专题14 基本立体图形8题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题14 基本立体图形8题型分类 一、多面体、旋转体的定义 类别 多面体 旋转体 定义 由若干个平面多边形围成的几何体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 图形 概念 面：围成多面体的各个多边形 棱：相邻两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线 二、棱柱的结构特征 1.棱柱的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 2.棱柱的分类 (1)按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体. 三、棱锥的结构特征 1.棱锥的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 2.棱锥的分类 (1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥…… (2)底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. 棱台的结构特征 名称 定义 图形及表示 相关概念 分类 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台 如图可记作： 棱台ABCD— A′B′C′D′ 上底面：平行于棱锥底面的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 四、圆柱的结构特征 圆柱 图形及表示 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中圆柱表示为 圆柱O′O 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 五、圆锥的结构特征 圆锥 图形及表示 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 图中圆锥表示为 圆锥SO 圆锥的轴：旋转轴 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边 六、圆台的结构特征 圆台 图形及表示 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 图中圆台表示为圆台O′O 圆台的轴：旋转轴 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 七、球的结构特征 球 图形及表示 定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球表示为 球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段 八、简单组合体的结构特征 1.概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体. 2.基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成. （一） 棱柱的结构特征 棱柱结构的辨析方法 (1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义. ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形； ②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行. (2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除. 题型1：简单几何体的识别 1．（2025高二·新疆月考）下列几何体中为圆柱的是（　　） A．  B．   C．   D．   2．（四川省内江市内江市第二中学2023-2024学年高二学期10月月考数学试题）观察下面的几何体，哪些是棱柱？（    ） A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5） C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7） 3．（2025高一·重庆万州月考）下列图形中，不是棱柱的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（2025高一·吉林长春·期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ） A．    是棱台 B．是圆台 C．   是棱锥 D．   不是棱柱 题型2：棱柱的结构特征 5．（2025高一·全国月考）下列关于棱柱的说法: ①所有的面都是平行四边形; ②每一个面都不会是三角形; ③两底面平行，并且各侧棱也平行; ④棱柱的侧棱总与底面垂直. 其中说法正确的序号是 . 6．（2025高一·全国月考）下列命题中为真命题的是（    ） A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．正四棱柱是平行六面体 （二） 棱锥、棱台的结构特征 判断棱锥、棱台的方法 (1)举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法. (2)直接法 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 题型3：棱锥、棱台的结构特征 7．（2025高二·甘肃酒泉·期末）下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（    ） A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形 C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点. 8．（2025高一·安徽月考）下列叙述正确的是（    ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 9．（2025高一·安徽合肥月考）下列命题中成立的是（    ） A．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥 D．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体 10．（2025高一·江苏月考）棱台不具备的特点是（    ） A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后都交于一点 （三） 旋转体的结构特征 常见旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球. (1)判断简单旋转体结构特征的方法 ①明确由哪个平面图形旋转而成. ②明确旋转轴是哪条直线. (2)简单旋转体的轴截面及其应用 ①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量. ②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. 题型4：旋转体的结构特征 11．（2025高一·天津和平月考）下列命题中不正确的是（    ） A．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 B．正四棱锥的侧面都是正三角形 C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台 12．（2025高一·天津和平月考）下列说法正确的是（ ） ①圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成； ②用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆面； ③以半圆的直径为轴旋转半周形成的旋转体叫做球； ④圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 13．（2025高一·全国月考）下列命题正确的是(    ) ①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球面上任意三点可能在一条直线上；⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段. A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．①④⑤ 14．（2025高一·全国月考）给出下列说法：（1）以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（2）以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（3）经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；（4）圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径.其中正确说法的序号是 . （四） 简单组合体的结构特征 (1)解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力. (2)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的. 题型5：简单组合体的结构特征 15．（2025高一·全国月考）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（    ） A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆柱、一个圆锥 C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥 16．（2025高二·全国月考）如图所示，三棱柱中，，分别是，的中点，截面将三棱柱分成两部分，你能说出多面体是什么样的几何体吗？多面体是简单几何体还是组合体？为什么？ 17．（2025高一·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 18．（2025高一·河南商丘月考）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（    ）    A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点 19．（2025高二·上海虹口·期末）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有面的个数及棱长分别为（    ） A．26， B．24 ， C．26， D．24 ， 20．（2025高一·全国月考）能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是 A． B． C． D． 21．（2025高一·广东珠海月考）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（    ） 　　 A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体 22．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，正方体上、下底面中心分别为，，将正方体绕直线旋转，下列四个选项中为线段旋转所得图形是（    ） A． B． C． D． （五） 几何体的有关计算 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解. 题型6：空间几何体的有关计算 23．（2025高二·重庆月考）已知圆锥的底面面积为，高，则该圆锥的母线长为 24．（2025高一·安徽宣城·期末）某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积是 . 25．（1993·全国）在半径为的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为．若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为 （精确到）． 26．（2025高二·湖南长沙月考）如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 27．（2025高三·全国月考）半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 题型7：展开图及最短路径问题 28．（2025高二·四川南充月考）在直三棱柱中分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为（    ）    A． B． C． D． 29．（2025高三·全国·对口高考）如图，在直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则过三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为 ．    30．（2025高二·江西南昌·期中）如图，在长方体中，若，且面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为 .    31．（2025高一·河北保定月考）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，，，，，，分别为棱，上一点，则的最小值为 ．    32．（2025高一·湖北武汉·期中）如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 33．（2025高一·辽宁·期末）如图，在圆柱中，，分别为圆，的直径，，，为的中点，则一只蚂蚁在圆柱表面从爬到的最短路径的长度为（    ）    A． B． C． D． 34．（2025高一·山东泰安·期中）某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）．若是母线的一个三等分点（靠近点S），从点A到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（    ）      A． B． C． D． 35．（2025·云南曲靖·模拟预测）如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点处，则小虫爬行的最短路程为（    ） A． B．16 C．24 D． 36．（2025高三·全国月考）如图所示，圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6.求轴截面相对顶点A、C在圆台侧面上的最短距离. 题型8：空间几何体的截面问题 37．（2025高二·北京月考）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 38．（2025高一·辽宁大连·期末）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为4，圆心角为的扇形，过该圆锥顶点作截面，则截面面积的最大值为（   ） A． B．8 C． D．6 39．（2025高一·全国·单元测试）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是 A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 40．（2025高三·湖南长沙月考）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 41．（2025高一·全国月考）若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面(    ) A．一定通过正方体的中心 B．一定通过正方体一个表面的中心 C．一定通过正方体的一个顶点 D．一定构成正多边形 42．（2025·河南新乡·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为（    ） A． B． C． D． 43．（2025高三·安徽阜阳·期末）已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（    ） A． B． C． D． 44．（2025高三·全国月考）已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 45．（2025高一·江苏镇江月考）在边长为2的正方体中，是的中点，那么过点、、的截面图形为 （在“三角形、矩形、正方形、菱形”中选择一个）；截面图形的面积为 . 46．（2025高一·全国月考）如图，空间四边形的边，成的角，且，，平行于与的截面分别交，，，于，则截面面积的最大值为 . 47．（2025·山西阳泉·模拟预测）圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（    ） A．8 B． C． D． 48．（2025高二·贵州月考）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为，则过圆锥顶点的截面面积最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 一、单选题 1．（2025高二·甘肃酒泉·期末）以下说法正确的是（     ） A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫球； B．球的大圆的半径等于球的半径； C．球面和球是同一个概念； D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆. 2．（2025高二·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（    ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 3．（2025高一·天津西青·期中）下列说法正确的是（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥 B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台 C．棱柱的侧面都是平行四边形 D．直角三角形绕一条边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥 4．（2025高二·湖北月考）已知圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长度为2，则底面半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025高三·全国月考）如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（    ）． A． B． C．3 D．2 6．（2025高一·全国·随堂练习）下列命题正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 7．（8.1-8.2基本立体图形及直观图（分层练习）-2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册））如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ）    A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体 8．（2025高二·贵州月考）如图， 在长方体ABCD- A1B1C1D1中，AB= AD=4，，则BD1=（ ） A．6 B．7 C．10 D．11 9．（2025·山西朔州·模拟预测）毛泽东在《七律二首•送瘟神》中有句诗为“坐地日行八万里，巡天遥看一千河.”前半句的意思是：人坐在地面上不动，由于地球的自转，每昼夜会随着地面经过八万里路程.诗中所提到的八万里，指的是人坐在赤道附近所得到的数据.设某地所在纬度为北纬（即地球球心和该地的连线与赤道平面所成的角为），且.若将地球近似看作球体，则某人在该地每昼夜随着地球自转而经过的路程约为（    ） A．万里 B．万里 C．万里 D．万里 10．（2025高二·辽宁沈阳月考）古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本》一书中定义了圆锥与直角圆锥这两个概念：固定直角三角形的一条直角边，旋转直角三角形到开始位置，所形成的图形称为圆锥；如果固定的直角边等于另一直角边时，所形成的圆锥称为直角圆锥，则直角圆锥的侧面展开图（为一扇形）的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D．与直角圆锥的母线长有关 11．（2025·新疆阿勒泰·模拟预测）如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 12．（2025高二·四川成都月考）下列说法正确的是（    ） A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C．多面体至少有5个面 D．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形 13．（2025高一·辽宁铁岭·期末）所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（    ） A． B． C． D． 14．（2025高一·全国月考）如图所示，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面(经过棱)到达顶点，与的交点记为，则从点经点到的最短路线长为（    ） A． B． C．4 D． 15．（2025高三·山西大同·期末）已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（    ） A．1 B． C．2 D． 16．（2025高三·河南驻马店月考）已知底面边长为1的正三棱柱既有外接球也有内切球，圆锥是三棱柱的外接圆锥，且三棱柱的一个底面在该圆锥的底面上，则该外接圆锥的轴截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 17．（2025高一·全国月考）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2cm，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从点A出发，沿侧面爬行到点C处，则小虫爬行的最短距离是（    ）    A． B．2cm C． D．1cm 18．（2025·上海·模拟预测）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在长方体中，鳖臑的个数为（    ） A． B． C． D． 19．（2025高一·北京昌平·期中）下列说法正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心 B．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥 C．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥 二、多选题 20．（2025高一·浙江杭州·期中）已知圆锥底面半径为，母线长为2，则（    ） A．圆锥侧面积为 B．圆锥的侧面展开图中，扇形的圆心角为 C．圆锥的体积为 D．过顶点的截面三角形的面积最大值为 21．（2025高一·全国月考）用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径可能是 A． B． C． D． 22．（2025高一·广东月考）如图在四棱台中，点，分别为四边形，的对角线交点，则下列结论正确的是（    ）    A．若四棱台是正四棱台，则棱锥是正四棱锥 B．几何体是三棱柱 C．几何体是三棱台 D．三棱锥的高与四棱锥的高相等 23．（2025高一·全国·单元测试）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何图形的4个顶点，这些几何图形可以是（    ） A．矩形 B．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体 C．每个面都是等边三角形的四面体 D．每个面都是直角三角形的四面体 24．（2025高一·江苏南京月考）在正方体中，点是线段上的动点，若过三点的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状可能为（   ） A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 三、填空题 25．（2025高三·陕西榆林月考）已知某圆台的上底面圆心为，半径为r，下底面圆心为，半径为2r，高为h.若该圆台的外接球球心为O，且，则 . 26．（2025高一·浙江台州·期中）已知圆柱体的底面半径为，高为，一只蜗牛从圆柱体底部开始爬行，绕圆柱体4圈到达顶部，则蜗牛爬行的最短路径长为 ． 27．（2025高二·上海浦东新·期中）若圆锥的侧面展开图是半径为，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的该圆锥的截面面积的最大值为 . 28．（2025高一·天津和平·期中）给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②在四棱柱中，若底面为正方形，则该四棱柱为正四棱柱； ③存在每个面都是直角三角形的四面体； ④棱台的侧棱延长后交于一点． 其中正确命题的序号是 ． 29．（2025高一·全国月考）如图，在三棱锥中，，，如图，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的侧面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为 ．    30．（2025高一·广东广州·期中）如图，在长方体中，，点M在棱上，当取得最小值时，的长为 .    31．（2025高二·上海普陀·期中）如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于 . 32．（2025·安徽铜陵·模拟预测）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为2km，山高为，是山坡上一点，且.现要建设一条从到的环山观光公路，这条公路从出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为 . 33．（2025高三·全国月考）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则△的面积的取值范围为 34．（2025高二·上海静安·期中）已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为 . 35．（2025高三·云南保山·期末）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为 ，四棱锥的总曲率为 . 36．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 ．    37．（2025高二·重庆南岸·期中）如图，在长方体中，且，为棱上的一点．当取得最小值时，的长为 ． 38．（2025高二·上海·期中）某种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在直线必须是异面直线（i是整数）．设黑“电子狗”爬完2025段、黄“电子狗”爬完2022段后各自停止在正方体的某个顶点处之间的距离为 ． 四、解答题 39．（2025高二·上海浦东新·期中）已知圆锥的底面半径为3，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为π的扇形. (1)求该圆锥的高； (2)求圆锥的母线与底面所成角的大小. 40．（2025高一·全国月考）如图所示,已知圆柱的高为80cm,底面半径为10cm,表面上有P､Q两点,若P点在B点处､Q点在点处,一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点(不直接走直线段),求蚂蚁爬行的最短路程. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题14 基本立体图形8题型分类 一、多面体、旋转体的定义 类别 多面体 旋转体 定义 由若干个平面多边形围成的几何体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 图形 概念 面：围成多面体的各个多边形 棱：相邻两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线 二、棱柱的结构特征 1.棱柱的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 2.棱柱的分类 (1)按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体. 三、棱锥的结构特征 1.棱锥的概念 名称 定义 图形及表示 相关概念 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 如图可记作：棱锥S—ABCD 底面(底)：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 2.棱锥的分类 (1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥…… (2)底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. 棱台的结构特征 名称 定义 图形及表示 相关概念 分类 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台 如图可记作： 棱台ABCD— A′B′C′D′ 上底面：平行于棱锥底面的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 四、圆柱的结构特征 圆柱 图形及表示 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中圆柱表示为 圆柱O′O 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 五、圆锥的结构特征 圆锥 图形及表示 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 图中圆锥表示为 圆锥SO 圆锥的轴：旋转轴 圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边 六、圆台的结构特征 圆台 图形及表示 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 图中圆台表示为圆台O′O 圆台的轴：旋转轴 圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 七、球的结构特征 球 图形及表示 定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球表示为 球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段 八、简单组合体的结构特征 1.概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体. 2.基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成. （一） 棱柱的结构特征 棱柱结构的辨析方法 (1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义. ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形； ②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行. (2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除. 题型1：简单几何体的识别 1．（2025高二·新疆月考）下列几何体中为圆柱的是（　　） A．  B．   C．   D．   【答案】B 【分析】结合几何体的特征逐个判断即可. 【解析】易得A为圆锥，B为圆柱，C为棱台，D为球． 故选：B． 2．（四川省内江市内江市第二中学2023-2024学年高二学期10月月考数学试题）观察下面的几何体，哪些是棱柱？（    ） A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5） C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7） 【答案】A 【分析】根据棱柱的结构特征确定答案即可. 【解析】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体， 所以，棱柱有（1）（3）（5）. 故选：A 3．（2025高一·重庆万州月考）下列图形中，不是棱柱的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据棱柱的定义判断即可. 【解析】一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 故A为四棱柱，B为三棱柱，C为四棱柱， D中有两个面为梯形，两个面为三角形且三角形面不平行，故D不是棱柱. 故选：D 4．（2025高一·吉林长春·期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ） A．    是棱台 B．是圆台 C．   是棱锥 D．   不是棱柱 【答案】C 【分析】利用空间几何体的结构特征判断. 【解析】A.不是由棱锥截来的，故不是棱台，故错误； B.不是圆锥截来的，故不是圆台，故错误； C.符合棱锥的结构特征，故正确； D.符合棱柱的结构特征，故错误. 故选：C 题型2：棱柱的结构特征 5．（2025高一·全国月考）下列关于棱柱的说法: ①所有的面都是平行四边形; ②每一个面都不会是三角形; ③两底面平行，并且各侧棱也平行; ④棱柱的侧棱总与底面垂直. 其中说法正确的序号是 . 【答案】③ 【解析】根据棱柱的定义,逐项判断,即可求得答案. 【解析】对于①,棱柱的底面不一定是平行四边形,如三棱柱、五棱柱等,故①错误; 对于②,棱柱的底面可以是三角形,故②错误; 对于③,由棱柱的特征性质可知:两底面平行,并且各侧棱也平行,故③正确; 对于④,棱柱的侧棱可能与底面垂直,也可能不与底面垂直,故④错误. 说法正确的序号是③. 故答案为:③. 【点睛】本题解题关键是掌握棱柱的定义,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题. 6．（2025高一·全国月考）下列命题中为真命题的是（    ） A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．正四棱柱是平行六面体 【答案】D 【分析】根据空间几何体的几何特征和性质即可结合选项逐一求解. 【解析】对于A，当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，故A错误； 对于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四边形，比如三棱柱，五棱柱等，故B错误； 对于C，可以是两对称面为矩形的平行六面体，故C错误； 对于D，正四棱柱是平行六面体，故D正确. 故选：D. （二） 棱锥、棱台的结构特征 判断棱锥、棱台的方法 (1)举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法. (2)直接法 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 题型3：棱锥、棱台的结构特征 7．（2025高二·甘肃酒泉·期末）下列描述中，不是棱锥几何结构特征的是（    ） A．三棱锥有4个面是三角形 B．棱锥的侧面都是三角形 C．棱锥都有两个互相平行的多边形面 D．棱锥的侧棱交于一点. 【答案】C 【分析】根据棱锥的定义和几何结构，逐项判定，即可求解. 【解析】A中，根据棱锥的几何结构，可得三棱锥有4个面是三角形    ，所以A正确； B中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧面都是三角形，所以B正确； C中，根据棱锥的定义，可得棱锥都没有两个互相平行的多边形面，所以C错误； D中，根据棱锥的定义，可得棱锥的侧棱交于一点，所以D正确. 故选：C. 8．（2025高一·安徽月考）下列叙述正确的是（    ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【答案】D 【分析】根据棱台的定义以及性质，即可得出答案. 【解析】对于A，当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，A错误； 对于B，C，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，B，C错误；    对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确. 故选：D. 9．（2025高一·安徽合肥月考）下列命题中成立的是（    ） A．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥 D．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体 【答案】A 【分析】依据直棱柱、棱锥、正棱锥的概念来判断. 【解析】对A，以三棱柱为例，如图，若侧面和侧面为矩形，则. 又平面ABC，所以 面， 又棱柱侧棱互相平行，故其他侧棱也与底面垂直. 所以此三棱柱为直三棱柱，故A正确；    对B，如图所示的八面体满足每个面都是三角形，但它不是棱锥，故B不正确；    对C，如图所示的三棱锥中有，满足侧面是全等的等腰三角形， 但它不是正三棱锥，故C不正确；    对D，各个侧面都是矩形且上下底面也是矩形的棱柱才是长方体，故D不正确. 故选：A 10．（2025高一·江苏月考）棱台不具备的特点是（    ） A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后都交于一点 【答案】C 【分析】根据棱台的定义结构特征求解. 【解析】根据棱台的定义知，棱台底面相似，侧面都是梯形，侧棱延长后都交于一点， 但是侧棱长不一定相等， 故选：C （三） 旋转体的结构特征 常见旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球. (1)判断简单旋转体结构特征的方法 ①明确由哪个平面图形旋转而成. ②明确旋转轴是哪条直线. (2)简单旋转体的轴截面及其应用 ①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量. ②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想. 题型4：旋转体的结构特征 11．（2025高一·天津和平月考）下列命题中不正确的是（    ） A．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 B．正四棱锥的侧面都是正三角形 C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台 【答案】B 【分析】由正四棱锥的概念判断B；由旋转体的结构特征判断A、C、D． 【解析】对于A：圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故A正确； 对于B：正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故B错误； 对于C：用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故C正确； 对于D：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台，故D正确． 故选：B． 12．（2025高一·天津和平月考）下列说法正确的是（ ） ①圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成； ②用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆面； ③以半圆的直径为轴旋转半周形成的旋转体叫做球； ④圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】利用圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征分析判断即可 【解析】圆台是直角梯形绕其直角边或等腰梯形绕其两底边的中点连线旋转形成的，故错； ②用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆面，故正确； 球是以半圆的直径为轴旋转一周形成的旋转体，故③错； ④圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交，故正确． 故选：D 13．（2025高一·全国月考）下列命题正确的是(    ) ①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球面上任意三点可能在一条直线上；⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段. A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】根据球体概念和性质即可求解. 【解析】由球的概念与性质，当任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故①错；②正确；③正确；球面上任意三点一定不共线，故④错误；根据球的半径的定义可知⑤正确. 故选：C. 14．（2025高一·全国月考）给出下列说法：（1）以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（2）以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；（3）经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；（4）圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径.其中正确说法的序号是 . 【答案】（2）（3）（4） 【分析】根据圆锥的定义及几何特征，逐一分析即可得出答案. 【解析】解：（1）不正确，因为当直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥； （2）正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥； （3）正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形； （4）正确，如图所示，圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍（即直径）. （四） 简单组合体的结构特征 (1)解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征，其次要有一定的空间想象能力. (2)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的. 题型5：简单组合体的结构特征 15．（2025高一·全国月考）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（    ） A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆柱、一个圆锥 C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥 【答案】D 【分析】根据旋转体的概念，作出直观图，可得答案. 【解析】图①是一个等腰梯形，为较长的底边， 以边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体， 如图②，包括一个圆柱、两个圆锥， 故选：D 16．（2025高二·全国月考）如图所示，三棱柱中，，分别是，的中点，截面将三棱柱分成两部分，你能说出多面体是什么样的几何体吗？多面体是简单几何体还是组合体？为什么？ 【答案】见解析 【分析】根据几何体的结构特征得出多面体是三棱台，多面体是组合体，分别说明即可． 【解析】多面体是棱台，因为它有两个互相平行的面和面，而且，，的延长线能相交于一点． 多面体没有两个相互平行的面，因此不是棱柱，也不是棱台． 又因为它有三个面是四边形，所以它也不是棱锥，所以它是组合体． 17．（2025高一·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【答案】B 【分析】根据组合体基本构成即可得答案. 【解析】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成. 故选：B. 18．（2025高一·河南商丘月考）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（    ）    A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点 【答案】B 【分析】根据几何体的形状逐个选项判断即可. 【解析】据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确． 故选：B 19．（2025高二·上海虹口·期末）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有面的个数及棱长分别为（    ） A．26， B．24 ， C．26， D．24 ， 【答案】A 【分析】将该多面体分为三层，分别数出每一层的面数，求和即可得正多面体的面数；设正多面体的棱长为，作出该几何体的截面，为正八边形，利用多面体棱长与正方体的棱长的关系列方程即可求解 【解析】可以将该多面体分为三层，上层个面，中层个面，下层个面，上下底各个面， 所以共有个面， 设正多面体的棱长为，作出该几何体的截面如图，截面图为正八边形， 由图可得，， 因为为等腰直角三角形，所以，即， 解得：，所以该多面体的棱长为， 故选：A. 20．（2025高一·全国月考）能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将A、B、C、D选项图形绕对称轴旋转可知A选项符合题意. 【解析】此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成， 是由A中的平面图形旋转形成的. 故选：A. 【点睛】本题考查平面图形旋转形成的几何体，考查空间想象能力和推理能力，属于简单题. 21．（2025高一·广东珠海月考）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（    ） 　　 A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体 【答案】B 【分析】根据旋转体的定义可得正确的选项. 【解析】圆及其内部旋转一周后所得几何体为球， 而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱， 故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱， 故选：B. 22．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，正方体上、下底面中心分别为，，将正方体绕直线旋转，下列四个选项中为线段旋转所得图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据的中点到旋转轴的距离小于、两点到旋转轴距离，得到A、C项不符合题意．再由所得旋转体的侧面上有无数条直线且直线的方向与转轴不共面，可得A项不符合题意．由此可得只有D项符合题意． 【解析】解：设正方体的棱长等于， 的中点到旋转轴的距离等于，而、两点到旋转轴的距离等于， 的中点旋转一周，得到的圆较小，可得所得旋转体的中间小，上、下底面圆较大． 由此可得A、C项不符合题意，舍去． 又在所得旋转体的侧面上有无数条直线，且直线的方向与转轴不共面， B项不符合题意，只有D项符合题意． 故选：D． （五） 几何体的有关计算 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解. 题型6：空间几何体的有关计算 23．（2025高二·重庆月考）已知圆锥的底面面积为，高，则该圆锥的母线长为 【答案】11 【分析】作出圆锥的轴截面，根据已知得出底面半径，结合已知，根据勾股定理，即可得出答案. 【解析】   如图，作出圆锥的轴截面，点为底面圆心. 设圆锥的底面半径为，母线为 由已知可得，，解得，所以. 又， 所以，， 解得，即. 故答案为：11. 24．（2025高一·安徽宣城·期末）某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积是 . 【答案】 【分析】由题意先计算出母线长，再可求出底面半径，从而可求出圆锥的高，进而可求出轴截面的面积 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形， 所以，解得， 因为， 所以，得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的轴截面的面积是， 故答案为： 25．（1993·全国）在半径为的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为．若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为 （精确到）． 【答案】 【分析】作出圆锥，计算出的长，即可得解. 【解析】如下图所示： 在圆锥中，为圆的一条直径，由题意可知，，， 所以，，由，故. 故答案为：. 26．（2025高二·湖南长沙月考）如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得，求得，进而由可求得圆锥的高. 【解析】由图知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为， 设扇形半径为，则有，解得，因此圆锥的母线长为， 所以圆锥的高. 故选：D 27．（2025高三·全国月考）半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（    ）cm. A．2 B．14 C．2或14 D．6或8 【答案】C 【分析】由截面圆的面积得到截面圆的半径，然后根据求得截面到圆心的距离，再按两截面在圆心的同侧和异侧求解即可. 【解析】设两个截面圆的半径分别为、，球心到截面的距离分别为、，球的半径为. 由，得cm，cm， 由，得cm，cm， 如图所示， 当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差， 即cm. 如图所示， 当球的球心在两个平行平面之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和，即cm. 故选：C. 题型7：展开图及最短路径问题 28．（2025高二·四川南充月考）在直三棱柱中分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑将直棱柱的侧面按不同方式展开，使得点在一个平面内，再利用勾股定理求得EF的长度，比较大小，即得答案. 【解析】由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形． ①若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中，      由勾股定理得； ②若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中，    此时. ③若把面和面展开在同一个平面内，设的中点为，    在直角三角形中，由勾股定理得． ④若把面和面展开在同一个面内，    过作与行的直线，过作与平行的直线， 所作两直线交于点，则在直角三角形中， 由勾股定理得． 由于， 可得从到两点的最短路径的长度为, 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键时考虑到将棱柱侧面展开时有几种展开方式，使得在一个平面内，从而将立体问题转化平面问题解决. 29．（2025高三·全国·对口高考）如图，在直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则过三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为 ．    【答案】/ 【分析】利用直三棱柱的侧面展开图求解即可. 【解析】由题意可知过三点的平面截该三棱柱所得截面的周长即的周长， 因为直三棱柱，所以各侧面均为矩形， 所以， 直三棱柱的侧面部分展开图如图所示，    则在矩形中， 所以过三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为， 故答案为： 30．（2025高二·江西南昌·期中）如图，在长方体中，若，且面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为 .    【答案】 【分析】把沿翻折，使矩形和在一个平面上，可知的最小值为，利用余弦定理运算求解. 【解析】把沿翻折，使矩形和在一个平面上，连接， 则的最小值为，    在中，可知， 由余弦定理得， 所以的最小值为. 故答案为：. 31．（2025高一·河北保定月考）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，，，，，，分别为棱，上一点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】将翻折至一个平面，则的最小值为点A到边的距离，结合三角恒等变换运算求解. 【解析】由题意可知：，则， 所以， 将翻折至一个平面，过点A作，垂直为点， 则的最小值为点A到边的距离， 因为， 所以， 即的最小值为. 故答案为：.    32．（2025高一·湖北武汉·期中）如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出的最小值就是的长，求解即可． 【解析】解：依题意可得圆柱的底面半径，高 将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形，其中，， 问题转化为在上找一点，使最短， 作关于的对称点，连接，令与交于点， 则得的最小值就是为． 故选：A 33．（2025高一·辽宁·期末）如图，在圆柱中，，分别为圆，的直径，，，为的中点，则一只蚂蚁在圆柱表面从爬到的最短路径的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把半圆柱侧面展开得到侧面展开图为矩形，结合矩形的性质，即可求解. 【解析】如图所示，把半圆柱侧面展开，得到侧面展开图为矩形 ， 在圆柱中，因为，可得， 即矩形中，，，则最短路径的长度为． 故选：A.    34．（2025高一·山东泰安·期中）某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图1）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）．若是母线的一个三等分点（靠近点S），从点A到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆锥侧面沿着母线展开，计算出展开图扇形的圆心角，结合余弦定理可求得灯光带的最小长度. 【解析】将圆锥侧面沿母线展开，其侧面展开图为如图所示的扇形，则的长度即为灯光带的最小长度，   ，， 在中，，， ， 解得：，即灯光带的最小长度为. 故选：C. 35．（2025·云南曲靖·模拟预测）如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点处，则小虫爬行的最短路程为（    ） A． B．16 C．24 D． 【答案】A 【分析】可先求出侧面展开扇形的圆心角，利用余弦定理即可求出. 【解析】如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为， 则由题可得，则， 在中，， 则小虫爬行的最短路程为. 故选：A. 36．（2025高三·全国月考）如图所示，圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6.求轴截面相对顶点A、C在圆台侧面上的最短距离. 【答案】. 【分析】沿母线剪开将圆台侧面展开，则A、C在圆台侧面上的最短距离即为展开图中线段的长求解. 【解析】如图所示： 沿母线剪开将圆台侧面展开，问题转化为求展开图中线段的长. 设圆台的上底面、下底面半径分别为、，因为侧面展开图圆心角， ，且B、C分别为所在弧的中点， 所以在等腰三角形中，， 则是等边三角形， 因为， 所以，而，C为的中点， 所以， 即A、C两点在圆台侧面上的最短距离为. 题型8：空间几何体的截面问题 37．（2025高二·北京月考）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 【答案】D 【分析】应用空间想象，讨论截面与轴截面的位置关系判断截面图形的形状即可. 【解析】当截面如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示； 当截面如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状； 故选：D 38．（2025高一·辽宁大连·期末）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为4，圆心角为的扇形，过该圆锥顶点作截面，则截面面积的最大值为（   ） A． B．8 C． D．6 【答案】B 【分析】求出圆锥底面圆的半径，计算得圆锥的轴截面三角形顶角为钝角，轴截面面积的最大是为直角三角形时最大可得答案. 【解析】设圆锥的底面半径为，则，解得， 设圆锥的轴截面三角形顶角为，则， 又因为，所以，， 所以过圆锥顶点作轴截面，轴截面面积最大时即顶角为， 所以最大值为. 故选：B.      39．（2025高一·全国·单元测试）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是 A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】由题意分析截面的各种情况确定截面图形可能的情形即可. 【解析】当截面平行于正方体的一个侧面时得③；当截面过正方体的体对角线时可得④； 当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得①．但无论如何都不能截得②． 本题选择A选项. 【点睛】本题主要考查截面的特征，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和空间想象能力. 40．（2025高三·湖南长沙月考）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得正方体外接球的球心在其中心点处，要使过的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点求解. 【解析】解：如图，    正方体外接球的球心在其中心点处，球的半径， 要使过的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点， 连接，则， 所以， 此时截面圆的半径， 此时，截面面积的最小值. 故选：C. 41．（2025高一·全国月考）若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面(    ) A．一定通过正方体的中心 B．一定通过正方体一个表面的中心 C．一定通过正方体的一个顶点 D．一定构成正多边形 【答案】A 【分析】根据正方体的性质，所有过中心的截面都把正方体分成体积相等的两部分，从而可得正确答案． 【解析】根据题意，恰好截正方体为等体积的两部分的截面，可能为中截面、对角面、也可能是倾斜的平面，不管哪种截面都过正方体的中心． 故选：A． 42．（2025·河南新乡·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出截面图形，利用已知条件，转化求解截面周长即可． 【解析】如图，取BC的中点，连接EF，AF，, 、分别为棱、的中点，则，正方体中，则有，所以平面为所求截面， 因为正方体的棱长为2，所以，，，所以四边形的周长为. 故选：A. 43．（2025高三·安徽阜阳·期末）已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，可得最大面积的截面四边形为等腰梯形，根据梯形的面积公式求解即可. 【解析】如图所示，最大面积的截面四边形为等腰梯形， 其中，高为， 故面积为. 故选:D． 44．（2025高三·全国月考）已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】利用平行画出截面，进而判断出正确答案. 【解析】分别取、、的中点、、，连接、、， 在正方体中，，，分别是，，的中点， ，，， 六边形是过，，这三点的截面图， 过这三点的截面图的形状是六边形． 故选：D 45．（2025高一·江苏镇江月考）在边长为2的正方体中，是的中点，那么过点、、的截面图形为 （在“三角形、矩形、正方形、菱形”中选择一个）；截面图形的面积为 . 【答案】 菱形 【分析】利用直线与直线的平行关系确定截面；再利用菱形的面积公式求截面面积. 【解析】    如图，取的中点为，连接, 因为且, 所以四边形为菱形， 所以过点、、的截面图形为菱形； 连接,则, 所以截面图形的面积为， 故答案为: 菱形；. 46．（2025高一·全国月考）如图，空间四边形的边，成的角，且，，平行于与的截面分别交，，，于，则截面面积的最大值为 . 【答案】 【分析】由题意易证四边形是平行四边形，（或），，则可得，，则可表示出，再由基本不等式即可求出其最大值. 【解析】∵∥平面，平面，平面平面， ∴，同理，∴，同理， ∴四边形是平行四边形. ∵与所成的角为，∴（或）， 设，∵，∴， 由，，得， ∴， 当且仅当，即时等号成立， 即为的中点时，截面的面积最大，为. 故答案为：. 47．（2025·山西阳泉·模拟预测）圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆锥底面半径为，母线为，轴截面顶角为，则根据题意可得与的关系，从而可求出为钝角，由此可得当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，然后可求得结果. 【解析】设圆锥底面半径为r，母线为l，轴截面顶角为，则，得， 所以， 因为为锐角，所以，即，则θ为钝角， 所以当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，最大值为. 故选：A. 48．（2025高二·贵州月考）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为，则过圆锥顶点的截面面积最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由其侧面展开图的中心角可求得底面圆的半径为，当截面顶角为时，过圆锥顶点的截面面积最大，从而可得结论. 【解析】设底面圆的半径为，，解得，由圆锥母线长为2，可得圆锥轴截面的顶角为， 当截面顶角为时，过圆锥顶点的截面面积最大，此时. 故选：C. 一、单选题 1．（2025高二·甘肃酒泉·期末）以下说法正确的是（     ） A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫球； B．球的大圆的半径等于球的半径； C．球面和球是同一个概念； D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆. 【答案】B 【分析】根据球面和球的定义判断ABC，根据球的性质判断D 【解析】对于A，半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，而球面围成的几何体叫球，所以A错误， 对于B，球的大圆的半径等于球的半径，所以B正确， 对于C，因为半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面， 而球面围成的几何体叫球，所以球面和球是不同的概念，所以C错误， 对于D，如果球面上的两点是球的直径的两个端点，则可以作无数个大圆，所以D错误， 故选：B 2．（2025高二·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（    ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 【答案】A 【分析】根据圆锥、圆柱、圆台的特点判断各选项即可. 【解析】对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确； 对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误； 对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误. 故选：A. 3．（2025高一·天津西青·期中）下列说法正确的是（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥 B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台 C．棱柱的侧面都是平行四边形 D．直角三角形绕一条边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥 【答案】C 【分析】根据棱锥、棱台、棱柱、圆锥的定义即可判断. 【解析】对于A，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形构成的几何体是棱锥,所以选项A错误； 对于B，用平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，所以选项B错误； 对于C，根据棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，选项C正确； 对于D，直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥，所以选项D错误. 故选：C. 4．（2025高二·湖北月考）已知圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长度为2，则底面半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据圆锥侧面展开图的特点列出方程求解即可得出答案. 【解析】 设圆的半径为，则底面圆的周长为. 由题意得：弧长度为. 根据圆锥侧面展开图的特点，可得：，解得. 故选：A. 5．（2025高三·全国月考）如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（    ）． A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】画出圆柱的侧面展开图，解三角形即得解. 【解析】解：圆柱的侧面展开图如图所示，由题得, 所以. 所以在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为. 故选：B 6．（2025高一·全国·随堂练习）下列命题正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 【答案】C 【分析】根据常见几何体的基本特征判断各选项即可. 【解析】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误； 对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误； 对于C，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故D错误. 故选：C. 7．（8.1-8.2基本立体图形及直观图（分层练习）-2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册））如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ）    A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体 【答案】B 【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论． 【解析】三棱台中，沿平面截去三棱锥， 剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥． 故选：B 8．（2025高二·贵州月考）如图， 在长方体ABCD- A1B1C1D1中，AB= AD=4，，则BD1=（ ） A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】A 【分析】利用勾股定理计算即可 【解析】 故选：A 9．（2025·山西朔州·模拟预测）毛泽东在《七律二首•送瘟神》中有句诗为“坐地日行八万里，巡天遥看一千河.”前半句的意思是：人坐在地面上不动，由于地球的自转，每昼夜会随着地面经过八万里路程.诗中所提到的八万里，指的是人坐在赤道附近所得到的数据.设某地所在纬度为北纬（即地球球心和该地的连线与赤道平面所成的角为），且.若将地球近似看作球体，则某人在该地每昼夜随着地球自转而经过的路程约为（    ） A．万里 B．万里 C．万里 D．万里 【答案】A 【分析】计算出地球的半径，可求得某地随着地球自转所形成圆的半径，再利用圆的周长公式可求得结果. 【解析】由题意可知，赤道周长为万里，则地球半径万里. 设某地随着地球自转，所形成圆的半径为， 则万里，则该圆的周长万里. 故选：A. 10．（2025高二·辽宁沈阳月考）古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本》一书中定义了圆锥与直角圆锥这两个概念：固定直角三角形的一条直角边，旋转直角三角形到开始位置，所形成的图形称为圆锥；如果固定的直角边等于另一直角边时，所形成的圆锥称为直角圆锥，则直角圆锥的侧面展开图（为一扇形）的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D．与直角圆锥的母线长有关 【答案】B 【分析】 根据题意，由直角圆锥的定义列出方程，即可得到结果. 【解析】    设直角圆锥底面半径，直角圆锥母线，直角圆锥的侧面展开图的圆心角大小为，由直角圆锥的定义可得，，则，由可得， . 故选：B 11．（2025·新疆阿勒泰·模拟预测）如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆柱侧面展开图求解. 【解析】将圆柱侧面展开半周，则展开矩形长为， ，. 故选：C. 12．（2025高二·四川成都月考）下列说法正确的是（    ） A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C．多面体至少有5个面 D．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形 【答案】D 【分析】根据多面体、棱柱和棱台的定义判断即可. 【解析】A选项：各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故A错； B选项：有2个面平行，其余各面都是梯形，但若是各侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台，故B错； C选项：多面体是指四个或四个以上多边形所围成的立体，故C错； D选项：根据棱柱的定义可知六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形，故D正确. 故选：D. 13．（2025高一·辽宁铁岭·期末）所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用小三棱锥和大三棱锥的比例求解即可. 【解析】    如图，根据题意可得所得棱台为正三棱台， 该棱台的高等于大正三棱锥的高的. 设大正三棱锥的高为DH，则： 因为大正三棱锥的高为:， 所以该棱台的高为. 故选：A 14．（2025高一·全国月考）如图所示，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面(经过棱)到达顶点，与的交点记为，则从点经点到的最短路线长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】沿侧棱将正三棱柱的侧面展开，根据展开图，即可得出最小路径. 【解析】如图，沿侧棱将正三棱柱的侧面展开 由侧面展开图可知，当，，三点共线时，从点经点到的路线最短． 所以最短路线长为. 故选：B. 15．（2025高三·山西大同·期末）已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将圆台侧面展开成平面图形，在平面扇环中分析计算即得. 【解析】将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长交于点，连接，如图， 显然弧的长为，弧的长为，设，则，， 则，即，得，于是是的中点，， 因此是等边三角形，有，且与弧相切，则在此侧面展开图内， 所以蚂蚁爬行的最短路线即线段，. 故选：B 16．（2025高三·河南驻马店月考）已知底面边长为1的正三棱柱既有外接球也有内切球，圆锥是三棱柱的外接圆锥，且三棱柱的一个底面在该圆锥的底面上，则该外接圆锥的轴截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可利用内切球半径等于三角形内切圆半径，求出，再由正弦定理求出三角形外接圆半径，即可利用比例关系求出轴截面三角形高与底边的关系，得出轴截面的面积表达式，利用均值不等式求出最小值即可. 【解析】正三棱柱内切球半径即为内切圆半径，    由等面积法可知，，所以， 所以， 设分别为和外接圆的圆心， 则， 由正弦定理可得，所以， 设， 则，所以，解得， 所以，圆锥轴截面面积， 当且仅当，即时等号成立，即轴截面面积的最小值是. 故选：C 17．（2025高一·全国月考）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2cm，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从点A出发，沿侧面爬行到点C处，则小虫爬行的最短距离是（    ）    A． B．2cm C． D．1cm 【答案】A 【分析】小虫爬行的最短路线，利用在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求. 【解析】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求，    在中，，， ∴. 故小虫爬行的最短距离是. 故选：A. 18．（2025·上海·模拟预测）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在长方体中，鳖臑的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】每个顶点对应个鳖臑，所以个顶点对应个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，再除，即可得解. 【解析】在正方体中，当顶点为时，三棱锥、、、 、、均为鳖臑． 所以个顶点为个．但每个鳖臑都重复一次， 所以，鳖臑的个数为个. 故选：B．    19．（2025高一·北京昌平·期中）下列说法正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心 B．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥 C．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥 【答案】B 【分析】对于A：举反例：有一条侧棱和底面垂直的棱锥，否定结论；对于B：直接证明即可； 对于C：举反例：把两个相同的棱台底面重合在一起,就不是棱台，否定结论；对于D：由棱锥的定义，直接判断. 【解析】对于A：底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影不一定是底面正多边形的中心,比如：有一条侧棱和底面垂直的棱锥.故A错误； 对于B：当棱锥的各个侧面的顶角之和是360度时,各侧面构成平面图形,构不成棱锥,由此推导出如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥不可能为六棱锥,故B正确； 对于C：把两个相同的棱台底面重合在一起,就不是棱台,故C错误； 对于D：由棱锥的定义，如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,才是棱锥.故D错误. 故选：B 二、多选题 20．（2025高一·浙江杭州·期中）已知圆锥底面半径为，母线长为2，则（    ） A．圆锥侧面积为 B．圆锥的侧面展开图中，扇形的圆心角为 C．圆锥的体积为 D．过顶点的截面三角形的面积最大值为 【答案】AB 【分析】由题意可知圆锥的侧面展开图是半径为，弧长为，利用扇形面积公式即可判断A是否正确；根据，即可求出圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角的大小，即可判断B是否正确；根据题意易知圆锥的高，再根据圆锥的体积公式，即可判断C是否正确；根据题意可知圆锥的轴截面的顶角为，设过过顶点的截面三角形，其中，根据三角形面积公式可得，根据三角函数的性质，可知当时面积最大，由此即可D是否正确. 【解析】由题意可知，该圆锥的侧面展开图是半径为，弧长为，所以圆锥侧面积为，故A正确； 设圆锥的侧面展开图中，扇形的圆心角为， 又因为扇形的面积为，所以，故B正确； 如图所示，圆锥的高为， 圆锥的体积为，故C错误； 如图，在中，，所以， 所以轴截面三角形中，， 设过过顶点的截面三角形，其中，如下图所示： 过顶点的截面三角形的面积为，当时，过顶点的截面三角形的面积最大值为，故D错误. 故选：AB. 21．（2025高一·全国月考）用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径可能是 A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】根据题意分长和宽分别为底面圆周长两种情况进行求解即可. 【解析】设底面半径为,若矩形的长恰好为圆柱的底面周长,则,所以；同理,若矩形的宽恰好为圆柱的底面周长,则,所以.故圆柱的底面半径为或. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查了圆柱中的基本计算,属于基础题. 22．（2025高一·广东月考）如图在四棱台中，点，分别为四边形，的对角线交点，则下列结论正确的是（    ）    A．若四棱台是正四棱台，则棱锥是正四棱锥 B．几何体是三棱柱 C．几何体是三棱台 D．三棱锥的高与四棱锥的高相等 【答案】ACD 【分析】根据正棱锥、棱柱、棱台的概念即可判断A、B、C，根据锥体的高和四棱锥的高判断D. 【解析】由正棱台的定义知四边形是正方形，是高， 则由正棱锥的定义知是正四棱锥，选项A正确； 几何体中，没在任何两个平面平行，选项B错误； 将四棱台沿轴截面分成两部分， 其中之一是三棱台，选项C正确； 三棱锥的高和四棱锥的高都是四棱台的高， 所以相等，选项D正确. 故选：ACD. 23．（2025高一·全国·单元测试）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何图形的4个顶点，这些几何图形可以是（    ） A．矩形 B．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体 C．每个面都是等边三角形的四面体 D．每个面都是直角三角形的四面体 【答案】ABCD 【分析】根据正方体的结构特征，应用数形结合法及棱锥的特征判断各选项的正误. 【解析】A：如下图，四边形为矩形，正确； B：如下图，四面体三个面为等腰直角三角形，一个面为等边三角形，正确； C：如下图，四面体每个面都是等边三角形，正确； D：如下图，四面体每个面都是直角三角形，正确； 故选：ABCD 24．（2025高一·江苏南京月考）在正方体中，点是线段上的动点，若过三点的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状可能为（   ） A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】ABD 【分析】根据正方体的性质，通过直观形象即可得到正确答案. 【解析】当点与重合时，过三点的截面是等边三角形，A正确； 当点与重合时，过三点的截面为矩形，B正确； 若截面为菱形，则必有，此时点与重合，故C错误； 当点与中点重合时，记的中点为F，连接， 易知，由正方体性质可知，且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以且，设正方体棱长为2，则， 所以过三点的截面为等腰梯形，D正确. 故选：ABD    三、填空题 25．（2025高三·陕西榆林月考）已知某圆台的上底面圆心为，半径为r，下底面圆心为，半径为2r，高为h.若该圆台的外接球球心为O，且，则 . 【答案】3 【分析】根据圆台与球的特征计算即可. 【解析】因为，所以， 所以, 解之得. 故答案为：3 26．（2025高一·浙江台州·期中）已知圆柱体的底面半径为，高为，一只蜗牛从圆柱体底部开始爬行，绕圆柱体4圈到达顶部，则蜗牛爬行的最短路径长为 ． 【答案】 【分析】根据题意，沿将侧面展开后，得到矩形的高等于圆柱的高，矩形的宽等于圆柱的底面圆的周长的4倍，结合勾股定理，即可求解. 【解析】根据题意，从圆柱底部点绕圆柱体的侧面旋转4圈到达顶部的点， 沿将侧面展开后，最短路程，如图所示， 其中矩形的高等于圆柱的高，矩形的宽等于圆柱的底面圆的周长的4倍， 即， 所以蜗牛爬行的最短路径为. 故答案为：. 27．（2025高二·上海浦东新·期中）若圆锥的侧面展开图是半径为，面积为的扇形，则由它的两条母线所确定的该圆锥的截面面积的最大值为 . 【答案】 【分析】 计算出圆锥的底面半径，设圆锥轴截面的顶角为，结合余弦定理可知为钝角，则两条母线垂直时，圆锥的截面面积取得最大值，结合三角形的面积公式可求得结果. 【解析】设圆锥的底面半径为，圆锥轴截面的顶角为，则，解得， 由余弦定理可得，则为钝角， 故当两条母线垂直时，圆锥的截面面积取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 28．（2025高一·天津和平·期中）给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②在四棱柱中，若底面为正方形，则该四棱柱为正四棱柱； ③存在每个面都是直角三角形的四面体； ④棱台的侧棱延长后交于一点． 其中正确命题的序号是 ． 【答案】③④ 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的概念对选项进行一一判断. 【解析】①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等； ②不正确，若底面为正方形的直四棱柱为正四棱柱； ③正确，如图，正方体中的三棱锥，四个面都是直角三角形； ④正确，由棱台的概念可知. 故答案为：③④ 29．（2025高一·全国月考）如图，在三棱锥中，，，如图，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的侧面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为 ．    【答案】 【分析】沿着三棱锥的侧棱剪开展在一个平面上，得到三棱锥的侧面展开图，连接，在直角中，即可求得蚂蚁爬过的最短路程. 【解析】如图所示，沿着三棱锥的侧棱剪开展在一个平面上，得到三棱锥的侧面展开图， 连接，因为，， 所以， 在直角中，可得， 即蚂蚁爬过的最短路程为. 故答案为：.    30．（2025高一·广东广州·期中）如图，在长方体中，，点M在棱上，当取得最小值时，的长为 .    【答案】 【分析】将长方形展开到长方形所在平面，利用三点共线时取得最小值，再由相似三角形求解即可. 【解析】连接，则， 如图，将长方形沿展开到长方形所在平面， 连接，当三点在同一直线上时，取得最小值，      此时，,则. 故答案为:. 31．（2025高二·上海普陀·期中）如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于 . 【答案】6 【分析】根据平面的性质作出截面六边形，然后可计算出周长． 【解析】作（实际上）交于，延长交延长线于．连接交于点，可证分别是的中点，同理取中点，连接，六边形即为截面，该六边形为正六边形，由正方体棱长为易得正六边形边长为1，周长为6. 故答案为：6. 32．（2025·安徽铜陵·模拟预测）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为2km，山高为，是山坡上一点，且.现要建设一条从到的环山观光公路，这条公路从出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为 . 【答案】 【分析】利用圆锥的侧面展开图，利用两点间的距离，结合图象，求最小值. 【解析】由题意，半径为2km，山高为，则母线, 底面圆周长，所以展开图的圆心角， 如图，是圆锥侧面展开图，结合题意，, 由点向引垂线，垂足为点，此时为点和线段上的点连线的最小值，即点为公路的最高点，段即为下坡路段， 则，即，得 下坡路段长度为. 故答案为： 33．（2025高三·全国月考）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则△的面积的取值范围为 【答案】． 【分析】讨论在下底面圆周上的位置，确定不同位置上的变化情况及其最值点，进而确定△的面积的范围. 【解析】如图1，上底面圆心记为，下底面圆心记为， 连结，过点作，垂足为点，则，又为定值2，故的大小随着的长短变化而变化， 如图2所示，当点与点重合时，，此时取得最大值为； 如图3所示，当点与点重合，取最小值2，此时取得最小值为． 综上所述，的取值范围为． 故答案为：． 34．（2025高二·上海静安·期中）已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为 . 【答案】 【分析】画出正三棱锥的侧面展开图，利用两点之间线段最短得出截面△AED周长的最小时线段的长，再利用勾股定理可求得的值. 【解析】由题意可得此三棱锥的侧面展开图如图所示， 则△AED周长为，由于两点之间线段最短， 所以当位于如图位置时，截面△AED周长的最小，即为的长， 因为，所以， 因为， 所以， 所以截面△AED周长的最小值为， 故答案为：. 35．（2025高三·云南保山·期末）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为 ，四棱锥的总曲率为 . 【答案】 / 【分析】根据曲率的定义结合正方体和四棱锥的特点即可得到答案. 【解析】根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为； 由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和， 因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形， 所以任意四棱锥的总曲率为. 故答案为：；. 36．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 ．    【答案】 【分析】作出截面，分析可知截面是边长为的正六边形，计算出截面面积即可. 【解析】因为、分别为、的中点，则且， 因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，， 所以，，设平面交棱于点， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，，则， 因为为的中点，所以，为的中点， 设直线分别交、的延长线于点、，连接交棱于点， 连接交棱于点，连接、，则截面为六边形，    因为，则， 所以，， 因为，则，所以，，则为的中点， 同理可知，为的中点，易知六边形是边长为的正六边形， 所以，截面面积为. 故答案为：. 37．（2025高二·重庆南岸·期中）如图，在长方体中，且，为棱上的一点．当取得最小值时，的长为 ． 【答案】 【分析】将侧面、侧面延展至同一平面，分析可知，当点、、三点共线时，取最小值，推导出点为棱的中点，再利用勾股定理可求得线段的长. 【解析】将侧面、侧面延展至同一平面，如下图所示： 当点、、三点共线时，取最小值， 在上图矩形中，，，则，即， 此时，点为的中点， 如下图所示，连接， 易知四边形是边长为的正方形，则， 因为平面，平面，所以，， 又因为为的中点，所以，， 由勾股定理可得. 故答案为：. 38．（2025高二·上海·期中）某种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是，黄“电子狗”爬行的路线是，它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在直线必须是异面直线（i是整数）．设黑“电子狗”爬完2025段、黄“电子狗”爬完2022段后各自停止在正方体的某个顶点处之间的距离为 ． 【答案】 【分析】根据题意分析可知黑“电子狗”、 黄“电子狗”过6段后又回到起点，根据周期性分析求解. 【解析】由题意可知：黑“电子狗”爬行路线为， 即过6段后又回到起点， 同理，黄“电子狗”爬行路线为， 也是过6段后又回到起点， 所以黑“电子狗”爬完2025段后实质是到达点， 黄“电子狗”爬完2022段后到达第六段的终点A， 此时的距离为． 故答案为：．    四、解答题 39．（2025高二·上海浦东新·期中）已知圆锥的底面半径为3，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为π的扇形. (1)求该圆锥的高； (2)求圆锥的母线与底面所成角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用底面周长为侧面展开图的弧长，求出母线长，然后利用勾股定理求解即可；（2）求母线与底面夹角的余弦值，计算出其夹角即可. 【解析】（1）因为底面半径，所以底面周长，及侧面展开图的弧长为，因为侧面展开图的圆心角，所以侧面展开图的半径，及母线长为，根据勾股定理可知圆锥的高； （2）圆锥与底面所成角记作，则，所以. 40．（2025高一·全国月考）如图所示,已知圆柱的高为80cm,底面半径为10cm,表面上有P､Q两点,若P点在B点处､Q点在点处,一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点(不直接走直线段),求蚂蚁爬行的最短路程. 【答案】 【分析】将圆柱侧面沿母线展开，再利用勾股定理计算可得. 【解析】将圆柱侧面沿母线展开,得到如图所示的矩形. 设圆柱的底面半径为r,则. ,.在中,, 即蚂蚁爬过的最短路径长是. 【点睛】本题考查空间曲面上距离最小值问题，解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，另外使用数形结合的思想用图形将满足题目的几何体表示出来，能更加直观的分析问题，进而得到答案． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$