8.1平方根 讲义 2024-2025学年人教版数学七年级下册

8.1 平方根 知识点1 平方根的概念及性质 1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即 那么这个数x叫作a的① 或二次方根.说明 2.性质：正数有两个平方根，它们互为② .0的平方根是0，负数③ 平方根.注意1 3.开平方的定义 (1)求一个数的平方根的运算，叫作④ .对点例1 (2)平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 4.被开方数 正数a的正的平方根记为“√a”，读作“根号a”，a叫作被开方数. 知识点2 算术平方根的概念及性质 1.定义：正数a有两个平方根，其中正的平方根 叫作a的算术平方根.正数a的算术平方根用 来表示. 2.性质 (1)一个正数的算术平方根是⑤ 数，负数⑥ 算术平方根，0的算术平方根是⑦ . (2)算术平方根 的双重非负性：①被开方数一定是非负数，即a≥0；②非负数a的算术平方根为非负数，即 知识点3 估算 对算术平方根进行估算，经常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术平方根进行比较.例如：估算、 的大小，可以取和2最近的两个完全平方数1和4,因为1<2<4,所以 即 知识点4 用计算器求算术平方根 1.近似数 3.14，3.142，…都是π的近似值，称它们为近似数.在解决实际问题时，出现某个数的算术平方根开不尽时，往往用一个有限小数来近似地表示这个算术平方根. 2.用计算器计算一个正数的算术平方根的近似值 计算器品牌不同，按键顺序就有所不同，使用计算器计算一个正数的算术平方根的近似值之前，要仔细阅读计算器的使用说明书.对点例2 答案 ①平方根 ②相反数 ③没有 ④开平方 ⑤正 ⑥没有 ⑦0 基础题 1. (估算)若 则下列结论中正确的是 ( ) A.1<a<2 B.2<a<3 C.3<a<4 D.2<a<4 2.(实际应用)制作一个表面积为30 cm²的无盖正方体纸盒，则这个正方体纸盒的底面边长是 ( )cm B. 3.(算术平方根的性质)若自然数n的算术平方根是x，则n+1的算术平方根是 ( ) C. x+1 D.不能确定 4.(规律探究)计算下列各式的值： (5)观察上面各式所得的结果，你总结得到的规律是 (6)运用得到的规律计算： 5.(解方程)求下列各式中x的值： 6.(算术平方根、平方根的性质)已知2a-1的平方根为±3，3a+b-1的算术平方根为4. (1)求a,b的值; (2)求a+2b的平方根. 7.(求算术平方根，算术平方根的性质)如图所示的是一个数值转换器. (1)当输入的x值为9时，输出的y值为 ；当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为 时，输入的x值为 . (2)嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x值应为非负数.但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少? 提升题 1[2023 河北衡水质检]“ 的平方根是： 用数学式子可表示为 ( ) 2[2024山东日照期末]2的平方根是 ( ) A. C. 3[2023 河北廊坊期中]如果实数m没有平方根，那么m可以是 ( ) A.-3² B.|-3| C.(-3)² D.-(-3) 4若a是(-4)²白的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值为 ( ) A.8 B.0 C.8或0 D.4或-4 5[2024甘肃陇南期中]已知|a-1|+|b-4|=0,则a/b的平方根是 ( ) A. D. 6若 x-1有平方根，则实数 x 的取值范围是 . 7[2023 浙江杭州期中]如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形.若空白部分面积之和为4,则a的值是 8[2024 北京朝阳区期中]已知正有理数x的平方根为a和a+b. (1)当b=6时,x的值为 ; (2)若 则x的值为 . 9[2024山西太原调研]王老师给同学们布置了这样一道习题： 如果a+3和2a-15 是某个非负数的平方根，求这个非负数. 小达的解法如下：依据题意可知(a+3)+(2a-15)=0,解得a=4,则a+3=7,7²=49.故这个数是49. 王老师看后说：“小达的解法不完整.”请你给出这道习题完整的解法. 学科网（北京）股份有限公司 $$