精品解析：上海市世外中学2024—2025学年下学期第一次月考九年级数学试题

2024学年第二学期学校初三数学练习（一） （满分150分，考试时间100分钟） （2025．3） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 已处，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键； 根据不等式的性质，可得答案； 【详解】A、两边都乘以，不等号的方向不变，故A不符合题意； B、两边都加，不等号的方向不变，故B不符合题意； C、两边都乘以，不等号的方向改变，故C符合题意； D、两边都减，不等号的方向不变，故D不符合题意； 故选：C 2. 下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式逐一分析即可求解． 【详解】解：A、， ， 时，，即关于的方程有实数根，故该选项不符合题意； B、， ， 不论取什么实数值，，即方程一定有实数根，故该选项符合题意； C、， ， 当时，，即关于的方程有实数根，故该选项不符合题意； D、， ， 当时，，即关于的方程有实数根，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 关于函数的图像与性质，下列描述错误的是（ ） A. 图像经过原点； B. 对称轴是直线； C. 顶点在第一象限； D. 在对称轴左侧的部分是下降的 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．根据二次函数的图像与性质逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，，则函数的图像经过原点，该选项正确； B、函数， 代抛物线的对称轴是直线，故该选项正确； C、函数的顶点为在第一象限，故该选项正确； D、函数中，该抛物线开口向下，则在对称轴左侧的部分是上升的，故该选项错误； 故选：D． 4. 已知矩形的对角线交于点O，下列条件中能判定四边形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定，根据正方形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：矩形中，对角线交于点O， ，， A，，不能判定四边形是正方形； B，，不能判定四边形是正方形； C，，不能判定四边形是正方形； D，，由对角线互相垂直的矩形为正方形，能判定四边形是正方形； 故选D． 5. 下列命题中，假命题是（ ） A. 垂直平分弦的直线经过圆心； B. 平分弦的直径垂直这条弦； C. 平分弦和弦所对弧的直线经过圆心； D. 平分弦所对弧的直径垂直这条弦 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题真假的判断，垂径定理及其推论，熟练掌握定理是解题的关键．根据垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个，逐项判断即可． 【详解】解：A、垂直平分弦的直线经过圆心，故该选项为真命题，不符合题意； B、平分弦（弦不是直径）直径垂直这条弦， 故该选项为假命题，符合题意； C、平分弦和弦所对弧的直线经过圆心，故该选项为真命题，不符合题意； D、平分弦所对弧的直径垂直这条弦，故该选项为真命题，不符合题意； 故选：B． 6. 已知命题：①斜边及斜边上的中线对应成比例的两个直角三角形相似； ②斜边及斜边上的高对应成比例的两个直角三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（ ） A. ①是假命题，②是真命题； B. ①是真命题，②是假命题； C. ①和②都是真命题； D. ①和②都是假命题． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题，相似三角形的判定，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：①如图，点、分别为、斜边、上的中点 ， 任意两个直角三角形的斜边及斜边上的中线对应成比例 斜边及斜边上的中线对应成比例的两个直角三角形不相似 故①是假命题； ②如图，、分别为、斜边上的高，且 不妨设，，，，， ， ， ， ， ， ， 解得或 当时， ， 当时， ， 故②为真命题； 故选：A． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．先通分，再运算加法，然后约分，即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 8. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程，解题关键是掌握无理方程的解法，准确进行计算求解． 【详解】解：， ， ， 解一元二次方程得，，， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 9. 如果一次函数的图像经过点，那么y随x的增大而______（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数解析式，一次函数图象与性质，熟练掌握待定系数法以及系数k对一次函数图像的影响是解题的关键．将点代入，可求出k值，再利用一次函数的性质（当时y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小）即可得出结论． 【详解】解：将点代入，得 解得： ∵ ∴y随x值的增大而减小 故答案为：减小 10. 近年来，机器人产业发展迅猛，据报道某地区2024年机械手的市场规模约为225亿元，估计2026年的市场规模将达到324亿元，如果2025年、2026年的年增长率相同，那么这个相同的增长率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设年增长率为，根据该地区2024年及2026年的花卉的产值，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可． 【详解】解：设这个相同的增长率， 依题意得：， 解得：， (不合题意，舍去)， 故答案为：． 11. 春节前夕，杭州深度求索公司推出了其自主研发的开源模型——，在多项性能评测中表现出色，引起世界关注．入图是该模型与美国模型在百科、数学及代码等领域的相关测试数据，通常用的值表示对的相对优势．那么由图中数据可知比，在______领域的相对优势更大．（填“百科”、“数学”或“代码”） 【答案】代码 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，数据的收集和整理，解题的关键是理解题意．先根据公式分别算出各个领域内对的相对优势的百分比，再比较即可求解． 【详解】解：百科领域：， 数学领域：， 代码领域：， ， 比，在代码领域的相对优势更大， 故答案为：代码． 12. 将一副直角三角尺如图所示摆放，其中等腰直角三角形（图中阴部分）的一个锐角顶点在另一个三角形内，含角的直角三角形的角的顶点在等腰直角三角形内，那么图中角和之间的数量关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角板中角度计算问题，两个三角形重叠部分为四边形，根据四边形内角和为360度列式求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，，，， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，已知平行四边形中，是对角线上一点，且．设，，那么向量______（结果用含、的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面向量，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可知，求得，再由，求得，最后利用即可求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， 故答案为：． 14. 如图，已知矩形中，，，P是边AB的中点，以点P为圆心画圆，如果点B在圆P内、点D在圆P外，那么圆P的半径r的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和点和圆的位置关系，解题关键是求出、的长，再确定圆P的半径r的取值范围即可． 【详解】解：∵矩形中，，，P是边的中点， ∴， ∴， 点B在圆P内、点D在圆P外，那么圆P的半径r的取值范围是， 故答案为：． 15. 将反比例函数的图像向上平移2个单位，所得函数图像与x轴的交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象的平移问题，先根据平移方式求出平移后解析式，求出时对应的x的值即可． 【详解】解：将反比例函数的图像向上平移2个单位，所得函数的解析式为：， 令， 解得， 所得函数图像与x轴的交点坐标是， 故答案为：． 16. 二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”，那么函数的“关联函数”的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题关键是准确理解互为“关联函数”的定义，根据两个函数顶点坐标的关系确定函数的“关联函数”的解析式即可． 【详解】解：∵二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”， ∴函数的“关联函数”的二次项系数为2， ∵， ∴它的顶点坐标为，则它的“关联函数”的顶点坐标为， ∴函数的“关联函数”的解析式是，即， 故答案为：． 17. 如图，已知正方形，E是边的中点：将沿翻折，点A落在点F处，与交于点G，那么的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，过点F作，于点P，设，根据点E为的中点，得出，根据勾股定理求出，根据折叠得出，，垂直平分，根据等积法求出，解直角三角形得出，求出，，，证明，得出即可． 【详解】解：连接，过点F作，于点P，如图所示： 则四边形为矩形，四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，，，， ， ∵四边形为正方形， ∴，，， 设， ∵点E为的中点， ∴， ∴， 根据折叠可知：，，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 18. 如果一个四边形存在一条对角线把它分割成两个相似比不为的相似三角形，那么称这个四边形为“相似分割四边形”，已知一个梯形是“相似分割四边形”，且这个梯形有两条边相等，下底是上底的倍，那么该梯形最小内角的余弦值是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角函数，解题的关键是灵活应用相关知识解题；分情况讨论梯形的两边相等，且满足相似比不等于，即可求解． 【详解】解：当，，，如图， 此时， ，即， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即该梯形最小内角的余弦值为； 当，，，如图，过点D作于点E， 此时， ，即， ∵， ∵， ∴， ∴， 即该梯形最小内角的余弦值为； 当，，，如图，过点D作于点E， 此时， ，即， ∵， ∵， ∴， ∴， 即该梯形最小内角的余弦值为； 当，，，如图，过点D作交的延长线于点E， 此时， ，即， ∵， ∵， ∴， ∴， 即该梯形最小内角的余弦值为； 综上：最小角的余弦值为：或或． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂，绝对值的性质，分母有理化，负整数指数幂等知识分别进行计算，然后相加即可得解． 【详解】解：， ， ， ． 【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，绝对值的性质，分母有理化，负整数指数幂等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 20. 解方程组： 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二元二次方程组的解法，解题关键是熟练掌握解法，准确进行计算． 【详解】解：， 由②得，， 把代入①得，， 解方程得，，， 代入得，，， 所以方程组的解为：或． 21. 如图，已知点是两个同心圆的圆心，大圆的弦与小圆交于点、． （1）求证：； （2）如果，，大圆面积是小圆面积的倍，求大圆半径的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）过点作于，根据垂径定理得，，所以，即可求解； （2）连接、，在与中，由勾股定理得：，，再结合，得，又大圆面积是小圆面积的倍，即可求解大圆半径的长． 【小问1详解】 解：过点作于， ，， ， ； 【小问2详解】 解：连接、， 在与中，由勾股定理得：，， ， ， ，， ，， ， 大圆面积是小圆面积的倍， ，即， 根据可得：， ． 22 如图，已知点，，，，将绕某个点逆时针方向旋转一定角度（）． （1）如果旋转后点A落在点D处，点B落在点C处，点O落在点P处，试在图中作出旋转中心（保留作图痕迹，不写作法）；并直接写出：旋转中心坐标是______，旋转角为______度，点P的坐标是______； （2）如果旋转后点A落在点C处，点B落在点D处，那么旋转中心坐标是______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转图形的性质与作图，根据旋转的性质作垂直平分线确定旋转中心即可． （1）作、的垂直平分线相交于点E，点E就是旋转中心，再确定坐标和旋转角即可； （2）按照（1）的方法求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作、的垂直平分线相交于点E，点E就是旋转中心，坐标为，由图可知，所以旋转角度为，点P的坐标是， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：如图所示，点F就是旋转中心，坐标为， 故答案为：． 23. 如图，已知中，M、N是边上的两点，D、E分别是边、上的点，且，． （1）如果，求证：； （2）延长、交于点P，连接，与边交于点O，如果，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）首先由平行线分线段成比例得到，，然后得到，等量代换得到，然后证明出，得到，即可证明； （2）如图所示，设与交于点F，证明出，得到，然后等量代换得到，然后证明出，得到，然后由得到，，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到，即可得到． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，设与交于点F ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ 由（1）得， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 24. 已知平面直角坐标系（如图），一条抛物线经过点，顶点为． （1）求这条抛物线的表达式，并在所给坐标系中画出其大致图像； （2）把该抛物线先向右平移m个单位，再向上平移k个单位（、），新抛物线与y轴交于点C，顶点为P，连接、． ①如果，且，求点C的坐标； ②射线与新抛物线交于点D，如果，且，求m、k的值． 【答案】（1） （2）①，②， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合，解题关键是求出二次函数解析式，利用点的坐标，通过三角函数等知识求解； （1）利用待定系数法求出解析式，画出函数图象即可； （2①）写出平移后的抛物线解析式，设，根据题意表示出，再表示C点坐标为，代入解析式即可；②根据得出，再根据得出点D坐标，代入解析式即可． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点为，设抛物线解析式为， 把代入得，，解得，， 抛物线解析式为； 抛物线函数图象如图： 【小问2详解】 解：抛物线先向右平移m个单位，再向上平移k个单位（、），新抛物线解析式为，顶点坐标为，过点P作，垂足为F， ①∵， ∴，， 设， 则， 解得，， 所以C点坐标为，代入得， ，解得（舍去），， C点坐标， ②∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则C点坐标，代入得， ，解得，（舍去），， ∵， ∴点D在第一象限， 过点D作，垂足为G， ∴ ∴， ∴点D的坐标为，代入得， ，解得，． 25. 如图，已知是的直径，是的弦，是弧的中点，弦与交于点． （1）求证：； （2）当时，求的正弦值； （3）当是等腰三角形时，求的度数，并直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）的度数为或；的值为或 【解析】 【分析】（1）连接，连接并延长交于点，则，由题意可得，有，判定，有，结合即可证明； （2）连接和，则和，进一步得为等腰三角形，设，则，，则有，得和，，即可得，判定，有，即，同时求得，则，设，则，求得代入即可； （3）分三种情况：①当，连接，设，则，，，求得，即可得到为等腰直角三角形，，进一步设，则，，求得即可；②当时，设，则，，，，，，解得，结合（2）中的正弦值可得，过点E作于点H，则，利用等式的基本性质求解即可；③当时，不符合题意． 【小问1详解】 解：连接，连接并延长交于点，如图， ，即， 是的弦，是弧的中点， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接和，如图， 则， ， ∵， ∴， ∵是弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中，，解得，则； 设，则， 那么，，解得（负值舍去）， 则； 【小问3详解】 解：①当时， 连接，如图， 设， ∵是弧的中点， ∴， ∴， ∴， 则， 在中，，即，解得， ∴， 则为等腰直角三角形， 设， 则，，， 那么，； ②当时，如图， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，即，解得， 则，， 由（2）知， 过点E作于点H，则， 则， 即， ∴， ∴， 则； ③当时，不符合题意； 综上，的度数为或；为或． 【点睛】本题主要考查圆和三角形综合，涉及圆的基本性质、直径所对的圆周角为直角、垂径定理、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质和等式的基本性质，解题的关键是熟悉圆的性质和三角形的性质，以及分类讨论思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期学校初三数学练习（一） （满分150分，考试时间100分钟） （2025．3） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 已处，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于函数图像与性质，下列描述错误的是（ ） A. 图像经过原点； B. 对称轴是直线； C. 顶点在第一象限； D. 在对称轴左侧的部分是下降的 4. 已知矩形的对角线交于点O，下列条件中能判定四边形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，假命题是（ ） A. 垂直平分弦的直线经过圆心； B. 平分弦的直径垂直这条弦； C. 平分弦和弦所对弧的直线经过圆心； D. 平分弦所对弧的直径垂直这条弦 6. 已知命题：①斜边及斜边上的中线对应成比例的两个直角三角形相似； ②斜边及斜边上的高对应成比例的两个直角三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（ ） A. ①假命题，②是真命题； B. ①是真命题，②是假命题； C. ①和②都真命题； D. ①和②都是假命题． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 计算：______． 8. 方程的解是______． 9. 如果一次函数的图像经过点，那么y随x的增大而______（填“增大”或“减小”） 10. 近年来，机器人产业发展迅猛，据报道某地区2024年机械手的市场规模约为225亿元，估计2026年的市场规模将达到324亿元，如果2025年、2026年的年增长率相同，那么这个相同的增长率是______． 11. 春节前夕，杭州深度求索公司推出了其自主研发开源模型——，在多项性能评测中表现出色，引起世界关注．入图是该模型与美国模型在百科、数学及代码等领域的相关测试数据，通常用的值表示对的相对优势．那么由图中数据可知比，在______领域的相对优势更大．（填“百科”、“数学”或“代码”） 12. 将一副直角三角尺如图所示摆放，其中等腰直角三角形（图中阴部分）的一个锐角顶点在另一个三角形内，含角的直角三角形的角的顶点在等腰直角三角形内，那么图中角和之间的数量关系是______． 13. 如图，已知平行四边形中，是对角线上一点，且．设，，那么向量______（结果用含、的式子表示）． 14. 如图，已知矩形中，，，P是边AB的中点，以点P为圆心画圆，如果点B在圆P内、点D在圆P外，那么圆P的半径r的取值范围是______． 15. 将反比例函数的图像向上平移2个单位，所得函数图像与x轴的交点坐标是______． 16. 二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”，那么函数的“关联函数”的解析式是______． 17. 如图，已知正方形，E是边的中点：将沿翻折，点A落在点F处，与交于点G，那么的值是______． 18. 如果一个四边形存在一条对角线把它分割成两个相似比不为的相似三角形，那么称这个四边形为“相似分割四边形”，已知一个梯形是“相似分割四边形”，且这个梯形有两条边相等，下底是上底的倍，那么该梯形最小内角的余弦值是______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 20. 解方程组： 21. 如图，已知点是两个同心圆的圆心，大圆的弦与小圆交于点、． （1）求证：； （2）如果，，大圆面积是小圆面积的倍，求大圆半径的长． 22. 如图，已知点，，，，将绕某个点逆时针方向旋转一定角度（）． （1）如果旋转后点A落在点D处，点B落在点C处，点O落在点P处，试在图中作出旋转中心（保留作图痕迹，不写作法）；并直接写出：旋转中心坐标是______，旋转角为______度，点P的坐标是______； （2）如果旋转后点A落在点C处，点B落在点D处，那么旋转中心坐标______． 23. 如图，已知中，M、N是边上的两点，D、E分别是边、上的点，且，． （1）如果，求证：； （2）延长、交于点P，连接，与边交于点O，如果，求证：． 24. 已知平面直角坐标系（如图），一条抛物线经过点，顶点为． （1）求这条抛物线的表达式，并在所给坐标系中画出其大致图像； （2）把该抛物线先向右平移m个单位，再向上平移k个单位（、），新抛物线与y轴交于点C，顶点为P，连接、． ①如果，且，求点C的坐标； ②射线与新抛物线交于点D，如果，且，求m、k的值． 25. 如图，已知是的直径，是的弦，是弧的中点，弦与交于点． （1）求证：； （2）当时，求的正弦值； （3）当是等腰三角形时，求的度数，并直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $