精品解析：河南省郑州市管城区2024-2025学年级九年级下学期第一次模拟数学试题

2024-2025学年级九年级第一次质量检测数学模拟试卷 (满分120分，考试时间100分钟) 一 、选择题(每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的) 1. 数轴上点P的位置如图所示，则点P表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 年月日，记者从国家管网西气东输郑州输气分公司获悉，年月日至年月 日，西气东输共向河南供气亿立方米，比去年同期增加亿立方米，创历史新高．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图所示的“榫”和“卯”中，“卯”的左视图是 （ ） A B. C. D. 4. 下列计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 5. 若为任意整数，则的值总能（ ） A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 6. 若关于x 的不等式组无解，则a 的值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 7. 如图，在菱形中 ，，点 E 为上一点，过点E 分别作于 点F，于点 G．若菱形的面积为12，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 某校举办“弘扬中华文化，讲好洛阳故事”演讲比赛，赛程共设置“牡丹文化”“古都文化”“河洛文化”“美食文化”四个主题，每位选手采取抽签的形式从四个主题中随机抽取一个参赛．如果小明和小宇都参加比赛，他们抽中的主题相同的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，．以的中点为圆心，长为半径作，则阴影部分的面积为（） A. B. C. D. 10. 如图()，点从正方形的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点 运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设)，图()是点运动时随变化的关系图象，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 举出一个可以说明命题“若， 则”是假命题反例：__________ 12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______________． 13. 某学校餐厅有10元、12元、15元三种盒饭供学生选择．某天盒饭的销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是_________元． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点C在y轴正半轴上，点A，B均在x轴上，且位于原点的两侧，．将翻折，使点A的对应点落在x轴上，将再次翻折，使点B的对应点落在的延长线上，则点的坐标为___________ 15. 如图，在正方形中，，O为上一点，且，将线段绕点O逆时针旋转（旋转角小于），得到线段，连接并延长，交直线于点P，则的最小值为_______，最大值为_______． 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16. （1）计算： （2）化简： 17. 国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程 是人们购买时参考的重要指标．某汽车杂志为了解 M，N 两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机 抽取了10辆进行了续航里程实测，并将测试的结果(续航里程用x 公里(1公里=1千米)表示，分成4 组 ：A．；B．；C．；D．)；进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．10辆M款纯电动汽车的实际续航里程： 330 375 435 410 410 470 380 365 365 410 b．10辆 N 款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图(不完整)： c．10 辆N款纯电动汽车的实际续航里程在C 组中的数据是：402，425，410，425． d． 两款纯电动汽车的实际续航里程统计表： 平均数 中位数 众数 方差 M 395 395 a 1455 N 397 b 425 2070 根据以上信息，解答下列问题 （1）表格中的 ， （2）根据上述数据，你认为M款和N款纯电动汽车中，哪款的实际续航里程更长？请说明理由(写出一条即可)． （3）小王看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这两款车的四项性能进行了打分(百分制)，如下表： 续航里程得分 百公里加速得分 百公里能耗得分 智能化水平得分 甲车 82 90 85 100 乙车 80 100 90 90 续航里程、百公里加速、百公里能耗、智能化水平四项性能在小王心中所占比例是，你认 为小王选择哪款车更合适？请说明理由． 18. 如图，某同学通过定滑轮拉动静止在水平地面上的高为米的长方体重物，开始时与重物相连的绳子和水平面的夹角为，拉动一段距离后，绳子与水平面的夹角为，绳子的自由端（用手拉的一端）竖直向下移动了米（绳子伸缩不计），求定滑轮到地面的距离（结果精确到米．参考数据：，，） 19. 春节期间，某超市推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中的一种． 活动一：所有商品按八折出售； 活动二：购物金额每满元减元． 设某顾客的购物金额为元． （1）当购物金额为元时，选择活动一需付 元，选择活动二需付 元． （2）当时，请分别写出选择活动一和活动二的实付金额(元)关于购物金额 (元)之间的表达式，并说明选择哪种活动更省钱． （3）若该顾客选择活动二后的实付金额为 元，则该顾客的购物金额为 元． 20. 如图，有三摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，图中标注了相关数据，请根据这些信息解答下列问题． （1）最下面的碗的高度是 ，每增加一个碗增加的高度是 ． （2）求第三摞碗的总高度与碗的总个数x(个)之间的函数关系式，并通过计算判断这摞碗的高度能否是． （3）已知买一个碗需要2元，对于第三摞碗，若其高度不低于，求买这摞碗至少需要多少钱． 21. 在平面直角坐标系中，已知二次函数(b，c是常数)． （1）当时， ①该函数图象的顶点坐标是； ②若，则y的取值范围是 （2）当该函数图象经过点时，设该二次函数图象的顶点坐标是，求n关于m的函数表达式 （3）若当时，y最大值为3；当时，y的最大值为4．求二次函数的表达式． 22. 问题背景】 如图（1），点在外，点，，在上 ． 【解决问题】 （1）请判断和的大小关系，并加以证明； 【实践应用】 （2）在足球比赛场上，仅从射门的角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．如图()，为对方球门，当甲带球冲到点时，同伴乙已经冲到点(点在外)，直接判断：甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好? 【拓展延伸】 （3）一位足球运动员在某场赛事中有一精彩进球，如图（3），他在点处接到球后，沿方向带球跑动，并在对球门的视角最大的点处射门(视角最大时，经过点，，的 圆 与切于点)．已知，，视角，(点在的延长线上)．求的长．(结果保留根号) 23. 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“搭档三角形”进行探究 定义：一个等腰三角形的腰与另一个三角形的一边重合、两个三角形的公共边所对的角相等，这样的一组三角形称为“搭档三角形”． （1）操作判断 用两块全等的等腰直角三角形纸板拼出如图（1）所示的图形，其中是“搭档三角形”的有(填字母)． （2）性质探究 根据定义进行如下探究． 已知和是“搭档三角形”，．以点A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点E，连接． ①若，如图(2)，求的度数； ②若，如图(3)，求点D到的距离(用含的式子表示)． （3）拓展应用 如图(4)，，点C为射线上一动点，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年级九年级第一次质量检测数学模拟试卷 (满分120分，考试时间100分钟) 一 、选择题(每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的) 1. 数轴上点P的位置如图所示，则点P表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴表示实数，无理数的估算，设点表示的数为，由数轴可知，，根据，，，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设点表示的数为， 由数轴可知，， ∵，，，， ∴点P表示的数可能是， 故选：B． 2. 年月日，记者从国家管网西气东输郑州输气分公司获悉，年月日至年月 日，西气东输共向河南供气亿立方米，比去年同期增加亿立方米，创历史新高．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， 故选：． 3. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图所示的“榫”和“卯”中，“卯”的左视图是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据左视图是从左面观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意得“卯”的左视图是 故选：B． 4. 下列计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了整式的运算，根据合并同类项、单项式除以单项式、完全平方公式即可求解，解题的关键是熟知其运算法则． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 5. 若为任意整数，则值总能（ ） A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握乘法公式的运用是解题的关键． 运用乘法公式展开，再根据整式的加减运算得到，结合为任意整数，得到是整数，由此即可求解． 【详解】解： ， ∵为任意整数， ∴是整数， ∴的值总能被整除， 故选：C ． 6. 若关于x 的不等式组无解，则a 的值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解不等式得，解不等式得，根据不等式组无解，即可得出答案，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组无解， ∴， 故选：A． 7. 如图，在菱形中 ，，点 E 为上一点，过点E 分别作于 点F，于点 G．若菱形的面积为12，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，角平分线的性质，延长交于点，由四边形是菱形，得到，平分，从而得到，求出，根据角平分线的性质得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， 故选：A． 8. 某校举办“弘扬中华文化，讲好洛阳故事”演讲比赛，赛程共设置“牡丹文化”“古都文化”“河洛文化”“美食文化”四个主题，每位选手采取抽签的形式从四个主题中随机抽取一个参赛．如果小明和小宇都参加比赛，他们抽中的主题相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，简单的概率公式，记“牡丹文化”“古都文化”“河洛文化”“美食文化”四个主题分别为，列出表格，由表格可知，共有种等可能情况，其中小明和小宇抽中的主题相同的情况有种，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：记“牡丹文化”“古都文化”“河洛文化”“美食文化”四个主题分别为，列表如下： 小宇 小明 A B C D A B C D 由表格可知，共有种等可能情况，其中小明和小宇抽中的主题相同的情况有种， ∴他们抽中的主题相同的概率是， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，，．以的中点为圆心，长为半径作，则阴影部分的面积为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，扇形的面积公式，解直角三角形等知识，设半圆交于点，连接，过点作于点，证明四边形为矩形，进而得到，，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，设半圆交于点，连接，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ， ∵， ， ， 同理可得， ， ， 故选：A． 10. 如图()，点从正方形的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点 运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设)，图()是点运动时随变化的关系图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数动点问题，角平分线的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 设点为点运动的转折点，结合题图可知，，，点沿直线运动时，又，点在的平分线上，过点作于点，则，，设，则，然后由勾股定理即可求解． 【详解】解：设点为点运动的转折点，如图， 结合题图可知，，，，点沿直线运动时，， ∴故点在的平分线上， ∴， 过点作于点，则，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 举出一个可以说明命题“若， 则”是假命题反例：__________ 【答案】，（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，，，则，，满足，不满足，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：，，则，，满足，不满足， ∴命题“若， 则”是假命题， 故答案为：，（答案不唯一）． 12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的判别式． 由一元二次方程的定义可得，由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 又∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：， 综上所述，的取值范围是且． 故答案为：且． 13. 某学校餐厅有10元、12元、15元三种盒饭供学生选择．某天盒饭的销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是_________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数平均数，根据加权平均数的计算公式作答即可． 【详解】解：， 平均数是元， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点C在y轴正半轴上，点A，B均在x轴上，且位于原点的两侧，．将翻折，使点A的对应点落在x轴上，将再次翻折，使点B的对应点落在的延长线上，则点的坐标为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了翻折的性质，含角的直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识，在中，，，得到，，由翻折可知，，，证明是等边三角形，求出，，再进一步求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ，， 由翻折可知，，， 是等边三角形， ，， ， 由翻折可知，， ∵， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，，O为上一点，且，将线段绕点O逆时针旋转（旋转角小于），得到线段，连接并延长，交直线于点P，则的最小值为_______，最大值为_______． 【答案】 ①. 2 ②. 14 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，切线长定理的应用，如图，当与相切时，最小，则，如图，当与相切于正方形外的点时，此时最大；再进一步求解即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，， 如图，当与相切时，最小，则， ∴为的切线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的最小值为：； 如图，当与相切于正方形外的点时，此时最大； 同理可得：， ∴的最大值为：； 故答案为：2，． 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算及实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）依次计算立方根、零次幂、负整数指数幂，再计算加减即可； （2）先通分计算括号里的，再计算除法即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程 是人们购买时参考的重要指标．某汽车杂志为了解 M，N 两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机 抽取了10辆进行了续航里程实测，并将测试的结果(续航里程用x 公里(1公里=1千米)表示，分成4 组 ：A．；B．；C．；D．)；进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．10辆M款纯电动汽车的实际续航里程： 330 375 435 410 410 470 380 365 365 410 b．10辆 N 款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图(不完整)： c．10 辆N款纯电动汽车的实际续航里程在C 组中的数据是：402，425，410，425． d． 两款纯电动汽车的实际续航里程统计表： 平均数 中位数 众数 方差 M 395 395 a 1455 N 397 b 425 2070 根据以上信息，解答下列问题 （1）表格中的 ， （2）根据上述数据，你认为M款和N款纯电动汽车中，哪款的实际续航里程更长？请说明理由(写出一条即可)． （3）小王看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这两款车的四项性能进行了打分(百分制)，如下表： 续航里程得分 百公里加速得分 百公里能耗得分 智能化水平得分 甲车 82 90 85 100 乙车 80 100 90 90 续航里程、百公里加速、百公里能耗、智能化水平四项性能在小王心中所占比例是，你认 为小王选择哪款车更合适？请说明理由． 【答案】（1）； （2）款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可），理由见解析； （3）选择甲款车更合适，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数，条形统计图用统计图获取信息时，解题的关键是认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． （1）根据题意可得款抽取的纯电动车中类的数量为，据此可补全条形统计图；根据中位数和众数的定义即可得到与的值； （2）根据表格中的平均数判断即可； （3）利用加权平均数求解可得． 【小问1详解】 解：由题意可得款抽取的纯电动车中类的数量为， 补全条形统计图如下： 330 375 435 410 410 470 380 365 365 410中，410出现的次数最多， ∴众数； 在款抽取的纯电动车的实际续航里程中的数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为402，410， ∴中位数 ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：款的实际续航里程更长，理由如下： ∵款的平均数较大， ∴款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可）； 【小问3详解】 解：选择甲款车更合适，理由如下： 甲款车综合得分为： （分）， 乙款车综合得分为： （分）， ， ∴选择甲款车更合适． 18. 如图，某同学通过定滑轮拉动静止在水平地面上的高为米的长方体重物，开始时与重物相连的绳子和水平面的夹角为，拉动一段距离后，绳子与水平面的夹角为，绳子的自由端（用手拉的一端）竖直向下移动了米（绳子伸缩不计），求定滑轮到地面的距离（结果精确到米．参考数据：，，） 【答案】定滑轮到地面的距离约为米． 【解析】 【分析】本题考查了解三角形的应用，设竖直方向与延长线交于点，由题意得米，设，则，根据三角函数得出，解得，理解题意，运用三角函数解三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，设竖直方向与延长线交于点， 由题意得：米， 设，则， 中，，， ∴， 在中，，， 则， ∴， ∴，解得：, ∴， ∴定滑轮到地面的距离（米）， 答：定滑轮到地面的距离约为米． 19. 春节期间，某超市推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中的一种． 活动一：所有商品按八折出售； 活动二：购物金额每满元减元． 设某顾客的购物金额为元． （1）当购物金额为元时，选择活动一需付 元，选择活动二需付 元． （2）当时，请分别写出选择活动一和活动二的实付金额(元)关于购物金额 (元)之间的表达式，并说明选择哪种活动更省钱． （3）若该顾客选择活动二后的实付金额为 元，则该顾客的购物金额为 元． 【答案】（1），； （2）活动一：；活动二：；当，即时，选择活动一更省钱；当，即时，活动一和活动二实付金额相同；当，即时，选择活动二更省钱； （3）或． 【解析】 【分析】（）根据优惠方案计算即可求解； （）根据优惠方案列出函数表达式即可； （）根据活动二对分情况讨论计算即可求解； 本题考查了一次函数的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：活动一：元； 活动二：元； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：活动一：； 活动二：； 当，即时，选择活动一更省钱； 当，即时，活动一和活动二实付金额相同； 当，即时，选择活动二更省钱； 【小问3详解】 解：当时，实付金额小于元； 当时，由，解得； 当时，由，解得； 当时，实付金额大于元； ∴该顾客选择活动二后的实付金额为 元，则该顾客的购物金额为元或元， 故答案为：或． 20. 如图，有三摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，图中标注了相关数据，请根据这些信息解答下列问题． （1）最下面的碗的高度是 ，每增加一个碗增加的高度是 ． （2）求第三摞碗的总高度与碗的总个数x(个)之间的函数关系式，并通过计算判断这摞碗的高度能否是． （3）已知买一个碗需要2元，对于第三摞碗，若其高度不低于，求买这摞碗至少需要多少钱． 【答案】（1）； （2），这摞碗的高度不能是，理由见解析． （3）买这摞碗至少需要元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，求函数解析式，不等式的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）第一摞有个碗，高度是，第二摞有个碗，高度为，所以每增加一个碗增加的高度为，则最下面的碗的高度是； （2）根据（1）即可得出函数解析式，当时，即，解得， 即可判断； （3）对于，当，即时，解得，即可求解． 【小问1详解】 解：第一摞有个碗，高度是，第二摞有个碗，高度为， ∴每增加一个碗增加的高度为， ∴最下面的碗的高度是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 当时，即， 解得：， 不是整数， ∴这摞碗的高度不能是． 【小问3详解】 解：对于，当，即时， 解得：， ∴若这摞碗的高度不低于，则这摞碗不少于个， ∴买这摞碗至少需要（元）． 21. 在平面直角坐标系中，已知二次函数(b，c是常数)． （1）当时， ①该函数图象的顶点坐标是； ②若，则y的取值范围是 （2）当该函数的图象经过点时，设该二次函数图象的顶点坐标是，求n关于m的函数表达式 （3）若当时，y的最大值为3；当时，y的最大值为4．求二次函数的表达式． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先把解析式进行配方，再求顶点； （2）根据函数的增减性求解，待定系数法求函数解析式； （3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴该函数图象的顶点坐标为， 若，则在时取最大值，在时取最小值， ∴若，则， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵该函数的图象经过点， ， ， ， ，， 由可知， 将代入， ∴； 【小问3详解】 解：∵当时，的最大值为，当时，的最大值为，， ∴抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴当时，， ， ∴当时，， ， ，（负值舍去）， ∴二次函数的表达式为． 22. 【 问题背景】 如图（1），点在外，点，，在上 ． 【解决问题】 （1）请判断和的大小关系，并加以证明； 【实践应用】 （2）在足球比赛场上，仅从射门的角度考虑，球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．如图()，为对方球门，当甲带球冲到点时，同伴乙已经冲到点(点在外)，直接判断：甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好? 【拓展延伸】 （3）一位足球运动员在某场赛事中有一精彩进球，如图（3），他在点处接到球后，沿方向带球跑动，并在对球门的视角最大的点处射门(视角最大时，经过点，，的 圆 与切于点)．已知，，视角，(点在的延长线上)．求的长．(结果保留根号) 【答案】（）见解析；（）见解析；（）． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，切线的性质，等边三角形的性质与判定等知识，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）根据圆周角定理和三角形的外角性质即可求解； （）根据圆周角定理和三角形的外角性质即可求解； （）设经过，，三点的圆的圆心为，过点作的垂线，分别交，于点，连接，证明是等边三角形，则，由，，则，所以，，过点作于点，则，再由勾股定理和线段和差即可求解； 【详解】解：（）， 证明：如图()，设与交于点，连接，则， ∵， ∴， ∴； （）将球传给乙，让乙射门好， 如图，连接，，   同（）理得：， ∵球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进， ∴将球传给乙，让乙射门好； （）设经过，，三点的圆的圆心为， 如图()，过点作的垂线，分别交，于点，连接， 则，， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则， ∴， ∴． 23. 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“搭档三角形”进行探究 定义：一个等腰三角形的腰与另一个三角形的一边重合、两个三角形的公共边所对的角相等，这样的一组三角形称为“搭档三角形”． （1）操作判断 用两块全等的等腰直角三角形纸板拼出如图（1）所示的图形，其中是“搭档三角形”的有(填字母)． （2）性质探究 根据定义进行如下探究． 已知和是“搭档三角形”，．以点A为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点E，连接． ①若，如图(2)，求的度数； ②若，如图(3)，求点D到距离(用含的式子表示)． （3）拓展应用 如图(4)，，点C为射线上一动点，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的面积． 【答案】（1）； （2），点到的距离为； （3）的面积为或． 【解析】 【分析】（1）根据“搭档三角形”的定义即可得出答案； （2）①连接，则，证明，即可求解； ②连接，则，根据题意，从而证明，再根据解直角三角形即可求解； （3）在延长线上取一点，使，连接，过点作于点， ，当时， 时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵用两块全等的等腰直角三角形纸板拼出如图（1）所示的图形， ∴根据“搭档三角形”定义可知，“搭档三角形”的有； 【小问2详解】 解：①如图（1），连接，则， 又∵， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； ②如图（2），连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 过点作于点，则， ∴点到的距离为； 【小问3详解】 解：，， ， ，是“搭档三角形”， 如图（3），在的延长线上取一点，使，连接，过点作于点，由（2）②可知， ， 当时，如图（4），过点作于点，则， ∴, ， 当时，如图（5）， 则， 综上，的面积为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$