第9章 图形的变换思维导图+易错知识+12大考点讲练+易错真题难度拔尖练 共52题）-2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节易错考点培优讲练（新教材）

2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优易错知识讲练（新教材） 第9章 图形的变换 （思维导图+易错知识+12大考点讲练+易错真题难度拔尖练 共52题） 目 录 讲义编写说明 2 易错知识点梳理精讲 2 易错知识点梳理01：平移变换 2 易错知识点梳理02：旋转变换 2 易错知识点梳理03：轴对称变换 2 易错知识点梳理04：中心对称变换 3 易错知识点梳理05：综合应用 3 易错考点精选题讲练 3 考向一：平移 3 易错考点讲练01：平移的性质 3 易错考点讲练02：作图-平移变换 6 考向二：轴对称 9 易错考点讲练03：生活中的轴对称现象 9 易错考点讲练04：轴对称的性质 11 易错考点讲练05：线段垂直平分线的性质 13 易错考点讲练06：轴对称图形 16 考向三：旋转 17 易错考点讲练07：生活中的旋转现象 17 易错考点讲练08：旋转的性质 19 易错考点讲练09：旋转对称图形 23 易错考点讲练10：中心对称 25 易错考点讲练11：中心对称图形 28 易错考点讲练12：作图-旋转变换 30 易错真题拔尖训练 33 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，易错知识点梳理，易错考点真题汇编，精选易错题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 易错知识点梳理01：平移变换 易错点： 平移方向和距离的判断：学生可能会混淆平移的方向（向左/右、向上/下）和具体的平移距离。 图形内部点的平移：在平移整个图形时，学生可能会忘记图形内部所有点都应按照相同的方向和距离进行平移。 解题技巧： 使用箭头或坐标变化来明确平移的方向和距离。 在平移过程中，可以选取图形中的几个关键点进行平移，然后连接这些点以形成平移后的图形。 易错知识点梳理02：旋转变换 易错点： 旋转中心、旋转角度和旋转方向的混淆：学生可能会忘记旋转中心的位置，或者混淆旋转角度（顺时针/逆时针）和旋转方向。 图形旋转后的形状判断：在旋转复杂图形时，学生可能会难以判断旋转后的图形形状。 解题技巧： 明确旋转中心、旋转角度和旋转方向。 可以使用圆规和直尺等工具来辅助进行旋转操作。 对于复杂图形，可以先将其分解为简单的部分，然后分别进行旋转，最后再组合起来。 易错知识点梳理03：轴对称变换 易错点： 对称轴的确定：学生可能会难以确定图形的对称轴。 轴对称图形的绘制：在绘制轴对称图形时，学生可能会忘记保持图形的对称性和完整性。 解题技巧： 观察图形的特点，找出可能的对称轴。 使用对折或镜像等方法来验证对称轴的正确性。 在绘制轴对称图形时，要确保图形的每一部分都关于对称轴对称。 易错知识点梳理04：中心对称变换 易错点： 中心对称点的确定：学生可能会难以确定图形的中心对称点。 中心对称图形的绘制：在绘制中心对称图形时，学生可能会忘记保持图形的中心对称性和完整性。 解题技巧： 观察图形的特点，找出可能的中心对称点。 使用距离相等和方向相反的原则来确定中心对称点。 在绘制中心对称图形时，要确保图形的每一部分都关于中心对称点对称。 易错知识点梳理05：综合应用 易错点： 多种变换的组合应用：在解决涉及多种变换（如先平移后旋转）的问题时，学生可能会混淆变换的顺序或忘记应用某些变换。 图形变换后的性质判断：在变换后，学生可能会难以判断图形的某些性质（如面积、周长、角度等）是否发生变化。 解题技巧： 仔细审题，明确题目要求的变换类型和顺序。 使用标记或辅助线来帮助进行变换操作。 在变换后，仔细检查图形的性质是否发生变化，并验证答案的正确性。 考向一：平移 易错考点讲练01：平移的性质 【典例易错题】（2021春•新华区校级期中）如图，在长方形中，，第1次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位长度，得到长方形，第2次平移将长方形，沿的方向向右平移5个单位长度，得到长方形，．第次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位长度，得到长方形，若的长度为2021，则的值为　　 A．400 B．401 C．402 D．403 【思路点拨】依据题意，由每次平移5个单位，次平移个单位，加上的长即为的长，进而求出的值． 【规范解答】解：由题意，每次平移5个单位，次平移个单位，即的长为，加上的长即为的长， ． ． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 【易错训练1】（2021春•新华区校级期中）如图，在长方形中，，第1次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位长度，得到长方形，第2次平移将长方形，沿的方向向右平移5个单位长度，得到长方形，．第次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位长度，得到长方形，若的长度为2021，则的值为　　 A．400 B．401 C．402 D．403 【思路点拨】依据题意，由每次平移5个单位，次平移个单位，加上的长即为的长，进而求出的值． 【规范解答】解：由题意，每次平移5个单位，次平移个单位，即的长为，加上的长即为的长， ． ． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 【易错训练2】（2023春•江阴市校级月考）如图，在中，，，把向右平移至后，，则图中阴影部分的面积为 　20　． 【思路点拨】依据题意，先根据平移的性质得到，，，则，由于，所以利用梯形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：由题意，向下平移至， ，，， ， ， ， ． 故答案为：20． 【考点评析】本题主要考查了平移的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【易错训练3】（2022春•左权县期中）如图所示，直角三角形的周长为100，在其内部的个小直角三角形周长之和为　100　． 【思路点拨】小直角三角形与平行的边的和等于，与平行的边的和等于，则小直角三角形的周长等于直角的周长，据此即可求解． 【规范解答】解：由平移的性质可得，个小直角三角形较长的直角边平移后等于边，较短的直角边平移后等于边，斜边之和等于边长， 个小直角三角形的周长之和的周长， 直角三角形的周长为100， 这个小直角三角形的周长之和． 故答案为：100． 【考点评析】本题主要考查了平移和矩形的性质，正确理解小直角三角形的周长等于直角的周长是解题的关键． 易错考点讲练02：作图-平移变换 【典例易错题】（2022春•睢阳区期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，已知三角形三个顶点的坐标分别是，，． （1）把三角形平移到三角形，使点的对应点的坐标为．请画出三角形（点，分别是点、的对应点），并写出点，的坐标； （2）思考：轴上是否存在点，使三角形的面积等于3？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）根据平移的性质即可把三角形平移到三角形，使点的对应点的坐标为．进而写出点，的坐标； （2）根据三角形的面积等于3，即可求出点的坐标． 【规范解答】解：（1）如图，三角形即为所求； ，； （2）答：存在点，使三角形的面积等于3， 由三角形的面积，得， 所以点的坐标为或． 【考点评析】本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 【易错训练1】（2022春•延津县期末）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点，的坐标分别为，． （1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标． （2）将三角形向下平移3个单位然后再向右平移2个单位，得到三角形，画出平移后的三角形． 【思路点拨】（1）通过或的坐标确定原点的位置，画出直角坐标系，再确定点的坐标． （2）利用平移的性质确定点、、平移后的位置，再连线画出平移后的图形． 【规范解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图，． 故答案为：图象如图，． （2）如图所示，三角形即为所求． 故答案为：图形如图． 【考点评析】考查图形的平移性质和直角坐标系点的坐标，关键是熟练掌握图形的平移性质和直角坐标系中点的坐标的确定． 【易错训练2】（2023春•临高县期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，若把向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到△，点，，的对应点分别为，，． （1）在图中画出平移后的△，并写出点，，的坐标； （2）求△的面积． 【思路点拨】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用△所在矩形的面积减去周围多余三角形的面积，进而得出答案． 【规范解答】解：（1）如图所示：△即为所求；，，； （2）△的面积为：． 【考点评析】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 考向二：轴对称 易错考点讲练03：生活中的轴对称现象 【典例易错题】（2019春•三明期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（如，．当小球第1次碰到长方形的边时的点为，第2次碰到长方形的边时的点为，第2019次碰到长方形的边时的点为图中的　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【思路点拨】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2019除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【规范解答】解：如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点， ， 当点第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹， 第2019次碰到矩形的边时的点为图中的点， 故选：． 【考点评析】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 【易错训练1】（2024春•济南期末）有一个英语单词，其四个字母都关于直线对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 　书　． 【思路点拨】结合题意可知，题中的四个字母均是轴对称图形，所以直线是四个字母的对称轴；将残缺的字母关于直线对称，即可得到完整字母，通过字母组成的单词即可知道所指物品了． 【规范解答】解：补全字母，如图所示： 故这个单词所指的物品是书． 故答案为：书． 【考点评析】本题侧重考查生活中的轴对称现象，掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 【易错训练2】（2023春•浉河区校级期中）如图，台球运动中母球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：，． （1）若，求的度数； （2）已知，母球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【思路点拨】（1）由、结合，即可求出的度数； （2）由、可得出，同理可得出，二者相加结合、互余，即可得出，由“同旁内角互补，两直线平行”即可得出． 【规范解答】解：（1），，， ． （2），理由如下： ，， ． 同理：． ， ． ． 【考点评析】本题考查生活中的平移，解题的关键是理解平移的定义，属于中考常考题型． 易错考点讲练04：轴对称的性质 【典例易错题】（2023秋•青龙县期末）如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据轴对称的性质可知，；因为的周长已知，则可把其中的两边，代换为，，则根据是相关线段的和即可求出其长． 【规范解答】解：点关于的对称点是， ． 点关于的对称点是， ． 的周长，，， ， 故选：． 【考点评析】本题考查轴对称知识，掌握轴对称的性质是解题关键． 【易错训练1】．（2023•青秀区校级模拟）某台球桌为如图所示的长方形，小球从沿角击出，恰好经过5次碰撞到达处．则等于　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意画出图形，再根据轴对称的性质求出矩形的长与宽的比值即可． 【规范解答】解：先作出长方形，小球从沿45度射出，到的点，． 从点沿于成45度角射出，到边的点，． 从点沿于成45度角射出，到边的点，． 从沿于成45度角射出，到边的点，垂直于． 从点沿于成45度角射出，到边的点，垂直于， 从点沿于成45度角射出，到点， 看图是2个半以为边长的正方形， 所以． 故选：． 【考点评析】本题考查的是轴对称的性质，解答此题的关键是画出图形，再根据对称的性质求解． 【易错训练2】（2022春•珠晖区校级期末）如图，△与△关于直线对称，为上任一点、、不共线），下列结论中，错误的是　　 A．△是等腰三角形 B．垂直平分、 C．△与△面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上 【思路点拨】据对称轴的定义，△与△关于直线对称，为上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系． 【规范解答】解：△与△关于直线对称，为上任意一点， △是等腰三角形，垂直平分，，这两个三角形的面积相等，故、、选项正确， 直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故错误， 故选：． 【考点评析】本题考查轴对称的性质与运用，解题时注意：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 易错考点讲练05：线段垂直平分线的性质 【典例易错题】（2022春•广饶县期末）如图，已知是的角平分线，的中垂线交于点，交的延长线于点．以下四个结论： （1）；（2）；（3）；（4）．恒成立的结论有　　 A．（1）（2） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4） 【思路点拨】由线段垂直平分线的性质得出，再由全等三角形的性质即可得出；由线段垂直平分线的性质得出，得出，再证出，即可得出；由三角形的外角性质和（1）（2）的结果，即可得出结论（4）． 【规范解答】解：（1）是的垂直平分线， ，， 又， ， ， 又， ； （2）是的垂直平分线， ， ， 平分， ， ， ； （3）与不一定互相垂直， 不成立； （4）由（1）（2）得：，， 又，， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了线段垂直平分线的性质、平行线的判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质；熟练掌握线段垂直平分线的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 【易错训练1】（2024•西昌市一模）如图，在△中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，则　　． 【思路点拨】根据线段的垂直平分线得出，，推出，，求出的度数即可得到答案． 【规范解答】解：点、分别是、边的垂直平分线与的交点， ，， ，， ，， ，， ， ， 故答案为： 【考点评析】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 【易错训练2】（2022秋•新罗区期中）如图，中，，边的垂直平分线分别交、于点、，，则的周长是 　16　． 【思路点拨】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算． 【规范解答】解：是线段的垂直平分线， ， 的周长， 故答案为：16． 【考点评析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 易错考点讲练06：轴对称图形 【典例易错题】（2024秋•徐水区期末）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 【规范解答】解：，，选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：． 【考点评析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【易错训练1】（2024春•井冈山市期末）如图，在的正方形网格中，点、在格点（网格线的交点）上，要找一个格点，连接，，使成为轴对称图形，则符合条件的格点的个数是　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【思路点拨】画出为等腰三角形时点位置即可． 【规范解答】解：点落在网格中的4个格点使为等腰三角形， 所以符合条件的格点的个数是4个． 故选：． 【考点评析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义以及等腰三角形的性质是解答本题的关键． 【易错训练2】（2024•建湖县二模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可． 【规范解答】解：、、的汉字均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项的汉字中能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：． 【考点评析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 考向三：旋转 易错考点讲练07：生活中的旋转现象 【典例易错题】（2023秋•文昌校级期末）将如图所示的图案按顺时针方向旋转后可以得到的图案是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据旋转的意义，找出图中眼，眉毛，嘴5个关键处按顺时针方向旋转后的形状即可选择答案． 【规范解答】解：根据旋转的意义，图片按顺时针方向旋转，即正立状态转为顺时针的横向状态，从而可确定为图，故选． 【考点评析】本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错． 【易错训练1】（2024春•南安市期末）图1是某巨型摩天轮示意图，摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟．若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则经过分钟后，12号车厢会运行到最高点，则的值为　　 A．17.5 B．20 C．22.5 D．25 【思路点拨】先求出从21号旋转到12号旋转的角度占圆大小比例，再根据旋转一圈花费30分钟解答即可． 【规范解答】解：（分钟）， 所以经过22.5分钟后，12号车厢才会运行到最高点． 故选：． 【考点评析】本题考查生活中的旋转现象，理清题意，得出从21号旋转到12号旋转的角度占圆大小比例是解题的关键． 【易错训练2】（2023秋•市中区期末）镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道、上分别放置、两盏激光灯，如图所示．灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转；灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动．灯先转动12秒，灯才开始转动．当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是　6秒或19.5秒　． 【思路点拨】设灯旋转时间为秒，灯光束第一次到达需要（秒，推出，即．利用平行线的判定，构建方程解决问题即可． 【规范解答】解：设灯旋转时间为秒，灯光束第一次到达需要（秒， ，即． 由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行： ①如图1，，，解得； ②如图2，，，解得； 综上所述，满足条件的的值为6秒或19.5秒． 故答案为：6秒或19.5秒． 【考点评析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 易错考点讲练08：旋转的性质 【典例易错题】（2024春•沈河区期末）如图，在△中，，将△绕点按逆时针方向旋转后得到△，则阴影部分的面积为　9　． 【思路点拨】根据旋转的性质得到△△，，所以△是等腰三角形，依据得到等腰三角形的面积，由图形可以知道，最终得到阴影部分的面积． 【规范解答】解：在△中，，将△绕点按逆时针方向旋转后得到△， △△， ， △是等腰三角形，， 如图，过作于，则， ， 又， ， ． 故答案为：9． 【考点评析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 【易错训练1】（2023春•金寨县期末）小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，若三角形不动，将三角形绕点旋转一周，当　60或120　度时，平行于． 【思路点拨】分两种情况：根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线的性质即可解答． 【规范解答】解：分两种情况： 如图： 当时， ， ， ； 如图： 当时， ； 综上所述：当或时，， 故答案为：60或120． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 【易错训练2】（2024春•韶关期末）已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺 ，且点，不能同时落在直线和之间． （1）如图1，把三角尺的角的顶点，分别放在，上，若，则的度数为 　　； （2）如图2，把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，若点恰好落在和之间，与相交于点，且所夹锐角为，求的度数； （3）把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，旋转三角尺，是否存在 ？若存在，请求出射线与所夹锐角的度数；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）依据题意，根据平行线的性质可得，即可求解． （2）依据题意，先求出的度数即可求解． （3）依据题意，分两种情况进行讨论，点在上方和在下方两种情况求解即可． 【规范解答】解：（1）， ， ， ． 故答案为：． （2）由题意，过点作，如图， ， ，． ， ， ； （3）存在，有两种情况； ①当点在上方时，如图； ， ， ， 射线与所夹锐角的度数为． ②当点在下方时，如图； ， ， 即， ． 射线与所夹锐角． 综上所述射线与所夹锐角的度数为或． 【考点评析】本题主要考查了平行线的性质和旋转的性质，熟练掌握性质是解题关键． 易错考点讲练09：旋转对称图形 【典例易错题】（2024秋•田阳区期末）如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】如图，由于是正五角星，设的是五角星的中心，那么，所以要使正五角星旋转后与自身重合，那么它们就是旋转角，而它们的和为，由此即可求出绕中心顺时针旋转的角度． 【规范解答】解：如图，设的是五角星的中心， 五角星是正五角星， ， 它们都是旋转角， 而它们的和为， 至少将它绕中心顺时针旋转，才能使正五角星旋转后与自身重合． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了旋转对称图形的性质，解答此题的关键是找到对应点和重合，和重合，进而判断出将它绕中心顺时针旋转的最小角度． 【易错训练1】（2023•朝阳区校级一模）观察如图所示的图形，绕着它的中心旋转后能与自身重合有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据旋转的性质，对题中图形进行分析，判定正确选项． 【规范解答】解：①旋转后，图形可以与原来的位置重合，故正确； ②旋转后，图形无法与原来的位置重合，故错误； ③旋转后，图形无法与原来的位置重合，故错误； ④旋转后，图形与原来的位置重合，故正确． 故选：． 【考点评析】本题考查图形的旋转与重合，理解旋转图形的定义是解决本题的关键． 【易错训练2】（2018秋•松江区期末）在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形这四种图形中，是旋转对称图形的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，解答即可． 【规范解答】解：在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形，只有等边三角形、正方形、正五边形是旋转对称图形，共3个． 故选：． 【考点评析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 易错考点讲练10：中心对称 【典例易错题】（2022秋•沂源县期末）如图，与△关于点成中心对称，则下列结论不成立的是　　 A．点与点是对称点 B． C． D． 【思路点拨】根据中心对称的性质判断即可． 【规范解答】解：与△关于点成中心对称， 点与是一组对称点，，， ，，都不合题意． 与不是对应角， 不成立． 故选：． 【考点评析】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 【易错训练1】（2024秋•林州市期中）如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为　12　． 【思路点拨】过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，同理可知，四边形是矩形，则，由曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，则，，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【规范解答】解：如图，过点作于点，过点作于点， 于点． ， 四边形是矩形， ， 同理可知，四边形是矩形， ， 曲线关于点成中心对称，点的对称点是点， ，，图形①与图形②面积相等， 阴影部分的面积之和长方形的面积． 故答案为：12． 【考点评析】此题考查了中心对称，关键是中心对称性质的熟练掌握． 【易错训练2】（2023春•沈河区校级月考）已知两个完全相同的直角三角形纸片、，如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为 　或5或　秒． 【思路点拨】分三种情形讨论：①当时，②当时，③当时，分别求出即可解决问题． 【规范解答】解：根据题意：和是完全相同的两个直角三角形，且，，， ①如图，当时， ， ， ， 旋转时间为：（秒； ②如图，当时， ， ， 旋转时间为：（秒； ③如图，当时， ， 旋转时间为：（秒； 综上所述，旋转时间为秒或5秒或秒时，恰有一边与平行． 故答案为：或5或． 【考点评析】本题考查旋转的性质、平行线的性质、旋转的速度、旋转角度、旋转时间之间的关系，三角形外角的性质，平角的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 易错考点讲练11：中心对称图形 【典例易错题】（2024春•新乡期末）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【规范解答】解：．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； ．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； ．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； ．原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 【易错训练1】（2025•柳州模拟）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【规范解答】解：．不是中心对称图形，故本选项不合题意； ．不是中心对称图形，故本选项不合题意； ．是中心对称图形，故本选项符合题意； ．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：． 【考点评析】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【易错训练2】（2024春•鲤城区期末）在“①等边三角形、②正方形、③等腰梯形”中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 　正方形　（填序号即可） 【思路点拨】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【规范解答】解：等边三角形，等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形； 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形． 故答案为：正方形． 【考点评析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 易错考点讲练12：作图-旋转变换 【典例易错题】（2024春•项城市期末）如图所示的正方形方格（每个小正方形的边长为1个单位）．的三个顶点均在小方格的顶点上． （1）画出关于点的中心对称图形△； （2）画出将△沿直线向上平移5个单位得到的△； （3）要使△与△重合，则△绕点顺时针方向至少旋转的度数为 　　． 【思路点拨】（1）利用中心对称的性质，即可得到关于点的中心对称图形△； （2）利用平移的方向和距离，即可得到△沿直线向上平移5个单位得到的△； （3）依据旋转中心以及对应点的位置，即可得到△绕点顺时针方向至少旋转的度数． 【规范解答】解：（1）如图，△即为所求； （2）如图，即为所求； （3）由题可得，要使△与△重合，则△绕点顺时针方向至少旋转的度数为． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 【易错训练1】（2024秋•招远市期末）如图，已知△绕某点逆时针转动一个角度得到△，其中，，的对应点分别是，，，如何确定旋转中心的位置？ （1）请你使用直尺和圆规，作出旋转中心位置； （2）参考作图过程，完成下面推理，写出①②处的依据： △是△绕点0旋转而成的， ，依据是：　一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等　； 点在线段的垂直平分线上，依据是　　； 同理可得，点在线段的垂直平分线上 点为两条垂直平分线的交点． 【思路点拨】（1）连接，作的垂直平分线，连接，作的垂直平分线，、的交点即为点； （2）根据旋转的性质，即可得到结论． 【规范解答】解：（1）连接，，分别作、的垂直平分线，，则、的交点即为点，如图所示：点即为所求； （2）， 依据是：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等； 点在线段的垂直平分线上， 依据是：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 同理可得，点在线段的垂直平分线上， 点为两条垂直平分线的交点． 故答案为：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等； 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【考点评析】本题考查了旋转的性质、垂直平分线的性质和尺规作图，熟悉旋转的性质、垂直平分线的性质是解题的关键． 【易错训练2】（2025•龙马潭区开学）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． （1）将图1中的三角板绕点按顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时旋转的角度为 　90　； （2）继续将图2中的三角板绕点按顺时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，则 　　； （3）在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒钟的速度旋转，当恰为的平分线时，此时，三角板绕点的运动时间为 　　秒，简要说明理由． 【思路点拨】（1）根据旋转角的定义判断即可； （2）利用旋转变换的性质以及题目条件求解即可； （3）根据，构建方程求解． 【规范解答】解：（1）图1中的三角板绕点按顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时旋转的角度为． 故答案为：90； （2）继续将图2中的三角板绕点按顺时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，则． 故答案为：30； （3）在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒钟的速度旋转，当恰为的平分线时， 由题意，， 解得， 所以三角板绕点的运动时间为10秒． 故答案为：16． 【考点评析】本题考查作图旋转变换，一元一次方程的应用，余角和补角，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 一、选择题 1．（2024·山西·模拟预测）如图，将沿直线的方向向右平移后到达的位置，此时点与点重合，若的周长为，则四边形的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查平移的性质，根据平移的性质，进行求解即可，熟练掌握平移的性质，是解题的关键． 【规范解答】解：由平移的性质可知，， 的周长为，即， 四边形的周长为， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在长方形纸片中，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，点B和点C恰好都落在点P处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，根据平行线的性质得出，，根据折叠的性质可得出∶，，进而得到，，即可解答． 【规范解答】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴，， 根据折叠的性质可得出：，， ∴． ， ∴ ． 故选：A 3．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，，把沿着直线的方向平移后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】本题考查了平移的性质：新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，根据平移的性质，结合图形，对每个结论进行一一分析，选出正确答案． 【规范解答】解：沿着直线的方向平移后得到， ，故①正确； ，故②正确； 故③正确； ， 又， ， ，故④正确； 故选：D． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，长方形中，，第①次平移长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，第②次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，……第次平移将长方形沿的方向平移5个单位，得到长方形，若的长度为2027，则的值为（   ） A．403 B．404 C．405 D．406 【答案】B 【思路点拨】此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出平移间距离的规律是解题关键． 根据平移的性质得出，，，进而求出和的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出求出n即可． 【规范解答】解：，第1次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，第2次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形… ，，， ， 的长为：； ，， ， 解得：． 故选：B． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为，若，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，先根据长方形的性质可得，，由平行线的性质得，再利用平角定义可得，最后根据折叠的性质可得，即可求解；掌握折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵四边形是长方形， ，， ， ， ， ， ， 由折叠得：， 故选：C． 二、填空题 6．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将绕点A顺时针旋转后得到．如果，那么的度数为 ． 【答案】/125度 【思路点拨】本题考查了旋转的性质、角的和差，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据旋转的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据求解即可得． 【规范解答】解：∵将绕点顺时针旋转后得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②/②① 【思路点拨】本题主要考查了轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据对称可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；说明即可判定③错误． 【规范解答】解：∵和是的轴对称图形， ∴， ∴，故①正确． ∴， 由对称的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． 在和中，， ∵ ∴，故③错误； 综上所述，结论正确的是①②． 故答案为：①②． 8．（22-23七年级下·河南郑州·期中）在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点P以每秒速度逆时针旋转，同时三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间 秒时，与三角尺的一边平行． 【答案】6或15或33 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，旋转的知识，解题关键把所有的情况都分析出来，注意结果是否符合题意，这也是学生很容易忽略的地方. ①当时，②当时，③当时，分三种情况分别讨论． 【规范解答】①Ⅰ当时，， ， ， ， Ⅱ当时，， ， ， (舍去) ②当时， ， ③当时， ， ， ， ， 解得； 综上所述，当运动时间6或15或33秒时，与三角尺的一边平行. 9．（22-23八年级上·浙江衢州·开学考试）如图，，A，B分别为直线，上两点，且，射线从开始绕点A按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点B按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，有 次射线与射线互相平行，时间分别是 ． 【答案】 2 36或108/108或36 【思路点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．分四种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线与射线互相平行时的时间． 【规范解答】解：设射线从开始绕点按顺时针方向旋转时，射线与射线互相平行． 分四种情况： ①如图，当时，，， ，， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得； ②当时，，， ∴， ，， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得，此时， （舍去）； ③如图，当时，，，， ，， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得（舍去）； ④当从出发，到，再回到，再转到如下图的位置： ∵， ∴， 即， ∴， 解得：， 综上所述，在射线到达之前，有2次射线与射线互相平行，时间分别是36或． 故答案为：2；36或108． 10．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿、折叠至点N，M，P，K处，若，则的度数为 ． 【答案】或 【思路点拨】分两种情况讨论：当在上方时，延长，相交于Q点，证明，则，求出，则可得的度数；当在下方时，延长交于Q点，证明，则．求出，则可得的度数． 本题考查了矩形中的折叠问题，分类讨论，掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键． 【规范解答】解：①如图，在上方时， 延长，相交于Q点， 由折叠知：，， ， ， ， ， ， ，， ， 由折叠知：， ， ， ； ②如图，在下方时， 延长，交于Q点， 由折叠知：，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， 由折叠知：， ， ． 故答案为：或 三、解答题 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，和关于直线m对称． (1)结合图形指出对应点； (2)连接，直线m与线段有什么关系？ (3)延长线段与，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律？请叙述出来． 【答案】(1)对应点：点A和点，点B和点，点C和点 (2)线段被直线m垂直平分 (3)线段与的延长线的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上；规律：若两线段关于一条直线对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点一定在这条直线上 【思路点拨】本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴． （1）根据轴对称的性质即可得出答案； （2）根据轴对称的性质即可得出答案； （3）根据轴对称的性质即可得出答案； 【规范解答】（1）解：对称点有和，和，和； （2）解：根据对称的性质可得， 线段被直线m垂直平分； （3）解：线段与的延长线的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上； 故可得规律：若两线段关于一条直线对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点一定在这条直线上 12．（2025七年级下·全国·专题练习）将长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，试问的度数是多少？ 【答案】 【思路点拨】本题考查几何图形中角度的计算，折叠的性质，理解并掌握折叠的性质是解题关键．根据折痕是角平分线，以及平角的定义，进行求解即可． 【规范解答】解：由折叠可知，， ∵， ∴． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图所示的是正在进行的“俄罗斯方块”游戏（网格由边长为个单位长度的小正方形组成），现有一“”形方块向下运动． (1)若该“”形方块向下平移了个单位长度，请在图中画出平移后的图形（画上阴影）； (2)为了使所有图案消除，在（）的平移基础上还需进行怎样的平移？ 【答案】(1)画图见解析 (2)先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 【思路点拨】本题考查了平移的定义及性质，掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的定义及性质即可解答； （2）根据平移的定义及性质，俄罗斯方块的规则即可解答； 【规范解答】（1）解：∵该“”形方块向下平移了个单位长度， ∴平移后的图形如图所示： （2）解：为了使所有图案消除，在（）的平移基础上还需先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度． 14．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知直线，点A在直线上，点B、C在直线上，射线是的三等分线，即，平分，．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在上有一点F，满足，且平分交于点G，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，绕点A顺时针旋转，速度为每秒，记旋转中的为，的三等分线为，即，同时绕点B逆时针旋转至，速度始终为每秒，当与射线重合时，立即以原来速度的一半逆时针旋转，当运动到与射线重合时，整个运动停止，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为或 【思路点拨】（1）利用角平分线定义求出，进而求出，结合，则可求，，然后根据平行线的性质求解即可； （2）设，则，，，，由平行线的性质求出，，，，根据角平分线的定义求出，则，即可得出结论； （3）当与射线重合时，，返回时，当与重合，，当与射线重合时，，当在的延长线时，，分；；；讨论，根据平行线的性质列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵平分，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解： 理由：如图，    设，则 ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 当与射线重合时，，返回时，当与重合，，当与射线重合时，，当在的延长线时，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当时，    则 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，    则 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，    则 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 综上，t的值为或． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，一元一次方程方程的应用，角平分线的定义，平行线的性质等知识，明确题意，能用含t的代数式表示旋转角的度数是解题的关键． 15．（20-21七年级上·广东深圳·期末）如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2． (1)______； (2)如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数； (3)将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】（1）根据，，即得； （2）根据是的平分线，，得到，根据，即得； （3）当在内部，根据，，得到， ，根据，得到，即得；当在外部，得到， 得到，即得． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴； （3）解：当在内部，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在外部，如图2，， ∴， ∴． 故的度数为：或． 【考点评析】本题主要考查了平面内直角在直线上旋转．熟练掌握旋转性质，余角定义，平角定义，角平分线计算，角的和差倍分计算，分类讨论，是解决问题的关键．两个角的和等于，这两个角叫做互为余角． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优易错知识讲练（新教材） 第9章 图形的变换 （思维导图+易错知识+12大考点讲练+易错真题难度拔尖练 共52题） 目 录 讲义编写说明 2 易错知识点梳理精讲 2 易错知识点梳理01：平移变换 2 易错知识点梳理02：旋转变换 2 易错知识点梳理03：轴对称变换 2 易错知识点梳理04：中心对称变换 3 易错知识点梳理05：综合应用 3 易错考点精选题讲练 3 考向一：平移 3 易错考点讲练01：平移的性质 3 易错考点讲练02：作图-平移变换 5 考向二：轴对称 6 易错考点讲练03：生活中的轴对称现象 6 易错考点讲练04：轴对称的性质 7 易错考点讲练05：线段垂直平分线的性质 8 易错考点讲练06：轴对称图形 9 考向三：旋转 10 易错考点讲练07：生活中的旋转现象 10 易错考点讲练08：旋转的性质 11 易错考点讲练09：旋转对称图形 12 易错考点讲练10：中心对称 13 易错考点讲练11：中心对称图形 14 易错考点讲练12：作图-旋转变换 15 易错真题拔尖训练 18 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，易错知识点梳理，易错考点真题汇编，精选易错题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 易错知识点梳理01：平移变换 易错点： 平移方向和距离的判断：学生可能会混淆平移的方向（向左/右、向上/下）和具体的平移距离。 图形内部点的平移：在平移整个图形时，学生可能会忘记图形内部所有点都应按照相同的方向和距离进行平移。 解题技巧： 使用箭头或坐标变化来明确平移的方向和距离。 在平移过程中，可以选取图形中的几个关键点进行平移，然后连接这些点以形成平移后的图形。 易错知识点梳理02：旋转变换 易错点： 旋转中心、旋转角度和旋转方向的混淆：学生可能会忘记旋转中心的位置，或者混淆旋转角度（顺时针/逆时针）和旋转方向。 图形旋转后的形状判断：在旋转复杂图形时，学生可能会难以判断旋转后的图形形状。 解题技巧： 明确旋转中心、旋转角度和旋转方向。 可以使用圆规和直尺等工具来辅助进行旋转操作。 对于复杂图形，可以先将其分解为简单的部分，然后分别进行旋转，最后再组合起来。 易错知识点梳理03：轴对称变换 易错点： 对称轴的确定：学生可能会难以确定图形的对称轴。 轴对称图形的绘制：在绘制轴对称图形时，学生可能会忘记保持图形的对称性和完整性。 解题技巧： 观察图形的特点，找出可能的对称轴。 使用对折或镜像等方法来验证对称轴的正确性。 在绘制轴对称图形时，要确保图形的每一部分都关于对称轴对称。 易错知识点梳理04：中心对称变换 易错点： 中心对称点的确定：学生可能会难以确定图形的中心对称点。 中心对称图形的绘制：在绘制中心对称图形时，学生可能会忘记保持图形的中心对称性和完整性。 解题技巧： 观察图形的特点，找出可能的中心对称点。 使用距离相等和方向相反的原则来确定中心对称点。 在绘制中心对称图形时，要确保图形的每一部分都关于中心对称点对称。 易错知识点梳理05：综合应用 易错点： 多种变换的组合应用：在解决涉及多种变换（如先平移后旋转）的问题时，学生可能会混淆变换的顺序或忘记应用某些变换。 图形变换后的性质判断：在变换后，学生可能会难以判断图形的某些性质（如面积、周长、角度等）是否发生变化。 解题技巧： 仔细审题，明确题目要求的变换类型和顺序。 使用标记或辅助线来帮助进行变换操作。 在变换后，仔细检查图形的性质是否发生变化，并验证答案的正确性。 考向一：平移 易错考点讲练01：平移的性质 【典例易错题】（2021春•新华区校级期中）如图，在长方形中，，第1次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位长度，得到长方形，第2次平移将长方形，沿的方向向右平移5个单位长度，得到长方形，．第次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位长度，得到长方形，若的长度为2021，则的值为　　 A．400 B．401 C．402 D．403 【易错训练1】（2021春•新华区校级期中）如图，在长方形中，，第1次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位长度，得到长方形，第2次平移将长方形，沿的方向向右平移5个单位长度，得到长方形，．第次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位长度，得到长方形，若的长度为2021，则的值为　　 A．400 B．401 C．402 D．403 【易错训练2】（2023春•江阴市校级月考）如图，在中，，，把向右平移至后，，则图中阴影部分的面积为 　　． 【易错训练3】（2022春•左权县期中）如图所示，直角三角形的周长为100，在其内部的个小直角三角形周长之和为　　． 易错考点讲练02：作图-平移变换 【典例易错题】（2022春•睢阳区期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，已知三角形三个顶点的坐标分别是，，． （1）把三角形平移到三角形，使点的对应点的坐标为．请画出三角形（点，分别是点、的对应点），并写出点，的坐标； （2）思考：轴上是否存在点，使三角形的面积等于3？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【易错训练1】（2022春•延津县期末）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点，的坐标分别为，． （1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标． （2）将三角形向下平移3个单位然后再向右平移2个单位，得到三角形，画出平移后的三角形． 【易错训练2】（2023春•临高县期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，若把向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到△，点，，的对应点分别为，，． （1）在图中画出平移后的△，并写出点，，的坐标； （2）求△的面积． 考向二：轴对称 易错考点讲练03：生活中的轴对称现象 【典例易错题】（2019春•三明期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（如，．当小球第1次碰到长方形的边时的点为，第2次碰到长方形的边时的点为，第2019次碰到长方形的边时的点为图中的　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【易错训练1】（2024春•济南期末）有一个英语单词，其四个字母都关于直线对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 　　． 【易错训练2】（2023春•浉河区校级期中）如图，台球运动中母球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：，． （1）若，求的度数； （2）已知，母球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 易错考点讲练04：轴对称的性质 【典例易错题】（2023秋•青龙县期末）如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为　　 A． B． C． D． 【易错训练1】．（2023•青秀区校级模拟）某台球桌为如图所示的长方形，小球从沿角击出，恰好经过5次碰撞到达处．则等于　　 A． B． C． D． 【易错训练2】（2022春•珠晖区校级期末）如图，△与△关于直线对称，为上任一点、、不共线），下列结论中，错误的是　　 A．△是等腰三角形 B．垂直平分、 C．△与△面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上 易错考点讲练05：线段垂直平分线的性质 【典例易错题】（2022春•广饶县期末）如图，已知是的角平分线，的中垂线交于点，交的延长线于点．以下四个结论： （1）；（2）；（3）；（4）．恒成立的结论有　　 A．（1）（2） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4） 【易错训练1】（2024•西昌市一模）如图，在△中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，则　　． 【易错训练2】（2022秋•新罗区期中）如图，中，，边的垂直平分线分别交、于点、，，则的周长是 　　． 易错考点讲练06：轴对称图形 【典例易错题】（2024秋•徐水区期末）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【易错训练1】（2024春•井冈山市期末）如图，在的正方形网格中，点、在格点（网格线的交点）上，要找一个格点，连接，，使成为轴对称图形，则符合条件的格点的个数是　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【易错训练2】（2024•建湖县二模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 考向三：旋转 易错考点讲练07：生活中的旋转现象 【典例易错题】（2023秋•文昌校级期末）将如图所示的图案按顺时针方向旋转后可以得到的图案是　　 A． B． C． D． 【易错训练1】（2024春•南安市期末）图1是某巨型摩天轮示意图，摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟．若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则经过分钟后，12号车厢会运行到最高点，则的值为　　 A．17.5 B．20 C．22.5 D．25 【易错训练2】（2023秋•市中区期末）镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道、上分别放置、两盏激光灯，如图所示．灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转；灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，灯每秒转动，灯每秒转动．灯先转动12秒，灯才开始转动．当灯光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时灯旋转的时间是　 　． 易错考点讲练08：旋转的性质 【典例易错题】（2024春•沈河区期末）如图，在△中，，将△绕点按逆时针方向旋转后得到△，则阴影部分的面积为　9　． 【易错训练1】（2023春•金寨县期末）小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，若三角形不动，将三角形绕点旋转一周，当　 　 度时，平行于． 【易错训练2】（2024春•韶关期末）已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺 ，且点，不能同时落在直线和之间． （1）如图1，把三角尺的角的顶点，分别放在，上，若，则的度数为 　　； （2）如图2，把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，若点恰好落在和之间，与相交于点，且所夹锐角为，求的度数； （3）把三角尺的锐角顶点放在上，且保持不动，旋转三角尺，是否存在 ？若存在，请求出射线与所夹锐角的度数；若不存在，请说明理由． 易错考点讲练09：旋转对称图形 【典例易错题】（2024秋•田阳区期末）如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是　　 A． B． C． D． 【易错训练1】（2023•朝阳区校级一模）观察如图所示的图形，绕着它的中心旋转后能与自身重合有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【易错训练2】（2018秋•松江区期末）在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形这四种图形中，是旋转对称图形的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错考点讲练10：中心对称 【典例易错题】（2022秋•沂源县期末）如图，与△关于点成中心对称，则下列结论不成立的是　　 A．点与点是对称点 B． C． D． 【易错训练1】（2024秋•林州市期中）如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为　． 【易错训练2】（2023春•沈河区校级月考）已知两个完全相同的直角三角形纸片、，如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为 　　秒． 易错考点讲练11：中心对称图形 【典例易错题】（2024春•新乡期末）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【易错训练1】（2025•柳州模拟）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【易错训练2】（2024春•鲤城区期末）在“①等边三角形、②正方形、③等腰梯形”中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 　 　（填序号即可） 易错考点讲练12：作图-旋转变换 【典例易错题】（2024春•项城市期末）如图所示的正方形方格（每个小正方形的边长为1个单位）．的三个顶点均在小方格的顶点上． （1）画出关于点的中心对称图形△； （2）画出将△沿直线向上平移5个单位得到的△； （3）要使△与△重合，则△绕点顺时针方向至少旋转的度数为 　　． 【易错训练1】（2024秋•招远市期末）如图，已知△绕某点逆时针转动一个角度得到△，其中，，的对应点分别是，，，如何确定旋转中心的位置？ （1）请你使用直尺和圆规，作出旋转中心位置； （2）参考作图过程，完成下面推理，写出①②处的依据： △是△绕点0旋转而成的， ，依据是：　 　； 点在线段的垂直平分线上，依据是　　； 同理可得，点在线段的垂直平分线上 点为两条垂直平分线的交点． 【易错训练2】（2025•龙马潭区开学）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． （1）将图1中的三角板绕点按顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时旋转的角度为 　　； （2）继续将图2中的三角板绕点按顺时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，则 　　； （3）在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒钟的速度旋转，当恰为的平分线时，此时，三角板绕点的运动时间为 　　秒，简要说明理由． 一、选择题 1．（2024·山西·模拟预测）如图，将沿直线的方向向右平移后到达的位置，此时点与点重合，若的周长为，则四边形的周长为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在长方形纸片中，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，点B和点C恰好都落在点P处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，，把沿着直线的方向平移后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，长方形中，，第①次平移长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，第②次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，……第次平移将长方形沿的方向平移5个单位，得到长方形，若的长度为2027，则的值为（   ） A．403 B．404 C．405 D．406 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为，若，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将绕点A顺时针旋转后得到．如果，那么的度数为 ． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．若，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③．其中正确的是 （填序号）． 8．（22-23七年级下·河南郑州·期中）在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点P以每秒速度逆时针旋转，同时三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间 秒时，与三角尺的一边平行． 9．（22-23八年级上·浙江衢州·开学考试）如图，，A，B分别为直线，上两点，且，射线从开始绕点A按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点B按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，有 次射线与射线互相平行，时间分别是 ． 10．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿、折叠至点N，M，P，K处，若，则的度数为 ． 三、解答题 11．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，和关于直线m对称． (1)结合图形指出对应点； (2)连接，直线m与线段有什么关系？ (3)延长线段与，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律？请叙述出来． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）将长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，试问的度数是多少？ 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图所示的是正在进行的“俄罗斯方块”游戏（网格由边长为个单位长度的小正方形组成），现有一“”形方块向下运动． (1)若该“”形方块向下平移了个单位长度，请在图中画出平移后的图形（画上阴影）； (2)为了使所有图案消除，在（）的平移基础上还需进行怎样的平移？ 14．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知直线，点A在直线上，点B、C在直线上，射线是的三等分线，即，平分，．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在上有一点F，满足，且平分交于点G，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，绕点A顺时针旋转，速度为每秒，记旋转中的为，的三等分线为，即，同时绕点B逆时针旋转至，速度始终为每秒，当与射线重合时，立即以原来速度的一半逆时针旋转，当运动到与射线重合时，整个运动停止，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当时，请直接写出t的值． 15．（20-21七年级上·广东深圳·期末）如图1，O为直线上一点，过点O作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，一边与射线重合，如图2． (1)______； (2)如图3，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求的度数； (3)将三角板绕点O逆时针旋转，在与重合前，是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$