第8章 整式乘法（思维导图+易错知识+7大考点讲练+易错真题难度拔尖练 共43题）-2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节易错考点培优讲练（新教材）

2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优易错知识讲练（新教材） 第8章 整式乘法 （思维导图+易错知识+7大考点讲练+易错真题难度拔尖练 共43题） 目 录 讲义编写说明 1 思维导图指引 2 易错知识点梳理精讲 2 易错知识点梳理01：单项式乘单项式 2 易错知识点梳理02：单项式乘多项式 2 易错知识点梳理03：多项式乘多项式 3 易错知识点梳理04：乘法公式的应用 3 易错知识点梳理05：符号和指数的处理 3 易错考点优选题讲练 3 易错考点讲练01：单项式乘单项式 3 易错考点讲练02：单项式乘多项式 6 易错考点讲练03：多项式乘多项式 9 易错考点讲练04：完全平方公式 12 易错考点讲练05：完全平方公式的几何背景 17 易错考点讲练06：平方差公式 20 易错考点讲练07：平方差公式的几何背景 23 易错真题拔尖训练 27 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，易错知识点梳理，易错考点真题汇编，精选易错题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 易错知识点梳理01：单项式乘单项式 易错点： 数与系数的乘法：学生可能会忘记将单项式的系数相乘。 字母与字母的乘法：学生可能会混淆字母的指数运算，特别是当字母相同时。 符号处理：在处理负数或分数系数时，学生可能会出错。 解题技巧： 明确单项式的结构，即系数和字母部分。 分别计算系数和字母部分，然后将结果相乘。 易错知识点梳理02：单项式乘多项式 易错点： 分配律的应用：学生可能会忘记将单项式的每一项与多项式的每一项相乘。 符号处理：在处理负数或分数系数时，分配律的应用可能会出错。 解题技巧： 使用分配律，将单项式的每一项分别与多项式的每一项相乘。 注意保持每一项的符号正确。 易错知识点梳理03：多项式乘多项式 易错点： 乘法公式的应用：如平方差公式、完全平方公式等，学生可能会混淆或忘记。 乘法顺序：学生可能会忘记按照乘法分配律的顺序进行乘法运算。 合并同类项：在乘法运算后，学生可能会忘记合并同类项。 解题技巧： 熟练掌握乘法公式，并能在适当的时候应用它们。 按照乘法分配律的顺序进行乘法运算，确保每一项都被正确计算。 在乘法运算后，仔细检查并合并同类项。 易错知识点梳理04：乘法公式的应用 易错点： 公式记忆：学生可能会忘记或混淆乘法公式。 公式应用条件：学生可能会在不适当的情况下应用公式。 解题技巧： 熟练掌握乘法公式，并理解它们的推导过程。 在应用公式时，仔细检查公式的应用条件是否满足。 易错知识点梳理05：符号和指数的处理 易错点： 符号运算：在处理负数、分数或带符号的整式时，学生可能会出错。 指数运算：在处理指数时，学生可能会忘记指数法则或混淆它们。 解题技巧： 熟练掌握符号运算规则，如负负得正、分数乘法等。 熟练掌握指数法则，如指数的乘法、除法、幂的幂等。 易错考点讲练01：单项式乘单项式 【典例易错题】（2024•阜新县校级三模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】各式计算得到结果，即可作出判断． 【规范解答】解：、原式不能合并，不符合题意； 、原式，不符合题意； 、原式不能合并，不符合题意； 、原式，符合题意． 故选：． 【考点评析】此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【易错训练1】（2019•新华区校级二模）下列各式运算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据同底数幂的乘法、积的乘方法则以及幂的乘方法则进行计算即可． 【规范解答】解：，故本选项错误； ．，故本选项错误； ．，故本选项正确； ．，故本选项错误； 故选：． 【考点评析】本题主要考查了幂的运算，解决问题的关键是掌握同底数幂的乘法、积的乘方法则以及幂的乘方法则． 【易错训练2】（2022春•高青县期末）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）利用同底数幂的乘法的运算法则，幂的乘方和积的乘方的运算法则，以及整式的加减法法则解答即可； （2）利用积的乘方的运算法则以及单项式乘单项式的运算法则解答即可． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【考点评析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方和积的乘方以及单项式乘单项式等知识，熟练掌握相关的法则是解题的关键． 【易错训练3】（2020秋•锦江区校级期末）（1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：； （4）解方程：． 【思路点拨】（1）利用有理数的运算法则进行计算； （2）利用整式的运算法则进行计算； （3）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1等步骤进行解答； （4）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1等步骤进行解答． 【规范解答】解：（1） ； （2） ； （3）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （4）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【考点评析】本题考查了有理数、整式的运算，解一元一次方程的方法．解题的关键是掌握有理数、整式的运算法则，解一元一次方程的方法和步骤． 易错考点讲练02：单项式乘多项式 【典例易错题】（2024秋•梁山县期末）观察图，有一边为的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积可以说明下列哪个等式成立　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用面积法进行计算，即可解答． 【规范解答】解：由题意得：， 故选：． 【考点评析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握面积法是解题的关键． 【易错训练1】（2022秋•怀集县期末）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，▄，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【规范解答】解：被墨汁遮住部分， 故选：． 【考点评析】本题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的运算法则是解答本题的关键． 【易错训练2】（1）计算：　　； （2）化简的结果是 　　； （3）若一个直角三角形的两条直角边的长为和，则该直角三角形的面积为 　　； （4）当的值为 　　时，． 【思路点拨】用单项式乘以多项式的法则依次计算即可． 【规范解答】解：（1）原式 ． 故答案为：． （2）原式 ． 故答案为：． （3） ． 故答案为：． （4）由题意得：． ． ． ． 故答案为：2． 【考点评析】本题考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的法则是求解本题的关键． 【易错训练3】（2022春•顺德区校级月考）如图，已知是线段的中点，点在上，分别以，为边作正方形和正方形．设，，正方形和正方形的面积之差为． （1）直接写出　　，　　（用含有，的代数式表示） （2）用含，的代数式表示（结果要化简），并求出当时的值． （3）若，设，是否存在有理数，使得能化简为？若能，请求出满足条件的值；若不能，请说明理由． 【思路点拨】（1）根据中点坐标表示，再根据和差的关系求出，； （2）根据大正方形面积小正方形面积列式计算，化为最简的形式后，再把代入； （3）先求的结果，再根据能化简为，列出方程，计算即可． 【规范解答】解：（1）是线段的中点，，， ， ， ，， 故答案为：，； （2） ， 当时，； （3）答：能， ，设， ， ， ， ， 解得：， 存在有理数，使得能化简为，的值为． 【考点评析】本题主要考查了单项式与多项式相乘、整式加减，掌握单项式与多项式相乘的法则应用和整式加减的步骤，根据题意列出算式或方程是解题关键． 易错考点讲练03：多项式乘多项式 【典例易错题】（2024秋•潮阳区校级期末）如图①，在边长为的大正方形纸片中，剪掉边长的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片． （1）求出拼成的长方形纸片的长和宽； （2）把这个拼成的长方形纸片的面积加上后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为，求它的宽． 【思路点拨】（1）根据图①表示出拼成长方形的长与宽； （2）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果． 【规范解答】解：（1）长方形的长为：． 长方形的宽为：． （2）另一个长方形的宽：． 【考点评析】此题考查了整式的混合运算，弄清题意是解本题的关键． 【易错训练1】（2024秋•衡东县期中）如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为 　10　． 【思路点拨】先计算多项式乘多项式，再根据计算结果进行求解． 【规范解答】解：由题意得， ， 需要类卡片张数为10， 故答案为：10． 【考点评析】此题考查了多项式乘多项式的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识和数形结合思想进行求解． 【易错训练2】（2024春•振兴区校级期中）知识回顾 有这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值； 通常的解题方法；把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． 理解应用 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知的值与无关，求的值； （3）（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【思路点拨】（1）令，解出的值即可； （2）将原式中的看作系数合并同类项，令的系数为0，求出值即可； （3）设，根据图形分别将和用、和表示出来，求出的表达式并合并同类项，令的系数为0，求出和的等量关系即可． 【规范解答】解：（1）关于的多项式的值与的取值无关， ， ． （2） ． 的值与无关， ， ． （3）设，由图形得，， ． 的值始终保持不变， 与无关， ， ． 【考点评析】本题考查多项式乘多项式及合并同类项，熟练运用它们是本题的关键． 【易错训练3】（2021春•北镇市月考）完成以下计算过程，然后解答问题． ①； ②　　； ③　　； ④　　； （1）根据以上各式的计算规律，可以得到　　； （2）根据（1）中得到的结论，直接写出下列各式的计算结果： 　　； 　　． 【思路点拨】②④都是合并同类项，计算结果； （1）根据①④的计算规律得出结果； （2）根据（1）的规律计算． 【规范解答】解：②合并同类项后，得②； ③合并同类项后，得； ④合并同类项后，得； （1）根据以上各式的计算规律，可以得到； （2） ； ． 故答案为：②；③；④；（1）；（2）；． 【考点评析】本题考查多项式与多项式相乘，熟练掌握多项式与多项式相乘的法则，探究做题规律是解题关键． 易错考点讲练04：完全平方公式 【典例易错题】（2024春•龙湾区校级期中）某广场有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在其四周各修建一个两边长都为米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个边长为米的正方形花坛，其余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示． （1）用含，的代数式表示绿化地带的面积（结果要化简）． （2）若，，请求出绿化地带的面积． 【思路点拨】（1）依据题意，绿化地带的面积为（平方米），进而计算可以得解； （2）依据题意，将，代入（1）进行计算可以得解． 【规范解答】解：（1） ． 绿化地带的面积为：平方米． （2）当，时， （平方米）． 【考点评析】本题主要考查了完全平方公式、多项式乘多项式，解题时要熟练掌握并能灵活运用完全平方公式进行计算是关键． 【易错训练1】（2024春•太湖县期末）若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； （2）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【思路点拨】（1）设，，根据已知等式确定出所求即可； （2）设正方形边长为，进而表示出与，求出阴影部分面积即可． 【规范解答】解：（1）设，， ，， ， ； （2）正方形的边长为，，， ，， ， ， 阴影部分的面积． 设，，则，， ， ，， ， ， ． 即阴影部分的面积是28． 【考点评析】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，主要围绕图形面积展开分析． 【易错训练2】（2021春•万柏林区校级月考）某学校分为初中部和小学部，初中部的学生人数比小学部多．做广播操时，初中部排成的是一个规范的长方形方阵，每排人，站有排；小学部站的方阵，排数和每排人数都是． （1）试求该学校共有多少名学生； （2）当，时，试求该学校一共有多少名学生． 【思路点拨】（1）根据“学生总数初中部每排人数排数小学部每排人数排数”列代数并化简即可； （2）把，代入（1）中的代数式并计算即可． 【规范解答】解：（1） （名， 答：求该学校共有名学生． （2）当，时， （名， 答：该学校一共有1528名学生． 【考点评析】本题考查完全平方公式、图形的变化类、多项式乘式项式，根据题意列出代数式并掌握完全平方公式及式项式乘式项式的计算方法是解题的关键． 【易错训练3】（2024春•萧山区期中）【阅读材料】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．比如：我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了图1的等式：．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图3可得等式：　　； （2）如图4，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为、的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则可以拼成的正方形中边长最长为 　　． （3）利用图2得到的结论，解决问题： 若实数、、满足，，求的值． 【思路点拨】（1）用两种不同的方法表示出大正方形的面积，即可得出结论； （2）利用完全平方公式进行求解即可； （3）根据，得出，根据，得出，代入数据求值即可． 【规范解答】解：（1）由图2知，大正方形的面积， 大正方形的面积个边长分别为、、的正方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积， ； 故答案为：． （2）有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片， 又， 从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形，可以拼成的正方形的最大边长为． 故答案为：． （3）， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 【考点评析】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式与几何图形的面积．熟练掌握完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则，是解题的关键． 易错考点讲练05：完全平方公式的几何背景 【典例易错题】（2024春•姜堰区期中）数学学习中我们经常会采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如通过图1我们可以得到代数恒等式．事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，例如图2表示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体，通过重新割补拼成一个新长方体，请你根据图2中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：　　． 【思路点拨】根据正方体和长方体的体积公式，分别求出棱长为的正方体挖去一个小长方体后剩余部分的体积和通过重新割补拼成的新长方体的体积，二者相等，从而得到一个等式． 【规范解答】解：棱长为的正方体挖去一个小长方体后剩余部分的体积为，通过重新割补拼成的新长方体的体积为，二者相等， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握并灵活运用正方体和长方体的体积公式是本题的关键． 【易错训练1】（2024秋•南昌期末）两个边长分别为和的正方形如图放置（图，其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图，两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． （1）用含，的代数式分别表示、； （2）若，，求的值； （3）当时，求出图3中阴影部分的面积． 【思路点拨】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含、的代数式分别表示、； （2）根据，将，代入进行计算即可； （3）根据，，即可得到阴影部分的面积． 【规范解答】解：（1）由图可得，， ； （2）， ，， ； （3）由图可得，， ， ． 【考点评析】本题考查了完全平方公式的几何背景，能够运用数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键． 【易错训练2】（2023秋•鄱阳县校级期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即． 又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，则 　15　； （2）若，，求的值； （3）两个正方形、如图摆放，面积和为60，，则图中阴影部分面积为 　　． 【思路点拨】（1）（2）按照例题中给出的方法求解即可； （3）分别将正方形和的边长设为未知数，根据题意得到两者之和、两者平方之和．阴影部分的面积可表示为两个正方形面积之和减去两个空白三角形的面积，将其化简，再利用例题中提供的方法求出两未知数之积，代入阴影部分面积表达式求解即可． 【规范解答】解：（1）， ， ， ， 故答案为：15； （2）， ， ， ； （3）设正方形、的边长分别为和， 根据题意，得，． ，， ． ， ， ， ， ． 故答案为：20． 【考点评析】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握并灵活运用完全平方公式是解答本题的关键． 【易错训练3】（2024秋•嘉祥县期末）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【思路点拨】设，，建立关于，的关系，最后求面积． 【规范解答】解：设，，则，，． ． ， ， ， 阴影部分的面积等于． 故选：． 【考点评析】本题考查完全平方公式的几何背景，通过面积关系构造使用完全平方公式的条件是求解本题的关键． 易错考点讲练06：平方差公式 【典例易错题】（2024春•铜山区期中）计算：　2　． 【思路点拨】在原式的前面添上，即可连续运用平方差公式进行计算，进而得出计算结果． 【规范解答】解： ． 故答案为：2． 【考点评析】本题主要考查了平方差公式的运用，解决问题的关键是在原式的前面添上，便于运用平方差公式． 【易错训练1】（2024春•拱墅区校级月考）下列等式能够成立的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用平方差公式，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【易错训练2】（2022春•沙坪坝区校级期末）由整式乘法可知，等式性质可得我们把这种由一个多项式分解成几个整式乘积形式的变形过程称作因式分解，如果一个正整数能写成，均为正整数，且，我们称这个数为“平方差数”，例如：，由，可得或．根据等式性质把上下两式相加可得或，因为，均为正整数，所以为偶数，则应舍去，从而解得，所以8是“平方差数”； （1）请把整式和进行因式分解； （2）如果一个三位数，它的百位为1，个位比十位大3，且该三位数各个数位上的数字之和为“平方差数”，求出所有符合条件的三位数． 【思路点拨】（1）运用平方差公式进行因式分解即可； （2）设该三位数个位上的数字为，则其各个数位上的数字之和为，再根据题意构造方程组进行讨论、求解即可． 【规范解答】解：（1）， ； （2）设该三位数十位上的数字为，则其各个数位上的数字之和为， 由，可得或， 可得， 是偶数， 当时， 根据等式性质把上下两式相减可得， 解得， ，均为正整数 不符合题意； 当，， 该三位数是125， ，， 该三位数是147； 当时，， 该三位数是169， 所有符合条件的三位数为125，147或169． 【考点评析】此题考查了平方差公式及方程组的综合运用能力，关键是能准确理解题意和以上知识，进行讨论、求解． 【易错训练3】（2024春•泰兴市期中）小桐计算的过程如下： 解：原式第①步 第②步 第③步 第④步 （1）小桐计算的第①步运用到的乘法公式是 　完全平方公式　（填“完全平方公式”或“平方差公式” ；计算过程的第 　　步开始出现错误； （2）请你给出正确的计算过程． 【思路点拨】（1）根据其计算方法，逐步检查计算过程并找到开始出现错误的步骤即可； （2）根据完全平方公式去掉括号，再合并同类项化简即可． 【规范解答】解：（1）小桐计算的第①步运用到的乘法公式是完全平方公式，计算过程的第③步开始出现错误． 故答案为：完全平方公式，③． （2）原式 ． 【考点评析】本题考查平方差公式和完全平方公式等，掌握平方差公式和完全平方公式及合并同类项的方法是本题的关键． 易错考点讲练07：平方差公式的几何背景 【典例易错题】（2023秋•通榆县期末）乘法公式的探究及应用： （1）如图，可以求出阴影部分的面积是　　（写成两数平方差的形式）； （2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是　　，长是　　，面积是　　（写成多项式乘法的形式）； （3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　　（用式子表达）； （4）运用你所得到的公式，计算下列式子： 【思路点拨】（1）由图形的面积关系即可得出结论； （2）由图形即可得到长方形的长，宽以及面积； （3）依据两图的阴影部分面积相等，可以得到乘法公式； （4）依据平方差公式以及完全平方公式，即可得到计算结果． 【规范解答】解：（1）由图可得，阴影部分的面积； 故答案为：； （2）由图可得，矩形的宽是，长是，面积是； 故答案为：，，； （3）依据两图的阴影部分面积相等，可以得到乘法公式； 故答案为：； （4） ． 【考点评析】本题考查了平方差公式的几何背景，此类题目，关键在于表示出阴影部分的面积，然后根据阴影部分面积相等求解． 【易错训练1】（2023春•鄠邑区期末）如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． （1）设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．请直接用含，的代数式表示，； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式； （3）试利用这个公式计算：． 【思路点拨】（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式； （2）根据面积相等可得； （3）从左到右依次利用平方差公式即可求解． 【规范解答】解：（1），； （2）； （3）原式 ． 【考点评析】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键． 【易错训练2】（2021秋•渝水区校级期末）如图1，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）上述操作能验证的等式是 　　；（请选择正确的选项） ． ． ． （2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则　　． ②计算：． 【思路点拨】（1）用两种方法表示阴影部分的面积即可． （2）利用（1）中得到的平方差公式计算． 【规范解答】解：（1）图1中阴影部分的面积，图②中阴影部分的面积． ． 故选． （2）①． ， ． 故答案为：4． ② ． 【考点评析】本题考查平方差公式及其应用，用两种方法表示同一个图形面积，再用所得公式完成计算是求解本题的关键． 【易错训练3】（2024秋•黄埔区期末）如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后的面积，新的图形面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【规范解答】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为； 剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为， 前后两个图形中阴影部分的面积相等， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系． 1．（2024春•单县期末）从前，一位农场主把一块边长为米的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的另一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会　　 A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 【思路点拨】先计算变化前后的面积，比较即可． 【规范解答】解：原来租的土地面积：（平方米）． 现在租的土地面积：（平方米）． ． 张老汉的租地面积会减少． 故选：． 【考点评析】本题考查代数式大小的比较，正确表示前后租地面积，再用平方差公式计算是求解本题的关键． 2．（2022春•高新区校级期末）观察：，，，据此规律，当时，代数式的值为　　 A．1 B．0 C．1或 D．0或 【思路点拨】先根据规律求的值，再求代数式的值． 【规范解答】解：． ． ． ． ． ． 当时，原式． 当时，原式． 故选：． 【考点评析】本题考查通过规律解决数学问题，发现规律，求出的值是求解本题的关键． 3．（2021春•张店区校级期中）若，则的值是　　 A．0 B．1 C． D． 【思路点拨】先将变形为：，再利用平方差公式化简即可． 【规范解答】解： 故选：． 【考点评析】本题考查了平方差公式在化简求值中的应用，能灵活运用平方差公式是解题的关键． 4．（2023春•拱墅区期末）设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则　　 A．与的最大值相等，与的最小值也相等 B．与的最大值相等，与的最小值不相等 C．与的最大值不相等，与的最小值相等 D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等 【思路点拨】先利用多项式乘多项式的法则进行运算，从而可表示出，，再分析即可． 【规范解答】解： ， ， 多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为， ，， ，且，均为正整数， ， 整理得：． 又，， ，． ，． ． ，均为正整数， 的取值为1，2，3，4，5． 的最大值为1，的最小值为． ，， ． ，均为正整数， 的取值为1，2，3，4，5． 的最大值为1，的最小值为． 故选项正确，符合题意． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了整式的变形，解题时要能熟悉整式的相关变形，注意学会将未知转化为已知去解决． 5．（2023秋•光山县期末）如图，两个正方形的边长分别为，，若，，则四边形的面积为　20　． 【思路点拨】分析图形可得，四边形的面积为两个正方形面积和减去两个三角形的面积，据此计算可得关系式；代入，，计算可得答案． 【规范解答】解：根据题意可得，四边形的面积 ； 代入，，可得： 四边形的面积． 故答案为：20． 【考点评析】此题考查整式的混合运算，关键是利用面积的和差关系求出四边形的面积，但在计算时要把未知的代数式转化成已知，代入求值． 6．（2023春•揭西县校级月考）乘法公式的探究及应用． （1）如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式：　　； （2）运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：①，②． 【思路点拨】（1）图1中根据阴影部分面积大正方形的面积空白正方形的面积、图2中根据长方形的面积公式分别求出阴影部分的面积，二者相等即可； （2）根据（1）得到的乘法公式解答即可． 【规范解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为； 图2中长方形的长是，宽是，其面积为， 图1、图2阴影部分的面积相等，得． 故答案为：． （2）① ； ② ． 【考点评析】本题考查平方差公式的几何背景等，掌握正方形和长方形的面积公式是解题的关键． 7．（2023•大庆一模）若关于的多项式，则的值是 　6或　． 【思路点拨】根据完全平方公式的特征求解即可． 【规范解答】解：由题意得：， ， ，或，． 或． 故答案为：6或 【考点评析】本题考查完全平方公式的特征，将等式右边用完全平方公式展开是求解本题的关键． 8．（2024秋•蒸湘区校级月考）要使多项式不含的一次项，则的值为　　 A． B．4 C． D．1 【思路点拨】先计算多项式乘多项式，再根据题意列式、求解． 【规范解答】解： ， 由题意得， 解得， 故选：． 【考点评析】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算． 9．（2020秋•舞阳县期末）先阅读后计算：为了计算的值，小黄把4改写成后，连续运用平方差公式得： ． 请借鉴小黄的方法计算： ，结果是　　． 【思路点拨】在前面乘一个，然后再连续利用平方差公式进行计算即可． 【规范解答】解：原式 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了平方差公式的运用，正确应用公式是解题关键．对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 10．（2022春•龙泉驿区期末）在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小萱对自己设计的运算给出如下定义：，．的化简结果是 　　；若乘以的结果为，则的值为 　　． 【思路点拨】认真读懂新定义，代入新定义公式化简求值即可． 【规范解答】解：（1），， 故答案为：． （2），，，； ，，， ，， ，即， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】考查整式的新定义，整式的四则运算，关键是读懂新定义，会合并同类项． 11．（2024春•汉中期末）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：　　； （2）解决问题：如果，，求的值； （3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 【思路点拨】（1）分别用大正方形边长的平方、4个图形的面积之和这两种不同的方法表示大正方形的面积，二者相等即可得到一个等式； （2）将等号两边同时平方，根据（1）中得到的等式求解即可； （3）分别将长方形的长和宽用字母表示，从而得到二者之和、二者平方之和，将二者之和等号两边同时平方，利用（1）中得到的等式求出二者之积即可． 【规范解答】解：（1）大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， ， 故答案为：． （2），， ， ． （3）设，，则该长方形的面积为， ，， ， ， 这个长方形的面积为15． 【考点评析】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握它是本题的关键． 12．（2024春•沈阳期末）乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片长为、宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积． 方法　　；方法　　 （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系．　　 （3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证： （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【思路点拨】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论； （2）依据（1）中的代数式，即可得出，，之间的等量关系； （3）画出长为，宽为的长方形，即可验证：； （4）①依据，可得，进而得出，再根据，即可得到；②设，，即可得到，，依据，即可得出，进而得到． 【规范解答】解：（1）图2大正方形的面积 图2大正方形的面积 故答案为：，； （2）由题可得，，之间的等量关系为： 故答案为：； （3）如图所示， （4）①， ， ， 又， ； ②设，，则， ， ， ， ， 即． 【考点评析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 13．（2023春•大埔县校级期中）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于 　　； （2）观察图2写出三个代数式，，之间的等量关系 　　； （3）若，，则： ①的值为 　　； ②的值为 　　； ③的值为 　　． 【思路点拨】（1）根据线段的差可得结论； （2）方法1，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形面积，方法2，阴影部分小正方形的边长为，即可计算出面积，可得两次计算的都是阴影部分的面积，即可得出答案； （3）分别根据完全平方公式可解答． 【规范解答】解：（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于； 故答案为：； （2）根据题意，方法1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形面积，即； 方法2，阴影部分小正方形的边长为，则面积为； ； 故答案为：； （3）由（2）知：， ，， ①； 故答案为：13； ②； 故答案为：19； ③； 故答案为：343． 【考点评析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行求解是解决本题的关键． 14．（2021春•拱墅区校级期中）（1）填空： 　　； 　　； 　　； （2）猜想： 　　（其中为正整数，且． （3）利用（2）猜想的结论计算： ①； ②． 【思路点拨】（1）根据平方差公式，根据多项式乘多项式计算，然后合并同类项； （2）由（1）中的规律进行猜想； （3）①首先把1化为形式，再把括号里的每一项写成乘以1的乘方形式，构成（2）中形式，从而写出结论，进行计算； ②先提取符号，把1化为形式，再把括号里的每一项写成乘以的乘方形式，构成（2）中形式，从而写出结论，进行计算． 【规范解答】解：（1）； ； ． 故答案为：、、． （2） ； 故答案为：． （3）① ； ② ． 【考点评析】本题主要考查了多项式乘多项式、规律型：数字的变化类，熟练掌握多项式与多项式相乘的法则的熟练应用，规律的探究关键是根据题意把1化为符合条件的形式是解题关键． 15．（2022秋•二道区校级期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：　．　； （2）解决问题：如果，求的值； （3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 【思路点拨】（1）用两种方法表示同一个图形面积即可． （2）用（1）中得到的公式计算． （3）将，当成两个字母后用公式． 【规范解答】解：（1）图中大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为：． ． 故答案为：． （2）， ． （3）设，， 则，． ． ． ． 这个长方形的面积为：． 【考点评析】本题考查完全平方公式的几何背景及其应用，用两种方法表示同一个图形面积，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学七年级下册章节培优易错知识讲练（新教材） 第8章 整式乘法 （思维导图+易错知识+7大考点讲练+易错真题难度拔尖练 共43题） 目 录 讲义编写说明 1 思维导图指引 2 易错知识点梳理精讲 2 易错知识点梳理01：单项式乘单项式 2 易错知识点梳理02：单项式乘多项式 2 易错知识点梳理03：多项式乘多项式 3 易错知识点梳理04：乘法公式的应用 3 易错知识点梳理05：符号和指数的处理 3 易错考点优选题讲练 3 易错考点讲练01：单项式乘单项式 3 易错考点讲练02：单项式乘多项式 4 易错考点讲练03：多项式乘多项式 6 易错考点讲练04：完全平方公式 7 易错考点讲练05：完全平方公式的几何背景 10 易错考点讲练06：平方差公式 12 易错考点讲练07：平方差公式的几何背景 13 易错真题拔尖训练 15 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，易错知识点梳理，易错考点真题汇编，精选易错题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 易错知识点梳理01：单项式乘单项式 易错点： 数与系数的乘法：学生可能会忘记将单项式的系数相乘。 字母与字母的乘法：学生可能会混淆字母的指数运算，特别是当字母相同时。 符号处理：在处理负数或分数系数时，学生可能会出错。 解题技巧： 明确单项式的结构，即系数和字母部分。 分别计算系数和字母部分，然后将结果相乘。 易错知识点梳理02：单项式乘多项式 易错点： 分配律的应用：学生可能会忘记将单项式的每一项与多项式的每一项相乘。 符号处理：在处理负数或分数系数时，分配律的应用可能会出错。 解题技巧： 使用分配律，将单项式的每一项分别与多项式的每一项相乘。 注意保持每一项的符号正确。 易错知识点梳理03：多项式乘多项式 易错点： 乘法公式的应用：如平方差公式、完全平方公式等，学生可能会混淆或忘记。 乘法顺序：学生可能会忘记按照乘法分配律的顺序进行乘法运算。 合并同类项：在乘法运算后，学生可能会忘记合并同类项。 解题技巧： 熟练掌握乘法公式，并能在适当的时候应用它们。 按照乘法分配律的顺序进行乘法运算，确保每一项都被正确计算。 在乘法运算后，仔细检查并合并同类项。 易错知识点梳理04：乘法公式的应用 易错点： 公式记忆：学生可能会忘记或混淆乘法公式。 公式应用条件：学生可能会在不适当的情况下应用公式。 解题技巧： 熟练掌握乘法公式，并理解它们的推导过程。 在应用公式时，仔细检查公式的应用条件是否满足。 易错知识点梳理05：符号和指数的处理 易错点： 符号运算：在处理负数、分数或带符号的整式时，学生可能会出错。 指数运算：在处理指数时，学生可能会忘记指数法则或混淆它们。 解题技巧： 熟练掌握符号运算规则，如负负得正、分数乘法等。 熟练掌握指数法则，如指数的乘法、除法、幂的幂等。 易错考点讲练01：单项式乘单项式 【典例易错题】（2024•阜新县校级三模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【易错训练1】（2019•新华区校级二模）下列各式运算正确的是　　 A． B． C． D． 【易错训练2】（2022春•高青县期末）计算： （1） ； （2）． 【易错训练3】（2020秋•锦江区校级期末） （1） 计算：； （2）计算：； （2） 解方程：； （4）解方程：． 易错考点讲练02：单项式乘多项式 【典例易错题】（2024秋•梁山县期末）观察图，有一边为的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积可以说明下列哪个等式成立　　 A． B． C． D． 【易错训练1】（2022秋•怀集县期末）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，▄，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是　　 A． B． C． D． 【易错训练2】（1）计算：　　； （2）化简的结果是 　　； （3）若一个直角三角形的两条直角边的长为和，则该直角三角形的面积为 　　； （4）当的值为 　　时，． 【易错训练3】（2022春•顺德区校级月考）如图，已知是线段的中点，点在上，分别以，为边作正方形和正方形．设，，正方形和正方形的面积之差为． （1）直接写出　　，　　（用含有，的代数式表示） （2）用含，的代数式表示（结果要化简），并求出当时的值． （3）若，设，是否存在有理数，使得能化简为？若能，请求出满足条件的值；若不能，请说明理由． 易错考点讲练03：多项式乘多项式 【典例易错题】（2024秋•潮阳区校级期末）如图①，在边长为的大正方形纸片中，剪掉边长的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片． （1）求出拼成的长方形纸片的长和宽； （2）把这个拼成的长方形纸片的面积加上后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为，求它的宽． 【易错训练1】（2024秋•衡东县期中）如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为 　　． 【易错训练2】（2024春•振兴区校级期中）知识回顾 有这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值； 通常的解题方法；把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． 理解应用 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知的值与无关，求的值； （3）（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 易错考点讲练04：完全平方公式 【典例易错题】（2024春•龙湾区校级期中）某广场有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在其四周各修建一个两边长都为米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个边长为米的正方形花坛，其余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示． （1）用含，的代数式表示绿化地带的面积（结果要化简）． （2）若，，请求出绿化地带的面积． 【易错训练1】（2024春•太湖县期末）若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； （2）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【易错训练2】（2021春•万柏林区校级月考）某学校分为初中部和小学部，初中部的学生人数比小学部多．做广播操时，初中部排成的是一个规范的长方形方阵，每排人，站有排；小学部站的方阵，排数和每排人数都是． （1）试求该学校共有多少名学生； （2）当，时，试求该学校一共有多少名学生． 【易错训练3】（2024春•萧山区期中）【阅读材料】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．比如：我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了图1的等式：．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图3可得等式：　　； （2）如图4，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为、的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则可以拼成的正方形中边长最长为 　　． （3）利用图2得到的结论，解决问题： 若实数、、满足，，求的值． 易错考点讲练05：完全平方公式的几何背景 【典例易错题】（2024春•姜堰区期中）数学学习中我们经常会采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如通过图1我们可以得到代数恒等式．事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，例如图2表示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体，通过重新割补拼成一个新长方体，请你根据图2中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：　　 ． 【易错训练1】（2024秋•南昌期末）两个边长分别为和的正方形如图放置（图，其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图，两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． （1）用含，的代数式分别表示、； （2）若，，求的值； （3）当时，求出图3中阴影部分的面积． 【易错训练2】（2023秋•鄱阳县校级期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即． 又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，则 　　； （2）若，，求的值； （3）两个正方形、如图摆放，面积和为60，，则图中阴影部分面积为 　　． 【易错训练3】（2024秋•嘉祥县期末）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 易错考点讲练06：平方差公式 【典例易错题】（2024春•铜山区期中）计算：　　． 【易错训练1】（2024春•拱墅区校级月考）下列等式能够成立的是　　 A． B． C． D． 【易错训练2】（2022春•沙坪坝区校级期末）由整式乘法可知，等式性质可得我们把这种由一个多项式分解成几个整式乘积形式的变形过程称作因式分解，如果一个正整数能写成，均为正整数，且，我们称这个数为“平方差数”，例如：，由，可得或．根据等式性质把上下两式相加可得或，因为，均为正整数，所以为偶数，则应舍去，从而解得，所以8是“平方差数”； （1）请把整式和进行因式分解； （2）如果一个三位数，它的百位为1，个位比十位大3，且该三位数各个数位上的数字之和为“平方差数”，求出所有符合条件的三位数． 【易错训练3】（2024春•泰兴市期中）小桐计算的过程如下： 解：原式第①步 第②步 第③步 第④步 （1）小桐计算的第①步运用到的乘法公式是 　 　（填“完全平方公式”或“平方差公式” ；计算过程的第 　　步开始出现错误； （2）请你给出正确的计算过程． 易错考点讲练07：平方差公式的几何背景 【典例易错题】（2023秋•通榆县期末）乘法公式的探究及应用： （1）如图，可以求出阴影部分的面积是　　（写成两数平方差的形式）； （2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是　　，长是　　，面积是　　（写成多项式乘法的形式）； （3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　　（用式子表达）； （4）运用你所得到的公式，计算下列式子： 【易错训练1】（2023春•鄠邑区期末）如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． （1）设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．请直接用含，的代数式表示，； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式； （3）试利用这个公式计算：． 【易错训练2】（2021秋•渝水区校级期末）如图1，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）上述操作能验证的等式是 　　；（请选择正确的选项） ． ． ． （2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则　　． ②计算：． 【易错训练3】（2024秋•黄埔区期末）如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为　　 A． B． C． D． 1．（2024春•单县期末）从前，一位农场主把一块边长为米的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的另一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会　　 A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 2．（2022春•高新区校级期末）观察：，，，据此规律，当时，代数式的值为　　 A．1 B．0 C．1或 D．0或 3．（2021春•张店区校级期中）若，则的值是　　 A．0 B．1 C． D． 4．（2023春•拱墅区期末）设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则　　 A．与的最大值相等，与的最小值也相等 B．与的最大值相等，与的最小值不相等 C．与的最大值不相等，与的最小值相等 D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等 5．（2023秋•光山县期末）如图，两个正方形的边长分别为，，若，，则四边形的面积为　 　． 6．（2023春•揭西县校级月考）乘法公式的探究及应用． （1）如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式：　　； （2）运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：①，②． 7．（2023•大庆一模）若关于的多项式，则的值是 　　． 8．（2024秋•蒸湘区校级月考）要使多项式不含的一次项，则的值为　　 A． B．4 C． D．1 9．（2020秋•舞阳县期末）先阅读后计算：为了计算的值，小黄把4改写成后，连续运用平方差公式得： ． 请借鉴小黄的方法计算： ，结果是　 　． 10．（2022春•龙泉驿区期末）在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小萱对自己设计的运算给出如下定义：，．的化简结果是 　　；若乘以的结果为，则的值为 　　． 11．（2024春•汉中期末）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：　　； （2）解决问题：如果，，求的值； （3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 12．（2024春•沈阳期末）乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片长为、宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积． 方法　　；方法　　 （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系．　　 （3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证： （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 13．（2023春•大埔县校级期中）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于 　　； （2）观察图2写出三个代数式，，之间的等量关系 　　； （3）若，，则： ①的值为 　　； ②的值为 　　； ③的值为 　　． 14．（2021春•拱墅区校级期中）（1）填空： 　　； 　　； 　　； （2）猜想： 　　（其中为正整数，且． （3）利用（2）猜想的结论计算： ①； ②． 15．（2022秋•二道区校级期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：　　； （2）解决问题：如果，求的值； （3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$