8.2立方根 讲义 2024-—2025学年人教版数学七年级下册

8.2 立方根 知识点1 立方根 1.概念及表示 一般地，如果一个数x的立方等于a，即 那么这个数x叫作a的① 或三次方根.类似于平方根，一个数a的立方根记为“ ”,读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.例如：2是8的立方根，即 是 的立方根，即 是0的立方根. 2.性质 (1)每个数a② 个立方根，其中a可正、可负、可为0. (2)正数的立方根是③ ，负数的立方根是④ ，0的立方根是0.注意1 知识点2 平方根和立方根的区别与联系 名称 关系 平方根 立方根 区别 定义不同 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x 叫作a的平方根或二次方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x³=a,那么这个数x叫作a的立方根或三次方根 个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根.任何数的立方根都只有一个 表示方法不同 非负数a的平方根表示为±，根指数为2，可以省略不写 数a的立方根用符号‘“ ”表示，这里的根指数3不能省略 被开方数的取值范围不同 在±中，被开方数a是非负数，即a≥0 在 中，被开方数a是任意数 联系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 0的方根 0的立方根和平方根都是0 知识点3 开立方 求一个数的立方根的运算，叫作开立方 开平方和开立方的区别 开平方 开立方 运算符号 ± 被开方数 非负数 任意数 个数 0的平方根只有一个；一个正数的平方根有两个；负数没有平方根 任意数的立方根都只有一个 知识点4 用计算器求立方根 一些计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值).借助计算器求数的立方根的具体做法是开机后，先按键，再输入被开方数，最后按( 键，即可求出该数的立方根.要注意，不同厂家生产的计算器按键顺序可能不同，以说明书为准. 基础题 1.(开立方运算在实际问题中的应用)有一块正方体水晶砖，它的体积为100 cm³，则它的棱长在 ( ) A.4 cm~5cm 之间 B.5cm ~6cm之间 C.6cm~7 cm之间 D.7 cm~8cm 之间 2.(算术平方根，立方根)已知 是非负数m+3的算术平方根， 是 n --2 的立方根,则 M --N 的值为 3.(利用立方根的概念解方程)求下列各式中x的值. 4. (开立方运算在实际问题中的应用)将半径为12 cm的铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的小铁球，不计损耗，小铁球的半径是多少?(球的体积公式为 5.(平方根与立方根的综合应用)(2022·甘肃嘉峪关期末)已知某个正数的两个平方根是5--a和3a-3,b的立方根是-2,求4a-b的立方根. 6.(规律探究题)观察下列各式子： 你能发现其中包含的规律吗?试用含 n(n为大于1 的整数)的式子表示你所发现的规律. 7.(利用立方根的性质求相关式子的值)对于结论:当a+b=0时, 也成立.若将a看成是a³的立方根，b看成是b³的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”. (1)试举个符合上述结论的例子. (2)若 与 的值互为相反数，求的值. 提升题 1.2024安徽阜阳期中,中]如图,数轴上A,B,C三点所表示的数分别是a,6,c,已知AB=8,a+c=0,且c是关于x的一元一次方程(m-4)x+16=0的解的立方根，则m的值为 ( ) A.2 B.-2 C.4 D.6 2.[2024江苏南通质检，中]某个数值转换器的原理如图所示，若初始输入x的值是1，第1 次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，…，则第2 020次输出的结果的算术平方根的立方根是( ) A. B.4 C.2 D. 3.[2024 浙江杭州期中,中] 是一个正整数，则满 足 条 件 的 最 小 正 整 数 x 的 值是 . 4.[中]M是个位数字不为零的两位数， 是将 M 的个位数字与十位数字互换后，得另 一个两位数N，若M-N恰是某正整数的立方，则这样的M共有 个. 5.[中]有一个长方体水槽，其长、宽、高之比为1：1:2,其体积为16000 cm³. (1)求长方体水槽的长、宽、高. (2)将一个半径为r cm 的小球放入注满水的水槽中，当小球完全浸入水槽时，溢出水槽外的水的体积为水槽体积的 ，求该小球的半径(π取3，结果精确到0.01 cm，球的体积公式为 V= 6.[2024 山西忻州期末，中]先阅读材料，再解答问题. … ∴ = . (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 . (2)计算 的值. 7.核心素养数据观念[2023 安徽无为期末，中]据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59 319 的立方根，华罗庚脱口而出：39.你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗?请研究解决下列问题： (1)已知 且x为整数. ∴x一定是一个两位数. ∵10 648的个位数字是8, ∴x的个位数字一定是 . 划去10 648后面的三位648得10, ∴x的十位数字一定是 ， ∴x= . (2)已知 且y为整数，按照以上思考方法，请求出y的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$