精品解析： 河南省郑州市二七区2024-2025学年下学期九年级第一次数学试题试卷

2024-2025学年九年级第一次质量检测 数学试卷 满分120分，考试时间100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 通常晶体具有固定的熔点，当晶体达到纳米尺寸时却截然不同．例如：金的熔点为，而直径为的金粉熔点降低到，此特性可应用于粉末冶金工业．已知，则用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是1956年出土于洛阳市涧西区曹魏正始八年墓的白玉杯，它用一整块和田玉雕刻而成，杯高 11.5厘米，口径约5厘米．关于它的三视图，有下列说法：（1）主视图与左视图相同；（2）主视图是轴对称图形；（3）俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 如图，将一把等腰直角三角尺和一把直尺摆放在同一平面内，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 计算（ ） A B. C. D. 6. 如图，点在上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 有三张不透明卡片，正面分别绘制有如图所示的图案．已知这三张卡片反面完全相同，把这三张卡 片反面向上放置在桌面上，从中任意抽取两张，抽到的两张卡片上的图案均是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，，，，，动 点从 点出发，沿 的方向在，边上移动，记，点 到直线的距离为，则 关 于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形为矩形，A，C分别在坐标轴上， ，，将绕点A顺时针旋转得，交x轴于点E，则点E坐标为 （ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简_______． 12. 若关于x的方程有两个实数根，则k的值可能是 _____．（写出一个即可） 13. 某校为了进一步落实“德智体美劳五育并举”，决定结合学生需求增设体育项目为此校学生会对该校600名初中学生最喜爱的体育项目（从乒乓球、篮球、足球、羽毛球4项体育活动中选择，每人只选一项）进行了随机抽查，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计表和统计图，根据图表信息，可知该校约有____________名初中学生最喜爱足球． 14. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E均为格点，过A，B，C作， 连接交于点F， 则弧的长是________． 15. 简单探究：如图1，中，，，，求的长．可在上截取点，使，连接，将转化为一个等腰三角形和一个等腰直角三角形，从而求得的长为______．如图2，在菱形中，与交于点，，，定长线段在对角线上运动，点在点上方，且，连接和．当的值最小时，的长是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 为了培养学生的劳动习惯，提升学生的劳动技能，某中学准备开展劳动教育实践活动．学校计划随机抽取部分学生，对他们进行问卷调查，问卷如下： 劳动教育实践活动的意向项目及近一个月平均每天的劳动时长调查问卷 1．你希望学校开展的劳动教育实践项目是（ ）（必选，单选题） A． 种植花草蔬菜 B． 房间的清洁与整理 C． 烹饪 D．传统工艺制作 2．你近一个月平均每天的劳动时长是 ．（必填题，填一 个数据） （1）下列抽取学生的方法最合适的是（ ） A．从九年级随机抽取两个班的学生 B．从七、八、九年级各随机抽取若干名女生 C．从全校各个班级中各随机抽取若干名学生 （2）学校采用（1）中最合适的抽样方法进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下统计图表（经核实，频数分布表中有个数据有误）： 意向项目扇形统计图 近一个月平均每天的劳动时长频数分布表 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 时长 频数 6 12 15 21 6 所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： 填空：频数分布表中第 组对应的一个数据有误，应改为 ． 求样本中意向项目选择B项的人数 ． 若该地教育部门倡议本地区中学生每天参加劳动时间不少于，请结合这次调查获得的数据给该中学提出一条合理化建议，并说明理由． 18. 如图，已知平行四边形． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）E为上一点，设（1）中的平分线交于点F，连接，若，判断四边形的形状，并说明理由． 19. 如图，反比例函数 的图象与经过原点的直线交于，B 两点． （1）填空： ， ，点B 的坐标为____ ． （2）直接写出不等式的解集． （3）以为边在上方作等边三角形，求点坐标． 20. 研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴河南博物院参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待 m 人（即额定数量），超过 额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元； 乙旅行社收费标准：每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元． （1）求甲旅行社一次最多能接待的人数； （2）若该中学第二批组织了42人参加，则总费用为 元 ； （3）该中学为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数x 的合理范围． 21. 图是水池边的一块警示牌的侧面示意图，矩形铁架垂直固定在水平地面上，铁架上面是一个边缘为圆弧形的塑料面板． 已知，，优 弧所在圆的圆心的距离为， 小龙在水池对面的点E处用测角仪测得塑料面板点 F 处的仰角为 （注：此时视线与圆弧形塑料面板相切，且与矩形在同一平面内，点E，A，B 在同一水平线上）． （1）求优弧所在圆的半径． （2）求的长度（结果保留根号） ． 22. 跳 台滑雪是 一 项极具挑战性和观赏性的运动项目，被 形容为“勇敢者的游戏” ．跳台滑雪的技术动作包括助滑、起跳、空中飞行和着陆，要求运动员在高速下落 的过程中完成一系列高难度动作，展现出优美的姿态和极佳的平衡能力，其中在空中飞行过程呈现优美 的抛物线形．如图 ，为着陆坡，为跳台，且点D为起跳点，点B为运动员空中飞行后的着陆点（点A，B，C，D 在同一竖直平面内，且点C，D在同一竖直方向上） ． 以点A 所在的水平线为x轴 ， 所 在 的 直 线 为y轴，建立平面直角坐标系（1个单位长度为1m），已 知 点B到跳台的水平距离为．起跳后在距跳台水平距离15m处达到最大高度58.5 m． （1）求此运动员空中飞行路线所在抛物线的表达式． （2）求在空中飞行时，运动员到着陆坡的最大竖直距离． 23. 综合与实践 综合与实践课上，数学活动小组的同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动．如图（1），在直角三角形纸片中，． （1）操作判断 操作一：对折直角三角形纸片， 使点B 与点C 重合，得到折痕，把纸片展平． 问题1：如图（2），当直角边时，折痕的长为 ； 操作二：如图（3），将 绕点E 逆时针旋转得到， 点B，D的对应点分别是M，N，直线与边交于点P(不与点B，C重合)． 问题2：在绕点E 旋转的过程中，与的数量关系为 （2）探究迁移 若，．在绕点E旋转的过程中，当直线经过点A时，如图（4），求 的长． （3）拓展应用 若，．在绕点E旋转的过程中，当与的边平行时，直接写出与重叠部分的面积(面积为0时忽略不计)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级第一次质量检测 数学试卷 满分120分，考试时间100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据绝对值的性质进行作答，即可求解； 【详解】解：∵正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数， ∴的绝对值是， 故选：A； 2. 通常晶体具有固定的熔点，当晶体达到纳米尺寸时却截然不同．例如：金的熔点为，而直径为的金粉熔点降低到，此特性可应用于粉末冶金工业．已知，则用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：用科学记数法可表示为． 故选：D． 3. 如图是1956年出土于洛阳市涧西区曹魏正始八年墓的白玉杯，它用一整块和田玉雕刻而成，杯高 11.5厘米，口径约5厘米．关于它的三视图，有下列说法：（1）主视图与左视图相同；（2）主视图是轴对称图形；（3）俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，轴对称图形以及中心对称图形识别，根据三视图，轴对称图形以及中心对称图形的定义一一判断即可． 【详解】解：（1）主视图与左视图相同：由于白玉杯是一个对称的物体，其主视图和左视图应该是相同的，因为它们都是从正面和侧面观察到的形状．因此，这个说法是正确的． （2）主视图是轴对称图形：主视图是从正面观察到的形状，由于白玉杯是对称的，其主视图应该是一个轴对称图形．因此，这个说法也是正确的． （3）俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形∶俯视图是从上方观察到的形状，对于一个对称的白玉杯，其俯视图应该是一个轴对称图形．同时，如果俯视图的中心点可以作为对称中心，那么它也是中心对称图形．因此，这个说法也是正确的． 综上：（1）（2）（3）正确， 故选：D 4. 如图，将一把等腰直角三角尺和一把直尺摆放在同一平面内，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，先根据对顶角相等和两直线平行，同位角相等得到，然后利用三角形的外角性质解题即可． 【详解】解：如图，， 由直尺的对边互相平行，可得 ， ， 故选：D． 5. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据乘法的定义：个相加表示为，根据乘方的定义：个相乘表示为，由此求解即可． 【详解】解：， 故选： D． 【点睛】本题考查有理数的运算，熟练掌握乘法、乘方的运算定义，准确计算是解题的关键． 6. 如图，点在上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理得的度数，再由直角三角形中两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴； 故选：C． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式得； 解不等式得 不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为， 故选： C． 8. 有三张不透明的卡片，正面分别绘制有如图所示的图案．已知这三张卡片反面完全相同，把这三张卡 片反面向上放置在桌面上，从中任意抽取两张，抽到的两张卡片上的图案均是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．画树状图，得到所有等可能的情况，根据概率公式计算即可得到答案． 【详解】解：将这三张卡片分别记为A，B，C，其中卡片B，C上的图案是中心对称图形， 根据题意，画树状图如下 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中抽到的两张卡片上的图案均为中心对称图形的情况有种， 故所求概率为， 故选：B ． 9. 如图，在四边形中，，，，，，动 点从 点出发，沿 的方向在，边上移动，记，点 到直线的距离为，则 关 于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题函数图象，关键是利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点的位置分两种情况讨论．分两种情况：（1）当点在上移动时，点到直线的距离不变，恒为；（2）当点在上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出，即可判断出，据此判断出关于的函数大致图象是哪个即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况： （1）当点在上移动时， 点到直线的距离为： ，即点到的距离为的长度，是定值； （2）当点在上移动时， 连接，过作于，如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上，观察各选项，只有B选项图形符合． 故选：B． 10. 如图，四边形为矩形，A，C分别在坐标轴上， ，，将绕点A顺时针旋转得，交x轴于点E，则点E坐标为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、一次函数与几何的综合等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形成为解题的关键． 如图，延长交x轴于点F，过点F作交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，其中；过点H作x轴的平行线，交y轴于点M，过点F作于点 N，则四边形是矩形；证明可得，；然后证明，根据相似三角形的性质列比例式可得；设，则，则，然后求得m的值，进而确定点H的坐标；再运用待定系数法求得直线AH的表达式为，最后求得点E的坐标即可． 【详解】解：如图，延长交x轴于点F，过点F作交的延长线于点H， ∴是等腰直角三角形，其中 过点H作x轴的平行线，交y轴于点M，过点F作于点 N， ∴四边形矩形， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∴ ，即，解得：， ∴， 设，则， ∴ ∴，解得∶， ∴， 设直线的表达式为， 将代入，得，解得： ∴直线AH的表达式为， 令，则，解得：， ∴点E的坐标为． 故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简_______． 【答案】 【解析】 【分析】将分子用平方差公式展开再化简即可． 【详解】解：原式=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简，掌握平方差公式和分式化简是关键． 12. 若关于x的方程有两个实数根，则k的值可能是 _____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据方程有两个实数根，得到，求出的取值范围，写出一个值即可． 【详解】解：∵有两个实数根， ∴， ∴， ∴k的值可能是（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系．熟练掌握判别式与根的个数的关系，是解题的关键． 13. 某校为了进一步落实“德智体美劳五育并举”，决定结合学生需求增设体育项目为此校学生会对该校600名初中学生最喜爱的体育项目（从乒乓球、篮球、足球、羽毛球4项体育活动中选择，每人只选一项）进行了随机抽查，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计表和统计图，根据图表信息，可知该校约有____________名初中学生最喜爱足球． 【答案】240 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，用总数乘以计算即可． 【详解】解：（人） 该校约有240名初中学生最喜爱足球， 故答案为：240 14. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E均为格点，过A，B，C作， 连接交于点F， 则弧的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，网格与勾股定理，勾股定理逆定理应用等知识，取的中点O，易知点O为格点．连接，， ，进而可求出半径，得出所在圆的圆心是O．半径是．取格点P，连接，，利用勾股定理的逆定理得出，再结合网格得出，进而得出，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，取的中点O，易知点O为格点． 连接，， ， 则， ∴所在圆的圆心是O．半径是． 取格点P，连接，， 则，， ∴ ∴， ∴． 根据网格可知， ∴， ∴， 的长是， 故答案为： 15. 简单探究：如图1，中，，，，求的长．可在上截取点，使，连接，将转化为一个等腰三角形和一个等腰直角三角形，从而求得的长为______．如图2，在菱形中，与交于点，，，定长线段在对角线上运动，点在点上方，且，连接和．当的值最小时，的长是______． 【答案】 ①. ## ②. 3 【解析】 【分析】根据，，得到，，结合，得到，于是得到，根据．在上截取点，使，连接， 过点A作，且，连接，则四边形是平行四边形，，转化为，根据，当G，F，C三点共线时，取得最小值，此时也取得最小值，连接交于点M，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 在上截取点，使，连接，菱形中，与交于点，，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点A作，且， 连接， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴转化为， ∵， ∴当G，F，C三点共线时，取得最小值，此时也取得最小值， 连接交于点M， ∴当F与点M重合时，取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，中位线定理，两点之间线段最短，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算、整式的混合运算法则等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次幂化简，然后再合并同类二次根式即可解答； （2）直接运用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 为了培养学生的劳动习惯，提升学生的劳动技能，某中学准备开展劳动教育实践活动．学校计划随机抽取部分学生，对他们进行问卷调查，问卷如下： 劳动教育实践活动的意向项目及近一个月平均每天的劳动时长调查问卷 1．你希望学校开展的劳动教育实践项目是（ ）（必选，单选题） A． 种植花草蔬菜 B． 房间的清洁与整理 C． 烹饪 D．传统工艺制作 2．你近一个月平均每天的劳动时长是 ．（必填题，填一 个数据） （1）下列抽取学生的方法最合适的是（ ） A．从九年级随机抽取两个班的学生 B．从七、八、九年级各随机抽取若干名女生 C．从全校各个班级中各随机抽取若干名学生 （2）学校采用（1）中最合适的抽样方法进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下统计图表（经核实，频数分布表中有个数据有误）： 意向项目扇形统计图 近一个月平均每天的劳动时长频数分布表 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 时长 频数 6 12 15 21 6 所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： 填空：频数分布表中第 组对应的一个数据有误，应改为 ． 求样本中意向项目选择B项的人数 ． 若该地教育部门倡议本地区中学生每天参加劳动的时间不少于，请结合这次调查获得的数据给该中学提出一条合理化建议，并说明理由． 【答案】（1）C （2）4；27建议学校多开展育，让学生养成积极劳动的好习惯，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，频数分布表，以及抽样调查等知识． （1）根据抽样调查的广泛性选择即可． （2）根据第一组数据和第三组数据以及各组频数可得出总共频数为60，进而可得出第4组所占的百分比有误，进一步求出第4组所占百分比即可． 用计算即可． 求出，再根据学生平均每天参加劳动的时间少于的人数占比提出建议即可． 【小问1详解】 解：从全校各个班级中各随机抽取若干名学生比较合理， 故选：C； 【小问2详解】 解：由第一组数据可得：，由第三组数据可得：， 由各组频数可得， 而由第4组对应的数据可得， 故第4组所占的百分比有误，所占百分比应改为； ， 则样本中意向项目选择B项的人数为27． 建议学校多开展劳动教育，让学生养成积极劳动的好习惯．理由如下： ， 则学生平均每天参加劳动的时间少于的人数占比为：， 这次调查中，的学生平均每天参加劳动的时间少于，故建议学校多开展劳动教育，让学生养成积极劳动的好习惯． 18. 如图，已知平行四边形． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）E为上一点，设（1）中的平分线交于点F，连接，若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）按照作角平分线的步骤即可作图； （2）先证明四边形是平行四边形，然后证明，即可证明为菱形． 【小问1详解】 解：如图：即为所作： 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下， 证明：如图，∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，尺规作图，等腰三角形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 19. 如图，反比例函数 的图象与经过原点的直线交于，B 两点． （1）填空： ， ，点B 的坐标为____ ． （2）直接写出不等式的解集． （3）以为边在上方作等边三角形，求点的坐标． 【答案】（1），， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将代入反比例函数解析式即可得出，再根据一次函数经过原点即可得出，最后根据反比例函数与正比例函数的性质即可得出的坐标； （2）根据函数图象即可得解； （3）连接，作轴于，轴于，则，证明，得出，求出，，即可得解． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∵直线经过原点， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：由图象可得：不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：如图，连接，作轴于，轴于， ， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴点的坐标为． 20. 研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴河南博物院参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待 m 人（即额定数量），超过 额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元； 乙旅行社收费标准：每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元． （1）求甲旅行社一次最多能接待的人数； （2）若该中学第二批组织了42人参加，则总费用为 元 ； （3）该中学为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数x 的合理范围． 【答案】（1）30人 （2） （3） 【解析】 【分析】（）当时，名学生的总费用为，得，依题意可得方程，解方程即可求解； （2）根据（1）得到答案列式计算即可； （3）分两种情况：和，列出不等式解答即可求解； 本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意，掌握列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：若，则名学生的总费用为元， ∵， ∴， 依题意得，， 解得， 答：甲旅行社一次最多能接纳的人数为人； 【小问2详解】 根据题意可得，（元） 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，； 解得； 当时，， 解得； ∴每批组织人数的合理范围为． 21. 图是水池边的一块警示牌的侧面示意图，矩形铁架垂直固定在水平地面上，铁架上面是一个边缘为圆弧形的塑料面板． 已知，，优 弧所在圆的圆心的距离为， 小龙在水池对面的点E处用测角仪测得塑料面板点 F 处的仰角为 （注：此时视线与圆弧形塑料面板相切，且与矩形在同一平面内，点E，A，B 在同一水平线上）． （1）求优弧所在圆的半径． （2）求的长度（结果保留根号） ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设优弧所在圆的圆心为O，过点O作的垂线，分别交，于点G，H，连接，由垂径定理可知，，再由勾股定理解即可； （2）连接，延长，交于点K，由切线的定义得，由含30度角的直角三角形的性质求出，用三角函数解求出，根据即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，设优弧所在圆的圆心为O， 过点O作的垂线，分别交，于点G，H，连接， 则，， ， 由垂径定理可知，平分， ， 在中，由勾股定理得：， 优弧所在圆的半径为． 【小问2详解】 解：如图，连接，延长，交于点K， 是的切线， ， ，， ， ， ， 在 中，， ， ． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，解直角三角形，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是根据题干描述抽象出数学模型，通过作辅助线解决问题． 22. 跳 台滑雪是 一 项极具挑战性和观赏性的运动项目，被 形容为“勇敢者的游戏” ．跳台滑雪的技术动作包括助滑、起跳、空中飞行和着陆，要求运动员在高速下落 的过程中完成一系列高难度动作，展现出优美的姿态和极佳的平衡能力，其中在空中飞行过程呈现优美 的抛物线形．如图 ，为着陆坡，为跳台，且点D为起跳点，点B为运动员空中飞行后的着陆点（点A，B，C，D 在同一竖直平面内，且点C，D在同一竖直方向上） ． 以点A 所在的水平线为x轴 ， 所 在 的 直 线 为y轴，建立平面直角坐标系（1个单位长度为1m），已 知 点B到跳台的水平距离为．起跳后在距跳台水平距离15m处达到最大高度58.5 m． （1）求此运动员空中飞行路线所在抛物线的表达式． （2）求在空中飞行时，运动员到着陆坡的最大竖直距离． 【答案】（1） （2）最大竖直距离为18 m 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意得：，则，可得抛物线的顶点为，再设顶点式求解即可； （2）先求出，求出直线的表达式为，设运动员空中飞行时到着陆坡的竖直距离为，则，再求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴， ∵起跳后在距跳台水平距离15m处达到最大高度58.5m， ∴抛物线的顶点为， ∴设运动员空中飞行路线所在抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得， 故抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 当时，， ∴ ， 设直线的表达式为， 将分别代入， 得： 解得： 故直线的表达式为， 设运动员空中飞行时到着陆坡的竖直距离为， 则， ∵ ∴当时，h最大，最大值为18， 答：在空中飞行时，运动员到着陆坡的最大竖直距离为18 m． 23. 综合与实践 综合与实践课上，数学活动小组的同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动．如图（1），在直角三角形纸片中，． （1）操作判断 操作一：对折直角三角形纸片， 使点B 与点C 重合，得到折痕，把纸片展平． 问题1：如图（2），当直角边时，折痕的长为 ； 操作二：如图（3），将 绕点E 逆时针旋转得到， 点B，D的对应点分别是M，N，直线与边交于点P(不与点B，C重合)． 问题2：在绕点E 旋转的过程中，与的数量关系为 （2）探究迁移 若，．在绕点E旋转的过程中，当直线经过点A时，如图（4），求 的长． （3）拓展应用 若，．在绕点E旋转的过程中，当与的边平行时，直接写出与重叠部分的面积(面积为0时忽略不计)． 【答案】（1）问题1：；问题2： （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的键． （1）问题1：根据折叠的性质得到，，得到，可证明，得出，即可得到答案； 问题2：连接，可证明，即可得到结论； （2）根据题意得，，得到，得出，根据勾股定理求出，计算即可取出的长； （3）根据题意得到，分两种情况讨论即可. 【小问1详解】 解：问题1：对折直角三角形纸片， 使点与点重合，得到折痕， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 问题2：如图，连接， 根据题意得，， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由折叠可知，， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ； 【小问3详解】 解：或； 在中，， ， 由折叠可知，， ， ， ， ，， 当时如图（1），设分别与边交于点，连接， 由题意得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，即， 解得：， ； 当时，如图（2）设分别与边交于点， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 综上，重叠部分的面积为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$