河南省周口市2024-2025学年第一次数学试题试卷

2024-2025学年九年级下学期第一次质量检测 数 学 (满分120分，考试时间100分钟) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1.下列各数中，最小的数是 ( ) A.-5 B.-π C.0 D.3 2.下面四幅简笔画中，是轴对称图形的是 ( ) A B C D 3.下列运算正确的是 ( ) A.4a²+a²=5a⁴ B.(-a³)²=a⁶ C.a²·a³=a⁶ D.(-2x)³÷x=-6x² 4.2024年河南省乡村振兴扎实推进，连续6年粮食总产量稳定在0.13万亿斤以上.将0.13万亿用科学 记数法表示为 ( ) A.1.3×10⁹ B.13×10¹⁰ C.1.3×1011 D.0.13×1012 5.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“民”字所在面相 对的面上的汉字是 ( ) A. 就 B.是 C.江 D. 山 6.一元二次方程(x+1)(x-3)=2的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C.有两个相等的实数根 D. 无法确定 7.甲、乙、丙、丁四名运动员参加掷标枪比赛，下表记录了四人选拔测试(每人掷5次)的相关数据： 甲 乙 丙 丁 平均距离/m 45 54 48 54 方差 3.2 0.4 4.8 6.4 ( ( ) ( ) )根据表中数据，选拔测试中成绩又好又稳定的是 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8.用尺规在一个矩形内作菱形ABCD,下列作法错误的是 A B C D 第5题 1 学科网（北京）股份有限公司 9.某服装厂接到一学校的订单，生产一段时间后，还剩880套校服未生产，厂家因更换设备(所用时间忽略不计),生产效率比更换设备前提高了20%,结果刚好提前5天完成订单任务.设该厂家更换设备前每天生 产x 套校服，则可列方程为 ( ) A. B C D 10. 一辆汽车的后窗有一种特 殊形状的雨刮器，忽略雨刮器的宽度，可将其抽象为一条折 线OAB(AB与水平线平行),如图(1),量得连杆OA 长为 1 dm,雨刮杆AB长为4 dm,∠OAB=120° . 若启动一次雨刮 器，雨刮杆AB 正好扫到CD的位置(CD 与水平线平行), 如图(2),则在此过程中，雨刮杆AB扫过的面积为( )图(1) 图(2) A.10π B. C.20π D.21π 二、填空题(每小题3分，共15分) 11.函数的自变量的取值范围是 12.写出一个经过(0,1)且y 随 x 的增大而增大的一次函数表达式： 13.小红、小轩、小涵、小敏四位同学去学校餐厅吃饭，并在如图所示的四座餐桌处随机落座，则小红坐在小轩正对面的概率是 D A F 0 B G C (第13题) (第14题) (第15题) 14.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°,AO=4,点C 为AB的中点，过点C 作 CD//OB交AB于点D, 则阴影部分的面 积为 . 15.如图，在矩形ABCD 中 ，AD=4,AB=6, 点F 是AB 上一点，且AF=1. 半 圆 0 的圆心0在AB 上，且直径FG=6. 将半圆0绕点F 逆时针旋转α(0°<α<90°),当半圆0与矩形ABCD 的边相切时，tan α的值为 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16. (10分)(1)化简：(2x+3y)²-(x+y)(4x-y); (2)化简： 17. (9分)2024年是爱国卫生运动开展71周年，2024年4月也是第36个爱国卫生月，为了倡导文明健 康绿色环保生活方式，某市决定开展“爱国卫生行动，从我开始行动”主题演讲比赛.该市某中学将 参加本校选拔赛的选手的成绩(满分为100分，得分为正整数)分成六组，并绘制了如下不完整的统 计图表. 根据以上信息，解答下列问题： (1)参加学校选拔赛的有_ 人， (2)补全频数分布直方图， (3)小华这次的成绩是87分，他分析后认为他的成绩刚好是参赛选手成绩的中位数.请问小华的想 法是否一定正确?简要说明理由. 18. (9分)简车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图(1).唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能 利物，轮乃曲成”.如图(2),筒车⊙0与水面交于点A,B, 筒车的最低点到水面的距离CD 为1 m, AB=6m. (1)求筒车的半径； (2)若接水槽MN 所在的直线与⊙0相切，且∠NMA=38°,则当筒车按逆时针方向每秒转20°时，求 盛水筒P 从最高点开始运动，至少经过多长时间恰好在直线MN上 图(1) 图(2) 19. (9分)如图，一次函数y=3x 与反比例函数 的图象交于点A(1,a), 点 B 在 x 轴正半轴上. (1)求反比例函数的表达式. (2)请在∠AOB的内部作出满足下列条件的点P(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹): ①点P 到∠AOB 两边的距离相等；②PA//OB. (3)请直接写出点P 的坐标. 20. (9分)每年的4月23日为世界读书日.某网上图书销售平台计划在今年世界读书日前购进甲、乙两 类图书共1200册，这两类图书的进价、售价如下表： 进价/(元/册) 售价/(元/册) 甲类图书 25 30 乙类图书 45 60 (1)分别购进甲、乙两类图书多少册时进货款恰好为46000元? (2)分别购进甲、乙两类图书多少册时，该平台获利最多且总利润不超过总进货款的30%(假设甲、 乙两类图书全部售完)?此时总利润为多少元? 21. (9分)中原福塔，又名“河南广播电视塔”,是郑州市的地标建筑之一.中原福塔分为塔座、塔身、塔楼、桅 杆四个部分，福塔顶部桅杆天线高120m. 某校“综合与实践”小组的同学把“测量中原福塔的高度”作为 一项课题活动，他们制定了两种测量方案，并完成实地测量，如下表所示 课题 测量中原福塔的高度 方案 方案一 方案二 测量示意图 ( A D α F B:: B G E ) 方案说明(点A,B, C,D,E,F,G在同一 竖直平面内) 在C处测得桅杆顶部A的仰角为55.4°,测得桅 杆底部D的仰角为45°. 距地面高度为40 m(EF=40 m)的无人机在F 处测得点A的仰角α=60°,中原福塔底部边 缘G处的俯角β=16.8°. 计算中原福塔的高度 …… AB=α+EF= (1)数学老师说方案一的结果与中原福塔的实际高度误差较小，方案二的结果误差较大.方案二的结果 与实际中原福塔的高度相比是偏 _(填“大”或“小”),请说明方案二产生较大误差的原因. (2)请根据方案一中的测量数据，求出中原福塔的高度AB(结果精确到1 m. 参考数据：sin 55.4°≈0.82, cos 55.4°≈0.57,tan55.4°≈1.45,≈1.41) 22. (10分)如图，在平面直角坐标系中，从点A(0,6) 处向第一象限抛出一个弹力点(遇线反弹),其运动轨迹 为抛物线的一部分，弹力点落到射线BC 上的点P 处后反弹，反弹后经过的最高点是 Q(5,6).已知射线BC 所在直线的表达式为y=x 弹力点第一次反弹后的运动路线为抛物线的一部分. (1)求a 的值及点P 的坐标. (2)当弹力点从点P 处反弹后，在平面直角坐标系中放入一个等腰直角三角形DEF, 其中∠F=90°,D (2,m),E(4,m), 点 F 在 DE 上方.若弹力点第一次反弹后直接落在y 轴上(未在△DEF 的边上反 弹),求m 的取值范围. 23. (10分) 综合与实践 “几何画板”是一种常用的几何画图软件，利用“几何画板”可以非常直观、快捷、准确地探究图形的 性质. (1)操作发现，尝试探究 如图(1),小颖在“几何画板”上先画了两条互相垂直的直线a,b (交点为0),接着画了等边三角形 ABC,其中点A,B 分别在直线a,b 上，点C 在BA右侧，连接OC.固定点A, 使OA=4 cm,让点B 在直线 b 上运动，发现线段OC 存在最小值.为了求出线段OC 的最小值，小颖又画了等边三角形OAD ( 点D 在 0A 下方),并连接DB, 如图(2),得到DB 与 OC 的数量关系为 ，线段OC 的最小值为 cm. (2)变换条件，再次探究 如图(3),小颖改变了直线a,b 的位置关系，使两直线所夹锐角为60°,其他条件不变，当点B 在 直线b 上运动时，求线段OC 的最小值. (3)拓展变化，深度探究 如图(4),小颖将(1)中的条件“等边三角形ABC”改为“以AB 为直角边的等腰直角三角形”,其 他条件不变，当点B 在直线b 上运动时，请直接写出线段OC 的最小值 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) $$参考答案 一选择题 (1)将A(1,a)代入y=3x, 1A 2B 3C 4C 5C 6A 7B 8D 9D 10A 得a=3,.A(1,3). 二填空题 481-2-23152或 将A1,3)代人y=,得k=3, 11x≠112y=x+113 31 3 4 2 故反比例函数的表达式为y一是3分) 三解答题 16(1)10y2+9xy(2)x-1 (2)作图如图(1)所示. 17(1)50 (2分) 由AO=4P.OP平分∠AOB, 可得到AP∥OB 解法提示：4+6+14+4)+0-86。-20%)=50（人。 360 (2)补全频数分布直方图如图 频数分布直方图 频数 14 12 8 图(1) (3)点P的坐标是(1+√10,3).(9分) 070758085909510成绩u分 解法提示：如图(2)，延长PA交y轴于点C, 则PC⊥y轴，OC=3,AC=1, (6分】 14 解法提示：m=50×20%=10,n=50-4-6-10-14-4=12 (3)不一定正确。 (7分) 理由：将50名选手的成绩从低到高排列，第25名与第26 名的成绩都在分数段85≤x<90中，但它们的平均数不一 定是87分. (9分) 8(1)设筒车的半径为rm, 图(2) OD⊥AB,∴.AC=BC=3m ∴.0A=3+1下=√10， 如图，连接OA,在Rt△OAC中，OA=OC+AC, ∴.AP=√10 即=(r-1)2+32,解得r=5, .CP=1+√10，∴.P(1+√10,3). 故简车的半径为5m. (4分)】 Q 水面 D (2)如图，延长MN切⊙0于点Q,连接0Q,则0Q1MQ, .∠Q0D+∠NMB=360°-90°×2=180° 延长DO交⊙O于点E,则点E为筒车的最高点， 且∠00E+∠Q0D=180°，∴.∠Q0E=38 38÷20=1.9. 故盛水筒P从最高点开始运动，至少经过1.9：恰好在直线 MN上. (9分) 19 1 20(1)设购进甲类图书x册时进货款给好为46000元，则购进 2四(1)将40.6代人y-言x-4+a 乙类图书(1200-x)册. 得6=一名×16+a,解得a=8 (2分) 根据题意.得25x+45(1200-x)=46000. 解得x■400. (2分) 令--4,8-得10-0 1200-400=800. 答：购进甲类图书400册、乙类图书800册时，进货款恰好 对于y=-号当=10时子 为46000元 (3分) P0,子 (4分) (2)设购进甲类图书：厨，销售完甲，乙两类图书该平台共 (2)设弹力点第一次反弹后的运动路线所在抛物线（记为 获利y元，则购进乙类图书(1200-)册 抛物线G)的表达式为y=(-5)?+6, 根据题意，得y=(30-25)1+(60-45)(1200-1)= -10:+18000. (5分) 将P代10.号)代入，和子=25+6，解得=一0 由题意.得-10r+18000≤[251+45(1200-t)]×30%, 抛物线G的表达式为少=0x-5+6 (6分) 解得1≥450， (7分)】 易得F(3.m+1) 所以450≤±c1200. 因为-10<0，所以y随：的增大面减小. 若猫物酸G轻过点E将4一代人y=一-5八+6， 所以当1=450时，y取得最大值，最大值为-10×450+ 18000=13500. 得m得 答：购进甲类图书450册、乙类图书750册时，该平台获利 若抛物线C经过点R将P(3.m+1)代人y=一 最多且总利润不超过总进货款的30%，此时总利润为 13500元 (9分) 5+6,解得m得 若物线G整过点D,将0(2，m)代人y=一。：-5)+ 21(1)小 (1分) 方案二中BG的长被忽略掉了，将EG的长作为点F到AB 6解得m君 的距离进行计算，导致误差较大 (3分) 经分析可知，当m>碧，△DEF在抛物线G上方当m< (2)设BD=x,则AB=120+x 在Rt△BCD中，∠BCD=45°， 号时，△DEr在0的线G下方， ∴，BC=BD= 故若弹力点第一次反弹后直接落在y轴上，则网的收值范 在△MBC中，anLACB--记.LACB=5.4 59 23 偶为m>6或m< (10分) AB=BC·an55.4°=1.45x .120+x=1.45x, 解得x266.7, .AB=120+266.7=387. 答：中原福塔的高度AB约为387m, (9分) 2 【参考答案及评分标准】(1)DB=0C2 (2分) (2)如图(1)，作等边三角形AOD(点D在OA下方)，连接DB 图(1) △ABC,△AOD均是等边三角形， +∠BAC=∠OAD=60°，AB=AC,AO=AD ,∠OAC=∠DAB, .△OAC≌△DAB. 2.OC=DB. (5分) 过点D作DE⊥直线6于点￡，根据“垂线段最短”可知，当点B 与点E重合时，DB的值最小，即OC的值最小，最小值为DE 的长 ∠AOB=∠AOD=60° .∠D0E=60°. .OD =0A =4 cm. ADE=0p·血60°=4×5=25(em. 2 故线段0C的最小值为2万cm (8分) (3)4cm或22cm (10分) 解法提示：分两种情况讨论 ①当∠BAC=90时，如图(2)，作等腰直角三角形OAD(点D在 OA下方)，使L0AD=90°，连接DB,过点D作DE⊥直线b于点 E,证法同(2)，可得0C的最小值为4cm 6 E 图(2) 图(3) ②当∠ABC=90时，如图(3)，作等腰直角三角形OAD(点D在 OA下方)，使∠ODA=90°，连接DB,过点D作DE⊥直线b于点 E易证△0MC△DMB,得骺-胎-0C=万0B当点B 与点E重合时，DB的值最小，最小值为DE的长，即2m, ÷.0C的最小值为22cm 3