精品解析：福建省福州第三中学2024-2025学年高三下学期第十二次质量检测数学试卷

福州三中2024-2025学年第二学期高三第十二次质量检测 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷必须用05毫米黑色签字笔书写作答，若在试题卷上作答，答案无效. 第I卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，或，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知正三棱锥的高为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知等比数列满足：，且，则公比（ ） A. B. 2 C. D. 6. 春季流感爆发期间，某学校通过在校门口并排设立三个红外体温检测点作为预防手段，进入学校的人员只需要在任意一个检测点检测体温即可进入校园，假设每个人在进入学校时选择每个检测点的概率相同，现有三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，设的始边是轴的非负半轴，且，若关于的方程在内有解，则的终边不可能位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 已知函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则a的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 设，则的值不可能为（ ） A. B. C. D. 10. 设均是定义在上的函数，下列说法正确的是（ ） A. 若均是定义域上的增函数，则中至少有一个函数是定义域上的增函数 B. 若均在定义域内存在最小值，则中至少有一个函数在定义域内存在最小值 C. 若均是定义域上的奇函数，则均是定义域上的奇函数 D. 若均是以为周期的周期函数，则均是以为周期的周期函数 11. 在平面解析几何中，许多曲线十分美观，同时还具有一些独特的性质．如图所示，已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在上，则点也在上 B. 上所有点的横坐标均小于2 C. 若点在上，则 D. 直线与没有公共点 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上. 12. 在二项式的展开式中，系数最大的一项为_______. 13. 在中，，则______. 14. 四棱锥的底面为正方形，平面，且，．四棱锥的各个顶点均在球O的表面上，，，则该四棱锥外接球半径为______；直线l与平面所成夹角的范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面四边形中，，且成等差数列． （1）求； （2）求的长． 16. 某大学生创客实践基地，甲、乙两个团队生产同种创新产品，现对其生产的产品进行质量检验． （1）为测试其生产水准，从甲、乙生产的产品中各抽检15个样本，评估结果如图： 甲 乙 总和 合格 不合格 总和 15 15 30 现将“一、二、三等”视为产品质量合格，其余为产品质量不合格，请完善2×2列联表，依据α=0.05的独立性检验，能否认为产品质量与生产团队有关联； （2）将甲乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为，来自乙生产的概率为），求这袋产品中恰有4件合格品的概率（以（1）中各自产品的合格频率代替各自产品的合格概率）． 附：，． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. 如图，设点为三棱柱的棱上一动点，满足与总垂直，且侧面是棱长为2的菱形，． （1）若分别为线段的中点，求证：直线平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱柱的体积． 18. 已知函数，，其中． （1）当时，求曲线在点处切线的方程； （2）求函数的零点； （3）用表示、的最大值，记．问：是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 19. 已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线交于抛物线于，两点. （1）求抛物线的方程； （2）若P为上一点，PA，PB与x轴相交于M，N两点，问M，N两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由； （3）若射线OA，OB分别与椭圆C交于点D，E，点O为原点，，的面积分别为，，问是否存在直线l使？若存在求出直线l的方程，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州三中2024-2025学年第二学期高三第十二次质量检测 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷必须用05毫米黑色签字笔书写作答，若在试题卷上作答，答案无效. 第I卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，或，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可． 【详解】由图可知阴影部分对应的集合为， 集合，， ， 即. 故选：A. 2. 平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两直线平行求出的值，再由两直线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行， 所以，即， 则，也就是， 所以两直线间的距离为. 故选：D 3. 已知正三棱锥的高为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三棱锥底面三角形的斜二测直观图面积，求出底面边长，利用三棱锥体积公式，即可求得答案. 【详解】正三棱锥的底面为正三角形，设其边长为a，底面三角形的斜二测直观图如图示： 则，解得（舍去负值）， 则正三棱锥的底面积为， 故三棱锥的体积为， 故选：A 4. 已知平面向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】若与的夹角为钝角，则且与不共线，结合向量的坐标运算求得的取值范围，再根据范围之间的关系即可判断. 【详解】“且”，即“且”，是“”的充分不必要条件， 故选:A． 5. 已知等比数列满足：，且，则公比（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列满足：，可判断公比的取值范围，再根据，即可求出公比的值. 【详解】设等比数列的公比为，由可得，即; 由得：. ，. 由得：；即； .即，. . ，解得：或（舍）. 故选：. 6. 春季流感爆发期间，某学校通过在校门口并排设立三个红外体温检测点作为预防手段，进入学校的人员只需要在任意一个检测点检测体温即可进入校园，假设每个人在进入学校时选择每个检测点的概率相同，现有三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分三种情况讨论，利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由题知，每个人进入学校时选择每个检测点的概率都相等， 则三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，共有种不同的结果， 若每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等， 则①每个检测点均为一男一女通过，共有 ②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女， 共有种不同的结果；种不同的结果； ③六人均在同一个检测点通过，共有种不同的结果. 则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为. 故选：B. 7. 已知函数，设的始边是轴的非负半轴，且，若关于的方程在内有解，则的终边不可能位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式，写出方程，解出方程，根据角的取值范围，得到角的取值范围，从而得出可能在的象限，得解. 【详解】由，， ， 或， 当，时，得，， 又，所以这样的不存在， 当时，得， ，， ，又， 时，，此时在第一象限； 当时，，此时在第二象限； 当时，，此时在第四象限； 所以的终边可能位于第一、二、四象限. 故选：C. 8. 已知函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则a的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】结合单调性定义可得函数单调递增，则恒成立，即恒成立，构造函数，借助导数研究其单调性从而得其最值即可得解. 【详解】不妨设，因为，所以， 构造函数，则，所以单调递增， 恒成立，即恒成立， 令函数，， 当时，，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，故． 故选：B. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 设，则的值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，整理可得.结合选项逐项分析判断即可. 【详解】设，则， 可得， 所以，可知. 对于选项A：因为，故A不可能成立； 对于选项B：因为，方程组无解，故B不可能成立； 对于选项C：因为，方程组无解，故C不可能成立； 对于选项D：因为，解得，故D成立； 故选：ABC. 10. 设均是定义在上的函数，下列说法正确的是（ ） A. 若均是定义域上的增函数，则中至少有一个函数是定义域上的增函数 B. 若均在定义域内存在最小值，则中至少有一个函数在定义域内存在最小值 C. 若均是定义域上的奇函数，则均是定义域上的奇函数 D. 若均是以为周期的周期函数，则均是以为周期的周期函数 【答案】CD 【解析】 【分析】举反例说明AB错误，结合奇函数的定义证明C正确，根据周期函数的定义证明D正确. 【详解】对于A，设， 则，，， 满足条件均是定义域上的增函数， 但函数在定义域上都不是增函数，A错误； 对于B，设， 则，，， 此时若均在定义域内存在最小值， 但函数在定义域内都没有最小值，B错误； 对于C，因为均是定义域上的奇函数， 所以， 两式相减可得， 又为奇函数，故， 所以，即， 故， 所以函数均是定义域上的奇函数，C正确； 对于D，因为均是以为周期的周期函数， 所以， 两式相减可得， 又是以为周期的周期函数，故， 所以，即， 故， 所以函数均是以为周期的周期函数，D正确； 故选：CD. 11. 在平面解析几何中，许多曲线十分美观，同时还具有一些独特的性质．如图所示，已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在上，则点也在上 B. 上所有点的横坐标均小于2 C. 若点在上，则 D. 直线与没有公共点 【答案】BD 【解析】 【分析】由曲线经过点，将代入的方程，可判断A；将代入的方程可得，判断方程解的情况可判断B；由已知变形得，进而可得，利用换元法可求得，可判断C；将代入的方程可得，利用换元法判断方程解的情况判断D. 【详解】选项A：在中，令，得， 解得或，因此曲线经过点，将代入的方程中， 显然方程不成立，所以点不在曲线上，故A错误． 选项B：将代入的方程可得， 两边平方得，移项整理得， 即，即， 但方程等号左侧部分恒正，因此该方程无解，故直线与无交点， 结合图象可知，上所有点的横坐标均小于2，故B正确． 选项C：由，得， 又，（提示：此处是重要不等式的变形）； 即， 故， 当且仅当时等号成立， 令，则不等式可化为，得， 则，所以， 若点在上，则，故C错误． 选项D：将代入的方程可得， 即，令，则， ，即，该方程无解， 所以直线与曲线没有公共点，故D正确． 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：研究两曲线是否有交点，关键在于两方程是否有解，进而转化为一元方程的解的问题处理. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上. 12. 在二项式的展开式中，系数最大的一项为_______. 【答案】 【解析】 【分析】应用二项式的展开式判断各项系数的符号，进而确定系数最大项. 【详解】由题设，二项式的展开式通项为，， 易知时对应项系数为正，时对应项系数为负， 又，，， 所以系数最大的一项为. 故答案为：. 13. 在中，，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用三角函数的关系式的变换以及正弦定理的应用求出结果. 【详解】在中，，利用正弦定理：， 所以，整理得， 所以或， 由于，所以，故，由于， 所以， . 故答案为：1. 14. 四棱锥的底面为正方形，平面，且，．四棱锥的各个顶点均在球O的表面上，，，则该四棱锥外接球半径为______；直线l与平面所成夹角的范围为______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】由题可证平面，若平面，则l与平面所成的角为0，若过B的直线l与平面相交于点R，在平面中，过B作直线，与平面相交于点为S，可得为在平面内的射影，为直线l与平面所成的角，求出的范围，得解. 【详解】因为四棱锥的底面为正方形，且平面， 将四棱锥补形成长方体，则四棱锥的外接球即为长方体的外接球， 可得四棱锥的外接球的球心O为的中点，∴， 连接，，交点为Q，因为底面为正方形，所以， 又平面，且平面，所以， 又，平面，平面，所以平面，即平面， 若平面，则l与平面所成的角为0． 如图，若过B的直线l与平面相交于点R，在平面中，过B作直线，与平面相交于点为S， 因为平面，且平面，所以， 又，，且，，平面，所以平面， 故过B且与垂直的直线与平面的交点的轨迹为直线，又平面，所以， 又，且，所以平面，又平面， 所以，又平面，所以为在平面内的射影， 即为直线l与平面所成的角，且， 在中，，，由射影定理求得 ， 而，当且仅当重合时，等号成立， 故，∴． 综上，直线l与平面所成夹角的取值范围为. 故答案为：1；. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面四边形中，，且成等差数列． （1）求； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据三项成等差数列得出，再应用余弦定理及正弦定理计算求解； （2）先应用同角三角关系得出，再结合两角差的余弦公式计算即可. 【小问1详解】 设． 因为成等差数列，所以，又，所以． 在中，由余弦定理得， 即，即，解得（舍去）． 在中，由正弦定理得， 于是，即． 【小问2详解】 由题设知，由（1）知， 又， 所以． 在中，，所以． 16. 某大学生创客实践基地，甲、乙两个团队生产同种创新产品，现对其生产的产品进行质量检验． （1）为测试其生产水准，从甲、乙生产的产品中各抽检15个样本，评估结果如图： 甲 乙 总和 合格 不合格 总和 15 15 30 现将“一、二、三等”视为产品质量合格，其余为产品质量不合格，请完善2×2列联表，依据α=0.05的独立性检验，能否认为产品质量与生产团队有关联； （2）将甲乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为，来自乙生产的概率为），求这袋产品中恰有4件合格品的概率（以（1）中各自产品的合格频率代替各自产品的合格概率）． 附：，． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）表格: 甲 乙 总和 合格 12 6 18 不合格 3 9 12 总和 15 15 30 能认为产品质量与生产团队有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意完善列联表，计算得出结论； （2）分别用A、B、C表示事件，根据全概率公式求出，计算即可得解. 【小问1详解】 完善2×2列联表如下： 甲 乙 总和 合格 12 6 18 不合格 3 9 12 总和 15 15 30 零假设：产品质量与生产团队无关联 ， 依据的独立性检验，可以认为产品质量与生产团队有关联． 【小问2详解】 记事件A为“一袋中有4个合格品”，事件B为“所抽取的这袋来自甲生产”，事件C为“所抽取的这袋来自乙生产”，故，， 又∵，且B与C互斥 由全概率公式，得 17. 如图，设点为三棱柱的棱上一动点，满足与总垂直，且侧面是棱长为2的菱形，． （1）若分别为线段的中点，求证：直线平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱柱的体积． 【答案】（1）在三棱柱中，侧面为平行四边形，又为线段的中点， 连接，则为与的交点，为棱的中点， 因为为线段的中点，所以， 又平面，平面， 所以直线平面． （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，根据平行四边形的性质得到为与的交点，且为棱的中点，从而得到，即可得证； （2）依题意可得平面，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用空间向量法得到方程，求出的值，再求出柱体的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因点为棱上一动点，平面，与总垂直， 所以平面， 以为原点，分别为轴建立坐标系，则轴在内且轴， 又侧面是棱长为2的菱形，且， 则，，，设，则， 所以，，， 设平面的法向量为，则，即， 所以，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则，解得， 所以与轴重合，即平面， 所以三棱柱的体积． 18. 已知函数，，其中． （1）当时，求曲线在点处切线的方程； （2）求函数的零点； （3）用表示、的最大值，记．问：是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，的取值范围是 【解析】 【分析】（1）当时，求出，利用导数的几何意义可求得曲线在点处切线的方程； （2）利用导数分析函数的单调性，结合可得出函数的零点； （3）由题意，将恒成立转化为当时，恒成立即可，对求导得，分、、三种情况讨论，结合单调性可得答案. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，，， 此时曲线在点处切线的方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，且， 当时，，则；当时，，则， 所以函数在上为增函数， 又因为，故函数有且只有一个零点. 【小问3详解】 函数的定义域为， 由（2）知，当时，， 又，所以当时，恒成立， 由于当时，恒成立， 所以等价于：当时，，且. 下面考虑，当时，恒成立， ①若，当时，， 故，在递增，此时，不合题意； ②若，当时，由知， 存在，使得， 根据余弦函数的单调性可知，在上递增， 故当，，递增，此时，不合题意； ③若，当时，由知，对任意，，递减， 此时，符合题意. 且当时，，合乎题意， 综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 19. 已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线交于抛物线于，两点. （1）求抛物线的方程； （2）若P为上一点，PA，PB与x轴相交于M，N两点，问M，N两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由； （3）若射线OA，OB分别与椭圆C交于点D，E，点O为原点，，的面积分别为，，问是否存在直线l使？若存在求出直线l的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）定值，4 （3）不存在，理由： 椭圆的右顶点为，设直线，， 由，得，则，， 假设存在，设，射线， 由，得，同理得， 由，，得， 因此 ， 则，所以不存在直线，使. 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用两点间距离公式列式求出即可. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，设，借助直线的点斜式方程求出，再利用韦达定理计算推理得证. （3）利用（2）中信息，结合三角形面积公式求出的范围即可判断. 【小问1详解】 由，得，设，， 解得，即，，则，而，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 椭圆的右顶点为，设直线，， 由，得，则，， 设， 直线，则 ，同理得，， 因此， 所以是定值，且定值为4. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $