． 【规范解答】解：小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了不等式的定义，正确得出不等关系是解题关键． 【易错训练1】（2023春•石狮市校级期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【思路点拨】依据不等式的定义进行判断．用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式． 【规范解答】解：①，属于不等式； ②，属于不等式； ③，属于不等式； ④属于代数式，不合题意； ⑤属于方程，不合题意； ⑥，属于不等式． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 【易错训练2】（2021春•尧都区期中）周末，丽丽的妈妈买了她爱吃的菠萝和香蕉，丽丽上网查找得到：菠萝适宜的冷藏温度是，香蕉适宜的冷藏温度是，现在要将菠萝和香蕉同时放在一起冷藏，则冰箱应设置的适宜温度是 　　． 【思路点拨】找出甲乙两种蔬菜保鲜适宜的温度范围的公共部分即可． 【规范解答】解：菠萝适宜的冷藏温度是，香蕉适宜的冷藏温度是， 将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是． 故答案为：． 【考点评析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 易错考点讲练02：不等式的性质 【典例易错题】（2024春•蒙城县期末）下列判断正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【思路点拨】．根据不等式的基本性质2计算即可； ．根据不等式的基本性质1计算即可； ．举一反例即可． 【规范解答】解：根据不等式的基本性质2，将的两边同时除以2，得， 正确，符合题意； 根据不等式的基本性质2，将的两边同时除以，得， 不正确，不符合题意； 根据不等式的基本性质1，将的两边同时加6，得， 不正确，不符合题意； 若，，则，但，，得， 不正确，不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的3个基本性质是解题的关键． 【易错训练1】（2024春•姑苏区校级月考）已知、满足． （1）若，求的取值范围； （2）若、满足，且，，求的取值范围． 【思路点拨】（1）将用含的代数式表示出来，令，根据不等式的性质解不等式，求出的取值范围即可； （2）解方程组，根据和列一元一次不等式组并求解，求出的取值范围即可． 【规范解答】解：（1）， ， ， ， ． （2）根据题意，得， 解得， ，， ， 解得． 【考点评析】本题考查不等式的性质和解二元一次方程组、一元一次不等式、一元一次不等式组，掌握不等式的3个基本性质及二元一次方程组、一元一次不等式、一元一次不等式组的解法是解题的关键． 【易错训练1】（2023春•沾化区期末）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元． （1）若， ①当时，到甲商场实际花费 　117　元，到乙商场实际花费 　　元； ②若，那么当　　时，到甲或乙商场实际花费一样； （2）经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠1元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出，的值； （3）若时，到甲或乙商场实际花费一样，且，请直接写出的最小值． 【思路点拨】（1）①根据题中等量关系计算即可． ②利用①中关系计算即可． （2）建立关于，的方程组计算即可． （3）根据甲乙两商场费用一样求解． 【规范解答】解：（1）①由题意得到甲商场实际花费：（元， 到乙商场实际花费：（元． 故答案为：117，116． ②若，到甲商场实际花费：． 到乙商场实际花费：． ， （元． 故答案为：140． （2）当时，到甲商场无优惠， ， 当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠1元， ． ． 当时，到甲或乙商场实际花费一样， ， ． ，． （3）①若两个商城均打折， 时，到甲或乙商场实际花费一样， ， ． ． ． ． ， ， ． ． ， 随的增大而增大． 当时，有最小值：． ②若两个商城均为打折， 则，， ， ， ， 有最小值390， 综上所述，的最小时为110． 【考点评析】本题考查列代数式，正确表示到两个商场实际花费是求解本题的关键． 易错考点讲练03：不等式的解集 【典例易错题】（2024春•巴南区期末）定义一种新运算：，下列说法： ①若，则，； ②若，则该不等式的解集为或； ③代数式有最小值6； ④若关于，的二元一次方程组的解为，则的值为0或4． 以上结论正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】依据题意，根据新运算的定义，利用分类讨论的思想对每一个选项进行分析即可得解． 【规范解答】解：①由题意，， 当时，，则，不符合题意，舍去． 当时，，则，符合题意． 综上，若，则，故①错误． ②，且， ． ． 或，故②正确． ③ ， 又表示为数轴上表示的数与到数轴上表示3及的数的距离之和，且的最小值为6， 的最小值为6，故③正确． ④由题意，当时，原方程组可化为， 将代入①得， ． 当时，原方程组可化为， 将代入①得， ，不合题意． 综上，，故④错误． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了不等式的解集、二元一次方程组的解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【易错训练1】（2024春•鼓楼区校级月考）已知的解集为，则的解集为 　　． 【思路点拨】先由题意解得，的值，再代入解该不等式组． 【规范解答】解：由题意解不等式组得， 可得， 解得， 由题意得不等式组， 解得， 故答案为：． 【考点评析】此题考查了含有字母参数一元一次不等式组的求解能力，关键是能准确综合运用一元一次不等式组、二元一次方程组知识进行正确地求解． 【易错训练2】（2022春•潢川县期末）若不等式组的解集是空集， 则，的大小关系是　　． 【思路点拨】因为不等式组的解集是空集， 利用不等式组解集的确定方法即可求出答案 ． 【规范解答】解：不等式组的解集是空集， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查由不等式组解集的表示方法来确定，的大小， 也可以利用数轴来求解 ． 易错考点讲练04：在数轴上表示不等式的解集 【典例易错题】（2024春•江陵县期末）已知一个不等式的解集在数轴上如图所示，则这个不等式是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据在数轴上表示不等式的解集的方法，即可解答． 【规范解答】解：已知一个不等式的解集在数轴上如图所示，则这个不等式是， 故选：． 【考点评析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的定义，熟练掌握在数轴上表示不等式的解集的方法是解题的关键． 【易错训练1】（2024•西平县一模）如图表示某个关于的不等式的解集，若是该不等式的一个解，则的取值范围是 　　． 【思路点拨】由图形得：，根据是该不等式的一个解得出，据此进一步求解即可． 【规范解答】解：由图形得：， 因为是的一个解， 所以， 所以， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是解题的关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【易错训练2】（2024春•顺德区校级月考）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． （1）的解集为 　　，的解集为 　　； （2）不等式的解集是 　　． （3）若对任意的都成立，则的取值范围是 　　． 【思路点拨】（1）依据题意，由，从而，由，则或，即可判断得解； （2）依据题意，从数轴上看，当时，取最小值为4，故当或时，，即可判断得解； （3）依据题意，方程的解，即到3的距离和到的距离之差为的点对应的数，从而的解集分三种在左侧，在和3之间，在3右侧的取值范围，再分、和三种情形讨论，即可判断得解． 【规范解答】解：（1）由题意，， ． ， 或． 故答案为：；或． （2）由题意，从数轴上看，当时，取最小值为4， 当或时，． 不等式的解集是或． 故答案为：或． （3）方程的解，即到3的距离和到的距离之差为的点对应的数， 则的解集分三种在左侧，在和3之间，在3右侧的取值范围， ①当时，不等式， ②当时，不等式，又，，， ③当时，不等式， 综上，． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集、绝对值、有理数大小比较，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 易错考点讲练05：一元一次不等式的定义 【典例易错题】（2023春•益阳期末）下列式子中，一元一次不等式有　　 ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义解答即可． 【规范解答】解：一元一次不等式有：④；⑤；⑥． 一元一次不等式有3个． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义．一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【易错训练1】（2023春•荔城区校级月考）已知是关于的一元一次不等式，则　4　． 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义，，，分别进行求解即可． 【规范解答】解：根据题意，解得， 所以 【考点评析】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，本题还要注意未知数的系数不能是0． 【易错训练2】（2021春•大武口区校级月考）已知是关于的一元一次不等式，则的值是 　1　． 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义进行计算即可解答． 【规范解答】解：由题意得： ， ， 故答案为：1． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 易错考点讲练06：解一元一次不等式 【典例易错题】（2024春•博罗县期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，如果两个不等式的解集相同，则称不等式与为同解不等式． （1）若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； （2）若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是整数，试求，的值． 【思路点拨】（1）先分别解不等式和不等式，然后根据同解不等式的定义可得，最后进行计算即可解答； （2）先分别解不等式和不等式，然后根据同解不等式的定义可得，最后进行计算即可解答． 【规范解答】解：（1）， ， ， ， ， ， ， 不等式，不等式是同解不等式， ， 解得：， 的值为； （2）， ， ， ， 不等式，不等式是同解不等式， ， ， ，是整数， ，或，或，或，． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，理解同解不等式的定义是解题的关键． 【易错训练1】（2024春•广陵区期末）已知关于，的方程组． （1）若，求的值； （2）已知为负数，为非正数，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若为整数，则当为何值时，不等式的解集为． 【思路点拨】（1）利用整体的思想可得，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）先解方程组可得，然后根据题意可得：，从而进行计算即可解答； （3）先解一元一次不等式可得，再根据已知易得：，从而可得：，然后利用（2）的结论可得：，即可解答． 【规范解答】解：（1）， ①②得：， ， ， 解得：； （2）， 解得：， 为负数，为非正数， ， 解得：； （3）， ， ， 不等式的解集为， ， 解得：， 由（2）得：， ， 是整数， ． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【易错训练2】（2024春•鼓楼区校级期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程的解为，而一元一次不等式的解集为，不难发现在范围内，则一元一次方程是一元一次不等式的“伴随方程”． （1）在①，②，③，三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有 　②③　（填序号）； （2）若关于的一元一次方程是关于一元一次不等式的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于的一元一次不等式的“伴随方程”． ①求的取值范围； ②直接写出代数式的最大值． 【思路点拨】（1）先分别解三个一元一次方程，再解一元一次不等式，然后根据“伴随方程”的定义，逐一判断即可解答； （2）①先解一元一次方程，可得，再解一元一次不等式，可得，然后根据“伴随方程”的定义可得，从而可得；再解一元一次方程和一元一次不等式，从而可得，，最后根据伴随方程”的定义可得，从而可得，即可解答； ②利用①的结论可得：当时，的值最大，然后把的值代入式子中，进行计算即可解答． 【规范解答】解：（1）①， ， ， ； ②， ， ， ； ③， ， ， ； ， ， ， ， ， 在①，②，③，三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有②③， 故答案为：②③； （2）①， ， ， ， ， ， ， ， 方程是关于一元一次不等式的“伴随方程”， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 方程不是关于的一元一次不等式的“伴随方程”， ， ， ， 综上所述：， 的取值范围为：； ②， 当时，的值最大，最大值， 代数式的最大值是7． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式，绝对值，解一元一次方程，一元一次方程的解，理解“伴随方程”的定义是解题的关键． 易错考点讲练07：一元一次不等式的整数解 【典例易错题】（2024春•游仙区期末）若实数使关于的不等式组有整数解且至多有4个整数解，且使关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和为 　13　． 【思路点拨】先按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，再根据题意可得，从而可得：，然后解分式方程可得， 再根据题意可得且，从而可得：且，进而可得，最后进行计算，即可解答． 【规范解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 不等式组有整数解且至多有4个整数解， ， 解得：， ， ， 解得：， 分式方程的解为非负数， 且， 且， 解得：且， ， 满足条件的所有整数的和， 故答案为：13． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，分式方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【易错训练1】（2024•肥城市二模）若关于的不等式的最小整数解为5，则实数的取值为　　 【思路点拨】先将看作常数解不等式，根据最小整数解为5，得，解出即可． 【规范解答】解：解不等式得， 不等式的最小整数解为5， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 【易错训练2】（2023秋•苏州期末）已知关于的方程． （1）若该方程的解满足，求的取值范围； （2）若该方程的解是不等式的 的负整数解，求的值． 【思路点拨】（1）先解一元一次方程可得，然后根据题意可得：，从而进行计算即可解答； （2）先解一元一次不等式可得，从而可得该不等式的负整数解为：，然后根据题意可得，从而进行计算即可解答， 【规范解答】解：（1）， ， ， 该方程的解满足， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， 该不等式的负整数解为：， 由题意得：， ， ． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解，不等式的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 易错考点讲练08：由实际问题抽象出一元一次不等式 【典例易错题】（2024春•黄埔区校级期中）把一些书分给若干名同学，若______；若每人分11本，则不够分，依题意，设有名同学，列不等式．则以上横线上的信息可以是　　 A．每人分7本，则可多分9个人 B．每人分7本，则剩余9本 C．每人分9本，则剩余7本 D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本 【思路点拨】根据不等式表示的意义解答即可． 【规范解答】解：由不等式可得，把一些书分给几名同学，若每人分7本，则可多分9个人；若每人分11本，则不够， 故选：． 【考点评析】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 【易错训练1】（2024春•淮北期末）某商店有一款商品，每件进价为100元，标价为150元，现准备打折销售．若要保证利润率不低于，设打折销售，则下列说法正确的是　　 A．依题意得 B．依题意得 C．该商品最多打8折 D．该商品最多打9折 【思路点拨】根据题意可得不等关系，标价打折进价利润，根据不等关系列出不等式即可． 【规范解答】解：设打折销售， 根据题意得：， 解得：， 则最多打8折， 故选：． 【考点评析】此题考查了有实际问题抽象出一元一次不等式，正确记忆这个知识点是解题关键． 【易错训练2】（2024春•花山区校级期中）政务区银泰百货商场促销，真真将促销信息告诉了妈妈，现假设某一商品的定价为元，真真妈妈根据信息列出了不等式，那么真真告诉妈妈的信息是　　 A．买两件等值的商品可减150元，再打八折，最后不超过1200元 B．买两件等值的商品可打八折，再减150元，最后不超过1200元 C．买两件等值的商品可减150元，再打八折，最后不到1200元 D．买两件等值的商品可打八折，再减150元，最后不到1200元 【思路点拨】根据，可以理解为买两件减150元，再打8折得出总价小于1200元． 【规范解答】解：由关系式可知： ， 由，得出两件商品减150元，以及由得出买两件打8折， 故可以理解为：买两件等值的商品可减150元，再打8折，最后不到1200元． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据已知得出最后打8折是解题关键． 易错考点讲练09：一元一次不等式的应用 【典例易错题】（2024•大渡口区校级开学）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，后则显示的结果，比如依次输入1，2，则输出结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算． ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是1； ②若将2，3，6这3个整数任意的一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4； ③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数，2，，全部输入完毕后显示的最后结果为，若的最大值为2021，那么的最小值为2019． 以上说法正确的个数有　　个． A．3 B．2 C．1 D．0 【思路点拨】①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可； ②根据运算规则可知最大值是5； ③根据题意可得出只有3个数字，当最后输入最大值时结果得到的值最大，当首先将最大值输入则结果是最小值，进而分析得出即可． 【规范解答】解：①由题意得：，，， 输出的结果是2． 故①是错误的； ②对于2，3，6，按如下次序输入2、3、6， ，，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5． 故②是错误的； ③随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数，2，，全部输入完毕后显示的最后结果设为，的最大值为2021， 故可设为较大数字， 当时，． ． 此时任意输入后得到的最小数为：． 又设为较大数字， 当时，． ，即，则． 此时最小数为：． 此时的最小值为2017． 故③是错误的； 故选：． 【考点评析】本题主要考查了绝对值有关的问题，解题的关键是要有试验观察和分情况讨论的能力． 【易错训练1】（2019•沙坪坝区校级二模）临近端午，某超市准备购进某品牌的白粽、豆沙粽、蛋黄粽，三种品种的粽子共1000袋（每袋均为同一品种的粽子），其中白粽每袋12个，豆沙粽每袋8个，蛋黄粽每袋6个．为了推广，超市还计划将三个品种的粽子各取出来，拆开后重新组合包装，制成、两种套装进行特价销售：套装为每袋白粽4个，豆沙粽4个；套装为每袋白粽4个，蛋黄粽2个，取出的袋数和套装的袋数均为正整数．若蛋黄粽的进货袋数不低于总进货袋数的，则豆沙粽最多购进　360　袋． 【思路点拨】根据取出的三种粽子的个数与套装中的各种粽子的个数对应相等，可以得到白粽和豆沙粽的袋数之间的关系，再由蛋黄粽的进货量不低于总进货量的，列不等式求出豆沙粽袋数的取值范围，从而确定豆沙粽最多购进的袋数，然后验证取出的袋数和套装的袋数均为正整数即可． 【规范解答】解：设购进的豆沙粽为袋，白粽袋，则蛋黄粽为袋， 于是，取出的豆沙粽的个数为个；取出的白粽的个数为个；取出的蛋黄粽的个数为个； 因此套装的套数为：套，套装的套数为：套， 根据两种套装的白粽个数等于取出的白粽的个数得： 整理得：， 又蛋黄粽的进货袋数不低于总进货袋数的， 把，代入中， 解得：， 为正整数，因此． 故答案为：360． 【考点评析】考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是正确的表示各种粽子的袋数，个数，根据蛋黄粽的进货数量的要求列出不等式求解验证． 【易错训练2】（2024春•平罗县期末）每年的5月20日是中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息如下 ①快餐成分：蛋白质、脂肪、碳水化合物和其它； ②快餐总质量为400克； ③脂肪所占的百分比为； ④碳水化合物质量是蛋白质质量的4倍．根据此信息，解答下列问题： （1）求这份快餐中所含脂肪质量； （2）若碳水化合物占快餐总质量的，求这份快餐所含蛋白质的质量； （3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于，求其中所含碳水化合物质量的最大值． 【思路点拨】（1）快餐中所含脂肪质量快餐总质量脂肪所占百分比； （2）根据这份快餐总质量为400克，根据其百分含量求得碳水化合物的质量，易得蛋白质的质量； （3）根据这份快餐中脂肪所占百分比的和不高于，列出不等式求解即可． 【规范解答】解：（1）（克． 答：这份快餐中所含脂肪质量为20克； （2）由题意，碳水化合物占快餐总质量的， 碳水化合物质量是（克． 又碳水化合物质量是蛋白质质量的4倍． 蛋白质质量为． 答：所含蛋白质质量为40克； （3）设所含蛋白质质量为克，则碳水化合物的质量为克， ， 所含碳水化合物质量的最大值为272克． 【考点评析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 易错考点讲练10：一元一次不等式组的定义 【典例易错题】（2023春•美姑县期末）下列是一元一次不等式组的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【规范解答】解：是一元一次不等式组． 故选：． 【考点评析】此题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解本题的关键． 【易错训练1】（2022•丰顺县校级开学）下列不等式组为一元一次不等式组的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可． 【规范解答】解：．是一元一次不等式组，故本选项符合题意； ．是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； ．是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； ．是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键，含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 【易错训练2】（2022春•潍坊期中）写出一个解集为的一元一次不等式组 　　． 【思路点拨】根据“大小小大中间找”构造不等式组则可． 【规范解答】解：当解集为时， 构造的不等式组为． 答案不唯一 【考点评析】本题考查了一元一次不等式解集与不等式组之间的关系，解不等式组的简便求法就是用口诀求解，构造已知解集的不等式是它的逆向运用．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 易错考点讲练11：解一元一次不等式组 【典例易错题】（2024春•邯郸期末）关于的不等式组有解，且其解都是不等式的解，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】分别解不等式组和不等式，根据题意列关于的不等式组并求解即可． 【规范解答】解：解不等式组，得， 解不等式，得， 根据题意，得， 解得． 故选：． 【考点评析】本题考查解一元一次不等式组、解一元一次不等式，掌握一元一次不等式组和一元一次不等式的解法是解题的关键． 【易错训练1】（2024春•蒙阴县期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：，，．如果　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据定义：符号表示不大于的最大整数，可得，然后进行计算即可解答． 【规范解答】解：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 故选：． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式组，理解定义：符号表示不大于的最大整数是解题的关键． 【易错训练2】（2024春•辽阳期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． （1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 　①②　；（填序号） （2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 【思路点拨】（1）先解方程①②③，再解一元一次不等式组，然后根据关联方程”的定义即可解答； （2）先解一元一次不等式组，再解一元一次方程，然后根据关联方程”的定义可得，最后进行计算即可解答． 【规范解答】解：（1）①， ， ， ， ； ②， ， ； ③， ， ， ， ； ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 不等式组的“关联方程”是①②， 故答案为：①②； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， ， ， ， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得：， 的取值范围为：． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 易错考点讲练12：一元一次不等式组的整数解 【典例易错题】（2024春•河北区期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数的个数为　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路点拨】先求出方程组和不等式的解集，再求出的范围，最后得出答案即可． 【规范解答】解：解方程组得：， ， ， 解得：， 解不等式组得， 关于的不等式组恰好有4个整数解，，0，， ， 解得：， ， ， 所有符合条件的整数有，0，共有2个， 故选：． 【考点评析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键． 【易错训练1】（2023春•樊城区期中）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为　　 A．5 B．8 C．9 D．15 【思路点拨】先解该不等式组并求得符合题意的的取值范围，再解分式方程并求得符合题意的的取值范围，然后确定的所有取值，最后计算出此题结果． 【规范解答】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 由题意得， 解关于的方程得， ， 由题意得，， 解得， 的取值范围为：，且为整数， 的取值为，0，1，2，3，4，5，6， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 为整数，且为整数， 符合条件的整数为，1，3，5， ， 符合条件的所有整数的和为8． 故选：． 【考点评析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，解一元一次不等式组，解决本题的关键是能对以上问题准确求解，并根据题意确定字母参数的取值． 【易错训练2】（2024春•兴化市期末）我们规定若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“关联方程”． 问题解决： （1）方程是不等式组的“关联方程”吗？请说明理由． （2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； （3）若关于的不等式组的所有“关联方程”只有3个不同整数解，试求的取值范围． 【思路点拨】（1）依据题意，先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）依据题意，先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于的不等式，进行计算即可； （3）依据题意，先求出不等式组的解集，再根据不等式组的所有“关联方程”只有3个不同整数解，从而．，即可得出的范围，再根据“关联方程”的定义得出关于的不等式，分和，进而可以判断得解． 【规范解答】解：（1）由题意，， ． 又， 由①得：， 由②得：， ， ， ， 的解集为． 不在范围内， 方程不是不等式组的“关联方程”． （2）由题意，， ． 又， 由①得：， 由②得：，，则， 不等式组的解集为：， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ． ． ． （3）由题意，， ． 不等式组的所有“关联方程”只有3个不同整数解， ． ． ，． 当时，必须满足，此时无解； 当时，必须满足，解得． 综上所述，． 【考点评析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，一元一次方程的解，熟练掌握解不等式组是关键． 易错考点讲练13：由实际问题抽象出一元一次不等式组 【典例易错题】（2024春•泰兴市月考）小明有1元和5角的硬币■，问小明可能有几枚1元的硬币？ 解：设小明有1元硬币枚，根据题意得不等式组．■是被污染的部分，根据以上信息推测出被污染的部分内容有：①1元和5角的硬币15枚；②1元的硬币不少于2枚；③这些硬币的总币值不足10元．对被污染的信息推测正确的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【思路点拨】根据不等式组中的两个不等式推测即可解答． 【规范解答】解：由，可得1元的硬币不少于2枚，故②正确； 由，可得1元和5角的硬币15枚，这些硬币的总币值不足10元，故①③正确， 综上所述，对被污染的信息推测正确的是①②③． 故选：． 【考点评析】本题考查一元一次不等式组解决实际问题，能求出解是解题的关键． 【易错训练1】（2024春•曲阳县期末）用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料，要求至少含有4200单位的维生素，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料，则可列不等式组为　　 原料 甲 乙 维生素 600单位 100单位 原料价格 8元 4元 A． B． C． D． 【思路点拨】所需甲种原料，则需乙种原料．由题意得：甲原料所含维生素乙单位；甲所花的费用乙的费用． 【规范解答】解：设所需甲种原料的质量为，则需乙种原料． 根据题意，得：， 故选：． 【考点评析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，抓住题目中的不等关系，列出不等式． 【易错训练2】．（2024春•宁明县校级月考）在学校读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们．如果每人分5本，那么剩余12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，问勤奋小组的人数？设勤奋小组有人，则可列不等式组为 　　． 【思路点拨】设这些图书有本，根据“如果每人分5本，那么剩余12本”可得这些学生的人数为：，根据“如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本”，即可列出不等式组，从而得解． 【规范解答】解：设这些图书有本， 如果每人分5本，那么剩余12本， 这些学生的人数为：， 如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本， 可列不等式组为：，即． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，列出正确的不等式组是关键． 易错考点讲练14：一元一次不等式组的应用 【典例易错题】（2023•东兴区校级二模）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨辆） 5 8 10 汽车运费（元辆） 300 400 500 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节约运费，该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量； （3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 【思路点拨】（1）设需甲车辆，乙车辆，根据运费6400元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （2）设甲车有辆，乙车有辆，则丙车有辆，列出等式，再根据、、均为整数，求出，的值，从而得出答案． （3）根据三种方案得出运费解答即可． 【规范解答】解：（1）设需甲车型辆，乙车型辆，得：， 解得，． 答：需甲车型8辆，需车型10辆； （2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，得：， 消去，得，， 因，是整数，且不大于18，得，5，10，15， 由是整数，解得或或或（舍； 有三种运送方案： ①甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆； ②甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆； ③甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． （3）三种方案的运费分别是： ①（元； ②（元； ③（元； 答：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆，最少运费是6400元． 【考点评析】本题考查了三元一次方程组和三元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握． 【易错训练1】（2021春•淅川县期中）一批货物要运往某地，货主准备租用汽运公司的甲、乙两种货车，已知过去租用这两种汽车运货的情况如表所示． （1）一辆甲货车和一辆乙货车一次分别运货多少吨？ （2）若货主现有30吨货物，计划同时租用甲货车辆，乙货车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． ①请你帮助货主设计租车方案； ②若甲货车每辆租金100元，乙货车每辆租金120元．请选出最省钱的租车方案． 第一次 第二次 甲货车辆数 3 2 乙货车辆数 4 3 累积运货吨数 36 26 【思路点拨】（1）设一辆甲货车一次运货吨，一辆乙货车一次运货吨，根据过去租用这两种汽车运货的情况表中的数据，即可得出关于，的二元一次方程，解之即可得出结论； （2）①根据要一次运货45吨，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各租车方案； ②利用总租金每辆车的租金租车辆数，分别求出两个方案的租车费用，比较后即可得出结论． 【规范解答】解：（1）设一辆甲货车一次运货吨，一辆乙货车一次运货吨， 依题意，得：， 解得：． 答：一辆甲货车一次运货4吨，一辆乙货车一次运货6吨． （2）①依题意，得：， ． 又，均为非负整数， 或， 有2种运货方案， 方案1：租用甲货车3辆，乙货车3辆； 方案2：租用甲货车6辆，乙货车1辆． ②方案1所需费用为（元； 方案2所需费用为（元． ， 方案1：租用甲货车3辆，乙货车3辆最省钱． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出二元一次方程；②利用总租金每辆车的租金租车辆数，分别求出两个方案的租车费用． 【易错训练2】（2024春•东安区校级期末）某电脑商店计划购进，两种型号的电脑进行销售．若购进2台型电脑和3台型电脑需23000元，而购进4台型电脑和1台型电脑则需21000元． （1）求，两种型号电脑每台的进价； （2）因正值高考录取季，电脑的销售情况较好，商店决定投入500000元全部用于购进这两种型号的电脑．预计销售时每台型电脑可获利900元，每台型电脑可获利1000元．商店计划购进型电脑的数量不超过120部，且这批电脑全部售出后，利润不低于111000元，则商店有几种进货方案？ （3）商店最后按（2）中可获得最大利润的方案进货并将电脑全部售出，商店决定拿出的利润，购买甲、乙两种型号的空气循环扇捐献给敬老院（两种型号都有），如果甲型空气循环扇每台500元，乙种型号的空气循环扇每台400元，请直接写出捐献空气循环扇台数最多捐赠方案． 【思路点拨】（1）根据购进2台型电脑和3台型电脑需23000元，购进4台型电脑和1台型电脑则需21000元为相等关系列出方程组求解即可； （2）设购进型电脑台，则购进型电脑台，根据型电脑的数量不超过120部，这批电脑全部售出后，利润不低于111000元，列出不等式组，求得的取值范围后进而根据为正整数可得的正整数取值； （3）分别算出（2）中的利润，得到最大利润后，根据甲型空气循环扇的总价钱乙型空气循环扇的总价钱最大的利润得到二元一次方程，求得正整数解后取最多捐献方案的解即可． 【规范解答】解：（1）设型电脑的进价是元台，型电脑的进价是元台， 根据题意得：， 解得：． 答：种型号电脑每台的进价4000元，两种型号电脑每台的进价5000元． （2）设购进型电脑台，则购进型电脑台． ． 解得：． 为正整数， 可取的整数值为110，115，120． 当时，； 当时，； 当时，． 答：商店有3种进货方案：型电脑110台，型电脑12台；型电脑115台，型电脑8台；型电脑120台，型电脑4台． （3）型电脑110台，型电脑12台所获利润为：； 型电脑115台，型电脑8台所获利润为：； 型电脑120台，型电脑4台所获利润为：． ， 最大利润为112000． 设甲型空气循环扇台，乙型空气循环扇台． ． 整理得：． ． ． 或． ，， ， 捐献空气循环扇台数最多捐赠方案是甲型空气循环扇4台，乙型空气循环扇9台． 【考点评析】本题考查二元一次方程组的应用．判断出能解决问题的相等关系和不等关系是解决本题的关键；易错点是根据为正整数及的取值范围得到可取的正整数的值 一、选择题 1．（24-25七年级上·重庆·期末）已知两个多项式，，下列结论正确的有（   ）个． ①若关于的代数式不含一次项，则； ②若，则； ③若，则或； ④若关于x的方程的解为负整数，则符合条件的非负整数a有1个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，解绝对值方程，负整数的概念．熟练掌握解方程的步骤与方法是解题关键． ①，代入多项式A，B，根据不含一次项，使一次项系数为0，解方程求解即可判断①； ②，先代入多项式A，B，化简，变形，即可判断②； ③，代入多项式A，B，列绝对值方程求解即可判断③； ④，代入多项式A，B，化简，根据方程解为负整数，求不等式的负整数解，即可判断④． 【规范解答】解：①∵，， 关于的代数式 不含一次项， ∴， ∴， ∴①不正确； ②若， 则， ∴， ∴②正确； ③若 ， 则或， ∴③正确； ④∵关于x的方程 的解为负整数， ∴， ∴， ∵a为非负整数， ∴符合条件的a有0、20，共2个， ∴④不正确 ∴正确的有②③，共2个． 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组．解题关键在于掌握其方法步骤． 解不等式组，根据其解集得出关于a、b的方程，解之求得a、b的值，再还原方程，解方程即可． 【规范解答】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∵不等式组的解集是， ∴． ∴，． ∴． ∴方程为． 解得． 故选：D． 3．（21-22八年级·全国·假期作业）若关于的方程的解为自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的和为 （   ） A．5 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的整数解、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次方程，学会根据不等式组的解的情况求参数是解题的关键．先求出的解为，从而推出，再整理不等式组为，结合不等式组无解得到，最后利用整数的值以及是自然数的条件即可解答． 【规范解答】解：由，解得， 方程的解为自然数， ， 解得：， 把整理得：， 不等式组无解， ， ，即整数， 是自然数， 或， 则符合条件的整数的值的和为． 故选：C． 4．（17-18八年级下·全国·单元测试）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，据此即可确定m的取值范围． 【规范解答】解：解不等式，得， 不等式组的解集为， ， 故选：A． 5．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，已知某队一共比赛了10场，均保持不败，得分超过22分，则该队（   ） A．最多胜了6场 B．最多胜了7场 C．最少胜了6场 D．最少胜了7场 【答案】D 【思路点拨】此题考查了一元一次不等式的应用，设该队胜了场，则平了场，均保持不败，得分超过22分，据此列不等式，解不等式即可得到答案． 【规范解答】解：设该队胜了场，则平了场， 根据题意得：， 解得 ∴该队最少胜了7场 故选：D 二、填空题 6．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）如图，某同学设计了一种运算程序，输入数，将每次运算结果是否大于作为一次运算，若大于，则输出结果；若小于或等于，则将运算结果重新赋值给，并进行运算．    （1）若，，则最终输出的结果为 ． （2）若，程序进行了3次运算后停止，则可取的最小整数为 ． 【答案】 77 4 【思路点拨】本题考查了程序框图的计算，一元一次不等式组的应用； （1）根据程序运行规则，将，，代入，进行计算即可求解； （2）根据运算进行了3次才停止，可列出关于m的一元一次不等式组，解之即可求出m的取值范围． 【规范解答】解：（1）当，， ， 继续计算：，输出； 故答案为：77． （2）依题意， 解得： ∴m可取的最大整数为4， 故答案为：4． 7．（23-24七年级下·全国·期中）运算程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果程序操作恰好进行了次后停止，那么满足条件的的最大整数值为 ．    【答案】 【思路点拨】此题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．由程序操作恰好进行了次后停止，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，即可求解． 【规范解答】解：由题意得：， 解得：， 满足条件的的最大整数值为， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查解二元一次方程组的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解方程组和不等式的方法． 根据关于、的方程组的解满足，且关于的不等式组有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决． 【规范解答】解：， ①+②得， ， 关于、的方程组的解满足， ，得， 解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ，得，由上可得，， 符合条件的整数的值的和为：． 故答案为：5． 9．（24-25七年级下·全国·期末）某医院安排护士若干名负责护理病人，若每名护士护理名病人，则有名病人没人护理，如果每名护士护理名病人，有一名护士护理的病人多于人不足人，那么这个医院安排了 名护士护理病人． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确列出不等式组．设这个医院安排了名护士护理病人，根据题意列不等式组即可求解． 【规范解答】解：设这个医院安排了名护士护理病人， 根据题意可得：， 解得：， 为整数， ， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·全国·期末）某商家在甲、乙、丙三处批发市场购进A，B，C三种商品，已知同种商品在不同批发市场的批发价均相同，6件B的总价与9件C的总价相同．已知在甲处购买30个A，20个B，20个C，在乙处购买A，B，C三种商品的数量分别为在甲处购买的数量的基础上增加，同时，在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．已知在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，则商家在丙处购买三种商品的数量和最少是 ． 【答案】164 【思路点拨】本题主要考查了不等式的应用，关键是根据题意正确列出不等式，难度大，需要超强的解题能力． 设A、B、C三种商品的单价分别为a元、b元、c元，在丙处购买A、B、C三种商品的数量分别为x个、y个、z个，根据在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，列出方程并整理得，再根据6件B的总价与9件C的总价相同，得，进而得，再根据在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．列出方程，把代入并整理得，根据在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，得，，要商家在丙处购买三种商品的数量和最少，则首先满足选A商品的数量尽量多，再满足选B商品的数量尽量多，最后再决定选C商品的数量，结合，便可求得结果． 【规范解答】解：设A、B、C三种商品的单价分别为a元、b元、c元，在丙处购买A、B、C三种商品的数量分别为x个、y个、z个， ∵在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多， ∴， 整理得， ∵6件B的总价与9件C的总价相同， ∴，即， ∴， ∵在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多． ∴， 把代入上式并整理得， ∴， ∵在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150， ∴， 又∵，即， ∴要商家在丙处购买三种商品的数量和最少，则首先满足选A商品的数量尽量多，再满足选B商品的数量尽量多，最后再决定选C商品的数量， ∵， ∴， 解得， ∴x的最大值为， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴y的最大值为， 则， ∴， ∴商家在丙处购买三种商品的数量和最少为：， 故答案为：164． 三、解答题 11．（22-23七年级下·福建泉州·期中）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元 (2)共有5种购买方案，最低费用是8440元 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，得出方程，解方程即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论． 【规范解答】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得， ． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元； （2）解：设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取85，86，87，88，89； ∴共有5种购买方案， 方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”； 方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”； 方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”； 方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”； 方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”； ∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元， ∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低， ∴最低费用是（元）． 12．（24-25七年级下·全国·期中）（新考法）对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，根据以上材料，解决下列问题： (1)__________， __________； (2)若，则的取值范围是__________； (3)求满足的所有非负数的值． 【答案】(1)2；2 (2) (3)或2或 【思路点拨】本题以新定义为背景，考查了一元一次不等式组的解法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，求出相应的数值． （1）根据题意和四舍五入法，可以写出题目中的数据的结果； （2）根据题意和，可以得到不等式组，然后求解即可； （3）根据题意和，可以设，然后可以得到，从而可得关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围，进而求得的值． 【规范解答】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：2，2； （2）解：由题意可得：， 解得， 故答案为：； （3）解：设，为整数，则，， ，解得． 为整数， 或2或3， 时，，； 时，，； 时，，； 或2或． 13．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）2023年是农历癸卯年（兔年），生肖兔的挂件成了热销品．某商店准备购进A、B两种型号的兔子挂件．已知购进2件A型号兔子挂件和1件B型号兔子挂件共需105元，3件A型号兔子挂件比1件B型号兔子挂件贵95元． (1)该商店购进的A、B两种型号的兔子挂件的单价分别为多少元？ (2)该商店计划购进A型号兔子挂件600件，B型号兔子挂件件，甲、乙两个厂家的优惠方式如下： 甲厂家：每购买10件A型号兔子挂件赠送一件B型号兔子挂件； 乙厂家：A型号兔子挂件不打折，B型号兔子挂件打九折． 若你是商家的采购员，在只能选择一个厂家采购的条件下，如何采购较省钱？ 【答案】(1)A型号兔子挂件的单价为40元，B型号兔子挂件的单价为25元 (2)当时，在甲厂家购买较省钱； 当时，在甲、乙两个厂家购买花费一样； 当时，在乙厂家购买较省钱 【思路点拨】（1）设A型号兔子挂件的单价为元，B型号兔子挂件的单价为元. 由题意，得，解方程组即可． （2）根据题意，得在甲厂家购买需：（元）； 在乙厂家购买需：，分类计算解答即可． 本题考查了方程组的应用，不等式的应用，正确理解题意，建立不等式模型，方程组模型是解题的关键． 【规范解答】（1）设A型号兔子挂件的单价为元，B型号兔子挂件的单价为元. 由题意，得， 解得， 答：A型号兔子挂件的单价为40元，B型号兔子挂件的单价为25元.． （2）解：在甲厂家购买需：（元）； 在乙厂家购买需：（元）. 当在甲厂家购买较省钱时： ，解得， 当时，在甲厂家购买较省钱. 当在甲、乙两个厂家购买花费一样时： ，解得， 当时，在甲、乙两个厂家购买花费一样. 当在乙厂家购买较省钱时： ，解得， 当时，在乙厂家购买较省钱. 综上所述：当时，在甲厂家购买较省钱； 当时，在甲、乙两个厂家购买花费一样； 当时，在乙厂家购买较省钱. 14．（22-23七年级下·西藏拉萨·期末）解下列不等式，并在数轴上表示解集． (1)； (2)． 【答案】(1)，详见解析 (2)，详见解析 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、在数轴上表示不等式（组）的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法，会在数轴上表示不等式（组）的解集． （1）根据解一元一次不等式的方法解答，并把解集表示在数上即可； （2）根据解一元一次不等式组的方法解答，并把解集表示在数上即可． 【规范解答】（1）解： 不等式两边同乘以6，得， 去括号得，， 移项及合并同类项，得 ∴原不等式的解集是， 在数轴表示如图所示， （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， 在数轴上表示如图所示， 15．（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)③ (2)2 (3)①，；②不存在，见解析 【思路点拨】本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解． （1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断即可； （2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的一个关联方程的解是整数，进而求出m的值即可； （3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可； ②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【规范解答】（1）解：方程①的解为； 方程②的解为； 方程③的解为； 不等式组的解集为， ∵， ∴不等式组的关联方程是方程③， 故答案为：③； （2）解：解不等式组，得， 因此不等式组的整数解为． 将代入关联方程0， 得； （3）解：①， 解得； ， 解得； ②不存在．理由如下： 解不等式组， 得， 假如方程和都是关于的不等式组的关联方程， 则且． 解得：且 ∴不等式组无解， 不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$